25التأريخ الإشعاعي وعمر الأرض

في عام 1862 حسب الفيزيائي وليام طومسون، الذي صار فيما بعد اللورد كلفن، عمر الأرض من طريقة تبردها. فقد افترض أنها تكوّنت منصهرة وظلت تفقد حرارتها منذ ذلك الحين، وتساءل كم يلزم من الوقت لكي ينخفض تدرج درجة الحرارة قرب السطح إلى قيمته الحالية. وكان جوابه 96 مليون سنة، في مكان ما بين 20 و400 مليون؛ وبحلول عام 1897 كان قد ضيّقه إلى ما بين 20 و40 مليونًا. ورأى الجيولوجيون ذلك أقصر بكثير من التاريخ الذي يقرؤونه في الصخور. وجاء الجواب من النشاط الإشعاعي، الذي لم يكن كلفن يعرفه.

ما تعرفه من قبل

يرتّب التأريخ النسبي الصخور والأحداث؛ أما العمر المطلق فعدد من السنين (الكتاب 1، الصف 7). والنظير المشع، أي النظير الأم، يتفكك إلى نظير وليد عشوائيًا: فعدد $N$ من ذرات الأم الباقية يتناقص وفق $N = N_0\,e^{-\lambda t}$، حيث $\lambda$ ثابت التفكك، وينتصف كل عمر نصف $T = \ln 2/\lambda$ (كتب الفيزياء). وأقدم المعادن المعروفة، حبيبات زركون من غرب أستراليا، عمرها 4.4 مليار سنة (الفصل 19). والأرض تفقد أيضًا حرارة يظل النشاط الإشعاعي يصنعها، ووشاحها يتحرك بالحمل الحراري (الفصل 24).

25.1 تاريخ التقديرات

قبل النشاط الإشعاعي، كان كل تقدير لعمر الأرض يستند إلى عملية يُفترض أن معدلها معروف.

لمحة تاريخية — حرارة كلفن المفقودة

في عام 1903 بيّن بيير كوري وألبير لابورد أن الراديوم يطلق حرارة، وسرعان ما رأى عدد من العلماء أن هذه الحرارة تنقض استنتاج كلفن. وبعد عام، ذكّر إرنست رذرفورد كلفن، في محاضرة كان كلفن بين حاضريها، بأنه حدّ عمر الأرض «ما لم يُكتشف مصدر جديد للحرارة». وبدا أن النشاط الإشعاعي هو ذلك المصدر. ومع ذلك لم يكن هذا خطأ كلفن الأكبر: فأكثر ما يطيل تبرد الأرض هو الحمل الحراري في الوشاح، الذي يُبقي الوشاح العلوي ساخنًا والتدرج في القشرة مرتفعًا مدة أطول بكثير مما يفعله التوصيل وحده.

وقدّم النشاط الإشعاعي أيضًا ساعة. ففي عام 1907 بيّن برترام بولتوود أن معادن اليورانيوم المتساوية العمر تحوي القدر نفسه من الرصاص لكل غرام من اليورانيوم: فالرصاص يصنعه اليورانيوم. وبحلول عام 1913 استطاع آرثر هولمز أن يكتب أن أقدم الصخور المؤرَّخة عمرها $1600$ مليون سنة، وفي عام 1927 جعل عمر الأرض بين 1.6 و3.0 مليار سنة. وفي عام 1956 قاس كلير باترسون 4.55 مليار سنة. والقيمة المعتمدة اليوم 4.54 مليار سنة، بدقة واحد في المئة.

25.2 ساعة إشعاعية

لا تعمل الساعة الإشعاعية إلا إذا لم يُضَف إليها شيء ولم يُنتزع منها شيء منذ أن بدأت.

تعريف 25.1 (النظام المغلق)

يكون الصخر أو المعدن نظامًا مغلقًا بالنسبة إلى نظير أم ونظيره الوليد إذا لم تدخله ولم تخرج منه، منذ لحظة بدء ساعته، أي ذرة من الأم أو من الوليد، إلا ما كان بتفكك الأم إلى الوليد.

تبدأ ساعة المعدن حين يتبلور من صهارة، أو بدقة أكبر حين يبرد بما يكفي لتكف الذرات عن الدخول إليه والخروج منه. والتسخين، أو مائع ساخن، أو التجوية، قد تفتح النظام من جديد، فيكون العمر المقيس حينئذ خاطئًا، أو يؤرّخ ذلك الحدث اللاحق.

عدّ الذرات الوليدة في نظام مغلق يعطي العمر، بشرط أن نعرف كم كان منها في البداية. وعادة لا نعرف ذلك. فالروبيديوم-87 يتفكك إلى السترونتيوم-87، لكن كل معدن أخذ أيضًا شيئًا من السترونتيوم-87 حين تكوّن. وطريقة خط تساوي العمر تتغلب على ذلك بقياس عدة معادن من صخر واحد.

25.3 خط تساوي العمر

للسترونتيوم نظير، السترونتيوم-86، مستقر ولا يصنعه أي تفكك: ففي النظام المغلق يبقى عدده ثابتًا، ويصلح مقياسًا مرجعيًا. والنسبتان النظيريتان $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ و$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ هما ما يقيسه مطياف الكتلة.

مبرهنة 25.2 (معادلة خط تساوي العمر)

في معدن ظل نظامًا مغلقًا مدة $t$،

$$\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{الآن}} = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0} + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{الآن}} \left(e^{\lambda t} - 1\right),$$

حيث يدل الدليل 0 على القيمة عند بدء الساعة، و$\lambda$ ثابت تفكك الروبيديوم-87.

تبلورت معادن الغرانيت من صهارة واحدة، فبدأت كلها بالنسبة نفسها $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$. لكنها أخذت كميات مختلفة جدًا من الروبيديوم. وبما أنها كلها تشترك في $t$ نفسه وفي النسبة الابتدائية نفسها، فالمعادلة تقول إن نقاطها تقع على خط مستقيم واحد.

تعريف 25.3 (خط تساوي العمر)

خط تساوي العمر هو الخط المستقيم الذي تقع عليه نقاط معادن أو صخور تكوّنت في الوقت نفسه من المصدر نفسه وظلت أنظمة مغلقة منذ ذلك الحين، حين تُرسم نسبة النظير الوليد إلى النظير المستقر بدلالة نسبة النظير الأم إلى النظير المستقر. ويعطي ميله عمرها، وتعطي النقطة التي يلاقي فيها المحور الرأسي نسبتها الابتدائية.

قضية 25.4 (العمر من الميل)

إذا كان ميل خط تساوي العمر $m$، فالعمر هو

$$t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.$$

للروبيديوم-87، $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ في السنة، أي عمر نصف قدره $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ مليار سنة: أكثر من عشرة أضعاف عمر الأرض.

طريقة 25.5 (تأريخ صخر بخط تساوي العمر)

1. افصل عدة معادن من الصخر (أو خذ منه عدة عينات) تختلف كميات الروبيديوم فيها.
2. قِس في كل منها النسبتين $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($x$) و$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($y$).
3. ارسم $y$ بدلالة $x$ وتحقق من أن النقاط تقع على خط مستقيم: فإن خرجت منها نقطة، لم تكن تلك العينة نظامًا مغلقًا.
4. خذ ميل الخط $m$، واحسب $t = \ln(1+m)/\lambda$.
5. اقرأ النسبة الابتدائية حيث يلاقي الخط المحور الرأسي.

مثال 25.6 (غرانيت فاردن)

يعطي غرانيت تلال فاردن، المنطقة المتخيَّلة في هذه السلسلة، هذه النسب (بيانات تمرين):

العينة	$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$
بلاجيوكليز	0.35	0.70952
هورنبلند	1.20	0.71321
الصخر الكلي	3.10	0.72146
فلسبار البوتاسيوم	6.40	0.73578
بيوتيت	24.0	0.81218

عبر البلاجيوكليز والبيوتيت، يكون الميل $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$. إذن $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ سنة: فعمر الغرانيت 310 ملايين سنة. ويلاقي الخط المحور الرأسي عند $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$، وهي النسبة الابتدائية.

