प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · कक्षा 1–9

24पहली भिन्नें

आधा सेब, घंटे की चौथाई, कक्षा के तीन चौथाई: भिन्नें चीज़ों के टुकड़ों को नाम देती हैं। यह अध्याय $\frac{a}{b}$ लिखने का ढंग बताता है, चित्रों और संख्या रेखा पर भिन्नें पढ़ता है, और सबसे आसान भिन्नों की तुलना करता है। (भिन्नें अध्याय 39 में बड़ी होती हैं।)

24.1 टुकड़ों को नाम देना

परिभाषा 24.1 (भिन्न)

किसी पूरे को बराबर हिस्सों में काटो और कुछ हिस्से लो — वही एक भिन्न है:

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: कितने हिस्से लिए गए (\emph{अंश});}\\ 4 \text{: पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया (\emph{हर})।} \end{array}

$\frac12$ आधा है, $\frac13$ तिहाई, $\frac14$ चौथाई, $\frac{1}{10}$ दसवाँ भाग।

चित्रों पर भिन्नें पढ़ना। हिस्से बराबर होने चाहिए: तीन असमान टुकड़े तिहाइयाँ नहीं बनाते! — चित्रों पर भिन्नें पढ़ना। हिस्से *बराबर* होने चाहिए: तीन असमान टुकड़े तिहाइयाँ नहीं बनाते!

उदाहरण 24.2 (संग्रह की भिन्न)

$12$ कंचों का $\frac13$ : $12$ कंचों को $4$ - $4$ के $3$ बराबर समूहों में बाँटो; एक समूह $\frac13$ है, इसलिए $12$ का $\frac13$ , $4$ है — और $12$ का $\frac23$ दो समूह, यानी $8$ ।

24.2 संख्या रेखा पर भिन्नें

विधि 24.3 ( $\frac{a}{b}$ को रखना)

रेखा की हर इकाई को $b$ बराबर कदमों में काटो; $0$ से $a$ कदम चलो। $a$ , $b$ से बड़ा हो तो चाल $1$ के पार निकल जाती है: भिन्नें एक पूरे से बड़ी भी हो सकती हैं!

रेखा चौथाइयों में कटी हुई: 2/4 उसी बिंदु पर आता है जहाँ 1/2; 5/4, 1 से एक चौथाई आगे है; 11/4, 2 और 3/4 है। — रेखा चौथाइयों में कटी हुई: $\frac24$ उसी बिंदु पर आता है जहाँ $\frac12$ ; $\frac54$ , $1$ से एक चौथाई आगे है; $\frac{11}{4}$ , $2$ और $\frac34$ है।

उदाहरण 24.4 (भिन्नों में छिपी पूर्ण संख्याएँ)

$\frac44 = 1$ (चार चौथाई मिलकर पूरा बनाते हैं); $\frac82 = 4$ ; $\frac{12}{3} = 4$ । और $\frac74$ , $1 + \frac34$ है: एक पूरा और तीन चौथाई।

24.3 सरल भिन्नों की तुलना और जोड़

प्रतिज्ञप्ति 24.5 (एक ही हर)

हर एक जैसा हो तो टुकड़े भी एक ही नाप के होते हैं — बस उन्हें गिन लो:

\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

पूरे से तुलना भी आसान है: $\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8}$ ( $8$ आठवें भागों से कम, फिर ज़्यादा)।

चित्र पर, क्यों. एक ही पट्टी के $3$ आठवें भाग रँगकर फिर $4$ आठवें भाग और रँगने पर कुल $7$ आठवें भाग रँग जाते हैं। ∎

उदाहरण 24.6 (अलग-अलग हर, वही बिंदु)

संख्या रेखा पर $\frac12$ , $\frac24$ और $\frac{5}{10}$ सब एक ही बिंदु पर आते हैं: ये एक ही संख्या के तीन नाम हैं। हर आधे को दो में काटने पर चौथाइयाँ बनती हैं; पाँच में काटने पर दसवें भाग। (सामान्य नियम अध्याय 39 में है।)

उदाहरण 24.7 (घंटे की चौथाइयाँ)

एक घंटे में $60$ मिनट होते हैं, इसलिए घंटे की चौथाई $60 \div 4 = 15$ मिनट है, और घंटे के तीन चौथाई $45$ मिनट। “साढ़े दो” का मतलब है दो बजे के $\frac12$ घंटे बाद।

24.4 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

दिखाई गई भिन्न लिखो: $6$ में कटा पिज़्ज़ा जिसके $5$ टुकड़े बचे हैं; $8$ ख़ानों की चॉकलेट जिसके $3$ खा लिए गए (खाई गई भिन्न); तीन बराबर खड़ी पट्टियों में बँटा झंडा, जिसकी $1$ रंगी है।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

पिज़्ज़ा: $\frac56$ बचा। चॉकलेट: $\frac38$ खाई गई। झंडा: $\frac13$ रंगा।

अभ्यास 24.2 ★

$5$ बराबर हिस्सों में कटी एक पट्टी बनाओ और $\frac35$ रँगो। फिर उतनी ही एक और पट्टी का $\frac{2}{5}$ रँगो। कौन-सी रँगाई बड़ी है?

हल

हल — अभ्यास 24.2.

$\frac35$ तीन हिस्से रँगता है, $\frac25$ केवल दो: $\frac35$ बड़ी रँगाई है।

अभ्यास 24.3 ★

निकालो: $18$ का $\frac12$ ; $20$ का $\frac14$ ; $21$ का $\frac13$ ; $20$ का $\frac34$ (चौथाई के तीन समूह)।

हल

हल — अभ्यास 24.3.

$18$ का आधा: $9$ । $20$ की चौथाई: $5$ । $21$ की तिहाई: $7$ । $20$ का $\frac34$ : तीन चौथाई, $3 \times 5 = 15$ ।

अभ्यास 24.4 ★

तिहाइयों में कटी संख्या रेखा पर रखो: $\frac13$ ; $\frac33$ ; $\frac53$ ; $2$ । कौन-सी भिन्न ठीक $2$ पर आती है?

हल

हल — अभ्यास 24.4.

$\frac13$ : एक कदम; $\frac33$ : $1$ पर; $\frac53$ : $1$ से दो कदम आगे। ठीक $2$ पर आने वाली भिन्न $\frac63$ है।

अभ्यास 24.5 ★

उतार कर $<$ , $>$ या $=$ से पूरा करो:

\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .

हल

हल — अभ्यास 24.5.

$\frac38 < \frac68$ ; $\frac55 = 1$ ; $\frac74 > 1$ ; $\frac12 = \frac24$ ।

अभ्यास 24.6 ★

निकालो: $\frac26 + \frac36$ ; $\frac58 - \frac28$ ; $\frac14 + \frac24$ ; $1 - \frac13$ ( $1$ में कितनी तिहाइयाँ होती हैं?)।

हल

हल — अभ्यास 24.6.

$\frac26 + \frac36 = \frac56$ ; $\frac58 - \frac28 = \frac38$ ; $\frac14 + \frac24 = \frac34$ ; $1 = \frac33$ , इसलिए $1 - \frac13 = \frac23$ ।

अभ्यास 24.7 ★

एक पूर्ण संख्या और $1$ से छोटी भिन्न के जोड़ के रूप में लिखो: $\frac54$ ; $\frac73$ ; $\frac{9}{2}$ ।

हल

हल — अभ्यास 24.7.

$\frac54 = 1 + \frac14$ ; $\frac73 = 2 + \frac13$ ; $\frac92 = 4 + \frac12$ ।

अभ्यास 24.8 ★

कितने मिनट होते हैं: आधा घंटा; घंटे की चौथाई; घंटे के तीन चौथाई; घंटे का $\frac13$ ?

हल

हल — अभ्यास 24.8.

आधा घंटा: $30$ मिनट। चौथाई: $15$ मिनट। तीन चौथाई: $45$ मिनट। तिहाई: $20$ मिनट।

अभ्यास 24.9 ★

$24$ विद्यार्थियों की कक्षा में $\frac14$ चश्मा पहनते हैं। कितने विद्यार्थी चश्मा पहनते हैं? कितने नहीं?

हल

हल — अभ्यास 24.9.

$24$ का $\frac14$ यानी $6$ विद्यार्थी चश्मा पहनते हैं; $24 - 6 = 18$ नहीं पहनते।

अभ्यास 24.10 ★★

नीना ने एक पिज़्ज़े का $\frac38$ खाया और सैम ने उसी पिज़्ज़े का $\frac48$ । दोनों ने मिलकर कितनी भिन्न खाई? कितनी बची? किसने ज़्यादा खाया?

हल

हल — अभ्यास 24.10.

मिलकर: $\frac38 + \frac48 = \frac78$ । बची: $\frac18$ । सैम ने ज़्यादा खाया ( $4$ आठवें भाग बनाम $3$ )।

अभ्यास 24.11 ★★

सही या ग़लत, चित्र या उदाहरण के साथ: “छोटे पिज़्ज़े का $\frac12$ , बहुत बड़े पिज़्ज़े के $\frac14$ से कम हो सकता है”। किसी चीज़ की दो भिन्नों की तुलना करने से पहले हमेशा क्या पता होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 24.11.

हाँ, ऐसा हो सकता है: छोटे पिज़्ज़े का आधा, बहुत बड़े पिज़्ज़े की चौथाई से कम खाना हो सकता है। भिन्नें एक ही पूरे के हिस्सों की तुलना करती हैं; “किसी चीज़” के $\frac12$ और $\frac14$ की तुलना से पहले यह पता होना चाहिए कि दोनों चीज़ें बराबर हैं।