63भिन्नें और घातें

हल — समस्या 63.1.

1. $\frac14 = 0.25$ (रुक जाती है); $\frac13 = 0.333\ldots$ (गुच्छा $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ ($8$ के बाद गुच्छा $3$); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (गुच्छा $27$)।

2. $b$ से भाग के हर क़दम पर शेषफल $0, 1, \dots, b - 1$ इन $b$ मानों में से कोई एक होता है (प्रमेय 37.7)। अगर कभी शेषफल $0$ आ गया तो भाग रुक जाता है। नहीं तो ज़्यादा से ज़्यादा $b$ क़दमों में कोई शेषफल दूसरी बार आना ही पड़ेगा — क़दम संभव शेषफलों से ज़्यादा हैं — और उसी पल से भाग ठीक वही अंक दोहराने लगता है जो उसने पहली बार के बाद बनाए थे: दशमलव लेखन हमेशा के लिए चक्र में पड़ जाता है। रुकना या दोहराना: तीसरा बरताव है ही नहीं।

3. $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: गुच्छा $142857$ छह अंकों का है। सवाल 2 ने ज़्यादा से ज़्यादा $7$ क़दमों में दोहराव का वादा किया था — और यहाँ शेषफल $1, 3, 2, 6, 4, 5$ सब के सब आ जाते हैं, तब कहीं $1$ लौटता है: यानी $7$ से भाग का सबसे लंबा संभव जाप।

4. $\frac ab$ ठीक तब रुकती है जब किसी $\frac{a \times k}{b \times k}$ का हर $10$, $100$, $1000, \dots$ हो — यानी जब हर को गुणा करके दस की घात बनाया जा सके, जैसे $4 \times 25 = 100$ या $8 \times 125 = 1\,000$। $3$ और $6$ के लिए यह नामुमकिन है: दस की किसी भी घात के अंकों का योगफल $1$ होता है, जबकि $3$ के हर गुणज के अंकों का योगफल $3$ का गुणज होता है — इसलिए $3$ का (और तब $6$ का भी) कोई गुणज कभी $10$, $100$, $1\,000, \dots$ नहीं बनता। और $11$ के लिए: $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ में $11$ का भाग हमेशा कोई शेषफल छोड़ता है ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), कभी $0$ नहीं। दस की घात तक पहुँचने वाले हर रुक जाते हैं; बाक़ी सब दोहराते हैं।

5. $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, रुकती है: $\frac{225}{1000} = 0.225$। $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, रुकती है: $\frac{66}{100} = 0.66$। $\frac{5}{12}$: $12$, $3$ का गुणज है, इसलिए दोहराती है ($0.41666\ldots$)।

6. $10x = 7.777\ldots$, इसलिए $10x - x = 7$ (पूँछें ठीक-ठीक कट जाती हैं), $9x = 7$ और $x = \frac79$। भाग से जाँच: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

7. गुच्छा दो अंकों का है, इसलिए $100$ से सरकाओ: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, यानी $99x = 72$ और $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$।

8. $1000x = 583.333\ldots$ और $100x = 58.333\ldots$; घटाने पर $900x = 525$, इसलिए $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ ($75$ से भाग देकर)। और सचमुच $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

9. $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, इसलिए $9x = 9$ और $x = 1$। यह $1$ से “ज़रा-सा नीचे” नहीं है: $0.999\ldots$ वही संख्या $1$ है, बस दूसरे भेस में। $1$ से पक्के तौर पर नीचे कोई भी संख्या एक झिरी छोड़ देती है, और समस्या 38.1 ने दिखाया था कि किसी भी झिरी में और संख्याएँ पड़ी होती हैं — जबकि $0.999\ldots$ और $1$ के बीच कुछ समाता ही नहीं। कभी न ख़त्म होने वाले नौ समस्या 39.1 वाली चॉकलेट का बचा हुआ हिस्सा हैं, जो हर धन मात्रा से भी नीचे सिकुड़ चुका है: कुछ बचा ही नहीं।

10. $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$। और $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ ($3$ से भाग देकर)।

11. शब्दकोश से: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$। और $999 = 27 \times 37$ है, इसलिए यह सरल होकर $\frac{1}{27}$ बन जाती है: यानी भिन्न $\frac{1}{27}$ ही “$037$” का जाप करती है। भाग से जाँच: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

12. $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ ($9$ से भाग देकर)।

13. शून्यों के गुच्छे बिना रुके बढ़ते जाते हैं, इसलिए कोई तयशुदा गुच्छा हमेशा नहीं दोहरा सकता: यह आवर्ती दशमलव नहीं है (और रुकती भी नहीं)। भाग I से हर भिन्न या तो रुकती है या दोहराती है — इसलिए यह संख्या कोई भिन्न है ही नहीं: यह अपरिमेय है, और जान-बूझकर ऐसी बनाई गई है। अपरिमेयता का महानायक, $\sqrt2$, अध्याय 65 में बेनक़ाब होता है।

14. $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: यानी $10^9$ से ज़रा-सी बड़ी संख्या, इसलिए उसमें $10$ अंक हैं। (ठीक-ठीक: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$।)

15. $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, और यह पहले से ही सबसे सरल रूप में है ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ का $2026 = 2 \times 1013$ के साथ कोई गुणनखंड साझा नहीं है)। पूरा शब्दकोश: भिन्नें ठीक वही दशमलव हैं जो या तो रुक जाते हैं या दोहराते हैं — दस के दोस्त बने हर रुक जाते हैं, बाक़ी सब कोई न कोई गुच्छा जपते हैं; और उलटे तरफ़ से हर जाप, चाहे वह तुम्हारा पास होने का साल ही क्यों न हो, भेस बदली हुई भिन्न है।