书籍暂未推出简体中文版——当前显示 العربية 版。

علوم الأرض والفضاء في المرحلة الثانوية · 10–12 年级

1قياس الأرض

قف على شاطئ وراقب سفينة تبتعد نحو عرض البحر. إنها لا تصغر فحسب حتى تتعذر رؤيتها: بل يختفي هيكلها أولًا، كأنها تغرق، ثم الجزء السفلي من بنيتها العلوية، ويكون أعلى صاريها آخر ما يختفي. فالبحر بينك وبين السفينة ليس مستويًا، بل محدّب. وقبل أكثر من اثنين وعشرين قرنًا، حوّل عالم من الإسكندرية ملاحظة مشابهة — طول ظل الظهيرة — إلى قياس لحجم الكوكب كله. ويتتبع هذا الفصل ذلك القياس وما تلاه من قياسات: سلاسل المثلثات التي مدّها المساحون عبر البلدان، والبعثات التي أُرسلت إلى المنطقة القطبية الشمالية وإلى خط الاستواء لمعرفة هل الأرض مفلطحة، وولادة المتر، والأقمار الصناعية التي يُقاس بها الكوكب اليوم.

الأرض كما صوّرها طاقم أبولو 17 في طريقه إلى القمر، في ديسمبر 1972: إفريقيا وشبه الجزيرة العربية وجليد القارة القطبية الجنوبية. الصورة: ناسا (ملك عام).

ما تعرفه من قبل

يُحدَّد موقع مكان على الأرض بعرضه الجغرافي، أي زاويته شمال خط الاستواء أو جنوبه، وبطوله الجغرافي، أي زاويته شرق خط زوال مرجعي أو غربه؛ وتصل خطوط الزوال بين القطبين، وتحيط دوائر العرض بالأرض موازيةً لخط الاستواء (الكتاب 1). وفي وسط متجانس ينتشر الضوء في خطوط مستقيمة، والأشعة التي تبلغ الأرض من الشمس البعيدة جدًا متوازية (كتب الفيزياء). وفي المثلث القائم، جيب الزاوية الحادة هو الضلع المقابل مقسومًا على الوتر، وجيب تمامها هو الضلع المجاور مقسومًا على الوتر، وظلها هو الضلع المقابل مقسومًا على الضلع المجاور (كتب الرياضيات).

1.1 أرض كروية

قبل أن يتمكن أحد من النظر إلى الأرض من الفضاء بزمن طويل، دلّت ملاحظات عدة على أنها كروية.

سفن وراء الأفق. السفينة المبتعدة تختفي من أسفلها إلى أعلاها، في كل اتجاه وفي كل بحر: فسطح البحر منحنٍ في كل مكان.
الظل على القمر. في أثناء خسوف القمر، يقع ظل الأرض على القمر. وحافته دائمًا قوس من دائرة، أيًّا كانت ساعة الليل؛ ولا يُلقي ظلًّا مستديرًا في كل اتجاه إلا الكرة.
النجوم تتغير مع العرض الجغرافي. يرى المسافر المتجه شمالًا نجم القطب يعلو أكثر فوق الأفق، ونجوم السماء الجنوبية تغيب تحته: فأفق المسافر يميل وهو يتحرك على سطح منحنٍ.
الدوران حول العالم والنظر من الفضاء. طافت السفن، ثم الطائرات، حول العالم في كل اتجاه؛ ومنذ ستينيات القرن العشرين صُوّر الكوكب المستدير كله.

لماذا تختفي السفينة من أسفلها إلى أعلاها: لا يرى الراصد إلا ما يقع فوق خط النظر الذي يلامس البحر عند الأفق. وقد بولغ كثيرًا في تصوير الانحناء.

1.2 إراتوستينس يقيس الأرض

كان إراتوستينس القوريني (276–194 ق.م.) أمين مكتبة الإسكندرية. وقد بلغه أن الشمس في سيين، أي أسوان الحالية، في أعالي النيل، تضيء قاع بئر كله عند الظهيرة في يوم الانقلاب الصيفي: فقد كانت عندئذ عمودية تمامًا فوق الرأس. وفي الإسكندرية، في اللحظة نفسها، كان لعمود رأسي ظل قصير: إذ كانت أشعة الشمس تصنع مع الرأسي زاوية تقارب $7.2{}^{\circ}$ ، أي جزءًا من خمسين من الدائرة الكاملة.

استدلال إراتوستينس. في سيين تكون الشمس فوق الرأس تمامًا: فأشعتها تتجه نحو مركز الأرض. وفي الإسكندرية يصنع عمود رأسي، يتجه هو أيضًا نحو المركز، زاوية مع الأشعة. والزاوية عند المركز بين المكانين هي الزاوية نفسها. وقد بولغ في الزاوية: فهي لم تكن إلا 7.2. — استدلال إراتوستينس. في سيين تكون الشمس فوق الرأس تمامًا: فأشعتها تتجه نحو مركز الأرض. وفي الإسكندرية يصنع عمود رأسي، يتجه هو أيضًا نحو المركز، زاوية $\alpha$ مع الأشعة. والزاوية عند المركز بين المكانين هي الزاوية $\alpha$ نفسها. وقد بولغ في الزاوية: فهي لم تكن إلا $7.2{}^{\circ}$ .

قضية 1.1 (علاقة إراتوستينس)

إذا وقع مكانان على خط الزوال نفسه، تفصل بينهما مسافة $d$ ، وكانت أشعة الشمس عند الظهيرة تصنع مع الرأسي زاويتين تختلفان بمقدار $\alpha$ (بالدرجات)، فإن محيط الأرض هو

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

برهان. الشمس بعيدة جدًا حتى إن أشعتها التي تبلغ المكانين متوازية. وفي كل مكان يتجه الرأسي نحو مركز الأرض. وفي الشكل، الشعاع الذي يبلغ العمود ونصف القطر المار بسيين مستقيمان متوازيان، ونصف القطر المار بالإسكندرية يقطعهما كليهما: فالزاوية $\alpha$ بين العمود والشعاع والزاوية عند المركز بين نصفي القطر زاويتان متبادلتان داخليًا، فهما متساويتان. والقوس $d$ هو الكسر نفسه من المحيط الكامل الذي تمثله الزاوية $\alpha$ من الدورة الكاملة: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

طريقة 1.2 (قياس محيط من ظلّين)

اختر مكانين على خط الزوال نفسه (أو قريبًا منه) وقِس المسافة $d$ بينهما في اتجاه الشمال–الجنوب.
عند الظهيرة المحلية من اليوم نفسه، قِس في كل مكان الزاوية بين عمود رأسي وأشعة الشمس: $\tan \theta = s/h$ ، حيث $h$ ارتفاع العمود و $s$ طول ظله. لا تنظر أبدًا إلى الشمس نفسها: فالزاوية تُقرأ من الظل وحده.
خذ الفرق $\alpha$ بين الزاويتين وطبّق $C = (360/\alpha)\,d$ .

مثال 1.3 (أعداد إراتوستينس)

اعتمد إراتوستينس للمسافة من الإسكندرية إلى سيين 5000 ستاديون، وهي وحدة طول يونانية. ومع $\alpha = 1/50$ من الدائرة،

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ ستاديون}.

فكم كان طول الستاديون؟ ما زال المؤرخون يختلفون في ذلك. فإذا كان $157.2\,\mathrm{m}$ كان $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ؛ وإذا كان $166.7\,\mathrm{m}$ كان $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . أما المحيط الحقيقي لخط الزوال فهو $40\,008\,\mathrm{km}$ : وفي الحالتين لم يبتعد إراتوستينس إلا ببضعة في المئة.

ملاحظة 1.4 (ما افتُرض)

افترض إراتوستينس أن الأرض كروية، وأن الشمس بعيدة بما يكفي لتكون أشعتها متوازية، وأن سيين تقع على المدار تمامًا (حيث يمكن أن تكون الشمس فوق الرأس)، وأن سيين تقع جنوب الإسكندرية تمامًا. وكان كل ذلك صحيحًا تقريبًا لا تمامًا: فأسوان تقع شرق الإسكندرية بنحو $3{}^{\circ}$ من الطول الجغرافي. والمهم هو مركّبة المسافة في اتجاه الشمال–الجنوب، أي المركّبة على طول خط الزوال.

1.3 التثليث

قياس مسافة طويلة على الأرض بسلسلة أو بقضيب عمل بطيء، وهو عبر الأنهار والغابات والجبال مستحيل. أما الزوايا فيمكن قياسها بدقة كبيرة بمنظار مثبت على دائرة مدرّجة، يُوجَّه تباعًا نحو إشارتين بعيدتين. ومنذ القرن الثامن عشر استعمل المساحون ذلك لقياس بلدان بأكملها.

تعريف 1.5 (الجيوديسيا)

الجيوديسيا علم يقيس شكل الأرض وحجمها ومواقع النقاط على سطحها، ويتابع تغيرها مع الزمن.

تعريف 1.6 (التثليث)

التثليث طريقة تحدد مواقع نقاط بعيدة بسلسلة من المثلثات: يُقاس ضلع واحد، هو خط القاعدة، على الأرض بعناية كبيرة؛ وتُقاس كل زوايا المثلثات من رؤوسها؛ ثم تُحسب كل الأضلاع الأخرى.

يستند الحساب إلى علاقة واحدة بين أضلاع أي مثلث وزواياه. في مثلث $ABC$ ، نرمز بالرموز $a$ و $b$ و $c$ إلى الأضلاع المقابلة للرؤوس $A$ و $B$ و $C$ ، ونرمز بالرموز $A$ و $B$ و $C$ أيضًا إلى الزوايا عند هذه الرؤوس.

قضية 1.7 (قانون الجيوب)

في أي مثلث $ABC$ ،

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

برهان. ارسم الارتفاع النازل من $C$ ، الذي يلاقي المستقيم $AB$ في $H$ (اللوحة الثانية من الشكل أدناه)؛ ولنكتب $h = CH$ . في المثلث القائم $AHC$ ، $\sin A = h/b$ ، إذن $h = b \sin A$ . وفي المثلث القائم $BHC$ ، $\sin B = h/a$ ، إذن $h = a \sin B$ . ومنه $b \sin A = a \sin B$ ، أي $a/\sin A = b/\sin B$ . (وإذا كانت الزاوية عند $B$ منفرجة، وقعت $H$ وراء $B$ وكانت زاوية المثلث القائم عند $B$ هي $180{}^{\circ} - B$ ، ولها الجيب نفسه.) والاستدلال نفسه مع الارتفاع النازل من $A$ يعطي $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

في اليسار: سلسلة مثلثات ممتدة على طول خط زوال انطلاقًا من خط قاعدة مقيس AB؛ ويشير القوسان إلى اثنتين من الزوايا الكثيرة التي قيست بالأداة. وفي اليمين: الارتفاع h النازل من C، مكتوبًا بطريقتين، يعطي قانون الجيوب. — في اليسار: سلسلة مثلثات ممتدة على طول خط زوال انطلاقًا من خط قاعدة مقيس $AB$ ؛ ويشير القوسان إلى اثنتين من الزوايا الكثيرة التي قيست بالأداة. وفي اليمين: الارتفاع $h$ النازل من $C$ ، مكتوبًا بطريقتين، يعطي قانون الجيوب.

طريقة 1.8 (حساب سلسلة تثليث)

في المثلث الأول $ABC$ ، يُقاس خط القاعدة $c = AB$ والزاويتان عند $A$ و $B$ ؛ والزاوية الثالثة هي $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (وقياسها يتحقق من الزاويتين الأخريين).
يعطي قانون الجيوب الضلعين الآخرين: $b = AC = c \sin B / \sin C$ و $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
يصبح الضلع المحسوب الضلعَ المعلوم في المثلث التالي، وهكذا على طول السلسلة.
وأخيرًا، تُحسب مركّبة كل ضلع في اتجاه الشمال–الجنوب بجيب تمام زاويته مع خط الزوال، ثم تُجمع المركّبات.

مثال 1.9 (مثلث واحد)

يُقاس خط قاعدة $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ ؛ ومن $A$ تُرى الإشارة $C$ على زاوية $70{}^{\circ}$ من اتجاه $B$ ، ومن $B$ على زاوية $60{}^{\circ}$ من اتجاه $A$ . إذن $C = 50{}^{\circ}$ ، ومن ثم

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

لم تُقطع مشيًا أي مسافة غير خط القاعدة.

مثال 1.10 (خط زوال المتر)

في مارس 1791 عُرّف المتر بأنه جزء من عشرة ملايين من المسافة بين القطب وخط الاستواء على طول خط زوال. ولإيجاد تلك المسافة، قاس فلكيان، هما جان باتيست ديلامبر وبيير ميشان، بالتثليث قوس خط الزوال من دنكرك، على بحر الشمال، إلى برشلونة، على البحر المتوسط — في عمل استغرق قرابة سبع سنين، تولى فيه ديلامبر الثلثين الشماليين، وميشان الثلث الجنوبي. ويختلف عرضا المدينتين بمقدار $9.646{}^{\circ}$ ؛ وعلى الإهليلجي الحديث يبلغ طول القوس بين دائرتي عرضهما $1072.2\,\mathrm{km}$ . ومعرفة طول قوس وفرق العرض بين طرفيه تعطي طول الدرجة الواحدة؛ ثم يعطي شكل الأرض ربع خط الزوال كله. وصُنعت مقاييس بلاتينية للمتر الجديد عام 1799 وحُفظت في الأرشيف الوطني.

لمحة تاريخية — الدائرة المكرِّرة

قيست زوايا خط زوال المتر بالدائرة المكرِّرة، وهي أداة صنعها جان شارل دو بوردا: منظاران على دائرة مدرّجة، يوجَّهان بالتناوب نحو إشارتين مرات كثيرة، فتنقسم أخطاء قراءة التدريج على عدد مرات التكرار.

دائرة مكرِّرة منصوبة لقياس الزوايا الأفقية، كما نُقشت في تقرير ديلامبر عن القياس (1807). ملك عام (ويكيميديا كومنز).

1.4 أرض مفلطحة

نحو عام 1687، استنتج إسحاق نيوتن من نظريته في الجاذبية أن الأرض الدوّارة لا بد أن تكون مجسمًا مفلطحًا عند القطبين منتفخًا عند خط الاستواء. لكن قياسات درجات خط الزوال التي أجراها فلكيو مرصد باريس بدت تقول العكس: أرضًا مستطيلة عند القطبين. وحُسمت المسألة بقياس طول درجة واحدة من العرض الجغرافي في مكانين متباعدين قدر الإمكان.

أرض مفلطحة، مع مبالغة كبيرة في التفلطح (فالتفلطح الحقيقي أصغر من أن يُرى بهذا المقياس). الرأسي في مكان ما عمودي على السطح؛ ولا يتجه تمامًا نحو المركز. والعرض الجغرافي للمكان هو الزاوية بين رأسيّه ومستوي خط الاستواء. — أرض مفلطحة، مع مبالغة كبيرة في التفلطح (فالتفلطح الحقيقي أصغر من أن يُرى بهذا المقياس). الرأسي في مكان ما عمودي على السطح؛ ولا يتجه تمامًا نحو المركز. والعرض الجغرافي $\varphi$ للمكان هو الزاوية بين رأسيّه ومستوي خط الاستواء.

يُقاس العرض الجغرافي من النجوم: فهو الزاوية بين الرأسي المحلي ومستوي خط الاستواء. وعلى أرض مفلطحة يكون السطح قرب القطبين أقل انحناءً منه قرب خط الاستواء. وحيث يكون السطح أقل انحناءً، يجب أن يُقطع عليه مسافة أطول كي يدور الرأسي درجة واحدة: فدرجة العرض أطول قرب القطبين.

لمحة تاريخية — لابلاند والبيرو

في عام 1735 أرسلت أكاديمية العلوم في باريس بعثة إلى خط الاستواء، في ولاية البيرو الإسبانية (الإكوادور اليوم)؛ وعملت هناك تسع سنين، حتى 1744. وفي 1736–1737 قاست بعثة ثانية، بقيادة بيير لوي مورو دو موبرتوي ومعه الرياضي الشاب ألكسيس كليرو، درجة من خط الزوال في لابلاند، قرب الدائرة القطبية الشمالية. فجاءت درجة لابلاند $57\,437$ توازًا (وحدة الطول القديمة؛ نحو $111.95\,\mathrm{km}$ )، ودرجة البيرو $56\,737$ توازًا فقط: فالدرجة أطول قرب القطب، وكان نيوتن على حق. وكان العددان يقتضيان تفلطحًا يقارب $1/205$ — وهو كبير أكثر مما ينبغي، كما أظهرت المسوح اللاحقة، لكن مسألة الإشارة حُسمت.

طول درجة واحدة من العرض على الإهليلجي المرجعي في ، من خط الاستواء إلى القطب. محسوب من إهليلجي WGS 84. — طول درجة واحدة من العرض على الإهليلجي المرجعي في التعريف 1.11، من خط الاستواء إلى القطب. محسوب من إهليلجي WGS 84.

تعريف 1.11 (الإهليلجي المرجعي والتفلطح)

الإهليلجي المرجعي سطح يُحصل عليه بتدوير قطع ناقص حول محوره الأصغر، ويُختار ليطابق شكل الأرض بأقرب ما يمكن. ويُسمّى نصف قطره الاستوائي $a$ ، ونصف قطره القطبي $b$ ، أما تفلطحه فهو

f = \frac{a-b}{a}.

قضية 1.12 (أبعاد الأرض)

للإهليلجي المرجعي الذي تستعمله أنظمة التحديد بالأقمار الصناعية (WGS 84)

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

فنصف القطر القطبي أقصر من نصف القطر الاستوائي بمقدار $21.4\,\mathrm{km}$ . وطول خط الاستواء $40\,075\,\mathrm{km}$ ، وطول خط الزوال، من قطب إلى قطب ذهابًا وإيابًا، $40\,008\,\mathrm{km}$ ؛ أما ربع خط الزوال، من خط الاستواء إلى أحد القطبين، فطوله $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . وطول درجة العرض الواحدة $110.574\,\mathrm{km}$ عند خط الاستواء و $111.694\,\mathrm{km}$ عند القطبين. أما درجة الطول فطولها $111.32\,\mathrm{km}$ على خط الاستواء، وتقصر نحو القطبين بما يقارب $\cos \varphi$ .

مثال 1.13 (درجة من الطول الجغرافي)

دائرة العرض عند العرض $\varphi$ دائرة نصف قطرها هو بعدها عن المحور، أي نحو $R \cos \varphi$ . وعند $60{}^{\circ}$ ش يبلغ محيطها نحو نصف محيط خط الاستواء، وتبلغ درجة الطول نحو $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (ويعطي الإهليلجي $55.80\,\mathrm{km}$ ).

ملاحظة 1.14 (ما مدى كروية الأرض؟)

التفلطح $1/298$ صغير. فعلى مجسم كرة أرضية قطره $30\,\mathrm{cm}$ ، لا يقصر القطر القطبي عن القطر الاستوائي إلا بمقدار $1\,\mathrm{mm}$ — وهذا غير مرئي. وأعمق خندق محيطي، الذي يبلغ نحو $11\,\mathrm{km}$ تحت مستوى سطح البحر، يصبح خدشًا عمقه نحو ربع مليمتر. ففي معظم الأغراض تكون الأرض كرة نصف قطرها المتوسط $6371\,\mathrm{km}$ ؛ أما للمواقع الدقيقة، فلا بد من الإهليلجي.

1.5 الجيوديسيا اليوم

مسّاح في أثناء عمله بأداة حديثة تقيس الزوايا، وتقيس المسافات أيضًا بحزمة من الضوء؛ وتنتصب إشارة مساحة على التلة البعيدة.

حلّت الأقمار الصناعية محل التثليثات الكبرى في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. فجهاز استقبال على الأرض يلتقط إشارات أقمار صناعية عدة مواقعها معلومة في كل لحظة، ويحسب موقعه هو من أزمنة انتقال الإشارات (الكتاب 1). وتقيس شبكات من أجهزة الاستقبال الدائمة، المثبتة في الصخر الأساسي في أنحاء العالم كله، مواقعها باستمرار. وهي تحدد الإطار المرجعي الذي تُعطى فيه كل خريطة وكل موقع بالأقمار الصناعية، وهي تتحرك: فتُظهر صفائح الغلاف الصخري تنجرف ببضعة سنتيمترات في السنة (الفصل 13).

في الميدان — قياس الأرض اليوم

يثبّت علماء الجيوديسيا هوائيات على أعمدة خرسانية مغروسة في الصخر الأساسي، بعيدًا عن المباني والأشجار، ويسجلون مواقعها كل بضع ثوانٍ طوال سنوات. ويجمعون هذه القياسات مع قياسات من تلسكوبات راديوية ترصد مجرات بعيدة جدًا، ومع حزم ليزر تُطلق نحو أقمار صناعية تحمل مرايا. وما زال المساحون في مواقع البناء وفي الريف يقيسون الزوايا والمسافات بأدوات على حوامل ثلاثية، ويربطونها بإطار الأقمار الصناعية.

1.6 تمارين

تمرين 1.1 ★

اذكر ثلاث ملاحظات ممكنة دون مغادرة سطح الأرض تدل على أن الأرض كروية. وفسّر لكل منها، في جملة واحدة، لماذا لا يمكن أن تنتج عن أرض مسطحة.

حل

حل التمرين 1.1.

تختفي السفينة بدءًا من هيكلها: فلو كان البحر مستويًا لصغرت فحسب وبقيت كلها مرئية. وظل الأرض على القمر في الخسوف قوس من دائرة دائمًا: أما القرص المسطح فيلقي ظلًّا مستطيلًا حين يُرى من حافته. وفي السفر شمالًا يعلو نجم القطب فوق الأفق: ولو كانت الأرض مسطحة لبقي ارتفاعه ثابتًا تقريبًا.

تمرين 1.2 ★

ما الجيوديسيا؟ وما التثليث، وما الطول الوحيد الذي يجب أن يُقاس على الأرض في عملية تثليث؟

حل

حل التمرين 1.2.

الجيوديسيا تقيس شكل الأرض وحجمها ومواقع النقاط عليها، وتغيرها مع الزمن. والتثليث يحدد مواقع النقاط بسلسلة من المثلثات تُقاس كل زواياها؛ ولا يُقاس على الأرض إلا طول واحد، هو خط القاعدة.

تمرين 1.3 ★

وجد إراتوستينس أن الزاوية بين أشعة الشمس والرأسي في الإسكندرية كانت $1/50$ من الدائرة الكاملة حين كانت الشمس فوق الرأس في سيين، على بعد 5000 ستاديون. احسب المحيط بالستاديون، ثم بالكيلومترات، باعتبار الستاديون $157.2\,\mathrm{m}$ .

حل

حل التمرين 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ ستاديون؛ $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.4 ★

يبلغ طول درجة العرض الواحدة نحو $111\,\mathrm{km}$ . فما طول دقيقة واحدة من العرض ( $1/60$ من الدرجة)؟ وما الطول التقريبي لخط الزوال من خط الاستواء إلى القطب؟

حل

حل التمرين 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . وربع خط الزوال: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.5 ★

باستعمال نصف القطر الاستوائي $6378.137\,\mathrm{km}$ ونصف القطر القطبي $6356.752\,\mathrm{km}$ ، احسب الفرق بين نصفي القطر والتفلطح $f = (a-b)/a$ . واكتب $f$ على صورة واحد مقسوم على عدد صحيح.

حل

حل التمرين 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

تمرين 1.6 ★★

مدينتان على خط الزوال نفسه، تفصل بينهما $500\,\mathrm{km}$ . وعند الظهيرة من اليوم نفسه، يلقي عمود رأسي ارتفاعه $1.00\,\mathrm{m}$ ظلًّا طوله $0.364\,\mathrm{m}$ في المدينة الجنوبية و $0.456\,\mathrm{m}$ في المدينة الشمالية. احسب الزاوية بين أشعة الشمس والرأسي في كل مدينة، ثم محيط الأرض.

حل

حل التمرين 1.6.

في الجنوب: $\tan\theta_1 = 0.364$ ، $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . وفي الشمال: $\tan\theta_2 = 0.456$ ، $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ ، إذن $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.7 ★★

في مثلث $ABC$ ، خط القاعدة $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ ، والزاوية عند $A$ $62{}^{\circ}$ والزاوية عند $B$ $71{}^{\circ}$ . احسب الزاوية عند $C$ والطولين $AC$ و $BC$ .

حل

حل التمرين 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.8 ★★

تطير طائرة غربًا تمامًا على طول دائرة العرض $60{}^{\circ}$ ش، من خط الطول $10{}^{\circ}$ ق إلى خط الطول $20{}^{\circ}$ غ. باستعمال طول لدرجة الطول قدره $111.3 \cos \varphi$ كيلومتر، احسب المسافة التي تقطعها. وكم يكون طول التغير نفسه في الطول الجغرافي على خط الاستواء؟

حل

حل التمرين 1.8.

تغيّر الطول الجغرافي هو $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . وعند $60{}^{\circ}$ ش تبلغ الدرجة $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ ، إذن المسافة $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . وعلى خط الاستواء: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ ، أي ضعف المسافة.

تمرين 1.9 ★★

عين راصد على ارتفاع $h = 2\,\mathrm{m}$ فوق بحر هادئ. يلامس خط النظر إلى الأفق البحر في $T$ ؛ ومركز الأرض $O$ ، والعين $E$ . فسّر لماذا يكون للمثلث $OTE$ زاوية قائمة عند $T$ ، ثم استعمل مبرهنة فيثاغورس مع $R = 6371\,\mathrm{km}$ لتبيّن أن المسافة إلى الأفق تقارب $\sqrt{2Rh}$ ، واحسبها.

حل

حل التمرين 1.9.

يلامس خط النظر البحر في $T$ : والمماس لدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس، فالزاوية عند $T$ قائمة. وحسب فيثاغورس: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ ، إذن $d^2 = 2Rh + h^2$ ؛ و $h$ ضئيل جدًا مقارنةً بالمقدار $R$ ، إذن $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ ، أي نحو $5\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.10 ★★

اقرأ منحنى أطوال الدرجات. بين أي دائرتي عرض يتغير طول الدرجة أسرع ما يكون؟ وفسّر في جملتين لماذا تكون درجة العرض أطول قرب القطبين منها قرب خط الاستواء.

حل

حل التمرين 1.10.

يكون المنحنى أشد انحدارًا في العروض الوسطى، من نحو $30{}^{\circ}$ إلى $60{}^{\circ}$ ، ومسطحًا قرب خط الاستواء والقطب. وعلى أرض مفلطحة يكون السطح أقل انحناءً قرب القطبين؛ وكلما قل انحناء السطح، طالت المسافة التي يجب قطعها كي يدور الرأسي (ومن ثم العرض الجغرافي) درجة واحدة.

تمرين 1.11 ★★

يمتد قوس خط الزوال من دنكرك إلى برشلونة على $9.646{}^{\circ}$ من العرض، وطوله $1072.2\,\mathrm{km}$ . احسب متوسط طول الدرجة على طوله. ولو كان لكل درجة هذا الطول، فكم يكون طول ربع خط الزوال؟ قارن بالقيمة $10\,002.0\,\mathrm{km}$ وفسّر الفرق الصغير.

حل

حل التمرين 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ للدرجة؛ $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ ، أي أكثر من ربع خط الزوال الحقيقي بمقدار $2\,\mathrm{km}$ . فمركز القوس قريب من $46{}^{\circ}$ ، حيث الدرجة أطول قليلًا من متوسط الدرجة بين خط الاستواء والقطب ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

تمرين 1.12 ★★★

قاس إراتوستينس زاوية قدرها $7.2{}^{\circ}$ ومسافة قدرها 5000 ستاديون. لو كانت زاويته خاطئة بمقدار $0.1{}^{\circ}$ (أصغر مما ينبغي)، فبأي نسبة مئوية يكون محيطه خاطئًا، وفي أي اتجاه؟ وأي قياسيه تظنه الأقل دقة؟

حل

حل التمرين 1.12.

مع $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ ستاديون بدلًا من $250\,000$ : أي أكبر مما ينبغي بنحو 1.4 % (فالزاوية الأصغر للمسافة نفسها تعني أرضًا أكبر). أما المسافة، التي قدّرها سعاة يقطعونها مشيًا على طول النيل، فكانت أقل دقة بكثير من الزاوية.

تمرين 1.13 ★★★

سلسلة من مثلثين: في $ABC$ ، $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ ، $A = 55{}^{\circ}$ ، $B = 75{}^{\circ}$ . وفي المثلث التالي $ACD$ ، المبني على الضلع $AC$ ، الزاوية عند $A$ هي $50{}^{\circ}$ والزاوية عند $C$ هي $68{}^{\circ}$ . احسب $AC$ ، ثم $AD$ .

حل

حل التمرين 1.13.

في $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ ، $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . وفي $ACD$ : الزاوية عند $D$ هي $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ ، و $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

تمرين 1.14 ★★★

عند أي عرض جغرافي يكون طول درجة الطول نصف طولها على خط الاستواء؟ وعند أي عرض يكون عُشر طولها؟ وفسّر لماذا لا يتوقف الجوابان على حجم الأرض.

حل

حل التمرين 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ يعطي $\varphi = 60{}^{\circ}$ ؛ و $\cos\varphi = 0.1$ يعطي $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . فدرجة الطول عند العرض $\varphi$ هي درجة خط الاستواء مضروبة في $\cos\varphi$ : والنسبة لا تتوقف إلا على الزاوية، لا على نصف القطر.

تمرين 1.15 ★★★

استعمل قيم الإهليلجي: طول درجة العرض $110.574\,\mathrm{km}$ عند خط الاستواء و $111.694\,\mathrm{km}$ عند القطب. وعلى كرة لها نصف القطر المتوسط نفسه، يكون طول الدرجة $111.195\,\mathrm{km}$ في كل مكان. فبكم مترًا يخطئ مسّاح افترض أن الأرض كرة على درجة واحدة عند خط الاستواء، وعلى درجة واحدة عند القطب؟ ولماذا يجب أن تُحسب على الإهليلجي خريطةٌ تعطي المواقع بدقة المتر؟

حل

حل التمرين 1.15.

عند خط الاستواء: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ؛ وعند القطب: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . فأخطاء من مئات الأمتار في كل درجة، تتراكم درجة بعد درجة، أكبر بكثير من المتر: ولا بد أن تعتمد المواقع المحوّلة من دوائر العرض وخطوط الطول على الإهليلجي.

1.7 مسألة: المتر وخط الزوال

مسألة 1.1

مسألة نهاية الأسبوع — من ظل إراتوستينس إلى طول المتر الأول

يعيد طالب تتبع تاريخ قياس الأرض بأعداد حديثة. تقع أسوان، أي سيين القديمة، على العرض $24.09{}^{\circ}$ ش والإسكندرية على $31.20{}^{\circ}$ ش؛ وعلى الإهليلجي الحديث يبلغ طول قوس خط الزوال بين دائرتي عرضهما $788\,\mathrm{km}$ . وعلى الإهليلجي، يبلغ طول درجة العرض الواحدة $110.57\,\mathrm{km}$ عند خط الاستواء، و $111.13\,\mathrm{km}$ عند $45{}^{\circ}$ ، و $111.51\,\mathrm{km}$ عند $66{}^{\circ}$ ، ويبلغ ربع خط الزوال $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

الجزء الأول — إراتوستينس من جديد.

احسب فرق العرض الجغرافي بين أسوان والإسكندرية.
ما الكسر الذي يمثله من الدائرة الكاملة؟ قارنه بالكسر $1/50$ عند إراتوستينس.
احسب محيط الأرض الذي تعطيه طريقة إراتوستينس بهذه الأعداد الحديثة.
لا تقع المدينتان على خط الزوال نفسه: فأسوان تقع شرق الإسكندرية بنحو $3{}^{\circ}$ من الطول الجغرافي. فأي مسافة يجب أن تُستعمل في الطريقة: المسافة المستقيمة بين المدينتين أم قوس خط الزوال بين دائرتي عرضهما؟ ولماذا؟
لماذا يجب أن يُقاس الظلّان في اليوم نفسه، عند الظهيرة المحلية؟

الجزء الثاني — تثليث صغير. يُقاس خط قاعدة $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ . ومن $A$ تُرى الإشارة $C$ على زاوية $58{}^{\circ}$ من $B$ ؛ ومن $B$ على زاوية $66{}^{\circ}$ من $A$ . وفي المثلث التالي $ACD$ ، الزاوية عند $A$ هي $47{}^{\circ}$ والزاوية عند $C$ هي $75{}^{\circ}$ . ويتجه الضلع $AD$ بزاوية $8{}^{\circ}$ شرق الشمال.

احسب الزاوية عند $C$ في المثلث $ABC$ .
احسب الضلع $AC$ .
احسب الضلع $BC$ .
احسب الزاوية عند $D$ في المثلث $ACD$ ، ثم الضلع $AD$ .
احسب المسافة بين $A$ و $D$ في اتجاه الشمال–الجنوب.
باستعمال طول الدرجة عند $45{}^{\circ}$ ، احسب فرق العرض الجغرافي بين $A$ و $D$ ، بالدرجات وبدقائق القوس.

الجزء الثالث — أرض مفلطحة.

بكم مترًا تزيد درجة العرض عند $66{}^{\circ}$ على درجة العرض عند خط الاستواء؟
فسّر ما يدل عليه هذا الفرق بشأن شكل الأرض.
على الإهليلجي، $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ و $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . احسب $a - b$ والتفلطح.
فسّر لماذا لا يتجه خيط الشاقول، على أرض مفلطحة، في مكان عرضه $45{}^{\circ}$ نحو مركز الأرض تمامًا.

الجزء الرابع — المتر الأول.

بحسب تعريف 1791، كم يجب أن يكون طول ربع خط الزوال بالأمتار؟
صُنع المتر البلاتيني لعام 1799 انطلاقًا من قيمة مقيسة لخط الزوال. فإذا كان ربع خط الزوال في الحقيقة $10\,001.966\,\mathrm{km}$ ، فكم يبلغ جزء من عشرة ملايين منه؟
هل كان متر 1799 أطول أم أقصر من تعريفه نفسه؟ وبأي كسر؟
نسخ القضيب البلاتيني بأمانة الطول الذي حُسب في تسعينيات القرن الثامن عشر. فهل كان ربع خط الزوال المحسوب آنذاك أطول أم أقصر مما ينبغي؟ فسّر.
بكم مليمترًا كان المتر الأول أقصر من جزء من عشرة ملايين من ربع خط الزوال الحقيقي؟ قارن بسماكة ورقة، وهي نحو $0.1\,\mathrm{mm}$ .

حل

حل المسألة 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ ، وهو قريب جدًا من الكسر $1/50$ عند إراتوستينس.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. قوس خط الزوال بين دائرتي العرض: ففرق زاويتي الظهيرة هو فرق العرض الجغرافي، الذي لا يقيس إلا البعد بين المكانين في اتجاه الشمال–الجنوب؛ ولا دور لمركّبة المسافة في اتجاه الشرق–الغرب.

5. عند الظهيرة المحلية تكون الشمس في مستوي خط الزوال، وهو نفسه للمكانين؛ وفي اليوم نفسه يكون لها الموقع نفسه بين النجوم، فلا تختلف الزاويتان إلا بسبب انحناء الأرض.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. الزاوية عند $D$ هي $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ؛ $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ ، أي $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ دقيقة قوسية.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. يدور الرأسي ببطء أكبر مع المسافة قرب القطب: فالسطح هناك أقل انحناءً. إذن الأرض مفلطحة عند القطبين ومنتفخة عند خط الاستواء.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. خيط الشاقول عمودي على سطح الإهليلجي. وفي القطع الناقص لا يمر العمودي على المنحني بالمركز إلا عند خط الاستواء وعند القطبين؛ أما عند $45{}^{\circ}$ فيقطع المحور تحت المركز.

16. $10\,000\,000$ متر، أي $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. أقصر مما ينبغي: فالجزء الحقيقي من عشرة ملايين يساوي $1.0001966$ من متر 1799، إذن متر 1799 أقصر بنحو $1.97 \times 10^{-4}$ من طوله، أي 0.02 %.

19. أقصر مما ينبغي. فالقضيب جزء من عشرة ملايين من ربع خط الزوال كما حُسب في تسعينيات القرن الثامن عشر؛ وبما أن القضيب أقصر من جزء من عشرة ملايين من ربع خط الزوال الحقيقي، فقد كان ربع خط الزوال المحسوب أقصر من الحقيقي.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ م: كان المتر الأول أقصر مما ينبغي بنحو $0.2\,\mathrm{mm}$ — أي سماكة ورقتين تقريبًا على طول متر، وهي دقة مدهشة لمسح أُجري بالمناظير والزوايا عبر بلد بأكمله.

本章定义的术语

在术语表中查看全部 957 个术语