8अपवाह द्रोणियाँ, नदियाँ और बाढ़

वर्षा रुकने के दो दिन बाद कोई नदी ऐसे नगर में चढ़ सकती है जहाँ ज़रा भी वर्षा नहीं हुई। जो जल उसकी गलियों में भर जाता है, वह पहले गिरा था, बहुत ऊपर की ओर की पहाड़ियों पर; वह उनकी ढलानों से बहकर नालों में गया, और नाले मिलकर उस नदी में बदल गए जो उसे एक साथ नगर तक ले आई। किसी बाढ़ को समझने के लिए नदी से आगे उस पूरे क्षेत्र को देखना पड़ता है जो उसे पोषित करता है, और उसमें से होकर जल का अनुसरण करना पड़ता है। यह अध्याय उस क्षेत्र, अपवाह द्रोणी, की परिभाषा देता है; मापता है कि नदी कितना ले जाती है, यानी उसका विसर्जन; नदी के किसी बिंदु से गुज़रती बाढ़ का अनुसरण करता है; और दिखाता है कि बाढ़ों का एक लंबा अभिलेख कैसे बताता है कि कोई दी हुई बाढ़ कितनी बार लौटकर आती है।

पहले से ज्ञात

ज़मीन तक पहुँचने वाली वर्षा उसमें रिस जाती है, उसकी सतह पर बह जाती है, या वाष्पित हो जाती है; जल चक्र उसे वापस समुद्र तक ले जाता है (भौतिकी की पुस्तकें)। जल पारगम्य चट्टानों में रिसकर भौम जलस्तर के नीचे उन्हें भर देता है, और जलभृत बनाता है जो सोतों और नदियों को पोषित करते हैं (पुस्तक 1, कक्षा 6)। नदी अपने समतल बाढ़ के मैदान में विसर्पों में घूमती हुई बहती है, जिसे वह बाढ़ के समय ढक देती है (पुस्तक 1, कक्षा 5)। समोच्च रेखाएँ समान ऊँचाई के बिंदुओं को जोड़ती हैं; वार्डन पहाड़ियाँ इस शृंखला के मानचित्रों पर बना क्षेत्र हैं (पुस्तक 1, कक्षा 2 और 9)।

सुरक्षा

बाढ़ का जल जितना दिखता है उससे कहीं अधिक ख़तरनाक होता है। तेज़ बहते जल के लगभग $15\,\mathrm{cm}$ किसी वयस्क को गिरा सकते हैं, और लगभग $30\,\mathrm{cm}$ किसी कार को बहा ले जा सकते हैं; उसके नीचे की सड़क धँस चुकी हो सकती है। बाढ़ के जल में कभी पैदल न जाइए और न गाड़ी चलाइए: मुड़ जाइए और दूसरे रास्ते से जाइए।

8.1 अपवाह द्रोणी

वर्षा की हर बूँद जो वाष्पित नहीं होती या गहराई तक नहीं रिसती, ढलान पर नीचे बहती है। वह ज़मीन की सबसे तीव्र ढलान का अनुसरण करती है, किसी क्षुद्र-सरिता में मिलती है, फिर किसी नाले में, और नाले मिलकर नदियाँ बनते हैं। वह सारी भूमि जिसका जल एक ही नदी में पहुँचता है, एक इकाई बनाती है।

परिभाषा 8.1 (अपवाह द्रोणी; जल-विभाजक)

नदी के किसी बिंदु की अपवाह द्रोणी भूमि का वह पूरा क्षेत्र है जिसका अपवाह उस बिंदु से ऊपर की ओर नदी में बहता है और उस बिंदु से गुज़रता है। जल-विभाजक वह रेखा है जो दो पड़ोसी अपवाह द्रोणियों को अलग करती है: वह भूमि के शिखरों का अनुसरण करती है, और उसके दोनों ओर गिरने वाली वर्षा अलग-अलग नदियों में बहती है।

द्रोणी की परिभाषा हमेशा नदी के किसी बिंदु के लिए होती है, जो उसका निकास है: समुद्र तक पहुँचने के स्थान पर नदी की द्रोणी सबसे बड़ी होती है, और ऊपर की ओर का हर बिंदु उसके भीतर एक छोटी द्रोणी रखता है। किसी जल-विभाजक के दोनों ओर एक मीटर की दूरी पर गिरने वाली दो बूँदें अलग-अलग नदियों में, और अलग-अलग महासागरों में भी, पहुँच सकती हैं।

वार्डन नदी की द्रोणी

कंप्यूटर ऊँचाइयों के मानचित्र से कुछ चरणों में अपवाह द्रोणी ज्ञात करता है। मानचित्र को छोटे वर्गों में काटा जाता है, यहाँ हर एक की भुजा $50\,\mathrm{m}$ है। हर वर्ग के लिए कंप्यूटर उसके आठ पड़ोसियों को देखता है और जल को उस पड़ोसी की ओर भेजता है जहाँ सबसे तीव्र नीचे की ढलान से पहुँचा जाता है। (जहाँ किसी छोटे गड्ढे का कोई निचला पड़ोसी नहीं होता, उसे पहले उस तल तक भर दिया जाता है जिस पर वह छलक पड़े, जैसे कोई पोखर छलकता है।) वर्ग से वर्ग तक इन चरणों का अनुसरण करने से मानचित्र पर कहीं से भी किसी बूँद का मार्ग बन जाता है। जिन वर्गों की बूँदें नदी तक पहुँचती हैं, वे द्रोणी बनाते हैं।

द्रोणी मानचित्र के $80\,\mathrm{km}^{2}$ में से $66\,\mathrm{km}^{2}$ को ढकती है, यानी लगभग उसके चार-पाँचवें भाग को। उत्तर में जल-विभाजक पहाड़ियों के शिखरों का अनुसरण करता है और उनकी चोटियों के ऊपर से गुज़रता है; उनके पार भूमि नदी से दूर ढलती है और उसका जल किसी दूसरी घाटी में बहता है। दक्षिण-पश्चिमी कोने में एक छोटा क्षेत्र भी मानचित्र से बाहर बहता है। नदी स्वयं मानचित्र में पश्चिम से प्रवेश करती है, इसलिए उसकी पूरी द्रोणी इससे बड़ी है: उसमें मानचित्र के किनारे से परे, ऊपर की ओर की भूमि भी शामिल है।

सबसे बड़ी नदियाँ

नदियों की तुलना उनकी द्रोणी के क्षेत्रफल से और उनके द्वारा ले जाए जाने वाले जल से की जाती है। संसार की सबसे बड़ी नदी, बहुत अंतर से, अमेज़न है। संयुक्त राज्य अमेरिका की सबसे बड़ी नदी मिसिसिपी संयुक्त राज्य अमेरिका और कनाडा के लगभग $1\,150\,000$ वर्ग मील, यानी लगभग 2.98 मिलियन $\mathrm{km}^{2}$, का अपवाह करती है।

8.2 विसर्जन

परिभाषा 8.2 (विसर्जन)

किसी बिंदु पर नदी का विसर्जन जल का वह आयतन है जो एक सेकंड में नदी की किसी अनुप्रस्थ काट से होकर गुज़रता है। इसे घन मीटर प्रति सेकंड, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, में मापा जाता है।

$1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ का विसर्जन हर सेकंड एक हज़ार लीटर है, यानी प्रतिदिन $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$। जल धारा के बीच में सतह के पास सबसे तेज़ बहता है और तल तथा किनारों के अनुदिश सबसे धीमा, जहाँ वह उनसे रगड़ता है; माध्य वेग पूरी अनुप्रस्थ काट पर औसत निकाला गया वेग है।

प्रतिज्ञप्ति 8.3 (विसर्जन, वेग और अनुप्रस्थ काट)

किसी नदी का विसर्जन $Q$ जल के माध्य वेग $v$ और भीगी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ का गुणनफल है:

$$Q = v\,A.$$

$50\,\mathrm{m}^{2}$ की अनुप्रस्थ काट वाली नदी, जो $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के माध्य वेग से बहती है, $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाती है। बाढ़ में दोनों गुणक बढ़ते हैं: जल गहरा और चौड़ा होता है, इसलिए अनुप्रस्थ काट बढ़ती है, और वह अधिक तेज़ बहता है।

विसर्जन मापना

चूँकि वेग नदी के आर-पार बदलता है, उसे कई बिंदुओं पर मापा जाता है। नदी को ऊर्ध्वाधर पट्टियों में काटा जाता है; हर एक में गहराई और वेग मापे जाते हैं, और पट्टियों के विसर्जन जोड़े जाते हैं।

विधि 8.4 (वेग–क्षेत्रफल विधि)

1. नदी के आर-पार एक मापने का फ़ीता तानिए और उसके अनुदिश नियमित अंतरालों $w$ पर ऊर्ध्वाधर चुनिए।
2. हर ऊर्ध्वाधर पर गहराई $d$ और उस गहराई पर जल का माध्य वेग $v$ एक धारा-मापी से मापिए।
3. हर ऊर्ध्वाधर चौड़ाई $w$ और क्षेत्रफल $w\,d$ की एक पट्टी का प्रतिनिधित्व करता है; उसका विसर्जन $v\,w\,d$ है।
4. सभी पट्टियों के विसर्जन जोड़िए: $Q = \sum v\,w\,d$। अनुप्रस्थ काट $A = \sum w\,d$ है और माध्य वेग $Q/A$।

उदाहरण 8.5 (एक प्रवाह-मापन)

चित्र की धारा में पाँच पट्टियों के, जिनमें से हर एक $2\,\mathrm{m}$ चौड़ी है, क्षेत्रफल $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$ और $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ हैं: अनुप्रस्थ काट $8.8\,\mathrm{m}^{2}$ है। उनके विसर्जन $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$ और $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ हैं, इसलिए धारा $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाती है। माध्य वेग $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है, जो धारा के बीच के $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से कम है।

प्रवाह-मापन में समय लगता है और यह लगातार नहीं किया जा सकता। इसके बजाय प्रवाह-मापन केंद्र बिना रुके जल के तल को अंकित करता है। अलग-अलग तलों पर किए गए कुछ प्रवाह-मापन तल और विसर्जन को जोड़ने वाला एक वक्र देते हैं, और केंद्र अपने द्वारा अंकित हर तल को विसर्जन में बदल देता है।

बड़ी नदियाँ विशाल विसर्जन ले जाती हैं। 1972 से 2003 तक अमेज़न ने अटलांटिक महासागर को औसतन लगभग $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ दिए, लगभग $6\,\%$ की अनिश्चितता के साथ: यह संसार की नदियों द्वारा समुद्र तक लाए जाने वाले सारे मीठे जल का लगभग $17\,\%$ है। मिसिसिपी मेक्सिको की खाड़ी तक औसतन $593\,000$ घन फ़ुट प्रति सेकंड, यानी लगभग $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, लाती है: अमेज़न लगभग बारह गुना अधिक ले जाती है।

8.3 जलालेख

परिभाषा 8.6 (जलालेख; आधार-प्रवाह; विलंब-काल)

जलालेख किसी एक बिंदु पर नदी के विसर्जन का समय के सापेक्ष आलेख है। आधार-प्रवाह विसर्जन का वह भाग है जो भौम जल से पोषित होता है, और जो वर्षाओं के बीच नदी को बहता रखता है। किसी बाढ़ का विलंब-काल द्रोणी पर वर्षा के शिखर और विसर्जन के शिखर के बीच का समय है।

किसी तूफ़ान का जल नदी तक अलग-अलग समय पर पहुँचता है। धारा के पास गिरने वाली वर्षा मिनटों या घंटों में पहुँचती है; बहुत ऊपर की ओर गिरने वाली वर्षा को कहीं अधिक समय लगता है, क्योंकि उसे ढलानों से और नदी के अनुदिश बहना पड़ता है। इसलिए विसर्जन आरोही भुजा पर तेज़ी से चढ़ता है, जब तक पास की ढलानों का जल पहुँचता है, तब शिखर पर पहुँचता है जब सबसे अधिक जल एक साथ पहुँचता है, और अवरोही भुजा पर अधिक धीरे गिरता है, जब तक अंतिम जल द्रोणी के दूर के कोनों से और मृदा से निकलता है। द्रोणी जितनी बड़ी, उतना लंबा विलंब-काल: किसी छोटे नाले के लिए घंटे, किसी बड़ी नदी के लिए दिन।

कुछ द्रोणियाँ आकस्मिक बाढ़ देती हैं, जिनका शिखर ऊँचा और अचानक और विलंब-काल छोटा होता है; दूसरी धीमी, चपटी बाढ़ देती हैं। वही वर्षा अधिक आकस्मिक बाढ़ देती है जब:

• द्रोणी छोटी और तीव्र ढलान वाली है, जिससे जल को छोटा, तेज़ रास्ता तय करना पड़ता है;
• ज़मीन थोड़ा ही जल रिसने देती है: नंगी चट्टान, चिकनी मिट्टी, पहले से भीगी ज़मीन, जमी हुई ज़मीन, और सबसे बढ़कर किसी नगर की छतें, सड़कें और पार्किंग, जो लगभग सारी वर्षा सीधे नालियों और नालों में भेज देती हैं;
• द्रोणी में नालों और नालियों का घना जाल है, जो जल को जल्दी एकत्र करता है।

वन, गहरी पारगम्य मृदाएँ और चौड़े बाढ़ के मैदान इसका उलटा करते हैं: वे जल को रोककर धीरे-धीरे छोड़ते हैं, जिससे शिखर नीचा होता है और देर से आता है।

एक वास्तविक बाढ़

पोटोमैक नदी पूर्वी संयुक्त राज्य अमेरिका में वॉशिंगटन के पास एक प्रवाह-मापन केंद्र से ऊपर की ओर $11\,560$ वर्ग मील, यानी लगभग $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$, की द्रोणी का अपवाह करती है। जनवरी 1996 में केंद्र ने नीचे दिया गया जलालेख अंकित किया।

बाढ़ से पहले के दिनों में नदी लगभग $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जा रही थी, जो उसका आधार-प्रवाह है। 21 जनवरी को दैनिक माध्य $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ तक पहुँचा, लगभग तीस गुना अधिक। पूरी द्रोणी पर फैलाने पर, उस दिन केंद्र से गुज़रने वाला जल एक परत बनाता जिसकी मोटाई $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, यानी लगभग $27\,\mathrm{mm}$ होती: भारी वर्षा जितनी, जो एक ही दिन में पूरी द्रोणी से एक साथ पहुँचाई गई।

8.4 बाढ़ और उनका पुनरावृत्ति काल

किसी नगर को कितनी बड़ी बाढ़ की अपेक्षा करनी चाहिए? उत्तर अतीत से आता है: दशकों से चल रहा कोई प्रवाह-मापन केंद्र हर वर्ष का सबसे बड़ा विसर्जन, यानी वार्षिक शिखर, अंकित कर चुका है। छोटे शिखर लगभग हर वर्ष आते हैं, बड़े विरले ही। बाढ़ जितनी विरल होती है, उतनी ही बड़ी होती है।

परिभाषा 8.7 (पुनरावृत्ति काल)

किसी बाढ़ का पुनरावृत्ति काल $T$ उन वर्षों के बीच का औसत अंतराल, वर्षों में, है जिनका वार्षिक शिखर उसके बराबर या उससे अधिक होता है। पुनरावृत्ति काल $T$ वाली बाढ़, यानी $T$-वर्षीय बाढ़, के किसी भी एक वर्ष में बराबर होने या पार होने की प्रायिकता $1/T$ है।

सौ-वर्षीय बाढ़ ऐसी बाढ़ नहीं है जो हर सौ वर्ष में एक बार, किसी समय-सारणी की तरह, आती है। यह ऐसी बाढ़ है जिसके हर वर्ष, हर वर्ष, बराबर होने या पार होने की संभावना सौ में एक है, चाहे पिछले वर्ष कुछ भी हुआ हो। दो बाढ़ें लगातार वर्षों में आ सकती हैं; एक शताब्दी बिना एक भी बाढ़ के बीत सकती है।

विधि 8.8 (वार्षिक शिखरों के अभिलेख से पुनरावृत्ति काल)

1. $n$ वर्षों के वार्षिक शिखरों की सूची बनाइए।
2. उन्हें सबसे बड़े (क्रम $m = 1$) से सबसे छोटे (क्रम $m = n$) तक क्रम दीजिए।
3. क्रम $m$ के शिखर को पुनरावृत्ति काल $T = (n + 1)/m$ दीजिए।
4. शिखरों को $T$ के सापेक्ष, $T$ के लघुगणकीय पैमाने पर, आलेखित कीजिए, और वांछित पुनरावृत्ति काल के लिए विसर्जन पढ़िए।

इस प्रकार $n$ शिखरों में सबसे बड़े को $T = n + 1$ वर्ष मिलते हैं: $95$ वर्षों के अभिलेख में $96$ वर्ष। सूत्र वही दर्शाता है जो अभिलेख दिखाता है: क्रम $m$ का शिखर $m$ वर्षों में बराबर हुआ है या पार हुआ है, कुल $n$ वर्षों में से, यानी लगभग हर $n/m$ वर्षों में एक बार। यह विधि अभिलेख की लंबाई से आगे भरोसे से नहीं पहुँच सकती: $50$ वर्षों का अभिलेख $1000$-वर्षीय बाढ़ के बारे में बहुत कम बताता है।

