उच्च माध्यमिक गणित · Cursos 10–12

32सप्रतिबंध प्रायिकता और स्वतंत्रता

प्रायिकता अनिश्चितता को संख्या में बताती है; सप्रतिबंध प्रायिकता बताती है कि सूचना उसे कितना बदल देती है। यह जान लेना कि घटना $B$ घटित हुई, बाक़ी सभी घटनाओं की प्रायिकताएँ नए सिरे से गढ़ देता है — यही तंत्र बेज़ ने औपचारिक किया और यही अदालतों तथा अख़बारों में रोज़ ग़लत काम में लाया जाता है। यह अध्याय प्रतिबंधन के नियम और स्वतंत्रता का ठीक-ठीक अर्थ तैयार करता है।

32.1 प्रायिकता समष्टि (पुनरावलोकन)

परिमित परिणामों वाले प्रयोग का प्रतिरूप एक प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ (परिणामों का समुच्चय) और एक प्रायिकता $\P$ से बनता है, जो हर घटना $A \subseteq \Omega$ को एक संख्या $\P(A) \in \intcc{0}{1}$ देती है, असंयुक्त सम्मिलनों पर योज्य है, और जिसमें $\P(\Omega) = 1$ है। बुनियादी नियम याद कीजिए:

\P(\bar A) = 1 - \P(A), \qquad \P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B).

जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, तब $\P(A) = \frac{\abs A}{\abs\Omega}$ — और प्रायिकताएँ निकालना अध्याय 27 की गणना-तकनीकों पर आ जाता है।

32.2 सप्रतिबंध प्रायिकता

परिभाषा 32.1 (सप्रतिबंध प्रायिकता)

मान लीजिए $B$ ऐसी घटना है जिसके लिए $\P(B) > 0$ है। $B$ दिए होने पर $A$ की प्रायिकता है

\pcond{B}{A} = \frac{\P(A \cap B)}{\P(B)} .

प्रतिचित्रण $A \mapsto \pcond BA$ स्वयं एक प्रायिकता है (सभी नियम लागू होते हैं); वह उस व्यक्ति के ज्ञान की नई अवस्था दर्शाता है जिसे पता चल गया है कि $B$ घटित हुई।

प्रतिज्ञप्ति 32.2 (गुणन का नियम)

शून्येतर प्रायिकताओं वाली घटनाओं के लिए:

\P(A \cap B) = \P(B)\,\pcond{B}{A} = \P(A)\,\pcond{A}{B},

और अधिक सामान्य रूप से $\P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \P(A_1)\,\pcond{A_1}{A_2}\, \pcond{A_1 \cap A_2}{A_3}$ , इत्यादि।

उपपत्ति. परिभाषा को फिर से सजाइए; शृंखला-सूत्र दोहराने से निकल आता है। ∎

प्रमेय 32.3 (कुल प्रायिकता का नियम)

मान लीजिए $B_1, \dots, B_n$ $\Omega$ का शून्येतर प्रायिकता वाली घटनाओं में विभाजन है। तब हर घटना $A$ के लिए:

\P(A) = \sum_{i=1}^{n} \P(B_i)\,\pcond{B_i}{A}.

उपपत्ति. समुच्चय $A \cap B_i$ जोड़े-जोड़े असंयुक्त हैं और उनका सम्मिलन $A$ है, इसलिए गुणन के नियम से $\P(A) = \sum_i \P(A \cap B_i) = \sum_i \P(B_i)\pcond{B_i}{A}$ । ∎

विधि 32.4 (प्रायिकता वृक्ष)

वृक्ष आरेख सप्रतिबंध प्रायिकताओं को व्यवस्थित कर देता है: हर शाखा अब तक के पथ को दिए होने पर अगली घटना की प्रायिकता उठाए रहती है।

किसी पत्ते (पूरे पथ) की प्रायिकता उसकी शाखाओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है (गुणन का नियम)।
किसी घटना की प्रायिकता उसे साकार करने वाले पत्तों की प्रायिकताओं का योग है (कुल प्रायिकता)।
किसी एक गाँठ से निकलने वाली शाखाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।

