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उच्चतर माध्यमिक पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान · শ্রেণি 10–12

2एक वासयोग्य ग्रह

तीन चट्टानी ग्रह सूर्य की परिक्रमा अगल-बगल करते हैं। शुक्र की सतह पर हवा इतनी सघन है कि वह पृथ्वी की तुलना में बानवे गुना अधिक दबाती है, और इतनी गरम — $460{}^{\circ}\mathrm{C}$ से भी अधिक — कि सीसा पिघल जाए। मंगल पर विरल हवा हमारी हवा के सौवें भाग से भी कम दबाती है, और औसत तापमान हिमांक से बहुत नीचे है। इन दोनों के बीच पृथ्वी पर महासागर, वर्षा और जीवन हैं। तीनों ग्रह युवा सूर्य के चारों ओर गैस और धूल की एक ही चकती से, लगभग एक जैसी चट्टान से बने। फिर इतनी अलग-अलग नियति क्यों? यह अध्याय देखता है कि किसी ग्रह का तापमान क्या तय करता है, कौन-सी बात उसे वायुमंडल बनाए रखने देती है, किन परिस्थितियों में जल द्रव रह सकता है, और सूर्य के चारों ओर तथा अन्य तारों के चारों ओर ऐसी परिस्थितियाँ कहाँ मिल सकती हैं।

1974 में मैरिनर 10 यान से दिखता शुक्र, लगभग उन्हीं रंगों में जो आँख देखती: बादलों में पूरी तरह लिपटा एक ग्रह। चित्र: NASA/JPL-कैलटेक (सार्वजनिक डोमेन)।

पहले से ज्ञात

सूर्य एक तारा है; उसके चारों ओर चार चट्टानी ग्रह बुध, शुक्र, पृथ्वी और मंगल, और फिर चार विशाल ग्रह, लगभग वृत्ताकार कक्षाओं में चलते हैं (भौतिकी की पुस्तकें और पुस्तक 1)। हर पिंड प्रकाश के रूप में ऊर्जा विकिरित करता है, उसका ताप बढ़ने के साथ अधिकाधिक, और ग्रहों के तापों पर मुख्यतः अवरक्त प्रकाश के रूप में (भौतिकी की पुस्तकें)। ग्रीनहाउस गैसें — जलवाष्प, कार्बन डाइऑक्साइड, मेथेन — किसी सतह द्वारा उत्सर्जित अवरक्त का एक भाग अवशोषित करती हैं और उसे अधिक गरम रखती हैं (रसायन विज्ञान की पुस्तकें)। जल बर्फ़, द्रव जल और जलवाष्प के रूप में होता है; दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है, जिसे पास्कल में मापा जाता है (भौतिकी की पुस्तकें)।

2.1 तारे द्वारा तय तापमान

सूर्य अपना प्रकाश सभी दिशाओं में बराबर भेजता है। दूरी $d$ पर उसकी शक्ति $L$ (उसकी दीप्ति) क्षेत्रफल $4\pi d^2$ वाले एक गोले पर फैल जाती है।

प्रतिज्ञप्ति 2.1 (सूर्य के प्रकाश का व्युत्क्रम वर्ग नियम)

सूर्य की ओर मुख किए प्रति वर्ग मीटर पर मिलने वाली शक्ति, यानी सौर किरणन, सूर्य से दूरी $d$ पर है

S = \frac{L}{4\pi d^2}.

पृथ्वी की दूरी, $1\,\mathrm{au}$ , पर $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; खगोलीय इकाइयों में मापी गई दूरी $d$ पर $S = S_0/d^2$ ।

उपपत्ति. रिक्त अंतरिक्ष में कोई प्रकाश नष्ट नहीं होता, इसलिए पूरी शक्ति $L$ सूर्य पर केंद्रित हर गोले को पार करती है; त्रिज्या $d$ के गोले पर वह $4\pi d^2$ वर्ग मीटरों में बँट जाती है। $d$ को दुगुना करने से क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है और $S$ चार से विभाजित हो जाता है। ∎

दूरी d पर एक वर्ग को पार करने वाला प्रकाश दूरी 2d पर उसी आकार के चार वर्गों पर फैल जाता है: किरणन दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम के अनुसार घटता है। — दूरी $d$ पर एक वर्ग को पार करने वाला प्रकाश दूरी $2d$ पर उसी आकार के चार वर्गों पर फैल जाता है: किरणन दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम के अनुसार घटता है।

कोई ग्रह इस प्रकाश के उस भाग को अवशोषित करता है जिसे वह परावर्तित नहीं करता, और वह अवरक्त प्रकाश के रूप में अंतरिक्ष में ऊर्जा विकिरित करता है। यदि वह विकिरित करने से अधिक अवशोषित करे, तो गरम होता है; अधिक गरम होकर वह अधिक विकिरित करता है; वह उस तापमान पर स्थिर हो जाता है जहाँ दोनों संतुलित हों।

परिभाषा 2.2 (साम्य तापमान)

किसी ग्रह का साम्य तापमान वह तापमान है जिस पर आदर्श उत्सर्जक की तरह विकिरित करने वाला पिंड अंतरिक्ष में ठीक उतनी शक्ति भेजता जितनी ग्रह अपने तारे से अवशोषित करता है। आने वाले प्रकाश का जो भाग ग्रह समग्र रूप से परावर्तित करता है, वह उसका बॉन्ड एल्बिडो $A$ है।

प्रतिज्ञप्ति 2.3 (साम्य तापमान का परिकलन)

जो ग्रह अवशोषित ऊष्मा को अपनी पूरी सतह पर फैला देता है, उसके लिए

T_{\mathrm{eq}} = \left(\frac{S\,(1-A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.

पृथ्वी की दूरी पर और बिल्कुल भी परावर्तन न होने पर यह $278.3\,\mathrm{K}$ देता है; खगोलीय इकाइयों में दूरी $d$ पर और एल्बिडो $A$ के साथ $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$ ।

आंशिक उपपत्ति. ग्रह क्षेत्रफल $\pi R^2$ की एक चकती पर सूर्य का प्रकाश रोकता है और शक्ति $(1-A)\,S\,\pi R^2$ अवशोषित करता है। वह अपनी पूरी सतह, $4\pi R^2$ , से विकिरित करता है। ताप $T$ पर आदर्श उत्सर्जक प्रति वर्ग मीटर $\sigma T^4$ विकिरित करता है (यह नियम भौतिकी की पुस्तकों में सिद्ध किया गया है, यहाँ स्वीकार किया गया है)। $4\pi R^2 \sigma T^4 = (1-A)\,S\,\pi R^2$ को बराबर रखने से सूत्र मिलता है; त्रिज्या कट जाती है। $S = S_0/d^2$ के साथ, $1/d^2$ का चतुर्थ मूल $1/\sqrt d$ है। ∎

उदाहरण 2.4 (पृथ्वी)

$S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $A = 0.294$ के साथ, $T_{\mathrm{eq}} = 278.3 \times 0.706^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K}$ , यानी $-18{}^{\circ}\mathrm{C}$ । (NASA की तथ्य-तालिका $254\,\mathrm{K}$ देती है।) पृथ्वी की सतह का औसत तापमान $288\,\mathrm{K}$ , $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ , है: वायुमंडल का ग्रीनहाउस प्रभाव उसे लगभग $33\,\mathrm{K}$ गरम करता है। इसके बिना महासागर जम जाते।

हर पिंड की दूरी और बॉन्ड एल्बिडो से परिकलित साम्य तापमान, उनकी सतहों के मापे गए औसत तापमानों के साथ। आँकड़े: NASA की ग्रह तथ्य-तालिकाएँ।

टिप्पणी 2.5 (चार्ट पढ़ना)

बुध और मंगल के लिए, जिनका वायुमंडल लगभग नहीं है या बहुत विरल है, मापा गया औसत साम्य तापमान के निकट है। चंद्रमा का औसत उससे नीचे है: उसका हर दिन और हर रात लगभग दो सप्ताह की होती है, और उसकी सतह लगभग $95\,\mathrm{K}$ से $390\,\mathrm{K}$ तक झूलती है, जिसे ऊष्मा को समान रूप से फैलाने वाले ग्रह के लिए बना सरल सूत्र नहीं पकड़ पाता। शुक्र सबसे चौंकाने वाला उदाहरण है: 0.77 के बॉन्ड एल्बिडो के साथ — उसके बादल सूर्य के अधिकांश प्रकाश को परावर्तित कर देते हैं — उसका साम्य तापमान पृथ्वी के साम्य तापमान से कम है, फिर भी उसकी सतह उससे $500\,\mathrm{K}$ से भी अधिक गरम है: यह उसके घने कार्बन डाइऑक्साइड वायुमंडल का ग्रीनहाउस प्रभाव है।

2.2 वायुमंडल बनाए रखना

गैस निरंतर गति करते अणुओं से बनी होती है, और गैस जितनी गरम हो, अणु उतने तेज़। वायुमंडल के शीर्ष पर जो अणु ग्रह के पलायन वेग — उसके गुरुत्व को हमेशा के लिए छोड़ने के लिए आवश्यक वेग (भौतिकी की पुस्तकें) — से अधिक तेज़ी से ऊपर की ओर चलता है, वह अंतरिक्ष में खो जाता है। अरबों वर्षों में दुर्बल गुरुत्व वाला छोटा ग्रह अपनी हवा खो देता है; बड़ा ग्रह उसे बनाए रखता है।

पिंड	पलायन वेग ( $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ )	सतही दाब (bar)	वायुमंडल
चंद्रमा	2.4	0	नहीं
बुध	4.3	0	नहीं
मंगल	5.0	0.006	विरल, कार्बन डाइऑक्साइड
शुक्र	10.4	92	घना, कार्बन डाइऑक्साइड
पृथ्वी	11.2	1	नाइट्रोजन और ऑक्सीजन

टिप्पणी 2.6 (आकार ही पूरी कहानी नहीं)

चंद्रमा और बुध, जो छोटे हैं और (बुध) गरम सूर्य के निकट भी, अपनी लगभग सारी गैसें खो चुके हैं। मंगल ने, जिसका पलायन वेग पृथ्वी का आधा है, एक विरल वायुमंडल बनाए रखा। शुक्र और पृथ्वी का आकार और पलायन वेग लगभग एक-से हैं, फिर भी उनके वायुमंडल बहुत भिन्न हैं: उनके इतिहास — उनके जल और उनकी कार्बन डाइऑक्साइड की नियति — अलग-अलग राह चले, जैसा अध्याय 26 पृथ्वी के लिए दिखाएगा।

2.3 द्रव जल

जल का प्रावस्था आरेख, शुक्र, पृथ्वी और मंगल की सतह की औसत परिस्थितियों (वर्ग) के साथ। दाब-अक्ष लघुगणकीय है: हर चिह्न अपने नीचे वाले का सौ गुना है। वक्र जल और भाप के गुणधर्मों के अंतरराष्ट्रीय संघ के समीकरणों से परिकलित; ग्रहों के मान NASA से।

प्रतिज्ञप्ति 2.7 (जल कब द्रव हो सकता है)

द्रव जल केवल त्रिक बिंदु के दाब से अधिक दाबों पर होता है, $611.657\,\mathrm{Pa}$ ( $0.006\,\mathrm{bar}$ ), जहाँ बर्फ़, द्रव और वाष्प $273.16\,\mathrm{K}$ पर साथ-साथ रहते हैं, और क्रांतिक बिंदु से कम तापों पर, $647.096\,\mathrm{K}$ ( $220.64\,\mathrm{bar}$ ), जिसके परे द्रव और वाष्प में अंतर नहीं किया जा सकता। त्रिक बिंदु से अधिक किसी दिए गए दाब पर जल अपने गलनांक, जो $273\,\mathrm{K}$ के निकट है, और अपने क्वथनांक के बीच द्रव रहता है, और यह क्वथनांक दाब घटने के साथ घटता है।

उदाहरण 2.8 (एक आरेख पर तीन ग्रह)

पृथ्वी की सतह, $288\,\mathrm{K}$ और $1\,\mathrm{bar}$ पर, द्रव क्षेत्र के भीतर है: वहाँ जल मौसम के अनुसार द्रव, बर्फ़ या वाष्प हो सकता है। शुक्र, $737\,\mathrm{K}$ पर, क्रांतिक ताप से बहुत परे है: वहाँ द्रव जल बिल्कुल संभव नहीं। मंगल, $6.36\,\mathrm{mbar}$ पर, त्रिक बिंदु से ठीक ऊपर है: वहाँ जल लगभग $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है, इसलिए द्रव जल केवल लगभग आधे अंश की खिड़की में टिक सकता था, और औसत तापमान, $210\,\mathrm{K}$ , बर्फ़ के क्षेत्र में है।

मंगल पर गेल क्रेटर के भीतर माउंट शार्प, जिसका चित्र 2012 में रोवर क्यूरियोसिटी ने अपने कैमरे में दर्ज रंगों में खींचा। इसकी निचली परतें अरबों वर्ष पहले जल में जमी थीं। चित्र: NASA/JPL-कैलटेक/MSSS (सार्वजनिक डोमेन)।

2.4 वासयोग्य क्षेत्र

परिभाषा 2.9 (वासयोग्य क्षेत्र)

किसी तारे का वासयोग्य क्षेत्र तारे से दूरियों का वह परास है जिस पर पर्याप्त जल और पृथ्वी जैसे वायुमंडल वाला कोई चट्टानी ग्रह अपनी सतह पर द्रव जल बनाए रख सकता है। इसका भीतरी किनारा वहाँ है जहाँ ग्रह ऊष्मा के कारण अपना जल खो देता; इसका बाहरी किनारा वहाँ, जहाँ प्रबल ग्रीनहाउस प्रभाव भी उसे जमने से नहीं रोक पाता।

प्रतिज्ञप्ति 2.10 (सूर्य का वासयोग्य क्षेत्र)

ग्रहीय वायुमंडलों के विस्तृत मॉडल सूर्य के वासयोग्य क्षेत्र को $0.99\,\mathrm{au}$ और $1.70\,\mathrm{au}$ के बीच रखते हैं। पृथ्वी ( $1\,\mathrm{au}$ ) उसके भीतरी किनारे के ठीक अंदर है; मंगल ( $1.52\,\mathrm{au}$ ) उसके भीतर है; शुक्र ( $0.72\,\mathrm{au}$ ) भीतरी किनारे से काफ़ी अंदर की ओर है।

प्रतिज्ञप्ति 2.11 (अन्य तारों के वासयोग्य क्षेत्र)

दीप्ति $L$ वाले तारे के चारों ओर कोई ग्रह उतना ही किरणन पाता है जितना सूर्य से दूरी $d_\odot$ पर, जब वह इस दूरी पर हो

d = d_\odot \sqrt{L/L_\odot}.

वासयोग्य क्षेत्र के किनारे, प्रथम सन्निकटन में, इसी अनुपात में खिसकते हैं (तारे के प्रकाश का रंग भी थोड़ा प्रभाव डालता है)।

उपपत्ति. समान किरणन का अर्थ है $L/(4\pi d^2) = L_\odot/(4\pi d_\odot^2)$ , इसलिए $d^2 = d_\odot^2\,L/L_\odot$ । ∎

ऊपर: सूर्य का वासयोग्य क्षेत्र और चार चट्टानी ग्रह। नीचे: धुँधले लाल तारे प्रॉक्सिमा सेंटॉरी का वासयोग्य क्षेत्र, जो सूर्य के क्षेत्र को तारे की दीप्ति के वर्गमूल से मापित करके परिकलित किया गया है, और उसका ग्रह प्रॉक्सिमा b। पैमाने में परिवर्तन पर ध्यान दीजिए: पूरी निचली पट्टी 0.1\, au लंबी है। — ऊपर: सूर्य का वासयोग्य क्षेत्र और चार चट्टानी ग्रह। नीचे: धुँधले लाल तारे प्रॉक्सिमा सेंटॉरी का वासयोग्य क्षेत्र, जो सूर्य के क्षेत्र को तारे की दीप्ति के वर्गमूल से मापित करके परिकलित किया गया है, और उसका ग्रह प्रॉक्सिमा b। पैमाने में परिवर्तन पर ध्यान दीजिए: पूरी निचली पट्टी $0.1\,\mathrm{au}$ लंबी है।

2.5 अन्य तारों के ग्रह

परिभाषा 2.12 (बहिर्ग्रह)

बहिर्ग्रह वह ग्रह है जो सूर्य के अतिरिक्त किसी अन्य तारे की परिक्रमा करता है।

बहिर्ग्रह इतने धुँधले और अपने तारों के इतने निकट होते हैं कि कुछ विशाल ग्रहों को छोड़कर उन्हें सीधे नहीं देखा जा सकता। अधिकांश अप्रत्यक्ष रूप से खोजे जाते हैं: या तो ग्रह हर कक्षा में एक बार अपने तारे के सामने से गुज़रता है और उसे बहुत थोड़ा धुँधला कर देता है, या उसका खिंचाव तारे को हमारी ओर और हमसे दूर डगमगाता है, जिससे तारे के प्रकाश का रंग आगे-पीछे खिसकता है। दूसरी विधि ग्रह का केवल न्यूनतम द्रव्यमान देती है, क्योंकि कक्षा का झुकाव ज्ञात नहीं होता। इन विधियों का अध्ययन तृतीय वर्ष के खंड में किया जाता है।

आँकड़े: वर्ष 2026

15 अक्टूबर 2026 को NASA एक्सोप्लैनेट आर्काइव में 6 451 पुष्ट बहिर्ग्रह सूचीबद्ध थे।

उदाहरण 2.13 (प्रॉक्सिमा b)

सूर्य का निकटतम तारा, प्रॉक्सिमा सेंटॉरी, जो $1.30\,\mathrm{pc}$ दूर है, एक छोटा लाल तारा है जिसकी दीप्ति सूर्य की दीप्ति की केवल लगभग $0.0015$ है। 2016 में उसकी परिक्रमा हर 11.2 दिन में $0.0485\,\mathrm{au}$ पर करता एक ग्रह मिला, जिसका द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का कम से कम 1.06 गुना है। उस दूरी पर उसे पृथ्वी को मिलने वाले किरणन का लगभग 0.64 भाग मिलता है, और वह अपने तारे के वासयोग्य क्षेत्र के भीतर है। उसका वायुमंडल है या नहीं, या उस पर जल है या नहीं, यह ज्ञात नहीं।

टिप्पणी 2.14 (वासयोग्य का अर्थ बसा हुआ नहीं)

वासयोग्य क्षेत्र केवल दूरी और प्रकाश के बारे में एक कथन है। उसके भीतर के ग्रह पर जल न हो, वायुमंडल न हो, या गलत वायुमंडल हो, यह संभव है — मंगल सूर्य के क्षेत्र के भीतर है और आज उसकी सतह पर द्रव जल नहीं है। पृथ्वी वासयोग्य है क्योंकि कई शर्तें एक साथ पूरी होती हैं: सही दूरी, वायुमंडल बनाए रखने लायक़ बड़ा द्रव्यमान, प्रचुर जल, और ऐसा ग्रीनहाउस प्रभाव जो न बहुत दुर्बल हो न बहुत प्रबल।

2.6 अभ्यास

अभ्यास 2.1 ★

किसी ग्रह के साम्य तापमान की परिभाषा दीजिए। पृथ्वी की सतह का औसत तापमान उसके साम्य तापमान से अधिक क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 2.1.

वह तापमान जिस पर आदर्श उत्सर्जक अंतरिक्ष में ठीक उतनी शक्ति विकिरित करता जितनी ग्रह अपने तारे से अवशोषित करता है। पृथ्वी की सतह अधिक गरम है (लगभग $255\,\mathrm{K}$ के मुक़ाबले $288\,\mathrm{K}$ ) क्योंकि ग्रीनहाउस गैसें उसके द्वारा उत्सर्जित अवरक्त का एक भाग अवशोषित करती हैं और उसका कुछ भाग वापस नीचे भेजती हैं।

अभ्यास 2.2 ★

साम्य और मापे गए तापमानों के दंड-चार्ट की सहायता से वह पिंड बताइए जिसकी सतह को उसका वायुमंडल सबसे अधिक गरम करता है, और अनुमान लगाइए कि कितने केल्विन।

हल

हल — अभ्यास 2.2.

शुक्र: लगभग $227\,\mathrm{K}$ के साम्य तापमान के मुक़ाबले मापा गया $737\,\mathrm{K}$ , यानी लगभग $510\,\mathrm{K}$ की तापवृद्धि।

अभ्यास 2.3 ★

मंगल सूर्य से $1.52\,\mathrm{au}$ पर परिक्रमा करता है। $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के साथ व्युत्क्रम वर्ग नियम से मंगल पर सौर किरणन परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.3.

$S = 1361/1.52^2 \approx 589\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (तथ्य-तालिका सटीक माध्य दूरी के साथ $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ देती है)।

अभ्यास 2.4 ★

जल के प्रावस्था आरेख की सहायता से जल की अवस्था बताइए: $1\,\mathrm{bar}$ और $330\,\mathrm{K}$ पर; $0.001\,\mathrm{bar}$ और $250\,\mathrm{K}$ पर; $100\,\mathrm{bar}$ और $700\,\mathrm{K}$ पर।

हल

हल — अभ्यास 2.4.

$1\,\mathrm{bar}$ , $330\,\mathrm{K}$ : द्रव (क्वथनांक, लगभग $373\,\mathrm{K}$ , से नीचे)। $0.001\,\mathrm{bar}$ , $250\,\mathrm{K}$ : बर्फ़ (दाब बर्फ़–वाष्प वक्र से ऊपर है, जो $250\,\mathrm{K}$ पर लगभग $0.0008\,\mathrm{bar}$ पर है)। $100\,\mathrm{bar}$ , $700\,\mathrm{K}$ : वाष्प — तापमान क्रांतिक ताप से ऊपर है, इसलिए कोई द्रव नहीं हो सकता।

अभ्यास 2.5 ★

बहिर्ग्रह क्या है? उन दो मुख्य विधियों का, जिनसे बहिर्ग्रह खोजे जाते हैं, एक-एक वाक्य में वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.5.

सूर्य के अतिरिक्त किसी अन्य तारे की परिक्रमा करने वाला ग्रह। पारगमन: ग्रह हर कक्षा में अपने तारे के सामने से गुज़रता है और उसे थोड़ा धुँधला कर देता है। डगमगाहट: ग्रह का खिंचाव तारे को हमारी दृष्टि रेखा के अनुदिश आगे-पीछे करता है, जिससे उसके प्रकाश का रंग आवर्ती रूप से खिसकता है।

अभ्यास 2.6 ★★

$S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $A = 0.294$ के साथ पृथ्वी का साम्य तापमान परिकलित कीजिए, फिर $A = 0$ के साथ। दोनों को डिग्री सेल्सियस में बदलिए।

हल

हल — अभ्यास 2.6.

$T = (1361 \times 0.706/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K} \approx -18{}^{\circ}\mathrm{C}$ । $A = 0$ के साथ: $\approx 278\,\mathrm{K} \approx 5{}^{\circ}\mathrm{C}$ ।

अभ्यास 2.7 ★★

एक तारा सूर्य से चार गुना अधिक दीप्त है। उसका वासयोग्य क्षेत्र किन दूरियों के बीच है? क्या उससे $1\,\mathrm{au}$ पर रखी पृथ्वी उसके भीतर होती?

हल

हल — अभ्यास 2.7.

$\sqrt 4 = 2$ : $2 \times 0.99 = 1.98\,\mathrm{au}$ से $2 \times 1.70 = 3.40\,\mathrm{au}$ तक। $1\,\mathrm{au}$ पर ग्रह को पृथ्वी के किरणन का चार गुना मिलता: भीतरी किनारे से बहुत अंदर, बहुत गरम।

अभ्यास 2.8 ★★

शुक्र $0.723\,\mathrm{au}$ पर परिक्रमा करता है। उसे मिलने वाला किरणन परिकलित कीजिए, फिर 0.77 के उसके बॉन्ड एल्बिडो के साथ उसका साम्य तापमान। इसकी तुलना उसकी सतह के $737\,\mathrm{K}$ तापमान से कीजिए और अंतर समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 2.8.

$S = 1361/0.723^2 \approx 2604\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $T_{\mathrm{eq}} = (2604 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 227\,\mathrm{K}$ । सतह लगभग $510\,\mathrm{K}$ अधिक गरम है: उसका घना कार्बन डाइऑक्साइड वायुमंडल ( $92\,\mathrm{bar}$ ) एक विशाल ग्रीनहाउस प्रभाव उत्पन्न करता है।

अभ्यास 2.9 ★★

मंगल पर सतह का औसत दाब $6.36\,\mathrm{mbar}$ है, जल के त्रिक बिंदु से ठीक ऊपर, और वहाँ जल लगभग $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है। समझाइए कि आज मंगल की सतह पर द्रव जल क्यों टिक नहीं सकता, गर्मियों की उस दोपहर में भी जब ज़मीन $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पहुँचती है।

हल

हल — अभ्यास 2.9.

$6.36\,\mathrm{mbar}$ पर जल केवल लगभग $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$ के बीच द्रव रहता है। $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर दाब क्वथन वक्र से नीचे है: जल उबलकर वाष्प बन जाता है; रात में वह जम जाता है।

अभ्यास 2.10 ★★

पलायन वेग चंद्रमा पर $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ और पृथ्वी पर $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ है। उनका अनुपात परिकलित कीजिए। समझाइए कि पृथ्वी ने वायुमंडल क्यों बनाए रखा है और चंद्रमा ने क्यों नहीं।

हल

हल — अभ्यास 2.10.

$11.2/2.4 \approx 4.7$ । पृथ्वी से पलायन के लिए गैस के अणु को चंद्रमा की तुलना में लगभग पाँच गुना तेज़ चलना होता है; अरबों वर्षों में चंद्रमा के दुर्बल गुरुत्व ने उसकी गैसों को निकल जाने दिया, जबकि पृथ्वी के गुरुत्व ने उनमें से अधिकांश को रोके रखा।

अभ्यास 2.11 ★★

मान लीजिए पृथ्वी बर्फ़ से ढक जाए और उसका बॉन्ड एल्बिडो बढ़कर 0.50 हो जाए। उसका नया साम्य तापमान परिकलित कीजिए। समझाइए कि ऐसी अवस्था, एक बार आ जाने पर, क्यों बनी रहने की प्रवृत्ति रखती।

हल

हल — अभ्यास 2.11.

$T = (1361 \times 0.50/(4\sigma))^{1/4} \approx 234\,\mathrm{K}$ , लगभग $-39{}^{\circ}\mathrm{C}$ । बर्फ़ इतना अधिक सूर्य-प्रकाश परावर्तित करती कि ग्रह उसे बनाए रखने लायक़ ठंडा बना रहता: एक स्व-प्रबलक चक्र।

अभ्यास 2.12 ★★★

दिखाइए कि $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$ , जहाँ $d$ खगोलीय इकाइयों में है, अध्याय के सूत्र से निकलता है। दूरी को चार से गुणा करने पर साम्य तापमान किस गुणक से बदलता है?

हल

हल — अभ्यास 2.12.

$T_{\mathrm{eq}} = (S_0(1-A)/(4\sigma d^2))^{1/4} = (S_0/(4\sigma))^{1/4} (1-A)^{1/4} (d^2)^{-1/4}$ ; $(1361/(4\sigma))^{1/4} \approx 278.3\,\mathrm{K}$ और $(d^2)^{1/4} = \sqrt d$ । चार गुना दूर: $T$ को $\sqrt 4 = 2$ से भाग।

अभ्यास 2.13 ★★★

सूर्य से किस दूरी पर 0.294 एल्बिडो वाले ग्रह का साम्य तापमान $273\,\mathrm{K}$ होगा? इसकी तुलना वासयोग्य क्षेत्र के भीतरी किनारे से कीजिए, और समझाइए कि दोनों भिन्न क्यों हैं।

हल

हल — अभ्यास 2.13.

$\sqrt d = 278.3 \times 0.706^{1/4}/273 \approx 0.934$ , इसलिए $d \approx 0.873\,\mathrm{au}$ , भीतरी किनारे ( $0.99\,\mathrm{au}$ ) के अंदर। साम्य तापमान ग्रीनहाउस प्रभाव की उपेक्षा करता है: वायुमंडल वाला वास्तविक ग्रह $T_{\mathrm{eq}}$ से अधिक गरम होता है, इसलिए वह और बाहर ही, लगभग $0.99\,\mathrm{au}$ पर, अत्यधिक गरम होकर अपना जल खो देता है। किनारे पूरे वायुमंडल के मॉडलों से आते हैं, केवल $T_{\mathrm{eq}}$ से नहीं।

अभ्यास 2.14 ★★★

जिस ग्रह की सतह का दाब $1000\,\mathrm{Pa}$ है, उस पर जल लगभग $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है। वहाँ जल किन तापमानों के बीच द्रव रह सकता है? $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ वाले दिन उस ग्रह पर किसी झील का क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 2.14.

गलनांक, लगभग $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , और क्वथनांक, लगभग $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , के बीच। $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर झील उबल जाती।

अभ्यास 2.15 ★★★

एक ग्रह सूर्य से आधी दीप्ति वाले तारे से $1.2\,\mathrm{au}$ पर परिक्रमा करता है। तारे के वासयोग्य क्षेत्र के किनारे परिकलित कीजिए और बताइए कि ग्रह उसके भीतर है या नहीं। इस उत्तर पर कितना भरोसा किया जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 2.15.

$\sqrt{0.5} \approx 0.707$ : $0.707 \times 0.99 \approx 0.70\,\mathrm{au}$ से $0.707 \times 1.70 \approx 1.20\,\mathrm{au}$ तक। ग्रह ठीक बाहरी किनारे पर है। किनारे मॉडलों के परिणाम हैं और मापन सन्निकट है, इसलिए यह कहना असंभव है कि वह भीतर है या बाहर।

2.7 समस्या: क्या प्रॉक्सिमा b पर महासागर टिक सकता है?

समस्या 2.1

सप्ताहांत समस्या — एक धुँधले लाल तारे के प्रकाश से उसके निकटतम ग्रह के तापमान तक

एक विद्यार्थी ग्रह प्रॉक्सिमा b की आँकड़ा-तालिका पढ़ता है। उसके तारे की दीप्ति $L = 0.00151\,L_\odot$ है; ग्रह $d = 0.0485\,\mathrm{au}$ पर 11.18 दिनों में परिक्रमा करता है और उसका द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का कम से कम 1.055 गुना है। $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ , सूर्य का वासयोग्य क्षेत्र $0.99\text{ से }1.70\,\mathrm{au}$ , और पृथ्वी का पलायन वेग $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ लीजिए।

भाग I — तारे का प्रकाश।

ग्रह पर किरणन को पृथ्वी पर के किरणन के भिन्न के रूप में, $L/d^2$ (जहाँ $L$ सौर दीप्तियों में और $d$ खगोलीय इकाइयों में), परिकलित कीजिए।
इसे $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में व्यक्त कीजिए।
इसकी तुलना शुक्र पर ( $2601\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) और मंगल पर ( $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) के किरणन से कीजिए।
पृथ्वी के एक वर्ष में ग्रह के कितने वर्ष समाते हैं?

भाग II — वायुमंडल के बिना तापमान।

उस किरणन पर एक पूर्णतः काले ग्रह ( $A = 0$ ) का साम्य तापमान परिकलित कीजिए।
शुक्र जितने चमकीले ग्रह ( $A = 0.77$ ) के लिए इसे परिकलित कीजिए।
इन दोनों में से कौन-सा तापमान जल के हिमांक से ऊपर है? ये दोनों परिणाम बादलों और बर्फ़ की भूमिका के बारे में क्या दिखाते हैं?

भाग III — वासयोग्य क्षेत्र।

$\sqrt{L/L_\odot}$ परिकलित कीजिए।
तारे के वासयोग्य क्षेत्र का भीतरी किनारा परिकलित कीजिए।
उसका बाहरी किनारा परिकलित कीजिए।
क्या प्रॉक्सिमा b वासयोग्य क्षेत्र के भीतर है?
सूर्य से किस दूरी पर किसी ग्रह को प्रॉक्सिमा b जितना किरणन मिलेगा? वह सूर्य के वासयोग्य क्षेत्र में कहाँ होगा?

भाग IV — वायुमंडल और जल?

यदि ग्रह का माध्य घनत्व पृथ्वी जितना होता, तो उसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या का $1.055^{1/3}$ गुना होती। यह गुणक परिकलित कीजिए।
पलायन वेग $\sqrt{M/R}$ के समानुपाती है। ग्रह के पलायन वेग का अनुमान लगाइए। क्या वह वायुमंडल बनाए रख सकता है?
द्रव्यमान केवल न्यूनतम मान के रूप में ही क्यों ज्ञात है?
प्रावस्था आरेख पर, सतह का वह न्यूनतम दाब क्या है जिस पर द्रव जल संभव हो?
पृथ्वी के एल्बिडो, 0.294, के साथ प्रॉक्सिमा b का साम्य तापमान परिकलित कीजिए।
तब उसके ग्रीनहाउस प्रभाव को उसे कितने केल्विन गरम करना होगा ताकि उसकी सतह पृथ्वी के औसत तापमान, $288\,\mathrm{K}$ , तक पहुँचे?

हल

हल — समस्या 2.1.

1. $0.00151/0.0485^2 \approx 0.642$ ।

2. $0.642 \times 1361 \approx 874\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ।

3. दोनों के बीच: शुक्र से लगभग तीन गुना कम, मंगल से डेढ़ गुना अधिक।

4. $365.25/11.18 \approx 32.7$ ।

5. $(874/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx 249\,\mathrm{K}$ ।

6. $(874 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 173\,\mathrm{K}$ ।

7. कोई नहीं: $249\,\mathrm{K}$ भी $273\,\mathrm{K}$ से नीचे है। बादलों या बर्फ़ का चमकीला आवरण साम्य तापमान को $75\,\mathrm{K}$ से अधिक घटा देता है: ग्रह को क्या ढके हुए है, यह उतना ही मायने रखता है जितना उसकी दूरी।

8. $\sqrt{0.00151} \approx 0.0389$ ।

9. $0.99 \times 0.0389 \approx 0.0385\,\mathrm{au}$ ।

10. $1.70 \times 0.0389 \approx 0.066\,\mathrm{au}$ ।

11. हाँ: $0.0385 < 0.0485 < 0.066$ ।

12. $d_\odot = 0.0485/0.0389 \approx 1.25\,\mathrm{au}$ : सूर्य के वासयोग्य क्षेत्र के भीतरी आधे भाग में, पृथ्वी और मंगल के बीच।

13. $1.055^{1/3} \approx 1.018$ ।

14. $11.2 \times \sqrt{1.055/1.018} \approx 11.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , लगभग पृथ्वी जितना: उसका गुरुत्व वायुमंडल रोक सकता है (वायुमंडल है या नहीं, यह उसके इतिहास पर निर्भर करता है)।

15. तारे की डगमगाहट उसकी गति का केवल वह भाग दिखाती है जो हमारी दृष्टि रेखा के अनुदिश है; चूँकि कक्षा का झुकाव अज्ञात है, मिला द्रव्यमान वास्तविक द्रव्यमान तभी है जब कक्षा किनारे से दिखे, अन्यथा वह न्यूनतम है।

16. त्रिक बिंदु का दाब, $611.657\,\mathrm{Pa}$ , लगभग $0.006\,\mathrm{bar}$ ।

17. $(874 \times 0.706/(4\sigma))^{1/4} \approx 228\,\mathrm{K}$ ।

18. $288 - 228 = 60\,\mathrm{K}$ : प्रॉक्सिमा b को लगभग $60\,\mathrm{K}$ की ग्रीनहाउस तापवृद्धि चाहिए, पृथ्वी के $33\,\mathrm{K}$ की लगभग दुगुनी।

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