Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

64Arithmétique : diviseurs et nombres premiers

L’arithmétique étudie les nombres entiers et la façon dont ils se divisent les uns les autres. Ses personnages centraux sont les nombres premiers, les briques de base à partir desquelles tout entier s’assemble par multiplication. Le chapitre se termine par le plus grand commun diviseur, l’outil juste pour simplifier les fractions une fois pour toutes. Cette histoire se poursuit, bien plus loin, dans les volumes suivants de cette série et au-delà.

64.1 Diviseurs et multiples

Définition 64.1 (Diviseur, multiple)

Soient $a$ et $b$ des entiers positifs. On dit que $b$ divise $a$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $a$ est un multiple de $b$ ) lorsque $a = b \times k$ pour un certain entier $k$ — c’est-à-dire lorsque la division de $a$ par $b$ laisse un reste $0$ .

Exemple 64.2

Les diviseurs de $24$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — ils viennent par paires dont le produit est $24$ : $(1,24)$ , $(2,12)$ , $(3,8)$ , $(4,6)$ . Les multiples de $7$ sont $7, 14, 21, 28, \dots$

Proposition 64.3 (Critères de divisibilité)

Un entier est divisible :

par $2$ lorsque son dernier chiffre est pair ( $0, 2, 4, 6, 8$ ) ;
par $5$ lorsque son dernier chiffre est $0$ ou $5$ ;
par $10$ lorsque son dernier chiffre est $0$ ;
par $3$ (resp. $9$ ) lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (resp. $9$ ) ;
par $4$ lorsque ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 64.4

$7\,215$ se termine par $5$ : divisible par $5$ . Sa somme de chiffres est $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ , divisible par $3$ mais pas par $9$ : donc $7\,215$ est divisible par $3$ , pas par $9$ . En effet $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ .

64.2 Nombres premiers

Définition 64.5 (Nombre premier)

Un nombre premier est un entier $\geq 2$ dont les seuls diviseurs sont $1$ et lui-même. Les premiers inférieurs à $30$ sont

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

Le nombre $1$ n’est pas premier (par convention), et un entier $\geq 2$ qui n’est pas premier s’appelle composé.

Théorème 64.6 (Décomposition en facteurs premiers)

Tout entier $\geq 2$ est un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 64.7 (Décomposer un entier)

Diviser par le plus petit premier possible, de façon répétée, jusqu’à atteindre $1$ :

essayer $2$ tant que le nombre est pair ;
puis essayer $3$ , puis $5$ , puis $7$ , … (seulement des premiers) ;
s’arrêter lorsque le quotient est $1$ ; collecter les facteurs avec exposants.

Il suffit d’essayer les premiers $p$ avec $p^2$ ne dépassant pas le nombre courant : si aucun ne le divise, le nombre lui-même est premier.

Exemple 64.8

Décomposer $360$ , une division à la fois :

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

donc

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

L’arbre de facteurs de 360 : chaque étape détache le plus petit facteur premier (en rouge). En lisant les feuilles rouges et le 5 final : 360 = 23 × 32 × 5. — L’arbre de facteurs de $360$ : chaque étape détache le plus petit facteur premier (en rouge). En lisant les feuilles rouges et le $5$ final : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Théorème 64.9 (Euclide)

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration. Supposons qu’il n’y en ait qu’un nombre fini, disons $p_1, p_2, \dots, p_k$ , et considérer

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

Diviser $N$ par n’importe quel $p_i$ laisse un reste $1$ , donc aucun $p_i$ ne divise $N$ . Mais $N \geq 2$ a au moins un diviseur premier (Théorème 64.6) — un premier qui n’est pas dans notre liste. Contradiction : aucune liste finie ne peut contenir tous les premiers. ∎

64.3 Le plus grand commun diviseur

Définition 64.10 (PGCD)

Le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs $a$ et $b$ , noté $\gcd(a, b)$ , est le plus grand entier divisant les deux. Lorsque $\gcd(a, b) = 1$ , les entiers sont dits premiers entre eux : ils ne partagent aucun diviseur excepté $1$ .

Exemple 64.11

Diviseurs de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Diviseurs de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Diviseurs communs : $1, 2, 3, 6$ ; donc $\gcd(18, 24) = 6$ . Les entiers $15$ et $28$ sont premiers entre eux.

Proposition 64.12 (PGCD à partir des décompositions)

Le PGCD de deux entiers est le produit des premiers apparaissant dans les deux décompositions, chacun pris avec le plus petit de ses deux exposants.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . Premiers communs : $2$ (exposants $3$ et $2$ : garder $2$ ) et $3$ (exposants $2$ et $1$ : garder $1$ ). Donc

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

Théorème 64.14 (Algorithme d’Euclide)

Si $a = bq + r$ est la division de $a$ par $b$ avec reste $r$ , alors

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

En répétant les divisions jusqu’à ce que le reste soit $0$ , le PGCD de $a$ et $b$ est le dernier reste non nul.

Démonstration. De $a = bq + r$ : tout entier divisant $b$ et $r$ divise $bq + r = a$ ; et de $r = a - bq$ : tout entier divisant $a$ et $b$ divise $r$ . Donc les paires $(a, b)$ et $(b, r)$ ont exactement les mêmes diviseurs communs — en particulier le même plus grand. Puisque les restes décroissent strictement, l’algorithme se termine, et $\gcd(x, 0) = x$ donne le dernier reste non nul. ∎

Exemple 64.15

Calculer $\gcd(1071, 462)$ :

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

Le dernier reste non nul est $21$ : $\gcd(1071, 462) = 21$ .

Méthode 64.16 (Simplifier complètement une fraction)

Pour écrire $\dfrac ab$ sous forme irréductible :

calculer $d = \gcd(a, b)$ , par ex. par l’algorithme d’Euclide ;
diviser numérateur et dénominateur par $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
la fraction résultante est irréductible : son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ , et $\gcd(22, 51) = 1$ : irréductible.

64.4 Exercices

Exercice 64.1 ★

Lister tous les diviseurs de $36$ , de $45$ , et de $17$ .

Solution

Solution de Exercice 64.1.

Diviseurs de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Diviseurs de $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Diviseurs de $17$ : $1$ et $17$ seulement ( $17$ est premier).

Exercice 64.2 ★

En utilisant les critères de divisibilité, déterminer si $2\,346$ est divisible par $2$ , par $3$ , par $4$ , par $5$ , par $9$ .

Solution

Solution de Exercice 64.2.

$2\,346$ se termine par $6$ : divisible par $2$ , pas par $5$ . Somme des chiffres $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : divisible par $3$ , pas par $9$ . Les deux derniers chiffres $46$ , et $46 = 4 \times 11 + 2$ n’est pas divisible par $4$ : $2\,346$ n’est pas divisible par $4$ .

Exercice 64.3 ★

Donner la décomposition en facteurs premiers de $72$ , $150$ , $210$ et $121$ .

Solution

Solution de Exercice 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

Exercice 64.4 ★

$101$ est-il premier ? $91$ ? $143$ ? Justifier en utilisant la règle d’arrêt de Méthode 64.7.

Solution

Solution de Exercice 64.4.

$101$ : tester les premiers $p$ avec $p^2 \leq 101$ , c’est-à-dire $2, 3, 5, 7$ . Aucun ne divise $101$ (impair, somme des chiffres $2$ , ne se termine pas par $0/5$ , $101 = 7 \times 14 + 3$ ) : $101$ est premier.

$91 = 7 \times 13$ : pas premier.

$143 = 11 \times 13$ : pas premier.

Exercice 64.5 ★

Calculer $\gcd(48, 60)$ de deux façons : en listant les diviseurs communs, et à partir des décompositions en facteurs premiers.

Solution

Solution de Exercice 64.5.

Diviseurs communs de $48$ et $60$ : diviseurs de $48$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ ; diviseurs de $60$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ ; les communs sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , donc $\gcd(48,60) = 12$ .

Par décomposition : $48 = 2^4 \times 3$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; premiers communs avec plus petits exposants : $2^2 \times 3 = 12$ .

Exercice 64.6 ★★

Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer $\gcd(255, 154)$ , puis $\gcd(1053, 325)$ . Écrire chaque ligne de division.

Solution

Solution de Exercice 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

Dernier reste non nul : $\gcd(255, 154) = 1$ (ils sont premiers entre eux).

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

Exercice 64.7 ★★

Rendre irréductible la fraction $\dfrac{588}{504}$ . (Calculer le PGCD par la méthode de son choix, puis diviser.)

