def কী?

Contoh 21.2 (Turunan, sebagai sebuah matriks)

Misalkan $D(P) = P'$ pada $\R_3[X]$. Pada basis monomialnya $(1, X, X^2, X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, sehingga

Sedangkan pada basis yang terbagi $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$, setiap vektor basisnya terpetakan ke yang sebelumnya (karena $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), dan matriksnya menjadi geseran murni: yaitu satuan pada superdiagonalnya, dan nol di tempat lain. Ada dua moralnya: bahwa matriksnya milik pasangan (pemetaan, basis), bukan pemetaannya belaka; dan bahwa basis yang baik membuat strukturnya kasatmata sekali pandang — karena bentuk geserannya seketika menunjukkan bahwa $D^4 = 0$ pada $\R_3[X]$, dengan setiap pangkat matriksnya mendorong diagonal satuannya satu langkah lebih jauh ke luar.