प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

39भिन्नें: पहले कदम

तीन पिज़्ज़े चार लोगों में बराबर बाँटो तो हर एक को … पूरी संख्या में पिज़्ज़े नहीं मिलते। भिन्नें बाँटने के लिए ही गढ़ी गई संख्याएँ हैं। यह अध्याय पूरा चित्र बनाता है: भिन्न किसी पूरे के हिस्से के रूप में, संख्या रेखा पर एक बिंदु के रूप में, और किसी भाग के ठीक-ठीक नतीजे के रूप में।

39.1 भिन्न का मतलब

परिभाषा 39.1 (भिन्न)

किसी इकाई को $b$ बराबर हिस्सों में काटो और उनमें से $a$ हिस्से लो: जो राशि मिलती है वही भिन्न है

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{: \emph{अंश} --- हम कितने हिस्से लेते हैं;}\\ b \text{: \emph{हर} --- इकाई कितने हिस्सों में काटी गई है।} \end{array}

एक ही पट्टी की दो भिन्नें। हर बताता है कि कटाई कितनी महीन है, अंश बताता है कि हम कितना लेते हैं।

उदाहरण 39.2

भिन्न $1$ से बड़ी भी हो सकती है: $\frac74$ का मतलब है सात चौथाई — एक पूरी इकाई (चार चौथाई) और तीन चौथाई और:

\frac74 = 1 + \frac34 .

प्रतिज्ञप्ति 39.3 (संख्या रेखा पर भिन्नें)

संख्या रेखा पर $\frac ab$ रखने के लिए हर इकाई अंतराल को $b$ बराबर हिस्सों में काटो और $0$ से $a$ हिस्से गिनो।

चौथाइयों में अंकित रेखा: 3/4, 1 से पहले है, 7/4, 1 और 2 के बीच, और 22/4 = 5 + 2/4, 5 और 6 के ठीक बीच। — चौथाइयों में अंकित रेखा: $\frac34$ , $1$ से पहले है, $\frac74$ , $1$ और $2$ के बीच, और $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ , $5$ और $6$ के ठीक बीच।

प्रमेय 39.4 (भिन्न एक भाग है)

भिन्न $\frac ab$ वह संख्या है जिसे $b$ से गुणा करने पर $a$ मिलता है:

\frac ab \times b = a .

दूसरे शब्दों में, $\frac ab$ , $a$ में $b$ का ठीक-ठीक भागफल है — तब भी, जब भाग “पूरा नहीं बँटता”।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 39.5

तीन पिज़्ज़े चार लोगों के लिए: हर एक को पिज़्ज़े का $\frac34$ मिलता है। प्रमेय से जाँचो: $\frac34$ के $4$ हिस्से मिलकर $\frac34 \times 4 = 3$ पिज़्ज़े बनाते हैं। कुछ भिन्नें दशमलव संख्याएँ होती हैं ( $\frac34 = 0.75$ ), कुछ नहीं: $\frac13 = 0.333\dots$ कभी नहीं रुकता। भिन्न ही ठीक मान है; $0.33$ केवल एक सन्निकटन है।

39.2 बराबर भिन्नें

प्रतिज्ञप्ति 39.6 (तुल्य भिन्नें)

किसी भिन्न के अंश और हर, दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा (या भाग) करने पर भिन्न नहीं बदलती:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

उपपत्ति का विचार. बँटवारे के हर हिस्से को $k$ छोटे टुकड़ों में काटने से लिए गए टुकड़ों की संख्या और कुल टुकड़ों की संख्या, दोनों $k$ गुनी हो जाती हैं, पर ली गई राशि वही रहती है। चित्र सबसे अच्छा कहता है: ∎

2/3 = 4/6: हर तिहाई को दो में काटने से ऊपर और नीचे, दोनों गिनतियाँ दुगुनी हो जाती हैं, पर रँगी हुई राशि वही रहती है। — $\frac23 = \frac46$ : हर तिहाई को दो में काटने से ऊपर और नीचे, दोनों गिनतियाँ दुगुनी हो जाती हैं, पर रँगी हुई राशि वही रहती है।

विधि 39.7 (भिन्न को सरल बनाना)

कोई ऐसी संख्या ढूँढ़ो जो अंश और हर, दोनों में भाग दे, और दोनों में भाग दे दो। तब तक दोहराओ जब तक कोई साझा भाजक न बचे:

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 किसी राशि की भिन्न लेना

विधि 39.8 (राशि की भिन्न)

किसी राशि का $\frac ab$ निकालने के लिए राशि में $b$ का भाग दो (एक हिस्सा), फिर $a$ से गुणा करो (हिस्सों की संख्या):

\frac ab \text{ का } Q = (Q \div b) \times a .

(पहले $a$ से गुणा करके फिर $b$ का भाग देने पर भी वही नतीजा मिलता है — वही क्रम चुनो जिसमें संख्याएँ आसान पड़ें।)

उदाहरण 39.9

$40$ यूरो का $\frac35$ निकालो, कदम-दर-कदम:

$40$ का एक पाँचवाँ भाग: $40 \div 5 = 8$ ;
तीन पाँचवें भाग: $8 \times 3 = 24$ ।

तो $40$ यूरो का $\frac35$ , $24$ यूरो है। जाँच: बचा हुआ $\frac25$ , $16$ यूरो है, और $24 + 16 = 40$ ।

39.4 अभ्यास

अभ्यास 39.1 ★

हर चित्र के वर्णन के लिए भिन्न लिखो: $8$ टुकड़ों में कटा केक, $3$ खाए गए; $12$ ख़ानों की चॉकलेट, $7$ खाए गए; $6$ में कटी एक पाई, छहों खाए गए।

हल

हल — अभ्यास 39.1.

केक: $\frac38$ खाया गया। चॉकलेट: $\frac{7}{12}$ । पाई: $\frac66 = 1$ (पूरी पाई)।

अभ्यास 39.2 ★

$5$ बराबर हिस्सों में कटी एक पट्टी बनाओ और उसका $\frac45$ रँगो। $\frac45$ , $1$ से छोटी है या बड़ी? और $\frac65$ ?

हल

हल — अभ्यास 39.2.

पाँच में से चार हिस्से रँगे जाते हैं। $\frac45 < 1$ (पाँच में से चार हिस्से पूरी पट्टी से कम हैं); $\frac65 > 1$ (छह पाँचवें भाग एक पूरी पट्टी और एक पाँचवाँ भाग हैं)।

अभ्यास 39.3 ★

तिहाइयों में अंकित संख्या रेखा पर रखो: $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ । इनमें से कौन-सी दो संख्याएँ $2$ से बराबर दूरी पर हैं?

हल

हल — अभ्यास 39.3.

तिहाइयों में अंकित रेखा पर: $\frac13$ , $0$ के एक निशान बाद है; $\frac53$ , $2$ से एक निशान पहले (क्योंकि $2 = \frac63$ ); $\frac73$ , $2$ के एक निशान बाद। तो $\frac53$ और $\frac73$ दोनों $2$ से $\frac13$ की दूरी पर हैं।

अभ्यास 39.4 ★

हर भिन्न को एक पूर्ण संख्या और $1$ से छोटी भिन्न के जोड़ के रूप में लिखो (जैसे $\frac74 = 1 + \frac34$ ):

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

हल

हल — अभ्यास 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (ठीक-ठीक); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ ।

अभ्यास 39.5 ★

भिन्नें बराबर हो जाएँ, ऐसे पूरा करो:

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

हल

हल — अभ्यास 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ ( $4$ से गुणा); $\frac{15}{20} = \frac34$ ( $5$ का भाग); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ ( $3$ से गुणा); $\frac56 = \frac{10}{12}$ ( $2$ का भाग)।

अभ्यास 39.6 ★

जितना हो सके सरल बनाओ: $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ ।

हल

हल — अभ्यास 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (एक पूर्ण संख्या)।

अभ्यास 39.7 ★

निकालो: $86$ का $\frac12$ ; $60$ का $\frac34$ ; $35$ का $\frac25$ ; $250$ का $\frac{7}{10}$ ।

हल

हल — अभ्यास 39.7.

$86$ का $\frac12$ : $86 \div 2 = 43$ ।

$60$ का $\frac34$ : $60 \div 4 = 15$ , फिर $15 \times 3 = 45$ ।

$35$ का $\frac25$ : $35 \div 5 = 7$ , फिर $7 \times 2 = 14$ ।

$250$ का $\frac{7}{10}$ : $250 \div 10 = 25$ , फिर $25 \times 7 = 175$ ।

अभ्यास 39.8 ★

कौन बड़ी है: $\frac12$ या $\frac13$ (एक ही केक की)? $\frac25$ या $\frac35$ ? $\frac34$ या $\frac78$ (दोनों को हर $8$ के साथ लिखो)?

हल

हल — अभ्यास 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : आधे, तिहाइयों से बड़े हिस्से होते हैं। $\frac35 > \frac25$ : वही हिस्से, पर ज़्यादा। $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : सात आठवें भाग, छह आठवें भागों पर भारी।

अभ्यास 39.9 ★★

जिन भिन्नों का दशमलव मान है, वह बताओ, और यह भी कि किस भिन्न का नहीं है: $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ ।

हल

हल — अभ्यास 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ । अलग पड़ती है $\frac13 = 0.333\dots$ , जिसका दशमलव लेखन कभी ख़त्म नहीं होता: वह दशमलव संख्या नहीं है।

अभ्यास 39.10 ★★

एक कक्षा में $28$ विद्यार्थी हैं। उनमें से तीन चौथाई बस से विद्यालय आते हैं, बाक़ी पैदल। कितने विद्यार्थी पैदल आते हैं? कदम-दर-कदम हल करो, और जाँचो कि दोनों समूह मिलकर $28$ बनते हैं।

हल

हल — अभ्यास 39.10.

बस से आने वाले: $28$ का $\frac34$ : $28 \div 4 = 7$ , फिर $7 \times 3 = 21$ विद्यार्थी। पैदल आने वाले: $28 - 21 = 7$ विद्यार्थी (यही बची हुई चौथाई है: $28 \div 4 = 7$ )। जाँच: $21 + 7 = 28$ ।

अभ्यास 39.11 ★★

लियो ने अपनी बचत का $\frac23$ एक खेल पर ख़र्च किया, जो $18$ यूरो का था। लियो के पास पहले कितने पैसे थे? (उसकी बचत की एक तिहाई, $18$ की आधी है … सोचो क्यों, या पहले एक हिस्से का नाप निकालो।)

हल

हल — अभ्यास 39.11.

बचत के दो तिहाई $18$ यूरो हैं, इसलिए एक तिहाई $18 \div 2 = 9$ यूरो है, और पूरी बचत (तीन तिहाई) $9 \times 3 = 27$ यूरो थी। जाँच: $27$ का $\frac23$ , $18$ है।

अभ्यास 39.12 ★★★

एक टंकी अपनी धारिता के $\frac58$ तक भरी है। $10$ लीटर इस्तेमाल करने के बाद वह आधी भरी रह जाती है। टंकी की धारिता क्या है? ( $10$ लीटर टंकी की कौन-सी भिन्न हैं?)

हल

हल — अभ्यास 39.12.

इस्तेमाल किया गया पानी टंकी के $\frac58$ से $\frac48$ तक ले आया (आधा यानी चार आठवें भाग): $10$ लीटर धारिता के $\frac58 - \frac48 = \frac18$ हैं। तो पूरी टंकी में $10 \times 8 = 80$ लीटर आते हैं। जाँच: $80$ का $\frac58$ , $50$ है; $10$ घटाने पर $40$ बचता है, जो सचमुच $80$ का आधा है।

39.5 समस्या: वह चॉकलेट जो कभी ख़त्म ही नहीं होती

समस्या 39.1

सप्ताहांत समस्या — आधों के आधे: योगफल $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ बिना छुए $1$ की ओर सरकता रहता है

एक चॉकलेट लो। उसका आधा खा जाओ। फिर जो बचा है उसका आधा खाओ। फिर जो बचा उसका आधा, और ऐसे ही आगे। दो बातें एक साथ सच लगती हैं: चॉकलेट कभी ख़त्म नहीं होती (कुछ न कुछ हमेशा बचा रहता है), और फिर भी लगभग सारी खा ली जाती है। यह समस्या दोनों अहसासों को भिन्नों के ठीक-ठीक कथनों में बदल देती है — और रास्ते में प्राचीन यूनान के एक धावक तथा ऐसी बाँट-पहेली से मिलाती है जो केवल आधे-आधे काटने वाले चाक़ू से हल हो जाती है।

भाग I — आधों के आधे। चॉकलेट $16$ बराबर ख़ानों का एक आयत है।

पहला कौर: तुम चॉकलेट का आधा खाते हो। वह कितने ख़ाने हुए? इस कौर को चॉकलेट की भिन्न के रूप में दो तरह से लिखो, हर $2$ के साथ और हर $16$ के साथ (प्रतिज्ञप्ति 39.6)।
दूसरा कौर: जो बचा उसका आधा। कितने ख़ाने? चित्र से या तुल्य भिन्नों से दिखाओ कि यह कौर पूरी चॉकलेट का $\frac14$ है: आधे का आधा एक चौथाई होता है।
तीसरा और चौथा कौर, वही नियम: हर एक को ख़ानों में और चॉकलेट की भिन्न के रूप में बताओ। एक कौर से अगले कौर तक हर का क्या होता है?
चारों कौरों के बाद कुल कितने ख़ाने खाए गए? वह चॉकलेट की कौन-सी भिन्न है, और कौन-सी भिन्न बची है?
प्रश्न 4 सोलहवें भागों में लिखने पर कहता है:

$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{यानी}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$

चारों रूपांतरणों की जाँच करो ( $\frac12 = \frac{8}{16}$ , वग़ैरह)।

भाग II — $1$ की ओर जाती सीढ़ी। कौर लेते रहने के लिए $64$ ख़ानों वाली महीन चॉकलेट सोचो।

पहले छह कौरों के नाप ख़ानों में गिनाओ ( $32$ , फिर …), और जाँचो कि छठे कौर के बाद ठीक एक ख़ाना बचता है। चॉकलेट की कौन-सी भिन्न बची रहती है?
हर कौर के बाद चॉकलेट की कौन-सी भिन्न बची रहती है? छठे कौर तक की सूची लिखो ( $\frac12$ , $\frac14$ , …), और प्रतिरूप बताओ। कोई काल्पनिक चाक़ू आख़िरी ख़ाने को भी आधा कर सके, तो सातवें कौर के बाद क्या बचेगा?
समझाओ कि खाया हुआ कुल $1$ तक कभी क्यों नहीं पहुँच सकता, चाहे कितने भी कौर लिए जाएँ। (समस्या 38.1 के बीस नौ से तुलना करो: वही कहानी?)
फिर भी कुल $1$ से नीचे के हर लक्ष्य को पार कर जाता है। एक दोस्त तुम्हें चुनौती देता है कि चॉकलेट का $\frac{99}{100}$ से ज़्यादा खा जाओ। कौन छोटी है, $\frac{1}{128}$ या $\frac{1}{100}$ — और किस कौर के बाद चुनौती जीत ली जाती है?
$0$ से $1$ तक सोलहवें भागों में अंकित संख्या रेखा पर पहले चार कौरों के बाद के कुल रखो: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ । हर नया कुल पिछले कुल और $1$ की तुलना में कहाँ गिरता है?

भाग III — ज़ेनो का धावक, और केवल आधा करने वाला चाक़ू।

चौबीस सदी पहले यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने यह कहानी सुनाई: दीवार तक पहुँचने के लिए धावक को पहले आधी दूरी तय करनी होगी, फिर बची हुई दूरी की आधी, फिर उसकी भी आधी … “तो धावक दीवार तक कभी पहुँचेगा ही नहीं!” प्रश्न 8 और 9 की मदद से बताओ कि ज़ेनो की कहानी में सही क्या है, और जाल कहाँ है। (क्या धावक को वे सब कदम उठाने में सचमुच अनंत समय चाहिए?)
बाँट-पहेली: $15$ एक जैसी चॉकलेटें $16$ बच्चों में बराबर बाँटो, केवल आधे-आधे काटकर (पूरी चॉकलेट के, आधी चॉकलेट के, चौथाई चॉकलेट के …)। बताओ कि कैसे काटना है: कितनी चॉकलेटें आधों में कटेंगी, कितनी चौथाइयों में, कितनी आठवें भागों में, कितनी सोलहवें भागों में, ताकि हर बच्चे को हर नाप का एक-एक टुकड़ा मिले।
अपनी बाँट जाँचो: हर बच्चे का हिस्सा भिन्नों के योगफल के रूप में लिखो, उसे सोलहवें भागों में निकालो, और पक्का करो कि $16$ हिस्से मिलकर ठीक $15$ चॉकलेटें ख़र्च करते हैं।
बग़ल की कक्षा में $7$ चॉकलेटें $8$ बच्चों में बराबर बाँटी जाती हैं। किस बच्चे को ज़्यादा चॉकलेट मिलती है — $16$ में से किसी को, या $8$ में से किसी को? (दोनों हिस्से हर $16$ के साथ लिखो, अभ्यास 39.8।)
आख़िरी सवाल: एक दोस्त का दावा है कि अनगिनत कौरों से पूरी चॉकलेट ठीक-ठीक खा ली जाएगी। एक वर्ग बनाओ और उसके भीतर कौर रँगो: वर्ग का आधा, फिर एक चौथाई, फिर एक आठवाँ भाग … बिना रँगे कोने के बारे में क्या दिखता है? इस पूरी समस्या के दोनों सच्चे तथ्य ध्यान से लिखो: सीमित संख्या में कौरों के बाद क्या बचता है, और वह शेषफल कितना छोटा हो जाता है। (“अनंत योगफल” का ठीक-ठीक मतलब क्या है, यह अगले खंड की कहानी है।)

हल

हल — समस्या 39.1.

1. $16$ ख़ानों का आधा $8$ ख़ाने है। भिन्न के रूप में: चॉकलेट का $\frac12$ , और चूँकि हर आधा $16$ में से $8$ ख़ाने है, इसलिए $\frac{8}{16}$ भी — वही भिन्न दो तरह लिखी हुई (प्रतिज्ञप्ति 39.6)।

2. बचे हुए $8$ ख़ानों का आधा $4$ ख़ाने है, जो चॉकलेट का $\frac{4}{16}$ है। $4$ से सरल करने पर: $\frac{4}{16} = \frac14$ । चित्र पर: बचे हुए आधे को दो में काटने से मूल चॉकलेट की दो चौथाइयाँ बनती हैं — आधे का आधा एक चौथाई है।

3. तीसरा कौर: $4$ ख़ानों का आधा $2$ ख़ाने है, यानी चॉकलेट का $\frac{2}{16} = \frac18$ । चौथा कौर: $1$ ख़ाना, यानी $\frac{1}{16}$ । एक कौर से अगले तक हर दुगुना होता जाता है: $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ।

4. खाए गए: $16$ में से $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ ख़ाने, यानी चॉकलेट का $\frac{15}{16}$ । बचा: $1$ ख़ाना, $\frac{1}{16}$ ।

5. $\frac12 = \frac{8}{16}$ (ऊपर और नीचे $8$ से गुणा), $\frac14 = \frac{4}{16}$ ( $4$ से), $\frac18 = \frac{2}{16}$ ( $2$ से), और $\frac{1}{16}$ वैसी ही रहती है। सोलहवें भाग गिनो: वे $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ हैं, इसलिए कुल $\frac{15}{16}$ है।

6. कौर: $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ ख़ाने। कुल खाया गया: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ ख़ाने, इसलिए $1$ ख़ाना बचता है: चॉकलेट का $\frac{1}{64}$ ।

7. हर कौर के बाद बचता है

\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad \frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :

शेषफल हर बार आधा हो जाता है — उसका हर दुगुना होता जाता है। सातवाँ, काल्पनिक कौर $\frac{1}{128}$ छोड़ेगा।

8. हर कौर बचे हुए का केवल आधा खाता है, इसलिए शेषफल का दूसरा आधा वहीं रह जाता है: कितने भी कौरों के बाद कुछ न कुछ हमेशा बचा रहता है। इसलिए खाया हुआ कुल हमेशा $1$ से नीचे रहता है — ठीक समस्या 38.1 के बीस नौ की तरह, जो $3$ के और-और पास आते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं।

9. दोनों भिन्नों का अंश $1$ है, और $128$ हिस्सों में काटने से $100$ हिस्सों में काटने की तुलना में छोटे हिस्से बनते हैं: इसलिए $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$ । सातवें कौर के बाद शेषफल $\frac{1}{128}$ है, इसलिए खाया हुआ भाग $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ से आगे निकल जाता है: चुनौती सातवें कौर पर जीत ली जाती है।

10. सोलहवें भागों में कुल हैं $\frac{8}{16}$ , $\frac{12}{16}$ , $\frac{14}{16}$ , $\frac{15}{16}$ । हर नया कुल ठीक पिछले कुल और $1$ के बीचों-बीच गिरता है: सीढ़ी $1$ तक बची अपनी दूरी को हर बार आधा करती जाती है, पर उस पर कभी पैर नहीं रखती।

11. सही क्या है: ज़ेनो के वर्णन के हर चरण पर सचमुच कुछ दूरी बची रहती है (प्रश्न 8) — चरणों की सूची कभी ख़त्म नहीं होती। जाल यह है: चरण बेहद छोटे होते जाते हैं, दूरी में और दौड़ने के समय में भी; धावक हर चरण पर बराबर समय नहीं लगाता। दौड़ को अनगिनत सिकुड़ते टुकड़ों में बताने से दौड़ ख़ुद अनंत नहीं हो जाती: धावक दीवार तक पहुँच जाता है, और प्रश्न 9 दिखाता है कि वर्णन दीवार से पहले के हर बिंदु को पार कर जाता है।

12. $8$ चॉकलेटें आधों में काटो: $16$ आधे टुकड़े। $4$ चॉकलेटें चौथाइयों में: $16$ चौथाई टुकड़े। $2$ चॉकलेटें आठवें भागों में: $16$ टुकड़े। आख़िरी चॉकलेट सोलहवें भागों में: $16$ छोटे टुकड़े। इसमें $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ चॉकलेटें लगती हैं, और हर बच्चे को हर नाप का एक-एक टुकड़ा मिलता है।

13. हर बच्चे का हिस्सा है

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

चॉकलेट का (प्रश्न 5)। ऐसे सोलह हिस्से मिलकर $16 \times \frac{15}{16} = 15$ चॉकलेटें बनाते हैं (प्रमेय 39.4): ठीक उतनी ही जितनी काटी गई थीं, कुछ बचे बिना — केवल आधा-आधा करके $15$ चॉकलेटों का $16$ बच्चों में सही बँटवारा।

14. पड़ोसियों को हर एक को चॉकलेट का $\frac78$ मिलता है। हर $16$ के साथ: $\frac78 = \frac{14}{16}$ , जबकि हमारे बच्चों को $\frac{15}{16}$ मिलता है। तो $16$ वाले बच्चे को ज़्यादा मिलता है: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$ , चॉकलेट के एक सोलहवें भाग से।

15. वर्ग वाले चित्र में हर रँगा हुआ कौर अब तक बिना रँगे कोने का आधा भर देता है, और बिना रँगा कोना सिकुड़ता जाता है: हर कौर के बाद वह पहले से आधा रह जाता है, और कभी ग़ायब नहीं होता। दोनों सच्चे तथ्य: (i) सीमित संख्या में कौरों के बाद हमेशा एक शेषफल बचता है — खाया हुआ कुल हमेशा $1$ से ठीक नीचे रहता है; (ii) पर्याप्त कौर लेने पर वह शेषफल किसी भी बताई गई भिन्न ( $\frac{1}{100}$ , $\frac{1}{1000}$ , …) से छोटा हो जाता है। “अनंत योगफल $1$ के बराबर है” — इन शब्दों को ठीक-ठीक अर्थ देना सीमाओं का काम है, जो अगले खंड में आता है।