Matemática do ensino médio · 10.º ao 12.º ano

11Funções e variação

Este capítulo organiza o que é preciso saber sobre funções antes do cálculo: a pequena família das funções de referência, cujos gráficos devem ser conhecidos de cor, o sentido preciso de crescente e decrescente, e como a variação se comporta quando funções são combinadas.

11.1 Funções e curvas

Definição 11.1 (Função, domínio, curva)

Uma função $f$ associa a cada número $x$ de um conjunto $D \subseteq \R$ (seu domínio) exatamente um número $f(x)$ . Sua curva (ou gráfico) é o conjunto dos pontos $\bigl(x, f(x)\bigr)$ com $x \in D$ .

Exemplo 11.2

A fórmula $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (por causa da raiz quadrada) e $x \neq 1$ (denominador não nulo): o domínio é $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 As funções de referência

As cinco funções a seguir e suas curvas devem virar reflexo.

Definição 11.3 (Funções de referência)

x \mapsto x^2 \text{ (quadrado)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (cubo)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Seus domínios são, respectivamente, $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ e $\R$ . A curva de $x \mapsto \frac1x$ é uma hipérbole.

As cinco curvas de referência: a parábola x2 e o cubo x3 (à esquerda); √ x, x e a hipérbole 1x (à direita). — As cinco curvas de referência: a parábola $x^2$ e o cubo $x^3$ (à esquerda); $\sqrt x$ , $\abs x$ e a hipérbole $\frac1x$ (à direita).

11.3 Variação em um intervalo

Definição 11.4 (Crescente, decrescente)

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ . A função $f$ é crescente em $I$ se preserva a ordem:

\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

e decrescente se inverte a ordem ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Com desigualdades estritas à direita, $f$ é estritamente crescente (resp. decrescente). Uma função crescente ou decrescente em $I$ é dita monótona em $I$ .

Método 11.5 (Demonstrar uma variação pela definição)

Tome dois números arbitrários $u < v$ do intervalo e determine o sinal da diferença $f(v) - f(u)$ , em geral fatorando-a. Se o sinal for constante no intervalo, conclua.

Proposição 11.6 (Variação das funções de referência)

$x^2$ é estritamente decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ é estritamente crescente em $\R$ .
$\sqrt x$ é estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ é estritamente decrescente em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{0}{+\infty}$ (mas não na união dos dois).
$\abs x$ é estritamente decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ .

Demonstração. Sejam $u < v$ . Fatoramos $f(v) - f(u)$ em cada caso.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Em $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ e $v + u > 0$ (pois $v > u \geq 0$ ), logo $v^2 > u^2$ . Em $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , logo $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , e o segundo fator vale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ , a menos que $u = v = 0$ . Logo $v^3 > u^3$ sempre que $v > u$ .

3. Para $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Para $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ , pois $u - v < 0$ e $uv > 0$ ; mesmo cálculo para $u < v < 0$ . Na união a afirmação falha: $-1 < 1$ , mas $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. Em $\intco{0}{+\infty}$ , $\abs x = x$ é estritamente crescente; em $\intoc{-\infty}{0}$ , $\abs x = -x$ é estritamente decrescente. ∎

Observação 11.7

O item 4 é uma armadilha clássica: “decrescente em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{0}{+\infty}$ ” não é o mesmo que “decrescente em $\R \setminus \{0\}$ ”. A variação só faz sentido em intervalos.

Exemplo 11.8 (Comparar sem calcular)

Como $\sqrt x$ é estritamente crescente, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; como $x^2$ é estritamente decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ , $(-3)^2 > (-2)^2$ . A monotonicidade transforma comparações de imagens em comparações de argumentos.

11.4 Novas funções a partir de antigas

Proposição 11.9 (Transformações)

Seja $u$ uma função definida em um intervalo $I$ e seja $k \in \R$ .

$u + k$ tem a mesma variação de $u$ em $I$ ; sua curva é a de $u$ deslocada verticalmente de $k$ .
Para $\lambda > 0$ , $\lambda u$ tem a mesma variação de $u$ ; para $\lambda < 0$ , a variação se inverte.
Se $u \geq 0$ em $I$ , então $\sqrt u$ tem a mesma variação de $u$ .
Se $u \neq 0$ e $u$ tem sinal constante em $I$ , então $\frac1u$ tem variação oposta à de $u$ .

Demonstração. Sejam $u < v$ em $I$ (com um abuso de notação, comparamos os valores de $x$ , $u < v$ ; escreva $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ para as imagens de $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : a diferença das imagens não muda, logo seu sinal não muda.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : o sinal se mantém se $\lambda > 0$ e se inverte se $\lambda < 0$ .

3. Se $u$ é crescente e $x_1 < x_2$ , então $0 \leq s \leq t$ , e como $\sqrt{}$ é crescente (Proposição 11.6), vem $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Mesmo argumento no caso decrescente.

4. Se $u$ é crescente, $0 < s \leq t$ (ou $s \leq t < 0$ ), então $\frac1s \geq \frac1t$ , porque $x \mapsto \frac1x$ é decrescente de cada lado de $0$ : a ordem se inverte. ∎

Exemplo 11.10

Estude $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ em $\R$ . A função interna $u(x) = x^2 + 1$ é positiva, decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e crescente em $\intco{0}{+\infty}$ (um quadrado deslocado). Pelo item 3, $f$ tem a mesma variação: decrescente e depois crescente, com mínimo $f(0) = 1$ .

Transformações em ação: deslocar x2 uma unidade para cima (vermelho) preserva sua variação; extrair a raiz quadrada (laranja) preserva-a de novo, como no . — Transformações em ação: deslocar $x^2$ uma unidade para cima (vermelho) preserva sua variação; extrair a raiz quadrada (laranja) preserva-a de novo, como no Exemplo 11.10.

11.5 Funções pares e ímpares

Definição 11.11 (Paridade)

Seja $f$ definida em um domínio $D$ simétrico em relação a $0$ (isto é, $-x \in D$ sempre que $x \in D$ ). A função $f$ é par se $f(-x) = f(x)$ para todo $x \in D$ , e ímpar se $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in D$ .

Proposição 11.12 (Significado geométrico)

A curva de uma função par é simétrica em relação ao eixo $y$ ; a curva de uma função ímpar é simétrica em relação à origem.

Demonstração. Se $f$ é par e $(x, y)$ está na curva (ou seja, $y = f(x)$ ), então $f(-x) = f(x) = y$ : o ponto espelhado $(-x, y)$ também está na curva. Se $f$ é ímpar, $f(-x) = -y$ : o ponto $(-x, -y)$ , simétrico de $(x,y)$ em relação à origem, está na curva. ∎

Exemplo 11.13

$x^2$ e $\abs x$ são pares; $x^3$ e $\frac1x$ são ímpares; $f(x) = x^2 + x$ não é nem par nem ímpar: $f(-1) = 0$ enquanto $f(1) = 2$ , de modo que $f(-1) \neq \pm f(1)$ . A paridade corta o trabalho pela metade: uma função par ou ímpar só precisa ser estudada em $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Exercícios

Exercício 11.1 ★

Dê o domínio de cada função:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Solução

Solução de Exercício 11.1.

$f$ : é preciso $3 - x \geq 0$ , domínio $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : é preciso $x^2 - 4 \neq 0$ , isto é, $x \neq \pm 2$ : domínio $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : é preciso $x \geq 0$ e $x \neq 5$ : domínio $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Exercício 11.2 ★

Usando a variação das funções de referência, compare sem calculadora:

\sqrt{11} \text{ e } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ e } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ e } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ e } (-0.99)^3 .

Solução

Solução de Exercício 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ , pois $\sqrt{}$ é crescente e $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ , pois $x^2$ é decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ , pois $\frac1x$ é decrescente em $\intoo{0}{+\infty}$ e $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ , pois $x^3$ é crescente e $-1.01 < -0.99$ .

Exercício 11.3 ★

Determine se cada função é par, ímpar ou nenhuma das duas:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Solução

Solução de Exercício 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : par.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : ímpar.

$h(1) = 2$ e $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , de modo que $h(-1)$ não é nem $h(1)$ nem $-h(1)$ : nem par nem ímpar.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : ímpar.

Exercício 11.4 ★

Uma função $f$ tem o seguinte comportamento: crescente em $\intcc{-3}{1}$ , de $f(-3) = -2$ até $f(1) = 4$ , e depois decrescente em $\intcc{1}{5}$ até $f(5) = 0$ . Quantas soluções a equação $f(x) = 1$ tem em $\intcc{-3}{5}$ ? E $f(x) = 5$ ?

Solução

Solução de Exercício 11.4.

Leia o quadro de variação. Em $\intcc{-3}{1}$ , $f$ sobe de $-2$ até $4$ e cruza o valor $1$ exatamente uma vez; em $\intcc{1}{5}$ ela desce de $4$ até $0$ e cruza $1$ mais uma vez: a equação $f(x) = 1$ tem $2$ soluções. O máximo de $f$ é $f(1) = 4 < 5$ , de modo que $f(x) = 5$ não tem solução.

Exercício 11.5 ★★

Usando o Método 11.5 (sinal de $f(v) - f(u)$ ), prove que $f(x) = x^2 - 4x$ é estritamente crescente em $\intco{2}{+\infty}$ .

Solução

Solução de Exercício 11.5.

Sejam $2 \leq u < v$ . Então

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Os dois fatores são positivos: $v - u > 0$ e $u + v > 2 + 2 = 4$ , pois $u \geq 2$ e $v > 2$ . Logo $f(v) > f(u)$ : $f$ é estritamente crescente em $\intco{2}{+\infty}$ .

Exercício 11.6 ★★

Sem calcular nenhuma derivada, dê a variação de

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ em } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ em } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ em } \intco{0}{+\infty}.

Solução

Solução de Exercício 11.6.

$f = \sqrt{u}$ com $u(x) = 5 - x$ decrescente e não negativa em $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ é decrescente ali (Proposição 11.9).

$g = \frac1u$ com $u(x) = x^2 + 1$ crescente e positiva em $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ é decrescente ali.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ é crescente, multiplicar por $-2 < 0$ inverte, e somar $3$ nada muda: $h$ é decrescente em $\intco{0}{+\infty}$ .

Exercício 11.7 ★★

Seja $f(x) = (x-2)^2 - 3$ em $\R$ .

Dê a variação de $f$ e seu mínimo.
Deduza a variação de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ e seu máximo. (Note que $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Solução

Solução de Exercício 11.7.

1. $f$ já está na forma canônica: decrescente em $\intoc{-\infty}{2}$ , crescente em $\intco{2}{+\infty}$ , mínimo $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ com $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . O deslocamento de $4$ preserva a variação de $f$ , e $u \geq 1 > 0$ . Tomar o inverso a inverte: $g$ é crescente em $\intoc{-\infty}{2}$ e decrescente em $\intco{2}{+\infty}$ , com máximo $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Exercício 11.8 ★★

A curva de uma função $f$ passa pelos pontos $(0, 1)$ , $(2, 3)$ e $(4, 1)$ , e $f$ é crescente em $\intcc{0}{2}$ e decrescente em $\intcc{2}{4}$ . Esboce uma curva possível e depois esboce as curvas de $f + 2$ , de $-f$ e de $2f$ .

Solução

Solução de Exercício 11.8.

Qualquer curva em forma de morro passando pelos três pontos serve. Então: $f + 2$ passa por $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , com a mesma variação (deslocamento vertical); $-f$ passa por $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ com variação invertida (o pico vira um vale); $2f$ passa por $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , com a mesma variação, mas amplificada na vertical.

Exercício 11.9 ★★

Mostre que a função $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ pode ser escrita como $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ e deduza sua variação em $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solução

Solução de Exercício 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . Em $\intoo{-1}{+\infty}$ , $u(x) = x + 1$ é crescente e positiva, logo $\frac1u$ é decrescente, $-\frac1u$ é crescente, e somar $2$ nada muda: $f$ é estritamente crescente em $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Exercício 11.10 ★★

Verdadeiro ou falso (justifique ou dê um contraexemplo):

A soma de duas funções crescentes em $I$ é crescente em $I$ .
O produto de duas funções crescentes em $I$ é crescente em $I$ .
Se $f$ é crescente em $I$ , então $f^2$ ( $= f \times f$ ) é crescente em $I$ .

Solução

Solução de Exercício 11.10.

1. Verdadeiro. Se $u < v$ , então $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ é uma soma de dois números não negativos.

2. Falso. $f(x) = g(x) = x$ são crescentes em $\R$ , mas seu produto $x^2$ não é crescente em $\R$ (decresce em $\intoc{-\infty}{0}$ ). (A afirmação passa a ser verdadeira se as duas funções também forem não negativas.)

3. Falso. Mesmo contraexemplo: $f(x) = x$ é crescente em $\R$ , mas $f^2(x) = x^2$ não é.

Exercício 11.11 ★★★

Seja $f(x) = x + \frac{1}{x}$ para $x > 0$ .

Mostre que, para $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Deduza que $f$ é estritamente decrescente em $\intoc{0}{1}$ e estritamente crescente em $\intco{1}{+\infty}$ .
Conclua que $x + \frac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , com igualdade somente em $x = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 11.11.

1. Para $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Sempre $v - u > 0$ e $uv > 0$ . Se $0 < u < v \leq 1$ , então $uv < 1$ , logo $uv - 1 < 0$ e $f(v) < f(u)$ : $f$ é estritamente decrescente em $\intoc{0}{1}$ . Se $1 \leq u < v$ , então $uv > 1$ e $f(v) > f(u)$ : $f$ é estritamente crescente em $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ decresce antes de $1$ e cresce depois, de modo que $f(x) \geq f(1) = 2$ para todo $x > 0$ , com igualdade exatamente em $x = 1$ . (Essa desigualdade reaparece sob muitos disfarces; compare com o Exemplo 10.3 e com as desigualdades da reta tangente do Capítulo 22.)

11.7 Problema: A fábrica de simetrias

Problema 11.1

Problema de fim de semana — toda função é uma parte par mais uma parte ímpar: as regras da paridade, o jogo das transformações e mínimos conquistados sem cálculo

Algumas funções são simétricas por espelho, outras por meia volta, a maioria não é nem uma coisa nem outra — e, no entanto, um pequeno milagre algébrico afirma que toda função é, de exatamente uma maneira, a soma de uma parte simétrica por espelho com uma parte simétrica por meia volta. Este problema demonstra o milagre, joga o jogo das transformações sobre as curvas de referência (Proposição 11.9) e encerra com a técnica de fatorar diferenças do Exercício 11.11, que ganha problemas de minimização um capítulo inteiro antes de a derivada chegar.

Parte I — Fluência com paridade.

Par, ímpar ou nenhuma das duas (Definição 11.11)? Justifique cada uma: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
Enuncie o significado geométrico de cada veredicto (Proposição 11.12): que simetria tem a curva de uma função par? E a de uma função ímpar?
A paridade se multiplica como os sinais: prove que o produto de duas funções ímpares é par e complete toda a tabela de multiplicação (par $\times$ par, par $\times$ ímpar, ímpar $\times$ ímpar).
Consequências rápidas: se $f$ é ímpar e está definida em $0$ , quanto vale $f(0)$ ? Se $f$ é par com $f(3) = 7$ , quanto vale $f(-3)$ ? E mostre que a única função ao mesmo tempo par e ímpar é a função nula.
Quanto da curva de uma função par determina toda ela? Dê uma função que não seja nem par nem ímpar e explique o que falha.

Parte II — O teorema da decomposição. Para uma função $f$ definida em um domínio simétrico em relação a $0$ , ponha

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

Calcule $E$ e $O$ para $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ e verifique: $E$ par, $O$ ímpar, $E + O = f$ .
Demonstre o enunciado geral: para qualquer $f$ , a função $E$ é par, $O$ é ímpar e $f = E + O$ — toda função se decompõe em uma parte par e uma parte ímpar.
Demonstre que a decomposição é única: se $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ com $E_i$ par e $O_i$ ímpar, use a questão 4 sobre $E_1 - E_2$ .
Decomponha $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (para $x \neq \pm 1$ ): reduza $E$ e $O$ ao denominador comum $1 - x^2$ e simplifique.
Um olhar adiante, uma frase para cada: as partes par e ímpar da função exponencial serão as funções gêmeas do ano 12 (cosseno e seno hiperbólicos); e o mesmo instinto — dividir um objeto em pedaços simétricos e tratar cada um com a sua própria simetria — move a análise de som e de sinais dos volumes de graduação. Por que uma divisão dessas é útil, em geral?

Parte III — O jogo das transformações.

Partindo da curva de $x \mapsto x^2$ , descreva com precisão as curvas de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ (Proposição 11.9).
Reduza $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ a uma fórmula por partes nos três intervalos delimitados por $-2$ e $2$ e descreva sua curva (ela tem um fundo plano famoso).
Quais transformações respeitam a paridade par? Decida, com demonstração ou contraexemplo: deslocamento horizontal $f(x - 3)$ ; deslocamento vertical $f(x) + 2$ ; dilatação vertical $2 f(x)$ (todos aplicados a uma $f$ par).
Resolva $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ usando a fórmula por partes da questão 12.
Engenharia reversa: uma parábola tem vértice $(2, -3)$ e passa por $(0, 1)$ . Reconstrua sua equação na forma canônica.

Parte IV — Mínimos sem cálculo.

Espelhe o Exercício 11.11 para $g(x) = x + \dfrac4x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : mostre que $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localize o mínimo e dê seu valor.
Aplique: entre todos os retângulos de área $16$ , qual tem o menor perímetro? (Escreva $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ e use a máquina da questão 16.) Um velho conhecido conclui.
Determine a variação de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ em todo o $\R$ , combinando um argumento de composição em $\intco{0}{+\infty}$ com um argumento de paridade para o resto.
O ponto mais próximo: encontre o ponto da curva $y = \sqrt x$ mais próximo de $(3, 0)$ . (Minimize o quadrado da distância — um trinômio do segundo grau em $x$ — e explique por que minimizar o quadrado é legítimo.)
Final, a visita à fábrica: as curvas de referência são a matéria-prima; as transformações, as máquinas; a paridade e a decomposição, o controle de qualidade; a fatoração da diferença, a bancada de medição. Uma frase sobre cada — e nomeie a ferramenta elétrica que o próximo capítulo entrega.

Solução

Solução de Problema 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : par ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). $x^3 - x$ : ímpar. $x^2 + x$ : nenhuma das duas ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ e $\neq -f(1)$ ). $\abs x$ : par. $\frac1x$ : ímpar.

2. Par: a curva é simétrica em relação ao eixo $y$ (espelho). Ímpar: simétrica em relação à origem (meia volta).

3. Se $f$ e $g$ são ímpares: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : par. Tabela: par $\times$ par $=$ par; par $\times$ ímpar $=$ ímpar; ímpar $\times$ ímpar $=$ par — a regra dos sinais com paridades.

4. Ímpar em $0$ : $f(0) = -f(0)$ , logo $f(0) = 0$ . Par: $f(-3) = f(3) = 7$ . Par e ímpar ao mesmo tempo: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ , logo $2f(x) = 0$ : $f$ é a função nula.

5. A metade direita ( $x \geq 0$ ) determina completamente uma função par: a metade esquerda é seu espelho. Nem par nem ímpar: $x^2 + x$ (questão 1) — suas duas simetrias falham em $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (par), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (ímpar); sua soma é $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : par. $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : ímpar. E $E(x) + O(x) = f(x)$ por soma direta: toda função se decompõe.

8. De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ vem $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . O lado esquerdo é par, o direito é ímpar — logo essa função é as duas coisas e, portanto, nula (questão 4): $E_1 = E_2$ e $O_1 = O_2$ . Uma só decomposição.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , e $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . Verificação: $E$ é par, $O$ é ímpar e a soma delas é $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. Porque cada parte obedece a uma simetria, metade do trabalho (e metade dos dados) basta para cada uma: resolva de um lado e espelhe para o outro — e muitas operações (integração, séries, análise de sinais) tratam pedaços simétricos de modo muito mais simples do que funções brutas.

11. $(x-3)^2$ : deslocada $3$ para a direita. $x^2 + 2$ : deslocada $2$ para cima. $(x-3)^2 + 2$ : as duas coisas. $-x^2$ : virada de cabeça para baixo. $2x^2$ : dilatada verticalmente por $2$ (concha mais estreita).

12. Para $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . Para $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . Para $x \leq -2$ : $-2x$ . A curva desce com coeficiente angular $-2$ , segue plana na altura $4$ entre $-2$ e $2$ e depois sobe com coeficiente angular $2$ : um vale de fundo plano.

13. Deslocamento vertical: $f(x) + 2$ continua par ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). Dilatação vertical: $2f(x)$ continua par. Deslocamento horizontal: $(x - 3)^2$ não é par ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): escorregar para o lado destrói o espelho.

14. No fundo plano o valor é $4 \neq 6$ . Para $x \geq 2$ : $2x = 6$ , $x = 3$ . Para $x \leq -2$ : $-2x = 6$ , $x = -3$ . Soluções: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ com $f(0) = 4a - 3 = 1$ : $a = 1$ , logo $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : negativo para $u < v$ com $uv < 4$ , positivo com $uv > 4$ : decrescente em $\intoc{0}{2}$ , crescente em $\intco{2}{+\infty}$ ; mínimo em $x = 2$ , de valor $g(2) = 4$ .

17. Lados $x$ e $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , minimizado (a máquina da questão 16 com $4 \to 16$ , ponto de virada $\sqrt{16} = 4$ ) em $x = 4$ : o quadrado $4 \times 4$ , de perímetro $16$ — a resposta de Dido, agora demonstrada para todo comprimento real de lado.

18. Em $\intco{0}{+\infty}$ : $x \mapsto x^2 + 1$ cresce, e $\sqrt{\phantom{x}}$ cresce, de modo que a composta cresce. E $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ é par, logo, por simetria especular, decresce em $\intoc{-\infty}{0}$ . Mínimo $h(0) = 1$ .

19. Quadrado da distância de $(x, \sqrt x)$ a $(3, 0)$ : $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , mínimo em $x = \frac52$ : ponto mais próximo $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , distância $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Minimizar $d^2$ é legítimo porque elevar ao quadrado é estritamente crescente nos números positivos: $d$ e $d^2$ atingem o fundo no mesmo ponto.

20. Matéria-prima: as curvas de referência, sabidas de cor. Máquinas: deslocamentos, reflexões e dilatações que montam gráficos novos a partir dos antigos. Controle de qualidade: a paridade e a decomposição par–ímpar, que reduzem todo estudo pela metade. Bancada de medição: fatorar $f(v) - f(u)$ , o que lê variação e mínimos diretamente. A ferramenta elétrica do próximo capítulo: a derivada, que os lê de relance.