Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

43Keliling, Luas, Volume

Berapa panjang pagarnya, seberapa besar sawahnya, berapa banyak air yang muat di dalam tangki? Tiga pertanyaan yang berbeda, tiga besaran yang berbeda — keliling, luas, volume — masing-masing dengan satuannya sendiri. Mencampuradukkannya adalah kesalahan yang paling sering terjadi dalam geometri; bab ini memilahnya untuk selamanya.

43.1 Panjang dan keliling

Definisi 43.1 (Keliling)

Keliling sebuah bangun adalah panjang seluruh tepinya. Ia diukur dengan satuan panjang: milimeter (mm), sentimeter (cm), meter (m), kilometer (km), dengan

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Contoh 43.2

Persegi panjang dengan panjang $L$ dan lebar $w$ punya keliling

P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).

Untuk persegi panjang $7$ cm kali $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Persegi dengan sisi $c$ punya keliling $4c$ .

Proposisi 43.3 (Lingkar sebuah lingkaran)

Keliling (atau lingkar) sebuah lingkaran berjari-jari $r$ adalah

P = 2 \pi r ,

dengan $\pi \approx 3.14$ adalah bilangan yang sama untuk setiap lingkaran.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 43.4

Sebuah kolam berbentuk lingkaran berjari-jari $5$ m. Tepinya berukuran $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Simpanlah nilai tepatnya $10\pi$ selama mungkin; bulatkan hanya pada akhirnya.

43.2 Luas

Definisi 43.5 (Luas)

Luas sebuah bangun mengukur permukaan yang ditutupinya: berapa persegi satuan yang muat di dalamnya. Satuannya: cm $^2$ (persegi dengan sisi $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Hati-hati:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— satu meter persegi adalah persegi $100$ cm kali $100$ cm, jadi setiap anak tangga satuannya bernilai $100$ , bukan $10$ .

Luas sebuah persegi panjang: 7 kolom yang masing-masing berisi 4 persegi satuan, jadi seluruhnya 7 × 4 = 28 persegi. Inilah sebabnya luas = panjang × lebar. — Luas sebuah persegi panjang: $7$ kolom yang masing-masing berisi $4$ persegi satuan, jadi seluruhnya $7 \times 4 = 28$ persegi. Inilah sebabnya luas $=$ panjang $\times$ lebar.

Proposisi 43.6 (Rumus dasar luas)

bangun	luas
persegi panjang ( $L \times w$ )	$A = L \times w$
persegi (sisi $c$ )	$A = c^2$
[4pt] segitiga siku-siku (sisi siku-siku $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] cakram (jari-jari $r$ )	$A = \pi r^2$

Pembuktian untuk segitiga siku-siku. Dua salinan segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $a$ dan $b$ , yang direkatkan sepanjang sisi miringnya, membentuk persegi panjang $a \times b$ . Jadi luas segitiganya adalah setengah luas persegi panjang itu: $\frac{ab}{2}$ . (Rumus persegi panjangnya adalah pembilangan persegi satuan di atas; rumus cakramnya diterima tanpa bukti, lihat Bab 53.) ∎

Segitiga siku-siku adalah setengah persegi panjang: dari sana datang rumus a× b/2. — Segitiga siku-siku adalah setengah persegi panjang: dari sana datang rumus $\frac{a\times b}{2}$ .

Contoh 43.7 (Bangun gabungan)

Sebuah ruangan berbentuk L adalah persegi panjang $6$ m $\times$ $4$ m dengan pojok persegi $2$ m $\times$ $2$ m yang dibuang. Luasnya, selangkah demi selangkah:

seluruh persegi panjang: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
persegi yang dibuang: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
luas yang tersisa: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Kelilingnya bukan $20$ apa pun: berjalan mengelilingi huruf L itu, tepinya tetap berukuran $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — kedua potongan pojoknya menggantikan dua bagian dinding yang sama panjang. Bilangannya sama secara kebetulan, tetapi yang satu meter persegi, yang lain meter!

Catatan 43.8 (Keliling sama, luas berbeda)

Dua bangun dapat punya keliling yang sama dan luas yang sangat berbeda: persegi $5 \times 5$ dan persegi panjang $9 \times 1$ sama-sama berkeliling $20$ , tetapi luasnya $25$ dan $9$ . Keliling dan luas benar-benar besaran yang saling bebas.

43.3 Volume

Definisi 43.9 (Volume)

Volume sebuah bangun ruang mengukur ruang yang diisinya: berapa kubus satuan yang muat di dalamnya. Satuannya: cm $^3$ , m $^3$ , … dengan $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (setiap anak tangga bernilai $1000$ ). Untuk zat cair orang juga memakai liter:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposisi 43.10 (Volume sebuah balok)

Sebuah balok (prisma persegi panjang) dengan panjang $L$ , lebar $w$ dan tinggi $h$ punya volume

V = L \times w \times h .

Bukti. Lapisan dasarnya memuat $L \times w$ kubus satuan (gambar Definisi 43.5, dengan kubus), dan ada $h$ lapisan seperti itu. ∎

Sebuah balok yang diisi kubus satuan: 4 × 2 kubus per lapisan, dua lapisan. — Sebuah balok yang diisi kubus satuan: $4 \times 2$ kubus per lapisan, dua lapisan.

Contoh 43.11

Sebuah akuarium berukuran $60$ cm kali $30$ cm kali $40$ cm (tinggi). Volumenya:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Selangkah demi selangkah untuk mengubah satuannya: $1000$ cm $^3$ menjadi satu liter, dan $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Latihan

Latihan 43.1 ★

Ubahlah: $3.5$ m menjadi cm; $420$ mm menjadi cm; $0.8$ km menjadi m; $25\,000$ m menjadi km.

Solusi

Solusi Latihan 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Latihan 43.2 ★

Hitunglah keliling: persegi panjang $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; persegi dengan sisi $6.2$ cm; segitiga dengan sisi $5$ cm, $7$ cm dan $9$ cm.

Solusi

Solusi Latihan 43.2.

Persegi panjang: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Persegi: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Segitiga: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Latihan 43.3 ★

Sebuah lintasan lari berbentuk lingkaran berjari-jari $50$ m. Berapa panjang satu putaran (nilai tepatnya dengan $\pi$ , lalu dibulatkan ke meter)? Berapa putaran yang membuat sedikitnya $2$ km?

Solusi

Solusi Latihan 43.3.

Satu putaran: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Untuk $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , jadi diperlukan $7$ putaran penuh ( $6$ putaran hanya menempuh kira-kira $1\,885$ m).

Latihan 43.4 ★

Hitunglah luas: persegi panjang $9$ cm $\times$ $4$ cm; persegi dengan sisi $7$ m; segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $6$ cm dan $10$ cm; cakram berjari-jari $3$ cm (nilai tepatnya, lalu dibulatkan ke cm $^2$ ).

Solusi

Solusi Latihan 43.4.

Persegi panjang: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Persegi: $7^2 = 49$ m $^2$ . Segitiga siku-siku: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Cakram: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Latihan 43.5 ★

Ubahlah: $3$ m $^2$ menjadi cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ menjadi m $^2$ ; $2.5$ L menjadi cm $^3$ ; $4\,500$ L menjadi m $^3$ .

Solusi

Solusi Latihan 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Latihan 43.6 ★

Sebuah sawah berbentuk persegi panjang, panjangnya $120$ m dan lebarnya $85$ m. Berapa meter pagar yang diperlukan untuk mengelilinginya? Berapa luasnya?

Solusi

Solusi Latihan 43.6.

Pagarnya (kelilingnya): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Luasnya: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Latihan 43.7 ★

Hitunglah volume balok $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, dan volume kubus dengan rusuk $3$ cm.

Solusi

Solusi Latihan 43.7.

Balok: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Latihan 43.8 ★

Gambarlah dua persegi panjang berbeda yang berkeliling $16$ cm, lalu hitunglah luasnya. Persegi panjangmu yang mana yang lebih besar luasnya?

Solusi

Solusi Latihan 43.8.

Keliling $16$ cm berarti panjang $+$ lebar $= 8$ cm. Misalnya $6 \times 2$ (luasnya $12$ cm $^2$ ) dan $5 \times 3$ (luasnya $15$ cm $^2$ ) — atau persegi $4 \times 4$ (luasnya $16$ cm $^2$ ). Makin dekat ke bentuk persegi, makin besar luasnya.

Latihan 43.9 ★★

Sebuah bangun berbentuk huruf T tersusun dari persegi panjang mendatar $10 \times 2$ di atas persegi panjang tegak $2 \times 6$ (ukurannya dalam cm). Hitunglah luasnya, lalu kelilingnya (telusurilah tepinya dengan teliti, sambil menjumlahkan setiap sisinya).

Solusi

Solusi Latihan 43.9.

Luasnya: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Kelilingnya (batang tegaknya di tengah bawah batang mendatar): telusurilah,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(atas; ujung kanan batang mendatar; bawah kanan; kanan batang tegak; alas batang tegak; kiri batang tegak; bawah kiri; ujung kiri batang mendatar).

Latihan 43.10 ★★

Sebuah kolam renang berbentuk balok sepanjang $25$ m, selebar $10$ m dan sedalam $2$ m.

Berapa meter kubik air yang dimuatnya ketika penuh?
Berapa liter itu?
Kolamnya diisi $50\,000$ L setiap jam. Berapa lama pengisiannya?

Solusi

Solusi Latihan 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ jam.

Latihan 43.11 ★★

Sebuah kebun berbentuk persegi dengan sisi $20$ m memuat kolam berbentuk lingkaran berjari-jari $3$ m. Berapa luas rumputnya (nilai tepatnya, lalu dibulatkan ke m $^2$ )?

Solusi

Solusi Latihan 43.11.

Kebun: $20^2 = 400$ m $^2$ . Kolam: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Rumput: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Latihan 43.12 ★★★

Sebatang cokelat berukuran $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. Pembuatnya melipatduakan ketiga ukurannya.

Volumenya dikalikan berapa? Periksalah dengan menghitung kedua volumenya.
Harganya dikalikan $4$ . Apakah batang yang besar lebih menguntungkan daripada yang kecil?

Solusi

Solusi Latihan 43.12.

1. Batang kecil: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Batang besar: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . Volumenya dikalikan $720 \div 90 = 8$ — melipatduakan ketiga ukurannya mengalikan volumenya dengan $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Delapan kali cokelatnya untuk empat kali harganya: ya, batang yang besar dua kali lebih menguntungkan per gram.

43.5 Soal: Pagar Ratu Dido

Soal 43.1

Soal akhir pekan — dengan panjang pagar yang tetap, bangun mana yang melingkupi tanah paling luas? Persegi mengalahkan setiap persegi panjang, lingkaran mengalahkan persegi, dan sebuah dinding lumbung mengubah segalanya

Legenda mengisahkan bahwa Ratu Dido, ketika mendarat di pesisir Afrika, diberi “tanah seluas yang dapat dilingkupi sehelai kulit sapi” — maka ia memotong kulit itu menjadi satu jalur yang sangat panjang dan tipis lalu melingkupi tanah yang cukup untuk mendirikan kota Kartago. Soalnya kini menjadi soalmu: seorang petani punya tepat $20$ m pagar. Latihan 43.8 memperlihatkan bahwa dua kandang dengan keliling yang sama dapat punya luas yang berbeda; soal ini mencari kandang yang terbaik — dan menemukan bahwa jawabannya berubah sama sekali ketika dinding lumbung meminjamkan satu sisi secara cuma-cuma.

Bagian I — Dua puluh meter pagar.

Kandangnya harus berbentuk persegi panjang yang memakai seluruh $20$ m pagar itu. Periksalah bahwa kandang $1 \times 9$ dan kandang $2 \times 8$ sama-sama memenuhi syarat, lalu hitunglah luasnya.
Jelaskan mengapa panjang dan lebar setiap kandang yang memenuhi syarat berjumlah $10$ m. Lalu buatlah tabel lengkap kandang dengan sisi bilangan bulat (dari $1 \times 9$ sampai $5 \times 5$ ) beserta luasnya. Mana yang terbaik?
Apakah sisi desimal layak dicoba? Hitunglah luas kandang $4.5 \times 5.5$ dan kandang $4.9 \times 5.1$ , lalu bandingkan dengan persegi $5 \times 5$ . Apa dugaanmu?
Pertanyaan 2 mengubah soal pagar itu menjadi soal bilangan yang murni: di antara semua pasangan bilangan yang berjumlah $10$ , pasangan mana yang hasil kalinya terbesar? Jawablah dari tabelmu, lalu nyatakan aturan umum yang kamu amati.
Inilah alasan mengapa menjauh dari bentuk persegi selalu merugi, dengan gunting alih-alih aljabar: mulailah dari kandang $5 \times 5$ lalu ubahlah menjadi kandang $6 \times 4$ dengan membuang satu jalur dan merekatkan jalur lain sebagai gantinya. Jalur mana yang dibuang, jalur mana yang ditambahkan, dan mengapa penukaran itu kehilangan tepat satu meter persegi? Jelaskan mengapa langkah berikutnya (ke $7 \times 3$ ) kehilangan lebih banyak lagi.

Bagian II — Lumbungnya, dan lingkarannya.

Kandangnya sekarang dibangun menempel pada dinding lumbung yang panjang: dindingnya menggantikan satu sisi panjang kandang, dan $20$ m pagarnya hanya menutupi tiga sisi yang lain. Buatlah tabel kandang dengan ukuran bilangan bulat (lebar $w$ , panjang $L$ sepanjang dinding, $w + L + w = 20$ ) beserta luasnya. Kandang mana yang menang sekarang — dan apakah ia persegi?
Jelaskan pemenangnya dengan sebuah cermin (Bab 42): cerminkan kandangnya terhadap dinding lumbung lalu perhatikan kandang gandanya. Berapa pagar yang dipakai kandang ganda itu, kandang ganda mana yang terbaik menurut Bagian I, dan itu menjadikan kandang aslinya apa?
Dido tidak membangun persegi panjang. Lengkungkan $20$ m pagar itu menjadi lingkaran: dengan $\pi \approx 3.14$ , hitunglah jari-jarinya (sampai cm), lalu luasnya (sampai m $^2$ ) (Proposisi 43.3, Proposisi 43.6). Bandingkan dengan persegi $5 \times 5$ .
Soal kebalikannya: diinginkan kandang seluas tepat $36$ m $^2$ , dengan pagar sesedikit mungkin. Bandingkan persegi panjang $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ dan $6 \times 6$ : berapa kelilingnya? Bangun mana yang paling murah, dan bagaimana pertanyaan ini menjadi bayangan cermin Bagian I?
Dalam satu kalimat: mengapa kaleng, pipa dan tangki air begitu sering bulat?

Bagian III — Keliling dan luas itu orang asing.

Carilah persegi panjang yang kelilingnya melebihi $100$ m tetapi luasnya kurang dari $1$ m $^2$ . (Sangat panjang dan sangat tipis. Bilangan desimal diperbolehkan.)
Benar atau salah: “dari dua bangun, yang kelilingnya lebih besar luasnya juga lebih besar.” Berikan contoh penyangkal dari soal ini.
Ambillah persegi panjang $6 \times 4$ lalu potonglah takik persegi $1 \times 1$ di tengah salah satu sisi panjangnya (takiknya menganga ke luar, seperti gigi yang hilang). Hitunglah luas dan keliling bangun bertakik itu, lalu bandingkan keduanya dengan bangun aslinya. Apa yang terjadi pada masing-masing?
Pembuat peta mengetahui fakta yang aneh: makin rinci petanya, makin panjang garis pantainya terukur — setiap perbesaran memunculkan takik kecil yang baru, dan pertanyaan 13 memperlihatkan apa yang dikerjakan setiap takik. Jelaskan dalam satu atau dua kalimat mengapa “panjang garis pantai Bretagne” adalah bilangan yang licin, sedangkan “luas Bretagne” tidak.
Ujian sang petani. Dengan $36$ m pagar dan dinding lumbung yang tersedia, carilah kandang persegi panjang yang terbaik (pakailah cermin pada pertanyaan 7), sebutkan luasnya, lalu bandingkan dengan kandang terbaik yang dibangun dengan $36$ m di lapangan terbuka. Berapa banyak yang diperoleh petani itu berkat dinding lumbungnya?

Solusi

Solusi Soal 43.1.

1. $1 \times 9$ : kelilingnya $2 \times (1 + 9) = 20$ m, luasnya $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : kelilingnya $2 \times 10 = 20$ m, luasnya $16$ m $^2$ .

2. Kelilingnya dua kali (panjang $+$ lebar) (Contoh 43.2), jadi panjang $+$ lebar $= 20 \div 2 = 10$ m. Tabelnya:

kandang	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
luas (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

Persegi $5 \times 5$ yang terbaik.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ dan $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : makin lama makin dekat ke $25$ , tetapi tetap di bawahnya. Dugaan: persegi itu mengalahkan setiap persegi panjang yang berkeliling $20$ , termasuk yang sisinya desimal.

4. Dari tabelnya: hasil kali dua bilangan yang berjumlah $10$ paling besar ketika kedua bilangannya sama ( $5$ dan $5$ ). Aturan umumnya: untuk jumlah yang tetap, hasil kalinya paling besar untuk bagian yang sama — makin tidak sama pasangannya, makin kecil hasil kalinya.

5. Dari persegi $5 \times 5$ , buanglah baris paling atas — jalur berisi $5$ persegi satuan — sehingga tersisa kandang $5 \times 4$ ; lalu rekatkan satu kolom berisi $4$ persegi satuan pada salah satu ujungnya, sehingga kandangnya menjadi $6 \times 4$ . Lima persegi diambil dan hanya empat yang kembali: jalur yang ditambahkan terletak sepanjang sisi $4$ , yang lebih pendek daripada sisi $5$ yang ditutupi jalur yang dibuang tadi. Kerugian bersihnya: satu meter persegi ( $25 \to 24$ ). Langkah berikutnya, dari $6 \times 4$ ke $7 \times 3$ , menukar baris berisi $6$ dengan kolom berisi $3$ dan kehilangan tiga lagi ( $24 \to 21$ ): makin jauh kandangnya dari bentuk persegi, makin panjang jalur yang ia lepaskan dan makin pendek jalur yang ia terima kembali.

6. Dengan $w + L + w = 20$ , yaitu $L = 20 - 2w$ :

$w$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$L$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
luas	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

Pemenangnya adalah $5 \times 10$ , dengan luas $50$ m $^2$ — dua kali lebih panjang (sepanjang dinding) daripada lebarnya: bukan persegi.

7. Cerminkan kandangnya terhadap dindingnya: kandangnya beserta bayangan cerminnya membentuk kandang ganda yang memakai pagarnya dua kali, yaitu $40$ m pagar mengelilinginya (sisi dindingnya kini berada di dalam). Menurut Bagian I, persegi panjang terbaik yang berkeliling $40$ adalah persegi $10 \times 10$ , dengan luas $100$ m $^2$ . Kandang sebenarnya yang terbaik adalah setengah kandang ganda terbaik itu: $10$ m sepanjang dinding, $5$ m ke dalam, luasnya $50$ m $^2$ — tepat pemenang pada tabelnya, yang kini terjelaskan.

8. Lingkarnya $20 = 2 \times \pi \times r$ , jadi $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Luasnya: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — jauh lebih besar daripada $25$ m $^2$ milik persegi. Dido tahu apa yang ia lakukan: untuk panjang tepi yang diberikan, lingkaranlah yang melingkupi paling banyak.

9. Kelilingnya: $1 \times 36$ : $74$ m; $2 \times 18$ : $40$ m; $3 \times 12$ : $30$ m; $4 \times 9$ : $26$ m; $6 \times 6$ : $24$ m. Persegi lagi — pagar paling sedikit untuk luas yang diberikan. Inilah Bagian I yang dibalik: keliling tetap dengan luas terbesar, atau luas tetap dengan keliling terkecil; keduanya menobatkan persegi (dan, di luar semua persegi panjang, lingkaran).

10. Dinding yang bulat adalah tepi terpendek untuk ruang yang dilingkupinya (pertanyaan 8), jadi kaleng, pipa atau tangki yang bulat memuat isi paling banyak dengan logam paling sedikit — bahan itu uang.

11. Misalnya $50$ m $\times$ $0.01$ m: kelilingnya $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, luasnya $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Panjang dan tipis: bertepi berkilo-kilometer, tetapi tanahnya hampir tidak ada.

12. Salah. Kandang pada pertanyaan 11 berkeliling $100.02$ m dan berluas $0.5$ m $^2$ , sedangkan kandang $5 \times 5$ berkeliling $20$ m dan berluas $25$ m $^2$ : kelilingnya lebih besar, luasnya jauh lebih kecil.

13. Luasnya: satu persegi satuan hilang, $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Kelilingnya: ketika ditelusuri, takiknya menggantikan $1$ cm dinding lurus dengan tiga sisi persegi kecil, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: kelilingnya bertambah dari $20$ cm menjadi $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Membuang bahan justru memanjangkan tepinya.

14. Setiap perbesaran pada pantai yang sesungguhnya memunculkan teluk, batu dan cerukan yang baru — takik di atas takik, dan pertanyaan 13 memperlihatkan bahwa setiap takik menambah panjang tepi sambil hampir tidak mengubah luasnya. Jadi panjang yang terukur terus bertambah seiring tingkat kerinciannya (“paradoks garis pantai”), sedangkan luas yang terukur mengendap: keliling dan luas benar-benar besaran yang saling bebas.

15. Alasan cerminnya: kandang gandanya akan memakai $2 \times 36 = 72$ m pagar, dan persegi panjang terbaik yang berkeliling $72$ adalah persegi $18 \times 18$ . Jadi kandang terbaiknya $18$ m sepanjang dinding dan $9$ m ke dalam: periksa pagarnya $9 + 18 + 9 = 36$ m, luasnya $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . Di lapangan terbuka, yang terbaik adalah persegi $9 \times 9$ , luasnya $81$ m $^2$ . Dinding lumbung itu tepat melipatduakan tanah sang petani.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium