24पृथ्वी की आंतरिक ऊष्मा

1987 और 1995 के बीच, बवेरिया में विंडिशेशेनबाख गाँव के निकट, भूवैज्ञानिकों ने महाद्वीपीय भूपर्पटी में $9101\,\mathrm{m}$ गहरा एक छेद खोदा। तली पर चट्टान लगभग $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर थी, इतनी गरम कि और गहरा खोदना संभव नहीं था।

सतह पर लगभग $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से $9.1\,\mathrm{km}$ पर $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक की वृद्धि प्रति किलोमीटर लगभग $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, एक सामान्य मान। पृथ्वी पर हर जगह नीचे की ओर गरमी बढ़ती है, इसलिए ऊष्मा पृथ्वी से लगातार बाहर बहती है। यह अध्याय उस प्रवाह को मापता है, पूछता है कि ऊष्मा कहाँ से आती है, और दिखाता है कि वह कैसे चलती है।

पहले से ज्ञात

भूतापीय वक्र किसी स्थान के नीचे गहराई के सापेक्ष तापमान का वक्र है, और भूतापीय प्रवणता प्रति किलोमीटर तापमान की वृद्धि; बोरछिद्र सतह के निकट प्रति किलोमीटर 25 से $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ मापते हैं (अध्याय 12)। कुछ परमाणु रेडियोधर्मी होते हैं: वे यादृच्छिक रूप से क्षयित होते हैं, बचे हुए परमाणुओं की संख्या हर अर्ध-आयु में आधी होती जाती है, और हर क्षय ऊर्जा मुक्त करता है, जो अंत में ऊष्मा बन जाती है (भौतिकी की पुस्तकें)। संवहन कोष्ठ तरल का एक लूप है जो नीचे से गरम होता है, ऊपर उठता है, फैलता है, ठंडा होता है और डूबता है (पुस्तक 1, कक्षा 8)। तप्त स्थल पर कोई प्लेट गरम प्रावार के एक प्लूम के ऊपर से चलती है (अध्याय 13)।

24.1 प्रवणता और ऊष्मा-प्रवाह

परिभाषा 24.1 (ऊष्मा-प्रवाह)

किसी स्थान पर ऊष्मा-प्रवाह (या ऊष्मा-फ़्लक्स) वह शक्ति है जो वहाँ पृथ्वी के भीतरी भाग से उसकी सतह के हर वर्ग मीटर से होकर निकलती है। इसे मिलीवाट प्रति वर्ग मीटर ($\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$) में मापा जाता है।

ऊष्मा गरम से ठंडे की ओर बहती है, और तापमान-प्रवणता जितनी तीव्र, वह उतनी ही तेज़ी से बहती है। कितनी बहती है, यह चट्टान पर भी निर्भर है: हर चट्टान की एक ऊष्मा-चालकता $k$ होती है, वाट प्रति मीटर प्रति केल्विन में, जिसे भौतिकी की पुस्तकें परिभाषित करती हैं।

प्रतिज्ञप्ति 24.2 (ऊष्मा-प्रवाह और प्रवणता)

ऊष्मा-चालकता $k$ वाली ऐसी चट्टान से होकर, जिसमें तापमान गहराई के साथ प्रवणता $G$ (केल्विन प्रति मीटर में) से बढ़ता है, सतह की ओर ऊपर ऊष्मा-प्रवाह है

$$q = k\,G .$$

चालन का यह नियम, जो फ़ूरिए का है, यहाँ मान लिया गया है; भौतिकी की पुस्तकें इसे एक व्यापक रूप में सिद्ध करती हैं।

विधि 24.3 (बोरछिद्र से ऊष्मा-प्रवाह)

1. किसी बोरछिद्र की कई गहराइयों पर तापमान मापिए, जब छिद्र को चट्टान के तापमान पर लौटने का समय मिल चुका हो।
2. गहराई के सापेक्ष तापमान आलेखित कीजिए और ढाल लीजिए: प्रवणता $G$, केल्विन प्रति मीटर में बदली हुई।
3. प्रयोगशाला में कोरों पर चट्टान की चालकता $k$ मापिए।
4. गुणा कीजिए: $q = kG$, $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में, फिर $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ में बदलिए।

उदाहरण 24.4 (ग्रेनाइट में एक बोरछिद्र)

$2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ चालकता वाले ग्रेनाइट में एक बोरछिद्र प्रति किलोमीटर $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ की प्रवणता मापता है, यानी $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$। तब $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, लगभग $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$।

ऐसे 38 000 से अधिक मापनों को मिलाकर पूरी पृथ्वी का एक मानचित्र बनाया गया है। महाद्वीप औसतन $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ खोते हैं, महासागरीय तली $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; पूरी सतह पर $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$। पृथ्वी के क्षेत्रफल, $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, से गुणा करने पर कुल यह है:

लगभग 47 टेरावाट, 2 कम या अधिक।

महासागरीय तली वहाँ सबसे अधिक खोती है जहाँ वह सबसे नई है। नया स्थलमंडल किसी कटक से गरम निकलता है, और दूर जाते हुए ठंडा होता है; उसका ऊष्मा-प्रवाह उसकी आयु के वर्गमूल के व्युत्क्रम के अनुपात में गिरता है।

24.2 ऊष्मा कहाँ से आती है

ऊष्मा के दो स्रोत हैं। पहला रेडियोधर्मिता है।

परिभाषा 24.5 (रेडियोजनित ऊष्मा-उत्पादन)

किसी चट्टान का रेडियोजनित ऊष्मा-उत्पादन वह ऊष्मा है जो उसके भीतर उसके रेडियोधर्मी परमाणुओं के क्षय से मुक्त होती है, प्रति इकाई आयतन और समय, माइक्रोवाट प्रति घन मीटर में ($\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$)। इसका लगभग सारा भाग चार समस्थानिकों से आता है: यूरेनियम-238, यूरेनियम-235, थोरियम-232 और पोटैशियम-40।

ये तत्त्व महाद्वीपीय भूपर्पटी की चट्टानों में सांद्रित हैं। 2188 विश्लेषणों के अनुसार ग्रेनाइट का माध्यिका ऊष्मा-उत्पादन $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ है, बेसाल्ट का $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, और प्रावार की अतिमैफ़िक चट्टानों का केवल $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, ग्रेनाइट से लगभग बीस गुना कम। $10\,\mathrm{km}$ मोटी ग्रेनाइट की परत हर वर्ग मीटर के नीचे $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ उत्पन्न करती है, $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: महाद्वीपों के ऊष्मा-प्रवाह का एक-तिहाई।

पूरी पृथ्वी में रेडियोधर्मिता कितनी ऊष्मा बनाती है? कमलैंड, जापान में एक भूमिगत संसूचक जिसमें 1000 टन द्रव भरा है, भू-न्यूट्रिनो पकड़ता है, वे प्रतिन्यूट्रिनो जो पृथ्वी के भीतर यूरेनियम और थोरियम के क्षय से मुक्त होते हैं: उसने पहले भू-न्यूट्रिनो 2005 में देखे, और 2135 दिनों के अभिलेखन में 841 संभावित घटनाओं में से उनमें से लगभग 106। उस गिनती से, इटली के एक संसूचक की गिनती के साथ, यूरेनियम-238 और थोरियम-232 मिलकर लगभग 20 टेरावाट मुक्त करते हैं। पोटैशियम-40 संसूचक की पकड़ से बच जाता है; ज्ञात है कि वह लगभग $4\,\mathrm{TW}$ जोड़ता है, और यूरेनियम-235, यूरेनियम-238 से अनुपात में परिकलित, लगभग $0.4\,\mathrm{TW}$। इसलिए रेडियोधर्मिता लगभग $24\,\mathrm{TW}$ देती है, पृथ्वी द्वारा खोए जाने वाले $47\,\mathrm{TW}$ का लगभग आधा।

परिभाषा 24.6 (दीर्घकालिक शीतलन)

पृथ्वी का दीर्घकालिक शीतलन उस ऊष्मा का धीमा क्षय है जो उसके बनने के समय से उसके भीतर संचित है, आदिम ऊष्मा: ऊष्मा-प्रवाह का वह भाग जिसकी पूर्ति रेडियोधर्मिता नहीं करती, और जिसके द्वारा प्रावार और क्रोड युगों के साथ ठंडे होते जाते हैं।

अतीत में रेडियोधर्मिता अधिक प्रबल थी। हर समस्थानिक क्षयित होता है, इसलिए बहुत पहले वह अधिक मात्रा में था: एक अर्ध-आयु पीछे, दुगुना, और दुगुनी ऊष्मा। $t$ वर्ष पीछे जाने पर अर्ध-आयु $T$ वाले किसी समस्थानिक की ऊष्मा $2^{t/T}$ से गुणा हो जाती है।

प्रतिज्ञप्ति 24.7 (अतीत में रेडियोजनित ऊष्मा)

यदि अर्ध-आयु $T$ वाला कोई समस्थानिक आज शक्ति $H_0$ मुक्त करता है, तो उसने

$$H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},$$

समय $t$ पहले यह शक्ति मुक्त की थी।

साढ़े चार अरब वर्ष पहले रेडियोधर्मिता लगभग $116\,\mathrm{TW}$ मुक्त करती थी, आज के मान का लगभग पाँच गुना, और उसका अधिकांश भाग यूरेनियम-235 और पोटैशियम-40 से आता था, दो अल्पायु समस्थानिक, जो तब से लगभग समाप्त हो चुके हैं। युवा पृथ्वी भीतर से आज की अपेक्षा कहीं अधिक गरम थी।

24.3 चालन और संवहन

ऊष्मा किसी ठोस को केवल चालन द्वारा, परमाणु से परमाणु तक, पार कर सकती है, और चट्टान में यह बहुत धीमा है। ऊष्मा दूरी $L$ को चालन द्वारा लगभग $L^2/\kappa$ समय में पार करती है, जहाँ $\kappa$, चट्टान की ऊष्मीय विसरणशीलता, लगभग $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ है। प्रावार के $2891\,\mathrm{km}$ के लिए,

लगभग 260 अरब वर्ष, पृथ्वी की आयु का लगभग साठ गुना। यदि प्रावार केवल चालन से ऊष्मा ले जाता, तो उसकी गहराइयों की ऊष्मा अब भी लगभग पूरी वहीं होती।

प्रावार ठोस है, पर कई मिलियन वर्षों में वह बहुत धीरे-धीरे विसर्पित होता है, किसी बहुत कड़े तरल की तरह: दुर्बलतामंडल बहता है (अध्याय 12)। इसलिए प्रावार अपनी ऊष्मा वैसे ही खोता है जैसे किसी रेडिएटर के ऊपर की हवा, उसे ढोकर।

परिभाषा 24.8 (ऊष्मीय संवहन; प्रावार संवहन)

ऊष्मीय संवहन स्वयं पदार्थ की गति द्वारा ऊष्मा का परिवहन है: अधिक गरम, हल्का पदार्थ ऊपर उठता है, अधिक ठंडा, घना पदार्थ डूबता है, जैसे किसी संवहन कोष्ठ में। प्रावार संवहन पृथ्वी के ठोस प्रावार का ऊष्मीय संवहन है, जो प्रति वर्ष कुछ सेंटीमीटर की दर से विसर्पित होता है और भीतरी भाग की ऊष्मा को सतह की ओर ले जाता है।

प्लेटें इस संवहन का ऊपरी भाग हैं। कटकों पर गरम प्रावार ऊपर उठता है और प्लेटों में जुड़ जाता है; दूर जाते हुए स्थलमंडल ठंडा होता है, घना होता है, और क्षेपण क्षेत्रों पर अपने ही भार से डूबता है: स्लैबें प्रवाह का ठंडा, डूबता भाग हैं, और भूकंपीय प्रतिबिंब उन्हें प्रावार में गहरे तक डूबते दिखाते हैं। माना जाता है कि गरम चट्टान के प्लूम तप्त स्थलों के नीचे प्रावार की गहराई से उठते हैं, संभवतः क्रोड के ठीक ऊपर से।

इसलिए अधिकांश ऊष्मा प्रावार से संवहन द्वारा निकलती है, और केवल अंतिम दसियों किलोमीटर, दृढ़ स्थलमंडल से होकर, चालन द्वारा पार किए जाते हैं — वही चालन जिसे बोरछिद्र मापते हैं।

24.4 भूतापीय ऊर्जा

परिभाषा 24.9 (भूतापीय ऊर्जा)

भूतापीय ऊर्जा पृथ्वी के भीतरी भाग की वह ऊष्मा है जिसका उपयोग लोग करते हैं: गरम चट्टान से गरम जल या भाप, जिसे कुओं से होकर ऊपर खींचा जाता है, तापन के लिए या बिजली बनाने के लिए।

पृथ्वी से बाहर बहती ऊष्मा जहाँ सतह तक पहुँचती है, वहाँ बहुत कम है, लगभग हर वर्ग मीटर के नीचे $0.1\,\mathrm{W}$, सीधे उपयोग के लिए बहुत कम। वह वहाँ उपयोगी बनती है जहाँ वह किसी उथली गहराई पर सांद्रित होती है। ज्वालामुखियों, दरारों और तप्त स्थलों के निकट, और प्लेट-सीमाओं के अनुदिश, गरम चट्टान सतह के निकट आ जाती है, और पारगम्य चट्टान में घूमता जल गरम होकर लौटता है। किसी बिजलीघर को बहुत गरम जल या भाप चाहिए, लगभग 150 से $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; कुछ क्षेत्र शुष्क भाप देते हैं, जो टर्बाइनों को सीधे घुमाती है। पृथ्वी की ऊष्मा से पहली बिजली 1904 में टस्कनी के लार्डेरेलो में बनाई गई थी: उसने पाँच बल्ब जलाए। दूसरी जगहों पर सतह के निकट का गरम जल इमारतों में पाइपों से पहुँचाकर उन्हें गरम किया जाता है।

कोई भूतापीय क्षेत्र मानव जीवन के पैमाने पर अक्षय नहीं है। कैलिफ़ोर्निया के गीज़र्स क्षेत्र में बहुत अधिक कुओं ने भाप खींची, उससे तेज़ी से जितनी तेज़ी से धीमा ऊष्मा-प्रवाह और वर्षा उसकी पूर्ति कर सकते थे: भाप का दाब अपने चरम के आधे से भी कम हो गया, और बिजलीघरों की $40\,\%$ से अधिक क्षमता खो गई। गिरावट को धीमा करने के लिए अब जल वापस क्षेत्र में डाला जाता है।

24.5 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

शब्द बताइए: (a) सतह के हर वर्ग मीटर से होकर भीतरी भाग से निकलने वाली शक्ति; (b) चट्टान के एकक आयतन में रेडियोधर्मी परमाणुओं के क्षय से मुक्त ऊष्मा; (c) पृथ्वी के बनने के समय से संचित ऊष्मा की हानि; (d) स्वयं पदार्थ की गति द्वारा ऊष्मा का परिवहन; (e) पृथ्वी की आंतरिक ऊष्मा जिसका उपयोग लोग करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

(a) ऊष्मा-प्रवाह; (b) रेडियोजनित ऊष्मा-उत्पादन; (c) दीर्घकालिक शीतलन; (d) ऊष्मीय संवहन; (e) भूतापीय ऊर्जा।

अभ्यास 24.2 ★

बदलिए: (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ को $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में; (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ को वाट में; (3) प्रति किलोमीटर $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ को केल्विन प्रति मीटर में।

हल

हल — अभ्यास 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$। (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$: एक डिग्री सेल्सियस का अंतर एक केल्विन का अंतर है।

अभ्यास 24.3 ★

उन चार समस्थानिकों के नाम बताइए जो लगभग सारी रेडियोजनित ऊष्मा बनाते हैं, और बताइए कि कमलैंड संसूचक उनमें से कौन-से दो देख सकता है।

हल

हल — अभ्यास 24.3.

थोरियम-232, यूरेनियम-238, पोटैशियम-40 और यूरेनियम-235। कमलैंड केवल थोरियम-232 और यूरेनियम-238 के भू-न्यूट्रिनो देखता है।

अभ्यास 24.4 ★

$q = 490/\sqrt{t}$ का उपयोग करके 1, 4, 25 और 49 मिलियन वर्ष पुरानी महासागरीय तली से होकर ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, लगभग महाद्वीपों का माध्य।

अभ्यास 24.5 ★

ऊष्मा-प्रवाह को सतह पर ही मापने के बजाय बोरछिद्रों में क्यों मापा जाता है? खोदने के बाद मापने से पहले प्रतीक्षा क्यों करनी चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 24.5.

सतह के निकट भूमि का तापमान दिनों और ऋतुओं का अनुसरण करता है; केवल कुछ मीटर नीचे जाकर वह वर्ष के माध्य तापमान पर स्थिर रहता है, और उससे भी गहरे जाकर ही वह नीचे से आती ऊष्मा दिखाता है। खोदने से छिद्र की चट्टान और जल हिल जाते हैं और उनका तापमान बदल जाता है, इसलिए तब तक प्रतीक्षा की जाती है जब तक छिद्र चट्टान के तापमान पर न लौट आए।

अभ्यास 24.6 ★★

केटीबी बोरछिद्र में $9.1\,\mathrm{km}$ पर चट्टान लगभग $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर थी। (1) सतह पर $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ मानकर माध्य प्रवणता परिकलित कीजिए। (2) $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ की चालकता के साथ यह कितना ऊष्मा-प्रवाह देती है? (3) महाद्वीपों के माध्य से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति किलोमीटर, यानी $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$। (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, लगभग $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$। (3) महाद्वीपों के माध्य, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, से थोड़ा ऊपर, लगभग $7\,\%$: एक सामान्य महाद्वीपीय मान।

अभ्यास 24.7 ★★

महाद्वीप $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ के माध्य ऊष्मा-प्रवाह के साथ $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ढकते हैं, महासागर $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ के साथ $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$। हर एक द्वारा खोई गई शक्ति, कुल, और महासागरीय तली से खोया गया अंश परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.7.

महाद्वीप: $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$। महासागर: $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$। कुल लगभग $46.6\,\mathrm{TW}$, जिसमें से $31.9/46.6 \approx 68\,\%$, दो-तिहाई, महासागरीय तली से निकलता है।

अभ्यास 24.8 ★★

$8\,\mathrm{km}$ मोटी ग्रैनोडायोराइट की एक परत का ऊष्मा-उत्पादन $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ है। (1) वह सतह पर कितना ऊष्मा-प्रवाह उत्पन्न करती है? (2) यह $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ का कितना अंश है?

हल

हल — अभ्यास 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$। (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$, ऊष्मा-प्रवाह का पाँचवाँ भाग।

अभ्यास 24.9 ★★

$q = 490/\sqrt{t}$ के अनुसार, किस आयु पर महासागरीय तली उतनी ऊष्मा खोती है जितनी औसत महाद्वीप, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$?

हल

हल — अभ्यास 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$, इसलिए $t \approx 47.8$ मिलियन वर्ष: लगभग 48 मिलियन वर्ष से पुरानी महासागरीय तली औसत महाद्वीप से कम ऊष्मा खोती है।

अभ्यास 24.10 ★★

1.4 अरब वर्ष पहले यूरेनियम-235 ने आज की अपेक्षा कितने गुना अधिक ऊष्मा मुक्त की? और 2.5 अरब वर्ष पहले पोटैशियम-40 ने?

हल

हल — अभ्यास 24.10.

यूरेनियम-235: $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ गुना अधिक। पोटैशियम-40: $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ गुना अधिक। दोनों दो अर्ध-आयु पीछे हैं।

अभ्यास 24.11 ★★

$t \approx L^2/\kappa$ का उपयोग करके, $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ के साथ, बताइए कि चालन द्वारा ऊष्मा को पार करने में कितना समय लगता है: (1) $10\,\mathrm{m}$ मोटा एक लावा-प्रवाह; (2) $100\,\mathrm{km}$ मोटा स्थलमंडल; (3) प्रावार? हर परिणाम को उचित इकाइयों में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, लगभग 3 वर्ष। (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, लगभग 320 मिलियन वर्ष। (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, लगभग 265 अरब वर्ष। समय दूरी के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है: दस गुना मोटा, सौ गुना अधिक समय।

अभ्यास 24.12 ★★★

आज थोरियम-232 लगभग $10.4\,\mathrm{TW}$, यूरेनियम-238 $9.6\,\mathrm{TW}$, पोटैशियम-40 $4.0\,\mathrm{TW}$ और यूरेनियम-235 $0.42\,\mathrm{TW}$ मुक्त करते हैं। चित्र की अर्ध-आयुओं का उपयोग करके, 3 अरब वर्ष पहले हर एक की ऊष्मा, कुल, और दोनों अल्पायु समस्थानिकों का अंश परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.12.

हर एक को $2^{3/T}$ से गुणा कीजिए: थोरियम-232, $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$; यूरेनियम-238, $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$; पोटैशियम-40, $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$; यूरेनियम-235, $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$। कुल लगभग $56.7\,\mathrm{TW}$, आज के $24.4\,\mathrm{TW}$ के दुगुने से अधिक। दोनों अल्पायु समस्थानिक उसका $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$ देते हैं, जबकि आज $4.42/24.4 \approx 18\,\%$।

अभ्यास 24.13 ★★★

नेस्यावेटलिर बिजलीघर $300\,\mathrm{MW}$ तक ऊष्मा दे सकता है, जिसे प्रति सेकंड लगभग $1640\,\mathrm{L}$ गरम जल ढोता है। $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ की विशिष्ट ऊष्मा और प्रति लीटर $1\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान के साथ, यह जल कितने अंश गरम हुआ है? औसत महाद्वीप का कितना बड़ा क्षेत्रफल $300\,\mathrm{MW}$ ऊष्मा खोता है?

हल

हल — अभ्यास 24.13.

शक्ति प्रति सेकंड द्रव्यमान, विशिष्ट ऊष्मा और तापवृद्धि का गुणनफल है: $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$, इसलिए $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$। औसत महाद्वीप प्रति वर्ग मीटर $0.0709\,\mathrm{W}$ खोता है, इसलिए $300\,\mathrm{MW}$, $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, यानी लगभग $4200\,\mathrm{km}^{2}$, की प्राकृतिक ऊष्मा-हानि है: बिजलीघर वह ऊष्मा एकत्र करता है जिसे पृथ्वी स्वाभाविक रूप से हज़ारों वर्ग किलोमीटर पर छोड़ती है।

अभ्यास 24.14 ★★★

मान लीजिए किसी प्लेट को कटक से खाई तक जाने में 100 मिलियन वर्ष लगते हैं, और पूरे प्रावार से होकर संवहन के एक लूप को लगभग 200 मिलियन वर्ष। (1) इन समयों की तुलना प्रावार के आर-पार चालन के 260 अरब वर्षों से कीजिए। (2) संवहन ऊष्मा को इतनी अधिक तेज़ी से क्यों ले जा सकता है, यद्यपि प्रावार प्रति वर्ष केवल कुछ सेंटीमीटर चलता है?

हल

हल — अभ्यास 24.14.

(1) 100 मिलियन वर्ष, 260 अरब वर्ष से $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ गुना छोटा है; 200 मिलियन वर्ष 1300 गुना छोटा। (2) संवहन ऊष्मा को चलती चट्टान के साथ ले जाता है: प्रावार को पार करने का समय उसकी मोटाई को चाल से भाग देने पर मिलता है, प्रति वर्ष कुछ सेंटीमीटर पर $2891\,\mathrm{km}$, लगभग सौ मिलियन वर्ष। चालन के पास ऐसा कोई वाहक नहीं: उसका समय दूरी के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, और हज़ारों किलोमीटर पर वह विशाल हो जाता है।

अभ्यास 24.15 ★★★

मान लीजिए क्रोड $2891\,\mathrm{km}$ नीचे, क्रोड–प्रावार सीमा के आर-पार, प्रावार में लगभग $10\,\mathrm{TW}$ ऊष्मा खोता है। (1) यह $22.3\,\mathrm{TW}$ के दीर्घकालिक शीतलन का कितना अंश होगा? शेष कहाँ से आता है? (2) क्रोड–प्रावार सीमा के आर-पार माध्य ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना सतह पर के माध्य ऊष्मा-प्रवाह, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, से कीजिए। (3) प्रावार के ठोस होते हुए भी गरम क्रोड प्रावार के आधार को क्यों गरम कर सकता है?

हल

हल — अभ्यास 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$; शेष स्वयं प्रावार का शीतलन है, जो अपनी संचित ऊष्मा खोता है। (2) सीमा त्रिज्या $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$ पर है; उसका क्षेत्रफल $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ है, और $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, लगभग $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, सतह पर के माध्य का लगभग $72\,\%$। (3) ऊष्मा सीमा को चालन द्वारा पार करके प्रावार की सबसे निचली परत में जाती है; गरम होकर यह चट्टान अपने ऊपर के प्रावार से हल्की हो जाती है और ऊपर उठ सकती है, ऊष्मा को ऊपर ले जाते हुए: माना जाता है कि प्लूम गहराई में इसी तरह शुरू होते हैं।

समस्या 24.1

सप्ताहांत समस्या — पृथ्वी का ऊष्मा-बजट

पृथ्वी का ऊष्मा-प्रवाह 38 000 से अधिक स्थानों पर मापा गया है। औसतन महाद्वीप $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ पर $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ खोते हैं, और महासागरीय तली $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ पर $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$।

भाग I — ऊष्मा-प्रवाह और क्षेत्रफल।

1. जाँचिए कि दोनों क्षेत्रफल जुड़कर $6371\,\mathrm{km}$ त्रिज्या वाले गोले के क्षेत्रफल के बराबर होते हैं।
2. सतह का कितना अंश महासागरीय तली है?
3. महासागरीय तली प्रति वर्ग मीटर महाद्वीपों से अधिक ऊष्मा क्यों खोती है?
4. $q = 490/\sqrt{t}$ का उपयोग करके 4 मिलियन वर्ष पुरानी महासागरीय तली से होकर ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए।
5. ग्रेनाइट ($2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$) में एक बोरछिद्र प्रति किलोमीटर $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ मापता है। उसका ऊष्मा-प्रवाह महाद्वीपीय माध्य से ऊपर है या नीचे?

भाग II — कुल।

6. महाद्वीपों से होकर खोई गई शक्ति परिकलित कीजिए।
7. महासागरीय तली से होकर खोई गई शक्ति परिकलित कीजिए।
8. उन्हें जोड़िए: पृथ्वी का कुल ऊष्मा-प्रवाह, टेरावाट में।
9. पूरी सतह पर माध्य ऊष्मा-प्रवाह क्या है?
10. यदि हर महाद्वीप के नीचे $10\,\mathrm{km}$ ग्रेनाइट ($24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$) होता, तो वह कितने टेरावाट उत्पन्न करता? इसकी तुलना महाद्वीपों से होकर खोई गई शक्ति से कीजिए।

भाग III — रेडियोजनित ऊष्मा।

11. कमलैंड यूरेनियम-238 और थोरियम-232 के भू-न्यूट्रिनो गिनता है: मिलकर वे लगभग $20.0\,\mathrm{TW}$ मुक्त करते हैं, पृथ्वी में यूरेनियम के हर किलोग्राम के लिए $3.9\,\mathrm{kg}$ थोरियम के साथ। एक किलोग्राम यूरेनियम अपने यूरेनियम-238 से $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ और अपने यूरेनियम-235 से $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ मुक्त करता है; एक किलोग्राम थोरियम, $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$। पहले यूरेनियम-238 की ऊष्मा परिकलित कीजिए, फिर यूरेनियम-235 की।
12. पोटैशियम-40 लगभग $4\,\mathrm{TW}$ जोड़ता है। कुल रेडियोजनित ऊष्मा परिकलित कीजिए।
13. किस प्रकार की चट्टान इन तत्त्वों का अधिकांश भाग रखती है, और वह कहाँ है?
14. 3 अरब वर्ष पहले रेडियोजनित ऊष्मा अधिक थी या कम? क्यों?

भाग IV — दीर्घकालिक शीतलन।

15. कितनी शक्ति की पूर्ति रेडियोधर्मिता नहीं करती?
16. वह कहाँ से आती है?
17. ऊष्मा-प्रवाह का वह अंश परिकलित कीजिए जिसकी पूर्ति दीर्घकालिक शीतलन करता है।
18. पृथ्वी के संघटन के मॉडल 11 से $38\,\mathrm{TW}$ की रेडियोजनित ऊष्मा देते हैं। तब रेडियोजनित भाग किन अंशों के बीच पड़ता है?
19. प्रावार से होकर इस ऊष्मा का अधिकांश भाग कौन ले जाता है?
20. सारांश दीजिए: आज पृथ्वी की ऊष्मा-हानि का कितना अंश रेडियोधर्मिता देती है?

हल

हल — समस्या 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, और $2.073 + 3.028 = 5.101$: हाँ।

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$, लगभग तीन-पाँचवाँ।

3. महासागरीय तली नई है: वह कटकों पर गरम बनती है और दूर जाते हुए ठंडी होती है, और नया स्थलमंडल बहुत ऊष्मा खोता है।

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$।

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: माध्य से ठीक नीचे, व्यावहारिक रूप से उसके बराबर।

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$।

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$।

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$, प्रकाशित अनुमान का $47\,\mathrm{TW}$ (अध्याय का वैश्विक माध्य $46.7\,\mathrm{TW}$ देता है, वह मान जो आगे उपयोग किया गया है)।

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, लगभग $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$।

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$, महाद्वीपों से होकर खोए गए $14.7\,\mathrm{TW}$ का एक-तिहाई: महाद्वीपीय भूपर्पटी की रेडियोधर्मिता उनके ऊष्मा-प्रवाह का एक बड़ा भाग है।

11. यूरेनियम के हर किलोग्राम के लिए पृथ्वी में $3.9\,\mathrm{kg}$ थोरियम है, जो $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$ मुक्त करता है, जबकि यूरेनियम-238 $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$। इसलिए यूरेनियम-238 $20.0\,\mathrm{TW}$ का $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ बनाता है: लगभग $9.6\,\mathrm{TW}$। यूरेनियम-235: $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$।

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$।

13. ग्रेनाइट और महाद्वीपीय भूपर्पटी की दूसरी चट्टानें, प्रावार की अतिमैफ़िक चट्टानों से लगभग बीस गुना अधिक समृद्ध।

14. अधिक: तब हर समस्थानिक अधिक प्रचुर था, हर अर्ध-आयु पीछे दुगुना; 3 अरब वर्ष पहले कुल आज के दुगुने से अधिक था।

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$।

16. पृथ्वी के बनने के समय से संचित ऊष्मा से: प्रावार और क्रोड का दीर्घकालिक शीतलन।

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$।

18. $11/46.7 \approx 24\,\%$ से $38/46.7 \approx 81\,\%$ तक: भू-न्यूट्रिनो इस परास को बहुत संकरा कर देते हैं।

19. प्रावार संवहन, जो अधिकांश ऊष्मा ले जाता है; केवल अंतिम दसियों किलोमीटर चालन द्वारा पार किए जाते हैं।

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$: आज रेडियोधर्मिता पृथ्वी की ऊष्मा-हानि का लगभग आधा देती है, और ग्रह का धीमा शीतलन दूसरा आधा।