वर्धमान, ह्रासमान क्या है? — गणित

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परिभाषा 3.8 उच्च माध्यमिक गणित · অধ্যায় 3 — फलन

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है।

$f$ $I$ पर वर्धमान है जब सभी $u, v \in I$ के लिए, $u < v$ होने पर $f(u) \leq f(v)$ हो: निर्गम निवेश के साथ बढ़ते हैं, और आलेख बाएँ से दाएँ चढ़ता है।
$f$ $I$ पर ह्रासमान है जब $u < v$ से $f(u) \geq f(v)$ निकलता हो: आलेख बाएँ से दाएँ उतरता है।

कड़ी असमिकाओं $f(u) < f(v)$ (क्रमशः $>$ ) के साथ हम निरंतर वर्धमान (क्रमशः ह्रासमान) कहते हैं।

উদাহরণ

उदाहरण 3.10

नीचे $\intcc{-2}{4}$ पर आलेखित फलन पर विचार कीजिए।

[-2, 4] पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है। — $\intcc{-2}{4}$ पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

आलेख पढ़ने पर: $f$ $f(-2) = -1.5$ से बढ़कर अपने अधिकतम $f(1) = 3$ तक जाता है, फिर घटकर $f(4) = -1.5$ तक आता है। इसकी परिवर्तन-सारणी है

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

उदाहरण 3.11 (परिवर्तन सिद्ध करना)

दिखाइए कि $f(x) = 3x + 1$ $\R$ पर निरंतर वर्धमान है। कोई भी $u < v$ लीजिए और प्रतिबिंबों की तुलना कीजिए:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

क्योंकि $v - u > 0$ है। तो $f(u) < f(v)$ : फलन निरंतर वर्धमान है। ऋणात्मक प्रवणता के साथ वही गणना, जैसे $g(x) = -2x + 5$ , $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ देती है: निरंतर ह्रासमान।

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परिभाषा 11.4 उच्च माध्यमिक गणित · অধ্যায় 11 — फलन और उनके परिवर्तन

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है। फलन $f$ $I$ पर वर्धमान है यदि वह क्रम बनाए रखता है:

u, v \in I \text{ के लिए}: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

और ह्रासमान है यदि वह क्रम उलट देता है ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ )। दाहिनी ओर कड़ी असमिकाएँ हों तो $f$ निरंतर वर्धमान (क्रमशः ह्रासमान) है। जो फलन $I$ पर वर्धमान या ह्रासमान हो वह $I$ पर एकदिष्ट कहलाता है।

উদাহরণ

उदाहरण 11.10

$\R$ पर $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ का अध्ययन कीजिए। भीतरी फलन $u(x) = x^2 + 1$ धनात्मक है, $\intoc{-\infty}{0}$ पर ह्रासमान और $\intco{0}{+\infty}$ पर वर्धमान (खिसका हुआ वर्ग)। बिंदु 3 से $f$ के भी वही परिवर्तन हैं: पहले ह्रासमान फिर वर्धमान, और न्यूनतम $f(0) = 1$ ।

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উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