8أحواض التصريف والأنهار والفيضانات

قد يرتفع نهر بعد يومين من توقف المطر، عند بلدة لم يسقط فيها مطر قط. فالماء الذي يغمر شوارعها سقط قبل ذلك، على تلال بعيدة في أعلى المجرى؛ وانحدر على سفوحها إلى الجداول، والتقت الجداول في النهر الذي جلبه، دفعة واحدة، إلى البلدة. ولفهم فيضان، يجب أن ننظر إلى ما وراء النهر، إلى المساحة كلها التي تغذيه، وأن نتتبع الماء عبرها. يعرّف هذا الفصل تلك المساحة، حوض التصريف؛ ويقيس ما يحمله النهر، تصريفه؛ ويتتبع فيضانًا وهو يمر بنقطة من النهر؛ ويبيّن كيف يخبرنا سجل طويل من الفيضانات بعدد المرات التي يعود فيها فيضان معين.

ما تعرفه من قبل

المطر الذي يبلغ الأرض يتسرب فيها، أو يجري على سطحها، أو يتبخر؛ والدورة المائية تعيده إلى البحر (كتب الفيزياء). ويتسرب الماء في الصخور النفوذة ويملؤها تحت منسوب المياه الجوفية، مكوّنًا طبقات حاملة للمياه تغذي الينابيع والأنهار (الكتاب 1، الصف 6). ويتعرج النهر في منعطفات عبر سهله الفيضي المنبسط، الذي يغطيه حين يفيض (الكتاب 1، الصف 5). وتصل خطوط الكنتور بين نقاط متساوية الارتفاع؛ وتلال فاردن هي المنطقة المرسومة على خرائط هذه السلسلة (الكتاب 1، الصفان 2 و9).

السلامة

ماء الفيضان أخطر بكثير مما يبدو. فنحو $15\,\mathrm{cm}$ من الماء السريع الجريان قد تُسقط شخصًا بالغًا، ونحو $30\,\mathrm{cm}$ قد تجرف سيارة؛ والطريق تحته ربما انهار. لا تمشِ أبدًا في ماء الفيضان ولا تقد سيارتك فيه: استدر واسلك طريقًا آخر.

8.1 حوض التصريف

كل قطرة مطر لا تتبخر ولا تتسرب عميقًا تجري نحو الأسفل. فهي تتبع أشد انحدار للأرض، وتنضم إلى مسيل، ثم إلى جدول، وتلتقي الجداول في أنهار. والأرض كلها التي ينتهي ماؤها في النهر نفسه تكوّن وحدة واحدة.

تعريف 8.1 (حوض التصريف؛ خط تقسيم المياه)

حوض التصريف لنقطة من نهر هو المساحة كلها من الأرض التي يجري ماؤها السطحي إلى النهر في أعلى تلك النقطة ويمر بها. وخط تقسيم المياه هو الخط الذي يفصل بين حوضَي تصريف متجاورين: يتبع قمم الأرض، والمطر الساقط على أي من جانبيه يجري إلى أنهار مختلفة.

يُعرَّف الحوض دائمًا لنقطة من النهر، هي مخرجه: فحوض النهر عند بلوغه البحر هو الأكبر، ولكل نقطة في أعلى المجرى حوض أصغر داخله. وقطرتان تسقطان على بعد متر واحدة من الأخرى، على جانبي خط تقسيم، قد تنتهيان في نهرين مختلفين بل في محيطين مختلفين.

حوض نهر فاردن

يجد الحاسوب حوض التصريف من خريطة ارتفاعات في خطوات قليلة. فتُقسم الخريطة إلى مربعات صغيرة، طول ضلعها هنا $50\,\mathrm{m}$. ولكل مربع، ينظر الحاسوب في جيرانه الثمانية ويرسل الماء إلى الجار الذي يُبلغ بأشد انحدار نازل. (وحيث لا يكون لمنخفض صغير جار أدنى، يُملأ أولًا حتى المستوى الذي يفيض عنده، كما تفعل البركة.) واتباع هذه الخطوات من مربع إلى مربع يرسم مسار قطرة من أي مكان على الخريطة. والمربعات التي تبلغ قطراتها النهر تكوّن الحوض.

يغطي الحوض $66\,\mathrm{km}^{2}$ من مساحة الخريطة البالغة $80\,\mathrm{km}^{2}$، أي نحو أربعة أخماسها. وفي الشمال يتبع خط التقسيم قمم التلال ويمر فوق ذراها؛ ووراءها تنحدر الأرض بعيدًا عن النهر ويجري ماؤها إلى وادٍ آخر. وفي الركن الجنوبي الغربي تصرف مساحة صغيرة ماءها أيضًا خارج الخريطة. والنهر نفسه يدخل الخريطة من الغرب، فحوضه الكامل أكبر: إذ يشمل أيضًا الأرض الواقعة في أعلى المجرى، وراء حافة الخريطة.

أكبر الأنهار

تُقارن الأنهار بمساحة أحواضها وبالماء الذي تحمله. وأكبر نهر في العالم بفارق كبير هو الأمازون. أما المسيسيبي، أكبر أنهار الولايات المتحدة، فيصرّف نحو $1\,150\,000$ ميل مربع، أي نحو 2.98 مليون $\mathrm{km}^{2}$، من الولايات المتحدة وكندا.

8.2 التصريف

تعريف 8.2 (التصريف)

التصريف لنهر عند نقطة هو حجم الماء الذي يعبر مقطعًا عرضيًا للنهر في ثانية واحدة. ويُقاس بالأمتار المكعبة في الثانية، $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

تصريف قدره $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ هو ألف لتر في كل ثانية، أو $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ في اليوم. ويجري الماء أسرع ما يكون قرب السطح في وسط المجرى وأبطأ ما يكون على امتداد قاعه وضفتيه، حيث يحتك بهما؛ والسرعة المتوسطة هي السرعة المتوسطة على المقطع العرضي كله.

قضية 8.3 (التصريف والسرعة والمقطع العرضي)

تصريف النهر $Q$ هو جداء السرعة المتوسطة $v$ للماء ومساحة $A$ المقطع العرضي المبلول:

$$Q = v\,A.$$

نهر مقطعه العرضي $50\,\mathrm{m}^{2}$ يجري بسرعة متوسطة قدرها $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ يحمل $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. وفي الفيضان يكبر العاملان كلاهما: يعمق الماء ويتسع، فيكبر المقطع العرضي، ويجري أسرع.

قياس التصريف

لما كانت السرعة تتغير عبر النهر، فإنها تُقاس في عدة نقاط. فيُقسم النهر إلى شرائح رأسية؛ وفي كل منها يُقاس العمق والسرعة، وتُجمع تصريفات الشرائح.

طريقة 8.4 (طريقة السرعة والمساحة)

1. مُدّ شريط قياس عبر النهر واختر عليه خطوطًا رأسية بفواصل منتظمة $w$.
2. عند كل خط رأسي، قِس العمق $d$ والسرعة المتوسطة $v$ للماء على ذلك العمق بمقياس التيار.
3. يمثل كل خط رأسي شريحة عرضها $w$ ومساحتها $w\,d$؛ وتصريفها $v\,w\,d$.
4. اجمع تصريفات الشرائح كلها: $Q = \sum v\,w\,d$. والمقطع العرضي $A = \sum w\,d$ والسرعة المتوسطة $Q/A$.

مثال 8.5 (قياس التصريف)

في جدول الشكل، مساحات الشرائح الخمس، وعرض كل منها $2\,\mathrm{m}$، هي $2 \times 0.4 = 0.8$ و$2.0$ و$2.8$ و$2.2$ و$1.0\,\mathrm{m}^{2}$: فالمقطع العرضي $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. وتصريفاتها $0.3 \times 0.8 = 0.24$ و$0.6 \times 2.0 = 1.20$ و$0.8 \times 2.8 = 2.24$ و$0.7 \times 2.2 = 1.54$ و$0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، فالجدول يحمل $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. والسرعة المتوسطة $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي أقل من $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في وسط الجدول.

قياس التصريف يستغرق وقتًا ولا يمكن إجراؤه باستمرار. لذلك تسجل محطة القياس منسوب الماء، دون انقطاع. وتعطي بضعة قياسات للتصريف أُجريت عند مناسيب مختلفة منحنى يربط المنسوب بالتصريف، فتحوّل المحطة كل منسوب تسجله إلى تصريف.

تحمل الأنهار الكبرى تصريفات هائلة. فمن 1972 إلى 2003 صبّ الأمازون في المحيط الأطلسي في المتوسط نحو $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، بدقة قرابة $6\,\%$: أي نحو $17\,\%$ من كل الماء العذب الذي تجلبه أنهار العالم إلى البحر. ويجلب المسيسيبي في المتوسط $593\,000$ قدم مكعب في الثانية، أي نحو $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، إلى خليج المكسيك: فالأمازون يحمل نحو اثني عشر ضعفًا من ذلك.

8.3 الهيدروغراف

تعريف 8.6 (الهيدروغراف؛ التدفق القاعدي؛ زمن التأخر)

الهيدروغراف هو منحنى تصريف نهر عند نقطة واحدة بدلالة الزمن. والتدفق القاعدي هو جزء التصريف الذي تغذيه المياه الجوفية، والذي يبقي النهر جاريًا بين الأمطار. وزمن التأخر لفيضان هو الزمن بين ذروة الهطول على الحوض وذروة التصريف.

يبلغ ماء العاصفة النهر في أوقات مختلفة. فالمطر الساقط قرب المجرى يصل في غضون دقائق أو ساعات؛ أما المطر الساقط بعيدًا في أعلى المجرى فيستغرق وقتًا أطول بكثير، إذ عليه أن ينحدر على السفوح ثم يجري على امتداد النهر. ولذلك يرتفع التصريف بشدة، على الطرف الصاعد، بينما يصل ماء السفوح القريبة، ويبلغ ذروته حين يصل أكبر قدر من الماء دفعة واحدة، ثم ينخفض ببطء أكبر، على الطرف الهابط، بينما ينصرف آخر الماء من أركان الحوض البعيدة ومن التربة. وكلما كان الحوض أكبر، طال زمن التأخر: ساعات لجدول صغير، وأيام لنهر كبير.

تعطي بعض الأحواض فيضانات خاطفة، بذروة عالية مفاجئة وزمن تأخر قصير؛ وتعطي أحواض أخرى فيضانات بطيئة منبسطة. ويعطي المطر نفسه فيضانًا أكثر خطفًا حين:

• يكون الحوض صغيرًا وشديد الانحدار، فيكون أمام الماء طريق قصير وسريع؛
• لا تترك الأرض إلا قليلًا من الماء يتسرب فيها: الصخر العاري، والطين، والأرض المشبعة أصلًا، والأرض المتجمدة، وقبل كل شيء أسطح البلدة وطرقها ومواقف سياراتها، التي ترسل المطر كله تقريبًا مباشرة إلى المصارف والجداول؛
• يكون للحوض شبكة كثيفة من الجداول والمصارف، تجمع الماء بسرعة.

والغابات والترب العميقة النفوذة والسهول الفيضية الواسعة تفعل العكس: فهي تحبس الماء وتطلقه ببطء، فتخفض الذروة وتؤخرها.

فيضان حقيقي

يصرّف نهر بوتوماك حوضًا مساحته $11\,560$ ميلًا مربعًا، أي نحو $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$، في أعلى محطة قياس قرب واشنطن، في شرق الولايات المتحدة. وفي يناير 1996 سجلت المحطة الهيدروغراف الوارد أدناه.

في الأيام السابقة للفيضان حمل النهر نحو $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، وهو تدفقه القاعدي. وفي 21 يناير بلغ المتوسط اليومي $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، أي قرابة ثلاثين ضعفًا. ولو وُزّع الماء الذي مر بالمحطة ذلك اليوم على الحوض كله لكوّن طبقة عمقها $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$، أي نحو $27\,\mathrm{mm}$: وهذه زخة مطر غزيرة، جاءت في يوم واحد من الحوض كله دفعة واحدة.