في المختبر — وزن الذرات

تُقاس النسب بمطياف الكتلة. فتُذاب بضعة ملّيغرامات من المعدن في حمض، ويُفصل السترونتيوم عن الروبيديوم كيميائيًا، لأن النظيرين اللذين كتلتهما 87 كانا سيُعدّان معًا لولا ذلك. ثم يوضع السترونتيوم على فتيل معدني ويُسخَّن في الفراغ، فيطلق أيونات؛ ويسرّعها مجال كهربائي ويحني مغناطيسٌ مساراتها، والأيونات الأخف أكثر انحناء من الأثقل، فيبلغ كل نظير مجمِّعه الخاص. وتعطي تياراتها النسب.

والنسبة الابتدائية دليل أيضًا على مصدر الصهارة. فالروبيديوم يفضّل المصهور حين ينصهر الوشاح، ولذلك تركّز على مر العصور في القشرة القارية، التي صنعت تبعًا لذلك قدرًا أكبر من السترونتيوم-87: فلصخور القشرة نسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ أعلى من صخور الوشاح. والصهارة الناتجة عن انصهار القشرة ترث تلك النسبة العالية.

25.4 عمر الأرض

لا يعود أي صخر على الأرض إلى بداية الأرض: فأقدم صخر معروف، نيس أكاستا، عمره 4.03 مليار سنة، وأقدم حبيبات الزركون 4.4 مليار. فقد انصهر السطح وتعرّى وأُعيد تدويره منذ ذلك الحين. أما تأريخ الأرض نفسها فيأتي من النيازك، وهي شظايا من الأجسام الصغيرة التي تكوّنت مع الكواكب، وظل بعضها أنظمة مغلقة منذ ذلك الحين.

تعريف 25.7 (عمر الأرض)

عمر الأرض هو الزمن المنقضي منذ تكوّنت الأرض بتراكم أجسام أصغر، عند نشأة المجموعة الشمسية. وهو، مقيسًا من النيازك بالتأريخ الإشعاعي، $4.54$ مليار سنة، بدقة واحد في المئة.

في عام 1956 قاس كلير باترسون نظائر الرصاص في ثلاثة نيازك حجرية ونيزكين حديديين. فنظيران من الرصاص يصنعهما تفكك اليورانيوم، الرصاص-206 من اليورانيوم-238 والرصاص-207 من اليورانيوم-235، بينما لا يصنع أي تفكك الرصاص-204. وكما في السترونتيوم، تقع نقاط النيازك التي تكوّنت في الوقت نفسه على خط مستقيم، حين ترسم $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ بدلالة $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$. ونيزك كانيون ديابلو الحديدي، في أريزونا، لا يكاد يحوي يورانيوم: فرصاصه لم يتغير منذ تكوّن، وهو يحدد الطرف السفلي من الخط، أي الرصاص الذي بدأت به المجموعة الشمسية.

في الرصاص يتوقف الميل $m$ على العمر عبر نظيرَي اليورانيوم كليهما؛ ونُسلّم بالعلاقة هنا. وبالثوابت التي استعملها باترسون،

وهذا يعطي:

للخط المرسوم عبر النقاط الخمس ميل يبلغ نحو 0.603، بين ميلَي 4.55 و4.60 مليار سنة في الجدول. وكانت نتيجة باترسون نفسه، بعد حساب أخطاء القياسات وأخطاء ثوابت التفكك، 4.55 مليار سنة، بزيادة أو نقصان 0.07. ثم قاس رصاص رسوبيات محيطية حديثة، تخلط رصاصًا من كتلة عظيمة من قشرة الأرض: فوقعت على الخط نفسه. فقد تطور رصاص الأرض كما تطور رصاص النيازك، على مدى الزمن نفسه: أي إن الأرض في مثل عمرها.

وقد أكدت ذلك منذئذ مئات القياسات. فالنيازك تعطي أعمارًا من 4.53 إلى 4.58 مليار سنة، وأقدم المواد الصلبة في المجموعة الشمسية، وهي اشتمالات صغيرة غنية بالكالسيوم والألومنيوم توجد في بعض النيازك، تكوّنت قبل $4567.30$ مليون سنة، بزيادة أو نقصان 0.16. وقد تكوّنت الأرض لاحقًا من مادة كهذه، ولهذا فعمرها، 4.54 مليار سنة، أقل قليلًا من عمرها.

25.5 تمارين

تمرين 25.1 ★

أعطِ المصطلح: (أ) معدن لم تدخله ولم تخرج منه أي ذرة أم أو وليدة منذ بدء ساعته؛ (ب) الخط المستقيم الذي تقع عليه معادن متساوية العمر ومشتركة المصدر؛ (ج) الزمن المنقضي منذ تكوّنت الأرض بالتراكم.

حل

حل التمرين 25.1.

(أ) نظام مغلق؛ (ب) خط تساوي العمر؛ (ج) عمر الأرض.

تمرين 25.2 ★

مستعينًا بجدول غرانيت فاردن، رتّب عيناته الخمس بحسب نسبة الروبيديوم-87 إلى السترونتيوم-86 فيها، من الأدنى. أيها يقع أعلى على خط تساوي العمر، ولماذا صنع أكبر قدر من السترونتيوم-87؟

حل

حل التمرين 25.2.

البلاجيوكليز (0.35)، فالهورنبلند (1.20)، فالصخر الكلي (3.10)، ففلسبار البوتاسيوم (6.40)، فالبيوتيت (24.0). والبيوتيت يقع في الأعلى: فهو يحوي أكبر قدر من الروبيديوم-87 بالنسبة إلى ما فيه من السترونتيوم-86، ولذلك صنع روبيديومه أكبر قدر من السترونتيوم-87 منذ تكوّن الغرانيت.

تمرين 25.3 ★

احسب عمر النصف للروبيديوم-87 من ثابت تفككه، $1.3972 \times 10^{-11}$ في السنة. كم ضعفًا لعمر الأرض يبلغ؟

حل

حل التمرين 25.3.

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ سنة، أي 49.6 مليار سنة: وهذا $49.6/4.54 \approx 11$ ضعفًا لعمر الأرض.

تمرين 25.4 ★

احسب $e^{\lambda t} - 1$ للروبيديوم-87 عند $t = 310$ مليون سنة و$t = 480$ مليون سنة.

حل

حل التمرين 25.4.

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$، و$e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$. وعند 480 مليون سنة، $\lambda t \approx 0.006707$ و$e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$. وكلتا القيمتين قريبة من $\lambda t$ نفسه، لأن $\lambda t$ صغير.

تمرين 25.5 ★

رتّب بحسب التاريخ تقديرات فيليبس، وهولمز (1927)، وجولي، وكلفن (1862)، وباترسون. كم ضعفًا للحد الأعلى من تقدير جولي يبلغ عمر الأرض المعتمد اليوم؟

حل

حل التمرين 25.5.

فيليبس (1860)، فكلفن (1862)، فجولي (1899)، فهولمز (1927)، فباترسون (1956). $4540/100 \approx 45$ ضعفًا.

تمرين 25.6 ★★

لمعدن من غرانيت فاردن (310 ملايين سنة، ونسبة ابتدائية 0.7080) $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$. ما نسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ فيه اليوم؟ وكم كانت حين تكوّن الغرانيت؟

حل

حل التمرين 25.6.

$0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$ اليوم؛ و0.7080 حين تكوّن الغرانيت، شأنه شأن كل معدن في الغرانيت.

تمرين 25.7 ★★

تعطي أربع عينات من شيست فاردن $(x, y)$ = (0.90, 0.71806)، و(2.60, 0.72950)، و(5.10, 0.74632)، و(9.40, 0.77525)، حيث $x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ و$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. (1) من العينتين الأولى والأخيرة، احسب الميل والعمر. (2) تحقق من أن العينتين الوسطيين تقعان على الخط نفسه. (3) هل النتيجة متسقة مع عمر الغرانيت البالغ 310 ملايين سنة ومع مبدأ التقاطع؟

حل

حل التمرين 25.7.

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$؛ $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ سنة، أي 480 مليون سنة. (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ و$0.71806 + 4.20 \times 0.006728 \approx 0.74632$: كلتاهما على الخط. (3) نعم: فالغرانيت يقطع الشيست، فهو أحدث منه، و310 أقل من 480 مليون سنة.

تمرين 25.8 ★★

لماذا لا يعطي صخر تتساوى نسبة الروبيديوم إلى السترونتيوم في جميع معادنه أي خط تساوي عمر؟ ولماذا يحدد البيوتيت، في غرانيت فاردن، الميل أفضل من سائر المعادن؟

حل

حل التمرين 25.8.

كانت نقاطه كلها ستقع في الموضع نفسه: والنقطة الواحدة لا تحدد خطًا ولا ميلًا. والبيوتيت يقع بعيدًا إلى يمين سائر المعادن؛ فالخطأ الصغير في أي نقطة يغيّر حينئذ ميل الخط المار به وبالبلاجيوكليز أقل بكثير مما يغيّره لو كانت النقطتان متقاربتين.

تمرين 25.9 ★★

بعد تكوّن غرانيت فاردن بزمن طويل، جعل مائع ساخن البيوتيت فيه يفقد جزءًا من السترونتيوم-87. (1) إلى أين تنتقل نقطته على مخطط خط تساوي العمر؟ (2) ما العمر الذي يعطيه البيوتيت والبلاجيوكليز وحدهما حينئذ: أكبر من الحقيقي أم أصغر؟ (3) كيف تكشف طريقة خط تساوي العمر المشكلة؟

حل

حل التمرين 25.9.

(1) روبيديومه لم يتغير، فيحتفظ بقيمة $x$؛ وصار فيه سترونتيوم-87 أقل، فتنخفض قيمة $y$: فتنتقل النقطة إلى الأسفل مباشرة. (2) الخط المار بها وبالبلاجيوكليز أقل انحدارًا، فيعطي عمرًا أصغر من الحقيقي. (3) لم يعد البيوتيت يقع على الخط المار بسائر المعادن: فالنقاط غير مصطفة، وهذه علامة على أن إحدى العينات لم تكن نظامًا مغلقًا.

تمرين 25.10 ★★

(1) كم مرة يزيد عمر الأرض على 96 مليون سنة التي قدّرها كلفن؟ (2) افترض جولي أن الأنهار تجلب الملح إلى البحر بمعدل ثابت، وأن شيئًا منه لا يغادر البحر. أي هذين الافتراضين يجعل عمره أقصر من الحقيقي إذا كان خاطئًا، ولماذا؟

حل

حل التمرين 25.10.

(1) $4540/96 \approx 47$ مرة. (2) إذا غادر شيء من الملح البحر، مدفونًا مثلًا في الرسوبيات، كان في البحر ملح أقل مما جلبته الأنهار في المجموع: فقسمة الملح الموجود على الإمداد السنوي تعطي زمنًا أقصر من الحقيقي.

تمرين 25.11 ★★

مستعينًا بقيم باترسون لكانيون ديابلو (9.46, 10.34) ونويفو لاريدو (50.28, 34.86)، احسب ميل الخط المار بالنيزكين، واقرأ العمر من جدول الميول.

حل

حل التمرين 25.11.

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$، بين ميلَي 4.55 (0.590) و4.60 مليار سنة (0.610): أي نحو 4.58 مليار سنة.

تمرين 25.12 ★★★

بازلت من منطقة فاردن، عمره أيضًا 310 ملايين سنة، نسبته الابتدائية 0.7035، مقابل 0.7080 للغرانيت. (1) أي الصخرين أرجح أن يأتي من وشاح منصهر، وأيهما من قشرة منصهرة؟ (2) فسّر ذلك بما تعرفه عن الروبيديوم. (3) هل يمكن أن يكونا قد تبلورا من صهارة واحدة؟

حل

حل التمرين 25.12.

(1) البازلت، ذو النسبة الأدنى، من الوشاح؛ والغرانيت، ذو النسبة الأعلى، من قشرة منصهرة ولو جزئيًا. (2) الروبيديوم يذهب إلى المصهور حين ينصهر الوشاح، ولذلك تركّز في القشرة، التي صنعت على مر العصور قدرًا أكبر من السترونتيوم-87. (3) لا: فالمعادن التي تتبلور من صهارة واحدة تشترك في نسبتها الابتدائية، وهذان الصخران لا يشتركان فيها.

تمرين 25.13 ★★★

(1) ما الكسر الباقي اليوم من الروبيديوم-87 الذي كان موجودًا حين تكوّنت الأرض؟ ومن اليورانيوم-238 (عمر نصفه 4.47 مليار سنة)؟ (2) ما ميل خط تساوي العمر بالروبيديوم–السترونتيوم لصخر عمره مليون سنة؟ ولماذا تُعد ساعة الروبيديوم–السترونتيوم ساعة رديئة للصخور الحديثة؟

حل

حل التمرين 25.13.

(1) الروبيديوم-87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$، أي يبقى نحو $94\,\%$؛ واليورانيوم-238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$، أي نحو النصف. (2) $m = e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx 1.4 \times 10^{-5}$: فحتى بيوتيت غرانيت فاردن ($x = 24$) لن يرتفع إلا بمقدار $0.0003$ فوق النسبة الابتدائية. فما تكوّن من السترونتيوم-87 قليل جدًا حتى يصعب تمييز الميل من الصفر: فالساعة البطيئة تلائم الصخور القديمة.

تمرين 25.14 ★★★

الخط المار بنيازك باترسون الخمسة هو $y = 4.438 + 0.6026\,x$. (1) ما نسبة $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ التي يتنبأ بها للرسوبيات المحيطية، عند $x = 19.0$؟ قاس باترسون 15.5: فبأي نسبة مئوية تختلفان؟ (2) ما العمر الذي يعطيه الميل 0.6026، من الجدول؟ قارنه بقيمة باترسون $4.55 \pm 0.07$ مليار سنة.

حل

حل التمرين 25.14.

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$؛ و$15.5$ أدنى منها بمقدار $0.39$، أي نحو $2.4\,\%$: فالرسوبيات تقع قريبًا من الخط. (2) 0.6026 تقع بين 0.590 (4.55) و0.610 (4.60): أي نحو 4.58 مليار سنة، ضمن مدى باترسون من 4.48 إلى 4.62 مليار سنة.

تمرين 25.15 ★★★

افترض كلفن أن كل الحرارة التي تفقدها الأرض، $46.7\,\mathrm{TW}$ اليوم، حرارة مختزنة. (1) يعوّض النشاط الإشعاعي نحو $24.4\,\mathrm{TW}$ منها. بكم يطيل ذلك وحده الزمن اللازم لفقد مخزون معين من الحرارة؟ (2) انطلاقًا من 96 مليون سنة، هل يكفي هذا لبلوغ العمر الحقيقي؟ (3) ما الذي فات كلفن وهو أهم من ذلك؟

حل

حل التمرين 25.15.

(1) لا يفقد المخزون حينئذ إلا $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ صافيًا، فيدوم المخزون نفسه $46.7/22.3 \approx 2.1$ مرة أطول. (2) $96 \times 2.1 \approx 200$ مليون سنة، وهذا لا يزال أقصر من الحقيقة بأكثر من عشرين مرة. (3) الحمل الحراري في الوشاح، الذي يحمل الحرارة صاعدًا من الأعماق ويُبقي التدرج قرب السطح مرتفعًا مدة أطول بكثير مما يفعله التوصيل وحده.

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — تأريخ غرانيت فاردن

يقطع غرانيت تلال فاردن، المنطقة المتخيَّلة في هذه السلسلة، الشيست المحيط به. وقد قاس مختبر خمسًا من عيناته (المثال أعلاه): البلاجيوكليز (0.35, 0.70952)، والهورنبلند (1.20, 0.71321)، والصخر الكلي (3.10, 0.72146)، وفلسبار البوتاسيوم (6.40, 0.73578)، والبيوتيت (24.0, 0.81218)، وكلٌّ منها في صورة $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$. وثابت تفكك الروبيديوم-87 هو $1.3972 \times 10^{-11}$ في السنة.

