Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

12Afgeleiden: een eerste kennismaking

Hoe snel verandert een functie? Het antwoord in één punt is de afgeleide, het nuttigste getal uit de hele toegepaste wiskunde. Dit hoofdstuk bouwt haar op uit gemiddelde veranderingssnelheden, berekent haar voor de referentiefuncties, en gebruikt haar teken om het verloop van een functie af te lezen. Alles hier wordt in Hoofdstuk 22 uitgebreid en verdiept.

12.1 De gemiddelde veranderingssnelheid

Definitie 12.1 (Gemiddelde veranderingssnelheid)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ , en $a \neq b$ in $I$ . De gemiddelde veranderingssnelheid van $f$ tussen $a$ en $b$ is

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Het is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn door de punten $\bigl(a, f(a)\bigr)$ en $\bigl(b, f(b)\bigr)$ van de kromme.

Voorbeeld 12.2

Een auto legt tussen 14 en 16 uur $140$ km af: zijn gemiddelde snelheid is $\frac{140}{2} = 70$ km/u. De snelheidsmeter toont daarentegen op elk ogenblik een ogenblikkelijke snelheid — en dat is precies het begrip dat de afgeleide scherp maakt.

12.2 De afgeleide in een punt

Definitie 12.3 (Afgeleide in een punt)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval dat $a$ bevat. Vorm voor $h \neq 0$ de gemiddelde veranderingssnelheid tussen $a$ en $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Nadert $r(h)$ één vast getal naarmate $h$ willekeurig dicht bij $0$ komt, dan zeggen we dat $f$ differentieerbaar in $a$ is; dat getal is de afgeleide van $f$ in $a$ , geschreven $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Voorbeeld 12.4

Zij $f(x) = x^2$ en $a = 1$ . Voor $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Nadert $h$ tot $0$ , dan nadert dit tot $2$ : de functie $x^2$ is differentieerbaar in $1$ en $f'(1) = 2$ . Let op de strategie: vereenvoudig het quotiënt tot $h$ niet langer in een noemer staat, en laat dan $h \to 0$ gaan.

Voorbeeld 12.5 (Een punt zonder afgeleide)

Zij $f(x) = \abs{x}$ en $a = 0$ . Dan is $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , wat $1$ is voor $h > 0$ en $-1$ voor $h < 0$ : er wordt geen enkel getal genaderd, en $\abs x$ is niet differentieerbaar in $0$ . Haar kromme heeft daar een knik.

12.3 De raaklijn

Definitie 12.6 (Raaklijn)

Is $f$ differentieerbaar in $a$ , dan is de raaklijn aan de kromme in het punt $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ de rechte door $A$ met richtingscoëfficiënt $f'(a)$ . Haar vergelijking is

y = f(a) + f'(a)(x - a).

De raaklijn is de grensstand van de snijlijnen door $A$ : naarmate $h \to 0$ glijdt het tweede punt $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ langs de kromme naar $A$ , en nadert de richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ van de snijlijn tot $f'(a)$ .

De snijlijn door A en B = (a+h, f(a+h) ) heeft richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h. Terwijl B naar A glijdt, kantelt de snijlijn naar de raaklijn, waarvan de richtingscoëfficiënt f'(a) is. — De snijlijn door $A$ en $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Terwijl $B$ naar $A$ glijdt, kantelt de snijlijn naar de raaklijn, waarvan de richtingscoëfficiënt $f'(a)$ is.

Voorbeeld 12.7

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 1$ : $f(1) = 1$ en $f'(1) = 2$ (Voorbeeld 12.4), dus is de raaklijn

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

Dat is de rechte $d_2$ die in Oefening 10.11 met zuivere algebra gevonden werd.

12.4 Afgeleiden van de referentiefuncties

Propositie 12.8

Op hun domeinen van differentieerbaarheid geldt

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Algemener is $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ voor elk geheel getal $n \geq 1$ .

Bewijs. Elk bewijs volgt de strategie van Voorbeeld 12.4: vereenvoudig de veranderingssnelheid en laat dan $h \to 0$ gaan. Kies $a$ in het domein.

Constante en identiteit. $\frac{c - c}{h} = 0$ en $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ voor alle $h$ : de limieten zijn $0$ en $1$ .

Kwadraat. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Derde macht. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , zodat de veranderingssnelheid $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ is.

Omgekeerde. Voor $a \neq 0$ en $h$ klein genoeg opdat $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Vierkantswortel. Vermenigvuldig voor $a > 0$ met de toegevoegde uitdrukking:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Algemene macht. Het patroon $2a$ , $3a^2$ loopt door: werk je $(a+h)^n$ uit, dan dragen alle termen na $a^n + n\,a^{n-1}h$ een $h^2$ , zodat de veranderingssnelheid tot $n\,a^{n-1}$ nadert. (Een volledige inductie staat in Hoofdstuk 22.) ∎

12.5 Rekenregels voor afgeleiden

Stelling 12.9 (Bewerkingen)

Zijn $u$ en $v$ differentieerbaar op $I$ en is $\lambda \in \R$ , dan zijn $u + v$ , $\lambda u$ en $uv$ differentieerbaar op $I$ , en $\frac{u}{v}$ overal waar $v \neq 0$ , met

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bewijs van de eerste drie regels. Kies $a \in I$ en kort af: $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Som. De veranderingssnelheid van $u + v$ is $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Veelvoud. Die van $\lambda u$ is $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Product. Tel de gemengde term $u(a+h)\,v(a)$ erbij op en trek hem er weer af:

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Voor $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , en $u(a+h) \to u(a)$ (haar veranderingssnelheid heeft een limiet, dus $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Bijgevolg nadert de veranderingssnelheid tot $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

De quotiëntregel wordt op dezelfde manier bewezen; ze wordt op dit niveau aangenomen en in Hoofdstuk 22 bewezen. ∎

Voorbeeld 12.10

Veelterm. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Quotiënt. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : met $u = 2x + 1$ en $v = x^2 + 1$ is

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Product. $k(x) = x\sqrt x$ voor $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Het teken van de afgeleide en het verloop

Stelling 12.11 (Afgeleide en verloop)

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ .

Is $f' \geq 0$ op $I$ , dan is $f$ stijgend op $I$ .
Is $f' \leq 0$ op $I$ , dan is $f$ dalend op $I$ .
Is $f' > 0$ op $I$ (op hoogstens eindig veel punten na, waar ze verdwijnt), dan is $f$ strikt stijgend op $I$ .

Bewijs. De intuïtie is duidelijk — een kromme waarvan alle raaklijnen omhoog wijzen moet klimmen — maar een streng bewijs vraagt de middelwaardestelling. Het resultaat wordt op dit niveau aangenomen; zie Stelling 22.7. ∎

Propositie 12.12 (Extrema)

Verandert $f'$ in $a$ van teken, van $+$ naar $-$ , dan heeft $f$ in $a$ een lokaal maximum; van $-$ naar $+$ een lokaal minimum. In zo’n punt is $f'(a) = 0$ en is de raaklijn horizontaal.

Bewijs. Is $f' \geq 0$ op een interval dat in $a$ eindigt en $f' \leq 0$ op een interval dat in $a$ begint, dan stijgt $f$ tot $f(a)$ en daalt ze daarna (Stelling 12.11): $f(a)$ is in de buurt de grootste waarde. Omdat $f'$ in $a$ van teken verandert en daar gedefinieerd is, is $f'(a) = 0$ . ∎

Methode 12.13 (Een functie bestuderen)

Bereken $f'(x)$ en vereenvoudig — bij voorkeur tot een ontbonden vorm.
Bepaal het teken van $f'(x)$ op elk interval (is $f'$ kwadratisch, gebruik dan Stelling 10.11).
Noteer de resultaten in een verlooptabel: één rij voor het teken van $f'$ , één rij pijlen voor $f$ , met de waarden van $f$ in de keerpunten.
Besluit: extrema, aantal oplossingen van $f(x) = k$ , ongelijkheden.

Voorbeeld 12.14

Bestudeer $f(x) = x^3 - 3x + 1$ op $\R$ . Eerst is $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : een drieterm met wortels $-1$ en $1$ , positief daarbuiten. Dus is $f$ stijgend op $\intoc{-\infty}{-1}$ , dalend op $\intcc{-1}{1}$ en stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ , met een lokaal maximum $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ en een lokaal minimum $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

De kromme van f(x) = x3 - 3x + 1 (): horizontale raaklijnen (oranje) in het lokale maximum (-1, 3) en het lokale minimum (1, -1), waar f' van teken verandert. — De kromme van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Voorbeeld 12.14): horizontale raaklijnen (oranje) in het lokale maximum $(-1, 3)$ en het lokale minimum $(1, -1)$ , waar $f'$ van teken verandert.

Voorbeeld 12.15 (Optimalisering)

Uit een blad van $12 \times 12$ cm maak je een open doos door uit elke hoek een vierkant met zijde $x$ te knippen en de randen op te plooien. Het volume is $V(x) = x(12 - 2x)^2$ voor $0 < x < 6$ . Uitgewerkt is $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , dus

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Op $\intoo{0}{6}$ is de factor $x - 6$ negatief, zodat $V'(x)$ het teken van $-(x-2)$ heeft: positief vóór $2$ , negatief erna. Het volume is maximaal voor $x = 2$ cm, met $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

Bereken met de definitie (veranderingssnelheid, en dan $h \to 0$ ) $f'(2)$ voor $f(x) = x^2$ , en daarna $g'(1)$ voor $g(x) = x^2 + 3x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

dus $f'(2) = 4$ . Voor $g(x) = x^2 + 3x$ in $a = 1$ : $g(1) = 4$ en

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

dus $g'(1) = 5$ .

Oefening 12.2 ★

Leid af:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (op $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (productregel).

Oefening 12.3 ★

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de kromme van $f$ in het punt met abscis $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ en $f'(x) = 2x - 3$ , dus $f'(2) = 1$ ; raaklijn $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; raaklijn $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; raaklijn $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Oefening 12.4 ★

Leid de quotiënten af:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (quotiëntregel met $u = 1$ ).

Oefening 12.5 ★★

Bestudeer het verloop van $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ op $\R$ (verlooptabel, lokale extrema).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positief buiten $\intcc{1}{3}$ , negatief erbinnen. Dus is $f$ stijgend op $\intoc{-\infty}{1}$ , dalend op $\intcc{1}{3}$ en stijgend op $\intco{3}{+\infty}$ , met een lokaal maximum $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ en een lokaal minimum $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Oefening 12.6 ★★

Bestudeer het verloop van $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ op $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

Op $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Voor $x > -1$ zijn zowel $x + 3$ als $(x+1)^2$ positief, dus heeft $f'(x)$ het teken van $x - 1$ : $f$ is dalend op $\intoc{-1}{1}$ en stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ , met minimum $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Oefening 12.7 ★★

Zij $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Zoek het punt van de kromme waar de raaklijn horizontaal is.
Zoek het punt of de punten waar de raaklijn evenwijdig is met de rechte $y = 2x + 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Horizontale raaklijn: $f'(x) = 0$ in $x = 2$ ; het punt is $(2, f(2)) = (2, 1)$ (de top van de parabool).

2. Evenwijdig met $y = 2x + 1$ betekent richtingscoëfficiënt $2$ : $2x - 4 = 2$ , dus $x = 3$ , wat het punt $(3, f(3)) = (3, 2)$ geeft.

Oefening 12.8 ★★

Tegen een muur wordt met $60$ m omheining een rechthoekige weide gebouwd (drie zijden). Druk de oppervlakte uit als functie van de breedte $x$ , en zoek met de afgeleide de afmetingen met de grootste oppervlakte. (Vergelijk met de topmethode van Hoofdstuk 10.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

Met breedte $x$ (twee omheinde zijden) en lengte $60 - 2x$ is $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ op $\intoo{0}{30}$ . Dan is $A'(x) = 60 - 4x$ , positief vóór $x = 15$ en negatief erna: de oppervlakte is maximaal voor $x = 15$ , wat een weide van $15 \times 30$ m met oppervlakte $450$ m $^2$ geeft. De topformule $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ uit Hoofdstuk 10 geeft hetzelfde antwoord zonder afgeleiden.

Oefening 12.9 ★★

Toon aan dat voor alle $x > 0$ geldt $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , door de functie $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ te bestuderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

Zij $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ . Dan is

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

wat het teken heeft van $\sqrt x - 1$ : negatief op $\intoo{0}{1}$ , positief op $\intoo{1}{+\infty}$ . Dus daalt $f$ eerst en stijgt ze daarna, met minimum $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Bijgevolg is $f(x) \geq 0$ voor alle $x > 0$ , dus $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , met gelijkheid alleen in $x = 1$ .

Oefening 12.10 ★★

Een cilindrisch blik moet $500$ cm $^3$ bevatten. Zijn oppervlakte (twee schijven plus de mantel) is $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ met $\pi r^2 h = 500$ . Druk $S$ uit als functie van $r$ alleen, en toon aan dat $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Leid de straal af die de oppervlakte minimaal maakt, als exacte uitdrukking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

Uit $\pi r^2 h = 500$ volgt $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , dus

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ wanneer $4\pi r^3 = 1000$ , dus $r^3 = \frac{250}{\pi}$ en $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Omdat $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ vóór die waarde negatief is en erna positief, gaat het om een minimum.

Oefening 12.11 ★★★

Hoeveel raaklijnen aan de parabool $y = x^2$ gaan door het uitwendige punt $P(1, -3)$ ? Bepaal hun vergelijkingen. (Noem $a$ de abscis van het raakpunt en druk uit dat de raaklijn in $a$ door $P$ gaat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

De raaklijn aan $y = x^2$ in het punt met abscis $a$ is $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Ze gaat door $P(1, -3)$ wanneer $-3 = 2a - a^2$ , dus $a^2 - 2a - 3 = 0$ , met wortels $a = 3$ en $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Er zijn dus twee raaklijnen door $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Oefening 12.12 ★★★

Zij $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (zie Voorbeeld 12.14). Bepaal met de verlooptabel het aantal oplossingen van de vergelijking $f(x) = k$ naargelang de waarde van het reële getal $k$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

Uit Voorbeeld 12.14: $f$ stijgt tot het lokale maximum $f(-1) = 3$ , daalt tot het lokale minimum $f(1) = -1$ , en stijgt daarna opnieuw; voor grote positieve (respectievelijk negatieve) $x$ overheerst $x^3$ en neemt $f$ willekeurig grote (respectievelijk kleine) waarden aan. Trek je horizontale rechten $y = k$ over de verlooptabel, dan geldt:

$k > 3$ of $k < -1$ : de rechte ontmoet de kromme één keer — $1$ oplossing;
$k = 3$ of $k = -1$ : de rechte raakt een keerpunt en kruist één andere tak — $2$ oplossingen;
$-1 < k < 3$ : de rechte kruist alle drie de takken — $3$ oplossingen.

12.8 Opgave: de drie beroepen van de raaklijn

Probleem 12.1

Weekendopgave — de parabolische spiegel bewezen, de wortelzoekmachine van Newton, en de sterkste balk in de boomstam

Een afgeleide tekent raaklijnen; dat klinkt als een bescheiden talent. Deze opgave laat zien dat de raaklijn drie beroepen tegelijk uitoefent: ze bewijst de koplampstelling die in Probleem 10.1 bleef openstaan (elke straal evenwijdig met de as van een parabool weerkaatst door het brandpunt), ze drijft het snelste veelgebruikte algoritme aan om vergelijkingen op te lossen — het zit in elke rekenmachine en elk neuraal netwerk — en ze vindt de sterkste rechthoekige balk die een ronde boomstam kan leveren.

Deel I — Vlot met raaklijnen.

Leid $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ en $g(x) = x^3 - 12x$ af (Stelling 12.9); en haal $\left(x^2\right)'$ in $x = 1$ terug uit de definitie (veranderingssnelheid, en dan $h \to 0$ ).
Zoek de raaklijn aan $y = x^3 - 12x$ in $a = 2$ . Wat is er bijzonder aan, en wat signaleert dat (Propositie 12.12)?
Stel de algemene raaklijn aan de parabool $y = x^2$ in het punt $(a, a^2)$ op:

$y = 2ax - a^2 .$
Waar snijdt die raaklijn de $y$ -as? Leid het recept van de tekenaar af: om de raaklijn te tekenen in een punt $P$ op hoogte $h$ van de parabool, verbind je $P$ met het punt van de as op een diepte … onder de oorsprong. Formuleer het.
Bouw de volledige verlooptabel van $g(x) = x^3 - 12x$ (teken van $g'$ , lokale extrema en hun waarden, Methode 12.13).

Deel II — De spiegelstelling. Zij $P(a, a^2)$ een punt van de parabool $y = x^2$ (neem $a \neq 0$ ), $F\left(0, \frac14\right)$ het brandpunt, en $T$ het punt waar de raaklijn in $P$ de $y$ -as snijdt (vraag 4). Denk eraan dat uit Probleem 10.1 volgt dat $PF = a^2 + \frac14$ .

Bereken de afstand $FT$ .
Besluit dat de driehoek $FPT$ gelijkbenig is in $F$ . Welke twee hoeken zijn bijgevolg gelijk?
De invallende straal door $P$ , evenwijdig met de as, is evenwijdig met de rechte $(TF)$ (beide verticaal). Toon met verwisselende hoeken aan dat de raaklijn in $P$ gelijke hoeken maakt met de invallende verticale straal en met het lijnstuk $[PF]$ .
Natuurkunde: licht weerkaatst op een kromme zoals op haar raaklijn, en vertrekt onder dezelfde hoek als waaronder het aankwam (de weerkaatsingswet). Besluit tot de spiegelstelling: elke straal evenwijdig met de as weerkaatst door het brandpunt — en, met de tijd omgekeerd, straalt een lampje in het brandpunt evenwijdig licht uit. De schotel en de koplamp van Probleem 10.1 zijn nu stellingen.
Ga de gelijkbenige driehoek na met getallen in $a = 1$ : bereken $T$ , $FP$ en $FT$ .

Deel III — De machine van Newton. Om $f(x) = 0$ op te lossen stelde Newton voor: vertrek van een schatting $x_0$ , volg de raaklijn in $x_0$ omlaag tot aan de as, en neem haar snijpunt met de as als volgende schatting.

Leid de formule van de methode af:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
Laat ze lopen op $f(x) = x^2 - 2$ vanaf $x_0 = 1$ : bereken $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ als exacte breuken. Welke tweeduizend jaar oude rij — en welke machine uit Probleem 3.1 — heb je zojuist herbouwd? Bewijs de identiteit achter het toeval:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Los $x^3 = 100$ op (het omslagpunt van de spaarplannen uit Probleem 4.1): pas twee stappen van Newton toe op $f(x) = x^3 - 100$ vanaf $x_0 = 5$ (vier decimalen), en vergelijk met de $\sqrt[3]{100}$ van de rekenmachine.
Sabotage: probeer de methode te starten op $f(x) = x^3 - 12x$ in $x_0 = 2$ . Wat loopt er mis, en waarom (vraag 2)? Formuleer het praktische voorbehoud.
In vraag 12 gingen de juiste decimalen ruwweg $1 \to 3 \to 6$ . Vergelijk met bisectie (elke stap een interval halveren) en zeg in één zin waarom rekenmachines, gps-ontvangers en het trainen van neurale netwerken alle op het idee van Newton draaien.

Deel IV — De sterkste balk. Uit een ronde boomstam met diameter $30$ cm wordt een rechthoekige balk gezaagd met breedte $w$ en hoogte $d$ , zodat $w^2 + d^2 = 900$ . De stijfheid van een balk is evenredig met $w d^2$ (de hoogte telt dubbel: balken staan op hun kant!).

Druk de stijfheid uit als functie van $w$ alleen: $S(w) = 900w - w^3$ , op welk interval?
Leid af, bouw de verlooptabel, en zoek de optimale $w$ en $d$ (exacte waarden, en daarna op de millimeter).
Toon aan dat de optimale verhoudingen voldoen aan $d = w\sqrt2$ — de oude verhouding van de timmerlieden. (Extra weetje: de diameter van de stam in drie gelijke stukken verdelen en loodlijnen naar de cirkel oprichten construeert precies deze rechthoek.)
De voor de hand liggende keuze is de vierkante balk ( $w = d$ ). Bereken haar stijfheid en die van de optimale balk, en geef de winst van de timmerman in procent.
Slotstuk — de drie beroepen van de raaklijn, telkens één zin: meetkunde (de spiegelstelling), numeriek rekenen (de machine van Newton), optimaliseren (de balk), alle aangedreven door hetzelfde object. En de vooruitblik: jaar 12 voegt de convexiteit toe — aan welke kant van de raaklijn de kromme ligt — om alle drie te verscherpen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Uit de definitie: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : de afgeleide van $x^2$ in $1$ is $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ en $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : de raaklijn is de horizontale rechte $y = -16$ . Een horizontale raaklijn signaleert een kritiek punt — hier een lokaal minimum, zoals de verlooptabel van vraag 5 bevestigt.

3. Richtingscoëfficiënt $2a$ in $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. In $x = 0$ : $y = -a^2$ : de raaklijn snijdt de as op diepte $a^2$ onder de oorsprong — precies even ver onder nul als $P$ erboven ligt. Recept: om de raaklijn te tekenen in een punt op hoogte $h$ , verbind je het met het aspunt op diepte $h$ onder de oorsprong. (Aan de tekentafel heb je geen afgeleide nodig.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positief op $\intoo{-\infty}{-2}$ , negatief op $\intoo{-2}{2}$ , positief daarvoorbij. $g$ stijgt tot een lokaal maximum $g(-2) = 16$ , zakt tot een lokaal minimum $g(2) = -16$ en stijgt daarna.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ en $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : gelijkbenig in $F$ , dus zijn de basishoeken gelijk: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. De invallende straal in $P$ is verticaal, en dus evenwijdig met de rechte $(TF)$ (de $y$ -as). De raaklijn $(TP)$ kruist beide evenwijdige rechten, zodat de hoek tussen de straal en de raaklijn gelijk is aan $\widehat{FTP}$ (verwisselende hoeken) — en die is gelijk aan $\widehat{FPT}$ , de hoek tussen $[PF]$ en de raaklijn. Gelijke hoeken aan weerszijden van de raaklijn in $P$ .

9. Volgens de weerkaatsingswet vertrekt de straal die verticaal in $P$ aankomt langs de rechte die aan de andere kant dezelfde hoek maakt — volgens vraag 8 dus langs $[PF]$ : door het brandpunt, wat $a$ ook is. Omgekeerd verlaat licht dat in $F$ ontstaat elk punt van de spiegel evenwijdig met de as. Schotels vangen op, koplampen stralen uit: bewezen.

10. $a = 1$ : raaklijn $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : gelijkbenig, zoals beloofd.

11. De raaklijn in $x_n$ is $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; ze snijdt $y = 0$ waar $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : de benaderingen van $\sqrt2$ van Heron, dus de machine met het vaste punt uit Probleem 3.1. Identiteit: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — het recept van Heron is de methode van Newton toegepast op $x^2 - 2$ , twee millennia te vroeg.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Rekenmachine: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — vier juiste decimalen in twee stappen.

14. $f'(2) = 0$ : de raaklijn in het startpunt is horizontaal (vraag 2) en snijdt de as nooit — de formule deelt door nul. Voorbehoud: start Newton weg van kritieke punten (en, algemener, dicht genoeg bij de wortel die je zoekt).

15. Bisectie wint per stap één binair cijfer; Newton verdubbelt ruwweg het aantal juiste cijfers per stap (hier $1 \to 3 \to 6$ ). Wanneer elke stap duur is — miljoenen parameters, navigatie in real time — verslaat verdubbelen het stapje voor stapje vorderen, en daarom draait er zoveel silicium op de raaklijn.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , dus $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , voor $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ in $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ ervóór, $< 0$ erna: een maximum). Dan is $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , dus $d = w\sqrt2$ : de hoogte is de breedte maal $\sqrt2$ — de verhouding van de timmerman (en de constructie met de diameter in drieën levert ze met een passer, zonder algebra op de werf).

19. Vierkante balk: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, met stijfheid $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Optimale balk: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Winst: ongeveer $8.9\,\%$ meer stijfheid uit dezelfde stam — de afgeleide betaalt de zagerij terug.

20. Meetkunde: de gelijke hoeken van de raaklijn maakten van een paraboloïde een lichtverzamelaar. Numeriek rekenen: langs raaklijnen afglijden lost vergelijkingen op met verdubbelende cijfers. Optimaliseren: een verdwijnende afgeleide vond de sterkste rechthoek in de stam. Eén object, drie stielen — en de convexiteit van jaar 12 zal daarbovenop vertellen aan welke kant van elke raaklijn de kromme ligt.