Mathematics · Livre 2 · Grades 10–12

Mathématiques du lycée

Mathématiques du lycée · Grades 10–12

28Nombres complexes

L’équation x2=−1x^2 = -1 n’a pas de solution réelle. En élargissant R\R d’un seul nouveau nombre i\iu dont le carré vaut −1-1, on obtient le corps C\C des nombres complexes, dans lequel toute équation polynomiale a des solutions — et dont l’arithmétique encode la géométrie du plan : translations, rotations et homothéties deviennent additions et multiplications.

28.1 Forme algébrique

Définition 28.1 (Nombres complexes)

L’ensemble des nombres complexes est

C={a+ib:a,b∈R},\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

où i\iu est un symbole soumis à la seule règle i2=−1\iu^2 = -1 ; l’addition et la multiplication se font comme pour les polynômes réels en i\iu, en réduisant i2\iu^2 à −1-1. Les réels aa et bb sont la partie réelle Re⁡(z)\Rea(z) et la partie imaginaire Im⁡(z)\Ima(z) de z=a+ibz = a + \iu b ; cette expression est la forme algébrique de zz, et elle est unique : a+ib=a′+ib′a + \iu b = a' + \iu b' si et seulement si a=a′a = a' et b=b′b = b'.

Exemple 28.2

(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=5+i(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu.

Définition 28.3 (Conjugué)

Le conjugué de z=a+ibz = a + \iu b est z‾=a−ib\conj{z} = a - \iu b.

Proposition 28.4 (Propriétés de la conjugaison)

Pour tous z,w∈Cz, w \in \C :

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,z‾‾=z,z+z‾=2Re⁡(z),z−z‾=2i Im⁡(z),\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

et zz‾=a2+b2≥0z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0 pour z=a+ibz = a + \iu b. De plus z∈Rz \in \R si et seulement si z=z‾z = \conj z.

Démonstration. Toutes se vérifient par calcul direct à partir des formes algébriques ; par exemple zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2. ∎

Méthode 28.5 (Diviser des nombres complexes)

Pour écrire un quotient sous forme algébrique, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Tout nombre complexe non nul a donc un inverse : C\C est un corps.

28.2 Le plan complexe, module et argument

Définition 28.6 (Affixe, module)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, le point M(a,b)M(a, b) est l’image de z=a+ibz = a + \iu b, et zz est l’affixe de MM. Le module de zz est la distance de MM à l’origine :

∣z∣=a2+b2=zz‾.\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
Le point M(a,b) d’affixe z : le module z est la longueur OM, et le conjugué z est le symétrique de z par rapport à l’axe réel.
Le point M(a,b)M(a,b) d’affixe zz : le module ∣z∣\abs z est la longueur OMOM, et le conjugué z‾\conj z est le symétrique de zz par rapport à l’axe réel.

Proposition 28.7 (Propriétés du module)

Pour z,w∈Cz, w \in \C :

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0),∣z‾∣=∣z∣,∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣ (ineˊgaliteˊ triangulaire).\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \qquad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(inégalité triangulaire)}.

De plus ∣zB−zA∣\abs{z_B - z_A} est la distance entre les points d’affixes zAz_A et zBz_B.

Démonstration. ∣zw∣2=zw zw‾=zz‾ ww‾=∣z∣2∣w∣2\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2 donne la première ; la deuxième et la troisième sont analogues. Pour l’inégalité triangulaire :

∣z+w∣2=(z+w)(z‾+w‾)=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)≤∣z∣2+∣w∣2+2∣zw‾∣=(∣z∣+∣w∣)2,\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

en utilisant Re⁡(u)≤∣u∣\Rea(u) \leq \abs u. L’énoncé sur la distance est la formule de Pythagore appliquée aux coordonnées de zB−zAz_B - z_A. ∎

Définition 28.8 (Argument, formes trigonométrique et exponentielle)

Soit z≠0z \neq 0. Un argument de zz, noté arg⁡(z)\Arg(z), est toute mesure θ\theta de l’angle de l’axe réel positif vers le rayon OMOM ; il est défini à 2kπ2k\pi près. En notant r=∣z∣r = \abs z,

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(forme trigonomeˊtrique).z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(forme trigonométrique)}.

En introduisant la notation

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

cela devient la forme exponentielle z=r eiθz = r\,\eu^{\iu\theta}.

Forme exponentielle : z est déterminé par sa distance r à l’origine et l’angle depuis l’axe réel positif.
Forme exponentielle : zz est déterminé par sa distance rr à l’origine et l’angle θ\theta depuis l’axe réel positif.

Théorème 28.9

Pour tous θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R :

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′),eiθ‾=e−iθ,∣eiθ∣=1.\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

Par suite, pour z=reiθz = r\eu^{\iu\theta} et z′=r′eiθ′z' = r'\eu^{\iu\theta'} non nuls :

zz′=rr′ ei(θ+θ′),zz′=rr′ ei(θ−θ′):zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

les modules se multiplient, les arguments s’ajoutent.

Démonstration. La première identité est le couple de formules d’addition (Proposition 24.3) :

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′).(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

Le reste suit par calcul direct. ∎

Corollaire 28.10 (Formule de Moivre)

Pour θ∈R\theta \in \R et n∈Zn \in \Z : (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta.

Démonstration. Récurrence sur n≥0n \geq 0 en utilisant Théorème 28.9 ; étendre à n<0n < 0 en prenant les inverses. ∎

Méthode 28.11 (Passer d’une forme à l’autre)

De l’algébrique à l’exponentielle : calculer r=∣z∣r = \abs z, puis trouver θ\theta avec cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar, sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br (situer le bon quadrant avant d’invoquer un arccosinus). De l’exponentielle à l’algébrique : développer rcos⁡θ+i rsin⁡θr\cos\theta + \iu\, r\sin\theta. Utiliser la forme algébrique pour les sommes, la forme exponentielle pour les produits, puissances et quotients.

Exemple 28.12

z=1+iz = 1 + \iu : ∣z∣=2\abs z = \sqrt2 et cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}, donc θ=π4\theta = \frac\pi4 et z=2 eiπ/4z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}. D’où z20=210 e5iπ=−1024z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024.

28.3 Équations du second degré et racines de l’unité

Théorème 28.13 (Équations du second degré à coefficients réels)

Soient a,b,c∈Ra, b, c \in \R, a≠0a \neq 0, et Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. L’équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 a des solutions dans C\C :

Δ>0: z=−b±Δ2a (deux reˊelles);Δ=0: z=−b2a (double);Δ<0: z=−b±i−Δ2a (deux conjugueˊes).\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{deux réelles}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{double}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{deux conjuguées}). \end{aligned}

Démonstration. Compléter le carré : az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right). Si Δ<0\Delta < 0, alors Δ4a2=(i−Δ2a)2\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2, et la différence de carrés se factorise comme d’habitude. ∎

Définition 28.14 (Racines de l’unité)

Pour n≥1n \geq 1, les racines nn-ièmes de l’unité sont les solutions de zn=1z^n = 1.

Théorème 28.15

L’équation zn=1z^n = 1 a exactement nn solutions :

ωk=e2ikπ/n,k=0,1,…,n−1.\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Leurs images sont les sommets d’un nn-gone régulier inscrit dans le cercle unité, et pour n≥2n \geq 2 leur somme vaut 00.

Démonstration. Chaque ωk\omega_k vérifie ωkn=e2ikπ=1\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1, et ils sont deux à deux distincts car leurs arguments sont dans [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. Réciproquement, si zn=1z^n = 1 alors ∣z∣n=1\abs z^n = 1, donc ∣z∣=1\abs z = 1 (réel positif) et z=eiθz = \eu^{\iu\theta} avec nθ≡0(mod2π)n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}, c’est-à-dire θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n} ; en réduisant kk modulo nn on retombe parmi les ωk\omega_k. Les sommets sont espacés de l’angle 2πn\frac{2\pi}{n} : un nn-gone régulier. Enfin, avec ω=ω1\omega = \omega_1, ω≠1\omega \neq 1 et la somme géométrique donne

∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=0.\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité ().
Les racines cinquièmes de l’unité, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5} : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité (Exercice 28.10).

Exemple 28.16

Les racines cubiques de l’unité sont 11, j=e2iπ/3=−12+i32j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2} et j‾=j2\conj j = j^2, vérifiant 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.

28.4 Nombres complexes et géométrie plane

Proposition 28.17 (Dictionnaire géométrique)

Soient A,B,C,DA, B, C, D des points d’affixes a,b,c,da, b, c, d (a≠ba \neq b, c≠dc \neq d).

  1. La translation de vecteur d’affixe tt est z↦z+tz \mapsto z + t.
  2. La rotation de centre ω\omega (affixe) et d’angle θ\theta est z↦ω+eiθ(z−ω)z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega).
  3. L’homothétie de centre ω\omega et de rapport k∈R∗k \in \R^* est z↦ω+k(z−ω)z \mapsto \omega + k(z - \omega).
  4. d−cb−a\dfrac{d - c}{b - a} a pour module CDAB\dfrac{CD}{AB} et pour argument l’angle entre les vecteurs AB→\vect{AB} et CD→\vect{CD}. En particulier, AB⊥CDAB \perp CD si et seulement si d−cb−a\frac{d-c}{b-a} est purement imaginaire, et A,B,CA, B, C sont alignés (C≠AC \ne A, C≠BC\ne B) si et seulement si c−ab−a∈R\frac{c-a}{b-a} \in \R.

Démonstration. (1) et (3) reformulent les formules en coordonnées. Pour (2), l’application w↦eiθww \mapsto \eu^{\iu\theta} w multiplie les modules par 11 et ajoute θ\theta aux arguments : c’est la rotation d’angle θ\theta autour de l’origine ; en conjuguant par la translation envoyant ω\omega en 00 on obtient le centre général. Pour (4), modules et arguments des quotients se soustraient (Théorème 28.9). ∎

28.5 Exercices

Exercice 28.1 ★

Écrire sous forme algébrique : (3−2i)(1+4i)(3 - 2\iu)(1 + 4\iu), 2+i1−i\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}, i2027\iu^{2027}.

Solution

Solution de Exercice 28.1.

(3−2i)(1+4i)=3+12i−2i−8i2=11+10i(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu.

2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu.

i2027\iu^{2027} : comme i4=1\iu^4 = 1 et 2027=4×506+32027 = 4 \times 506 + 3, i2027=i3=−i\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu.

Exercice 28.2 ★

Résoudre dans C\C : (a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0 ; (b) z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Vérifier dans chaque cas que les deux solutions sont conjuguées et calculer leur produit.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

(a) Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36 : z=4±6i2=2±3iz = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu. Paire conjuguée ; produit =4+9=13=ca= 4 + 9 = 13 = \frac ca. (b) Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3 : z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2} (les racines cubiques de l’unité jj et j‾\conj j) ; produit =1+34=1= \frac{1 + 3}{4} = 1.

Exercice 28.3 ★

Mettre sous forme exponentielle : z1=−1+iz_1 = -1 + \iu, z2=3−iz_2 = \sqrt3 - \iu, et calculer z1z2\dfrac{z_1}{z_2} sous forme exponentielle puis algébrique. En déduire la valeur exacte de cos⁡11π12\cos\dfrac{11\pi}{12}.

Solution

Solution de Exercice 28.3.

∣z1∣=2\abs{z_1} = \sqrt2, argument 3π4\frac{3\pi}{4} (deuxième quadrant) : z1=2 e3iπ/4z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}. ∣z2∣=2\abs{z_2} = 2, argument −π6-\frac\pi6 : z2=2 e−iπ/6z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}. D’où

z1z2=22 ei(3π4+π6)=22 e11iπ/12.\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

Algébriquement,

z1z2=−1+i3−i=(−1+i)(3+i)4=−3−1+i(3−1)4.\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

En identifiant les parties réelles : 22cos⁡11π12=−3−14\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}, donc

cos⁡11π12=−6+24.\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Exercice 28.4 ★★

Décrire géométriquement l’ensemble des points MM d’affixe zz tels que : (a) ∣z−2∣=∣z+i∣\abs{z - 2} = \abs{z + \iu} ; (b) ∣z−1−i∣=3\abs{z - 1 - \iu} = 3 ; (c) z−1z+1\dfrac{z - 1}{z + 1} est purement imaginaire.

Solution

Solution de Exercice 28.4.

(a) ∣z−2∣=∣z−(−i)∣\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)} signifie que MM est équidistant de A(2,0)A(2, 0) et B(0,−1)B(0, -1) : la médiatrice de [AB][AB].

(b) Distance 33 du point (1,1)(1,1) : le cercle de centre 1+i1 + \iu et de rayon 33.

(c) Par la Proposition 28.17(4), z−1z+1\frac{z-1}{z+1} purement imaginaire signifie que les vecteurs de A(1,0)A(1,0) vers MM et de B(−1,0)B(-1,0) vers MM sont orthogonaux : MM voit le segment [AB][AB] sous un angle droit. L’ensemble est le cercle de diamètre [AB][AB] (le cercle unité) privé des points AA et BB eux-mêmes.

Exercice 28.5 ★★

À l’aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme, exprimer cos⁡3θ\cos 3\theta comme polynôme en cos⁡θ\cos\theta, et sin⁡3θ\sin 3\theta en fonction de sin⁡θ\sin\theta.

Solution

Solution de Exercice 28.5.

Moivre : cos⁡3θ+isin⁡3θ=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3. En développant par la formule du binôme avec c=cos⁡θc = \cos\theta, s=sin⁡θs = \sin\theta :

(c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3).(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

En identifiant les parties et en utilisant s2=1−c2s^2 = 1 - c^2, c2=1−s2c^2 = 1 - s^2 :

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ,sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ.\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Exercice 28.6 ★★

(Linéarisation.) En utilisant cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, linéariser cos⁡3θ\cos^3\theta (l’écrire comme combinaison de cos⁡kθ\cos k\theta), et en déduire ∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta.

Solution

Solution de Exercice 28.6.

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2) ⁣3=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ8=cos⁡3θ+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

D’où

∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ=14[sin⁡3θ3+3sin⁡θ]0π/2=14(−13+3)=23.\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Cohérent avec W3=23W_3 = \frac23 dans l’Exercice 25.9, car ∫0π/2cos⁡3=∫0π/2sin⁡3\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3 par la symétrie θ↦π2−θ\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta.)

Exercice 28.7 ★★

Soient AA et BB d’affixes a=1+ia = 1 + \iu et b=3+2ib = 3 + 2\iu. Déterminer les deux points CC rendant le triangle ABCABC équilatéral, comme images de BB par les rotations de centre AA et d’angles ±π3\pm\frac{\pi}{3}.

Solution

Solution de Exercice 28.7.

c=a+e±iπ/3(b−a)c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a) avec b−a=2+ib - a = 2 + \iu et e±iπ/3=12±i32\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2} :

eiπ/3(2+i)=(12+i32)(2+i)=(1−32)+i(12+3),\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

donc c1=(2−32)+i(32+3)c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right), et de même avec l’angle −π3-\frac\pi3 : c2=(2+32)+i(32−3)c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right).

Exercice 28.8 ★★★

Résoudre z4=−4z^4 = -4 dans C\C et placer les solutions. Factoriser z4+4z^4 + 4 en deux polynômes du second degré à coefficients réels.

Solution

Solution de Exercice 28.8.

−4=4 eiπ-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}, donc les solutions de z4=−4z^4 = -4 sont

zk=2 ei(π4+kπ2),k=0,1,2,3,z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

c.-à-d. 1+i1 + \iu, −1+i-1 + \iu, −1−i-1 - \iu, 1−i1 - \iu : les sommets d’un carré de circonférence de rayon 2\sqrt 2. En groupant les racines conjuguées,

z4+4=(z−(1+i))(z−(1−i))(z+(1−i))(z+(1+i))=(z2−2z+2)(z2+2z+2).z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Exercice 28.9 ★★★

Pour θ∈(0, 2π)\theta \in \intoo{0}{2\pi} et n∈Nn \in \N, calculer

S=1+cos⁡θ+cos⁡2θ+⋯+cos⁡nθS = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

en sommant la progression géométrique ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta} et en prenant les parties réelles. (Réponse : S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2cos⁡nθ2S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}.)

Solution

Solution de Exercice 28.9.

Avec q=eiθ≠1q = \eu^{\iu\theta} \neq 1 :

∑k=0neikθ=ei(n+1)θ−1eiθ−1=ei(n+1)θ/2eiθ/2⋅ei(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2eiθ/2−e−iθ/2=einθ/2 sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2,\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

en utilisant eiα−e−iα=2isin⁡α\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha (le factorisation en demi-angle). En prenant les parties réelles :

S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2 cos⁡nθ2.S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Exercice 28.10 ★★★

Soit ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}.