दो-स्तरीय वृक्ष: पथ के अनुदिश गुणा कीजिए, और पत्तों पर जोड़िए। जैसे (A) पहले और तीसरे पत्ते की प्रायिकताओं का योग है। — दो-स्तरीय वृक्ष: पथ के अनुदिश गुणा कीजिए, और पत्तों पर जोड़िए। जैसे $\P(A)$ पहले और तीसरे पत्ते की प्रायिकताओं का योग है।

प्रमेय 32.5 (बेज़ का सूत्र)

मान लीजिए $B_1, \dots, B_n$ ऊपर की तरह $\Omega$ का विभाजन है और $A$ ऐसी घटना है जिसके लिए $\P(A) > 0$ है। तब

\pcond{A}{B_j} = \frac{\P(B_j)\,\pcond{B_j}{A}}{\sum_{i=1}^{n} \P(B_i)\,\pcond{B_i}{A}} .

उपपत्ति. $\pcond{A}{B_j} = \frac{\P(A \cap B_j)}{\P(A)}$ ; अंश का प्रसार गुणन के नियम से और हर का कुल प्रायिकता से कीजिए। ∎

उदाहरण 32.6 (छानबीन परीक्षण)

कोई रोग समष्टि के $1\%$ को प्रभावित करता है। परीक्षण उसे प्रायिकता $0.99$ से पकड़ लेता है (सुग्राहिता) और प्रायिकता $0.05$ से मिथ्या धनात्मक देता है। धनात्मक परीक्षण मिलने पर सचमुच रोग होने की प्रायिकता है

\frac{0.01 \times 0.99}{0.01\times0.99 + 0.99\times0.05} = \frac{0.0099}{0.0099 + 0.0495} = \frac{1}{6} \approx 0.17 .

इतने यथार्थ परीक्षण के बावजूद छह में से पाँच धनात्मक मिथ्या हैं — क्योंकि रोग विरला है। $\pcond{A}{B}$ को $\pcond{B}{A}$ समझ लेना ही अभियोजक की भ्रांति है।

छानबीन परीक्षण वृक्ष के रूप में (D: रोगग्रस्त, T: धनात्मक परीक्षण)। दोनों धनात्मक पत्तों (लाल) का कुल भार 0.0594 है, जिसमें मिथ्या धनात्मक पाँच-छठाई का योगदान करते हैं। — छानबीन परीक्षण वृक्ष के रूप में ( $D$ : रोगग्रस्त, $T$ : धनात्मक परीक्षण)। दोनों धनात्मक पत्तों (लाल) का कुल भार $0.0594$ है, जिसमें मिथ्या धनात्मक पाँच-छठाई का योगदान करते हैं।

32.3 स्वतंत्रता

परिभाषा 32.7 (स्वतंत्र घटनाएँ)

दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं यदि

\P(A \cap B) = \P(A)\,\P(B) .

$\P(B) > 0$ होने पर यह $\pcond{B}{A} = \P(A)$ के तुल्य है: $B$ जान लेने से $A$ की प्रायिकता नहीं बदलती।

प्रतिज्ञप्ति 32.8

यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हों, तो $A$ और $\bar B$ भी स्वतंत्र हैं (और $\bar A$ तथा $\bar B$ भी)।

उपपत्ति. $\P(A \cap \bar B) = \P(A) - \P(A \cap B) = \P(A) - \P(A)\P(B) = \P(A)\bigl(1 - \P(B)\bigr) = \P(A)\,\P(\bar B)$ । ∎

टिप्पणी 32.9

स्वतंत्र ( $\P(A\cap B) = \P(A)\P(B)$ ) को असंगत ( $A \cap B = \varnothing$ ) समझने की भूल मत कीजिए। शून्येतर प्रायिकता वाली दो असंगत घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं: एक के घटित होने का पता चलना दूसरी के न घटित होने की गारंटी दे देता है।

परिभाषा 32.10 (स्वतंत्र पुनरावृत्तियाँ)

जब कोई प्रयोग $n$ बार इस तरह दोहराया जाए कि हर परीक्षण का परिणाम दूसरों को प्रभावित न करे, तब परिणामों के किसी नियत क्रम की प्रायिकता अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणनफल होती है। यही प्रतिरूप द्विपद बंटन (अध्याय 33) के नीचे है।

32.4 अभ्यास

अभ्यास 32.1 ★

ताश के 52 पत्तों की मानक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यह प्रायिकता निकालिए कि वह बादशाह है, यह दिए होने पर कि वह तस्वीर का पत्ता है (ग़ुलाम, बेगम या बादशाह)। क्या घटनाएँ “बादशाह” और “पान” स्वतंत्र हैं?

हल

हल — अभ्यास 32.1.

तस्वीर के $12$ पत्ते हैं, जिनमें $4$ बादशाह हैं: $\pcond{\text{तस्वीर का पत्ता}}{\text{बादशाह}} = \frac{4}{12} = \frac13$ ।

स्वतंत्रता: $\P(\text{बादशाह} \cap \text{पान}) = \frac{1}{52}$ (पान का बादशाह), और $\P(\text{बादशाह})\,\P(\text{पान}) = \frac{4}{52}\times\frac{13}{52} = \frac{1}{52}$ । बराबर: घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

अभ्यास 32.2 ★

किसी कलश में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें एक के बाद एक बिना वापसी के निकाली जाती हैं।

प्रायिकता वृक्ष खींचिए।
यह प्रायिकता निकालिए कि दोनों लाल हैं, और यह भी कि दूसरी लाल है।

हल

हल — अभ्यास 32.2.

1. पहली शाखा: लाल $\frac58$ , नीली $\frac38$ ; दूसरी शाखाएँ (बिना वापसी): लाल के बाद लाल $\frac47$ / नीली $\frac37$ ; नीली के बाद लाल $\frac57$ / नीली $\frac27$ ।

2. $\P(RR) = \frac58 \times \frac47 = \frac{5}{14}$ . कुल प्रायिकता से

\P(\text{दूसरी लाल}) = \frac58\cdot\frac47 + \frac38\cdot\frac57 = \frac{20 + 15}{56} = \frac58 .

(पहली बार जैसा ही — सममिति से दूसरी गेंद कलश की कोई एकसमान यादृच्छिक गेंद ही है।)

अभ्यास 32.3 ★

दो न्यायसंगत पासे फेंके जाते हैं। मान लीजिए $A$ = “योग $7$ है”, $B$ = “पहला पासा $3$ दिखाता है”, $C$ = “योग $6$ है”। बताइए कि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं या नहीं, फिर यह कि $B$ और $C$ स्वतंत्र हैं या नहीं।

हल

हल — अभ्यास 32.3.

$\P(A) = \frac{6}{36} = \frac16$ (छह युग्मों का योग $7$ है), $\P(B) = \frac16$ , और $A \cap B = \{(3,4)\}$ की प्रायिकता $\frac{1}{36} = \P(A)\P(B)$ है: $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं। (योग $7$ ख़ास है: पहला पासा चाहे जो हो, दूसरे का ठीक एक मान वही योग देता है।)

$\P(C) = \frac{5}{36}$ और $B \cap C = \{(3,3)\}$ : $\P(B \cap C) = \frac{1}{36} \neq \frac16 \times \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$ । स्वतंत्र नहीं।

अभ्यास 32.4 ★★

किसी कारख़ाने में तीन मशीनें क्रमशः कुल उत्पादन का $50\%$ , $30\%$ और $20\%$ बनाती हैं, और उनकी दोष-दरें $1\%$ , $2\%$ तथा $4\%$ हैं।

उत्पादन का कितना अनुपात दोषपूर्ण है?
यादृच्छिक रूप से चुनी गई कोई वस्तु दोषपूर्ण है। उसके तीसरी मशीन से आने की प्रायिकता क्या है?

हल

हल — अभ्यास 32.4.

1. मशीन के अनुसार विभाजन के साथ कुल प्रायिकता:

\P(D) = 0.5\times0.01 + 0.3\times0.02 + 0.2\times0.04 = 0.005 + 0.006 + 0.008 = 0.019 = 1.9\% .

2. बेज़: $\pcond{D}{M_3} = \dfrac{0.008}{0.019} = \dfrac{8}{19} \approx 0.42$ . कुल उत्पादन का केवल पाँचवाँ हिस्सा बनाने वाली मशीन दोषों के $40\%$ से अधिक के लिए ज़िम्मेदार है।

अभ्यास 32.5 ★★

उदाहरण 32.6 में $1\%$ के बजाय रोग की किस व्यापकता $p$ पर धनात्मक परीक्षण का अर्थ रोग की कम से कम $90\%$ संभावना होगा? असमिका हल कीजिए और टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 32.5.

