全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Wiskunde · 术语表

什么是 normale convergentie？

Definitie 10.9 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · 第 10 章 — Rijen en reeksen van functies

Een functiereeks ∑un\sum u_n convergeert puntsgewijs of uniform wanneer haar partiële sommen dat doen. Zij convergeert normaal (op XX) wanneer ∑∥un∥∞<∞\sum \norm{u_n}_\infty < \infty. Normale convergentie impliceert uniforme convergentie (in de banachruimte van de begrensde functies: Stelling 5.21), die op haar beurt puntsgewijze convergentie impliceert; beide implicaties zijn strikt.

示例

Voorbeeld 10.10 (Eén reeks, drie oordelen)

Neem un(x)=xnnu_n(x) = \frac{x^n}{n} op [0, 1)\intco{0}{1}. Puntsgewijs: zij convergeert voor elke x∈[0, 1)x \in \intco01 (vergelijking met de meetkundige reeks). Normaal op [0, a]\intcc{0}{a} met a<1a < 1: ∥un∥∞,[0, a]=ann\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}, sommeerbaar. Niet normaal op [0, 1)\intco{0}{1}: ∥un∥∞,[0, 1)=1n\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n, en ∑1n\sum\frac1n divergeert. Zelfs niet uniform op [0, 1)\intco{0}{1}: de restsom verzet zich bij 11,

RN(x)=∑n>Nxnn≥∑n=N+12Nxnn≥N x2N2N=x2N2→x→1−12,R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n} \geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n} \geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2} \xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,

dus sup⁡[0, 1)∣RN∣≥12\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12 voor elke NN. Het inzicht om te onthouden: alle vier de oordelen bestaan vreedzaam naast elkaar — de som −ln⁡(1−x)-\ln(1-x) is continu op [0, 1)\intco{0}{1} omdat de continuïteit alleen uniformiteit bij elk punt nodig heeft, dat wil zeggen op de segmenten [0, a]\intcc0a; aan de rand exploderen is het goed recht van de som.

Voorbeeld 10.13 (De ζ\zeta-functie van Riemann)

ζ(s)=∑n≥1n−s\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s} convergeert normaal op elke halfrechte [a, +∞)\intco{a}{+\infty} met a>1a > 1 (∥n−s∥∞=n−a\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}, sommeerbaar): dus is ζ\zeta continu op (1, +∞)\intoo{1}{+\infty}; en termsgewijs differentiëren (ook de afgeleide reeks ∑−ln⁡n  n−s\sum -\ln n\; n^{-s} convergeert normaal op [a, ∞)\intco{a}{\infty}) maakt ζ\zeta van klasse C1C^1 — en, na itereren, C∞C^\infty — met ζ′(s)=−∑ln⁡nns\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}. Let op de discipline: de normale convergentie wordt op deelhalfrechten nagegaan, nooit op de open (1, ∞)\intoo{1}{\infty} zelf, waar zij faalt.

Voorbeeld 10.14 (Een logaritmische reeks, tot het eind uitgewerkt)

Zij F(x)=∑n≥1e−nxnF(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n} op (0, ∞)\intoo{0}{\infty}. Elke term is op [δ, ∞)\intco{\delta} \infty begrensd door e−nδn≤e−nδ\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}, een convergente meetkundige reeks: dus normale convergentie op elke [δ, ∞)\intco\delta\infty, en FF is continu op (0, ∞)\intoo{0}{\infty}. De afgeleide reeks ∑−e−nx\sum -\eu^{-nx} convergeert eveneens normaal op [δ, ∞)\intco\delta\infty (∥e−nx∥∞,[δ, ∞)=e−nδ\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}), dus is FF van klasse C1C^1 met een meetkundige afgeleide:

F′(x)=−∑n≥1e−nx=−e−x1−e−x=−1ex−1.F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx} = \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .

Itereren maakt FF van klasse C∞C^\infty. Het integreren van F′F' (zowel FF als x↦−ln⁡(1−e−x)x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x}) verdwijnt bij +∞+\infty en beide hebben dezelfde afgeleide op (0, ∞)\intoo0\infty) geeft

F(x)=−ln⁡(1−e−x),F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),

de logaritmische reeks in t=e−xt = \eu^{-x}. Het inzicht om te onthouden: als x→0+x \to 0^+ is F(x)=−ln⁡(x+O(x2))=ln⁡1x+O(x)F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x) — de reeks divergeert logaritmisch aan de rand, precies zoals de harmonische reeks die zij in x=0x = 0 wordt; normale convergentie op [δ, ∞)\intco\delta\infty maar niet op (0, ∞)\intoo0\infty is het symptoom.

在原文中阅读 →

相关术语