Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

18Kansrekening en toevalsvariabelen

De kansrekening modelleert experimenten met een onzekere uitkomst: een worp met een dobbelsteen, een getrokken kaart, een gespeeld spel. Dit hoofdstuk zet de woordenschat op eindige verzamelingen op, en voert daarna het centrale personage van de hele kansrekening in: de toevalsvariabele en haar verwachtingswaarde. Die begrippen worden in Hoofdstuk 33 herhaald en verdiept, en de voorwaardelijke kansen volgen in Hoofdstuk 32.

18.1 Kans op een eindige verzameling

Definitie 18.1 (Kansmodel)

Een experiment met eindig veel uitkomsten wordt gemodelleerd door zijn uitkomstenverzameling $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (de verzameling van de uitkomsten) samen met een kans $\P$ die aan elke uitkomst $\omega_i$ een getal $p_i \geq 0$ toekent, met $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Een gebeurtenis is een deelverzameling $A \subseteq \Omega$ , en

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Zijn alle uitkomsten even waarschijnlijk ( $p_i = \frac1n$ : het uniform model), dan geldt

\P(A) = \frac{\text{aantal uitkomsten in } A} {\text{aantal uitkomsten in } \Omega}.

Voorbeeld 18.2

Gooi met twee onderscheidbare dobbelstenen: $\Omega$ is de verzameling van de $36$ geordende paren $(i, j)$ met $1 \leq i, j \leq 6$ , alle even waarschijnlijk. De gebeurtenis $S$ = “de som is $7$ ” bevat de $6$ paren $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ , dus is $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . De gebeurtenis “de som is $12$ ” bevat alleen $(6,6)$ : kans $\frac{1}{36}$ . De juiste uitkomstenverzameling kiezen — geordende paren, geen ongeordende — is precies wat het uniform model bruikbaar maakt.

Propositie 18.3 (Rekenregels voor kansen)

Voor gebeurtenissen $A, B \subseteq \Omega$ geldt

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

waarbij $\bar A$ het complement van $A$ is (alle uitkomsten die niet in $A$ zitten). In het bijzonder is $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ wanneer $A$ en $B$ onverenigbaar zijn ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Bewijs. De lege gebeurtenis bevat geen uitkomst (lege som), en $\Omega$ bevat ze allemaal (totale som $1$ ). Elke uitkomst zit in precies één van $A$ en $\bar A$ , dus is $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Voor de vereniging: de $p_i$ optellen over $A$ en daarna over $B$ telt de uitkomsten van $A \cap B$ twee keer; $\P(A \cap B)$ aftrekken herstelt die dubbele telling. ∎

Voorbeeld 18.4

In een klas volgt $60\%$ muziek ( $M$ ), doet $45\%$ aan sport ( $S$ ), en doet $25\%$ allebei. Het aandeel dat minstens één van beide doet, is $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , zodat $20\%$ geen van beide doet (complement).

18.2 Toevalsvariabelen

Definitie 18.5 (Toevalsvariabele, kansverdeling)

Een toevalsvariabele op $\Omega$ is een functie $X$ die aan elke uitkomst een getal toekent. Haar kansverdeling is de tabel van haar mogelijke waarden $x_1, \dots, x_k$ samen met hun kansen

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Voorbeeld 18.6

Een spel: betaal $2$ euro, gooi met één eerlijke dobbelsteen, en ontvang de getoonde waarde wanneer die minstens $5$ is, en anders niets. Zij $G$ de winst (ontvangen min betaald). De uitkomsten $1, 2, 3, 4$ geven $G = -2$ ; de uitkomst $5$ geeft $G = 3$ ; de uitkomst $6$ geeft $G = 4$ . De kansverdeling van $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Methode 18.7 (Een kansverdelingstabel opstellen)

Noem de mogelijke waarden van $X$ ; verzamel voor elke waarde de uitkomsten die haar voortbrengen en tel hun kansen op; ga na dat de rij kansen optelt tot $1$ .

18.3 Verwachtingswaarde

Definitie 18.8 (Verwachtingswaarde)

De verwachtingswaarde (of het gemiddelde) van $X$ is het gemiddelde van haar waarden, gewogen met hun kansen:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Opmerking 18.9

$\E(X)$ is wat het gemiddelde van een enorm aantal onafhankelijke herhalingen van het experiment zou zijn — de precieze versie van die uitspraak is de wet van de grote aantallen, bewezen in Hoofdstuk 34. Merk de formele gelijkenis op met het gemiddelde van een gegevensreeks met frequenties (Definitie 17.1): de kansen spelen de rol van de relatieve frequenties $\frac{n_i}{n}$ .

Voorbeeld 18.10

Voor het spel van Voorbeeld 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Gemiddeld verliest de speler ongeveer $17$ cent per spel: het spel is ongunstig. Een spel heet eerlijk wanneer de verwachte winst $0$ is.

Propositie 18.11 (Lineariteit)

Voor alle reële $a, b$ geldt

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Bewijs. De variabele $aX + b$ neemt de waarde $a x_i + b$ aan met kans $\P(X = x_i)$ , dus

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Variantie en standaardafwijking

Definitie 18.12 (Variantie)

De variantie van $X$ meet de spreiding van haar waarden rond de verwachtingswaarde $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Propositie 18.13 (Rekenformule)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Bewijs. Werk $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ binnen de som uit:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

en dat is $\E(X^2) - m^2$ . Dit is de versie voor toevalsvariabelen van de identiteit die in Propositie 17.7 voor gegevensreeksen bewezen werd. ∎

Propositie 18.14 (Affiene transformatie)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ en $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Bewijs. Door de lineariteit wijkt $aX + b$ van zijn verwachtingswaarde $a m + b$ af met $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : elke afwijking wordt met $a$ geschaald, dus elke gekwadrateerde afwijking met $a^2$ , en dus ook hun gewogen gemiddelde. De verschuiving $b$ is verdwenen — een variabele verschuiven verandert haar spreiding niet. ∎

Voorbeeld 18.15

Voor het spel van Voorbeeld 18.6 is $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , dus

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Het gemiddelde verlies van $0.17$ per spel gaat gepaard met schommelingen van typische grootte $2.6$ euro — een verwachtingswaarde zonder standaardafwijking vertelt maar de helft van het verhaal.

De kansverdeling van de winst G uit , en haar verwachtingswaarde (G) = -1/6 (stippellijn): het evenwichtspunt van de kansmassa’s. — De kansverdeling van de winst $G$ uit Voorbeeld 18.6, en haar verwachtingswaarde $\E(G) = -\frac16$ (stippellijn): het evenwichtspunt van de kansmassa’s.

18.5 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Er wordt een kaart getrokken uit een standaardspel van $52$ kaarten. Bereken de kans om te trekken: een harten; een heer; een harten of een heer; noch een harten noch een heer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

Uniform model op $52$ kaarten. Harten: $\frac{13}{52} = \frac14$ . Heren: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Harten of heer: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (de hartenheer telt één keer mee). Geen van beide: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Oefening 18.2 ★

Er wordt met twee eerlijke dobbelstenen gegooid en hun som $S$ wordt genoteerd. Bereken met het model met $36$ uitkomsten uit Voorbeeld 18.2 de kansen $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ en $\P(S \text{ is even})$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

$S = 6$ : de paren $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , dus $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : drie paren voor $10$ , twee voor $11$ , één voor $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ even: de sommen $2, 4, 6, 8, 10, 12$ hebben samen $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ paren: kans $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Oefening 18.3 ★

Een toevalsvariabele heeft de kansverdeling

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Zoek $p$ , en bereken daarna $\E(X)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

De kansen tellen op tot $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Dan is

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Oefening 18.4 ★

$X$ voldoet aan $\E(X) = 3$ en $\V(X) = 4$ . Geef de verwachtingswaarde, de variantie en de standaardafwijking van $Y = 2X - 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Oefening 18.5 ★★

Een rad van fortuin heeft $10$ gelijke sectoren: $5$ tonen $0$ euro, $3$ tonen $2$ euro en $2$ tonen $5$ euro. Meespelen kost $2$ euro. Geef de kansverdeling van de winst $G$ (uitbetaling min inzet), bereken $\E(G)$ , en beslis of het spel gunstig is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

De uitbetalingen zijn $0$ , $2$ en $5$ euro met kansen $0.5$ , $0.3$ en $0.2$ ; na aftrek van de inzet van $2$ euro neemt $G$ de waarden $-2, 0, 3$ aan:

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : de speler verliest gemiddeld $40$ cent per spel — ongunstig.

Oefening 18.6 ★★

Een urne bevat $3$ rode en $2$ blauwe ballen; er worden twee ballen getrokken zonder teruglegging. Zij $X$ het aantal getrokken rode ballen. Bouw de kansverdeling van $X$ (noem de $20$ geordende trekkingen op, of gebruik een boomdiagram), en bereken $\E(X)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

Trekken in volgorde: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rood en dan rood); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (blauw en dan blauw); bijgevolg is $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Dan is

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

in overeenstemming met de intuïtie: gemiddeld is $\frac35$ van de twee trekkingen rood.

Oefening 18.7 ★★

Bereken voor het rad van Oefening 18.5 de waarden $\V(G)$ en $\sigma(G)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , dus geeft de rekenformule $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ en $\sigma(G) \approx 1.9$ euro.

Oefening 18.8 ★★

Een verzekeringsmaatschappij verkoopt een polis voor $80$ euro. Met kans $0.05$ dient de klant een schadeclaim van $1000$ euro in, met kans $0.01$ een van $5000$ euro, en anders niets. Zij $B$ de winst van de maatschappij op één polis. Geef de kansverdeling van $B$ , bereken $\E(B)$ , en duid het resultaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

De winst is $80$ min de claim:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : tegen deze prijs verliest de maatschappij gemiddeld $20$ euro per polis. De premie is te laag voor de gedekte risico’s (ze zou boven $100$ euro moeten liggen voor een positieve verwachte winst).

Oefening 18.9 ★★

Een meerkeuzevraag heeft $4$ antwoorden, waarvan er één juist is. Een juist antwoord levert $+1$ op; om gokken te ontmoedigen levert een fout antwoord $x < 0$ op. Een leerling antwoordt willekeurig. Voor welke waarde van $x$ is de verwachte score van de leerling nul?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

De toevallige score is $+1$ met kans $\frac14$ en $x$ met kans $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Met de strafpunten $-\frac13$ levert willekeurig gokken gemiddeld niets op.

Oefening 18.10 ★★

Er wordt met twee eerlijke munten gegooid. Ann stelt voor: “vallen de twee munten gelijk, dan betaal ik je $1$ euro; verschillen ze, dan betaal jij mij $1$ euro.” Bereken de verwachte winst van elke speler. Is het spel eerlijk? Dezelfde vraag met drie munten, waarbij Ann $2$ euro betaalt als alle drie gelijk vallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Twee munten: ze vallen gelijk (KK of MM) met kans $\frac24 \times 2 = \frac12$ . De winst van de speler is $+1$ of $-1$ met gelijke kansen: verwachtingswaarde $0$ voor beide spelers — het spel is eerlijk.

Drie munten: alle drie gelijk (KKK of MMM) met kans $\frac{2}{8} = \frac14$ . De speler ontvangt $2$ met kans $\frac14$ en betaalt $1$ met kans $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . Het spel bevoordeelt Ann met $25$ cent per ronde; het zou eerlijk zijn als ze $3$ euro betaalde bij drie gelijke munten.

Oefening 18.11 ★★★

Een loterij verkoopt $1000$ loten van $5$ euro. Eén lot wint $2000$ euro, vijf loten winnen $200$ euro, en twintig loten winnen $25$ euro.

Geef de kansverdeling van de totale opbrengst min de prijzen voor de organisator, en van de winst $G$ van één speler.
Bereken $\E(G)$ en de totale verwachte winst van de organisator. Ga na dat de twee antwoorden met elkaar kloppen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

1. De organisator ontvangt $1000 \times 5 = 5000$ euro en keert in totaal $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euro uit: de winst is de constante $1500$ (zodra alle loten verkocht zijn, is er geen toeval meer). De winst $G$ van één speler (prijs min het lot van $5$ euro):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Elke speler verwacht $1.50$ euro te verliezen; over $1000$ spelers is dat $1500$ euro — precies de winst van de organisator. De boeken kloppen: wat de spelers gemiddeld verliezen, is precies wat de organisator int.

18.6 Opgave: het onderbroken spel

Probleem 18.1

Weekendopgave — Pascal, Fermat en de eerlijke verdeling van een afgebroken weddenschap: de geboorte van de verwachtingswaarde, de magie van de lineariteit, en wat de verwachtingswaarde niet ziet

In 1654 stelde de chevalier de Méré — dezelfde gokker wiens dobbelweddenschappen de kansopgave in het onderbouwvolume openden — aan Blaise Pascal een diepere vraag: twee even sterke spelers moeten hun reeks staken bij de stand $5$ tegen $3$ , terwijl zes overwinningen de pot van $64$ pistolen opleveren. Hoe verdeel je die pot eerlijk? De brieven tussen Pascal en Fermat waarin ze die vraag beantwoordden, stichtten het begrip dat in het hart van dit hoofdstuk staat: de verwachtingswaarde (Definitie 18.8). Je zult hun antwoord op beide manieren opnieuw afleiden, en daarna kennismaken met de salontruc van de lineariteit en met de ene blinde vlek van de verwachtingswaarde.

Deel I — Vlot met de verwachtingswaarde.

Gooi met een eerlijke dobbelsteen; je winst is (ogenaantal $- 3$ ) euro. Bouw de kansverdelingstabel van de winst $G$ (Methode 18.7) en bereken $\E(G)$ .
Bereken $V(G)$ met de rekenformule (Propositie 18.13) en $\sigma(G)$ (twee decimalen).
Geef zonder nieuwe tabel de waarden $\E(2G - 1)$ en $V(2G - 1)$ (Propositie 18.14).
Een kraam vraagt $m$ euro om met twee dobbelstenen te gooien en keert je de som in euro’s uit. Wat is de eerlijke prijs $m$ ? De kraam vraagt $8$ : wat is je verwachte verlies per spel?
Een laptop van $800$ euro heeft elk jaar $5\,\%$ kans om vernield te worden. Bereken de eerlijke verzekeringspremie, en de verwachte winst van de verzekeraar per polis wanneer hij $60$ euro vraagt.

Deel II — De pot verdelen. Stand $5$ – $3$ , wie het eerst $6$ haalt wint de $64$ pistolen, en elke ronde is een eerlijke muntworp.

Twee verleidelijke foute antwoorden: verdelen in de verhouding $5 : 3$ (evenredig met de gewonnen rondes), of alles aan de leider geven. Zeg in telkens één zin wat er oneerlijk aan is.
De methode van Fermat: speler A heeft nog $1$ overwinning nodig, B nog $3$ ; stel je voor dat er hoe dan ook precies $3$ rondes worden gespeeld. Noem de $8$ even waarschijnlijke uitkomsten, duid in elke aan wie de reeks wint, en leid de eerlijke verdeling van de $64$ pistolen af.
Het subtiele punt dat Fermat moest verdedigen: het echte spel zou al na één ronde kunnen stoppen — waarom is het dan toch geoorloofd om over alle $3$ denkbeeldige rondes te redeneren?
De methode van Pascal, van achteren naar voren: bereken het eerlijke aandeel van A bij de (hypothetische) standen $5$ – $5$ , daarna $5$ – $4$ , daarna $5$ – $3$ , en middel telkens de twee even waarschijnlijke toekomsten. Vergelijk met vraag 7.
Dezelfde vraag bij de stand $4$ – $3$ : hoeveel denkbeeldige rondes, welke uitkomsten geven B de reeks, en wat is de eerlijke verdeling?
Formuleer het principe dat de twee methoden delen — de eerlijke waarde van een onzekere toekomst is haar verwachtingswaarde — en noem twee moderne bedrijfstakken die er volledig op draaien (vraag 5 toont er een).
Een controle voor elke stand: leg met de lineariteit van de verwachtingswaarde (Propositie 18.11) uit waarom de eerlijke aandelen van de twee spelers altijd precies de pot van $64$ pistolen moeten opleveren.

Deel III — De salontruc van de lineariteit.

Haal $\E(\text{som van twee dobbelstenen}) = 7$ in één regel terug met de lineariteit (Propositie 18.11), zonder tabel van $36$ vakjes. Voor de variantie van de som heeft de regel $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ nodig dat de dobbelstenen onafhankelijk zijn (aangenomen): bereken ze.
Het hoedenfeest: $n$ gasten gooien hun hoed op een stapel en nemen er elk willekeurig één terug. Zij $X$ het aantal gasten dat zijn eigen hoed terugkrijgt. Wat is voor één vaste gast de kans om zijn eigen hoed terug te krijgen? Tel die $n$ kansen op (lineariteit!) en bereken $\E(X)$ . Het antwoord zou je moeten verrassen: het hangt niet van $n$ af.
Ga $\E(X) = 1$ met brute kracht na voor $n = 2$ en $n = 3$ (noem de $2$ en de $6$ even waarschijnlijke hoedentoewijzingen op en middel de aantallen).
De terugvondsten van de gasten zijn allesbehalve onafhankelijk (als $n - 1$ gasten hun eigen hoed terugkregen, moet de laatste dat ook). Waar had de berekening van vraag 14 dan precies geen onafhankelijkheid nodig? Formuleer de superkracht van de lineariteit.

Deel IV — Wat de verwachtingswaarde niet ziet.

Twee kraskaarten van $5$ euro: kaart A wint $10$ euro met kans $\frac12$ ; kaart B wint $1\,000$ euro met kans $0.005$ . Ga na dat beide winsten dezelfde verwachtingswaarde hebben, en bereken daarna beide varianties. Welke kaart kopen echte mensen, en wat kopen ze eigenlijk?
Het Sint-Petersburgspel: gooi tot de eerste keer munt; valt de eerste munt bij worp $n$ , dan ontvang je $2^n$ euro. Bereken de bijdrage van elke $n$ aan de verwachtingswaarde, en de verwachtingswaarde zelf. Zou je $1\,000$ euro betalen om één keer te spelen? Wat leert die botsing over de verwachtingswaarde?
Verzekering vanuit de klant bekeken: $20$ euro betalen, of een risico van $1\,\%$ lopen om $1\,000$ te verliezen? Vergelijk de twee verwachtingswaarden, en leg uit waarom de verzekering kopen toch verstandig kan zijn (waarover kan één gezin niet “middelen”?).
Slotstuk — de levensloop van de verwachtingswaarde, één zin per hoofdstuk: geboren in 1654 om een pot te verdelen; haar superkracht, de lineariteit, die verwachtingswaarden optelt zonder naar onafhankelijkheid te vragen (de hoeden); haar blinde vlek, het risico, dat de variantie meet (de kraskaarten, Sint-Petersburg, de verzekering); en haar kroning volgend jaar, wanneer de wet van de grote aantallen precies uitlegt waarom de bank altijd wint.

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. $G$ neemt de waarden $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ aan, elk met kans $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ euro.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{som}) = 7$ : de eerlijke prijs is $7$ euro. Bij $8$ is het verwachte verlies $1$ euro per spel.

5. Eerlijke premie: $0.05 \times 800 = 40$ euro. Bij $60$ euro: verwachte winst $20$ euro per polis.

6. Verdelen in de verhouding $5:3$ beloont het verleden — maar de pot behoort toe aan wie de toekomst wint, en B kan die nog winnen. Alles aan A geven behandelt een waarschijnlijke overwinning als zeker — de kleine kans van B is iets waard.

7. Te spelen rondes: $3$ ; uitkomsten (A-winst/B-winst per ronde): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Speler B wint de reeks alleen door alle drie te winnen: enkel BBB. A wint de reeks in $7$ van de $8$ gevallen: eerlijke verdeling $64 \times \frac78 = 56$ pistolen voor A en $8$ voor B.

8. De extra, zinloze rondes spelen verandert niemands overwinning: zodra A haar zesde winst heeft, zijn latere rondes plechtigheid. Maar de horizon op precies $3$ rondes vastleggen maakt alle $8$ uitkomsten even waarschijnlijk — eerlijk tellen vraagt verhalen van gelijke lengte, en ze opvullen kost niets.

9. Bij $5$ – $5$ : één beslissende ronde, $32$ elk. Bij $5$ – $4$ : A krijgt $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . Bij $5$ – $3$ : de volgende ronde leidt naar $64$ (A wint ze) of naar de stand $5$ – $4$ die $48$ waard is: het aandeel van A is $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — de $56 : 8$ van Fermat, van achteren naar voren opnieuw afgeleid.

10. A heeft er $2$ nodig, B $3$ : speel $4$ denkbeeldige rondes ( $16$ uitkomsten). B wint de reeks bij $3$ of $4$ B-winsten: $4 + 1 = 5$ uitkomsten. Verdeling: B: $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; A: $44$ .

11. De eerlijke huidige waarde van een onzekere toekomstige uitbetaling is haar verwachtingswaarde — het met kansen gewogen gemiddelde van wat komen kan. De verzekeringssector (vraag 5) en de financiële wereld (het prijzen van onzekere uitbetalingen) zijn die ene zin, tot bedrijfstak verheven; casino’s ook, van de andere kant van de tafel.

12. De pot komt hoe dan ook ergens terecht: de twee aandelen zijn toevalsvariabelen met som de constante $64$ , dus geeft de lineariteit $\E_A + \E_B = 64$ — eerlijke aandelen putten de pot uit, bij elke stand.

13. Lineariteit: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , zonder tabel — en zelfs waar voor aan elkaar gelijmde dobbelstenen. Variantie van één dobbelsteen: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; voor onafhankelijke dobbelstenen is $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. Elke vaste gast krijgt zijn eigen hoed terug met kans $\frac1n$ (zijn hoed is er één van de $n$ ). Optellen over de $n$ gasten geeft $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — gemiddeld één gelukkige gast, of het feest nu twee hoeden telt of tweeduizend.

15. $n = 2$ : de toewijzingen zijn “allebei juist” ( $X = 2$ ) of “verwisseld” ( $X = 0$ ): $\E = 1$ . $n = 3$ : de zes toewijzingen geven $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. De berekening telde de verwachtingswaarden van de $n$ afzonderlijke indicatoren op (“gast $i$ kreeg zijn hoed”), en de lineariteit telt verwachtingswaarden onvoorwaardelijk op — afhankelijkheid zou een product of een variantie verwoesten, maar nooit een som van verwachtingswaarden. Dat is de superkracht van de lineariteit: er worden geen vragen over onafhankelijkheid gesteld.

17. Beide winsten: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ en $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . Varianties (van de winst): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : $\sigma_A = 5$ en $\sigma_B \approx 70.5$ . Mensen kopen B: wat ze kopen is niet de verwachtingswaarde (nul in beide gevallen) maar de spreiding — een kleine kans op een rechterstaart die een leven verandert.

18. De eerste munt bij worp $n$ heeft kans $2^{-n}$ en betaalt $2^n$ uit: elke $n$ draagt $2^{-n} \times 2^n = 1$ bij aan de verwachtingswaarde, die dus $1 + 1 + 1 + \dots$ is: oneindig. Toch betaalt geen verstandig mens $1\,000$ om één keer te spelen: met kans $\frac{15}{16}$ is de uitbetaling hoogstens $16$ . De verwachtingswaarde vat de lange reeks van herhaalbare weddenschappen samen; een spel dat je één keer in je leven speelt en dat een wilde staart heeft, prijs je niet met haar gemiddelde.

19. Verwachtingswaarden: verzekeren $-20$ ; onverzekerd blijven $-0.01 \times 1000 = -10$ . Gemiddeld wint de onverzekerde strategie — voor wie het verlies kan opvangen en de weddenschap vaak kan herhalen. Een gezin dat de $-1\,000$ niet overleeft, zit niet in het middelen: het betaalt $10$ extra om de variantie te schrappen. Verzekeraars middelen; huishoudens kopen zekerheid.

20. Geboren bij het verdelen van een pot tussen twee ongeduldige gokkers; gesterkt door de lineariteit, die hoop optelt zonder de afhankelijkheid om toestemming te vragen; blind voor het risico, dat de variantie — de loterijen, het Sint-Petersburgspel, de polis van het gezin — in de plaats moet meten; en volgend jaar gekroond door de wet van de grote aantallen, die uitlegt waarom de gemiddelden uiteindelijk altijd incasseren.