সব বই

পেশাদার

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsবাজার অনলাইনইংরেজি 2 Markets II: Rates, FX and Creditবাজার অনলাইনইংরেজি 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoবাজার অনলাইনইংরেজি 4 Quantitative Methodsপদ্ধতি অনলাইনইংরেজি 5 Derivatives and Volatilityডেরিভেটিভস অনলাইনইংরেজি 6 Rates, Credit, XVA and Riskসুদহার, ঋণ ও ঝুঁকি অনলাইনইংরেজি 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosগবেষণা অনলাইনইংরেজি 8 Strategies I: Equities and Futuresকৌশল অনলাইনইংরেজি 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksকৌশল অনলাইনইংরেজি 10 Microstructure and Executionএক্সিকিউশন অনলাইনইংরেজি 11 Market Making and High-Frequency Tradingমার্কেট মেকিং অনলাইনইংরেজি 12 Machine Learning for Marketsমেশিন লার্নিং অনলাইনইংরেজি 13 Low-Latency Softwareপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 15 Research, Data and Risk Platformsপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 16 The Desk and the Firmপ্রতিষ্ঠান অনলাইনইংরেজি 17 The Industry: Firms, Roles and Careersক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 20 Interviews III: Codeক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি
অ্যাপ পরিচিতি Coach সাইন ইন পড়া শুরু করো

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Nederlands সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Wiskunde · পরিভাষা

Eenheidswortels কী?

Definitie 28.14 Wiskunde bovenbouw · অধ্যায় 28 — Complexe getallen

Voor n≥1n \geq 1 zijn de nn-de eenheidswortels de oplossingen van zn=1z^n = 1.

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel ().
De vijfde eenheidswortels, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel (Oefening 28.10).
প্রসঙ্গসহ পড়ো →
Definitie 3.17 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · অধ্যায় 3 — Complexe getallen

De nn-de eenheidswortels zijn de oplossingen van zn=1z^n = 1:

Un={ ωk:k=0,…,n−1 },ω=e2iπ/n.\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Ze vormen een groep onder de vermenigvuldiging (Hoofdstuk 7) en liggen op de hoekpunten van een regelmatige nn-hoek ingeschreven in de eenheidscirkel.

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel.
De vijfde eenheidswortels, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel.

উদাহরণ

Voorbeeld 3.20 (Vierkantswortels in algebraïsche vorm)

Om z2=3+4iz^2 = 3 + 4\iu zonder goniometrie op te lossen, zet je z=x+iyz = x + \iu y:

x2−y2=3,2xy=4,x2+y2=∣3+4i∣=5.x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

De eerste en de laatste optellen geeft x2=4x^2 = 4, dus x=±2x = \pm 2, en dan y=2/x=±1y = 2/x = \pm 1 met hetzelfde tekenpaar (want xy=2>0xy = 2 > 0): z=±(2+i)z = \pm(2 + \iu). Samen met de gebruikelijke formule lost dit elke vierkantsvergelijking met complexe coëfficiënten op (Oefening 3.7).

Voorbeeld 3.16 (Een niet-reëel rechterlid)

Los z4=−8+8i3z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3 op. Exponentiële vorm van het rechterlid: modulus 64+192=16\sqrt{64 + 192} = 16, en argument θ\theta met cos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac12 en sin⁡θ=32\sin\theta = \frac{\sqrt3}2, dus θ=2π3\theta = \frac{2\pi}3. De vier wortels zijn

zk=2 ei(π6+kπ2),k=0,1,2,3:z0=3+i,z1=iz0=−1+i3,z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,
z2=−z0=−3−i,z3=−iz0=1−i3.z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Controle: z02=2+2i3z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3, dus z04=(2+2i3)2=4−12+8i3=−8+8i3z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3.) Zodra één wortel gevonden is, komen de drie andere er gratis bij: het zijn haar opeenvolgende draaiingen over π2\frac\pi2, dat wil zeggen haar producten met de vierde eenheidswortels — de algemene structuur achter Stelling 3.14, die je beter benut dan elke wortel opnieuw uit te rekenen. Ditmaal is er geen toegevoegde symmetrie: het rechterlid is niet reëel.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →