Mathématiques du lycée · Grades 10–12

28Nombres complexes

L’équation $x^2 = -1$ n’a pas de solution réelle. En élargissant $\R$ d’un seul nouveau nombre $\iu$ dont le carré vaut $-1$ , on obtient le corps $\C$ des nombres complexes, dans lequel toute équation polynomiale a des solutions — et dont l’arithmétique encode la géométrie du plan : translations, rotations et homothéties deviennent additions et multiplications.

28.1 Forme algébrique

Définition 28.1 (Nombres complexes)

L’ensemble des nombres complexes est

\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

où $\iu$ est un symbole soumis à la seule règle $\iu^2 = -1$ ; l’addition et la multiplication se font comme pour les polynômes réels en $\iu$ , en réduisant $\iu^2$ à $-1$ . Les réels $a$ et $b$ sont la partie réelle $\Rea(z)$ et la partie imaginaire $\Ima(z)$ de $z = a + \iu b$ ; cette expression est la forme algébrique de $z$ , et elle est unique : $a + \iu b = a' + \iu b'$ si et seulement si $a = a'$ et $b = b'$ .

Exemple 28.2

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$ .

Définition 28.3 (Conjugué)

Le conjugué de $z = a + \iu b$ est $\conj{z} = a - \iu b$ .

Proposition 28.4 (Propriétés de la conjugaison)

Pour tous $z, w \in \C$ :

\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

et $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ pour $z = a + \iu b$ . De plus $z \in \R$ si et seulement si $z = \conj z$ .

Démonstration. Toutes se vérifient par calcul direct à partir des formes algébriques ; par exemple $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$ . ∎

Méthode 28.5 (Diviser des nombres complexes)

Pour écrire un quotient sous forme algébrique, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Tout nombre complexe non nul a donc un inverse : $\C$ est un corps.

28.2 Le plan complexe, module et argument

Définition 28.6 (Affixe, module)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, le point $M(a, b)$ est l’image de $z = a + \iu b$ , et $z$ est l’affixe de $M$ . Le module de $z$ est la distance de $M$ à l’origine :

\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.

Le point M(a,b) d’affixe z : le module z est la longueur OM, et le conjugué z est le symétrique de z par rapport à l’axe réel. — Le point $M(a,b)$ d’affixe $z$ : le module $\abs z$ est la longueur $OM$ , et le conjugué $\conj z$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe réel.

Proposition 28.7 (Propriétés du module)

Pour $z, w \in \C$ :

\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \qquad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(inégalité triangulaire)}.

De plus $\abs{z_B - z_A}$ est la distance entre les points d’affixes $z_A$ et $z_B$ .

Démonstration. $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ donne la première ; la deuxième et la troisième sont analogues. Pour l’inégalité triangulaire :

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

en utilisant $\Rea(u) \leq \abs u$ . L’énoncé sur la distance est la formule de Pythagore appliquée aux coordonnées de $z_B - z_A$ . ∎

Définition 28.8 (Argument, formes trigonométrique et exponentielle)

Soit $z \neq 0$ . Un argument de $z$ , noté $\Arg(z)$ , est toute mesure $\theta$ de l’angle de l’axe réel positif vers le rayon $OM$ ; il est défini à $2k\pi$ près. En notant $r = \abs z$ ,

z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(forme trigonométrique)}.

En introduisant la notation

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

cela devient la forme exponentielle $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ .

Forme exponentielle : z est déterminé par sa distance r à l’origine et l’angle depuis l’axe réel positif. — Forme exponentielle : $z$ est déterminé par sa distance $r$ à l’origine et l’angle $\theta$ depuis l’axe réel positif.

Théorème 28.9

Pour tous $\theta, \theta' \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

Par suite, pour $z = r\eu^{\iu\theta}$ et $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ non nuls :

zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

les modules se multiplient, les arguments s’ajoutent.

Démonstration. La première identité est le couple de formules d’addition (Proposition 24.3) :

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

Le reste suit par calcul direct. ∎

Corollaire 28.10 (Formule de Moivre)

Pour $\theta \in \R$ et $n \in \Z$ : $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$ .

Démonstration. Récurrence sur $n \geq 0$ en utilisant Théorème 28.9 ; étendre à $n < 0$ en prenant les inverses. ∎

Méthode 28.11 (Passer d’une forme à l’autre)

De l’algébrique à l’exponentielle : calculer $r = \abs z$ , puis trouver $\theta$ avec $\cos\theta = \frac ar$ , $\sin\theta = \frac br$ (situer le bon quadrant avant d’invoquer un arccosinus). De l’exponentielle à l’algébrique : développer $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$ . Utiliser la forme algébrique pour les sommes, la forme exponentielle pour les produits, puissances et quotients.

Exemple 28.12

$z = 1 + \iu$ : $\abs z = \sqrt2$ et $\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , donc $\theta = \frac\pi4$ et $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ . D’où $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$ .

28.3 Équations du second degré et racines de l’unité

Théorème 28.13 (Équations du second degré à coefficients réels)

Soient $a, b, c \in \R$ , $a \neq 0$ , et $\Delta = b^2 - 4ac$ . L’équation $az^2 + bz + c = 0$ a des solutions dans $\C$ :

\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{deux réelles}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{double}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{deux conjuguées}). \end{aligned}

Démonstration. Compléter le carré : $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right)$ . Si $\Delta < 0$ , alors $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$ , et la différence de carrés se factorise comme d’habitude. ∎

Définition 28.14 (Racines de l’unité)

Pour $n \geq 1$ , les racines $n$ -ièmes de l’unité sont les solutions de $z^n = 1$ .

Théorème 28.15

L’équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions :

\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Leurs images sont les sommets d’un $n$ -gone régulier inscrit dans le cercle unité, et pour $n \geq 2$ leur somme vaut $0$ .

Démonstration. Chaque $\omega_k$ vérifie $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$ , et ils sont deux à deux distincts car leurs arguments sont dans $\intco{0}{2\pi}$ . Réciproquement, si $z^n = 1$ alors $\abs z^n = 1$ , donc $\abs z = 1$ (réel positif) et $z = \eu^{\iu\theta}$ avec $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ , c’est-à-dire $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ ; en réduisant $k$ modulo $n$ on retombe parmi les $\omega_k$ . Les sommets sont espacés de l’angle $\frac{2\pi}{n}$ : un $n$ -gone régulier. Enfin, avec $\omega = \omega_1$ , $\omega \neq 1$ et la somme géométrique donne

\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité (). — Les racines cinquièmes de l’unité, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité (Exercice 28.10).

Exemple 28.16

Les racines cubiques de l’unité sont $1$ , $j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ et $\conj j = j^2$ , vérifiant $1 + j + j^2 = 0$ .

28.4 Nombres complexes et géométrie plane

Proposition 28.17 (Dictionnaire géométrique)

Soient $A, B, C, D$ des points d’affixes $a, b, c, d$ ( $a \neq b$ , $c \neq d$ ).

La translation de vecteur d’affixe $t$ est $z \mapsto z + t$ .
La rotation de centre $\omega$ (affixe) et d’angle $\theta$ est $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
L’homothétie de centre $\omega$ et de rapport $k \in \R^*$ est $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
$\dfrac{d - c}{b - a}$ a pour module $\dfrac{CD}{AB}$ et pour argument l’angle entre les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ . En particulier, $AB \perp CD$ si et seulement si $\frac{d-c}{b-a}$ est purement imaginaire, et $A, B, C$ sont alignés ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) si et seulement si $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

Démonstration. (1) et (3) reformulent les formules en coordonnées. Pour (2), l’application $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ multiplie les modules par $1$ et ajoute $\theta$ aux arguments : c’est la rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine ; en conjuguant par la translation envoyant $\omega$ en $0$ on obtient le centre général. Pour (4), modules et arguments des quotients se soustraient (Théorème 28.9). ∎

28.5 Exercices

Exercice 28.1 ★

Écrire sous forme algébrique : $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$ , $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$ , $\iu^{2027}$ .

Solution

Solution de Exercice 28.1.

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$ .

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$ .

$\iu^{2027}$ : comme $\iu^4 = 1$ et $2027 = 4 \times 506 + 3$ , $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$ .

Exercice 28.2 ★

Résoudre dans $\C$ : (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$ ; (b) $z^2 + z + 1 = 0$ . Vérifier dans chaque cas que les deux solutions sont conjuguées et calculer leur produit.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

(a) $\Delta = 16 - 52 = -36$ : $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$ . Paire conjuguée ; produit $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$ . (b) $\Delta = 1 - 4 = -3$ : $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (les racines cubiques de l’unité $j$ et $\conj j$ ) ; produit $= \frac{1 + 3}{4} = 1$ .

Exercice 28.3 ★

Mettre sous forme exponentielle : $z_1 = -1 + \iu$ , $z_2 = \sqrt3 - \iu$ , et calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle puis algébrique. En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ .

Solution

Solution de Exercice 28.3.

$\abs{z_1} = \sqrt2$ , argument $\frac{3\pi}{4}$ (deuxième quadrant) : $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$ . $\abs{z_2} = 2$ , argument $-\frac\pi6$ : $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$ . D’où

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

Algébriquement,

\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

En identifiant les parties réelles : $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$ , donc

\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Exercice 28.4 ★★

Décrire géométriquement l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que : (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$ ; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ est purement imaginaire.

Solution

Solution de Exercice 28.4.

(a) $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ signifie que $M$ est équidistant de $A(2, 0)$ et $B(0, -1)$ : la médiatrice de $[AB]$ .

(b) Distance $3$ du point $(1,1)$ : le cercle de centre $1 + \iu$ et de rayon $3$ .

(c) Par la Proposition 28.17(4), $\frac{z-1}{z+1}$ purement imaginaire signifie que les vecteurs de $A(1,0)$ vers $M$ et de $B(-1,0)$ vers $M$ sont orthogonaux : $M$ voit le segment $[AB]$ sous un angle droit. L’ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$ (le cercle unité) privé des points $A$ et $B$ eux-mêmes.

Exercice 28.5 ★★

À l’aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme, exprimer $\cos 3\theta$ comme polynôme en $\cos\theta$ , et $\sin 3\theta$ en fonction de $\sin\theta$ .

Solution

Solution de Exercice 28.5.

Moivre : $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ . En développant par la formule du binôme avec $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ :

(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

En identifiant les parties et en utilisant $s^2 = 1 - c^2$ , $c^2 = 1 - s^2$ :

\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Exercice 28.6 ★★

(Linéarisation.) En utilisant $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$ , linéariser $\cos^3\theta$ (l’écrire comme combinaison de $\cos k\theta$ ), et en déduire $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$ .

Solution

Solution de Exercice 28.6.

\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

D’où

\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Cohérent avec $W_3 = \frac23$ dans l’Exercice 25.9, car $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ par la symétrie $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ .)

Exercice 28.7 ★★

Soient $A$ et $B$ d’affixes $a = 1 + \iu$ et $b = 3 + 2\iu$ . Déterminer les deux points $C$ rendant le triangle $ABC$ équilatéral, comme images de $B$ par les rotations de centre $A$ et d’angles $\pm\frac{\pi}{3}$ .

Solution

Solution de Exercice 28.7.

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ avec $b - a = 2 + \iu$ et $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$ :

\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

donc $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$ , et de même avec l’angle $-\frac\pi3$ : $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$ .

Exercice 28.8 ★★★

Résoudre $z^4 = -4$ dans $\C$ et placer les solutions. Factoriser $z^4 + 4$ en deux polynômes du second degré à coefficients réels.

Solution

Solution de Exercice 28.8.

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$ , donc les solutions de $z^4 = -4$ sont

z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

c.-à-d. $1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ : les sommets d’un carré de circonférence de rayon $\sqrt 2$ . En groupant les racines conjuguées,

z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Exercice 28.9 ★★★

Pour $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ et $n \in \N$ , calculer

S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

en sommant la progression géométrique $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ et en prenant les parties réelles. (Réponse : $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}$ .)

Solution

Solution de Exercice 28.9.

Avec $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ :

\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

en utilisant $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (le factorisation en demi-angle). En prenant les parties réelles :

S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Exercice 28.10 ★★★

Soit $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Justifier que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Soient $u = \omega + \omega^4$ et $v = \omega^2 + \omega^3$ . Montrer que $u + v = -1$ et $uv = -1$ , et en déduire que $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
Conclure que $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

Solution

Solution de Exercice 28.10.

1. $\omega$ est une racine $5$ -ième de l’unité différente de $1$ , donc la somme des cinq racines s’annule (Théorème 28.15), ce qui s’écrit $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .

2. $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ par le point 1. Pour le produit, en utilisant $\omega^5 = 1$ :

uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Donc $u, v$ sont les racines de $X^2 + X - 1 = 0$ : $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$ . Or $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (car $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ ), donc $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$ .

3. $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ .