उपसमष्टि কী?

उदाहरण 18.4

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में: संतत फलन, अवकलनीय फलन, $\leq n$ घात वाले बहुपद ($K[X]$ के भीतर $K_n[X]$ लिखा जाता है), किसी समघातीय रैखिक अवकल समीकरण के हल (प्रमेय 5.10 ने ठीक यही कहा था)। प्रति-उदाहरण: $\{f : f(0) = 1\}$ (शून्य नहीं है), ठीक $n$ घात वाले बहुपद (योग के अंतर्गत स्थायी नहीं)।

उदाहरण 18.5 (उपसमष्टि है या नहीं: चार निर्णय, तर्क सहित)

वास्तविक अनुक्रमों की समष्टि में:

• $\{u : u \text{ परिबद्ध}\}$ उपसमष्टि है: $0$ परिबद्ध है, और यदि $\abs{u_n} \leq M$, $\abs{v_n} \leq M'$, तो $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$।
• $\{u : u_n \to 1\}$ नहीं है: शून्य अनुक्रम अनुपस्थित है (और दो सदस्यों का योग $2$ की ओर जाता है)।
• $\{u : u \text{ एकदिष्ट}\}$ नहीं है: $u_n = n$ और $v_n = -n + (-1)^n$ एकदिष्ट हैं, पर उनका योग $(-1)^n$ नहीं; यहाँ योग के अंतर्गत स्थायित्व वाला अभिगृहीत विफल होता है, यद्यपि समुच्चय में $0$ है और अपने सदस्यों के सभी अदिश गुणज भी।
• $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ नहीं है: उसमें $0$ है, पर $u$ के अशून्य सदस्य होते ही $2u$ बाहर निकल जाता है (व्यापक रूप से $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$) — अरैखिकता वर्ग करने में है।

काम का क्रम सदा एक ही है: पहले $0$ की जाँच (सबसे सस्ती), फिर स्थायित्व — और खंडन के लिए एक स्पष्ट प्रति-उदाहरण की जोड़ी किसी भी मात्रा के संदेह से बेहतर है।

उदाहरण 18.12 ($K_n[X]$ में एक पूरक जोड़ी)

$a \in K$ नियत कीजिए और $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G = \operatorname{Vect}(1)$ (अचर फलन) रखिए। तब $K_n[X] = F \oplus G$। वस्तुतः $F \cap G$ में वे अचर फलन हैं जो $a$ पर शून्य होते हैं, अर्थात् $\{0\}$; और हर $P$ यों विघटित होता है

यह विघटन याद रखने योग्य है: किसी बिंदु पर के मान को घटा देना ही “$a$ पर शून्य होने वाले फलनों” पर प्रक्षेप करने की मानक विधि है। ध्यान दीजिए कि $F$ एक बड़ी उपसमष्टि है और $G$ एक छोटी; पूरक जोड़ी का किसी भी अर्थ में संतुलित होना आवश्यक नहीं।