  1. Justifier que 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. Soient u=ω+ω4u = \omega + \omega^4 et v=ω2+ω3v = \omega^2 + \omega^3. Montrer que u+v=−1u + v = -1 et uv=−1uv = -1, et en déduire que u=−1+52u = \frac{-1+\sqrt5}{2}.
  3. Conclure que cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
Solution

Solution de Exercice 28.10.

1. ω\omega est une racine 55-ième de l’unité différente de 11, donc la somme des cinq racines s’annule (Théorème 28.15), ce qui s’écrit 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.

2. u+v=ω+ω2+ω3+ω4=−1u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1 par le point 1. Pour le produit, en utilisant ω5=1\omega^5 = 1 :

uv=(ω+ω4)(ω2+ω3)=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1.uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Donc u,vu, v sont les racines de X2+X−1=0X^2 + X - 1 = 0 : {−1+52,−1−52}\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}. Or u=ω+ω‾=2cos⁡2π5>0u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0 (car 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}), donc u=−1+52u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}.

3. cos⁡2π5=u2=5−14\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

28.6 Problème : le pentagone dans le miroir de l’unité

Problème 28.1

Devoir du week-end — les racines cinquièmes de l’unité calculent cos⁡72∘\cos 72^\circ exactement, le nombre d’or signe le résultat, et la multiplication se révèle être une rotation

Euclide savait construire le pentagone régulier, mais la raison pour laquelle il cède à la règle et au compas — alors que l’humble angle de 20∘20^\circ y résiste — est restée cachée deux mille ans. Elle se cache dans ce chapitre : les cinq racines cinquièmes de l’unité (Théorème 28.15) ont une somme nulle, et cette seule ligne d’algèbre extrait cos⁡72∘\cos 72^\circ d’une équation du second degré — des racines carrées seulement, donc constructible, et signé, bien entendu, par le nombre d’or. Autour de ce joyau : de l’aisance, le raccourci de Moivre vers la trigonométrie, et la multiplication démasquée en géométrie.

Partie I — Aisance.

  1. Calculer (2+i)(3−i)(2 + \iu)(3 - \iu), 1+i1−i\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu} (Méthode 28.5) et ∣3+4i∣\abs{3 + 4\iu}.
  2. Mettre sous forme exponentielle : 1+i1 + \iu ; −2-2 ; 1−i31 - \iu\sqrt3.
  3. Calculer (1+i)8(1 + \iu)^8 à l’aide de la forme exponentielle.
  4. Résoudre z2=iz^2 = \iu, puis z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 (Théorème 28.13).
  5. Dictionnaire géométrique (Proposition 28.17) : décrire l’application z↦izz \mapsto \iu z, ainsi que l’ensemble ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2.

Partie II — Cinq racines, un pentagone. Posons ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5} et considérons 1,ω,ω2,ω3,ω41, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4.

  1. Vérifier que ce sont exactement les solutions de z5=1z^5 = 1, et décrire la figure qu’elles dessinent dans le plan.
  2. Démontrer que leur somme est nulle. (Suite géométrique — ou bien multiplier la somme par 1−ω1 - \omega.)

  3. Prendre les parties réelles et en déduire

    1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=0.1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .

  4. Poser c=cos⁡2π5c = \cos\frac{2\pi}{5} et utiliser la formule de duplication pour cos⁡4π5\cos\frac{4\pi}{5} afin de convertir la question 8 en une équation du second degré en cc ; la résoudre et conclure

    cos⁡72∘=5−14.\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .
  5. Vérifier numériquement, puis laisser le nombre d’or signer son œuvre : montrer que c=12φc = \frac{1}{2\varphi}, où φ=1+52\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} (Problème 2.1) — et énoncer le célèbre écho géométrique : dans un pentagone régulier, la diagonale vaut φ\varphi fois le côté.

Partie III — Les raccourcis de Moivre.

  1. Le verdict de constructibilité : cos⁡72∘\cos 72^\circ ne réclame que des racines carrées (question 9), donc le pentagone est constructible à la règle et au compas ; cos⁡20∘\cos 20^\circ vérifie une équation du troisième degré irréductible (Problème 24.1), donc l’angle de 60∘60^\circ ne peut être trisecté. Énoncer le critère qui se dessine (les racines carrées se construisent, les racines cubiques non), dont la théorie complète — Gauss, à dix-neuf ans, et le polygone à 17 côtés — réside dans les volumes universitaires.
  2. Résoudre z4=−4z^4 = -4 par la forme exponentielle et retrouver la factorisation de l’Exercice 28.8, z4+4=(z2−2z+2)(z2+2z+2)z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2), en appariant les racines conjuguées.
  3. Développer (cos⁡θ+isin⁡θ)3(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 par la formule du binôme et par la formule de Moivre, et retrouver cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta en trois lignes — comparer avec la voie des formules d’addition du Problème 24.1.
  4. Recouper avec l’Exercice 28.9 : pour θ=2π5\theta = \frac{2\pi}{5} et n=4n = 4, que vaut la somme 1+cos⁡θ+⋯+cos⁡4θ1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta, et pourquoi est-ce cohérent avec la question 8 ?
  5. Calculer les trois racines cubiques de 8i8\iu sous forme algébrique.

Partie IV — La multiplication est une géométrie.

  1. Décrire complètement l’application z↦(1+i)zz \mapsto (1 + \iu)z : de quel angle fait-elle tourner, de quel facteur dilate-t-elle, et que devient le carré unité ?
  2. Démontrer ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2} à l’aide des conjugués (Proposition 28.7), puis calculer (1+i)n(1+\iu)^n pour n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 et décrire la spirale que tracent les puissances.
  3. Le nombre j=e2iπ/3\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3} : montrer que 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0, et vérifier sur le triangle (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right) le critère classique : a+jb+j2c=0a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0 caractérise (pour une orientation) un triangle équilatéral abcabc.
  4. Le théorème fondamental de l’algèbre (admis : d’Alembert–Gauss) : tout polynôme se factorise complètement sur C\C. En déduire le corollaire pour le monde réel — tout polynôme réel se factorise en facteurs réels du premier et du second degré — et citer la question 12 comme exemple.
  5. Pour finir — le portrait de C\C, une phrase pour chacune : les nombres deviennent des points ; la multiplication devient rotation et dilatation ; les racines de l’unité deviennent des polygones réguliers ; Moivre transforme les puissances en identités trigonométriques ; et la clôture algébrique garantit qu’aucune équation n’aura jamais besoin d’un monde plus vaste. Coda : quels deux nombres célèbres se sont rencontrés à la question 10 ?
Solution

Solution de Problème 28.1.

1. (2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu. 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu. ∣3+4i∣=5\abs{3 + 4\iu} = 5.

2. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4} ; −2=2eiπ-2 = 2\eu^{\iu\pi} ; 1−i3=2e−iπ/31 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}.

3. (1+i)8=(2)8e8iπ/4=16 e2iπ=16(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16.

4. z2=eiπ/2z^2 = \eu^{\iu\pi/2} : z=±eiπ/4=±22(1+i)z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu). Et Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16 : z=1±2iz = 1 \pm 2\iu.

5. z↦izz \mapsto \iu z : la rotation d’un quart de tour autour de l’origine. ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2 : le cercle de centre 1+i1 + \iu et de rayon 22.

6. (ωk)5=e2iπk=1\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1, et les cinq points e2ikπ/5\eu^{2\iu k\pi/5} sont distincts : ce sont les cinq solutions de z5=1z^5 = 1. Elles se placent sur le cercle unité à des angles égaux de 72∘72^\circ : un pentagone régulier ayant un sommet en 11.

7. S=1+ω+⋯+ω4S = 1 + \omega + \dots + \omega^4 vérifie (1−ω)S=1−ω5=0(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0, et ω≠1\omega \neq 1, donc S=0S = 0. (Le point d’équilibre du pentagone est son centre.)

8. ω4=ω‾\omega^4 = \overline\omega et ω3=ω2‾\omega^3 = \overline{\omega^2} : en appariant les conjugués, la partie réelle de la somme s’écrit 1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=01 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0.

9. cos⁡4π5=2c2−1\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1, donc 1+2c+4c2−2=01 + 2c + 4c^2 - 2 = 0, c’est-à-dire 4c2+2c−1=04c^2 + 2c - 1 = 0 : c=−1+54c = \frac{-1 + \sqrt5}{4} (la racine positive, puisque 72∘72^\circ est aigu) : cos⁡72∘=5−14\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

10. Numériquement c≈0.30902c \approx 0.30902 : cela correspond à la calculatrice. Et 12φ=11+5=5−14\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4} (après rationalisation) : donc c=12φc = \frac{1}{2\varphi}. Le pentagone est doré de part en part : sa diagonale coupe son côté dans le rapport φ\varphi — l’autosimilitude sans fin du pentagramme.

11. Les racines carrées se construisent au compas (la machine du demi-cercle et de la moyenne géométrique du volume précédent), si bien qu’un nombre bâti à partir des rationnels par des racines carrées seulement — comme cos⁡72∘\cos 72^\circ — est constructible ; les racines cubiques ne le sont pas, et cos⁡20∘\cos 20^\circ en réclame une : le pentagone cède, la trisection résiste. Le critère de Gauss règle le sort de tout polygone régulier — son polygone à 17 côtés, à dix-neuf ans, lui a fait choisir les mathématiques.

12. −4=4eiπ-4 = 4\eu^{\iu\pi} : les racines quatrièmes ont pour module 2\sqrt2 et pour arguments π4+kπ2\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} : ce sont les quatre nombres ±1±i\pm 1 \pm \iu. En appariant les conjugués : (z−1−i)(z−1+i)=z2−2z+2(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2 et (z+1−i)(z+1+i)=z2+2z+2(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2 : c’est la factorisation de l’Exercice 28.8.

13. (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta ; par la formule de Moivre, cela vaut cos⁡3θ+isin⁡3θ\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta. Parties réelles : cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ(1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta — et les parties imaginaires livrent sin⁡3θ\sin 3\theta par-dessus le marché.

14. C’est la partie réelle de 1+ω+⋯+ω4=01 + \omega + \dots + \omega^4 = 0 : la somme vaut 00 — exactement la question 8, vue à travers le noyau de l’Exercice 28.9.

15. 8i=8eiπ/28\iu = 8\eu^{\iu\pi/2} : racines 2eiπ/6=3+i2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu ; 2e5iπ/6=−3+i2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu ; 2e3iπ/2=−2i2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu.

16. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4} : l’application fait tourner le plan de 45∘45^\circ et le dilate d’un facteur 2\sqrt2. Le carré unité devient un carré incliné de côté 2\sqrt2 — d’aire doublée et pivoté d’un huitième de tour.

17. ∣z1z2∣2=z1z2z1z2‾=z1z1‾ z2z2‾=∣z1∣2∣z2∣2\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2 ; il ne reste qu’à prendre les racines carrées. Puissances de 1+i1 + \iu : 1+i1 + \iu, 2i2\iu, −2+2i-2 + 2\iu, −4-4 : chacune tournée de 45∘45^\circ de plus et allongée d’un facteur 2\sqrt2 — une spirale sortante de modules 2,2,22,4,…\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots

18. j\mathrm{j} est une racine cubique de l’unité distincte de 11, donc (l’argument de la question 7 avec n=3n = 3) 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0. Critère sur le triangle de référence : a+jb+j2c=1+j⋅j+j2⋅j2=1+j2+j4=1+j2+j=0a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0 : il est vérifié, comme l’exige le triangle équilatéral (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right).

19. Sur C\C, un polynôme réel se scinde en facteurs du premier degré ; ses racines non réelles vont par paires conjuguées (conjuguer l’équation), et chaque paire se multiplie en un trinôme réel z2−2Re⁡(z0) z+∣z0∣2z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2 : d’où la factorisation réelle en morceaux de degré 11 et de degré 22 — la question 12 l’a réalisée sur z4+4z^4 + 4.

20. Des points ; rotation et dilatation ; des polygones réguliers ; des identités trigonométriques par développement ; et un monde clos où toute équation de degré nn possède ses nn racines. Coda : à la question 10, le pentagone de π\pi a serré la main du nombre d’or — les deux hôtes les plus célèbres d’Euclide, enfin présentés l’un à l’autre par une somme de cinq flèches égale à zéro.

Termes définis dans ce chapitre

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