Solution

Solution de Exercice 64.7.

Algorithme d’Euclide : $588 = 504 \times 1 + 84$ ; $504 = 84 \times 6 + 0$ : $\gcd(588, 504) = 84$ . Puis

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

qui est irréductible.

Exercice 64.8 ★★

Une fleuriste a $84$ roses et $126$ tulipes et veut faire des bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs, avec autant de bouquets que possible. Combien de bouquets peut-elle faire, et que contient chacun ?

Solution

Solution de Exercice 64.8.

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $84$ et $126$ ; le plus grand possible est $\gcd(84, 126)$ . Décompositions : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ , $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , donc le PGCD est $2 \times 3 \times 7 = 42$ . Elle peut faire $42$ bouquets, chacun contenant $\frac{84}{42} = 2$ roses et $\frac{126}{42} = 3$ tulipes.

Exercice 64.9 ★★

Deux ferries quittent le même quai à 8:00. L’un part toutes les $24$ minutes, l’autre toutes les $36$ minutes. À quelle heure repartent-ils ensemble la prochaine fois ? (Chercher le plus petit multiple commun de $24$ et $36$ ; les décompositions aident.)

Solution

Solution de Exercice 64.9.

On cherche le plus petit multiple commun. $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ ; en prenant chaque premier avec le plus grand exposant : $\operatorname{ppcm} = 2^3 \times 3^2 = 72$ . Les ferries repartent ensemble $72$ minutes après 8:00, à 9:12.

Exercice 64.10 ★★★

Soit $n$ un entier positif.

Montrer que $\gcd(n, n+1) = 1$ (les entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux).
En déduire que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est toujours irréductible.

Solution

Solution de Exercice 64.10.

1. Tout diviseur commun $d$ de $n$ et $n+1$ divise aussi leur différence $(n+1) - n = 1$ , donc $d = 1$ : $\gcd(n, n+1) = 1$ .

2. Une fraction est irréductible exactement lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, ce qui est le cas pour $n$ et $n + 1$ par le point 1.

64.5 Problème : des brocs d’eau, des cigales et cent casiers

Problème 64.1

Devoir maison — le PGCD décide quelles quantités deux brocs peuvent mesurer ; les nombres premiers protègent les cigales ; et les casiers qui restent ouverts sont les carrés parfaits

Trois énigmes qui ressemblent à des devinettes et qui sont en réalité de l’arithmétique : mesurer de l’eau avec des brocs sans graduation (le PGCD déguisé), des cycles de vie d’insectes que l’évolution a poussés vers les nombres premiers, et un célèbre couloir de cent casiers dont l’état final se décide en comptant des diviseurs. Tout repose sur la machinerie de ce chapitre : la divisibilité, la décomposition en facteurs premiers (Théorème 64.6) et l’algorithme d’Euclide (Théorème 64.14).

Partie I — Les brocs d’eau. Nous voici devant une fontaine avec deux brocs sans graduation, de $5$ L et $3$ L. Gestes autorisés : remplir un broc à ras bord, vider complètement un broc, verser un broc dans l’autre jusqu’à ce que la source soit vide ou que la cible soit pleine.

Mesurer exactement $1$ L. (Décrire la suite de gestes et le contenu des deux brocs après chacun d’eux.)
Mesurer exactement $4$ L — l’énigme d’un célèbre film d’action. (Six gestes suffisent.)
Quels nombres entiers de litres de $1$ à $8$ peut-on exhiber (dans un broc, ou répartis entre les deux) ? Compléter la liste, en réutilisant les suites de gestes déjà trouvées.
Nouveaux brocs : $6$ L et $4$ L. Essayer de mesurer $1$ L — puis expliquer pourquoi c’est sans espoir : vérifier que chacun des trois gestes autorisés maintient le contenu de chaque broc multiple de $2$ , de sorte que toute quantité atteignable est paire.
L’argument de la question 4 vaut en général : avec des brocs de $a$ et $b$ litres, toute quantité atteignable est un multiple de $\gcd(a, b)$ . Calculer $\gcd(6, 4)$ et $\gcd(5, 3)$ , et dire ce que la loi prédit pour chaque couple de brocs.

Partie II — Euclide à la fontaine.

Calculer par l’algorithme d’Euclide : $\gcd(91, 65)$ et $\gcd(2\,026, 46)$ .
Expliquer avec ses propres mots pourquoi les quantités qui apparaissent dans les brocs sont les restes d’Euclide déguisés : avec des brocs de $13$ L et $5$ L, remplir plusieurs fois le petit broc et le verser dans le grand (en vidant le grand chaque fois qu’il déborde). Quelles quantités nouvelles apparaissent en premier — et les comparer aux restes de l’algorithme d’Euclide pour $(13, 5)$ .
En déduire la réponse du champion : avec des brocs de $13$ et $5$ litres, peut-on mesurer exactement $1$ L ? Justifier en une ligne à l’aide de la question 5 et de $\gcd(13, 5)$ .
Une démonstration rapide de primalité entre eux, dans le style de l’Exercice 64.10 : montrer que $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ pour tout entier $n$ strictement positif. (Que doit diviser un diviseur commun de $n$ et de $2n + 1$ ?)
Deux bus quittent le terminus ensemble à 7 h 00 ; l’un part toutes les $12$ minutes, l’autre toutes les $18$ . Dresser la liste des départs suivants de chacun et trouver le premier instant où ils repartent ensemble. Vérifier sur cet exemple la belle loi : (premier multiple commun) $\times$ PGCD $=$ produit des deux nombres — et la tester à nouveau sur $5$ et $3$ .

Partie III — Cigales, diviseurs et casiers.

Certaines cigales d’Amérique du Nord ne sortent de terre que tous les $17$ ans ; supposons que la population d’un prédateur culmine tous les $4$ ans. Si les deux se produisent cette année, dans combien d’années une sortie coïncidera-t-elle de nouveau avec un pic ? Même question si le cycle des cigales était de $16$ ans — à quelle fréquence seraient-elles alors massacrées ? Expliquer en une phrase pourquoi l’évolution a poussé le cycle vers une durée première.
À l’aide de la décomposition $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , compter les diviseurs de $360$ sans les énumérer : un diviseur choisit un exposant pour $2$ (quatre choix : $0, 1, 2, 3$ ), un pour $3$ , un pour $5$ . Combien de diviseurs en tout ?
Montrer que, dans la décomposition d’un carré parfait $n = m^2$ , chaque nombre premier porte un exposant pair. En déduire, sans calculer aucune racine carrée, que $360$ n’est pas un carré parfait.
Associer à chaque diviseur $d$ de $n$ son partenaire $\frac{n}{d}$ (pour $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). Quand un diviseur est-il son propre partenaire ? En déduire le critère : $n$ a un nombre impair de diviseurs exactement lorsque $n$ est un carré parfait. Le vérifier sur $36$ et sur $360$ .
Les cent casiers. Les casiers $1$ à $100$ sont d’abord tous fermés. L’élève $1$ change l’état de tous les casiers ; l’élève $2$ change l’état des casiers $2, 4, 6, \dots$ ; l’élève $k$ change l’état des multiples de $k$ ; et ainsi de suite jusqu’à l’élève $100$ . Expliquer quels élèves touchent le casier $n$ , combien de fois son état change, et — à l’aide de la question 14 — exactement quels casiers finissent ouverts. Combien y en a-t-il ?

Solution

Solution de Problème 64.1.

1. Remplir le $3$ et le verser dans le $5$ (contenus : $0/3 \to 3$ dans le grand). Remplir de nouveau le $3$ et le verser dans le $5$ jusqu’à ce qu’il soit plein : le grand broc n’accepte plus que $2$ , il reste donc

3 - 2 = 1 \text{ L dans le petit broc.}

Gestes : remplir le $3$ ; verser $3 \to 5$ ; remplir le $3$ ; verser $3 \to 5$ .

2. Remplir le $5$ ; verser dans le $3$ (il reste $2$ dans le grand) ; vider le $3$ ; y verser les $2$ ; remplir le $5$ ; verser dans le $3$ jusqu’à le remplir — il n’accepte que $1$ , ce qui laisse $\mathbf{4}$ L dans le grand broc. Six gestes.

3. Tous : $1$ (question 1), $2$ (après deux gestes de la question 2), $3$ et $5$ (simples remplissages), $4$ (question 2), $6 = 3 + 3$ (un petit broc plein plus $3$ versés dans le grand), $7 = 5 + 2$ , $8 = 5 + 3$ (les deux pleins). Toute quantité entière de $1$ à $8$ L est mesurable avec le $5$ et le $3$ .

4. Au départ, les deux brocs contiennent $0$ , un multiple de $2$ . Remplir fixe un contenu à $6$ ou $4$ : pair. Vider le fixe à $0$ : pair. Verser déplace de l’eau entre des brocs dont les contenus étaient pairs, et la quantité versée est une différence de nombres pairs (la place disponible, ou la quantité présente) : tous les contenus restent donc pairs à jamais. Une cible impaire comme $1$ L est inatteignable.

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : seules des quantités paires — confirmé par la question 4. $\gcd(5, 3) = 1$ : la loi autorise toute quantité entière, et la question 3 les a toutes réalisées. Le PGCD est exactement l’unité de mesure des brocs.

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ; $65 = 2 \times 26 + 13$ ; $26 = 2 \times 13 + 0$ : $\gcd(91, 65) = 13$ . Et $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ; $46 = 23 \times 2 + 0$ : $\gcd(2\,026, 46) = 2$ .

7. En versant plusieurs fois le $5$ dans le broc de $13$ : après deux remplissages, le grand broc contient $10$ ; le troisième remplissage n’y entre qu’à hauteur de $3$ , laissant $5 - 3 = 2$ dans le petit broc — or le reste de $13$ par $5$ valait $3$ , et les quantités $3$ (la place) et $2$ (le reliquat) sont exactement les nombres d’Euclide ( $13 = 2 \times 5 + 3$ , $5 = 1 \times 3 + 2$ ). En continuant, $3 - 2 = 1$ apparaît : le reste suivant de l’algorithme. La fontaine effectue les divisions d’Euclide avec de l’eau.

8. $\gcd(13, 5) = 1$ , donc la loi de la question 5 autorise toute quantité entière — et la cascade de la question 7 a effectivement produit $1$ L. Oui.

9. Un diviseur commun de $n$ et de $2n + 1$ divise $2n + 1 - 2 \times n = 1$ : il vaut donc $1$ . D’où $\gcd(n, 2n+1) = 1$ toujours.

10. Bus A : 7 h 12, 7 h 24, 7 h 36, 7 h 48, 8 h 00 … ; bus B : 7 h 18, 7 h 36, 7 h 54 … Premier départ commun : 7 h 36, au bout de $36$ minutes — le premier multiple commun de $12$ et $18$ . Loi : $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ . Pour $5$ et $3$ : premier multiple commun $15$ , et $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ .

11. Avec un cycle de $17$ ans : la coïncidence suivante est le premier multiple commun de $17$ et de $4$ ; comme $\gcd(17, 4) = 1$ , c’est $17 \times 4 = 68$ ans — les cigales ne croisent le pic qu’une fois sur quatre sorties. Avec un cycle de $16$ ans : $16$ est un multiple de $4$ , donc chaque sortie tombe sur un pic. Une durée de cycle première ne partage aucun facteur avec un cycle de prédateur plus court, ce qui espace au maximum les coïncidences : l’arithmétique comme camouflage.

12. Quatre choix d’exposant pour $2$ , trois pour $3$ , deux pour $5$ : $4 \times 3 \times 2 = 24$ diviseurs.

13. Si $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ , alors $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : chaque exposant est doublé, donc pair. Or dans $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , les exposants de $2$ et de $5$ sont impairs : $360$ n’est pas un carré parfait.

14. Un diviseur est son propre partenaire exactement lorsque $d = \frac nd$ , c’est-à-dire $n = d^2$ : seuls les carrés possèdent un tel diviseur central. Pour tout autre $n$ , les diviseurs se répartissent en paires, donc en nombre pair. Ainsi : nombre impair de diviseurs $\Leftrightarrow$ carré parfait. Vérification : $36$ a pour diviseurs $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — neuf, un nombre impair, et $36 = 6^2$ ; tandis que $360$ en a $24$ (question 12), un nombre pair, et n’est pas un carré (question 13).

15. Le casier $n$ change d’état une fois par élève $k$ dont le numéro divise $n$ : en tout, autant de fois que $n$ a de diviseurs. Un casier finit ouvert lorsque son état a changé un nombre impair de fois — d’après la question 14, exactement lorsque $n$ est un carré parfait. Casiers ouverts : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — il y en a dix.

Termes définis dans ce chapitre

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