什么是 क्षेत्रफल？

उदाहरण 43.7 (जोड़-तोड़ वाली आकृतियाँ)

L-आकार का कमरा $6$ m $\times$ $4$ m का आयत है जिसमें से $2$ m $\times$ $2$ m का वर्गाकार कोना हटा दिया गया है। उसका क्षेत्रफल, कदम-दर-कदम:

1. पूरा आयत: $6 \times 4 = 24$ m$^2$;
2. हटाया गया वर्ग: $2 \times 2 = 4$ m$^2$;
3. बचा क्षेत्रफल: $24 - 4 = 20$ m$^2$।

उसका परिमाप $20$ किसी चीज़ का नहीं है: L के चारों ओर चलने पर सीमा फिर भी $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m नापती है — कोने की दोनों कटाइयाँ दीवार के दो बराबर टुकड़ों की जगह ले लेती हैं। संख्या संयोग से वही है, पर एक के लिए वर्ग मीटर और दूसरे के लिए मीटर!

उदाहरण 19.22 (दो अलग ग्राफ़, एक ही क्षेत्रफल)

इकाई चक्रिका के ऊपर कटोरे $z = \frac12(x^2 + y^2)$ और काठी $z = xy$ की तुलना कीजिए। उनके क्षेत्रफल-समाकल्य (अभ्यास 19.5) हैं

अर्थात् एक ही। दोनों पृष्ठ — एक हर दिशा में एक ही ओर मुड़ता हुआ, दूसरा काठी के आकार का — हर प्रांत पर ठीक बराबर क्षेत्रफल रखते हैं, इकाई चक्रिका के ऊपर $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$। क्षेत्रफल-अवयव केवल प्रवणक की लंबाई देखता है, मुड़ाव की व्यवस्था नहीं; कटोरे को काठी से अलग पहचानने के लिए द्वितीय-कोटि आँकड़े चाहिए (आकृति 19.1 में दिखाई चिह्न-संरचना), जिन्हें कितना भी क्षेत्रफल-मापन नहीं पकड़ पाता। प्रथम आधारभूत रूप: दूरिक, आकार के प्रति अंधा; आकार देखने वाला द्वितीय रूप तृतीय वर्ष का है।

उदाहरण 19.23 (गोले का क्षेत्रफल)

उदाहरण 19.2 के गोलीय चार्ट के लिए:

अतः $E = R^2\cos^2\varphi$, $F = 0$, $G = R^2$ और $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$। इसलिए

उदाहरण 19.24 (शंकु, स्कूली सूत्र के सामने जाँचा गया)

वलय $a \leq \rho \leq b$ के ऊपर शंकु $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ के लिए अभ्यास 19.5 का ग्राफ़-सूत्र $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ देता है (परिकलित कीजिए $f_x = x/\rho$, $f_y = y/\rho$), अतः

तिर्यक-ऊँचाई सूत्र $\pi\rho\ell$ (उदाहरण 19.26 का) के सामने संगति-जाँच: आधार त्रिज्या $b$ तथा $a$ वाले पूरे शंकुओं के पार्श्व क्षेत्रफल $\pi b\cdot b\sqrt2$ तथा $\pi a\cdot a\sqrt2$ हैं, जिनका अंतर ठीक $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ है। दो चार्ट, दो सूत्र, एक ही क्षेत्रफल — अभ्यास 19.8 में सिद्ध अपरिवर्त्यता, खुले में देखी हुई।