الجزء الأول — العينات.

1. أي العينات أغنى بالروبيديوم بالنسبة إلى السترونتيوم؟
2. لماذا بدأت المعادن كلها بالنسبة نفسها $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$؟
3. لماذا تؤخذ النسب إلى السترونتيوم-86؟
4. أي النظائر الثلاثة ازداد منذ تكوّن الغرانيت، ولماذا؟
5. كيف كانت تبدو النقاط الخمس على المخطط حين تكوّن الغرانيت لتوّه؟

الجزء الثاني — خط تساوي العمر.

6. احسب الميل عبر البلاجيوكليز والبيوتيت.
7. احسب الميل عبر البلاجيوكليز والصخر الكلي.
8. قارن الميلين. أيهما أوثق، ولماذا؟
9. جد النقطة التي يلاقي فيها خط السؤال 6 المحور الرأسي.
10. تحقق من أن فلسبار البوتاسيوم يقع على ذلك الخط.

الجزء الثالث — الميل والعمر.

11. اكتب العلاقة بين الميل و$e^{\lambda t}$.
12. احسب $\lambda t$.
13. احسب العمر $t$.
14. أُرِّخ الشيست فكان عمره 480 مليون سنة. هل ترتيب العمرين هو ما تقتضيه العلاقات الحقلية؟
15. يمتد الكربوني من 358.9 إلى 298.9 مليون سنة مضت. في أي عصر تكوّن الغرانيت؟

الجزء الرابع — النسبة الابتدائية والمصدر.

16. ماذا يمثل المقطع، 0.7080؟
17. تكوّن بازلت من المنطقة بنسبة 0.7035. أي الصخرين نسبته الابتدائية أعلى؟
18. لماذا تكون نسب صخور القشرة أعلى من نسب الوشاح؟
19. ماذا توحي النسبة الابتدائية للغرانيت عن الصخر الذي انصهر فصنعه؟
20. لخّص: كم عمر غرانيت فاردن؟

حل

حل المسألة 25.1.

1. البيوتيت ($x = 24.0$).

2. تبلورت من صهارة واحدة، والمعادن التي تتبلور من مصهور واحد تأخذ سترونتيومه بنسبة نظائره نفسها.

3. السترونتيوم-86 مستقر ولا يصنعه أي تفكك: ففي النظام المغلق لا يتغير عدده، فهو مقياس مرجعي ثابت.

4. السترونتيوم-87، الذي يصنعه تفكك الروبيديوم-87؛ أما الروبيديوم-87 فقد تناقص، وبقي السترونتيوم-86 على حاله.

5. خطًا أفقيًا عند $y = 0.7080$: النسبة نفسها، وقيم $x$ مختلفة.

6. $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx 0.004341$.

7. $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx 0.004342$.

8. يتفقان في حدود واحد من 4000. والأول أوثق: فنقطتاه متباعدتان، فيقل أثر تقريب النسب.

9. $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$.

10. $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: وهي القيمة المقيسة تمامًا.

11. $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$.

12. $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$.

13. $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ سنة.

14. نعم: فالغرانيت يقطع الشيست، فهو بحسب مبدأ التقاطع أحدث منه، و310 أقل من 480 مليون سنة.

15. تقع 310 ملايين سنة بين 358.9 و298.9 مليون سنة: أي في الكربوني.

16. نسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ في الصهارة حين تبلور الغرانيت.

17. الغرانيت: $0.7080 > 0.7035$.

18. الروبيديوم يذهب إلى المصهور حين ينصهر الوشاح، ولذلك تركّز في القشرة؛ ولأن الروبيديوم فيها أكثر، صنعت القشرة قدرًا أكبر من السترونتيوم-87.

19. أن الصهارة جاءت، جزئيًا على الأقل، من قشرة قارية منصهرة لا من الوشاح وحده.

20. عمر غرانيت فاردن 310 ملايين سنة.