शर्त है

\frac{0.99\,p}{0.99\,p + 0.05\,(1-p)} \geq 0.9 .

हर धनात्मक है, इसलिए यह $0.99p \geq 0.891p + 0.045 - 0.045p$ बन जाती है, अर्थात् $0.144\,p \geq 0.045$ , अर्थात्

p \geq \frac{0.045}{0.144} = 0.3125 .

अकेला परीक्षण $90\%$ की निश्चितता तभी देता है जब रोग परीक्षित समष्टि के $31\%$ से अधिक को पहले से हो — और इसीलिए विरले रोगों की व्यापक छानबीन में पुष्टिकारक परीक्षण अनिवार्य हैं।

अभ्यास 32.6 ★★

कोई पक्षपाती सिक्का प्रायिकता $p \in \intoo{0}{1}$ से चित देता है। उसे तीन बार उछाला जाता है, और उछाल स्वतंत्र हैं।

घटना $E$ = “ठीक दो चित” की प्रायिकता निकालिए।
$p$ के किस मान के लिए $\P(E)$ अधिकतम है?

हल

हल — अभ्यास 32.6.

1. $E$ को तीन क्रम साकार करते हैं (HHT, HTH, THH), और स्वतंत्रता से हर एक की प्रायिकता $p^2(1-p)$ है: $\P(E) = 3p^2(1 - p)$ ।

2. $f(p) = 3p^2 - 3p^3$ का $f'(p) = 6p - 9p^2 = 3p(2 - 3p)$ है, जो $\intoo{0}{1}$ पर पहले धनात्मक और फिर ऋणात्मक है: अधिकतम $p = \frac23$ पर, जहाँ $\P(E) = 3\cdot\frac49\cdot\frac13 = \frac49$ ।

अभ्यास 32.7 ★★★

(मॉन्टी हॉल.) तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे पुरस्कार छिपा है। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं; संचालक, जो जानता है कि पुरस्कार कहाँ है, बचे हुए दो दरवाज़ों में से एक खोलता है और हमेशा ख़ाली दरवाज़ा दिखाता है (यदि दोनों ख़ाली हों तो यादृच्छिक रूप से चुनकर), और आपको दूसरे बंद दरवाज़े पर बदल जाने का अवसर देता है। बेज़ के सूत्र से बदलने पर और न बदलने पर जीतने की प्रायिकता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 32.7.

मान लीजिए आपने दरवाज़ा 1 चुना और संचालक ने दरवाज़ा 3 खोला (घटना $H_3$ )। $B_i$ = “पुरस्कार दरवाज़े $i$ के पीछे” के साथ $\P(B_i) = \frac13$ और

\pcond{B_1}{H_3} = \frac12, \qquad \pcond{B_2}{H_3} = 1, \qquad \pcond{B_3}{H_3} = 0

(यदि पुरस्कार आपके ही दरवाज़े के पीछे हो तो संचालक 2 और 3 में से यादृच्छिक चुनाव करता है; और यदि वह दरवाज़े 2 के पीछे हो तो उसे 3 खोलना ही पड़ता है)। बेज़:

\pcond{H_3}{B_1} = \frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac13\cdot\frac12 + \frac13\cdot1 + 0} = \frac{1/6}{1/2} = \frac13, \qquad \pcond{H_3}{B_2} = \frac{\frac13}{\frac12} = \frac23 .

टिके रहने पर प्रायिकता $\frac13$ से जीत होती है और बदलने पर $\frac23$ से।

अभ्यास 32.8 ★★★

कोई सूचना-माध्यम बिट भेजता है। हर बिट स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $\varepsilon = 0.1$ से शोर के कारण पलट जाता है। किसी बिट की रक्षा के लिए उसे तीन बार भेजा जाता है और बहुमत से गूढ़वाचन किया जाता है।

गूढ़वाचित बिट के ग़लत होने की प्रायिकता निकालिए।
प्राप्त शब्द $101$ है। भेजे गए बिट के $1$ होने की प्रायिकता क्या है? (मान लीजिए $0$ और $1$ बराबर प्रायिकता से भेजे जाते हैं।)

हल

हल — अभ्यास 32.8.

