25रेडियोमितीय काल-निर्धारण और पृथ्वी की आयु

1862 में भौतिकविद् विलियम थॉमसन, बाद में लॉर्ड केल्विन, ने पृथ्वी के ठंडे होने के ढंग से उसकी आयु निकाली। उन्होंने माना कि वह पिघली अवस्था में बनी थी और तब से अपनी ऊष्मा खोती रही है, और पूछा कि सतह के निकट तापमान-प्रवणता को अपने वर्तमान मान तक गिरने में कितना समय लगेगा। उनका उत्तर था 96 मिलियन वर्ष, 20 और 400 मिलियन के बीच कहीं; 1897 तक उन्होंने इसे 20 और 40 मिलियन के बीच संकरा कर दिया। भूवैज्ञानिकों ने इसे उस इतिहास के लिए बहुत कम पाया जो वे चट्टानों में पढ़ते थे। उत्तर रेडियोधर्मिता से आया, जिसे केल्विन नहीं जानते थे।

पहले से ज्ञात

सापेक्ष काल-निर्धारण चट्टानों और घटनाओं को क्रम में रखता है; निरपेक्ष आयु वर्षों की एक संख्या है (पुस्तक 1, कक्षा 7)। कोई रेडियोधर्मी समस्थानिक, जनक, यादृच्छिक रूप से एक संतति समस्थानिक में क्षयित होता है: बचे हुए जनक परमाणुओं की संख्या $N$ $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ के अनुसार घटती है, जहाँ $\lambda$ क्षय-स्थिरांक है, और हर अर्ध-आयु $T = \ln 2/\lambda$ में आधी होती है (भौतिकी की पुस्तकें)। सबसे पुराने ज्ञात खनिज, पश्चिमी ऑस्ट्रेलिया के ज़र्कॉन, 4.4 अरब वर्ष पुराने हैं (अध्याय 19)। पृथ्वी वह ऊष्मा भी खोती है जिसे रेडियोधर्मिता बनाती रहती है, और उसके प्रावार में संवहन होता है (अध्याय 24)।

25.1 अनुमानों का एक इतिहास

रेडियोधर्मिता से पहले, पृथ्वी की आयु का हर अनुमान किसी ऐसी प्रक्रिया पर टिका था जिसकी दर ज्ञात मानी गई थी।

इतिहास — केल्विन की लुप्त ऊष्मा

1903 में पियरे क्यूरी और अल्बेर लाबोर्द ने दिखाया कि रेडियम ऊष्मा छोड़ता है, और कई वैज्ञानिकों ने जल्द ही तर्क दिया कि यह ऊष्मा केल्विन के निष्कर्ष को उलट देती है। एक वर्ष बाद अर्नेस्ट रदरफ़ोर्ड ने, जब श्रोताओं में केल्विन बैठे थे, व्याख्यान देते हुए उन्हें याद दिलाया कि उन्होंने पृथ्वी की आयु की सीमा “इस शर्त पर कि ऊष्मा का कोई नया स्रोत न खोजा जाए” बाँधी थी। रेडियोधर्मिता वही स्रोत लगती थी। फिर भी यह केल्विन की मुख्य त्रुटि नहीं थी: पृथ्वी के शीतलन को सबसे अधिक लंबा करने वाला प्रावार संवहन है, जो ऊपरी प्रावार को गरम और भूपर्पटी में प्रवणता को केवल चालन की अपेक्षा कहीं अधिक समय तक ऊँचा रखता है।

रेडियोधर्मिता ने एक घड़ी भी दी। 1907 में बर्ट्रम बोल्टवुड ने दिखाया कि एक ही आयु के यूरेनियम खनिजों में यूरेनियम के हर ग्राम के लिए सीसे की मात्रा समान होती है: सीसा यूरेनियम से बनता है। 1913 तक आर्थर होम्स लिख सके कि काल-निर्धारित सबसे पुरानी चट्टानें $1600$ मिलियन वर्ष पुरानी थीं, और 1927 में उन्होंने पृथ्वी की आयु 1.6 और 3.0 अरब वर्ष के बीच रखी। 1956 में क्लेयर पैटरसन ने 4.55 अरब वर्ष मापे। आज का मान 4.54 अरब वर्ष है, एक प्रतिशत के भीतर।

