বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

علوم الأرض والفضاء في المرحلة الثانوية · শ্রেণি 10–12

24الحرارة الداخلية للأرض

بين عامَي 1987 و1995، قرب قرية فينديشيشنباخ في بافاريا، حفر الجيولوجيون بئرًا عمقها $9101\,\mathrm{m}$ في القشرة القارية. وفي القاع كانت حرارة الصخر نحو $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وهي أشد من أن يُحفر أعمق من ذلك.

الارتفاع من نحو $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند السطح إلى $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على عمق $9.1\,\mathrm{km}$ زيادة بنحو $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر، وهي قيمة نموذجية. ففي كل مكان من الأرض تزداد الحرارة نحو الأسفل، ولذلك تتدفق الحرارة خارجة من الأرض في كل حين. يقيس هذا الفصل ذلك التدفق، ويسأل من أين تأتي الحرارة، ويبيّن كيف تنتقل.

ما تعرفه من قبل

المنحنى الحراري الأرضي هو منحنى درجة الحرارة بدلالة العمق تحت مكان ما، والتدرج الحراري الأرضي هو ارتفاع درجة الحرارة لكل كيلومتر؛ وتقيس الآبار من 25 إلى $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر قرب السطح (الفصل 12). وبعض الذرات مشعة: فهي تتفكك عشوائيًا، ويتناقص عدد الباقي منها إلى النصف كل عمر نصف، وكل تفكك يحرر طاقة تنتهي حرارةً (كتب الفيزياء). وخلية الحمل حلقة من مائع يُسخَّن من الأسفل، فيصعد وينتشر ويبرد ويغوص (الكتاب 1، الصف 8). وعند البقعة الساخنة، تتحرك صفيحة فوق عمود صاعد من الوشاح الساخن (الفصل 13).

24.1 التدرج والتدفق الحراري

تعريف 24.1 (التدفق الحراري)

التدفق الحراري (أو الدفق الحراري) في مكان ما هو القدرة التي تغادر باطن الأرض عبر كل متر مربع من سطحها هناك. ويُقاس بالملّيواط لكل متر مربع ( $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ).

تنتقل الحرارة من الساخن إلى البارد، وكلما اشتد تدرج درجة الحرارة، أسرع انتقالها. ويتوقف مقدار ما ينتقل أيضًا على الصخر: فلكل صخر موصلية حرارية $k$ ، بالواط لكل متر لكل كلفن، تعرّفها كتب الفيزياء.

قضية 24.2 (التدفق الحراري والتدرج)

عبر صخر موصليته الحرارية $k$ ترتفع فيه درجة الحرارة مع العمق بتدرج $G$ (بالكلفن لكل متر)، يكون التدفق الحراري الصاعد نحو السطح

q = k\,G .

هذا القانون للتوصيل، المنسوب إلى فورييه، مسلَّم به هنا؛ وتبرهنه كتب الفيزياء في صورة عامة.

طريقة 24.3 (التدفق الحراري من بئر)

قِس درجة الحرارة على عدة أعماق من بئر، بعد أن يكون البئر قد أخذ وقته ليعود إلى درجة حرارة الصخر.
ارسم درجة الحرارة بدلالة العمق وخذ الميل: فهو التدرج $G$ ، محوَّلًا إلى كلفن لكل متر.
قِس الموصلية $k$ للصخر على عينات لبية في المختبر.
اضرب: $q = kG$ ، بوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، ثم حوّل إلى $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ .

مثال 24.4 (بئر في الغرانيت)

بئر في غرانيت موصليته $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ يقيس تدرجًا قدره $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر، أي $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ . إذن $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي نحو $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ .

جُمع أكثر من $38\,000$ قياس من هذا النوع في خريطة للأرض كلها. تفقد القارات في المتوسط $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، وقاع المحيط $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وعلى السطح كله، $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ . وبالضرب في مساحة الأرض، $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ، يكون المجموع

0.0916 \times 5.101 \times 10^{14} \approx 4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 46.7\,\mathrm{TW},

أي نحو 47 تيراواط، بزيادة أو نقصان 2.

يفقد قاع المحيط أكثر ما يفقد حيث يكون أحدث عمرًا. فالغلاف الصخري الجديد يغادر الظهرة ساخنًا، ويبرد كلما ابتعد؛ ويتناقص تدفقه الحراري تناسبًا عكسيًا مع الجذر التربيعي لعمره.

التدفق الحراري عبر قاع المحيط بدلالة عمره، كما حُسب من تبرد الغلاف الصخري (t بملايين السنين)؛ وبعد 66.5 مليون سنة (الخط المنقط) يُعرف أن القانون أقل مطابقة. المصدر: ديفيز وديفيز (2010). — التدفق الحراري عبر قاع المحيط بدلالة عمره، كما حُسب من تبرد الغلاف الصخري ( $t$ بملايين السنين)؛ وبعد 66.5 مليون سنة (الخط المنقط) يُعرف أن القانون أقل مطابقة. المصدر: ديفيز وديفيز (2010).

24.2 من أين تأتي الحرارة

للحرارة مصدران. أولهما النشاط الإشعاعي.

تعريف 24.5 (إنتاج الحرارة الإشعاعية)

إنتاج الحرارة الإشعاعية في صخر ما هو الحرارة المتحررة داخله من تفكك ذراته المشعة، لكل وحدة حجم ولكل وحدة زمن، بالميكروواط لكل متر مكعب ( $\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ). ويأتي كله تقريبًا من أربعة نظائر: اليورانيوم-238، واليورانيوم-235، والثوريوم-232، والبوتاسيوم-40.

تتركز هذه العناصر في صخور القشرة القارية. فمن 2188 تحليلًا، يبلغ الوسيط لإنتاج الحرارة في الغرانيت $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ، وفي البازلت $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ، وفي الصخور فوق المافية للوشاح $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ فقط، أي أقل بنحو عشرين مرة من الغرانيت. وطبقة غرانيت سمكها $10\,\mathrm{km}$ تنتج $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ تحت كل متر مربع، أي $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ : ثلث التدفق الحراري للقارات.

كم من الحرارة يصنع النشاط الإشعاعي في الأرض كلها؟ يلتقط كاملاند، وهو كاشف تحت الأرض في اليابان يحوي 1000 طن من سائل، النيوترينوات الأرضية، وهي النيوترينوات المضادة التي يحررها تفكك اليورانيوم والثوريوم داخل الأرض: وقد رصد أولها في 2005، وفي 2135 يومًا من التسجيل، رصد نحو 106 منها بين 841 حدثًا مرشحًا. ومن ذلك العدد، مع أعداد كاشف في إيطاليا، يتبين أن اليورانيوم-238 والثوريوم-232 معًا يحرران نحو 20 تيراواط. أما البوتاسيوم-40 فيفلت من الكاشف؛ ومعلوم أنه يضيف نحو $4\,\mathrm{TW}$ ، واليورانيوم-235، محسوبًا بالتناسب مع اليورانيوم-238، نحو $0.4\,\mathrm{TW}$ . فالنشاط الإشعاعي يوفر إذن نحو $24\,\mathrm{TW}$ ، أي قرابة نصف $47\,\mathrm{TW}$ التي تفقدها الأرض.

تعريف 24.6 (التبرد القرني)

التبرد القرني للأرض هو فقدانها البطيء للحرارة المختزنة فيها منذ تكوّنها، وهي الحرارة الأولية: أي جزء التدفق الحراري الذي لا يعوّضه النشاط الإشعاعي، والذي به يبرد الوشاح واللب على مر العصور.

ميزانية الأرض الحرارية اليوم: ما يغادر السطح (العمود العلوي) وما يوفره (العمود السفلي). المصادر: كاملاند (2011)؛ ديفيز وديفيز (2010)؛ داي (2012).

كان النشاط الإشعاعي أقوى في الماضي. فكل نظير يتفكك، فكان منه في الماضي البعيد أكثر: قبل عمر نصف واحد، ضعف الكمية، وضعف الحرارة. والرجوع $t$ سنة إلى الوراء يضرب حرارة نظير عمر نصفه $T$ في $2^{t/T}$ .

قضية 24.7 (الحرارة الإشعاعية في الماضي)

إذا كان نظير عمر نصفه $T$ يحرر اليوم قدرة $H_0$ ، فقد حرر

H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},

قبل زمن $t$ .

برهان. القدرة متناسبة مع العدد $N$ من الذرات الباقية، لأن كل ذرة تتفكك بالاحتمال نفسه في الثانية. وبحسب قانون التفكك، ينقسم $N$ على 2 كل عمر نصف: $N_{\text{الآن}} = N(t)\,2^{-t/T}$ ، إذن $N(t) = N_{\text{الآن}}\,2^{t/T}$ ، ومنه تأتي القدرة. وأخيرًا $2^{t/T} = e^{(t/T)\ln 2} = e^{\lambda t}$ . ∎

الحرارة التي حررتها النظائر المشعة الأربعة رجوعًا إلى تكوّن الأرض، محسوبة من قيم اليوم بقانون التفكك. أعمار النصف: الثوريوم-232، 14.0 مليار سنة؛ واليورانيوم-238، 4.468؛ والبوتاسيوم-40، 1.248؛ واليورانيوم-235، 0.704.

قبل أربعة مليارات ونصف مليار سنة، كان النشاط الإشعاعي يحرر نحو $116\,\mathrm{TW}$ ، أي قرابة خمسة أضعاف قيمة اليوم، وكان معظمها يأتي من اليورانيوم-235 والبوتاسيوم-40، النظيرين القصيرَي العمر، اللذين كادا يختفيان منذ ذلك الحين. فقد كان باطن الأرض الفتية أسخن بكثير مما هو اليوم.

24.3 التوصيل والحمل الحراري

لا تعبر الحرارة الجسم الصلب إلا بالتوصيل، من ذرة إلى ذرة، وهذا في الصخر بطيء جدًا. فالحرارة تعبر مسافة $L$ بالتوصيل في زمن يقارب $L^2/\kappa$ ، حيث $\kappa$ ، الانتشارية الحرارية للصخر، نحو $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . وللوشاح الذي سمكه $2891\,\mathrm{km}$ ،

\frac{(2.891 \times 10^{6})^2}{1 \times 10^{-6}} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s} \approx 2.6 \times 10^{11} \text{ سنة},

أي نحو 260 مليار سنة، قرابة ستين ضعف عمر الأرض. ولو كان الوشاح لا ينقل الحرارة إلا بالتوصيل، لظلت حرارة أعماقه كلها تقريبًا باقية فيها.

الوشاح صلب، لكنه على مدى ملايين السنين يزحف، ببطء شديد، كما يفعل مائع شديد اللزوجة: فالغلاف اللدن ينساب (الفصل 12). ولذلك يفقد الوشاح حرارته كما يفعل الهواء فوق المدفأة، بحملها معه.

تعريف 24.8 (الحمل الحراري؛ الحمل الحراري في الوشاح)

الحمل الحراري هو نقل الحرارة بحركة المادة نفسها: فالمادة الأدفأ والأخف تصعد، والمادة الأبرد والأكثف تغوص، كما في خلية الحمل. والحمل الحراري في الوشاح هو الحمل الحراري لوشاح الأرض الصلب، الذي يزحف ببضعة سنتيمترات في السنة وينقل حرارة الباطن نحو السطح.

الصفائح هي الجزء العلوي من هذا الحمل. فعند الظهرات يصعد الوشاح الساخن ويُضاف إلى الصفائح؛ ويبرد الغلاف الصخري كلما ابتعد، فتزداد كثافته، ويغوص تحت ثقله في نطاقات الاندساس: فالألواح المندسة هي الجزء البارد الغائص من الجريان، وتُظهرها الصور الزلزالية غائصة عميقًا في الوشاح. ويُعتقد أن أعمدة من الصخر الساخن تصعد تحت البقع الساخنة من أعماق الوشاح، وربما من فوق اللب مباشرة.

الحمل الحراري في الوشاح (رسم تخطيطي، ليس بمقياس رسم). الصفائح هي حده العلوي البارد: يصعد الوشاح الساخن تحت الظهرات، وتبرد الصفائح كلما ابتعدت ثم تغوص عائدة ألواحًا مندسة عند الخنادق، وبعضها يبلغ الوشاح السفلي. وقد تصعد أعمدة من الأعماق تحت البقع الساخنة.

فمعظم الحرارة يغادر الوشاح إذن بالحمل، ولا تُعبر بالتوصيل إلا العشرات الأخيرة من الكيلومترات، عبر الغلاف الصخري الصلب — وهذا هو التوصيل الذي تقيسه الآبار.

24.4 الطاقة الحرارية الأرضية

تعريف 24.9 (الطاقة الحرارية الأرضية)

الطاقة الحرارية الأرضية هي حرارة باطن الأرض التي يستعملها الناس: ماء ساخن أو بخار من صخر ساخن، يُسحب عبر آبار للتدفئة أو لتوليد الكهرباء.

الحرارة المتدفقة من الأرض ضئيلة حيث تبلغ السطح، نحو $0.1\,\mathrm{W}$ تحت كل متر مربع، وهذا أقل بكثير من أن يُستعمل مباشرة. وهي تصير قابلة للاستعمال حيث تتركز على عمق ضحل. فقرب البراكين، والصدوع الخسفية والبقع الساخنة، وعلى امتداد حدود الصفائح، يقترب الصخر الساخن من السطح، ويعود الماء الذي يجري في الصخر المنفذ ساخنًا. وتحتاج محطة الطاقة إلى ماء شديد الحرارة أو بخار، من نحو 150 إلى $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وبعض الحقول تعطي بخارًا جافًا يدير التوربينات مباشرة. وقد وُلدت أول كهرباء من حرارة الأرض عام 1904 في لارديريلو، في توسكانا: فأضاءت خمسة مصابيح. وفي أماكن أخرى، يُنقل الماء الساخن من قرب السطح بالأنابيب إلى المباني لتدفئتها.

ينبوع حار يتصاعد بخاره في منظر ثلجي: ماء سُخّن عميقًا تحت الأرض يعود إلى السطح. رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي.

محطة نيسيافيتلير للطاقة الحرارية الأرضية، في منطقة هينغيل البركانية في آيسلندا: حتى 120\, MW من الكهرباء وحتى 300\, MW من الحرارة، يحملها الماء الساخن. الصورة: غريتار إيفارسون (ملك عام). — محطة نيسيافيتلير للطاقة الحرارية الأرضية، في منطقة هينغيل البركانية في آيسلندا: حتى $120\,\mathrm{MW}$ من الكهرباء وحتى $300\,\mathrm{MW}$ من الحرارة، يحملها الماء الساخن. الصورة: غريتار إيفارسون (ملك عام).

الحقل الحراري الأرضي ليس معينًا لا ينضب على مقياس حياة إنسان. ففي حقل الغايزرز، في كاليفورنيا، سحبت آبار كثيرة جدًا البخار، أسرع مما يستطيع التدفق الحراري البطيء والمطر تعويضه: فانخفض ضغط البخار إلى أقل من نصف ذروته، وفُقد أكثر من $40\,\%$ من قدرة محطات الطاقة. ويُحقن الماء الآن عائدًا إلى الحقل لإبطاء التراجع.

24.5 تمارين

تمرين 24.1 ★

أعطِ المصطلح: (أ) القدرة التي تغادر الباطن عبر كل متر مربع من السطح؛ (ب) الحرارة التي يحررها تفكك الذرات المشعة في وحدة حجم من الصخر؛ (ج) فقدان الحرارة المختزنة منذ تكوّن الأرض؛ (د) نقل الحرارة بحركة المادة نفسها؛ (ه) حرارة الأرض الداخلية التي يستعملها الناس.

حل

حل التمرين 24.1.

(أ) التدفق الحراري؛ (ب) إنتاج الحرارة الإشعاعية؛ (ج) التبرد القرني؛ (د) الحمل الحراري؛ (ه) الطاقة الحرارية الأرضية.

تمرين 24.2 ★

حوّل: (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ إلى $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ إلى واط؛ (3) $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر إلى كلفن لكل متر.

حل

حل التمرين 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ . (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ : فالفرق بدرجة سلسيوس واحدة فرق بكلفن واحد.

تمرين 24.3 ★

سمِّ النظائر الأربعة التي تصنع الحرارة الإشعاعية كلها تقريبًا، وقل أي اثنين منها يستطيع كاشف كاملاند رصدهما.

حل

حل التمرين 24.3.

الثوريوم-232، واليورانيوم-238، والبوتاسيوم-40، واليورانيوم-235. ولا يرصد كاملاند إلا النيوترينوات الأرضية للثوريوم-232 واليورانيوم-238.

تمرين 24.4 ★

باستعمال $q = 490/\sqrt{t}$ ، احسب التدفق الحراري عبر قاع محيط عمره 1 و4 و25 و49 مليون سنة.

حل

حل التمرين 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، وهذا قريب من متوسط القارات.

تمرين 24.5 ★

لماذا يُقاس التدفق الحراري في الآبار لا عند السطح نفسه؟ ولماذا يجب الانتظار بعد الحفر قبل القياس؟

حل

حل التمرين 24.5.

قرب السطح، تتبع درجة حرارة الأرض الأيام والفصول؛ ولا تثبت عند متوسط درجة حرارة السنة إلا تحت بضعة أمتار، ولا تُظهر الحرارة الآتية من الأسفل إلا في عمق أكبر من ذلك. والحفر يحرك الصخر والماء في البئر ويغيّر درجة حرارتهما، فننتظر حتى يعود البئر إلى درجة حرارة الصخر.

تمرين 24.6 ★★

في بئر KTB كانت حرارة الصخر نحو $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على عمق $9.1\,\mathrm{km}$ . (1) بأخذ $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند السطح، احسب متوسط التدرج. (2) بموصلية قدرها $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ ، ما التدفق الحراري الذي يعطيه؟ (3) قارن بمتوسط القارات.

حل

حل التمرين 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر، أي $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ . (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي نحو $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ . (3) فوق متوسط القارات بقليل، $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، بنحو $7\,\%$ : وهي قيمة قارية نموذجية.

تمرين 24.7 ★★

تغطي القارات $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ بمتوسط تدفق حراري قدره $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، والمحيطات $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ بمتوسط $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ . احسب القدرة التي يفقدها كل منهما، والمجموع، وحصة ما يُفقد عبر قاع المحيط.

حل

حل التمرين 24.7.

القارات: $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$ . والمحيطات: $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$ . والمجموع نحو $46.6\,\mathrm{TW}$ ، يغادر منه $31.9/46.6 \approx 68\,\%$ ، أي الثلثان، عبر قاع المحيط.

تمرين 24.8 ★★

طبقة من الغرانوديوريت سمكها $8\,\mathrm{km}$ إنتاجها الحراري $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (1) ما التدفق الحراري الذي تنتجه عند السطح؟ (2) ما حصته من $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ؟

حل

حل التمرين 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ . (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$ ، أي خُمس التدفق الحراري.

تمرين 24.9 ★★

عند أي عمر يفقد قاع المحيط من الحرارة قدر ما تفقده القارة المتوسطة، $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، بحسب $q = 490/\sqrt{t}$ ؟

حل

حل التمرين 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$ ، إذن $t \approx 47.8$ مليون سنة: فقاع المحيط الأقدم من نحو 48 مليون سنة يفقد من الحرارة أقل مما تفقده القارة المتوسطة.

تمرين 24.10 ★★

كم مرة كانت الحرارة التي حررها اليورانيوم-235 قبل 1.4 مليار سنة أكبر منها اليوم؟ والبوتاسيوم-40، قبل 2.5 مليار سنة؟

حل

حل التمرين 24.10.

اليورانيوم-235: $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ مرات أكثر. والبوتاسيوم-40: $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ مرات أكثر. فكلاهما رجوع بعمرَي نصف.

تمرين 24.11 ★★

باستعمال $t \approx L^2/\kappa$ مع $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، كم تستغرق الحرارة لتعبر بالتوصيل (1) لابة سمكها $10\,\mathrm{m}$ ؛ (2) غلافًا صخريًا سمكه $100\,\mathrm{km}$ ؛ (3) الوشاح؟ عبّر عن كل نتيجة بوحدات مناسبة.

حل

حل التمرين 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$ ، أي نحو 3 سنوات. (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$ ، أي نحو 320 مليون سنة. (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ ، أي نحو 265 مليار سنة. فالزمن يزداد بمربع المسافة: سمك أكبر بعشر مرات، وزمن أطول بمئة مرة.

تمرين 24.12 ★★★

يحرر الثوريوم-232 اليوم نحو $10.4\,\mathrm{TW}$ ، واليورانيوم-238 $9.6\,\mathrm{TW}$ ، والبوتاسيوم-40 $4.0\,\mathrm{TW}$ ، واليورانيوم-235 $0.42\,\mathrm{TW}$ . باستعمال أعمار النصف الواردة في الشكل، احسب حرارة كل منها قبل 3 مليارات سنة، والمجموع، وحصة النظيرين القصيرَي العمر.

حل

حل التمرين 24.12.

اضرب كلًّا منها في $2^{3/T}$ : الثوريوم-232، $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$ ؛ واليورانيوم-238، $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$ ؛ والبوتاسيوم-40، $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$ ؛ واليورانيوم-235، $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$ . والمجموع نحو $56.7\,\mathrm{TW}$ ، أي أكثر من ضعف $24.4\,\mathrm{TW}$ اليوم. ويعطي النظيران القصيرا العمر $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$ منه، مقابل $4.42/24.4 \approx 18\,\%$ اليوم.

تمرين 24.13 ★★★

تستطيع محطة نيسيافيتلير أن تقدم حتى $300\,\mathrm{MW}$ من الحرارة، يحملها نحو $1640\,\mathrm{L}$ من الماء الساخن في الثانية. بحرارة نوعية قدرها $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ وكتلة $1\,\mathrm{kg}$ لكل لتر، بكم درجة سُخّن هذا الماء؟ وما مساحة القارة المتوسطة التي تفقد $300\,\mathrm{MW}$ من الحرارة؟

حل

حل التمرين 24.13.

القدرة هي الكتلة في الثانية مضروبة في الحرارة النوعية مضروبة في الارتفاع في درجة الحرارة: $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$ ، إذن $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$ . والقارة المتوسطة تفقد $0.0709\,\mathrm{W}$ لكل متر مربع، فإن $300\,\mathrm{MW}$ هي الفقد الطبيعي للحرارة من $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$ ، أي نحو $4200\,\mathrm{km}^{2}$ : فالمحطة تجمع حرارة تُخرجها الأرض طبيعيًا على آلاف الكيلومترات المربعة.

تمرين 24.14 ★★★

افترض أن صفيحة تستغرق 100 مليون سنة لتنتقل من ظهرة إلى خندق، وأن حلقة حمل عبر الوشاح كله تستغرق نحو 200 مليون سنة. (1) قارن هذين الزمنين بالزمن الذي يستغرقه التوصيل عبر الوشاح، 260 مليار سنة. (2) لماذا يستطيع الحمل نقل الحرارة أسرع من ذلك بكثير، مع أن الوشاح لا يتحرك إلا بضعة سنتيمترات في السنة؟

حل

حل التمرين 24.14.

(1) 100 مليون سنة أقصر من 260 مليار سنة بمقدار $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ مرة؛ و200 مليون سنة أقصر بمقدار 1300 مرة. (2) الحمل ينقل الحرارة مع الصخر المتحرك: فزمن عبور الوشاح هو سمكه مقسومًا على السرعة، $2891\,\mathrm{km}$ ببضعة سنتيمترات في السنة، أي نحو مئة مليون سنة. أما التوصيل فلا ناقل له كهذا: فزمنه يزداد بمربع المسافة، وعلى آلاف الكيلومترات يصير هائلًا.

تمرين 24.15 ★★★

افترض أن اللب يفقد نحو $10\,\mathrm{TW}$ من الحرارة لصالح الوشاح عبر الحد بين اللب والوشاح، على عمق $2891\,\mathrm{km}$ . (1) ما حصة ذلك من التبرد القرني، $22.3\,\mathrm{TW}$ ؟ ومن أين يأتي الباقي؟ (2) احسب متوسط التدفق الحراري عبر الحد بين اللب والوشاح، وقارنه بمتوسط التدفق الحراري عند السطح، $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ . (3) لماذا يستطيع اللب الساخن تسخين قاعدة الوشاح مع أن الوشاح صلب؟

حل

حل التمرين 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$ ؛ والباقي تبرد الوشاح نفسه، الذي يفقد حرارته المختزنة فيه. (2) يقع الحد على نصف قطر $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$ ؛ ومساحته $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي نحو $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، وهذا نحو $72\,\%$ من المتوسط عند السطح. (3) تعبر الحرارة الحد بالتوصيل إلى أسفل طبقة في الوشاح؛ فيصير هذا الصخر، إذ يسخن، أخف من الوشاح الذي فوقه ويستطيع أن يصعد حاملًا الحرارة إلى الأعلى: وهكذا يُعتقد أن الأعمدة الصاعدة تبدأ، في الأعماق.

مسألة 24.1

مسألة نهاية الأسبوع — ميزانية الأرض الحرارية

قيس التدفق الحراري للأرض في أكثر من $38\,000$ موضع. تفقد القارات في المتوسط $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ على $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ، ويفقد قاع المحيط $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ على $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ .

الجزء الأول — التدفق الحراري والمساحات.

تحقق من أن مجموع المساحتين يساوي مساحة كرة نصف قطرها $6371\,\mathrm{km}$ .
ما الكسر الذي يشغله قاع المحيط من السطح؟
لماذا يفقد قاع المحيط من الحرارة لكل متر مربع أكثر مما تفقده القارات؟
باستعمال $q = 490/\sqrt{t}$ ، احسب التدفق الحراري عبر قاع محيط عمره 4 ملايين سنة.
يقيس بئر في الغرانيت ( $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ ) $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر. هل تدفقه الحراري فوق المتوسط القاري أم دونه؟

الجزء الثاني — المجموع.

احسب القدرة المفقودة عبر القارات.
احسب القدرة المفقودة عبر قاع المحيط.
اجمعهما: فهذا التدفق الحراري الكلي للأرض، بالتيراواط.
ما متوسط التدفق الحراري على السطح كله؟
لو كان تحت كل قارة $10\,\mathrm{km}$ من الغرانيت ( $24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ )، فكم تيراواط ينتج؟ قارن بالقدرة المفقودة عبر القارات.

الجزء الثالث — الحرارة الإشعاعية.

يعدّ كاملاند النيوترينوات الأرضية الآتية من اليورانيوم-238 والثوريوم-232: وهما معًا يحرران نحو $20.0\,\mathrm{TW}$ ، مع $3.9\,\mathrm{kg}$ من الثوريوم في الأرض لكل كيلوغرام من اليورانيوم. ويحرر الكيلوغرام من اليورانيوم $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ عبر اليورانيوم-238 الذي فيه و $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ عبر اليورانيوم-235 الذي فيه؛ ويحرر الكيلوغرام من الثوريوم $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$ . احسب حرارة اليورانيوم-238، ثم حرارة اليورانيوم-235.
يضيف البوتاسيوم-40 نحو $4\,\mathrm{TW}$ . احسب الحرارة الإشعاعية الكلية.
أي نوع من الصخور يحمل معظم هذه العناصر، وأين يوجد؟
هل كانت الحرارة الإشعاعية أكبر أم أصغر قبل 3 مليارات سنة؟ ولماذا؟

الجزء الرابع — التبرد القرني.

ما القدرة التي لا يوفرها النشاط الإشعاعي؟
من أين تأتي؟
احسب حصة التدفق الحراري التي يوفرها التبرد القرني.
تعطي نماذج تركيب الأرض حرارة إشعاعية من 11 إلى $38\,\mathrm{TW}$ . بين أي حصتين يقع الجزء الإشعاعي حينئذ؟
ما الذي ينقل معظم هذه الحرارة عبر الوشاح؟
لخّص: ما الحصة التي يوفرها النشاط الإشعاعي اليوم من الحرارة التي تفقدها الأرض؟

حل

حل المسألة 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $2.073 + 3.028 = 5.101$ : نعم.

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$ ، أي نحو ثلاثة أخماس.

3. قاع المحيط حديث: فهو يُصنع ساخنًا عند الظهرات ويبرد كلما ابتعد، والغلاف الصخري الحديث يفقد حرارة كثيرة.

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ : دون المتوسط بقليل، ويكاد يساويه.

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$ .

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$ .

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$ ، وهي $47\,\mathrm{TW}$ في التقدير المنشور (والمتوسط العالمي في الفصل يعطي $46.7\,\mathrm{TW}$ ، وهي القيمة المستعملة فيما يلي).

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي نحو $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$ ، أي ثلث $14.7\,\mathrm{TW}$ المفقودة عبر القارات: فالنشاط الإشعاعي في القشرة القارية جزء كبير من تدفقها الحراري.

11. لكل كيلوغرام من اليورانيوم تحوي الأرض $3.9\,\mathrm{kg}$ من الثوريوم، تحرر $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$ ، مقابل $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ لليورانيوم-238. فاليورانيوم-238 يصنع إذن $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ من $20.0\,\mathrm{TW}$ : أي نحو $9.6\,\mathrm{TW}$ . واليورانيوم-235: $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$ .

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$ .

13. الغرانيت وسائر صخور القشرة القارية، وهي أغنى بنحو عشرين مرة من الصخور فوق المافية للوشاح.

14. أكبر: فكل نظير كان أوفر حينئذ، ضعف الكمية عن كل عمر نصف إلى الوراء؛ وقبل 3 مليارات سنة كان المجموع أكثر من ضعف مجموع اليوم.

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ .

16. من الحرارة المختزنة منذ تكوّن الأرض: أي التبرد القرني للوشاح واللب.

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$ .

18. من $11/46.7 \approx 24\,\%$ إلى $38/46.7 \approx 81\,\%$ : والنيوترينوات الأرضية تضيّق هذا المدى كثيرًا.

19. الحمل الحراري في الوشاح، الذي ينقل معظم الحرارة؛ ولا تُعبر بالتوصيل إلا العشرات الأخيرة من الكيلومترات.

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$ : فالنشاط الإشعاعي يوفر نحو نصف ما تفقده الأرض من حرارة اليوم، ويوفر التبرد البطيء للكوكب النصف الآخر.

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো