उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

11फलन और उनके परिवर्तन

यह अध्याय उन बातों को व्यवस्थित करता है जो कलन से पहले फलनों के बारे में जान लेनी चाहिए: आधार फलनों का वह छोटा परिवार जिनके आलेख कंठस्थ होने चाहिए, वर्धमान और ह्रासमान का ठीक-ठीक अर्थ, और यह कि फलनों को आपस में जोड़ने पर परिवर्तन कैसा व्यवहार करते हैं।

11.1 फलन और वक्र

परिभाषा 11.1 (फलन, प्रांत, वक्र)

फलन $f$ किसी समुच्चय $D \subseteq \R$ (उसका प्रांत) की हर संख्या $x$ के साथ ठीक एक संख्या $f(x)$ जोड़ देता है। उसका वक्र (या आलेख) $x \in D$ के लिए बिंदुओं $\bigl(x, f(x)\bigr)$ का समुच्चय है।

उदाहरण 11.2

सूत्र $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ के लिए $x + 2 \geq 0$ (वर्गमूल के लिए) और $x \neq 1$ (हर शून्येतर) आवश्यक हैं: प्रांत $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ है।

11.2 आधार फलन

नीचे दिए पाँच फलन और उनके वक्र सहज-स्वाभाविक हो जाने चाहिए।

परिभाषा 11.3 (आधार फलन)

x \mapsto x^2 \text{ (वर्ग)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (घन)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

उनके प्रांत क्रमशः $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ और $\R$ हैं। $x \mapsto \frac1x$ का वक्र एक अतिपरवलय है।

पाँच आधार वक्र: परवलय x2 और घन x3 (बाएँ); √ x, x और अतिपरवलय 1x (दाएँ)। — पाँच आधार वक्र: परवलय $x^2$ और घन $x^3$ (बाएँ); $\sqrt x$ , $\abs x$ और अतिपरवलय $\frac1x$ (दाएँ)।

11.3 किसी अंतराल पर परिवर्तन

परिभाषा 11.4 (वर्धमान, ह्रासमान)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है। फलन $f$ $I$ पर वर्धमान है यदि वह क्रम बनाए रखता है:

u, v \in I \text{ के लिए}: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

और ह्रासमान है यदि वह क्रम उलट देता है ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ )। दाहिनी ओर कड़ी असमिकाएँ हों तो $f$ निरंतर वर्धमान (क्रमशः ह्रासमान) है। जो फलन $I$ पर वर्धमान या ह्रासमान हो वह $I$ पर एकदिष्ट कहलाता है।

विधि 11.5 (परिभाषा से परिवर्तन सिद्ध करना)

अंतराल में कोई भी दो संख्याएँ $u < v$ लीजिए और अंतर $f(v) - f(u)$ का चिह्न तय कीजिए, प्रायः उसका गुणनखंडन करके। यदि अंतराल पर चिह्न अचर हो, तो निष्कर्ष निकाल लीजिए।

प्रतिज्ञप्ति 11.6 (आधार फलनों के परिवर्तन)

$x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर ह्रासमान और $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।
$x^3$ $\R$ पर निरंतर वर्धमान है।
$\sqrt x$ $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।
$\frac1x$ $\intoo{-\infty}{0}$ पर और $\intoo{0}{+\infty}$ पर निरंतर ह्रासमान है (पर उनके सम्मिलन पर नहीं)।
$\abs x$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर ह्रासमान और $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।

उपपत्ति. मान लीजिए $u < v$ है। हर स्थिति में हम $f(v) - f(u)$ का गुणनखंडन करते हैं।

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ । $\intco{0}{+\infty}$ पर: $v - u > 0$ और $v + u > 0$ (क्योंकि $v > u \geq 0$ ), इसलिए $v^2 > u^2$ । $\intoc{-\infty}{0}$ पर: $v + u < 0$ , इसलिए $v^2 < u^2$ ।

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , और दूसरा गुणनखंड $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ के बराबर है, जब तक $u = v = 0$ न हो। अतः जब भी $v > u$ हो, $v^3 > u^3$ ।

3. $0 \leq u < v$ के लिए: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ ।

4. $0 < u < v$ के लिए: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ , क्योंकि $u - v < 0$ और $uv > 0$ ; $u < v < 0$ के लिए वही गणना। सम्मिलन पर यह दावा टूट जाता है: $-1 < 1$ , पर $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ ।

5. $\intco{0}{+\infty}$ पर $\abs x = x$ निरंतर वर्धमान है; $\intoc{-\infty}{0}$ पर $\abs x = -x$ निरंतर ह्रासमान है। ∎

टिप्पणी 11.7

बिंदु 4 एक चिरपरिचित जाल है: “ $\intoo{-\infty}{0}$ पर और $\intoo{0}{+\infty}$ पर ह्रासमान” का अर्थ “ $\R \setminus \{0\}$ पर ह्रासमान” नहीं है। परिवर्तन केवल अंतरालों पर ही अर्थ रखते हैं।

उदाहरण 11.8 (बिना गणना किए तुलना)

चूँकि $\sqrt x$ निरंतर वर्धमान है, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; और चूँकि $x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर ह्रासमान है, $(-3)^2 > (-2)^2$ । एकदिष्टता प्रतिबिंबों की तुलना को चरों की तुलना में बदल देती है।

11.4 पुराने फलनों से नए फलन

प्रतिज्ञप्ति 11.9 (रूपांतरण)

मान लीजिए $u$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन है और $k \in \R$ है।

$u + k$ के परिवर्तन $I$ पर $u$ जैसे ही हैं; उसका वक्र $u$ का वक्र ही है, जो ऊर्ध्वाधर दिशा में $k$ खिसका हुआ है।
$\lambda > 0$ के लिए $\lambda u$ के परिवर्तन $u$ जैसे हैं; $\lambda < 0$ के लिए परिवर्तन उलट जाते हैं।
यदि $I$ पर $u \geq 0$ हो, तो $\sqrt u$ के परिवर्तन $u$ जैसे हैं।
यदि $u \neq 0$ हो और $I$ पर $u$ का चिह्न अचर हो, तो $\frac1u$ के परिवर्तन $u$ के विपरीत हैं।

उपपत्ति. मान लीजिए $I$ में $u < v$ है (संकेतन का थोड़ा दुरुपयोग करते हुए हम $x$ के मान $u < v$ की तुलना करते हैं; $x_1 < x_2$ के प्रतिबिंबों को $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ लिखिए)।

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : प्रतिबिंबों का अंतर अपरिवर्तित रहता है, इसलिए उसका चिह्न भी।

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : $\lambda > 0$ होने पर चिह्न बना रहता है, $\lambda < 0$ होने पर पलट जाता है।

3. यदि $u$ वर्धमान हो और $x_1 < x_2$ हो, तो $0 \leq s \leq t$ , और $\sqrt{}$ के वर्धमान होने से (प्रतिज्ञप्ति 11.6) $\sqrt s \leq \sqrt t$ मिलता है। ह्रासमान स्थिति में भी वही तर्क।

4. यदि $u$ वर्धमान हो और $0 < s \leq t$ (या $s \leq t < 0$ ) हो, तो $\frac1s \geq \frac1t$ , क्योंकि $x \mapsto \frac1x$ $0$ के दोनों ओर ह्रासमान है: क्रम उलट जाता है। ∎

उदाहरण 11.10

$\R$ पर $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ का अध्ययन कीजिए। भीतरी फलन $u(x) = x^2 + 1$ धनात्मक है, $\intoc{-\infty}{0}$ पर ह्रासमान और $\intco{0}{+\infty}$ पर वर्धमान (खिसका हुआ वर्ग)। बिंदु 3 से $f$ के भी वही परिवर्तन हैं: पहले ह्रासमान फिर वर्धमान, और न्यूनतम $f(0) = 1$ ।

रूपांतरण काम पर: x2 को 1 ऊपर खिसकाने से (लाल) उसके परिवर्तन बने रहते हैं; वर्गमूल लेने से (नारंगी) भी वे बने रहते हैं, जैसा कहता है। — रूपांतरण काम पर: $x^2$ को $1$ ऊपर खिसकाने से (लाल) उसके परिवर्तन बने रहते हैं; वर्गमूल लेने से (नारंगी) भी वे बने रहते हैं, जैसा उदाहरण 11.10 कहता है।

11.5 सम और विषम फलन

परिभाषा 11.11 (सम-विषमता)

मान लीजिए $f$ ऐसे प्रांत $D$ पर परिभाषित है जो $0$ के परितः सममित है (अर्थात् जब भी $x \in D$ हो तब $-x \in D$ भी)। फलन $f$ सम है यदि सभी $x \in D$ के लिए $f(-x) = f(x)$ हो, और विषम है यदि सभी $x \in D$ के लिए $f(-x) = -f(x)$ हो।

प्रतिज्ञप्ति 11.12 (ज्यामितीय अर्थ)

सम फलन का वक्र $y$ -अक्ष के परितः सममित होता है; विषम फलन का वक्र मूल बिंदु के परितः सममित होता है।

उपपत्ति. यदि $f$ सम हो और $(x, y)$ वक्र पर हो (अर्थात् $y = f(x)$ ), तो $f(-x) = f(x) = y$ : दर्पण-बिंदु $(-x, y)$ भी वक्र पर है। यदि $f$ विषम हो, तो $f(-x) = -y$ : बिंदु $(-x, -y)$ , जो मूल बिंदु के परितः $(x,y)$ का सममित है, वक्र पर है। ∎

उदाहरण 11.13

$x^2$ और $\abs x$ सम हैं; $x^3$ और $\frac1x$ विषम हैं; $f(x) = x^2 + x$ इनमें से कोई नहीं: $f(-1) = 0$ जबकि $f(1) = 2$ , इसलिए $f(-1) \neq \pm f(1)$ । सम-विषमता आधा काम बचा देती है: सम या विषम फलन का अध्ययन केवल $\intco{0}{+\infty}$ पर करना पर्याप्त है।

11.6 अभ्यास

अभ्यास 11.1 ★

हर फलन का प्रांत बताइए:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

हल

हल — अभ्यास 11.1.

$f$ : $3 - x \geq 0$ चाहिए, प्रांत $\intoc{-\infty}{3}$ ।

$g$ : $x^2 - 4 \neq 0$ चाहिए, अर्थात् $x \neq \pm 2$ : प्रांत $\R \setminus \{-2, 2\}$ ।

$h$ : $x \geq 0$ और $x \neq 5$ चाहिए: प्रांत $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ ।

अभ्यास 11.2 ★

आधार फलनों के परिवर्तनों का उपयोग करके कैलकुलेटर के बिना तुलना कीजिए:

\sqrt{11} \text{ और } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ और } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ और } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ और } (-0.99)^3 .

हल

हल — अभ्यास 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ , क्योंकि $\sqrt{}$ वर्धमान है और $11 < 13$ ।

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ , क्योंकि $x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर ह्रासमान है और $-2.1 < -2.05$ ।

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ , क्योंकि $\frac1x$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर ह्रासमान है और $0.9 < 1.1$ ।

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ , क्योंकि $x^3$ वर्धमान है और $-1.01 < -0.99$ ।

अभ्यास 11.3 ★

बताइए कि हर फलन सम है, विषम है, या इनमें से कोई नहीं:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

हल

हल — अभ्यास 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : सम।

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : विषम।

$h(1) = 2$ और $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , इसलिए $h(-1)$ न $h(1)$ है न $-h(1)$ : न सम, न विषम।

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : विषम।

अभ्यास 11.4 ★

फलन $f$ का परिवर्तन-व्यवहार यह है: $\intcc{-3}{1}$ पर $f(-3) = -2$ से $f(1) = 4$ तक वर्धमान, फिर $\intcc{1}{5}$ पर घटकर $f(5) = 0$ तक। समीकरण $f(x) = 1$ के $\intcc{-3}{5}$ पर कितने हल हैं? और $f(x) = 5$ के?

