Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

20Subvariedades de ℝn

Esferas, toros, grupos de rotações: os habitats naturais da geometria e da mecânica não são espaços vetoriais, mas conjuntos curvos que, de perto, parecem planos. Este capítulo dá a essa frase um sentido preciso — as subvariedades de $\R^n$ — e o cálculo para trabalhar sobre elas. O alicerce é o teorema da função inversa, aqui demonstrado pelo ponto fixo de Banach; todo o resto é mudança de coordenadas: as quatro descrições equivalentes de uma subvariedade (retificação local, conjuntos de nível, gráficos, parametrizações), os espaços tangentes e a otimização com restrições por multiplicadores de Lagrange — que, como demonstração de despedida, redemonstra o teorema espectral das matrizes simétricas em três linhas de geometria. O problema de fim de semana constrói o grupo das rotações $SO(3)$ e seu recobrimento duplo quaterniônico: a álgebra (o $Q_8$ do Capítulo 1, crescido) encontrando a geometria.

20.1 O teorema da função inversa

Teorema 20.1 (Teorema da função inversa)

Sejam $U \subseteq \R^n$ aberto, $f \colon U \to \R^n$ de classe $\mathcal C^1$ e $a \in U$ com $Df(a)$ inversível. Então existem abertos $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tais que $f \colon V \to W$ é uma bijeção com inversa $\mathcal C^1$ , e

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Se $f$ é $\mathcal C^k$ , então $f^{-1}$ também é.

Demonstração. Normalize: substituindo $f$ por $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ , podemos supor $a = 0$ , $f(0) = 0$ , $Df(0) = I$ (o enunciado geral decorre compondo com as bijeções afins). Escreva $f(x) = x + g(x)$ : $Dg(0) = 0$ e, pela continuidade de $Dg$ , escolha $r > 0$ com $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ em $\bar B(0, r)$ ; a desigualdade do valor médio dá $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ ali.

Bijetividade sobre uma vizinhança. Para $y \in B(0, \frac r2)$ , resolver $f(x) = y$ significa encontrar um ponto fixo de $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; $\Phi_y$ leva $\bar B(0, r)$ nele mesmo ( $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) e é $\frac12$ -lipschitziana: Banach (Teorema 7.4) dá uma única solução $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Além disso, $f$ é injetora em $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Ponha $W = B(0, \frac r2)$ e $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : abertos (continuidade), com $f \colon V \to W$ bijetora.

Continuidade e derivabilidade da inversa. $(*)$ diz que $\varphi = f^{-1}$ é $2$ -lipschitziana. Fixe $y_0 = f(x_0) \in W$ ; a inversibilidade de $A = Df(x_0)$ (sua distância a $I$ é $\leq \frac12$ : Neumann, Proposição 8.4) e a derivabilidade de $f$ dão, para $y = f(x)$ perto de $y_0$ :

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

usando $(*)$ para converter $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ : $\varphi$ é derivável em $y_0$ com a diferencial inversa. Continuidade de $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : composição de aplicações contínuas (a inversão é contínua, Proposição 8.4): $\varphi \in \mathcal C^1$ ; e repetir a mesma fórmula (bootstrapping) dá $\mathcal C^k$ . ∎

Teorema 20.2 (Teorema da função implícita)

Seja $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ de classe $\mathcal C^1$ perto de $(a, b)$ , com $F(a,b) = 0$ , e suponha que a diferencial parcial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ seja inversível. Então existem vizinhanças $A \ni a$ , $B \ni b$ e uma aplicação $\psi \colon A \to B$ de classe $\mathcal C^1$ com

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

e $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Demonstração. Aplique o Teorema 20.1 a $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : sua diferencial em $(a,b)$ , triangular por blocos com blocos diagonais inversíveis $I$ e $D_yF$ , é inversível. A inversa local tem a forma $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; ponha $\psi(x) = h(x, 0)$ : então $F(x, y) = 0$ se, e somente se, $\Theta(x,y) = (x, 0)$ , se, e somente se, $y = \psi(x)$ , localmente. A fórmula: derive $F(x, \psi(x)) = 0$ pela regra da cadeia. ∎

20.2 Subvariedades: quatro definições

Teorema 20.3 (Caracterizações equivalentes)

Sejam $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ e $k \geq 1$ . São equivalentes, em cada ponto $a \in M$ (e $M$ é uma subvariedade de dimensão $d$ e classe $\mathcal C^k$ se valem em todo $a \in M$ ):

(Retificação) Existe um difeomorfismo $\Phi$ $\mathcal C^k$ de um aberto $\Omega \ni a$ sobre um aberto $\Omega' \subseteq \R^n$ com

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(Conjunto de nível) Existe uma submersão $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ de classe $\mathcal C^k$ (isto é, com $DF(x)$ sobrejetora) em um aberto $\Omega \ni a$ com $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Gráfico) A menos de permutar coordenadas, $M$ é localmente o gráfico de uma aplicação $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ de classe $\mathcal C^k$ .
(Parametrização) Existe uma imersão $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ de classe $\mathcal C^k$ (com $D\varphi(u)$ injetora) com $A$ aberto, sendo $\varphi$ um homeomorfismo de $A$ sobre $M \cap \Omega$ para algum aberto $\Omega \ni a$ .

Demonstração. (1) $\Rightarrow$ (2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (as últimas coordenadas de $\Phi$ ): uma submersão ( $D\Phi$ é inversível). (2) $\Rightarrow$ (3): $DF(a)$ é sobrejetora: algum menor $q \times q$ da jacobiana é inversível ( $q = n - d$ ); após permutar coordenadas, $D_yF(a)$ é inversível, e o teorema da função implícita (Teorema 20.2) exprime $M$ localmente como gráfico $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : uma imersão (diferencial $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injetora), um homeomorfismo sobre o gráfico (inversa: a projeção, contínua). (4) $\Rightarrow$ (1): seja $\varphi(u_0) = a$ ; complete $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ por um suplementar $E$ ( $\dim E = n - d$ ) e defina $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ em $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ é bijetora (a imagem contém $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ e $E$ ), de modo que $\Theta$ é um difeomorfismo local (Teorema 20.1); sua inversa $\Phi$ retifica: perto de $a$ , os pontos de $M$ são exatamente os $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — e, para isso, a hipótese de homeomorfismo em (4) garante que $M\cap\Omega$ , para $\Omega$ pequeno, não contém outras folhas ( $\varphi(u') + v = m \in M$ perto de $a$ com $v \neq 0$ pequeno deve ser excluído: $m = \varphi(u'')$ para algum $u''$ perto de $u_0$ pela propriedade de homeomorfismo, e a injetividade local de $\Theta$ força $v = 0$ ). Então $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ , a menos de encolher. ∎

Exemplo 20.4

A esfera $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : conjunto de nível da submersão $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ em $\R^n\setminus\{0\}$ ( $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): uma subvariedade $\mathcal C^\infty$ de dimensão $n - 1$ . O toro em $\R^3$ : conjunto de nível de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ( $0 < r < R$ ). O cone $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ não é uma subvariedade em $0$ (Exercício 20.1). Grupos de matrizes: $SL_n$ e $O_n$ são subvariedades de $M_n(\R)$ (Exercícios 20.5 e 20.6) — o ponto de partida da teoria de Lie.