8.4 الفيضانات وفترة عودتها

ما حجم الفيضان الذي ينبغي أن تتوقعه بلدة؟ تأتي الإجابة من الماضي: فمحطة القياس التي تعمل منذ عقود سجلت أكبر تصريف في كل سنة، أي القمة السنوية. والقمم الصغيرة تأتي كل سنة تقريبًا، والكبيرة نادرًا. وكلما كان الفيضان أندر، كان أكبر.

تعريف 8.7 (فترة العودة)

فترة العودة $T$ لفيضان هي متوسط الفاصل، بالسنوات، بين السنوات التي تساويه فيها القمة السنوية أو تتجاوزه. والفيضان الذي فترة عودته $T$، أي فيضان $T$ سنة، احتمال أن يُساوى أو يُتجاوز في أي سنة بعينها $1/T$.

فيضان المئة سنة ليس فيضانًا يأتي مرة كل مئة سنة، كجدول مواعيد. بل هو فيضان له فرصة واحدة من مئة في أن يُساوى أو يُتجاوز كل سنة، في كل سنة، مهما حدث في السنة السابقة. فقد يأتي اثنان منه في سنتين متتاليتين؛ وقد يمضي قرن دون أن يأتي أحد.

طريقة 8.8 (فترات العودة من سجل للقمم السنوية)

1. اسرد القمم السنوية على مدى $n$ سنة.
2. رتّبها من الأكبر (الرتبة $m = 1$) إلى الأصغر (الرتبة $m = n$).
3. أعطِ القمة ذات الرتبة $m$ فترة العودة $T = (n + 1)/m$.
4. ارسم القمم بدلالة $T$ على مقياس لوغاريتمي للمتغير $T$، واقرأ التصريف لفترة العودة المطلوبة.

وهكذا تنال أكبر القمم $n$ القيمة $T = n + 1$ سنة: ففي سجل من $95$ سنة، $96$ سنة. وتعكس الصيغة ما يُظهره السجل: فالقمة ذات الرتبة $m$ سوويت أو تُجووزت في $m$ سنة من أصل $n$، أي نحو مرة كل $n/m$ سنة. ولا تستطيع الطريقة أن تتجاوز بموثوقية طول السجل: فسجل من $50$ سنة لا يقول إلا القليل عن فيضان $1000$ سنة.

أرقام عام 2026

في سجل بوتوماك قرب واشنطن، من 1931 إلى 2025، جاءت أكبر خمس قمم سنوية في مارس 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$)، وأكتوبر 1942، ويونيو 1972، وأبريل 1937 ويناير 1996، والأخيرتان متساويتان عند $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

فرصة حدوث فيضان على مدى سنوات كثيرة

يبقى البيت أو الجسر قائمًا عقودًا. وما يهمه ليس فرصة حدوث فيضان في سنة واحدة، بل على مدى عمره كله.

قضية 8.9 (فيضان واحد على الأقل في $N$ سنة)

إذا كانت السنوات مستقلة بعضها عن بعض، فإن احتمال أن يُساوى فيضان فترة عودته $T$ أو يُتجاوز مرة واحدة على الأقل في $N$ سنة هو

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

لفيضان المئة سنة على مدى ثلاثين سنة، $(0.99)^{30} \approx 0.740$، و$P \approx 0.26$: فرصة واحدة من أربع. وعلى مدى مئة سنة، $(0.99)^{100} \approx 0.366$ و$P \approx 0.63$: فمجيء فيضان المئة سنة في مئة سنة أبعد ما يكون عن اليقين.

8.5 السدود والحواجز الترابية

بنى الناس منذ زمن بعيد منشآت تغيّر طريقة مرور الفيضان. واثنتان منها تغيّرانه في اتجاهين متعاكسين.

السد يحجز خزانًا. فحين يصل فيضان، يُخزَّن جزء من مائه في الخزان، الذي يرتفع منسوبه، ثم يُطلق بعد ذلك، على مدى زمن أطول. وفي أسفل المجرى يمر حجم الماء نفسه، لكن موزعًا: فالذروة أدنى وأكثر تأخرًا. ولا يخفض الخزان الفيضان إلا ما دام فيه متسع؛ فإذا امتلأ، مر كل الماء الذي يدخله.

الحاجز الترابي ضفة من التراب تُبنى على امتداد نهر لإبعاد فيضاناته عن السهل الفيضي. وبين الحاجزين لا يستطيع الماء أن ينتشر؛ ولكي يحمل التصريف نفسه عبر المقطع الأضيق، يجب أن يرتفع ويجري أسرع. وتبقى الأرض خلف الحاجزين جافة، ما دام الحاجزان صامدين ولم يطفُ الماء فوقهما. لكن السهل الفيضي لم يعد يخزن الماء في أثناء الفيضان، فينتقل قدر أكبر منه، وبسرعة أكبر، نحو أسفل المجرى.

8.6 تمارين

تمرين 8.1 ★

عرّف حوض التصريف وخط تقسيم المياه. ولماذا قد تنتهي قطرتا مطر تسقطان على بعد متر واحدة من الأخرى في بحرين مختلفين؟

حل

حل التمرين 8.1.

حوض التصريف لنقطة من نهر هو المساحة كلها من الأرض التي يجري ماؤها السطحي إلى النهر في أعلى تلك النقطة ويمر بها. وخط تقسيم المياه هو الخط، الممتد على القمم، الذي يفصل بين حوضين متجاورين. والقطرتان الساقطتان على بعد متر واحدة من الأخرى على جانبي خط تقسيم تنحدران على سفحين متقابلين، إلى حوضين مختلفين: وقد يبلغ نهراهما بحرين مختلفين.

تمرين 8.2 ★

عرّف تصريف النهر وأعطِ وحدته. وكم لترًا يمر في يوم واحد بنقطة من نهر يحمل $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$؟

حل

حل التمرين 8.2.

التصريف هو حجم الماء الذي يعبر مقطعًا عرضيًا للنهر في كل ثانية، بالوحدة $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. و$1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ يساوي $1000\,\mathrm{L}$ في كل ثانية؛ وفي اليوم، $1000 \times 86\,400 = 86.4$ مليون لتر.

تمرين 8.3 ★

على هيدروغراف بوتوماك في يناير 1996، اقرأ التدفق القاعدي قبل الفيضان، وتصريف الذروة وتاريخه، وعدد الأيام التي استغرقها الارتفاع.

حل

حل التمرين 8.3.

قبل الفيضان حمل النهر نحو $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (بين نحو $240$ و$390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). وكانت الذروة $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في 21 يناير. وبدأ الارتفاع في 18 يناير ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$): فقد استغرق ثلاثة أيام.

تمرين 8.4 ★

ما احتمال أن يُساوى فيضان فترة عودته $50$ سنة أو يُتجاوز في السنة القادمة؟ وإذا جاء فيضان كهذا في السنة الماضية، فهل يقل احتمال مجيئه هذه السنة؟

حل

حل التمرين 8.4.

$1/50 = 0.02$، أي $2\,\%$. لا: فالسنوات مستقلة؛ والفرصة $2\,\%$ من جديد هذه السنة، مهما حدث في السنة الماضية.

تمرين 8.5 ★

يجلب المسيسيبي إلى البحر في المتوسط $593\,000$ قدم مكعب من الماء في الثانية ($1$ قدم = $0.3048\,\mathrm{m}$). حوّل هذا التصريف إلى $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، وقارنه بتصريف الأمازون البالغ $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

حل

حل التمرين 8.5.

القدم المكعب $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$، إذن $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. فالأمازون يحمل $206\,000/16\,800 \approx 12$ ضعفًا من ذلك.

تمرين 8.6 ★★

يقيس عالم هيدرولوجيا تصريف جدول بأربعة خطوط رأسية بين كل منها والآخر $1.5\,\mathrm{m}$. والأعماق $0.3$ و$0.6$ و$0.7$ و$0.4\,\mathrm{m}$؛ والسرعات المتوسطة $0.2$ و$0.5$ و$0.6$ و$0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. احسب المقطع العرضي والتصريف والسرعة المتوسطة.

حل

حل التمرين 8.6.

مساحات الشرائح: $1.5 \times 0.3 = 0.45$ و$0.90$ و$1.05$ و$0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. والتصريفات: $0.2 \times 0.45 = 0.09$ و$0.5 \times 0.90 = 0.45$ و$0.6 \times 1.05 = 0.63$ و$0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. والسرعة المتوسطة $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

تمرين 8.7 ★★

تُسقط عاصفة $20\,\mathrm{mm}$ من المطر على حوض نهر فاردن كله على الخريطة، $66\,\mathrm{km}^{2}$. ما حجم هذا الماء؟ وإذا بلغ كله المخرج على مدى يومين، فكم يكون متوسط التصريف الإضافي؟

حل

حل التمرين 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. واليومان $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$: $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في المتوسط.

تمرين 8.8 ★★

القمم السنوية لنهر صغير على مدى تسع سنوات هي، بالوحدة $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $42$، $65$، $38$، $120$، $51$، $47$، $88$، $35$، $59$. رتّبها وأعطِ فترات عودة أكبر ثلاث منها. وما فترة عودة القمة الوسيطة؟

حل

حل التمرين 8.8.

مرتبةً: 120، 88، 65، 59، 51، 47، 42، 38، 35. ومع $n = 9$، $T = 10/m$: فللأكبر (120) $T = 10$ سنوات، وللثانية (88) 5 سنوات، وللثالثة (65) نحو 3.3 سنة. والوسيطة، 51، رتبتها 5 و$T = 2$ سنة: فهي تُساوى أو تُتجاوز سنة من كل سنتين.

تمرين 8.9 ★★

تسقط العاصفة نفسها على حوضين متساويين في المساحة: أحدهما شديد الانحدار تغطيه بلدة، والآخر لطيف الانحدار مكسو بالغابات. ارسم تخطيطيًا الهيدروغرافين على المحورين نفسيهما وفسّر الفروق.

حل

حل التمرين 8.9.

هيدروغراف البلدة يرتفع أبكر وأعلى بكثير، وينخفض بسرعة: فعلى السفوح الشديدة الانحدار والأسطح والطرق لا يتسرب إلا قليل من الماء ويبلغ الجريان السطحي الجدول بسرعة ودفعة واحدة؛ وزمن تأخره قصير. أما هيدروغراف الحوض المكسو بالغابات فيرتفع متأخرًا، إلى ذروة أدنى وأعرض: إذ تمتص التربة والغابة قدرًا كبيرًا من المطر وتطلقانه ببطء، ويجري الماء ببطء على السفوح اللطيفة. ويبقى تدفقه القاعدي أعلى بعد العاصفة.

تمرين 8.10 ★★

في ذروة 21 يناير 1996، حمل بوتوماك $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ من حوض مساحته $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. ما عمق الماء الذي يمثله يوم واحد من هذا التصريف، موزعًا على الحوض كله؟ قارن بالتدفق القاعدي البالغ $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

حل

حل التمرين 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$، موزعة على $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: أي نحو $0.027\,\mathrm{m}$، أو $27\,\mathrm{mm}$. والتدفق القاعدي يعطي $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$، أي نحو $1\,\mathrm{mm}$ في اليوم: فقد حمل يوم الذروة نحو 28 ضعفًا.

تمرين 8.11 ★★

ما احتمال أن يأتي فيضان فترة عودته $10$ سنوات مرة واحدة على الأقل في $10$ سنوات؟ وألا يأتي إطلاقًا في هذه السنوات العشر؟

حل

حل التمرين 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: أي نحو $65\,\%$. ولا يأتي إطلاقًا باحتمال $0.9^{10} \approx 0.35$، أي نحو $35\,\%$.

تمرين 8.12 ★★★

يرتفع التصريف الداخل إلى خزان في أثناء فيضان باطراد من $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ إلى $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في يوم واحد، ثم ينخفض باطراد عائدًا إلى $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في يومين (مع إهمال التدفق القاعدي). ما الحجم الذي يجلبه الفيضان؟ لا يسمح السد بمرور أكثر من $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، ويستطيع الخزان أن يخزن $60$ مليون $\mathrm{m}^{3}$. فهل يستطيع أن يحجز كل ما يزيد على $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$؟

حل

حل التمرين 8.12.

الهيدروغراف مثلث طوله ثلاثة أيام وارتفاعه $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: مساحته $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$، أي $156$ مليون متر مكعب. والجزء الواقع فوق $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ مثلث أصغر له الشكل نفسه، أصغر بثلاث مرات في الارتفاع ($400$ بدلًا من $1200$) وفي المدة (يوم واحد بدلًا من ثلاثة): $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$، أي $17$ مليون متر مكعب. وهذا أقل من $60$ مليونًا يستطيع الخزان تخزينها: نعم.

تمرين 8.13 ★★★

نهر عرضه $100\,\mathrm{m}$ يمتلئ حتى ضفتيه عند $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، ويجري بسرعة $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ويصل فيضان قدره $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

1. دون حواجز ترابية، تنتشر الزيادة البالغة $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ على سهل فيضي عرضه $900\,\mathrm{m}$، حيث تجري بسرعة $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فما عمق الماء على السهل الفيضي؟
2. مع الحواجز الترابية، يمر الفيضان كله بينها، بسرعة $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فما عمق النهر، وكم يرتفع فوق ضفتيه؟

حل

حل التمرين 8.13.

حين يمتلئ النهر حتى ضفتيه يكون عمقه $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$. (1) يحمل السهل الفيضي $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ على عرض $900\,\mathrm{m}$ بسرعة $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: فعمقه $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$. (2) بين الحواجز الترابية: عمق $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$، أي $2\,\mathrm{m}$ فوق ضفتيه، وهذا أكثر من ضعف العمق على السهل الفيضي دون حواجز.

تمرين 8.14 ★★★

ما فترة العودة $T$ التي تعطي فيضانًا فرصة واحدة من اثنتين لأن يأتي مرة واحدة على الأقل في $30$ سنة؟

حل

حل التمرين 8.14.

نريد $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$، إذن $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$، و$1/T \approx 0.02284$ و$T \approx 44$ سنة.

تمرين 8.15 ★★★

تُقسم خريطة صغيرة إلى مربعات طول ضلعها $100\,\mathrm{m}$؛ وارتفاعاتها بالأمتار معطاة أدناه (الشمال في الأعلى). يغادر الماء كل مربع نحو أدنى جيرانه الأربعة (الشمال، الجنوب، الشرق، الغرب) إن كان أدنى منه؛ والمربعان عند $34\,\mathrm{m}$ (الركن الشمالي الغربي) و$30\,\mathrm{m}$ (الركن الجنوبي الشرقي) هما مخرجا جدولين.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

ارسم اتجاه الجريان في كل مربع، وأوجد حوض كل مخرج ومساحته، وارسم خط التقسيم.

حل

حل التمرين 8.15.

يرسل كل مربع ماءه إلى أدنى جيرانه (الصفوف من الشمال إلى الجنوب، والغرب في اليسار والشرق في اليمين):

غرب	غرب	غرب	مخرج
جنوب	غرب	غرب	شمال
جنوب	جنوب	شمال	شمال
مخرج	شرق	شرق	شمال

باتباع الأسهم، تصرف المربعات 47 و39 و44 و37 و46 و30 ماءها إلى المخرج الجنوبي الشرقي: 6 مربعات، أي $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. والمربعات العشرة الأخرى تصرف ماءها إلى المخرج الشمالي الغربي: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. ويمتد خط التقسيم من الحافة الشرقية بين 50 و47، ثم بين 48 و47، وبين 48 و44، وبين 49 و44، وبين 49 و46، وبين 51 و46 حتى الحافة الجنوبية.

8.7 مسألة: فيضان المئة سنة

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — كم مرة يدخل النهر البلدة؟

تخيّل بلدة على نهر بوتوماك، في أعلى واشنطن مباشرة، قرب محطة قياس سجلت أكبر تصريف للنهر في كل سنة منذ 1931. والقمم السنوية مرسومة أدناه، ومعها هيدروغراف يناير 1996 الوارد في الفصل.

الجزء الأول — الحوض والتصريف.

1. يغطي حوض المحطة $11\,560$ ميلًا مربعًا ($1$ ميل = $1.609\,\mathrm{km}$). حوّل هذه المساحة إلى $\mathrm{km}^{2}$.
2. أي خط على الخريطة يحد هذه المساحة؟
3. كانت أكبر قمة، في 19 مارس 1936، $484\,000$ قدم مكعب في الثانية. حوّلها إلى $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ قدم = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. القمة السنوية الوسيطة $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. فكم مرة كان فيضان 1936 أكبر من الوسيطة؟
5. افترض أن النهر عند ذروة 1936 كان عرضه $400\,\mathrm{m}$ وعمقه $8\,\mathrm{m}$ في المتوسط عند المحطة. فكم كانت سرعته المتوسطة؟

الجزء الثاني — قراءة فيضان 1996.

6. على هيدروغراف يناير 1996، كم كان التدفق القاعدي في الأيام السابقة للفيضان؟
7. كم كان تصريف الذروة اليومي، وفي أي يوم؟
8. كم يومًا استغرق الارتفاع، من $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في 18 يناير إلى الذروة؟
9. ما عمق الماء على الحوض كله الذي حمله يوم الذروة عبر المحطة؟
10. يبلغ ارتفاع ثانٍ أصغر ذروته في 29 يناير. فماذا يخبرنا عن الماء الذي يصل إلى الحوض؟
11. عاد التصريف إلى قرابة $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ في 7 فبراير. فكم مضى على الذروة حينئذ؟ ولماذا يدوم الطرف الهابط أطول من الطرف الصاعد؟

الجزء الثالث — ترتيب الفيضانات.

12. يضم السجل $n = 95$ قمة سنوية. فما فترة العودة التي تعطيها الطريقة لأكبرها؟
13. قمة أكتوبر 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) في المرتبة الثانية. فما فترة عودتها؟
14. قمة يونيو 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) في المرتبة الثالثة. فما فترة عودتها؟
15. كان فيضانا أبريل 1937 ويناير 1996 متساويين ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). فإذا أُعطيا الرتبتين 4 و5، فما فترتا العودة اللتان ينالانهما؟ وهل يهم كثيرًا هنا اشتراكهما في القيمة؟
16. على المخطط العمودي، عُدّ السنوات التي تجاوزت قمتها $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. وقدّر فرصة مثل هذه القمة في أي سنة بعينها، وفترة عودتها.

الجزء الرابع — فرصة حدوث فيضان.

17. ما احتمال أن يُساوى فيضان فترة عودته $100$ سنة أو يُتجاوز في سنة معينة؟
18. ما احتمال ألا يحدث ذلك، في تلك السنة؟
19. ما احتمال ألا يأتي في $30$ سنة، وهي المدة التي قد تعيشها أسرة في بيت على ضفة النهر؟
20. ما فرصة حدوث فيضان مئة سنة واحد على الأقل في $30$ سنة؟

حل

حل المسألة 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. خط تقسيم المياه للحوض الواقع في أعلى المحطة.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ مرة.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ و$v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. نحو $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، في 21 يناير.

8. ثلاثة أيام.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: أي نحو $27\,\mathrm{mm}$.

10. بلغ النهرَ ماء جديد: فقد أرسل هطول آخر على الحوض (أو ثلج ذائب) نبضة ثانية أصغر من الجريان السطحي.

11. بعد الذروة بسبعة عشر يومًا. فالارتفاع يأتي من الجريان السطحي للسفوح القريبة من الجداول، الذي يصل بسرعة ودفعة واحدة؛ أما على الطرف الهابط فما زال النهر يتلقى ماء أبعد أجزاء الحوض والماء الذي ينصرف ببطء من التربة.

12. $T = n + 1 = 96$ سنة.

13. $96/2 = 48$ سنة.

14. $96/3 = 32$ سنة.

15. $96/4 = 24$ سنة و$96/5 = 19.2$ سنة. لا يهم كثيرًا: ففي الحالتين يعود هذا التصريف نحو مرة كل عشرين سنة.

16. خمس سنوات (1936 و1937 و1943 و1972 و1996): $5/95 \approx 0.053$، أي نحو $5\,\%$ في السنة، وفترة عودة قدرها نحو $96/5 \approx 19$ سنة.

17. $1/100 = 0.01$، أي $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$: فرصة حدوث فيضان مئة سنة واحد على الأقل في 30 سنة نحو $26\,\%$، أي واحدة من أربع.