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उच्चतर माध्यमिक पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान · 10–12 年级

1पृथ्वी को मापना

किसी समुद्र तट पर खड़े होकर खुले समुद्र की ओर जाते किसी जहाज़ को देखिए। वह केवल छोटा होते-होते आँखों से ओझल नहीं होता: पहले उसका पेंदा गायब होता है, मानो वह डूब रहा हो, फिर उसके ऊपरी ढाँचे का निचला भाग, और सबसे अंत में उसके मस्तूल का सिरा। आपके और जहाज़ के बीच का समुद्र समतल नहीं है; वह उभरा हुआ है। बाईस सदियों से भी पहले सिकंदरिया के एक विद्वान ने ऐसे ही एक प्रेक्षण — दोपहर की छाया की लंबाई — को पूरे ग्रह के आकार के मापन में बदल दिया। यह अध्याय उस मापन का और उसके बाद आए मापनों का अनुसरण करता है: त्रिभुजों की वे शृंखलाएँ जिन्हें सर्वेक्षकों ने पूरे-पूरे देशों में फैलाया, वे अभियान जो यह जानने के लिए आर्कटिक और भूमध्य रेखा पर भेजे गए कि पृथ्वी चपटी है या नहीं, मीटर का जन्म, और वे उपग्रह जिनसे आज ग्रह को मापा जाता है।

अपोलो 17 के यात्रियों द्वारा दिसंबर 1972 में चंद्रमा की ओर जाते हुए खींची गई पृथ्वी: अफ़्रीका, अरब और अंटार्कटिका की बर्फ़। फ़ोटो: NASA (सार्वजनिक डोमेन)।

पहले से ज्ञात

पृथ्वी पर किसी स्थान की स्थिति उसके अक्षांश से, यानी भूमध्य रेखा से उत्तर या दक्षिण में उसके कोण से, और उसके देशांतर से, यानी किसी संदर्भ याम्योत्तर से पूर्व या पश्चिम में उसके कोण से, बताई जाती है; याम्योत्तर ध्रुवों को जोड़ते हैं, और अक्षांश रेखाएँ भूमध्य रेखा के समांतर पृथ्वी को घेरती हैं (पुस्तक 1)। एकसमान माध्यम में प्रकाश सीधी रेखाओं में चलता है, और अत्यंत दूर स्थित सूर्य से पृथ्वी तक पहुँचने वाली किरणें समांतर होती हैं (भौतिकी की पुस्तकें)। समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण की ज्या सम्मुख भुजा को कर्ण से भाग देने पर, उसकी कोज्या संलग्न भुजा को कर्ण से भाग देने पर, और उसकी स्पर्शज्या सम्मुख भुजा को संलग्न भुजा से भाग देने पर मिलती है (गणित की पुस्तकें)।

1.1 गोल पृथ्वी

अंतरिक्ष से पृथ्वी को देख पाने से बहुत पहले ही कई प्रेक्षणों ने दिखा दिया था कि वह गोल है।

क्षितिज के पार जाते जहाज़। दूर जाता जहाज़ नीचे से ऊपर की ओर ओझल होता है, हर दिशा में और हर समुद्र पर: समुद्र की सतह हर जगह वक्र है।
चंद्रमा पर छाया। चंद्रग्रहण के समय पृथ्वी की छाया चंद्रमा पर पड़ती है। उसका किनारा हमेशा किसी वृत्त का चाप होता है, रात का समय चाहे जो हो; केवल गोला ही हर दिशा में गोल छाया डालता है।
अक्षांश के साथ तारे बदलते हैं। उत्तर की ओर जाने वाला यात्री ध्रुव तारे को क्षितिज से ऊपर और ऊँचा चढ़ते देखता है, और दक्षिणी आकाश के तारे क्षितिज के नीचे छिप जाते हैं: वक्र सतह पर चलते हुए यात्री का क्षितिज झुकता जाता है।
पृथ्वी की परिक्रमा और अंतरिक्ष से दृश्य। पहले जहाज़ों ने, फिर विमानों ने, हर दिशा में दुनिया का चक्कर लगाया है; 1960 के दशक से पूरे गोल ग्रह की फ़ोटो खींची जाती रही है।

जहाज़ नीचे से ऊपर की ओर क्यों ओझल होता है: प्रेक्षक को केवल वही दिखता है जो क्षितिज पर समुद्र को छूती दृष्टि रेखा के ऊपर है। वक्रता बहुत बढ़ा-चढ़ाकर दिखाई गई है।

1.2 एरातोस्थनीज़ पृथ्वी को मापते हैं

साइरीन के एरातोस्थनीज़ (276–194 ईसा पूर्व) सिकंदरिया के पुस्तकालयाध्यक्ष थे। उन्होंने सुना था कि नील नदी के बहुत ऊपर स्थित स्येने में, जो आज का असवान है, ग्रीष्म अयनांत के दिन दोपहर को सूर्य एक कुएँ के पूरे तल को प्रकाशित कर देता था: तब वह ठीक सिर के ऊपर होता था। उसी क्षण सिकंदरिया में एक ऊर्ध्वाधर छड़ी छोटी-सी छाया डालती थी: सूर्य की किरणें ऊर्ध्वाधर से लगभग $7.2{}^{\circ}$ का कोण बनाती थीं, जो पूरे वृत्त का पचासवाँ भाग है।

एरातोस्थनीज़ का तर्क। स्येने में सूर्य सिर के ठीक ऊपर है: उसकी किरणें पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित करती हैं। सिकंदरिया में एक ऊर्ध्वाधर छड़ी, जो स्वयं भी केंद्र की ओर इंगित करती है, किरणों के साथ कोण बनाती है। दोनों स्थानों के बीच केंद्र पर बना कोण भी यही है। कोण बढ़ाकर दिखाया गया है: वह केवल 7.2 था। — एरातोस्थनीज़ का तर्क। स्येने में सूर्य सिर के ठीक ऊपर है: उसकी किरणें पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित करती हैं। सिकंदरिया में एक ऊर्ध्वाधर छड़ी, जो स्वयं भी केंद्र की ओर इंगित करती है, किरणों के साथ कोण $\alpha$ बनाती है। दोनों स्थानों के बीच केंद्र पर बना कोण भी यही $\alpha$ है। कोण बढ़ाकर दिखाया गया है: वह केवल $7.2{}^{\circ}$ था।

प्रतिज्ञप्ति 1.1 (एरातोस्थनीज़ का संबंध)

यदि दो स्थान एक ही याम्योत्तर पर एक-दूसरे से दूरी $d$ पर हों, और दोपहर को सूर्य की किरणें ऊर्ध्वाधर से जो कोण बनाती हैं उनमें $\alpha$ (अंशों में) का अंतर हो, तो पृथ्वी की परिधि है

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

उपपत्ति. सूर्य इतनी दूर है कि दोनों स्थानों तक पहुँचने वाली उसकी किरणें समांतर हैं। हर स्थान पर ऊर्ध्वाधर पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित करता है। चित्र में छड़ी तक पहुँचने वाली किरण और स्येने से होकर जाने वाली त्रिज्या दो समांतर रेखाएँ हैं, और सिकंदरिया से होकर जाने वाली त्रिज्या दोनों को काटती है: छड़ी और किरण के बीच का कोण $\alpha$ और दोनों त्रिज्याओं के बीच केंद्र पर बना कोण एकांतर कोण हैं, इसलिए बराबर हैं। चाप $d$ पूरी परिधि का उतना ही भाग है जितना कोण $\alpha$ एक पूरे चक्कर का: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ । ∎

विधि 1.2 (दो छायाओं से परिधि मापना)

(लगभग) एक ही याम्योत्तर पर स्थित दो स्थान चुनिए और उनके बीच की उत्तर–दक्षिण दूरी $d$ मापिए।
एक ही दिन स्थानीय दोपहर को हर स्थान पर एक ऊर्ध्वाधर छड़ी और सूर्य की किरणों के बीच का कोण मापिए: $\tan \theta = s/h$ , जहाँ $h$ छड़ी की ऊँचाई है और $s$ उसकी छाया की लंबाई। सूर्य की ओर कभी मत देखिए: कोण केवल छाया से पढ़ा जाता है।
दोनों कोणों का अंतर $\alpha$ लीजिए और $C = (360/\alpha)\,d$ लगाइए।

उदाहरण 1.3 (एरातोस्थनीज़ की संख्याएँ)

एरातोस्थनीज़ ने सिकंदरिया से स्येने तक की दूरी 5000 स्टेडियन मानी, जो लंबाई की एक यूनानी इकाई थी। $\alpha = 1/50$ वृत्त लेने पर,

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ स्टेडियन}.

एक स्टेडियन कितना लंबा था? इतिहासकार आज भी इस पर बहस करते हैं। $157.2\,\mathrm{m}$ लेने पर $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; $166.7\,\mathrm{m}$ लेने पर $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ । याम्योत्तर की वास्तविक परिधि $40\,008\,\mathrm{km}$ है: दोनों ही स्थितियों में एरातोस्थनीज़ कुछ ही प्रतिशत के भीतर सही थे।

टिप्पणी 1.4 (क्या मान लिया गया था)

एरातोस्थनीज़ ने गोलाकार पृथ्वी मानी, इतनी दूर स्थित सूर्य कि उसकी किरणें समांतर हों, स्येने ठीक कर्क रेखा पर (जहाँ सूर्य सिर के ठीक ऊपर आ सकता है), और स्येने सिकंदरिया के ठीक दक्षिण में। इनमें से हर बात लगभग सही थी, पर पूरी तरह नहीं: असवान सिकंदरिया से देशांतर में लगभग $3{}^{\circ}$ पूर्व में है। महत्व दूरी के उत्तर–दक्षिण भाग का है, यानी उस भाग का जो याम्योत्तर के अनुदिश है।

1.3 त्रिभुजन

ज़मीन पर किसी लंबी दूरी को ज़ंजीर या छड़ से मापना धीमा काम है, और नदियों, जंगलों और पहाड़ों के आर-पार असंभव। दूसरी ओर, कोण बहुत सटीकता से मापे जा सकते हैं: एक अंशांकित वृत्त पर लगी दूरबीन को बारी-बारी से दो दूर के संकेतों की ओर घुमाकर। अठारहवीं सदी से सर्वेक्षकों ने इसी से पूरे-पूरे देश मापे।

परिभाषा 1.5 (भूगणित)

भूगणित वह विज्ञान है जो पृथ्वी की आकृति और आकार तथा उसकी सतह पर बिंदुओं की स्थितियाँ मापता है, और यह देखता है कि वे समय के साथ कैसे बदलती हैं।

परिभाषा 1.6 (त्रिभुजन)

त्रिभुजन त्रिभुजों की एक शृंखला द्वारा दूर के बिंदुओं की स्थिति ज्ञात करता है: एक भुजा, आधार रेखा, ज़मीन पर बड़ी सावधानी से मापी जाती है; त्रिभुजों के सभी कोण उनके शीर्षों से मापे जाते हैं; फिर बाक़ी हर भुजा परिकलित की जाती है।

यह परिकलन किसी भी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के एक संबंध पर टिका है। त्रिभुज $ABC$ में $a$ , $b$ , $c$ से शीर्षों $A$ , $B$ , $C$ की सम्मुख भुजाएँ दर्शाइए, और $A$ , $B$ , $C$ से इन्हीं शीर्षों पर बने कोण भी।

प्रतिज्ञप्ति 1.7 (ज्या नियम)

किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

उपपत्ति. $C$ से ऊँचाई खींचिए, जो रेखा $AB$ से $H$ पर मिलती है (नीचे के चित्र का दूसरा भाग); $h = CH$ लिखिए। समकोण त्रिभुज $AHC$ में $\sin A = h/b$ , इसलिए $h = b \sin A$ । समकोण त्रिभुज $BHC$ में $\sin B = h/a$ , इसलिए $h = a \sin B$ । अतः $b \sin A = a \sin B$ , यानी $a/\sin A = b/\sin B$ । (यदि $B$ पर का कोण अधिक कोण हो, तो $H$ बिंदु $B$ के आगे पड़ता है और $B$ पर समकोण त्रिभुज का कोण $180{}^{\circ} - B$ होता है, जिसकी ज्या वही है।) $A$ से खींची ऊँचाई के साथ यही तर्क $b/\sin B = c/\sin C$ देता है। ∎

बाएँ: एक मापी गई आधार रेखा AB से याम्योत्तर के अनुदिश फैली त्रिभुजों की शृंखला; चाप उपकरण से मापे गए अनेक कोणों में से दो को दिखाते हैं। दाएँ: ऊँचाई h, जो C से खींची गई है, दो तरह से लिखी जाकर ज्या नियम देती है। — बाएँ: एक मापी गई आधार रेखा $AB$ से याम्योत्तर के अनुदिश फैली त्रिभुजों की शृंखला; चाप उपकरण से मापे गए अनेक कोणों में से दो को दिखाते हैं। दाएँ: ऊँचाई $h$ , जो $C$ से खींची गई है, दो तरह से लिखी जाकर ज्या नियम देती है।

विधि 1.8 (त्रिभुजन शृंखला का परिकलन)

पहले त्रिभुज $ABC$ में आधार रेखा $c = AB$ और $A$ तथा $B$ पर के कोण मापे जाते हैं; तीसरा कोण $C = 180{}^{\circ} - A - B$ है (और उसका मापन बाक़ी कोणों की जाँच करता है)।
ज्या नियम बाक़ी दो भुजाएँ देता है: $b = AC = c \sin B / \sin C$ और $a = BC = c \sin A / \sin C$ ।
परिकलित भुजा अगले त्रिभुज की ज्ञात भुजा बन जाती है, और इसी तरह पूरी शृंखला में आगे।
अंत में, हर भुजा का उत्तर–दक्षिण भाग याम्योत्तर से उसके कोण की कोज्या से परिकलित किया जाता है, और इन भागों को जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1.9 (एक त्रिभुज)

एक आधार रेखा $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ मापी जाती है; $A$ से संकेत $C$ $B$ की दिशा से $70{}^{\circ}$ पर दिखता है, और $B$ से $A$ की दिशा से $60{}^{\circ}$ पर। तब $C = 50{}^{\circ}$ और

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

आधार रेखा के सिवा कोई दूरी पैदल नहीं नापी गई।

उदाहरण 1.10 (मीटर का याम्योत्तर)

मार्च 1791 में मीटर को ध्रुव से भूमध्य रेखा तक किसी याम्योत्तर के अनुदिश दूरी के एक करोड़वें भाग के रूप में परिभाषित किया गया। वह दूरी ज्ञात करने के लिए दो खगोलविदों, ज़ाँ-बातीस्त देलांब्र और पिएर मेशैं, ने उत्तर सागर के तट पर स्थित डनकर्क से भूमध्य सागर के तट पर स्थित बार्सिलोना तक के याम्योत्तर चाप को त्रिभुजन से मापा — लगभग सात वर्षों का काम, उत्तरी दो-तिहाई भाग में देलांब्र, दक्षिणी एक-तिहाई में मेशैं। दोनों नगरों के अक्षांशों में $9.646{}^{\circ}$ का अंतर है; आधुनिक दीर्घवृत्तज पर उनकी अक्षांश रेखाओं के बीच का चाप $1072.2\,\mathrm{km}$ लंबा है। किसी चाप की लंबाई और उसके अक्षांश-अंतर को जानने से एक अंश की लंबाई मिलती है; फिर पृथ्वी की आकृति पूरा चौथाई याम्योत्तर देती है। नए मीटर के प्लैटिनम मानक 1799 में बनाए गए और राष्ट्रीय अभिलेखागार में रखे गए।

इतिहास — पुनरावर्ती वृत्त

मीटर के याम्योत्तर के कोण एक पुनरावर्ती वृत्त से मापे गए, जो ज़ाँ-शार्ल दे बोर्दा का बनाया उपकरण था: एक अंशांकित वृत्त पर दो दूरबीनें, जिन्हें बारी-बारी से दो संकेतों की ओर बार-बार घुमाया जाता था, ताकि अंशांकन पढ़ने की त्रुटियाँ पुनरावृत्तियों की संख्या से विभाजित हो जाएँ।

क्षैतिज कोण मापने के लिए लगाया गया एक पुनरावर्ती वृत्त, जैसा देलांब्र के मापन-विवरण (1807) में उत्कीर्ण है। सार्वजनिक डोमेन (विकिमीडिया कॉमन्स)।

1.4 चपटी पृथ्वी

लगभग 1687 में आइज़क न्यूटन ने अपने गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत से तर्क दिया कि घूमती पृथ्वी ध्रुवों पर चपटा और भूमध्य रेखा पर उभरा हुआ एक गोलाभ होनी चाहिए। पेरिस वेधशाला के खगोलविदों द्वारा किए गए याम्योत्तर के अंशों के मापन उलटी बात कहते लग रहे थे: ध्रुवों पर खिंची हुई पृथ्वी। प्रश्न का निपटारा एक-दूसरे से यथासंभव दूर स्थानों पर अक्षांश के एक अंश की लंबाई मापकर हुआ।

चपटी पृथ्वी, जिसका चपटापन बहुत बढ़ा-चढ़ाकर दिखाया गया है (वास्तविक चपटापन इस पैमाने पर दिखने के लिए बहुत छोटा है)। किसी स्थान का ऊर्ध्वाधर सतह के लंबवत होता है; वह ठीक केंद्र की ओर इंगित नहीं करता। स्थान का अक्षांश उसके ऊर्ध्वाधर और भूमध्य रेखा के तल के बीच का कोण है। — चपटी पृथ्वी, जिसका चपटापन बहुत बढ़ा-चढ़ाकर दिखाया गया है (वास्तविक चपटापन इस पैमाने पर दिखने के लिए बहुत छोटा है)। किसी स्थान का ऊर्ध्वाधर सतह के लंबवत होता है; वह ठीक केंद्र की ओर इंगित नहीं करता। स्थान का अक्षांश $\varphi$ उसके ऊर्ध्वाधर और भूमध्य रेखा के तल के बीच का कोण है।

अक्षांश तारों से मापा जाता है: वह स्थानीय ऊर्ध्वाधर और भूमध्य रेखा के तल के बीच का कोण है। चपटी पृथ्वी पर सतह भूमध्य रेखा के पास की तुलना में ध्रुवों के पास कम वक्र होती है। जहाँ सतह कम वक्र हो, वहाँ ऊर्ध्वाधर को एक अंश घूमने के लिए सतह पर अधिक दूर चलना पड़ता है: अक्षांश का एक अंश ध्रुवों के पास अधिक लंबा होता है।

इतिहास — लैपलैंड और पेरू

1735 में पेरिस विज्ञान अकादमी ने एक अभियान भूमध्य रेखा पर, स्पेन के पेरू प्रांत में (आज का इक्वाडोर), भेजा; उसने वहाँ नौ वर्ष, 1744 तक, काम किया। 1736–1737 में पिएर-लुई मोरो दे मोपर्तुई के नेतृत्व में दूसरे अभियान ने, जिसमें युवा गणितज्ञ अलेक्सी क्लेरो भी थे, आर्कटिक वृत्त के पास लैपलैंड में याम्योत्तर का एक अंश मापा। लैपलैंड का अंश 57 437 तुआज़ (लंबाई की पुरानी इकाई; लगभग $111.95\,\mathrm{km}$ ) निकला, और पेरू का अंश केवल 56 737 तुआज़: अंश ध्रुव के पास अधिक लंबा है, और न्यूटन सही थे। इन दो संख्याओं से लगभग $1/205$ का चपटापन निकलता था — बाद के सर्वेक्षणों के अनुसार बहुत अधिक, पर चिह्न का प्रश्न सुलझ गया।

संदर्भ दीर्घवृत्तज () पर भूमध्य रेखा से ध्रुव तक अक्षांश के एक अंश की लंबाई। WGS 84 दीर्घवृत्तज से परिकलित। — संदर्भ दीर्घवृत्तज (परिभाषा 1.11) पर भूमध्य रेखा से ध्रुव तक अक्षांश के एक अंश की लंबाई। WGS 84 दीर्घवृत्तज से परिकलित।

परिभाषा 1.11 (संदर्भ दीर्घवृत्तज और चपटापन)

संदर्भ दीर्घवृत्तज वह सतह है जो किसी दीर्घवृत्त को उसके लघु अक्ष के परितः घुमाने से मिलती है, और जिसे पृथ्वी की आकृति से यथासंभव निकटता से मेल खाने के लिए चुना जाता है। उसकी विषुवतीय त्रिज्या $a$ है, उसकी ध्रुवीय त्रिज्या $b$ , और उसका चपटापन है

f = \frac{a-b}{a}.

प्रतिज्ञप्ति 1.12 (पृथ्वी की विमाएँ)

उपग्रह स्थिति-निर्धारण में प्रयुक्त संदर्भ दीर्घवृत्तज (WGS 84) के लिए

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

ध्रुवीय त्रिज्या विषुवतीय त्रिज्या से $21.4\,\mathrm{km}$ छोटी है। भूमध्य रेखा $40\,075\,\mathrm{km}$ लंबी है और एक याम्योत्तर, ध्रुव से ध्रुव तक और वापस, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; चौथाई याम्योत्तर, भूमध्य रेखा से किसी ध्रुव तक, $10\,001.966\,\mathrm{km}$ है। अक्षांश का एक अंश भूमध्य रेखा पर $110.574\,\mathrm{km}$ लंबा है और ध्रुवों पर $111.694\,\mathrm{km}$ । देशांतर का एक अंश भूमध्य रेखा पर $111.32\,\mathrm{km}$ लंबा है और ध्रुवों की ओर लगभग $\cos \varphi$ के अनुसार घटता जाता है।

उदाहरण 1.13 (देशांतर का एक अंश)

अक्षांश $\varphi$ पर स्थित अक्षांश रेखा एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या अक्ष से दूरी है, लगभग $R \cos \varphi$ । $60{}^{\circ}$ उत्तर पर उसकी परिधि भूमध्य रेखा की परिधि की लगभग आधी है, और देशांतर का एक अंश लगभग $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ है (दीर्घवृत्तज $55.80\,\mathrm{km}$ देता है)।

टिप्पणी 1.14 (गोल कितना गोल है?)

$1/298$ का चपटापन छोटा है। $30\,\mathrm{cm}$ व्यास के ग्लोब पर ध्रुवीय व्यास विषुवतीय व्यास से केवल $1\,\mathrm{mm}$ छोटा होता — अदृश्य। सबसे गहरी महासागरीय खाई, समुद्र तल से लगभग $11\,\mathrm{km}$ नीचे, चौथाई मिलीमीटर गहरी एक खरोंच भर होती। अधिकांश कामों के लिए पृथ्वी $6371\,\mathrm{km}$ माध्य त्रिज्या का गोला है; सटीक स्थितियों के लिए दीर्घवृत्तज आवश्यक है।

1.5 आज का भूगणित

एक आधुनिक उपकरण के साथ काम करता सर्वेक्षक, जो कोण मापता है और प्रकाश की एक किरण से दूरियाँ भी; दूर की पहाड़ी पर सर्वेक्षण का एक संकेत खड़ा है।

अठारहवीं और उन्नीसवीं सदी के बड़े त्रिभुजनों की जगह अब उपग्रहों ने ले ली है। ज़मीन पर रखा एक अभिग्राही कई ऐसे उपग्रहों के संकेत पकड़ता है जिनकी स्थितियाँ हर क्षण ज्ञात हैं, और संकेतों के यात्रा-समय से अपनी स्थिति परिकलित करता है (पुस्तक 1)। दुनिया भर में आधार-शैल पर स्थिर किए गए स्थायी अभिग्राहियों के जाल लगातार अपनी स्थितियाँ मापते हैं। वे वह संदर्भ तंत्र परिभाषित करते हैं जिसमें हर मानचित्र और हर उपग्रह-स्थिति दी जाती है, और वे खिसकते हैं: वे स्थलमंडल की प्लेटों को कुछ सेंटीमीटर प्रति वर्ष की दर से खिसकते हुए दिखाते हैं (अध्याय 13)।

क्षेत्र-कार्य — आज ज़मीन को मापना

भूगणितज्ञ इमारतों और पेड़ों से दूर, आधार-शैल में गड़े कंक्रीट के खंभों पर ऐंटेना लगाते हैं, और वर्षों तक हर कुछ सेकंड पर उनकी स्थितियाँ दर्ज करते हैं। वे इन्हें अत्यंत दूर की आकाशगंगाओं को देखने वाले रेडियो दूरबीनों के मापनों के साथ, और दर्पण लगे उपग्रहों पर दागे गए लेज़र पुंजों के मापनों के साथ जोड़ते हैं। निर्माण-स्थलों पर और ग्रामीण इलाक़ों में सर्वेक्षक आज भी तिपाइयों पर रखे उपकरणों से कोण और दूरियाँ मापते हैं, और उन्हें उपग्रह-तंत्र से जोड़ते हैं।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

ज़मीन छोड़े बिना संभव ऐसे तीन प्रेक्षण बताइए जो दिखाते हैं कि पृथ्वी गोल है। हर एक के लिए एक वाक्य में समझाइए कि समतल पृथ्वी उसे क्यों उत्पन्न नहीं कर सकती।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

जहाज़ पहले पेंदे की ओर से ओझल होता है: समतल समुद्र पर वह केवल छोटा होता जाता, और पूरा दिखता रहता। ग्रहण में चंद्रमा पर पृथ्वी की छाया हमेशा किसी वृत्त का चाप होती है: समतल चकती किनारे से देखे जाने पर लंबी खिंची छाया डालती। उत्तर की ओर जाने पर ध्रुव तारा क्षितिज से ऊपर उठता है: समतल पृथ्वी पर उसकी ऊँचाई लगभग वही बनी रहती।

अभ्यास 1.2 ★

भूगणित क्या है? त्रिभुजन क्या है, और त्रिभुजन में ज़मीन पर केवल कौन-सी एक लंबाई मापनी पड़ती है?

हल

हल — अभ्यास 1.2.

भूगणित पृथ्वी की आकृति और आकार तथा उस पर बिंदुओं की स्थितियाँ, और समय के साथ उनके परिवर्तन, मापता है। त्रिभुजन त्रिभुजों की ऐसी शृंखला से बिंदुओं की स्थिति ज्ञात करता है जिसमें सभी कोण मापे जाते हैं; ज़मीन पर केवल एक लंबाई, आधार रेखा, मापी जाती है।

अभ्यास 1.3 ★

एरातोस्थनीज़ ने पाया कि जब 5000 स्टेडियन दूर स्येने में सूर्य सिर के ठीक ऊपर था, तब सिकंदरिया में सूर्य की किरणों और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण पूरे वृत्त का $1/50$ था। परिधि पहले स्टेडियन में, फिर किलोमीटर में परिकलित कीजिए, एक स्टेडियन को $157.2\,\mathrm{m}$ मानकर।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ स्टेडियन; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.4 ★

अक्षांश का एक अंश लगभग $111\,\mathrm{km}$ लंबा है। अक्षांश का एक मिनट ( $1/60$ अंश) कितना लंबा है? भूमध्य रेखा से ध्रुव तक का याम्योत्तर मोटे तौर पर कितना लंबा है?

हल

हल — अभ्यास 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ । चौथाई याम्योत्तर: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.5 ★

विषुवतीय त्रिज्या $6378.137\,\mathrm{km}$ और ध्रुवीय त्रिज्या $6356.752\,\mathrm{km}$ लेकर दोनों त्रिज्याओं का अंतर और चपटापन $f = (a-b)/a$ परिकलित कीजिए। $f$ को एक बटा किसी पूर्ण संख्या के रूप में लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ ।

अभ्यास 1.6 ★★

दो नगर एक ही याम्योत्तर पर $500\,\mathrm{km}$ की दूरी पर हैं। एक ही दिन दोपहर को $1.00\,\mathrm{m}$ ऊँची एक ऊर्ध्वाधर छड़ी दक्षिणी नगर में $0.364\,\mathrm{m}$ की और उत्तरी नगर में $0.456\,\mathrm{m}$ की छाया डालती है। हर नगर में सूर्य की किरणों और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण परिकलित कीजिए, फिर पृथ्वी की परिधि।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

दक्षिण: $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ । उत्तर: $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ । $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , इसलिए $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.7 ★★

त्रिभुज $ABC$ में आधार रेखा $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ है, $A$ पर का कोण $62{}^{\circ}$ और $B$ पर का कोण $71{}^{\circ}$ । $C$ पर का कोण और लंबाइयाँ $AC$ तथा $BC$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ । $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.8 ★★

एक विमान अक्षांश रेखा $60{}^{\circ}$ उत्तर के अनुदिश ठीक पश्चिम की ओर उड़ता है, देशांतर $10{}^{\circ}$ पूर्व से देशांतर $20{}^{\circ}$ पश्चिम तक। देशांतर के एक अंश को $111.3 \cos \varphi$ km मानकर उसके द्वारा तय की गई दूरी परिकलित कीजिए। भूमध्य रेखा पर देशांतर का यही परिवर्तन कितनी लंबाई का होता?

हल

हल — अभ्यास 1.8.

देशांतर का परिवर्तन $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ है। $60{}^{\circ}$ उत्तर पर एक अंश $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ है, इसलिए दूरी $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ है। भूमध्य रेखा पर: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , दुगुनी दूरी।

अभ्यास 1.9 ★★

किसी प्रेक्षक की आँख शांत समुद्र से $h = 2\,\mathrm{m}$ ऊपर है। क्षितिज तक की दृष्टि रेखा समुद्र को $T$ पर छूती है; पृथ्वी का केंद्र $O$ है, आँख $E$ । समझाइए कि त्रिभुज $OTE$ में $T$ पर समकोण क्यों है, फिर पाइथागोरस प्रमेय और $R = 6371\,\mathrm{km}$ से दिखाइए कि क्षितिज तक की दूरी लगभग $\sqrt{2Rh}$ है, और उसे परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

दृष्टि रेखा समुद्र को $T$ पर छूती है: वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, इसलिए $T$ पर का कोण समकोण है। पाइथागोरस: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , इसलिए $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ $R$ की तुलना में नगण्य है, इसलिए $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , लगभग $5\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.10 ★★

अंश-लंबाइयों का वक्र पढ़िए। किन अक्षांशों के बीच एक अंश की लंबाई सबसे तेज़ी से बदलती है? दो वाक्यों में समझाइए कि अक्षांश का एक अंश भूमध्य रेखा के पास की तुलना में ध्रुवों के पास अधिक लंबा क्यों होता है।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

वक्र मध्य अक्षांशों में, लगभग $30{}^{\circ}$ से $60{}^{\circ}$ तक, सबसे खड़ा है, और भूमध्य रेखा तथा ध्रुव के पास सपाट। चपटी पृथ्वी पर सतह ध्रुवों के पास कम वक्र होती है; सतह जितनी कम वक्र हो, ऊर्ध्वाधर (और इसलिए अक्षांश) को एक अंश घूमने के लिए उतना ही अधिक दूर चलना पड़ता है।

अभ्यास 1.11 ★★

डनकर्क से बार्सिलोना तक का याम्योत्तर चाप अक्षांश में $9.646{}^{\circ}$ फैला है और $1072.2\,\mathrm{km}$ लंबा है। उसके अनुदिश एक अंश की माध्य लंबाई परिकलित कीजिए। यदि हर अंश की लंबाई यही होती, तो चौथाई याम्योत्तर कितना लंबा होता? इसकी तुलना $10\,002.0\,\mathrm{km}$ से कीजिए और छोटे से अंतर को समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ प्रति अंश; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , वास्तविक चौथाई याम्योत्तर से $2\,\mathrm{km}$ अधिक। चाप का केंद्र लगभग $46{}^{\circ}$ पर है, जहाँ एक अंश भूमध्य रेखा से ध्रुव तक के औसत अंश से थोड़ा लंबा होता है ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ )।

अभ्यास 1.12 ★★★

एरातोस्थनीज़ ने $7.2{}^{\circ}$ का कोण और 5000 स्टेडियन की दूरी मापी। यदि उनका कोण $0.1{}^{\circ}$ गलत (बहुत छोटा) होता, तो उनकी परिधि कितने प्रतिशत गलत होती, और किस दिशा में? आपके विचार से उनके दोनों मापनों में से कौन-सा कम सटीक था?

हल

हल — अभ्यास 1.12.

$7.1{}^{\circ}$ के साथ: $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ स्टेडियन, $250\,000$ के बजाय: लगभग 1.4 % अधिक (उसी दूरी के लिए छोटा कोण बड़ी पृथ्वी का अर्थ रखता है)। नील नदी के किनारे-किनारे पैदल चलने वालों द्वारा क़दमों से नापी गई दूरी कोण की तुलना में बहुत कम सटीक थी।

अभ्यास 1.13 ★★★

दो त्रिभुजों की एक शृंखला: $ABC$ में $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ । अगले त्रिभुज $ACD$ में, जो भुजा $AC$ पर बना है, $A$ पर का कोण $50{}^{\circ}$ है और $C$ पर का कोण $68{}^{\circ}$ । पहले $AC$ , फिर $AD$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.13.

$ABC$ में: $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ । $ACD$ में: $D$ पर का कोण $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ है, और $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 1.14 ★★★

किस अक्षांश पर देशांतर का एक अंश भूमध्य रेखा की तुलना में आधा लंबा होता है? किस अक्षांश पर वह दसवाँ भाग लंबा होता है? समझाइए कि दोनों उत्तर पृथ्वी के आकार पर निर्भर क्यों नहीं करते।

हल

हल — अभ्यास 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ से $\varphi = 60{}^{\circ}$ मिलता है; $\cos\varphi = 0.1$ से $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ । अक्षांश $\varphi$ पर देशांतर का एक अंश भूमध्य रेखा पर के अंश को $\cos\varphi$ से गुणा करने पर मिलता है: अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिज्या पर नहीं।

अभ्यास 1.15 ★★★

दीर्घवृत्तज के मान लीजिए: अक्षांश का एक अंश भूमध्य रेखा पर $110.574\,\mathrm{km}$ है और ध्रुव पर $111.694\,\mathrm{km}$ । उसी माध्य त्रिज्या के गोले पर एक अंश हर जगह $111.195\,\mathrm{km}$ होता। गोला मानने वाला सर्वेक्षक भूमध्य रेखा पर एक अंश में कितने मीटर की गलती करता, और ध्रुव पर एक अंश में कितने की? मीटर तक की स्थितियाँ देने वाला मानचित्र दीर्घवृत्तज पर ही क्यों परिकलित होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 1.15.

भूमध्य रेखा पर: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; ध्रुव पर: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ । प्रति अंश कई सौ मीटर की त्रुटियाँ, जो अंश-दर-अंश जुड़ती जाती हैं, एक मीटर से कहीं बड़ी हैं: अक्षांशों और देशांतरों से बदली गई स्थितियों के लिए दीर्घवृत्तज का ही उपयोग करना होगा।

1.7 समस्या: मीटर और याम्योत्तर

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — एरातोस्थनीज़ की छाया से पहले मीटर की लंबाई तक

एक विद्यार्थी आधुनिक संख्याओं के साथ पृथ्वी के मापन का इतिहास फिर से तय करता है। असवान, प्राचीन स्येने, अक्षांश $24.09{}^{\circ}$ उत्तर पर है और सिकंदरिया $31.20{}^{\circ}$ उत्तर पर; आधुनिक दीर्घवृत्तज पर उनकी दोनों अक्षांश रेखाओं के बीच का याम्योत्तर चाप $788\,\mathrm{km}$ लंबा है। दीर्घवृत्तज पर अक्षांश का एक अंश भूमध्य रेखा पर $110.57\,\mathrm{km}$ , $45{}^{\circ}$ पर $111.13\,\mathrm{km}$ और $66{}^{\circ}$ पर $111.51\,\mathrm{km}$ मापता है, और चौथाई याम्योत्तर $10\,001.966\,\mathrm{km}$ है।

भाग I — फिर से एरातोस्थनीज़।

असवान और सिकंदरिया के बीच अक्षांश का अंतर परिकलित कीजिए।
वह पूरे वृत्त का कौन-सा भाग है? इसकी तुलना एरातोस्थनीज़ के $1/50$ से कीजिए।
इन आधुनिक संख्याओं के साथ एरातोस्थनीज़ की विधि से मिलने वाली पृथ्वी की परिधि परिकलित कीजिए।
दोनों नगर एक ही याम्योत्तर पर नहीं हैं: असवान सिकंदरिया से देशांतर में लगभग $3{}^{\circ}$ पूर्व में है। विधि में कौन-सी दूरी लेनी चाहिए: नगरों के बीच की सीधी दूरी या उनकी अक्षांश रेखाओं के बीच का याम्योत्तर चाप? क्यों?
दोनों छायाएँ एक ही दिन, स्थानीय दोपहर को ही क्यों मापी जानी चाहिए?

भाग II — एक छोटा त्रिभुजन। एक आधार रेखा $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ मापी जाती है। $A$ से संकेत $C$ $B$ से $58{}^{\circ}$ पर दिखता है; $B$ से, $A$ से $66{}^{\circ}$ पर। अगले त्रिभुज $ACD$ में $A$ पर का कोण $47{}^{\circ}$ है और $C$ पर का कोण $75{}^{\circ}$ । भुजा $AD$ उत्तर से $8{}^{\circ}$ पूर्व की ओर इंगित करती है।

$C$ पर का कोण परिकलित कीजिए (त्रिभुज $ABC$ में)।
भुजा $AC$ परिकलित कीजिए।
भुजा $BC$ परिकलित कीजिए।
$D$ पर का कोण परिकलित कीजिए (त्रिभुज $ACD$ में), फिर भुजा $AD$ ।
$A$ और $D$ के बीच की उत्तर–दक्षिण दूरी परिकलित कीजिए।
$45{}^{\circ}$ पर की अंश-लंबाई लेकर $A$ और $D$ के बीच अक्षांश का अंतर अंशों में और चाप के मिनटों में परिकलित कीजिए।

भाग III — चपटी पृथ्वी।

$66{}^{\circ}$ पर अक्षांश का एक अंश भूमध्य रेखा पर के अंश से कितने मीटर अधिक लंबा है?
समझाइए कि यह अंतर पृथ्वी की आकृति के बारे में क्या दिखाता है।
दीर्घवृत्तज पर $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ और $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ । $a - b$ और चपटापन परिकलित कीजिए।
समझाइए कि चपटी पृथ्वी पर $45{}^{\circ}$ अक्षांश वाले स्थान पर साहुल ठीक पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित क्यों नहीं करता।

भाग IV — पहला मीटर।

1791 की परिभाषा के अनुसार चौथाई याम्योत्तर मीटरों में कितना लंबा होना चाहिए?
1799 का प्लैटिनम मीटर याम्योत्तर के एक मापे गए मान से बनाया गया था। यदि चौथाई याम्योत्तर वास्तव में $10\,001.966\,\mathrm{km}$ है, तो उसका एक करोड़वाँ भाग कितना लंबा है?
क्या 1799 का मीटर अपनी ही परिभाषा की तुलना में बहुत लंबा था या बहुत छोटा? किस भिन्न से?
प्लैटिनम की छड़ ने 1790 के दशक में परिकलित लंबाई की ईमानदारी से नक़ल की। क्या तब परिकलित चौथाई याम्योत्तर बहुत लंबा था या बहुत छोटा? समझाइए।
पहला मीटर वास्तविक चौथाई याम्योत्तर के एक करोड़वें भाग से कितने मिलीमीटर छोटा था? इसकी तुलना कागज़ की एक शीट की मोटाई, लगभग $0.1\,\mathrm{mm}$ , से कीजिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ ।

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , एरातोस्थनीज़ के $1/50$ के बहुत निकट।

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ ।

4. अक्षांश रेखाओं के बीच का याम्योत्तर चाप: दोपहर के कोणों का अंतर अक्षांश का अंतर है, जो दोनों स्थानों की केवल उत्तर–दक्षिण दूरी मापता है; दूरी का पूर्व–पश्चिम भाग कोई भूमिका नहीं निभाता।

5. स्थानीय दोपहर को सूर्य याम्योत्तर के तल में होता है, जो दोनों स्थानों के लिए एक ही है; उसी दिन तारों के बीच उसकी स्थिति भी वही होती है, ताकि दोनों कोण केवल पृथ्वी की वक्रता के कारण भिन्न हों।

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ ।

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ ।

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ ।

9. $D$ पर का कोण $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ है; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ ।

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ ।

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , यानी $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ चाप-मिनट।

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ ।

13. ध्रुव के पास दूरी के साथ ऊर्ध्वाधर धीमे घूमता है: वहाँ सतह कम वक्र है। पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई।

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ ।

15. साहुल दीर्घवृत्तज की सतह के लंबवत होता है। दीर्घवृत्त पर वक्र का लंब केवल भूमध्य रेखा पर और ध्रुवों पर केंद्र से होकर जाता है; $45{}^{\circ}$ पर वह केंद्र के नीचे अक्ष को काटता है।

16. $10\,000\,000$ मीटर, यानी $10\,000\,\mathrm{km}$ ।

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ ।

18. बहुत छोटा: वास्तविक करोड़वाँ भाग 1799 के मीटर का $1.0001966$ गुना है, इसलिए 1799 का मीटर अपनी लंबाई के लगभग $1.97 \times 10^{-4}$ भाग से, यानी 0.02 % से, छोटा है।

19. बहुत छोटा। छड़ 1790 के दशक में परिकलित चौथाई याम्योत्तर का एक करोड़वाँ भाग है; चूँकि छड़ वास्तविक चौथाई याम्योत्तर के एक करोड़वें भाग से छोटी है, परिकलित चौथाई याम्योत्तर वास्तविक से छोटा था।

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ मीटर: पहला मीटर लगभग $0.2\,\mathrm{mm}$ छोटा था — एक मीटर पर कागज़ की लगभग दो शीटें, दूरबीनों और कोणों से पूरे देश में किए गए सर्वेक्षण के लिए आश्चर्यजनक सटीकता।

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