Scheikunde van basisschool tot bovenbouw · Grades 1–12

41Reactiesnelheden

Een fles melk die op het aanrecht blijft staan, is in een paar dagen zuur; in de koelkast blijft ze meer dan een week goed. Vuurwerk verbrandt in een fractie van een seconde, terwijl een kalkstenen beeld in een stadspark in eeuwen verweert. Kloppende reactievergelijkingen en voortgangstabellen zeggen wat een reactie oplevert en hoeveel; ze zeggen niets over hoe snel. Dit hoofdstuk meet de snelheid van reacties, zoekt uit wat die bepaalt, en beschrijft de eenvoudigste manier waarop een reactie onderweg vertraagt.

Wat je al weet

De concentratie van een oplossing (Hoofdstuk 26) en de voortgang van een reactie (Hoofdstuk 27). De absorbantie van een verdunde oplossing is evenredig met de concentratie van het gekleurde deeltje (Hoofdstuk 29). Een titratie meet de hoeveelheid van een deeltje (Hoofdstuk 36).

Dezelfde melk, op het aanrecht en in de koelkast: de reacties waardoor ze zuur wordt, verlopen in de kou langzamer.

41.1 Een reactie in de tijd volgen

Sommige reacties zijn voorbij zodra de beginstoffen elkaar ontmoeten: het neerslaan van zilverchloride, de reactie van een zuur met een base. Andere duren minuten, uren of jaren. Om een langzame reactie te bestuderen, meten scheikundigen op vaste tijdstippen de concentratie van een beginstof of een reactieproduct. Ze kunnen

kleine monsters nemen, in elk monster de reactie stoppen, en ze titreren;
de absorbantie van de oplossing meten, als een beginstof of een reactieproduct gekleurd is;
de druk of het volume van een gas dat vrijkomt meten, of de geleidbaarheid van een oplossing waarvan de ionen veranderen.

Definitie 41.1 (Afschrikken)

Een monster afschrikken is de reactie erin stoppen, of heel sterk vertragen, op het moment dat het genomen wordt, meestal door het plotseling af te koelen en te verdunnen, zodat je de samenstelling op je gemak kunt meten.

In het laboratorium — Een monster afschrikken

Om de vijf minuten wordt met een pipet $10.0\,\mathrm{mL}$ van het reactiemengsel genomen en in een bekerglas met ongeveer $40\,\mathrm{mL}$ ijskoud water gegoten. Vijf keer verdund en afgekoeld tot dicht bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt de reactie zo langzaam dat je haar als gestopt kunt beschouwen; daarna wordt het monster getitreerd. Het tijdstip van het monster is het moment waarop het in het ijswater werd gegoten, niet het moment van de titratie.

Een reactie volgen met monsters: neem een monster, schrik het af, en meet het daarna op je gemak.

41.2 Kinetische factoren

Definitie 41.2 (Kinetische factor)

Een kinetische factor is een grootheid die de snelheid van een reactie verandert zonder te veranderen wat de reactie oplevert: de temperatuur, de concentraties van de beginstoffen, het contactoppervlak tussen beginstoffen in verschillende fasen, en de aanwezigheid van een katalysator (volgend hoofdstuk).

Propositie 41.3 (Warmer, geconcentreerder, fijner: sneller)

In het algemeen is een reactie sneller als de temperatuur hoger is, als de beginstoffen geconcentreerder zijn, en, bij een vaste beginstof, als die fijner verdeeld is.

Bewijs. Aangenomen, met een beeld: deeltjes die reageren, moeten elkaar ontmoeten, en hard genoeg. Ze concentreren maakt ontmoetingen frequenter; een vaste stof verdelen biedt meer oppervlak om elkaar te ontmoeten; verwarmen laat ze sneller bewegen, zodat ze elkaar vaker ontmoeten en, vooral, meer van de ontmoetingen energiek genoeg zijn om bindingen te verbreken. ∎

Voorbeeld 41.4 (Drie gevallen uit het dagelijks leven)

Voedsel blijft langer goed in de koelkast en veel langer in de vriezer: de reacties die het bederven, vertragen in de kou. Fijn meelstof in de lucht van een molen kan ontploffen, terwijl een zak meel alleen smeult: dezelfde reactie, een enorm contactoppervlak. Een bruistablet lost sneller op in water als je hem eerst fijnmaakt.

Een kalkstenen beeld dat door de regen verweerd is: een reactie die eeuwen duurt.

41.3 Verdwijningssnelheid en vormingssnelheid

Definitie 41.5 (Verdwijningssnelheid, vormingssnelheid)

In een oplossing met een constant volume is de verdwijningssnelheid van een beginstof A op tijdstip $t$

v_A(t) = -\frac{d[\ce{A}]}{dt},

en de vormingssnelheid van een reactieproduct P is $v_P(t) = \dfrac{d[\ce{P}]}{dt}$ . Beide zijn positief, in $\mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ (of per seconde).

Methode 41.6 (Een snelheid aflezen met een raaklijn)

Teken in de grafiek van $[\ce{A}]$ tegen $t$ de raaklijn op het gekozen tijdstip.
Lees twee punten ver uit elkaar op de raaklijn af en bereken haar helling, $\Delta[\ce{A}] / \Delta t$ .
De verdwijningssnelheid is het tegengestelde van deze helling (voor een reactieproduct de helling zelf).

De concentratie van een beginstof A tegen de tijd, voor dezelfde eerste-ordereactie bij twee temperaturen. De raaklijn bij t = 0 (gestreept) geeft de beginsnelheid; de gestippelde lijnen geven de halveringstijden aan. — De concentratie van een beginstof A tegen de tijd, voor dezelfde eerste-ordereactie bij twee temperaturen. De raaklijn bij $t = 0$ (gestreept) geeft de beginsnelheid; de gestippelde lijnen geven de halveringstijden aan.

Voorbeeld 41.7 (De beginsnelheid)

Op de blauwe kromme gaat de raaklijn bij $t = 0$ van $10.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ bij $t = 0$ naar $0$ bij $t = 20\,\mathrm{min}$ : haar helling is $-10.0/20 = -0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ , dus de beginsnelheid van verdwijnen is $0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ . Later vlakt de kromme af en daalt de snelheid: de reactie vertraagt naarmate A opraakt.

41.4 Eerste-ordereacties

Definitie 41.8 (Eerste-ordereactie, snelheidsconstante)

Een reactie is een eerste-ordereactie in A als haar verdwijningssnelheid op elk moment evenredig is met de concentratie van A:

-\frac{d[\ce{A}]}{dt} = k\,[\ce{A}] .

De positieve constante $k$ , in $\mathrm{min}^{-1}$ of $\mathrm{s}^{-1}$ , is de snelheidsconstante; ze hangt af van de temperatuur.

Propositie 41.9 (Exponentiële afname)

Voor een eerste-ordereactie met beginconcentratie $[\ce{A}]_0$ geldt

[\ce{A}](t) = [\ce{A}]_0\, e^{-kt} .

Bewijs. De functie $f(t) = [\ce{A}]_0 e^{-kt}$ heeft als afgeleide $f'(t) = -k [\ce{A}]_0 e^{-kt} = -k f(t)$ , dus ze voldoet aan de snelheidsvergelijking, en $f(0) = [\ce{A}]_0$ . Dat het de enige zulke functie is, wordt hier aangenomen (het wordt in de wiskunde bewezen, voor vergelijkingen $y' = ay$ ). ∎

Methode 41.10 (Testen op eerste orde)

Bereken uit de metingen op elk tijdstip $\ln [\ce{A}]$ (of $\ln A$ voor een absorbantie die evenredig is met $[\ce{A}]$ ).
Zet $\ln[\ce{A}]$ uit tegen $t$ : omdat $\ln[\ce{A}] = \ln[\ce{A}]_0 - kt$ , liggen de punten op een rechte lijn dan en slechts dan als de reactie van de eerste orde is.
De helling van de lijn is $-k$ .

41.5 Halveringstijd

Definitie 41.11 (Halveringstijd)

De halveringstijd $t_{1/2}$ van een reactie is de tijd die de concentratie van de beperkende beginstof nodig heeft om tot de helft van haar beginwaarde te dalen.

Propositie 41.12 (Halveringstijd van een eerste-ordereactie)

Voor een eerste-ordereactie geldt

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},

wat de beginconcentratie ook is; na $n$ halveringstijden is de concentratie gedeeld door $2^n$ .

Bewijs. $[\ce{A}]_0 e^{-k t_{1/2}} = [\ce{A}]_0 / 2$ geeft $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$ , dus $k t_{1/2} = \ln 2$ . Elke volgende halveringstijd vermenigvuldigt de concentratie opnieuw met $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$ . ∎

Voorbeeld 41.13 (De halveringstijden aflezen)

Voor $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$ is $t_{1/2} = 0.693 / 0.050 = 13.9\,\mathrm{min}$ : de concentratie daalt van 10.0 naar 5.0, dan 2.5, dan $1.25\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ bij 13.9, 27.7 en $41.6\,\mathrm{min}$ . De warmere proef, met een twee keer zo grote $k$ , heeft de halve halveringstijd, $6.9\,\mathrm{min}$ , zoals de figuur laat zien.

Opmerking 41.14 (Halveringstijden elders)

Hetzelfde woord wordt in de natuurkunde gebruikt voor radioactieve kernen, waarvan het aantal op dezelfde exponentiële manier afneemt: radioactief verval gedraagt zich als een eerste-ordereactie. Het natuurkundeboek behandelt het.

Het verbleken van kristalviolet in een basische oplossing (gegevens van het weekendprobleem). Links: de absorbantie daalt langs een exponentiële kromme. Rechts: A tegen t is een rechte lijn met helling -0.116\, min-1: de reactie is van de eerste orde in de kleurstof. — Het verbleken van kristalviolet in een basische oplossing (gegevens van het weekendprobleem). Links: de absorbantie daalt langs een exponentiële kromme. Rechts: $\ln A$ tegen $t$ is een rechte lijn met helling $-0.116\,\mathrm{min}^{-1}$ : de reactie is van de eerste orde in de kleurstof.

41.6 Oefeningen

Oefening 41.1 ★

Noem de kinetische factor die in elk geval werkt: een koelkast houdt voedsel goed; poedersuiker lost sneller op dan een suikerklontje; een geconcentreerder zuur tast zink sneller aan; een doorgesneden appel wordt in de zomer sneller bruin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.1.

Temperatuur; contactoppervlak; concentratie; temperatuur.

Oefening 41.2 ★

Lees in de figuur van $[\ce{A}]$ tegen de tijd de halveringstijd van elke proef af. Wat is $[\ce{A}]$ op de blauwe kromme na twee halveringstijden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.2.

$13.9\,\mathrm{min}$ (blauw) en $6.9\,\mathrm{min}$ (rood). Na twee halveringstijden: $10.0 / 4 = 2.5\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ .

Oefening 41.3 ★

Een raaklijn aan de kromme van een reactieproduct, getekend bij $t = 5\,\mathrm{min}$ , gaat door $(0, 1.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$ en $(10\,\mathrm{min}, 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$ . Wat is de vormingssnelheid van het product bij $5\,\mathrm{min}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.3.

Helling $(5.0 - 1.0)/10 = 0.40\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ : dat is de vormingssnelheid bij $5\,\mathrm{min}$ .

Oefening 41.4 ★

Waarom wordt een monster in ijskoud water gegoten voordat het getitreerd wordt? Waarom moet het tijdstip van het monster genoteerd worden als het wordt uitgegoten, en niet als het wordt getitreerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.4.

Afkoelen en verdunnen maken de reactie zo langzaam dat de samenstelling tijdens de titratie niet meer verandert. De gemeten samenstelling is die van het mengsel op het moment dat de reactie werd gestopt, bij het uitgieten.

Oefening 41.5 ★

Een eerste-ordereactie heeft een halveringstijd van $10\,\mathrm{min}$ . Welk deel van de beginstof is er na $30\,\mathrm{min}$ nog over? En na $1\,\mathrm{h}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.5.

$30\,\mathrm{min}$ is 3 halveringstijden: er blijft $1/8$ over. $1\,\mathrm{h}$ is 6 halveringstijden: $1/64$ , ongeveer $1.6\,\%$ .

Oefening 41.6 ★★

Concentraties van een beginstof, in $\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ : 8.00 bij $0\,\mathrm{min}$ , 5.66 bij $5\,\mathrm{min}$ , 4.00 bij $10\,\mathrm{min}$ , 2.83 bij $15\,\mathrm{min}$ , 2.00 bij $20\,\mathrm{min}$ . Bereken op elk tijdstip $\ln[\ce{A}]$ en laat zien dat de reactie van de eerste orde is. Bepaal $k$ en de halveringstijd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.6.

$\ln[\ce{A}]$ : 2.079, 1.733, 1.386, 1.040, 0.693. Het daalt met 0.346 per $5\,\mathrm{min}$ : een rechte lijn, eerste orde. $k = 0.346/5 = 0.0693\,\mathrm{min}^{-1}$ en $t_{1/2} = \ln 2 / k = 10.0\,\mathrm{min}$ (wat je ook direct ziet: 8.00, 4.00, 2.00 om de $10\,\mathrm{min}$ ).

Oefening 41.7 ★★

Een eerste-ordereactie heeft $t_{1/2} = 25\,\mathrm{s}$ . Bereken $k$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.7.

$k = 0.693 / 25 = 0.0277\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Oefening 41.8 ★★

Bereken voor $[\ce{A}]_0 = 0.100\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ en $k = 0.020\,\mathrm{min}^{-1}$ de concentratie $[\ce{A}]$ na 10, 30 en $100\,\mathrm{min}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.8.

$0.100\,e^{-0.20} = 0.0819\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ ; $0.100\,e^{-0.60} = 0.0549\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ ; $0.100\,e^{-2.0} = 0.0135\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ .

Oefening 41.9 ★★

Schat in de figuur van $[\ce{A}]$ tegen de tijd de helling van de blauwe kromme bij $t = 13.9\,\mathrm{min}$ (teken een raaklijn), en vergelijk die met $-k[\ce{A}]$ op dat tijdstip.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.9.

Bij $13.9\,\mathrm{min}$ is $[\ce{A}] = 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ ; de helling van de raaklijn is ongeveer $-0.25$ , en $-k[\ce{A}] = -0.050 \times 5.0 = -0.25\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ : de helft van de beginwaarde.

Oefening 41.10 ★★

Jood $\ce{I2}$ , bruin, ontstaat langzaam in een kleurloze oplossing. De absorbantie stijgt van 0 naar 0.60. Leg uit waarom je de absorbantie kunt gebruiken om $[\ce{I2}]$ te volgen, en hoe je de vormingssnelheid op een gegeven tijdstip afleest in de grafiek van $A$ tegen $t$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.10.

Jood is het enige gekleurde deeltje: volgens de wet van Lambert-Beer is $A = \varepsilon \ell [\ce{I2}]$ . De vormingssnelheid is de helling van de raaklijn aan de kromme $[\ce{I2}](t)$ , dat is de helling van de raaklijn aan $A(t)$ gedeeld door $\varepsilon \ell$ .

Oefening 41.11 ★★

Twee proeven met dezelfde reactie beginnen bij $[\ce{A}]_0 = 10$ en $20\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ . Vergelijk, als de reactie van de eerste orde is, hun beginsnelheden en hun halveringstijden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.11.

De beginsnelheid $k[\ce{A}]_0$ is voor de tweede proef twee keer zo groot; de halveringstijden zijn gelijk, $\ln 2 / k$ , onafhankelijk van $[\ce{A}]_0$ .

Oefening 41.12 ★★★

Hoeveel halveringstijden heeft een eerste-ordereactie nodig om op $1\,\%$ van haar beginstof uit te komen? En op $0.1\,\%$ ? Geef de algemene formule voor de tijd om tot een fractie $f$ te dalen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.12.

$t = \ln(1/f)/k$ . In halveringstijden: $\ln(1/f)/\ln 2$ . Voor $1\,\%$ : $\ln 100 / \ln 2 = 6.6$ ; voor $0.1\,\%$ : $\ln 1000 / \ln 2 = 10.0$ .

Oefening 41.13 ★★★

Een reactie heeft $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$ bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $k = 0.100\,\mathrm{min}^{-1}$ bij $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Hoe lang duurt het om bij elke temperatuur $90\,\%$ van de beginstof te verbruiken? Een bekende vuistregel zegt dat de snelheid verdubbelt per $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : volgt deze reactie die regel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.13.

$90\,\%$ verbruikt, $f = 0.10$ : $t = \ln 10 / k$ , dat is $46\,\mathrm{min}$ bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $23\,\mathrm{min}$ bij $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . De snelheidsconstante verdubbelt over $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : de regel klopt hier.

Oefening 41.14 ★★★

Een monster wordt afgeschrikt door $5.0\,\mathrm{mL}$ in $45\,\mathrm{mL}$ ijswater te gieten. Geef twee redenen waarom de reactie veel langzamer wordt. Met welke factor deelt de verdunning alleen de snelheid, als de reactie van de eerste orde is in elk van twee beginstoffen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.14.

De temperatuur daalt tot dicht bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , en de concentraties worden door 10 gedeeld. Bij een snelheid die evenredig is met het product van twee concentraties deelt de verdunning alleen haar al door $10 \times 10 = 100$ .

Oefening 41.15 ★★★

Laat door te differentiëren zien dat de verdwijningssnelheid bij een eerste-ordereactie zelf een exponentiële functie van de tijd is, $v(t) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$ . Wat is de beginsnelheid? Na hoeveel tijd is de snelheid de helft van de beginsnelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.15.

$v(t) = -\dfrac{d}{dt}\big([\ce{A}]_0 e^{-kt}\big) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$ . Beginsnelheid $k[\ce{A}]_0$ ; de snelheid is gehalveerd als $e^{-kt} = 1/2$ , dat is na één halveringstijd.

41.7 Probleem: De verblekende kleurstof

Probleem 41.1

Weekendprobleem — kristalviolet ontkleurd door hydroxide-ionen: hoe lang duurt het tot de kleur bijna weg is?

De violette kleurstof kristalviolet reageert met hydroxide-ionen tot een kleurloos product. Bij een grote overmaat hydroxide hangt de snelheid alleen af van de concentratie van de kleurstof. De absorbantie van de oplossing wordt gemeten bij de golflengte waarbij de kleurstof het meest absorbeert:

$t$ ( $\mathrm{min}$ )	0	2	4	6	8	10	12	15	20	25
$A$	0.800	0.639	0.501	0.402	0.315	0.255	0.199	0.143	0.078	0.046

Deel I — Absorbantie en concentratie.

Waarom is de absorbantie evenredig met de concentratie van de kleurstof? Aan welke voorwaarde moet de oplossing voldoen?
Waarom zie je het kleurloze product niet bij deze golflengte?
Waarom wordt hydroxide in grote overmaat gebruikt?
Wat zou je aan het eind van de reactie op de spectrofotometer aflezen?

Deel II — Is het eerste orde?

Lees de halveringstijd direct in de tabel af.
Controleer dat die van $t = 6$ tot $t = 12$ min dezelfde is.
Bereken $\ln A$ voor elk tijdstip.
Zet $\ln A$ uit tegen $t$ (of gebruik de figuur van het hoofdstuk). Wat zie je? Concludeer.
Bereken de helling uit de punten bij 0 en $20\,\mathrm{min}$ .

Deel III — De snelheidsconstante.

Leid $k$ af.
Bereken de halveringstijd uit $k$ , en vergelijk met vraag 5.
Bereken de beginsnelheid van verdwijnen van de kleurstof, uitgedrukt als de snelheid waarmee de absorbantie daalt.
Wat zou de halveringstijd zijn als de beginabsorbantie 0.400 was?

Deel IV — Voorspelling.

Voorspel de absorbantie bij $30\,\mathrm{min}$ .
Op welk tijdstip daalt de absorbantie tot 0.008, $1\,\%$ van haar beginwaarde?
Hoeveel halveringstijden is dat?
Het oog ziet de kleur niet meer onder ongeveer $A = 0.010$ . Wanneer ziet de oplossing er kleurloos uit?
De proef wordt $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ warmer herhaald, en de halveringstijd wordt $3.0\,\mathrm{min}$ . Wanneer is $1\,\%$ bereikt?
Geef het eindantwoord: hoeveel halveringstijden heeft de kleur nodig om tot $1\,\%$ van haar beginwaarde te dalen, en hoeveel minuten is dat hier?

Oplossing

Oplossing van Probleem 41.1.

1. Door de wet van Lambert-Beer, omdat de kleurstof het enige deeltje is dat bij deze golflengte absorbeert; de oplossing moet verdund genoeg zijn ( $A$ onder ongeveer 1).

2. Het absorbeert geen zichtbaar licht: het draagt niets bij aan $A$ .

3. Zodat de concentratie ervan nauwelijks verandert: de snelheid hangt dan alleen van de kleurstof af.

4. $A = 0$ (de blanco).

5. $A$ daalt in $6\,\mathrm{min}$ van 0.800 naar 0.402: ongeveer $6\,\mathrm{min}$ .

6. Van 0.402 bij $6\,\mathrm{min}$ naar 0.199 bij $12\,\mathrm{min}$ : opnieuw gehalveerd in $6\,\mathrm{min}$ .

7. $-0.223$ , $-0.448$ , $-0.691$ , $-0.911$ , $-1.155$ , $-1.366$ , $-1.614$ , $-1.945$ , $-2.551$ , $-3.079$ .

8. De punten liggen op een rechte lijn: de reactie is van de eerste orde in de kleurstof.

9. $(-2.551 + 0.223)/20 = -0.116\,\mathrm{min}^{-1}$ .

10. $k = 0.116\,\mathrm{min}^{-1}$ .

11. $0.693 / 0.116 = 6.0\,\mathrm{min}$ , zoals in de tabel afgelezen.

12. $k A_0 = 0.116 \times 0.800 = 0.093\,\mathrm{min}^{-1}$ in absorbantie-eenheden per minuut.

13. Dezelfde, $6.0\,\mathrm{min}$ : een halveringstijd bij de eerste orde hangt niet af van de beginwaarde.

14. $0.800\, e^{-0.116 \times 30} = 0.025$ .

15. $t = \ln 100 / k = 4.61 / 0.116 = 40\,\mathrm{min}$ .

16. $40 / 6.0 = 6.6$ halveringstijden.

17. $t = \ln(0.800/0.010)/k = 4.38 / 0.116 = 38\,\mathrm{min}$ .

18. Nog steeds 6.6 halveringstijden, nu $6.6 \times 3.0 = 20\,\mathrm{min}$ .

19. Ongeveer 6.6 halveringstijden, dat is hier ongeveer $40\,\mathrm{min}$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 852 begrippen in de begrippenlijst