25.2 एक रेडियोधर्मी घड़ी

रेडियोधर्मी घड़ी तभी काम करती है जब उसके चलना शुरू करने के बाद से उसमें न कुछ जोड़ा गया हो, न उससे कुछ निकाला गया हो।

परिभाषा 25.1 (बंद तंत्र)

कोई चट्टान या खनिज किसी जनक समस्थानिक और उसकी संतति के लिए बंद तंत्र है, यदि उसकी घड़ी चलना शुरू होने के क्षण से, जनक या संतति का कोई भी परमाणु उसमें न आया हो और न उससे गया हो, सिवाय जनक के संतति में क्षय द्वारा।

किसी खनिज के लिए घड़ी तब शुरू होती है जब वह किसी मैग्मा से क्रिस्टलित होता है, या अधिक ठीक-ठीक, जब वह इतना ठंडा हो चुका होता है कि परमाणु उसमें आना-जाना बंद कर दें। गरम होना, कोई गरम तरल या अपक्षय तंत्र को फिर से खोल सकते हैं, और तब मापी गई आयु ग़लत होती है, या उस बाद की घटना की तिथि बताती है।

किसी बंद तंत्र में संतति परमाणुओं को गिनने से आयु मिलती है, बशर्ते यह ज्ञात हो कि शुरुआत में कितने थे। प्रायः यह ज्ञात नहीं होता। रुबिडियम-87 स्ट्रॉन्शियम-87 में क्षयित होता है, पर हर खनिज ने बनते समय कुछ स्ट्रॉन्शियम-87 भी ग्रहण किया था। समकालरेखा विधि एक चट्टान के कई खनिजों को मापकर इस कठिनाई से बचती है।

25.3 समकालरेखा

स्ट्रॉन्शियम का एक समस्थानिक, स्ट्रॉन्शियम-86, स्थायी है और किसी क्षय से नहीं बनता: बंद तंत्र में उसकी संख्या वही रहती है, और वह एक मापदंड का काम करता है। समस्थानिक अनुपात $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ और $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ वे हैं जिन्हें द्रव्यमान स्पेक्ट्रममापी मापता है।

प्रमेय 25.2 (समकालरेखा समीकरण)

किसी ऐसे खनिज में जो समय $t$ से बंद तंत्र रहा है,

$$\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{आज}} = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0} + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{आज}} \left(e^{\lambda t} - 1\right),$$

जहाँ सूचकांक 0 उस मान को दर्शाता है जब घड़ी चलनी शुरू हुई, और $\lambda$ रुबिडियम-87 का क्षय-स्थिरांक है।

किसी ग्रेनाइट के खनिज एक ही मैग्मा से क्रिस्टलित हुए, इसलिए उन सबने एक ही अनुपात $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$ से शुरुआत की। पर उन्होंने रुबिडियम की बहुत भिन्न मात्राएँ ग्रहण कीं। उन सबका $t$ और प्रारंभिक अनुपात एक ही है, इसलिए समीकरण कहता है कि उनके बिंदु एक ही सीधी रेखा पर पड़ते हैं।

परिभाषा 25.3 (समकालरेखा)

समकालरेखा वह सीधी रेखा है जिस पर उन खनिजों या चट्टानों के बिंदु पड़ते हैं जो एक ही समय पर एक ही स्रोत से बने और तब से बंद तंत्र रहे हैं, जब संतति और स्थायी समस्थानिक के अनुपात को जनक और स्थायी समस्थानिक के अनुपात के सापेक्ष आलेखित किया जाता है। उसका ढाल उनकी आयु देता है, और वह बिंदु जहाँ वह ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिलती है, उनका प्रारंभिक अनुपात देता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.4 (ढाल से आयु)

यदि किसी समकालरेखा का ढाल $m$ है, तो आयु है

$$t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.$$

रुबिडियम-87 के लिए $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ प्रति वर्ष, यानी $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ अरब वर्ष की अर्ध-आयु: पृथ्वी की आयु के दस गुने से भी अधिक।

विधि 25.5 (समकालरेखा से किसी चट्टान का काल-निर्धारण)

1. चट्टान के कई खनिज अलग कीजिए (या उसके कई नमूने लीजिए) जिनमें रुबिडियम की मात्राएँ भिन्न हों।
2. हर एक में अनुपात $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($x$) और $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($y$) मापिए।
3. $y$ को $x$ के सापेक्ष आलेखित कीजिए और जाँचिए कि बिंदु एक सीधी रेखा पर पड़ते हैं: यदि कोई नहीं पड़ता, तो वह नमूना बंद तंत्र नहीं था।
4. रेखा का ढाल $m$ लीजिए, और $t = \ln(1+m)/\lambda$ परिकलित कीजिए।
5. जहाँ रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिलती है, वहाँ प्रारंभिक अनुपात पढ़िए।

उदाहरण 25.6 (वार्डन ग्रेनाइट)

वार्डन पहाड़ियों का ग्रेनाइट, श्रृंखला का कल्पित क्षेत्र, ये अनुपात देता है (अभ्यास के आँकड़े):

नमूना	$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$
प्लेजियोक्लेज़	0.35	0.70952
हॉर्नब्लेंड	1.20	0.71321
पूर्ण चट्टान	3.10	0.72146
K-फ़ेल्डस्पार	6.40	0.73578
बायोटाइट	24.0	0.81218

प्लेजियोक्लेज़ और बायोटाइट से होकर ढाल है $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$। तब $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ वर्ष: ग्रेनाइट 310 मिलियन वर्ष पुराना है। रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष से $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$ पर मिलती है, यही प्रारंभिक अनुपात है।

प्रयोगशाला में — परमाणुओं को तौलना

अनुपात द्रव्यमान स्पेक्ट्रममापी से मापे जाते हैं। किसी खनिज के कुछ मिलीग्राम अम्ल में घोले जाते हैं, और स्ट्रॉन्शियम को रसायन द्वारा रुबिडियम से अलग किया जाता है, क्योंकि अन्यथा द्रव्यमान 87 के दोनों समस्थानिक एक साथ गिने जाते। स्ट्रॉन्शियम, धातु के एक तंतु पर जमाकर निर्वात में गरम किए जाने पर, आयन छोड़ता है; एक विद्युत क्षेत्र उन्हें तेज़ करता है और एक चुंबक उनके पथ मोड़ता है, हल्के आयनों को भारी आयनों से अधिक, जिससे हर समस्थानिक अपने संग्राहक तक पहुँचता है। उनकी धाराएँ अनुपात देती हैं।

प्रारंभिक अनुपात इसका भी सुराग है कि मैग्मा कहाँ से आया। प्रावार के पिघलने पर रुबिडियम गलित को पसंद करता है, इसलिए युगों में वह महाद्वीपीय भूपर्पटी में सांद्रित होता गया है, जिसने इसलिए अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 बनाया है: भूपर्पटी की चट्टानों का $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ प्रावार की चट्टानों से अधिक होता है। पिघली भूपर्पटी से बना मैग्मा वह ऊँचा अनुपात विरासत में पाता है।

25.4 पृथ्वी की आयु

पृथ्वी पर कोई चट्टान पृथ्वी के आरंभ तक नहीं जाती: सबसे पुरानी ज्ञात चट्टान, अकास्टा नाइस, 4.03 अरब वर्ष पुरानी है, और सबसे पुराने ज़र्कॉन 4.4 अरब। तब से सतह पिघली, अपरदित हुई और पुनर्चक्रित हुई है। स्वयं पृथ्वी का काल-निर्धारण उल्कापिंडों से आता है, उन छोटे पिंडों के टुकड़े जो ग्रहों के साथ बने और जिनमें से कुछ तब से बंद तंत्र बने रहे हैं।

परिभाषा 25.7 (पृथ्वी की आयु)

पृथ्वी की आयु वह समय है जो सौर मंडल के जन्म के समय छोटे पिंडों की अभिवृद्धि से पृथ्वी के बनने के बाद से बीता है। उल्कापिंडों से रेडियोमितीय काल-निर्धारण द्वारा मापी गई यह $4.54$ अरब वर्ष है, एक प्रतिशत के भीतर।

1956 में क्लेयर पैटरसन ने तीन पथरीले उल्कापिंडों और दो लौह उल्कापिंडों में सीसे के समस्थानिक मापे। सीसे के दो समस्थानिक यूरेनियम के क्षय से बनते हैं, सीसा-206 यूरेनियम-238 से और सीसा-207 यूरेनियम-235 से, जबकि सीसा-204 किसी क्षय से नहीं बनता। स्ट्रॉन्शियम की तरह, एक ही समय पर बने उल्कापिंडों के बिंदु एक सीधी रेखा पर पड़ते हैं, जब $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ को $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ के सापेक्ष आलेखित किया जाता है। एरिज़ोना के कैनियन डियाब्लो लौह उल्कापिंड में लगभग कोई यूरेनियम नहीं है: बनने के बाद से उसका सीसा नहीं बदला है, और वह रेखा के निचले सिरे को चिह्नित करता है, वह सीसा जिससे सौर मंडल ने शुरुआत की।

सीसे के लिए ढाल $m$ दोनों यूरेनियम समस्थानिकों के माध्यम से आयु पर निर्भर है; यह संबंध यहाँ मान लिया गया है। पैटरसन द्वारा उपयोग किए गए स्थिरांकों के साथ,

जो यह देता है:

पाँचों बिंदुओं से होकर खींची गई रेखा का ढाल लगभग 0.603 है, तालिका में 4.55 और 4.60 अरब वर्ष के ढालों के बीच। पैटरसन का अपना परिणाम, मापनों और क्षय-स्थिरांकों की त्रुटियों को ध्यान में रखते हुए, 4.55 अरब वर्ष था, 0.07 कम या अधिक। फिर उन्होंने एक आधुनिक महासागरीय अवसाद का सीसा मापा, जो पृथ्वी की भूपर्पटी के एक विशाल पिंड का सीसा मिलाता है: वह उसी रेखा पर पड़ता है। पृथ्वी का सीसा उल्कापिंडों के सीसे की तरह, उतने ही समय में, विकसित हुआ है: पृथ्वी उतनी ही पुरानी है जितने वे।

तब से सैकड़ों मापनों ने इसकी पुष्टि की है। उल्कापिंड 4.53 से 4.58 अरब वर्ष तक की आयु देते हैं, और सौर मंडल के सबसे पुराने ठोस, कुछ उल्कापिंडों में मिलने वाले कैल्सियम और ऐलुमिनियम से समृद्ध छोटे अंतर्वेश, $4567.30$ मिलियन वर्ष पहले बने, 0.16 कम या अधिक। पृथ्वी बाद में ऐसे पदार्थ से बनी, इसीलिए उसकी आयु, 4.54 अरब वर्ष, उनकी आयु से थोड़ी कम है।

25.5 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

शब्द बताइए: (a) ऐसा खनिज जिसमें उसकी घड़ी शुरू होने के बाद से कोई जनक या संतति परमाणु न आया हो, न उससे गया हो; (b) वह सीधी रेखा जिस पर एक ही आयु और एक ही स्रोत के खनिज पड़ते हैं; (c) अभिवृद्धि द्वारा पृथ्वी के बनने के बाद से बीता समय।

हल

हल — अभ्यास 25.1.

(a) बंद तंत्र; (b) समकालरेखा; (c) पृथ्वी की आयु।

अभ्यास 25.2 ★

वार्डन ग्रेनाइट की तालिका का उपयोग करके उसके पाँच नमूनों को उनके रुबिडियम-87 और स्ट्रॉन्शियम-86 के अनुपात के क्रम में, सबसे कम से शुरू करके, रखिए। उनमें से कौन समकालरेखा पर सबसे ऊँचा पड़ता है, और उसने सबसे अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 क्यों बनाया है?

हल

हल — अभ्यास 25.2.

प्लेजियोक्लेज़ (0.35), हॉर्नब्लेंड (1.20), पूर्ण चट्टान (3.10), K-फ़ेल्डस्पार (6.40), बायोटाइट (24.0)। बायोटाइट सबसे ऊँचा पड़ता है: उसमें अपने स्ट्रॉन्शियम-86 की तुलना में सबसे अधिक रुबिडियम-87 है, इसलिए ग्रेनाइट के बनने के बाद से उसके रुबिडियम ने सबसे अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 बनाया है।

अभ्यास 25.3 ★

रुबिडियम-87 की अर्ध-आयु उसके क्षय-स्थिरांक, प्रति वर्ष $1.3972 \times 10^{-11}$, से परिकलित कीजिए। यह पृथ्वी की आयु का कितना गुना है?

हल

हल — अभ्यास 25.3.

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ वर्ष, यानी 49.6 अरब वर्ष: पृथ्वी की आयु का $49.6/4.54 \approx 11$ गुना।

अभ्यास 25.4 ★

रुबिडियम-87 के लिए $e^{\lambda t} - 1$ परिकलित कीजिए, $t = 310$ मिलियन वर्ष और $t = 480$ मिलियन वर्ष के लिए।

हल

हल — अभ्यास 25.4.

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$, और $e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$। 480 मिलियन वर्ष के लिए, $\lambda t \approx 0.006707$ और $e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$। दोनों स्वयं $\lambda t$ के निकट हैं, क्योंकि $\lambda t$ छोटा है।

अभ्यास 25.5 ★

फ़िलिप्स, होम्स (1927), जॉली, केल्विन (1862) और पैटरसन के अनुमानों को तिथि के क्रम में रखिए। पृथ्वी की आज की आयु जॉली के अनुमान के ऊपरी सिरे का कितना गुना है?

हल

हल — अभ्यास 25.5.

फ़िलिप्स (1860), केल्विन (1862), जॉली (1899), होम्स (1927), पैटरसन (1956)। $4540/100 \approx 45$ गुना।

अभ्यास 25.6 ★★

वार्डन ग्रेनाइट (310 मिलियन वर्ष, प्रारंभिक अनुपात 0.7080) के एक खनिज का $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$ है। आज उसका $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ क्या है? ग्रेनाइट के बनने के समय यह क्या था?

हल

हल — अभ्यास 25.6.

आज $0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$; ग्रेनाइट के बनने के समय 0.7080, ग्रेनाइट के हर खनिज की तरह।

अभ्यास 25.7 ★★

वार्डन शिस्ट के चार नमूने $(x, y)$ = (0.90, 0.71806), (2.60, 0.72950), (5.10, 0.74632) और (9.40, 0.77525) देते हैं, जहाँ $x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ और $y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$। (1) पहले और अंतिम नमूनों से ढाल और आयु परिकलित कीजिए। (2) जाँचिए कि बीच के दोनों नमूने उसी रेखा पर पड़ते हैं। (3) क्या यह परिणाम ग्रेनाइट के 310 मिलियन वर्ष और अनुप्रस्थ काट के सिद्धांत से संगत है?

हल

हल — अभ्यास 25.7.

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$; $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ वर्ष, यानी 480 मिलियन वर्ष। (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ और $0.71806 + 4.20 \times 0.006728 \approx 0.74632$: दोनों रेखा पर हैं। (3) हाँ: ग्रेनाइट शिस्ट को काटता है, इसलिए वह नया है, और 310, 480 मिलियन वर्ष से कम है।

अभ्यास 25.8 ★★

जिस चट्टान के सभी खनिजों में रुबिडियम और स्ट्रॉन्शियम का अनुपात एक ही हो, वह समकालरेखा क्यों नहीं देती? वार्डन ग्रेनाइट में बायोटाइट दूसरे खनिजों की अपेक्षा ढाल को बेहतर क्यों तय करता है?

हल

हल — अभ्यास 25.8.

उसके सभी बिंदु एक ही स्थान पर पड़ेंगे: एक बिंदु न कोई रेखा तय करता है, न कोई ढाल। बायोटाइट दूसरों से बहुत दाईं ओर पड़ता है; तब किसी भी बिंदु की एक छोटी त्रुटि उससे और प्लेजियोक्लेज़ से होकर जाने वाली रेखा के ढाल को उससे कहीं कम बदलती है जितना वह पास-पास के दो बिंदुओं के लिए बदलती।

अभ्यास 25.9 ★★

वार्डन ग्रेनाइट के बनने के बहुत बाद, एक गरम तरल के कारण उसके बायोटाइट ने अपने स्ट्रॉन्शियम-87 का कुछ भाग खो दिया। (1) समकालरेखा आरेख पर उसका बिंदु कहाँ खिसकता है? (2) तब अकेले बायोटाइट और प्लेजियोक्लेज़ कौन-सी आयु देंगे: बहुत अधिक या बहुत कम? (3) समकालरेखा विधि इस समस्या को कैसे प्रकट करती है?

हल

हल — अभ्यास 25.9.

(1) उसका रुबिडियम नहीं बदला है, इसलिए उसका $x$ वही रहता है; उसमें स्ट्रॉन्शियम-87 कम है, इसलिए उसका $y$ गिरता है: बिंदु सीधे नीचे खिसकता है। (2) उससे और प्लेजियोक्लेज़ से होकर जाने वाली रेखा कम ढलवाँ होती है, और बहुत कम आयु देती है। (3) बायोटाइट अब दूसरे खनिजों से होकर जाने वाली रेखा पर नहीं पड़ता: बिंदु एक रेखा में नहीं हैं, जो इसका संकेत है कि एक नमूना बंद तंत्र नहीं रहा है।

अभ्यास 25.10 ★★

(1) पृथ्वी की आयु केल्विन के 96 मिलियन वर्ष से कितने गुना अधिक है? (2) जॉली ने माना कि नदियाँ समुद्र तक नमक स्थिर दर से लाती हैं और उसमें से कुछ भी समुद्र से नहीं निकलता। इनमें से कौन-सी मान्यता, ग़लत होने पर, उनकी आयु को बहुत कम कर देती है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 25.10.

(1) $4540/96 \approx 47$ गुना। (2) यदि कुछ नमक समुद्र से निकल जाता है, उदाहरण के लिए अवसादों में दबकर, तो समुद्र में उस सारे नमक से कम नमक होता है जो नदियाँ लाईं: मौजूद नमक को वार्षिक आपूर्ति से भाग देने पर बहुत कम समय मिलता है।

अभ्यास 25.11 ★★

कैनियन डियाब्लो (9.46, 10.34) और नुएवो लारेदो (50.28, 34.86) के लिए पैटरसन के मानों का उपयोग करके, दोनों उल्कापिंडों से होकर जाती रेखा का ढाल परिकलित कीजिए, और ढालों की तालिका से आयु पढ़िए।

हल

हल — अभ्यास 25.11.

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$, जो 4.55 (0.590) और 4.60 अरब वर्ष (0.610) के ढालों के बीच है: लगभग 4.58 अरब वर्ष।

अभ्यास 25.12 ★★★

वार्डन क्षेत्र का एक बेसाल्ट, वह भी 310 मिलियन वर्ष पुराना, का प्रारंभिक अनुपात 0.7035 है, जबकि ग्रेनाइट का 0.7080। (1) कौन-सी चट्टान पिघले प्रावार से आई होने की अधिक संभावना रखती है, और कौन-सी पिघली भूपर्पटी से? (2) रुबिडियम के बारे में आप जो जानते हैं, उससे कारण समझाइए। (3) क्या दोनों एक ही मैग्मा से क्रिस्टलित हो सकती थीं?

हल

हल — अभ्यास 25.12.

(1) बेसाल्ट, कम अनुपात वाला, प्रावार से; ग्रेनाइट, ऊँचे अनुपात वाला, कम से कम आंशिक रूप से पिघली भूपर्पटी से। (2) प्रावार के पिघलने पर रुबिडियम गलित में चला जाता है, इसलिए वह भूपर्पटी में सांद्रित होता गया है, जिसने युगों में अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 बनाया है। (3) नहीं: एक ही मैग्मा से क्रिस्टलित होने वाले खनिज उसका प्रारंभिक अनुपात साझा करते हैं, और ये दोनों चट्टानें नहीं करतीं।

अभ्यास 25.13 ★★★

(1) पृथ्वी के बनने के समय मौजूद रुबिडियम-87 का कितना अंश आज बचा है? और यूरेनियम-238 का (अर्ध-आयु 4.47 अरब वर्ष)? (2) एक मिलियन वर्ष पुरानी चट्टान के लिए रुबिडियम–स्ट्रॉन्शियम समकालरेखा का ढाल क्या होगा? नई चट्टानों के लिए रुबिडियम–स्ट्रॉन्शियम एक कमज़ोर घड़ी क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 25.13.

(1) रुबिडियम-87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$, लगभग $94\,\%$ बचा है; यूरेनियम-238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$, लगभग आधा। (2) $m = e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx 1.4 \times 10^{-5}$: वार्डन ग्रेनाइट का बायोटाइट भी ($x = 24$) प्रारंभिक अनुपात से केवल $0.0003$ ऊपर उठेगा। इतना कम स्ट्रॉन्शियम-87 बना है कि ढाल को शून्य से अलग पहचानना कठिन है: धीमी घड़ी पुरानी चट्टानों के लिए उपयुक्त है।

अभ्यास 25.14 ★★★

पैटरसन के पाँच उल्कापिंडों से होकर जाने वाली रेखा $y = 4.438 + 0.6026\,x$ है। (1) यह रेखा महासागरीय अवसाद के लिए कौन-सा $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ बताती है, जो $x = 19.0$ पर है? पैटरसन ने 15.5 मापा: वे कितने प्रतिशत भिन्न हैं? (2) तालिका से ढाल 0.6026 कौन-सी आयु देता है? इसकी तुलना पैटरसन के $4.55 \pm 0.07$ अरब वर्ष से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 25.14.

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$; $15.5$ इससे $0.39$ कम है, लगभग $2.4\,\%$: अवसाद रेखा के निकट पड़ता है। (2) 0.6026, 0.590 (4.55) और 0.610 (4.60) के बीच है: लगभग 4.58 अरब वर्ष, पैटरसन के 4.48 से 4.62 अरब वर्ष के परास के भीतर।

अभ्यास 25.15 ★★★

केल्विन ने माना कि पृथ्वी द्वारा खोई जाने वाली सारी ऊष्मा, आज $46.7\,\mathrm{TW}$, संचित ऊष्मा है। (1) रेडियोधर्मिता उसमें से लगभग $24.4\,\mathrm{TW}$ की पूर्ति करती है। अकेले यह किसी दिए गए ऊष्मा-भंडार को खोने के समय को कितना लंबा करती है? (2) 96 मिलियन वर्ष से शुरू करके, क्या यह वास्तविक आयु तक पहुँचने के लिए पर्याप्त है? (3) केल्विन से वह क्या छूटा जो इससे अधिक महत्त्वपूर्ण है?

हल

हल — अभ्यास 25.15.

(1) तब भंडार शुद्ध रूप से केवल $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ खोता है, इसलिए वही भंडार $46.7/22.3 \approx 2.1$ गुना अधिक समय तक चलता है। (2) $96 \times 2.1 \approx 200$ मिलियन वर्ष, अब भी बीस गुने से अधिक कम। (3) प्रावार संवहन, जो ऊष्मा को गहरे भीतर से ऊपर लाता है और सतह के निकट प्रवणता को केवल चालन की अपेक्षा कहीं अधिक समय तक ऊँचा रखता है।

समस्या 25.1

सप्ताहांत समस्या — वार्डन ग्रेनाइट का काल-निर्धारण

वार्डन पहाड़ियों का ग्रेनाइट, श्रृंखला का कल्पित क्षेत्र, अपने चारों ओर के शिस्ट को काटता है। एक प्रयोगशाला ने उसके पाँच नमूने मापे (ऊपर का उदाहरण): प्लेजियोक्लेज़ (0.35, 0.70952), हॉर्नब्लेंड (1.20, 0.71321), पूर्ण चट्टान (3.10, 0.72146), K-फ़ेल्डस्पार (6.40, 0.73578) और बायोटाइट (24.0, 0.81218), हर एक $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$ के रूप में। रुबिडियम-87 का क्षय-स्थिरांक प्रति वर्ष $1.3972 \times 10^{-11}$ है।

भाग I — नमूने।

1. कौन-सा नमूना स्ट्रॉन्शियम की तुलना में रुबिडियम में सबसे समृद्ध है?
2. सभी खनिजों ने एक ही $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ से शुरुआत क्यों की?
3. अनुपात स्ट्रॉन्शियम-86 के सापेक्ष क्यों लिए जाते हैं?
4. ग्रेनाइट के बनने के बाद से तीनों में से कौन-सा समस्थानिक बढ़ा है, और क्यों?
5. जब ग्रेनाइट अभी-अभी बना था, तब आरेख पर पाँचों बिंदु कैसे दिखते थे?

भाग II — समकालरेखा।

6. प्लेजियोक्लेज़ और बायोटाइट से होकर ढाल परिकलित कीजिए।
7. प्लेजियोक्लेज़ और पूर्ण चट्टान से होकर ढाल परिकलित कीजिए।
8. दोनों ढालों की तुलना कीजिए। कौन-सा अधिक विश्वसनीय है, और क्यों?
9. ज्ञात कीजिए कि प्रश्न 6 की रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष से कहाँ मिलती है।
10. जाँचिए कि K-फ़ेल्डस्पार उस रेखा पर पड़ता है।

भाग III — ढाल और आयु।

11. ढाल और $e^{\lambda t}$ के बीच का संबंध लिखिए।
12. $\lambda t$ परिकलित कीजिए।
13. आयु $t$ परिकलित कीजिए।
14. शिस्ट की आयु 480 मिलियन वर्ष निर्धारित की गई है। क्या दोनों आयुओं का क्रम वही है जो क्षेत्र-संबंध माँगते हैं?
15. कार्बोनिफ़ेरस 358.9 से 298.9 मिलियन वर्ष पहले तक चलता है। ग्रेनाइट किस कल्प में बना?

भाग IV — प्रारंभिक अनुपात और स्रोत।

16. अंतःखंड, 0.7080, क्या दर्शाता है?
17. क्षेत्र का एक बेसाल्ट 0.7035 के अनुपात के साथ बना। किस चट्टान का प्रारंभिक अनुपात अधिक है?
18. भूपर्पटी की चट्टानों के अनुपात प्रावार से अधिक क्यों होते हैं?
19. ग्रेनाइट का प्रारंभिक अनुपात उस चट्टान के बारे में क्या सुझाता है जो उसे बनाने के लिए पिघली?
20. सारांश दीजिए: वार्डन ग्रेनाइट कितना पुराना है?

हल

हल — समस्या 25.1.

1. बायोटाइट ($x = 24.0$)।

2. वे एक ही मैग्मा से क्रिस्टलित हुए, और एक ही गलित से क्रिस्टलित होने वाले खनिज उसका स्ट्रॉन्शियम उसके समस्थानिक-अनुपात के साथ ग्रहण करते हैं।

3. स्ट्रॉन्शियम-86 स्थायी है और किसी क्षय से नहीं बनता: बंद तंत्र में उसकी संख्या नहीं बदलती, इसलिए वह एक स्थिर मापदंड है।

4. स्ट्रॉन्शियम-87, जो रुबिडियम-87 के क्षय से बनता है; रुबिडियम-87 घटा है और स्ट्रॉन्शियम-86 वैसा ही रहा है।

5. $y = 0.7080$ पर एक क्षैतिज रेखा: अनुपात वही, $x$ भिन्न।

6. $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx 0.004341$।

7. $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx 0.004342$।

8. वे 4000 में 1 के भीतर मेल खाते हैं। पहला अधिक विश्वसनीय है: उसके दोनों बिंदु दूर-दूर हैं, इसलिए अनुपातों का पूर्णांकन कम मायने रखता है।

9. $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$।

10. $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: ठीक मापा गया मान।

11. $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$।

12. $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$।

13. $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ वर्ष।

14. हाँ: ग्रेनाइट शिस्ट को काटता है, इसलिए अनुप्रस्थ काट के सिद्धांत से वह नया है, और 310, 480 मिलियन वर्ष से कम है।

15. 310 मिलियन वर्ष, 358.9 और 298.9 मिलियन वर्ष के बीच पड़ता है: कार्बोनिफ़ेरस।

16. ग्रेनाइट के क्रिस्टलित होने के समय मैग्मा का अनुपात $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$।

17. ग्रेनाइट: $0.7080 > 0.7035$।

18. प्रावार के पिघलने पर रुबिडियम गलित में चला जाता है, इसलिए वह भूपर्पटी में सांद्रित होता गया है; अधिक रुबिडियम के साथ, भूपर्पटी ने अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 बनाया है।

19. यह कि मैग्मा, कम से कम आंशिक रूप से, केवल प्रावार से नहीं, बल्कि पिघली महाद्वीपीय भूपर्पटी से आया।

20. वार्डन ग्रेनाइट 310 मिलियन वर्ष पुराना है।