संबद्ध समष्टि কী?

उदाहरण 4.28

$GL_n(\R)$ संबद्ध नहीं है: $\det$ संतत है (प्रविष्टियों में बहुपद) और $\R^*$ पर जाता है, जो संबद्ध नहीं; और $\R_+^*$ तथा $\R_-^*$ के पूर्वप्रतिबिंब $GL_n(\R)$ को बाँट देते हैं। (वास्तव में हर टुकड़ा पथ-संबद्ध है — यह हमारी आवश्यकता से परे एक सुखद अभ्यास है।) इसके विपरीत $GL_n(\C)$ पथ-संबद्ध है: अभ्यास 4.10।

उदाहरण 4.29 (केवल संबद्धता से एक अचल बिंदु)

प्रत्येक संतत $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ का कोई अचल बिंदु होता है — न संकुचन की परिकल्पना, न पुनरावृत्ति। $g(x) = f(x) - x$ लीजिए, जो संबद्ध $\intcc01$ पर संतत है:

और मध्यमान प्रमेय (प्रमेय 4.27 (2)) $g$ का कोई शून्य दे देती है, अर्थात् $f$ का अचल बिंदु। बानाख (प्रमेय 4.12) से तुलना कीजिए: यहाँ अस्तित्व सांस्थितिक और मुफ़्त है, परंतु अद्वितीयता और कलनविधि खो जाती हैं — $f = \mathrm{id}$ का हर बिंदु अचल है, और असंकुचनकारी $f$ की पुनरावृत्ति सदा चक्कर काटती रह सकती है। इस अध्याय की दोनों अचल बिंदु प्रमेयें भिन्न प्रश्नों का उत्तर भिन्न मुद्राओं में देती हैं।

उदाहरण 4.30 ($\R$ और $\R^2$ समाकृतिक नहीं हैं)

संबद्धता एक सांस्थितिक अंगुलिचिह्न है। मान लीजिए $h \colon \R^2 \to \R$ कोई समाकृतिकता है (अर्थात् संतत प्रतिलोम वाला संतत एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण)। एक बिंदु $a \in \R^2$ हटा दीजिए: प्रतिबंधन $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ तब भी समाकृतिकता है। परंतु $\R^2$ में से एक बिंदु हटाने पर वह पथ-संबद्ध रहता है — किन्हीं दो बिंदुओं को किसी खंड से जोड़िए, और यदि $a$ सीधा रास्ता रोक ले तो किसी सहायक बिंदु से होकर दूसरे खंड का चक्कर लगाइए — अतः संबद्ध (प्रमेय 4.27 (3)); जबकि $\R$ में से एक बिंदु हटाने पर वह दो अरिक्त विवृत अर्धरेखाओं में बँट जाता है: संबद्ध नहीं। और संतत प्रतिचित्रण संबद्धता सुरक्षित रखते हैं: विरोधाभास। समतल और रेखा सांस्थितिक समष्टियों के रूप में सचमुच भिन्न हैं — और अकेली गणनसंख्या (जहाँ अभ्यास 1.3 जैसी एकैकी आच्छादक संगतियाँ विद्यमान हैं!) इसे देखने के लिए बहुत मोटी है।

उदाहरण 6.22 (संस्थितिविद् का ज्या वक्र)

मान लीजिए $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ और $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (प्रत्येक बिंदु $(0, y)$, $\abs y \leq 1$, $\Gamma$ के बिंदुओं की सीमा है: $0$ के निकट $\sin\frac1x = y$ हल कीजिए)। तब $S$ संबद्ध है — यह संबद्ध $\Gamma$ की संवृति है, जो $(0, 1]$ का संतत प्रतिबिंब है (प्रमेय 6.20(3)) — पर पथ-संबद्ध नहीं: $(1, \sin 1)$ से $(0,0)$ तक कोई पथ $\to 0$ भुजाक्षों को पार करता, जबकि कोटि $\pm1$ के बीच दोलन करती रहती है; अभ्यास 6.9 इसे कठोर रूप दे देता है। संबद्धता और पथ-संबद्धता वास्तव में भिन्न हैं।