20.3 Espaços tangentes

Definição 20.5

Sejam $M$ uma $d$ -subvariedade e $a \in M$ . O espaço tangente $T_aM$ é o conjunto dos vetores velocidade $\gamma'(0)$ das curvas $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ de classe $\mathcal C^1$ com $\gamma(0) = a$ .

Proposição 20.6

$T_aM$ é um subespaço vetorial de $\R^n$ de dimensão $d$ , e:

se $M = F^{-1}(0)$ localmente com $F$ submersão: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
se $M$ é parametrizada pela imersão $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Demonstração. As curvas em $M$ satisfazem $F(\gamma(t)) = 0$ ; a regra da cadeia em $0$ dá $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Reciprocamente, a retificação (Teorema 20.3(1)) transporta retas de $\R^d\times\{0\}$ em curvas de $M$ : todo vetor de um subespaço de dimensão $d$ é realizado; comparar dimensões ( $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) força a igualdade em (1), e o mesmo argumento de transporte dá (2) ( $D\varphi(u_0)$ aplicada a retas em $A$ ; dimensões, de novo). ∎

Teorema 20.7 (Multiplicadores de Lagrange)

Sejam $M = F^{-1}(0)$ com $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ uma submersão $\mathcal C^1$ , e seja $f \colon \Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$ . Se a restrição $f\restriction_M$ tem extremo local em $a \in M$ , então existem reais únicos $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (os multiplicadores de Lagrange) com

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Demonstração. Para toda curva $\gamma$ em $M$ por $a$ : $t \mapsto f(\gamma(t))$ tem extremo local em $0$ , de modo que $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (Proposição 20.6). Ora, $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (a identidade de posto/ortogonalidade do segundo ano, ou o Exercício 13.8 em dimensão finita: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), que é gerado pelos gradientes $\nabla F_i(a)$ — independentes, pois $DF(a)$ é sobrejetora: os multiplicadores existem e são únicos. ∎

Exemplo 20.8 (O teorema espectral, geometricamente)

Seja $A$ uma matriz real simétrica $n\times n$ e maximize $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ na esfera $S^{n-1}$ (compacta: o máximo é atingido, em algum $v_1$ ). Lagrange com $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ e $\nabla F = 2x$ dão $Av_1 = \lambda_1v_1$ — um autovetor, com $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Restrinja $A$ a $v_1^\perp$ (invariante: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) e itere: uma base ortonormal de autovetores. O teorema espectral do segundo ano, redemonstrado por pura otimização — e a sombra em dimensão infinita do mesmo argumento demonstrou o Lema 15.6.

Método 20.9

Para demonstrar que um conjunto é subvariedade: exiba-o localmente como $F^{-1}(0)$ com $DF$ sobrejetora no conjunto (a rota mais comum), ou como gráfico. Para calcular sua dimensão e seu espaço tangente: $d = n - q$ e $T_a = \ker DF(a)$ . Para otimizar nele: Lagrange — verifique sempre antes a compacidade (ou a coercividade), de modo que exista um extremo ao qual o teorema possa se aplicar, e lembre que a equação dos multiplicadores é apenas necessária: reúna todos os pontos críticos e, depois, compare valores. Para grupos de matrizes, derive curvas na identidade para identificar espaços tangentes.

20.4 Exercícios

Exercício 20.1 ★

(a) Verifique que os conjuntos seguintes são subvariedades $\mathcal C^\infty$ e dê suas dimensões: $S^{n-1}$ ; o hiperboloide $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; o toro do Exemplo 20.4. (b) Mostre que o cone $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ não é uma $2$ -subvariedade em $0$ : determine o número de componentes conexas de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ e compare com o número que uma retificação (Teorema 20.3(1)) forçaria para um plano menos um ponto.

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(a) Cada um é $F^{-1}(0)$ para uma submersão: $\norm x^2 - 1$ em $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiente $2x \neq 0$ ): dimensão $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiente $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ no hiperboloide, em que $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ ): dimensão $2$ ; a função do toro $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ , $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ , é $\mathcal C^\infty$ perto do toro ( $\rho \geq R - r > 0$ ali) com $\nabla G \neq 0$ (sua componente $z$ é $2z$ e, onde $z = 0$ , a componente radial é $2(\rho - R)\ne0$ , pois $\abs{\rho - R} = r$ ): dimensão $2$ .

(b) Para $\varepsilon$ pequeno, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tem exatamente $2$ componentes conexas (as folhas superior e inferior perfuradas, cada uma conexa por caminhos: ligue por círculos e semirretas). Se $C$ fosse uma $2$ -subvariedade em $0$ , um endireitamento daria um homeomorfismo de $C\cap\Omega$ sobre uma peça aberta de um plano, levando $0$ num ponto $p$ ; pequenas vizinhanças planas perfuradas de $p$ têm uma componente, e os homeomorfismos preservam o número de componentes de vizinhanças perfuradas: contradição.

Exercício 20.2 ★

Calcule os espaços tangentes: (a) $T_aS^{n-1}$ para $a$ qualquer (resposta: $a^\perp$ ); (b) o plano tangente ao toro do Exemplo 20.4 em um ponto arbitrário do equador externo $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) a reta tangente à hélice $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ em $\varphi(t_0)$ , verificando a Proposição 20.6(2).

Solução

Solução de Exercício 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) Em $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , de modo que o plano tangente é $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : o plano vertical tangente ao equador externo. (c) A hélice é uma curva mergulhada com $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : a reta tangente em $\varphi(t_0)$ é $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , como a Proposição 20.6(2) prescreve.

Exercício 20.3 ★★

Seja $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (isto é, $z \mapsto z^2$ ). (a) Em que pontos o Teorema 20.1 se aplica? (b) Mostre que $f$ é local mas não globalmente inversível em $\R^2\setminus\{0\}$ , e exiba explicitamente as duas inversas locais definidas em uma vizinhança de $(1, 0)$ (os dois ramos da raiz quadrada). (c) Mesma discussão para a aplicação de coordenadas polares $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Solução

Solução de Exercício 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\det = 4(x^2 + y^2)$ : o teorema se aplica em todo ponto, exceto na origem. (b) $f(-z) = f(z)$ : nunca injetora num conjunto simétrico em relação a $0$ ; em $\R^2\setminus\{0\}$ ela é um difeomorfismo local em toda parte e, ainda assim, $2$ para $1$ globalmente. Perto de $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ , as duas inversas são os dois ramos da raiz quadrada: em notação complexa, $w \mapsto \pm\sqrt w$ (ramo principal), isto é,

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobiano $r > 0$ : difeomorfismo local em $\intoo0\infty\times\R$ , mas $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ dá o mesmo ponto: localmente inversível (ângulo determinado a menos de $2\pi$ num semiplano), nunca globalmente.

Exercício 20.4 ★★

(Fólio) Sejam $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ e $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Mostre que, perto de todo ponto de $\mathcal C$ distinto da origem, $\mathcal C$ é uma $1$ -subvariedade, localmente um gráfico em $x$ ou em $y$ (qual, e onde?). (b) Calcule a reta tangente em $(\frac32, \frac32)$ . (c) O que acontece na origem? (Dois ramos se cruzam: exiba duas curvas $\mathcal C^1$ em $\mathcal C$ por $0$ com velocidades independentes e conclua que não existe retificação.)

Solução

Solução de Exercício 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ se anula se, e somente se, $y = x^2$ e $x = y^2$ , isto é, $x^4 = x$ : em $(0,0)$ e $(1,1)$ ; só $(0,0)$ está em $\mathcal C$ ( $F(1,1) = -1$ ). Logo, em $\mathcal C\setminus\{0\}$ , $F$ é uma submersão: uma $1$ -subvariedade, localmente um gráfico $y = \psi(x)$ onde $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ e $x = \chi(y)$ onde $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (ao menos uma das condições vale fora da origem).

(b) Em $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$ : reta tangente $x + y = 3$ .

(c) A parametrização racional $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ , $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ passa por $0$ em $t = 0$ com velocidade $(3, 0)$ ; trocando $x \leftrightarrow y$ (a curva é simétrica, ou reparametrize por $1/t$ ), obtém-se uma segunda curva $\mathcal C^1$ por $0$ com velocidade $(0, 3)$ . Duas direções tangentes independentes são impossíveis para uma $1$ -subvariedade (seu espaço tangente é uma reta, Proposição 20.6): $\mathcal C$ não é subvariedade na origem — um autocruzamento transversal.

Exercício 20.5 ★★

Seja $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ no espaço $S_n$ das matrizes simétricas. (a) Mostre que $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ e que $DF(M)$ é sobrejetora sobre $S_n$ em todo $M \in O_n$ (dado $S \in S_n$ , tente $H = \frac12MS$ ). (b) Conclua que $O_n = F^{-1}(I)$ é uma subvariedade $\mathcal C^\infty$ compacta de dimensão $\frac{n(n-1)}2$ , com $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , as matrizes antissimétricas. (c) Mostre que $\eu^{tH} \in O_n$ para toda $H$ antissimétrica: as direções tangentes se integram em curvas dentro do grupo.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Para $M \in O_n$ e $S$ simétrica, $H = \frac12MS$ dá $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : sobrejetora sobre $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ com $F$ submersão (sobre $S_n$ , de dimensão $\frac{n(n+1)}2$ ) em cada um de seus pontos: uma subvariedade de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Compacto: fechado ( $F$ contínua) e limitado (as colunas são vetores unitários). Tangente em $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (a transposição atravessa a série; as exponenciais de matrizes que comutam se multiplicam, Teorema 19.8).

Exercício 20.6 ★★

(a) Mostre que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ tem diferencial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ , não nula em todo $M \in SL_n$ . (b) Conclua que $SL_n(\R)$ é uma subvariedade de dimensão $n^2 - 1$ com $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) $GL_n(\R)$ é uma subvariedade? De que dimensão?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ para $M$ inversível (expansão de $\det$ perto de $I$ : o termo linear de $\prod(1 + \lambda_i)$ ); com $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , e a fórmula se estende a todo $M$ por densidade e continuidade. Em $SL_n$ , $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (seu valor em $H = M$ é $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ com $\det$ submersão ali (valores em $\R$ ): dimensão $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ é um subconjunto aberto de $M_n(\R)$ (Exercício 6.8): uma subvariedade de dimensão total $n^2$ (endireitamento: a carta identidade).

Exercício 20.7 ★★

Por multiplicadores de Lagrange: (a) encontre os extremos de $f(x,y) = xy$ no círculo $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) mostre que, entre todos os vetores de probabilidade $(p_1, \dots, p_n)$ (positivos e de soma $1$ ), a entropia $-\sum p_i\ln p_i$ é maximizada exatamente na distribuição uniforme; (c) encontre o ponto da elipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ mais próximo de $(1, 0)$ e verifique geometricamente a equação dos multiplicadores (alinhamento das normais).

Solução

Solução de Exercício 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ e $x^2 + y^2 = 1$ : $y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$ dão $x^2 = y^2 = \frac12$ . Valores de $xy$ : $\pm\frac12$ : máximo $\frac12$ em $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , mínimo $-\frac12$ em $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (o conjunto de restrição é compacto: os extremos existem).

(b) No interior do simplexo ( $p_i > 0$ ), Lagrange para $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ com a restrição $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ para todo $i$ : todos os $p_i$ iguais, $p_i = \frac1n$ , com $H = \ln n$ . O máximo no simplexo compacto é atingido; se fosse atingido no bordo (algum $p_i = 0$ ), a distribuição viveria em $\leq n - 1$ pontos e, por indução, $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : o ponto crítico interior é o máximo global — a ignorância uniforme maximiza a entropia.

(c) Minimize $(x-1)^2 + y^2$ na elipse compacta: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Se $y \neq 0$ : $\lambda = 1$ , e então $2(x - 1) = \frac x2$ dá $x = \frac43$ , $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : distância $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Se $y = 0$ : $x = \pm2$ , distâncias $1$ e $3$ . Pontos mais próximos: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , à distância $\sqrt{2/3} < 1$ . A equação do multiplicador diz que o segmento de $(1,0)$ ao ponto mais próximo é paralelo a $\nabla$ (elipse): ele encontra a elipse ortogonalmente, como a geometria exige.

Exercício 20.8 ★★★

Escreva o Exemplo 20.8 por extenso: demonstre por indução que uma matriz real simétrica admite base ortonormal de autovetores, sendo $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ os máximos com restrição sucessivos do quociente de Rayleigh. Deduza então as fórmulas de Courant–Fischer do Exercício 15.8 em dimensão finita diretamente dessa construção.

Solução

Solução de Exercício 20.8.

Indução sobre $n$ ; $n = 1$ trivial. A função de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ atinge seu máximo $\lambda_1$ no compacto $S^{n-1}$ em algum $v_1$ ; Lagrange (Teorema 20.7, a esfera como conjunto de nível) dá $2Av_1 = 2\lambda v_1$ , e $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . O hiperplano $v_1^\perp$ é $A$ -invariante (simetria: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); a restrição é simétrica e a indução fornece uma base ortonormal de autovetores $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ com autovalores $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , cada um o máximo de $f$ na esfera do complemento ortogonal restante. Courant–Fischer segue exatamente como no Exercício 15.8: expanda $x = \sum c_iv_i$ ; num espaço de teste de dimensão $k$ , intersecte com $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (contagem de dimensões em $\R^n$ ) para obter $\min \leq \lambda_k$ , e $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ atinge $\min = \lambda_k$ .

Exercício 20.9 ★★★

(Desigualdade de Hadamard) Para $M \in GL_n(\R)$ com colunas $c_1, \dots, c_n$ :

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

com igualdade se, e somente se, as colunas são ortogonais. (Reduza a colunas de norma $1$ por reescalamento; maximize $\det$ no produto compacto de esferas $(S^{n-1})^n$ ; em um maximizador, Lagrange em cada coluna separadamente dá $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , e $\nabla_{c_i}\det$ é a $i$ -ésima coluna de $\operatorname{com}(M)$ : deduza que $M^{\mathsf T}M$ é diagonal, logo $= I$ , logo $\det = \pm1$ .) Leitura geométrica: o volume de um paralelepípedo é no máximo o produto dos comprimentos de suas arestas.

Solução

Solução de Exercício 20.9.

Reescalar cada coluna para norma unitária divide $\abs{\det}$ por $\prod\norm{c_i}$ : basta demonstrar $\abs{\det M} \leq 1$ quando todas as colunas são unitárias, com igualdade se, e somente se, $M \in O_n$ . A função $\det$ é contínua no compacto $(S^{n-1})^n$ : ela atinge um máximo $m \geq \det I = 1 > 0$ em alguma $M$ . Fixando todas as colunas exceto a $i$ -ésima, $\det$ é linear em $c_i$ , com gradiente a $i$ -ésima coluna de $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange na $i$ -ésima esfera: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . A identidade $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ se lê $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ , isto é, $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; tomando $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , e então $j \neq i$ dá $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : as colunas são ortonormais, $M \in O_n$ , $m = \abs{\det M} = 1$ . Logo $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ sempre, com igualdade exatamente para colunas ortogonais (reescale de volta): o volume de um paralelepípedo é máximo, para comprimentos de aresta dados, quando as arestas são perpendiculares.

Exercício 20.10 ★★

Perto de quais de seus pontos o círculo $S^1$ é um gráfico $y = \psi(x)$ ? E um gráfico $x = \chi(y)$ ? Verifique explicitamente a caracterização por gráficos (Teorema 20.3(3)) em $(1, 0)$ e explique em uma frase por que alguma permutação de coordenadas é sempre suficiente, mas nenhuma única serve sempre.

Solução

Solução de Exercício 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ serve perto de todo ponto com $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ perto de todo ponto com $x \neq 0$ ; em $(1, 0)$ : o gráfico $x = \sqrt{1 - y^2}$ sobre $y \in \intoo{-1}1$ , que é o Teorema 20.3(3) com as coordenadas trocadas. Alguma permutação sempre serve porque a reta tangente, sendo unidimensional, não pode ser simultaneamente vertical e horizontal — mas ela pode ser qualquer uma das duas, de modo que nenhuma escolha fixa da coordenada “dependente” serve em todo ponto.

Exercício 20.11 ★★

(O grupo ortogonal como subvariedade, quantitativamente) (a) Mostre que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ é compacto: limitado (cada coluna é um vetor unitário, de modo que $\norm M \leq \sqrt n$ para a norma euclidiana de matrizes) e fechado. (b) Mostre que seu espaço tangente em $I$ é o espaço das matrizes antissimétricas, de dimensão $\frac{n(n-1)}2$ , e em um $A \in O_n$ geral: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Deduza que a aplicação $t \mapsto A\exp(tK)$ é, para cada $K$ antissimétrica, uma curva em $O_n$ por $A$ com velocidade $AK$ (verifique $\exp(tK) \in O_n$ usando $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ e $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): todo vetor tangente é realizado por uma curva explícita, sem precisar do teorema da função implícita.

Solução

Solução de Exercício 20.11.

(a) A aplicação que o define, $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ , é contínua: $O_n = F^{-1}(0)$ é fechado; as colunas de uma matriz ortogonal são vetores unitários, de modo que a norma euclidiana (de Frobenius) vale exatamente $\sqrt n$ : limitado. Compacto por Heine–Borel em $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) $O_n$ é o conjunto de nível $F = 0$ estudado no capítulo: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , sobrejetora sobre as matrizes simétricas em cada $A \in O_n$ (dada $S$ simétrica, tome $H = \frac12AS$ ), de modo que $O_n$ é uma subvariedade de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ com

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisymmetric}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

em $A = I$ essas são as matrizes antissimétricas.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (as duas matrizes $\pm tK$ comutam, de modo que o produto das exponenciais é a exponencial da soma): $\exp(tK) \in O_n$ , e $\gamma(t) = A\exp(tK)$ é uma curva em $O_n$ com $\gamma(0) = A$ , $\gamma'(0) = AK$ . Quando $K$ percorre as matrizes antissimétricas, $AK$ varre $T_AO_n$ : a exponencial realiza todo o espaço tangente por curvas explícitas — o atalho de grupos de Lie que o Problema 20.1 explora para $SO(3)$ .

Exercício 20.12 ★★

(Pontos críticos da distância) Sejam $M \subseteq \R^n$ uma subvariedade e $p \notin M$ . Mostre que, se $x_0 \in M$ minimiza a distância a $p$ (um tal ponto existe quando $M$ é fechada e não vazia — por quê?), então

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(derive $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ ao longo de curvas em $M$ ). Deduza: o ponto mais próximo em uma esfera está na semirreta que passa pelo centro; e use a condição para calcular a distância de $p = (2, 0)$ à parábola $y = x^2$ (reduza a uma cúbica e resolva-a numericamente com três algarismos).

Solução

Solução de Exercício 20.12.

Existência: intersecte $M$ com uma bola fechada grande em torno de $p$ para obter um compacto não vazio; a distância, contínua, atinge ali seu mínimo, e os pontos fora da bola estão mais longe. Condição de primeira ordem: para uma curva $\gamma$ em $M$ com $\gamma(0) = x_0$ , a função $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ é derivável com um mínimo em $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

e $\gamma'(0)$ varre $T_{x_0}M$ : $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Esfera $S(c, r)$ : o espaço tangente em $x_0$ é $(x_0 - c)^\perp$ , de modo que $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ está na reta por $c$ e $p$ , à distância $r$ de $c$ — o ponto do raio, como a geometria insiste. Parábola: em $x_0 = (x, x^2)$ a tangente é gerada por $(1, 2x)$ ; a ortogonalidade a $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ se lê

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{isto é}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

com única raiz real ( $x \mapsto 2x^3 + x$ é estritamente crescente) $x \approx 0.835$ ; então $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ e $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$ .

20.5 Problema: $SO(3)$ e os quatérnios

Problema 20.1

Problema de fim de semana — rotações, o grupo $S^3$ e o recobrimento duplo

Os quatérnios $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — a álgebra cujo grupo de unidades contém o $Q_8$ do Problema 1.1 — parametrizam as rotações tridimensionais duas vezes: a aplicação “conjugar por um quatérnio unitário” é um morfismo sobrejetor $S^3 \to SO(3)$ de núcleo $\{\pm1\}$ . Construímos tudo. Recorde/defina: a multiplicação é $\R$ -bilinear com $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; o conjugado de $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ é $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Parte I — A álgebra $\mathbb H$ e o grupo $S^3$ .

Verifique que $\mathbb H$ é uma $\R$ -álgebra associativa de centro $\R$ , que $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ e que $N(pq) = N(p)N(q)$ (uma rota limpa: represente $q$ pela matriz complexa $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , e use $\det$ ).
Deduza que todo $q \neq 0$ é inversível ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ é um corpo (não comutativo), e $S^3 = \{N(q) = 1\}$ é um grupo — e uma $3$ -subvariedade compacta de $\R^4$ (Exemplo 20.4).

Parte II — O morfismo de rotação. Identifique $\R^3$ com os quatérnios puros $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ e, para $q \in S^3$ , defina $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Mostre que $\rho_q$ leva $P$ em $P$ (os quatérnios puros são aqueles com $\bar v = -v$ ), é $\R$ -linear, preserva a norma, e que $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ é um morfismo de grupos $S^3 \to O(3)$ .
Calcule o núcleo: $\rho_q = \mathrm{id}$ se, e somente se, $q$ comuta com $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , se, e somente se, $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Escreva $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ com $u \in P$ , $N(u) = 1$ (por que isso é sempre possível para $q \in S^3$ ?). Mostre que $\rho_q$ fixa $u$ e, no plano $u^\perp\cap P$ , age como a rotação de ângulo $\theta$ (calcule $\rho_q(w)$ para $w \perp u$ usando $uw = -wu$ para unitários puros ortogonais — demonstre essa identidade a partir da tabela de multiplicação, ou de $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Conclua: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (cada $\rho_q$ é uma rotação de eixo e ângulo como calculados — determinante $+1$ por continuidade de $q \mapsto \det\rho_q$ no conexo $S^3$ , ou diretamente), e $\rho$ é sobrejetor sobre $SO(3)$ : toda rotação de $\R^3$ tem eixo (demonstre: uma matriz ortogonal real $3\times3$ com $\det = 1$ tem autovalor $1$ — considere o polinômio característico) e, portanto, é algum $\rho_q$ . Em resumo:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Parte III — $SO(3)$ como subvariedade; Rodrigues.

Mostre que $SO(3)$ é uma subvariedade compacta de dimensão $3$ de $M_3(\R)$ com $T_ISO(3) =$ as matrizes antissimétricas (Exercício 20.5; a condição sobre o determinante seleciona uma reunião de componentes).
Para a matriz antissimétrica $A_u$ associada a $u \in \R^3$ ( $A_uv = u\wedge v$ , o produto vetorial), demonstre a fórmula de Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(a partir de $A_u^3 = -A_u$ : separe a série exponencial segundo as potências de $A_u$ ), e identifique-a como a rotação de eixo $u$ e ângulo $\theta$ . Deduza que $\exp$ leva as matrizes antissimétricas sobre $SO(3)$ .
Relacione as duas parametrizações: mostre que $t \mapsto \rho_{q(t)}$ com $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ é um grupo a um parâmetro de rotações cuja derivada em $t = 0$ é $A_u$ — as exponenciais quaterniônica e matricial contam a mesma história, a meia velocidade e a velocidade plena, respectivamente.

Parte IV — O recobrimento duplo, sentido.

Mostre que o caminho $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , é um laço em $SO(3)$ (sua imagem $\rho_{q(t)}$ volta à identidade) cujo levantamento quaterniônico não é um laço: $q(2\pi) = -q(0)$ . Continuar até $t = 4\pi$ fecha o levantamento. Explique em um parágrafo curto o que isso diz: uma rotação de $2\pi$ não pode ser desfeita continuamente, mas uma de $4\pi$ pode (o truque do cinto), porque os laços de $SO(3)$ são detectados em seu recobrimento duplo $S^3$ .
Deduza também o dividendo prático: compor rotações = multiplicar quatérnios (o equivalente a $4$ multiplicações de dados em vez de $9$ , sem deriva da ortogonalidade) — verifique na composição de duas rotações de um quarto de volta em torno de $\mathrm i$ e de $\mathrm j$ : calcule o eixo e o ângulo do produto.

Parte V — A matriz explícita: Euler–Rodrigues. Escreva $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , de modo que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Calcule $\rho_q(\mathrm i)$ por extenso a partir da tabela de multiplicação; obtenha em seguida $\rho_q(\mathrm j)$ e $\rho_q(\mathrm k)$ pela substituição cíclica $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (justifique-a: ciclar $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ se estende a um automorfismo de $\mathbb H$ , pois as relações de definição são ciclicamente simétricas). Conclua que a matriz de $\rho_q$ na base $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ é a matriz de Euler–Rodrigues

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Lendo uma rotação de trás para diante) Mostre que

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

na notação das questões 5 e 8. Deduza um algoritmo que recupera $\pm q$ a partir de uma matriz de rotação $R$ : o ângulo pelo traço; o eixo pela parte antissimétrica quando $0 < \theta < \pi$ ; e, quando $\theta = \pi$ , demonstre e use a identidade $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Avalie $R_q$ para o produto $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ da questão 11: aparece uma matriz de permutação. Identifique a rotação e reconcilie com o eixo e o ângulo encontrados na questão 11.

Parte VI — Dentro de $S^3$ : $SU(2)$ , classes de conjugação, exponenciais.

Mostre que a representação matricial da questão 1 (chame-a $\Phi$ ) se restringe a um isomorfismo de grupos de $S^3$ sobre o grupo especial unitário

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(para a sobrejetividade, escreva as equações $U^{-1} = U^*$ e $\det U = 1$ para uma matriz complexa $2\times2$ geral).
Mostre que a parte real é um invariante de conjugação em $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ para todo $p \in S^3$ — e, reciprocamente, que dois quatérnios unitários de mesma parte real são conjugados em $S^3$ (reduza a levar um eixo unitário puro sobre outro, o que a Parte II fornece). Descreva geometricamente as classes de conjugação de $S^3$ ; traduza para $SU(2)$ (conjuntos de nível do traço); e projete por $\rho$ : duas rotações são conjugadas em $SO(3)$ se, e somente se, têm o mesmo ângulo $\theta \in \intcc0\pi$ .
Defina $\exp$ em $\mathbb H$ pela série exponencial; verifique a convergência absoluta, usando $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ para $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Mostre, para $u$ puro unitário e $\theta \in \R$ ,

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

deduza que $\exp$ leva o hiperplano $P$ sobre $S^3$ , e verifique que $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : de novo o fenômeno do meio ângulo da questão 9.
Para quatérnios puros $v, w$ , demonstre a regra do produto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , e daí a identidade do comutador $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; demonstre também $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ para as matrizes da questão 8. Conclua que a derivada de $\rho$ em $1$ ao longo das curvas $t \mapsto \exp(tv)$ é o isomorfismo linear $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sobre as matrizes antissimétricas, e que ele transporta o comutador de quatérnios ao comutador de matrizes.

Parte VII — Estrutura global.

(Não há seção contínua) Suponha $s \colon SO(3) \to S^3$ contínua com $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Para o laço $R(t) = \rho_{q(t)}$ da questão 10, ponha $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ para $t \in \intcc0{2\pi}$ . Mostre que $\varepsilon$ é contínua com valores em $\{\pm1\}$ e obtenha uma contradição: não existe escolha global contínua de um quatérnio unitário que represente cada rotação.
(O modelo da bola) Sejam $\bar B \subseteq \R^3$ a bola fechada de raio $\pi$ e $E(v) = \eu^{A_v}$ , com $E(0) = I$ . Mostre que $E$ leva $\bar B$ sobre $SO(3)$ , é injetora na bola aberta e, na esfera de fronteira, identifica exatamente os antípodas: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , sem nenhuma outra coincidência. Assim, $SO(3)$ é a bola com os pontos antípodas da fronteira colados — o espaço projetivo $\mathbb{RP}^3$ — e um diâmetro se torna o laço não contrátil da questão 10.
Mostre que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; que as involuções de $SO(3)$ (os $R \neq I$ com $R^2 = I$ ) são exatamente as meias-voltas $\rho_w$ com $w$ quatérnio puro unitário; e que o centro de $SO(3)$ é trivial.
Mostre que toda rotação é produto de duas meias-voltas: para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ , escolha um puro unitário $w \perp u$ , verifique que $w' = qw$ é de novo um quatérnio puro unitário, e confirme $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . Onde ficam os dois eixos, e que ângulo eles formam?
Conclua o resumo topológico: $SO(3)$ é compacto e conexo por caminhos (dê duas demonstrações: imagem contínua de $S^3$ por $\rho$ ; imagem de $\exp$ ), ao passo que $O(3)$ tem exatamente duas componentes conexas, cada uma homeomorfa a $SO(3)$ .
(Uma composição, de três maneiras) Sejam $R_1$ a rotação de $\frac\pi2$ em torno do eixo $z$ e $R_2$ a rotação de $\frac\pi2$ em torno do eixo $x$ . Calcule o eixo e o ângulo de $R_2R_1$ : (i) multiplicando as duas matrizes $3\times3$ e usando o traço e a parte antissimétrica (Parte V); (ii) multiplicando os quatérnios unitários correspondentes $q_2q_1$ . Verifique que as duas respostas coincidem: ângulo $\frac{2\pi}3$ , eixo $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(A transformada de Cayley) Para $K$ antissimétrica, mostre que $I + K$ é inversível e

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

com $-1$ nunca sendo autovalor de $C(K)$ ; mostre que $K \mapsto C(K)$ é uma bijeção das matrizes antissimétricas sobre $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , com inversa $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ . (Uma carta racional de $SO(n)$ , companheira da $\exp$ transcendente do Exercício 20.11.)

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. Aplique $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ com $\alpha = t + \iu x$ , $\beta = y + \iu z$ : verifica-se que $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ vão para $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , cujos produtos reproduzem a tabela dos quatérnios: a aplicação é um morfismo injetor de álgebras, de modo que $\mathbb H$ herda a associatividade; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ é multiplicativa, e a conjugação corresponde à transposta da adjunta, dando $\overline{pq} = \bar q\bar p$ . Centro: comutar com $\mathrm i$ força $y = z = 0$ , e com $\mathrm j$ força $x = 0$ : $\R$ .

2. $q\bar q = N(q)$ : para $q \neq 0$ , $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : uma álgebra de divisão. Em $S^3$ : $N(pq) = 1$ e $N(q^{-1}) = 1$ : um grupo; e $S^3 \subseteq \R^4$ é a esfera unitária: uma $3$ -subvariedade compacta.

3. $v$ é puro se, e somente se, $\bar v = -v$ ; então $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : $\rho_q$ preserva $P$ . A linearidade é clara; $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : uma isometria de $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : $\rho_q \in O(3)$ . E $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : um morfismo.

4. $\rho_q = \mathrm{id}$ se, e somente se, $qv = vq$ para todo $v$ puro, se, e somente se, $q$ comuta com $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , se, e somente se, $q$ é central (questão 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Escreva $q = t + p$ ( $t \in \R$ , $p$ puro): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , de modo que $t = \cos\frac\theta2$ e $p = \sin\frac\theta2\,u$ com $N(u) = 1$ para algum $\theta$ (se $p = 0$ , $q = \pm1$ age trivialmente). Como $u^2 = -N(u) = -1$ , $q$ e $u$ comutam, e $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : o eixo. Para unitários puros $w \perp u$ : a regra do produto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (expanda em coordenadas a partir da tabela) dá $uw = u\wedge w = -wu$ . Então

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

usando $uwu = -u^2w = w$ e as fórmulas do arco duplo: a rotação de ângulo $\theta$ no plano orientado $(w, u\wedge w)$ .

6. Cada $\rho_q$ é uma rotação em torno de $u$ de $\theta$ : na base ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ , sua matriz tem determinante $+1$ : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Sobrejetividade: uma matriz $R \in SO(3)$ tem $1$ como autovalor, já que

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

de modo que $\det(R - I) = 0$ . Tome um autovetor unitário $u$ ; $R$ preserva $u^\perp$ e ali se restringe a uma rotação de algum ângulo $\theta$ (ortogonal planar, de determinante $1$ ): $R = \rho_q$ para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Com a questão 4 e o primeiro teorema de isomorfismo (Teorema 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. $O_3$ é uma subvariedade compacta de dimensão $3$ (Exercício 20.5); $\det$ é contínuo nela, com valores em $\{\pm1\}$ , de modo que $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ é aberto e fechado em $O_3$ : uma união de componentes conexas, logo ela própria uma $3$ -subvariedade compacta, com o mesmo espaço tangente em $I$ : as matrizes antissimétricas.

8. $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ ( $u$ unitário), de modo que $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 = -A_u$ . Separando a série exponencial pelos restos das potências módulo a relação $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

Em $u$ : $A_uu = 0$ : fixo. Em $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : a rotação de eixo $u$ e ângulo $\theta$ — Rodrigues. Toda rotação tem essa forma (questão 6): $\exp$ é sobrejetora sobre $SO(3)$ a partir das matrizes antissimétricas.

9. Com $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : a questão 5 mostra que $\rho_{q(t)}$ é a rotação de eixo $u$ e ângulo $t$ , isto é, $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , cuja derivada em $t = 0$ é $A_u$ . O quatérnio corre à metade do ângulo — o traço analítico do recobrimento duplo.

10. $\rho_{q(t)}$ é a rotação em torno de $\mathrm k$ de ângulo $t$ : em $t = 2\pi$ ela retorna à identidade — um laço em $SO(3)$ . Seu levantamento satisfaz $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : o caminho levantado não é fechado; só em $t = 4\pi$ é que $q$ retorna a $1$ . Interpretação: o laço das rotações completas não é contrátil em $SO(3)$ — seu levantamento termina na outra folha do recobrimento —, ao passo que o laço duplo é; um corpo preso ao ambiente por tiras (o truque do cinto) retorna a um estado sem torção após $4\pi$ , mas não após $2\pi$ . Os grupos de rotação lembram a paridade das voltas completas; $S^3$ , sendo simplesmente conexo, é onde essa memória vive.

11. Quartos de volta: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ , $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Produto (aplicando primeiro a volta de $\mathrm j$ ):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

de norma $1$ , com $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , e eixo $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (a parte pura normalizada). Dois quartos de volta sucessivos em torno de eixos ortogonais produzem uma rotação de $120^\circ$ em torno da diagonal principal do cubo — o equivalente a quatro multiplicações reais de contabilidade, com a ortogonalidade preservada exatamente: eis por que os softwares de voo e os motores gráficos compõem rotações via quatérnios.

12. Da tabela, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ e $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , de modo que

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Multiplicando por $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ com a regra escalar–vetor $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , em que $p_1 = (a, d, -c)$ e $p_2 = (-b, -c, -d)$ : a parte escalar é $-ab - (-ab) = 0$ (pura, como deve ser), e a parte vetorial é

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

a primeira coluna de $R_q$ . A aplicação cíclica $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ preserva as relações $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (a palavra $\mathrm{ijk}$ é ciclicamente invariante a menos da relação $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ , que vale em qualquer anel: conjugue $\mathrm{ijk} = -1$ pelo inversível $\mathrm i$ ), de modo que $\sigma$ se estende a um automorfismo de $\R$ -álgebras, e $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Desenrolando, a imagem de $\mathrm j$ é a fórmula da primeira coluna após a substituição $(b, c, d) \to (c, d, b)$ com a base reetiquetada $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , que é exatamente a segunda coluna exibida; mais uma volta dá a terceira.

13. Somando a diagonal, $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norma unitária) e, com $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Parte antissimétrica: as três entradas independentes de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ são $4ab, 4ac, 4ad$ (nas posições $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), de modo que $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ com $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritmo: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; se $0 < \theta < \pi$ , leia $u$ em $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ e ponha $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; se $\theta = 0$ , $q = \pm1$ . Para $\theta = \pi$ : $a = 0$ , e Rodrigues (questão 8) dá $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , isto é, $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; qualquer coluna não nula de $R + I$ , normalizada, é $\pm u$ , e $q = \pm u$ .

14. Com $a = b = c = d = \frac12$ : todas as entradas diagonais se anulam, $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

a permutação cíclica $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . Seu traço é $0 = 1 + 2\cos\theta$ , de modo que $\theta = \frac{2\pi}3$ , e ela fixa $(1,1,1)$ : a rotação de $120^\circ$ em torno da diagonal principal — precisamente a resposta da questão 11, agora visível como a matriz que cicla os eixos coordenados.

15. Na base, verifica-se $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (a matriz de $\bar q$ tem $\alpha' = \bar\alpha$ , $\beta' = -\beta$ , que é a transposta conjugada de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Logo $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ e $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : para $q \in S^3$ , $\Phi(q) \in SU(2)$ , e $\Phi$ é um morfismo injetor (questão 1). Sobrejetividade: seja $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ com $\det U = 1$ ; então $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , e $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ força $\delta = \bar\alpha$ , $\gamma = -\bar\beta$ , e então $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : $U = \Phi(q)$ para o quatérnio unitário $q$ de coordenadas $\alpha = a + \iu b$ , $\beta = c + \iu d$ . Logo $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Os escalares reais são centrais e $N(p) = 1$ dá $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , de modo que $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : a parte real é invariante. Reciprocamente, seja $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; então as partes puras têm a mesma norma $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Se $s = 0$ , $q = q' = \pm1$ . Se $s > 0$ , escreva $q = a + su$ , $q' = a + su'$ com $u, u'$ puros unitários; a questão 6 fornece uma rotação que leva $u'$ em $u$ , isto é, $p \in S^3$ com $\rho_p(u') = u$ , e então $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . As classes de $S^3$ são, portanto, $\{1\}$ , $\{-1\}$ e, para cada $a \in \intoo{-1}1$ , a $2$ -esfera $\{a + su : u \text{ puro unitário}\}$ de raio $s$ . Sob $\Phi$ , $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : as classes de $SU(2)$ são os conjuntos de nível do traço. Projetando: se $q' = pq\bar p$ , então $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; reciprocamente, $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ força $q' = \pm pq\bar p$ (núcleo), de modo que $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , isto é, $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ para os ângulos em $\intcc0\pi$ : rotações conjugadas têm ângulos iguais. Reciprocamente, ângulos iguais permitem representantes com a mesma parte real não negativa, conjugados pelo que precede: em $SO(3)$ , a classe de conjugação de uma rotação é exatamente o seu ângulo.

17. $N$ é multiplicativa, de modo que $\abs\cdot$ é uma norma multiplicativa em $\mathbb H \cong \R^4$ e $\abs{q^k} = \abs q^k$ : a série $\sum q^k/k!$ converge absolutamente no espaço de dimensão finita (logo completo), dominada por $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . Para um $u$ puro unitário: $u^2 = -1$ , de modo que $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ e $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; separando a série,

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Qualquer $q \in S^3$ é $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ com $\alpha \in \intcc0\pi$ (questão 5): $q = \exp(\alpha u)$ , de modo que $\exp(P) = S^3$ . Por fim, $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ na notação da questão 9, e $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ ali: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. Expandindo $vw$ coordenada a coordenada com a tabela: os produtos $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … dão o escalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , e os produtos mistos ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) dão o vetor $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Subtraindo o produto invertido: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (as partes escalares se cancelam, os produtos vetoriais se somam). Para as matrizes, com $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Derivada: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (a conjugação é contínua e nega os quatérnios puros), de modo que

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

a diferencial é $v \mapsto 2A_v$ , uma bijeção linear de $P$ sobre as matrizes antissimétricas, e $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ mostra que ela leva o comutador de quatérnios no comutador de matrizes.

19. Aplicando $\rho$ : $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , de modo que $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (questão 4). Como produto das aplicações contínuas $t \mapsto s(R(t))$ e $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ , $\varepsilon$ é contínua no conexo intervalo $\intcc0{2\pi}$ com valores no par discreto $\{\pm1\}$ : ela é constante, digamos $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Mas $R(0) = R(2\pi) = I$ , de modo que $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , ao passo que $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ e $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : contradição. Não existe seção contínua: a ambiguidade de sinal $\pm q$ é global, não um defeito de uma fórmula particular.

20. Sobrejetora: todo $R \in SO(3)$ é $\eu^{\theta A_u}$ para algum $u$ unitário e $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (questões 6 e 8); se $\theta > \pi$ , Rodrigues dá $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (ambos iguais a $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ , e $A_{-u} = -A_u$ com $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ , $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), de modo que $R = E(v)$ com $\norm v \leq \pi$ . Injetora no interior: se $E(v) = E(v') \neq I$ com $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , a questão 13 recupera o mesmo ângulo $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ a partir do traço e, como $\sin\theta \neq 0$ , o mesmo eixo a partir da parte antissimétrica: $v = v'$ ; e $E(v) = I$ força $\theta \in \{0\}$ na bola aberta. Bordo: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ depende de $u$ apenas através de $uu^{\mathsf T}$ , donde $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; reciprocamente, $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ aplicado a $u$ dá $u = \langle u', u\rangle u'$ , de modo que $u' = \pm u$ . Interior e bordo nunca colidem (traço $> -1$ contra $= -1$ ). Logo $E$ induz uma bijeção contínua da bola com colagem antipodal — compacta — sobre $SO(3)$ : um homeomorfismo, e $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Um diâmetro de $\pi u$ a $-\pi u$ tem os extremos colados: ele é um laço em $SO(3)$ , e sua descrição por $E$ coincide com a família da questão 10 de rotações em torno de $u$ varrendo uma volta completa.

21. $\rho$ é um morfismo e $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , de modo que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; pela questão 16, conjugar uma rotação preserva seu ângulo e gira seu eixo por $\rho_p$ . Involuções: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ se, e somente se, $q^2 = \pm1$ . Se $q^2 = 1$ , então $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (escalares centrais, de modo que essa fatoração é válida) e $q = \pm1$ no anel de divisão $\mathbb H$ , dando $\rho_q = I$ , excluído; $q^2 = -1$ com $q = a + su$ dá $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , de modo que $a = 0$ , $s = 1$ : $q$ é um puro unitário $w$ , e $\rho_w$ é a meia-volta em torno de $w$ (ângulo $\pi$ , questão 5). Centro: se $\rho_q$ comuta com todo $\rho_p$ , então $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , de modo que $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ com $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ é contínua no conexo $S^3$ e vale $1$ em $p = 1$ , logo $\equiv 1$ : $q$ comuta com todo $S^3$ , logo com todo $\mathbb H$ (reescale), de modo que $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (questão 1) e $\rho_q = I$ : o centro é trivial.

22. Como $u \perp w$ são puros unitários, $uw = u\wedge w$ é puro (questão 18), de modo que

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

é puro, de norma $\abs q\abs w = 1$ . Então $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , e

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Ambos os eixos $w$ e $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ estão no plano $u^\perp$ ortogonal ao eixo da rotação, e $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : eles formam o semiângulo $\frac\theta2$ . Essa é a geração clássica: duas meias-voltas em torno de eixos que se encontram sob o ângulo $\frac\theta2$ compõem a rotação de ângulo $\theta$ em torno de sua perpendicular comum.

23. A compacidade é a questão 7. Conexidade por caminhos: $SO(3) = \rho(S^3)$ é a imagem contínua da esfera, conexa por caminhos; alternativamente, para $R = \eu^{A}$ com $A$ antissimétrica (questão 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ é um caminho em $SO(3)$ de $I$ a $R$ (ortogonal, pois $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , de determinante $1$ por continuidade a partir de $t = 0$ ). Para $O(3)$ : $\det$ é contínuo sobre $\{\pm1\}$ , de modo que $O(3)$ é desconexo, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ para qualquer $D$ fixo com $\det D = -1$ (por exemplo, $D = -I$ ), e a multiplicação à esquerda por $D$ é um homeomorfismo: exatamente duas componentes, cada uma uma cópia de $SO(3)$ . O $\rho$ dois para um, sem seção pela questão 19, é assim um honesto recobrimento duplo de um grupo compacto conexo pelo simplesmente conexo $S^3$ — a geometria por trás do truque do cinto.

24. (i) Matrizes:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

O traço $0 = 1 + 2\cos\theta$ dá $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ . A parte antissimétrica $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ tem entradas que codificam, na escala de $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ , o eixo: aqui $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , o que se lê (dicionário $A_v$ da Parte V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ ; com $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Quatérnios: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ , e

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

( $ik = -j$ ). Logo $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , e a parte vetorial $\frac12(i - j + k)$ tem direção $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — a mesma resposta, com a rota dos quatérnios exigindo uma linha de multiplicação em vez de um produto de matrizes: a razão prática pela qual os softwares de voo compõem atitudes em $S^3$ .

25. $I + K$ inversível: $(I + K)v = 0$ dá $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (a antissimetria mata o segundo termo): $v = 0$ . Ortogonalidade de $C = C(K)$ : usando $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ e o fato de que as quatro matrizes $I \pm K$ , $(I \pm K)^{-1}$ comutam (expressões polinomiais em $K$ , mais limites):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Determinante: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , de modo que $\det C = 1$ : $C \in SO(n)$ . Sem autovalor $-1$ : $Cv = -v$ significa $(I - K)w = -(I + K)w$ para $w = (I + K)^{-1}v$ , isto é, $2w = 0$ : $v = 0$ . Inversão: de $C(I + K) = I - K$ , resolva $K(I + C) = I - C$ ; como $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , $I + C$ é inversível e $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , que é antissimétrica sempre que $C$ é ortogonal sem autovalor $-1$ (transponha a expressão e use $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). As duas aplicações são mutuamente inversas por construção: uma parametrização racional global da peça aberta densa de $SO(n)$ que evita o autovalor $-1$ — sem séries, sem trigonometria e, em dimensão $3$ , é a substituição do arco metade $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ disfarçada.

20.1 O teorema da função inversa

20.2 Subvariedades: quatro definições

20.3 Espaços tangentes

20.4 Exercícios

20.5 Problema: SO(3)SO(3)SO(3) e os quatérnios

20.5 Problema: $SO(3)$ e os quatérnios