हल

हल — अभ्यास 11.4.

परिवर्तन-सारणी पढ़िए। $\intcc{-3}{1}$ पर $f$ $-2$ से $4$ तक चढ़ता है और मान $1$ को ठीक एक बार पार करता है; $\intcc{1}{5}$ पर वह $4$ से $0$ तक उतरता है और $1$ को एक बार और पार करता है: समीकरण $f(x) = 1$ के $2$ हल हैं। $f$ का अधिकतम $f(1) = 4 < 5$ है, इसलिए $f(x) = 5$ का कोई हल नहीं।

अभ्यास 11.5 ★★

विधि 11.5 ( $f(v) - f(u)$ का चिह्न) का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^2 - 4x$ $\intco{2}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।

हल

हल — अभ्यास 11.5.

मान लीजिए $2 \leq u < v$ है। तब

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

दोनों गुणनखंड धनात्मक हैं: $v - u > 0$ , और $u + v > 2 + 2 = 4$ , क्योंकि $u \geq 2$ और $v > 2$ । अतः $f(v) > f(u)$ : $f$ $\intco{2}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।

अभ्यास 11.6 ★★

कोई अवकलज निकाले बिना इनके परिवर्तन बताइए:

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \intoc{-\infty}{5} \text{ पर}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \intco{0}{+\infty} \text{ पर}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \intco{0}{+\infty} \text{ पर}.

हल

हल — अभ्यास 11.6.

$f = \sqrt{u}$ , जहाँ $u(x) = 5 - x$ $\intoc{-\infty}{5}$ पर ह्रासमान और अऋणात्मक है: वहाँ $f$ ह्रासमान है (प्रतिज्ञप्ति 11.9)।

$g = \frac1u$ , जहाँ $u(x) = x^2 + 1$ $\intco{0}{+\infty}$ पर वर्धमान और धनात्मक है: वहाँ $g$ ह्रासमान है।

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ वर्धमान है, $-2 < 0$ से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है, और $3$ जोड़ने से कुछ नहीं बदलता: $h$ $\intco{0}{+\infty}$ पर ह्रासमान है।

अभ्यास 11.7 ★★

मान लीजिए $\R$ पर $f(x) = (x-2)^2 - 3$ है।

$f$ के परिवर्तन और उसका न्यूनतम बताइए।
$g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ के परिवर्तन और उसका अधिकतम निकालिए। (ध्यान दीजिए कि $g = \frac{1}{f + 4}$ ।)

हल

हल — अभ्यास 11.7.

1. $f$ मानक रूप में है: $\intoc{-\infty}{2}$ पर ह्रासमान, $\intco{2}{+\infty}$ पर वर्धमान, न्यूनतम $f(2) = -3$ ।

2. $g = \frac{1}{u}$ , जहाँ $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ । $4$ का खिसकाव $f$ के परिवर्तन बनाए रखता है, और $u \geq 1 > 0$ । व्युत्क्रम लेने पर वे उलट जाते हैं: $g$ $\intoc{-\infty}{2}$ पर वर्धमान और $\intco{2}{+\infty}$ पर ह्रासमान है, और उसका अधिकतम $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ है।

अभ्यास 11.8 ★★

फलन $f$ का वक्र बिंदुओं $(0, 1)$ , $(2, 3)$ और $(4, 1)$ से होकर जाता है, और $f$ $\intcc{0}{2}$ पर वर्धमान तथा $\intcc{2}{4}$ पर ह्रासमान है। एक संभव वक्र का रेखाचित्र बनाइए, फिर $f + 2$ , $-f$ और $2f$ के वक्रों के रेखाचित्र बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 11.8.

तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाला कोई भी पहाड़ी-जैसा वक्र चलेगा। फिर: $f + 2$ $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ से होकर जाता है और उसके परिवर्तन वही रहते हैं (ऊर्ध्वाधर खिसकाव); $-f$ $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ से होकर जाता है पर उसके परिवर्तन उलट जाते हैं (चोटी घाटी बन जाती है); $2f$ $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ से होकर जाता है, परिवर्तन वही पर ऊर्ध्वाधर दिशा में बढ़े हुए।

अभ्यास 11.9 ★★

दिखाइए कि फलन $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ को $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ लिखा जा सकता है, और इससे $\intoo{-1}{+\infty}$ पर उसके परिवर्तन निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ । $\intoo{-1}{+\infty}$ पर $u(x) = x + 1$ वर्धमान और धनात्मक है, इसलिए $\frac1u$ ह्रासमान है, $-\frac1u$ वर्धमान है, और $2$ जोड़ने से कुछ नहीं बदलता: $f$ $\intoo{-1}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।

अभ्यास 11.10 ★★

सत्य या असत्य (पुष्ट कीजिए या प्रतिउदाहरण दीजिए):

$I$ पर दो वर्धमान फलनों का योग $I$ पर वर्धमान होता है।
$I$ पर दो वर्धमान फलनों का गुणनफल $I$ पर वर्धमान होता है।
यदि $f$ $I$ पर वर्धमान हो, तो $f^2$ ( $= f \times f$ ) $I$ पर वर्धमान होता है।

हल

हल — अभ्यास 11.10.

1. सत्य: यदि $u < v$ हो, तो $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ दो अऋणात्मक संख्याओं का योग है।

2. असत्य: $f(x) = g(x) = x$ $\R$ पर वर्धमान हैं, पर उनका गुणनफल $x^2$ $\R$ पर वर्धमान नहीं है (वह $\intoc{-\infty}{0}$ पर घटता है)। (यदि दोनों फलन अऋणात्मक भी हों तो कथन सत्य हो जाता है।)

3. असत्य: वही प्रतिउदाहरण: $f(x) = x$ $\R$ पर वर्धमान है पर $f^2(x) = x^2$ नहीं।

अभ्यास 11.11 ★★★

मान लीजिए $x > 0$ के लिए $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है।

दिखाइए कि $0 < u < v$ के लिए $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ ।
इससे निकालिए कि $f$ $\intoc{0}{1}$ पर निरंतर ह्रासमान और $\intco{1}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।
निष्कर्ष निकालिए कि सभी $x > 0$ के लिए $x + \frac1x \geq 2$ है, और समता केवल $x = 1$ पर है।

हल

हल — अभ्यास 11.11.

1. $0 < u < v$ के लिए:

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. सदा $v - u > 0$ और $uv > 0$ । यदि $0 < u < v \leq 1$ हो, तो $uv < 1$ , इसलिए $uv - 1 < 0$ और $f(v) < f(u)$ : $f$ $\intoc{0}{1}$ पर निरंतर ह्रासमान है। यदि $1 \leq u < v$ हो, तो $uv > 1$ और $f(v) > f(u)$ : $f$ $\intco{1}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है।

3. $f$ $1$ से पहले घटता है और उसके बाद बढ़ता है, इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq f(1) = 2$ , और समता ठीक $x = 1$ पर। (यह असमिका अनेक वेशों में लौटती है; उदाहरण 10.3 और अध्याय 22 की स्पर्श-रेखा वाली असमिकाओं से तुलना कीजिए।)

11.7 समस्या: सममिति का कारख़ाना

समस्या 11.1

सप्ताहांत समस्या — हर फलन एक सम भाग और एक विषम भाग का योग है: सम-विषमता के नियम, रूपांतरण का खेल, और कलन के बिना जीते गए न्यूनतम

कुछ फलन दर्पण-सममित होते हैं, कुछ अर्ध-घूर्णन-सममित, और अधिकांश दोनों में से कोई नहीं — फिर भी बीजगणित का एक छोटा-सा चमत्कार कहता है कि हर फलन, ठीक एक ही तरह से, एक दर्पण-सममित टुकड़े और एक अर्ध-घूर्णन-सममित टुकड़े का योग है। यह समस्या उस चमत्कार को सिद्ध करती है, आधार वक्रों (प्रतिज्ञप्ति 11.9) पर रूपांतरण का खेल खेलती है, और अभ्यास 11.11 की अंतर-गुणनखंडन वाली तकनीक पर समाप्त होती है, जो अवकलज के आने से पूरा एक अध्याय पहले ही न्यूनतमकरण की समस्याएँ जीत लेती है।

भाग I — सम-विषमता में प्रवाह।

सम, विषम, या कोई नहीं (परिभाषा 11.11)? हर एक को पुष्ट कीजिए: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ ।
हर निर्णय का ज्यामितीय अर्थ बताइए (प्रतिज्ञप्ति 11.12): सम फलन के वक्र में कौन-सी सममिति होती है? विषम के वक्र में?
सम-विषमता चिह्नों की तरह गुणा होती है: सिद्ध कीजिए कि दो विषम फलनों का गुणनफल सम होता है, और पूरी गुणन-सारणी पूरी कीजिए (सम $\times$ सम, सम $\times$ विषम, विषम $\times$ विषम)।
तुरंत निकलने वाले परिणाम: यदि $f$ विषम हो और $0$ पर परिभाषित हो, तो $f(0)$ क्या है? यदि $f$ सम हो और $f(3) = 7$ हो, तो $f(-3)$ क्या है? और दिखाइए कि सम और विषम दोनों होने वाला अकेला फलन शून्य फलन है।
सम फलन के वक्र का कितना हिस्सा पूरे वक्र को तय कर देता है? ऐसा एक फलन दीजिए जो न सम हो न विषम, और समझाइए कि वहाँ क्या टूट जाता है।

भाग II — विघटन प्रमेय। $0$ के परितः सममित किसी प्रांत पर परिभाषित फलन $f$ के लिए रखिए

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

$f(x) = x^3 + x^2 + 1$ के लिए $E$ और $O$ निकालिए, और जाँचिए: $E$ सम, $O$ विषम, $E + O = f$ ।
सामान्य कथन सिद्ध कीजिए: किसी भी $f$ के लिए फलन $E$ सम है, $O$ विषम है, और $f = E + O$ — हर फलन एक सम भाग और एक विषम भाग में बँट जाता है।
सिद्ध कीजिए कि यह विभाजन अद्वितीय है: यदि $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ हो, जहाँ $E_i$ सम और $O_i$ विषम हैं, तो $E_1 - E_2$ पर प्रश्न 4 का उपयोग कीजिए।
$f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ का विघटन कीजिए ( $x \neq \pm 1$ के लिए): $E$ और $O$ को उभयनिष्ठ हर $1 - x^2$ पर लाइए और सरल कीजिए।
आगे की एक झलक, एक-एक वाक्य में: चरघातांकी फलन के सम और विषम भाग कक्षा 12 के जुड़वाँ फलन होंगे (अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या); और वही प्रवृत्ति — किसी वस्तु को सममित टुकड़ों में बाँटकर हर टुकड़े को उसकी अपनी सममिति से सँभालना — स्नातक खंडों में ध्वनि और संकेतों के विश्लेषण को चलाती है। सामान्यतः ऐसा विभाजन उपयोगी क्यों है?

भाग III — रूपांतरण का खेल।

$x \mapsto x^2$ के वक्र से शुरू करके $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ के वक्रों का ठीक-ठीक वर्णन कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 11.9)।
$f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ को $-2$ और $2$ से कटे तीनों अंतरालों पर खंडशः सूत्र में बदलिए, और उसके वक्र का वर्णन कीजिए (उसका एक प्रसिद्ध चपटा तल है)।
कौन-से रूपांतरण समता का आदर करते हैं? उपपत्ति या प्रतिउदाहरण के साथ तय कीजिए: क्षैतिज खिसकाव $f(x - 3)$ ; ऊर्ध्वाधर खिसकाव $f(x) + 2$ ; ऊर्ध्वाधर खिंचाव $2 f(x)$ (सब किसी सम $f$ पर लगाए गए)।
प्रश्न 12 के खंडशः सूत्र का उपयोग करके $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ हल कीजिए।
उलटी अभियांत्रिकी: किसी परवलय का शीर्ष $(2, -3)$ है और वह $(0, 1)$ से होकर जाता है। उसका समीकरण मानक रूप में फिर से बनाइए।

भाग IV — कलन के बिना न्यूनतम।

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $g(x) = x + \dfrac4x$ के लिए दर्पण अभ्यास 11.11: दिखाइए कि $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , न्यूनतम का स्थान बताइए, और उसका मान दीजिए।
अनुप्रयोग: क्षेत्रफल $16$ वाले सभी आयतों में से किसका परिमाप सबसे कम है? ( $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ लिखिए और प्रश्न 16 की मशीन काम में लाइए।) एक पुराना मित्र निष्कर्ष निकाल देता है।
$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ के परिवर्तन पूरे $\R$ पर ज्ञात कीजिए, और इसके लिए $\intco{0}{+\infty}$ पर संयोजन वाले तर्क को शेष के लिए सम-विषमता वाले तर्क के साथ जोड़िए।
निकटतम बिंदु: वक्र $y = \sqrt x$ का वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(3, 0)$ के सबसे निकट है। (दूरी के वर्ग को न्यूनतम कीजिए — वह $x$ में द्विघात है — और समझाइए कि वर्ग को न्यूनतम करना उचित क्यों है।)
समापन, कारख़ाने का चक्कर: आधार वक्र कच्चा माल हैं; रूपांतरण मशीनें; सम-विषमता और विघटन गुणवत्ता-नियंत्रण; और अंतर-गुणनखंडन माप-मेज़। हर एक पर एक वाक्य — और उस बड़े औज़ार का नाम बताइए जो अगला अध्याय सौंपता है।

हल

हल — समस्या 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : सम ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ )। $x^3 - x$ : विषम। $x^2 + x$ : कोई नहीं ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ और $\neq -f(1)$ )। $\abs x$ : सम। $\frac1x$ : विषम।

2. सम: वक्र $y$ -अक्ष के आरपार सममित है (दर्पण)। विषम: मूल बिंदु के परितः सममित (आधा चक्कर)।

3. यदि $f$ और $g$ विषम हों: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : सम। सारणी: सम $\times$ सम $=$ सम; सम $\times$ विषम $=$ विषम; विषम $\times$ विषम $=$ सम — सम-विषमता के साथ वही चिह्नों वाला नियम।

4. $0$ पर विषम: $f(0) = -f(0)$ , इसलिए $f(0) = 0$ । सम: $f(-3) = f(3) = 7$ । सम और विषम दोनों: सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x) = -f(x)$ , इसलिए $2f(x) = 0$ : $f$ शून्य फलन है।

5. दाहिना आधा भाग ( $x \geq 0$ ) किसी सम फलन को पूरी तरह तय कर देता है: बायाँ आधा उसका दर्पण है। न सम न विषम: $x^2 + x$ (प्रश्न 1) — $x = 1$ पर उसकी दोनों सममितियाँ टूट जाती हैं।

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (सम), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (विषम); उनका योग $f$ है।

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : सम। $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : विषम। और सीधे जोड़ने पर $E(x) + O(x) = f(x)$ : हर फलन बँट जाता है।

8. $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ से: $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ । बायाँ पक्ष सम है, दाहिना विषम — इसलिए यह फलन दोनों है, अतः शून्य (प्रश्न 4): $E_1 = E_2$ और $O_1 = O_2$ । विभाजन एक ही है।

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , और $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ । जाँच: $E$ सम है, $O$ विषम है, और उनका योग $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ है।

10. क्योंकि हर टुकड़ा किसी सममिति का पालन करता है, इसलिए हर एक के लिए आधा काम (और आधे आँकड़े) पर्याप्त हैं: एक ओर हल कीजिए और दूसरी ओर दर्पण लगा दीजिए — और अनेक संक्रियाएँ (समाकलन, श्रेणियाँ, संकेत-विश्लेषण) सममित टुकड़ों को कच्चे फलनों की तुलना में कहीं अधिक सरलता से सँभालती हैं।