1. बहुमत तब ग़लत होता है जब तीनों प्रतियों में से कम से कम दो पलट जाएँ:

3\varepsilon^2(1-\varepsilon) + \varepsilon^3 = 3(0.01)(0.9) + 0.001 = 0.028,

जो $\varepsilon = 0.1$ से कहीं छोटा है: पुनरावृत्ति वाला कूट काम करता है।

2. यदि $1$ भेजा गया हो ( $111$ के रूप में), तो $101$ पाने के लिए ठीक एक पलटाव चाहिए: प्रायिकता $\varepsilon(1-\varepsilon)^2 = 0.081$ । और यदि $0$ भेजा गया हो ( $000$ ), तो दो पलटाव चाहिए: $\varepsilon^2(1-\varepsilon) = 0.009$ । बराबर पूर्व प्रायिकताओं के साथ बेज़:

\pcond{101}{\,1 \text{ भेजा गया}} = \frac{0.081}{0.081 + 0.009} = 0.9 .

बहुमत वाला गूढ़वाचन ( $101 \mapsto 1$ ) सचमुच अधिक संभावित अनुमान है।

32.5 समस्या: चिकित्सक, न्यायाधीश और स्पैम छन्नी

समस्या 32.1

सप्ताहांत समस्या — आधार-दर की भ्रांति के विरुद्ध बेज़ का सूत्र: $99\,\%$ का परीक्षण $2\,\%$ का अर्थ क्यों रख सकता है, दस लाख में एक का मेल किसी को दोषी क्यों नहीं ठहराता, और आपका डाकख़ाना कैसे सोचता है

$99\,\%$ स्थितियों को पकड़ लेने वाला कोई परीक्षण धनात्मक आता है — और रोग की सच्ची प्रायिकता $2\,\%$ से भी नीचे रहती है। दस लाख में एक व्यक्ति से मेल खाने वाला DNA चित्र मिलता है — और संदिग्ध फिर भी संभवतः निर्दोष है। दोनों कथन सही हैं, दोनों पर चिकित्सक और अदालतें ग़लत निर्णय दे चुकी हैं, और दोनों इस अध्याय की एक ही पंक्ति से सुलझ जाते हैं: बेज़ का सूत्र (प्रमेय 32.5)। यह समस्या पहले कलशों पर उसका अभ्यास कराती है, फिर चिकित्सालय, अदालत और डाकख़ाने में।

भाग I — प्रवाह।

एक न्यायसंगत सिक्का कलश I ( $2$ लाल, $1$ नीली) या कलश II ( $1$ लाल, $3$ नीली) चुनता है, और फिर एक गेंद निकाली जाती है। कुल प्रायिकता के नियम (प्रमेय 32.3) से $\P(\text{लाल})$ निकालिए।
गेंद लाल है: $\P(\text{कलश I} \mid \text{लाल})$ निकालिए।
पासे का एक फेंक: क्या घटनाएँ “सम” और “ $\leq 4$ ” स्वतंत्र हैं (परिभाषा 32.7)? और “सम” तथा “ $\leq 3$ ”?
आग लगने पर दो स्वतंत्र धुआँ-चेतावनी यंत्र प्रत्येक प्रायिकता $0.9$ से बजते हैं। प्रतिज्ञप्ति 32.8 का उपयोग करके कम से कम एक के बजने की प्रायिकता निकालिए।
बिना वापसी के दो पत्ते: गुणन के नियम (प्रतिज्ञप्ति 32.2) से $\P(\text{दो बादशाह})$ निकालिए।

भाग II — चिकित्सक। कोई रोग $1\,000$ में $1$ व्यक्ति को होता है। परीक्षण रोगियों का $99\,\%$ पकड़ लेता है (सुग्राहिता) पर स्वस्थ लोगों के $5\,\%$ पर भी बज जाता है (मिथ्या धनात्मक)।

स्वाभाविक बारंबारताएँ: $100\,000$ लोगों की कल्पना कीजिए। कितने रोगग्रस्त हैं, कितने स्वस्थ? हर समूह कितने धनात्मक देता है, और कुल कितने धनात्मक?
गिनतियों से $\P(\text{बीमार} \mid \text{धनात्मक})$ निकालिए। धक्का पचा लीजिए।
उसे बेज़ के सूत्र से फिर निकालिए और मेल जाँचिए।
सर्वेक्षणों में अधिकांश चिकित्सक “लगभग $99\,\%$ ” उत्तर देते हैं। बताइए कि कौन-सी दो सप्रतिबंध प्रायिकताएँ गड्डमड्ड की जा रही हैं, और समझाइए कि नन्ही-सी आधार-दर सच्चे उत्तर को कैसे चलाती है।
एक दूसरा, स्वतंत्र परीक्षण भी धनात्मक आता है। नवीनीकरण कीजिए: $1.9\,\%$ को नई पूर्व प्रायिकता मानकर $\P(\text{बीमार} \mid \text{दो धनात्मक})$ निकालिए। प्रमाणों का संचय क्या कर रहा है?
यदि वही परीक्षण केवल $5\,\%$ व्यापकता वाले उच्च-जोखिम समूह पर काम में लाया जाए, तो $\P(\text{बीमार} \mid \text{धनात्मक})$ निकालिए। विरले रोगों की व्यापक छानबीन के बारे में जन-स्वास्थ्य वाली सीख निकालिए।

भाग III — न्यायाधीश।

अपराध-स्थल के किसी DNA चित्र से दस लाख में एक व्यक्ति का मेल खाता है। नगर के $10$ लाख निवासियों के आँकड़े-कोश में खोजकर मिला संदिग्ध मेल खा जाता है। नगर में निर्दोष मेलों की प्रत्याशित संख्या कितनी है? केवल मेल दिए होने पर $\P(\text{निर्दोष} \mid \text{मेल})$ मोटे तौर पर क्या है?
भ्रांति का नाम बताइए — अभियोजक ने कौन-सी प्रायिकता उद्धृत की, और अदालत को किसकी आवश्यकता थी? — और प्रश्न 9 से उसकी ठीक-ठीक समांतरता।
स्वतंत्रता का जाल: एक ही परिवार की दो विरली दुर्घटनाओं को कभी स्वतंत्र मानकर उनका गुणा “दस लाख में $73$ ” बना दिया गया था, और एक निर्दोष माँ को सज़ा हो गई थी (सैली क्लार्क का मामला)। यदि दोनों घटनाओं में पारिवारिक जोखिम-कारक साझे हों, जिससे पहली दिए होने पर दूसरी आधार-दर से $5$ गुना अधिक संभावित हो, तो परिमाण की कोटि फिर से निकालिए — और प्रायिकताओं को गुणा करने के बारे में सीख बताइए।
बचाव पक्ष भी बेईमानी कर सकता है: “दस निर्दोष मेल खाते हैं, इसलिए मेल कुछ भी सिद्ध नहीं करता” बाक़ी सब कुछ अनदेखा कर देता है। बेज़ का सूत्र कई प्रमाणों के साथ क्या करता है, और हर जूरी-सदस्य को कौन-सा एक वाक्य जानना चाहिए?

भाग IV — स्पैम छन्नी।

आपकी डाक का $40\,\%$ स्पैम है। शब्द “लॉटरी” स्पैम के $15\,\%$ में और ईमानदार डाक के $0.5\,\%$ में आता है। किसी संदेश में वह आता है: $\P(\text{स्पैम} \mid \text{लॉटरी})$ निकालिए।
त्रुटि-सुधारक पुनरावृत्ति (अभ्यास 32.8 आगे बढ़ाते हुए): पलटने की प्रायिकता $\varepsilon = 0.1$ के साथ पाँच प्रतियों का बहुमत-गूढ़वाचन किस प्रायिकता से विफल होता है? तीन-प्रति वाले कूट से तुलना कीजिए।
कोई बिट $4$ स्वतंत्र शोरीले प्रसारकों से गुज़रता है, और हर प्रसारक उसे प्रायिकता $0.1$ से पलट देता है: वह ठीक तभी सही पहुँचता है जब पलटावों की संख्या सम हो। वह प्रायिकता दो बार निकालिए: द्विपद पदों को जोड़कर, और सुंदर सूत्र $\frac{1 + (1 - 2\varepsilon)^4}{2}$ से।
असली स्पैम छन्नियाँ अनेक शब्दों के प्रमाण ऐसे गुणा कर देती हैं मानो वे स्वतंत्र हों (“भोला” बेज़)। “जीत” और “लॉटरी” जैसे शब्दों के लिए यह मान्यता असत्य क्यों है — और फिर भी छन्नी अच्छा काम क्यों करती है? (एक-दो वाक्य।)
समापन — विश्वास के अंकगणित के रूप में बेज़: पूर्व $\times$ संभाव्यता, फिर से प्रसामान्यीकरण, पश्च। तीनों फ़ैसले (चिकित्सालय, अदालत, डाकख़ाना) एक-एक वाक्य में दोहराइए, फिर इस समस्या द्वारा उजागर तीनों जाल गिनाइए: भुला दी गई आधार-दरें, नक़ली स्वतंत्रता, और प्रमाणों को एक-एक करके पढ़ना।

हल

हल — समस्या 32.1.

1. $\P(\text{लाल}) = \frac12 \cdot \frac23 + \frac12 \cdot \frac14 = \frac13 + \frac18 = \frac{11}{24}$ ।

2. $\P(\text{I} \mid \text{लाल}) = \dfrac{\frac12 \cdot \frac23}{\frac{11}{24}} = \dfrac{1/3}{11/24} = \dfrac{8}{11}$ ।

3. $\P(\text{सम} \cap \leq 4) = \P(\{2, 4\}) = \frac13$ और $\P(\text{सम})\P(\leq 4) = \frac12 \cdot \frac23 = \frac13$ : स्वतंत्र (अप्रत्याशित रूप से!)। $\leq 3$ के लिए: $\P(\{2\}) = \frac16$ बनाम $\frac12 \cdot \frac12 = \frac14$ : परावलंबी।

4. स्वतंत्र घटनाओं के पूरक भी स्वतंत्र होते हैं, इसलिए

\P(\text{कोई नहीं}) = 0.1 \times 0.1 = 0.01, \qquad \P(\text{कम से कम एक}) = 0.99 .

5. $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{221}$ ।

6. रोगग्रस्त: $100$ ; स्वस्थ: $99\,900$ । धनात्मक: $99$ सत्य ( $100$ का 99 %) और $4\,995$ मिथ्या ( $99\,900$ का 5 %): कुल $5\,094$ धनात्मक।

7. $\P(\text{बीमार} \mid +) = \frac{99}{5\,094} \approx 1.9\,\%$ : परीक्षण जिन लोगों पर झंडी उठाता है उनमें पचास में एक से भी कम सचमुच रोगी है।

8. $\dfrac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05} = \dfrac{0.00099}{0.05094} \approx 0.019$ : गिनतियाँ और सूत्र दोनों मेल खाते हैं।

9. गड्डमड्ड: $\P(+ \mid \text{बीमार}) = 99\,\%$ (परीक्षण की प्रचारित गुणवत्ता) और $\P(\text{बीमार} \mid +)$ (रोगी का असली प्रश्न)। $\frac{1}{1000}$ की आधार-दर पर रोगी इतने विरले हैं कि विशाल स्वस्थ बहुमत से रिसा हुआ $5\,\%$ भी सच्चे धनात्मकों को पचास-एक के अनुपात में डुबो देता है।

10. $\dfrac{0.019 \times 0.99}{0.019 \times 0.99 + 0.981 \times 0.05} \approx 28\,\%$ . हर स्वतंत्र धनात्मक परिणाम संभावनाओं को उसी गुणक से गुणा कर देता है: प्रमाण जुड़ते जाते हैं, और तीसरा धनात्मक $90\,\%$ से भी आगे ले जाता — और इसीलिए पुष्टिकारक परीक्षण होते हैं।

11. $\dfrac{0.05 \times 0.99}{0.05 \times 0.99 + 0.95 \times 0.05} \approx 51\,\%$ : उच्च-जोखिम समूह पर वही परीक्षण सूचनाप्रद है। सीख: वहीं छानबीन कीजिए जहाँ आधार-दर पर्याप्त हो; विरले रोग की व्यापक छानबीन हज़ारों झूठे ख़तरे गढ़ देती है।

12. प्रत्याशित निर्दोष मेल: $10^7 \times 10^{-6} = 10$ . लगभग $11$ मेल खाने वाले लोगों में ( $10$ निर्दोष, $1$ दोषी — यदि अपराधी नगर में हो), केवल मेल से मिला संदिग्ध लगभग $\frac{10}{11} \approx 91\,\%$ प्रायिकता से निर्दोष है।