11. $(x-3)^2$ : $3$ दाईं ओर खिसका हुआ। $x^2 + 2$ : $2$ ऊपर खिसका हुआ। $(x-3)^2 + 2$ : दोनों। $-x^2$ : उलटा पलटा हुआ। $2x^2$ : ऊर्ध्वाधर दिशा में $2$ गुना खिंचा हुआ (सँकरा कटोरा)।

12. $x \geq 2$ के लिए: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ । $-2 \leq x \leq 2$ के लिए: $(2 - x) + (x + 2) = 4$ । $x \leq -2$ के लिए: $-2x$ । वक्र प्रवणता $-2$ से उतरता है, $-2$ और $2$ के बीच ऊँचाई $4$ पर सपाट चलता है, फिर प्रवणता $2$ से चढ़ता है: सपाट तल वाली एक घाटी।

13. ऊर्ध्वाधर खिसकाव: $f(x) + 2$ सम ही रहता है ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ )। ऊर्ध्वाधर खिंचाव: $2f(x)$ सम ही रहता है। क्षैतिज खिसकाव: $(x - 3)^2$ सम नहीं है ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): बग़ल में सरकाने से दर्पण टूट जाता है।

14. सपाट तल पर मान $4 \neq 6$ है। $x \geq 2$ के लिए: $2x = 6$ , $x = 3$ । $x \leq -2$ के लिए: $-2x = 6$ , $x = -3$ । हल: $\pm 3$ ।

15. $f(0) = 4a - 3 = 1$ के साथ $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ : $a = 1$ , इसलिए $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ ।

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : $uv < 4$ वाले $u < v$ के लिए ऋणात्मक, और $uv > 4$ के साथ धनात्मक: $\intoc{0}{2}$ पर ह्रासमान, $\intco{2}{+\infty}$ पर वर्धमान; न्यूनतम $x = 2$ पर, जिसका मान $g(2) = 4$ है।

17. भुजाएँ $x$ और $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , जो (प्रश्न 16 की मशीन $4 \to 16$ के साथ, मोड़ का बिंदु $\sqrt{16} = 4$ ) $x = 4$ पर न्यूनतम होता है: $4 \times 4$ वाला वर्ग, परिमाप $16$ — डिडो का उत्तर, अब हर वास्तविक भुजा-लंबाई के लिए सिद्ध।

18. $\intco{0}{+\infty}$ पर: $x \mapsto x^2 + 1$ बढ़ता है, और $\sqrt{\phantom{x}}$ बढ़ता है, इसलिए संयुक्त फलन भी बढ़ता है। और $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ सम है, इसलिए दर्पण-सममिति से वह $\intoc{-\infty}{0}$ पर घटता है। न्यूनतम $h(0) = 1$ ।

19. बिंदु $(x, \sqrt x)$ की $(3, 0)$ से वर्ग-दूरी: $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , जो $x = \frac52$ पर न्यूनतम है: निकटतम बिंदु $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , दूरी $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ । $d^2$ को न्यूनतम करना उचित है क्योंकि धनात्मक संख्याओं पर वर्ग लेना निरंतर वर्धमान है: $d$ और $d^2$ एक ही जगह तल छूते हैं।

20. कच्चा माल: कंठस्थ आधार वक्र। मशीनें: खिसकाव, पलटाव और खिंचाव, जो पुराने आलेखों से नए बना देते हैं। गुणवत्ता-नियंत्रण: सम-विषमता और सम–विषम विभाजन, जो हर अध्ययन आधा कर देते हैं। माप-मेज़: $f(v) - f(u)$ का गुणनखंडन, जो परिवर्तन और न्यूनतम सीधे पढ़ लेता है। और अगले अध्याय का बड़ा औज़ार: अवकलज, जो उन्हें एक नज़र में पढ़ लेता है।