13. अभियोजक ने $\P(\text{मेल} \mid \text{निर्दोष}) = 10^{-6}$ उद्धृत की; अदालत को $\P(\text{निर्दोष} \mid \text{मेल})$ चाहिए थी — यानी प्रश्न 9 की वही गड़बड़ी, शपथ लेकर। (और जिस असली मामले ने इन भूलों को प्रसिद्ध किया, उसमें एक दूसरी चूक ने बात और बिगाड़ दी: प्रश्न 14 देखिए।)

14. भोला वर्ग: $\left(\frac{1}{8500}\right)^2 \approx \frac{1}{72 \text{ मिलियन}}$ . और यदि पहली के बाद दूसरी दुर्घटना पाँच गुना अधिक संभावित हो: $\frac{1}{8500} \times \frac{5}{8500} \approx \frac{1}{14.5 \text{ मिलियन}}$ — यानी पाँच गुना बड़ी, और तब भी यह अनदेखा करते हुए कि वैकल्पिक परिकल्पना को भी बेज़ से तोलना चाहिए। सीख: प्रायिकताओं का गुणा स्वतंत्रता माँगता है, और साझे कारण (आनुवंशिकी, परिवेश) उसे नष्ट कर देते हैं।

15. बेज़ सारे प्रमाणों के संभाव्यता-अनुपात गुणा करके एक ही पश्च प्रायिकता बना देता है: मेल, अनुपस्थिति का साक्ष्य, रेशे — हर एक संभावनाएँ खिसकाता है। जूरी-सदस्य का वाक्य: पूछिए कि दोनों परिकल्पनाओं के अधीन प्रमाण कितना संभावित है, और किसी सप्रतिबंध प्रायिकता को उसकी उल्टी कभी मत समझिए।

16. $\dfrac{0.4 \times 0.15}{0.4 \times 0.15 + 0.6 \times 0.005} = \dfrac{0.060}{0.063} \approx 95\,\%$ स्पैम: एक ही शब्द लगभग फ़ैसला कर देता है।

17. पाँच प्रतियाँ तब विफल होती हैं जब $3$ , $4$ या $5$ पलटें: $\binom53 \varepsilon^3(1-\varepsilon)^2 + \binom54 \varepsilon^4 (1 - \varepsilon) + \varepsilon^5 \approx 0.0086$ — जबकि तीन प्रतियों के लिए $0.028$ : पुनरावृत्ति विश्वसनीयता ख़रीदती है, और क़ीमत चौड़ाई से चुकाती है।

18. सम पलटाव: $\binom40 0.9^4 + \binom42 0.9^2 0.1^2 + \binom44 0.1^4 = 0.6561 + 0.0486 + 0.0001 = 0.7048$ ; और $\frac{1 + 0.8^4}{2} = \frac{1 + 0.4096}{2} = 0.7048$ : तरकीब वाला सूत्र हर प्रसारक से होकर अभिनति $(1 - 2\varepsilon)$ का पीछा करता जाता है।

19. स्पैम वाले शब्द झुंड में चलते हैं — जिस संदेश में “लॉटरी” है उसमें “जीत” भी बहुत संभावित है, इसलिए उनका संयुक्त प्रमाण उतना प्रबल नहीं है जितना गुणनफल दिखाता है। छन्नी फिर भी काम करती है क्योंकि यह बढ़ा-चढ़ाकर आकलन प्रायः सही दिशा में धकेलता है: वर्गीकरण को $50\,\%$ का सही पक्ष चाहिए, सही पश्च प्रायिकता नहीं।

20. चिकित्सालय: विरला रोग किसी प्रबल परीक्षण को दुर्बल फ़ैसले में बदल देता है — आधार-दर से नवीनीकरण कीजिए, फिर प्रमाण जोड़ते जाइए। अदालत: किसी बड़े नगर में विरला मेल नगर पर अभियोग लगाता है, उस आदमी पर नहीं — संभाव्यताएँ फ़ैसले नहीं होतीं। डाकख़ाना: अनेक दुर्बल सुराग़, गुणा किए हुए, डाक छाँट देते हैं — भोलेपन के बावजूद। और तीनों जाल: पूर्व प्रायिकता भूलिए और मूर्ख बनिए; नक़ली स्वतंत्रता मानिए और बहुत बड़े मूर्ख बनिए; और प्रमाण टुकड़ों में पढ़िए तथा कभी जान ही मत पाइए कि आप जानते क्या हैं।