आँकड़े: वर्ष 2026

वॉशिंगटन के पास पोटोमैक के 1931 से 2025 तक के अभिलेख में पाँच सबसे बड़े वार्षिक शिखर मार्च 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), अक्टूबर 1942, जून 1972, अप्रैल 1937 और जनवरी 1996 में आए, अंतिम दो बराबर, $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$।

अनेक वर्षों में बाढ़ की संभावना

कोई घर या पुल दशकों तक खड़ा रहता है। उसके लिए किसी एक वर्ष में बाढ़ की संभावना मायने नहीं रखती, बल्कि उसके पूरे जीवनकाल में।

प्रतिज्ञप्ति 8.9 ($N$ वर्षों में कम से कम एक बाढ़)

यदि वर्ष एक-दूसरे से स्वतंत्र हों, तो इसकी प्रायिकता कि पुनरावृत्ति काल $T$ वाली बाढ़ $N$ वर्षों में कम से कम एक बार बराबर हो या पार हो, यह है:

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

तीस वर्षों में सौ-वर्षीय बाढ़ के लिए $(0.99)^{30} \approx 0.740$, और $P \approx 0.26$: चार में एक संभावना। सौ वर्षों में $(0.99)^{100} \approx 0.366$ और $P \approx 0.63$: सौ-वर्षीय बाढ़ का सौ वर्षों में आना निश्चित होने से बहुत दूर है।

8.5 बाँध और तटबंध

लोगों ने बहुत पहले से ऐसी संरचनाएँ बनाई हैं जो बाढ़ के गुज़रने का ढंग बदल देती हैं। दो संरचनाएँ इसे उलटे ढंगों से बदलती हैं।

बाँध एक जलाशय को रोके रखता है। जब बाढ़ आती है, तो उसके जल का एक भाग जलाशय में संचित होता है, जिसका तल चढ़ जाता है, और बाद में, अधिक लंबे समय में, छोड़ा जाता है। नीचे की ओर जल का उतना ही आयतन गुज़रता है, पर फैलकर: शिखर नीचा और देर से होता है। जलाशय बाढ़ को केवल तब तक नीचा करता है जब तक उसमें जगह बची है; भर जाने पर उसमें आने वाला सारा जल आगे निकल जाता है।

तटबंध मिट्टी का एक बाँध है जो नदी के अनुदिश बनाया जाता है ताकि उसकी बाढ़ें बाढ़ के मैदान से दूर रहें। तटबंधों के बीच जल फैल नहीं पाता; उसी विसर्जन को संकरी काट से ले जाने के लिए उसे ऊँचा खड़ा होना और अधिक तेज़ बहना पड़ता है। तटबंधों के पीछे की भूमि सूखी रहती है, जब तक तटबंध टिके रहें और उनके ऊपर से जल न बहे। पर बाढ़ के मैदान में अब बाढ़ के दौरान जल संचित नहीं होता, इसलिए उसका अधिक भाग, और अधिक जल्दी, नीचे की ओर जाता है।

8.6 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

अपवाह द्रोणी और जल-विभाजक की परिभाषा दीजिए। एक मीटर की दूरी पर गिरने वाली वर्षा की दो बूँदें दो अलग-अलग समुद्रों में क्यों पहुँच सकती हैं?

हल

हल — अभ्यास 8.1.

नदी के किसी बिंदु की अपवाह द्रोणी भूमि का वह पूरा क्षेत्र है जिसका अपवाह उस बिंदु से ऊपर की ओर नदी में बहता है और उससे गुज़रता है। जल-विभाजक वह रेखा है, जो शिखरों के अनुदिश चलती है और दो पड़ोसी द्रोणियों को अलग करती है। किसी जल-विभाजक के दोनों ओर एक मीटर की दूरी पर गिरने वाली दो बूँदें विपरीत ढलानों पर, दो अलग-अलग द्रोणियों में बहती हैं: उनकी नदियाँ अलग-अलग समुद्रों तक पहुँच सकती हैं।

अभ्यास 8.2 ★

नदी के विसर्जन की परिभाषा दीजिए और उसकी इकाई बताइए। $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाने वाली नदी के किसी बिंदु से एक दिन में कितने लीटर गुज़रते हैं?

हल

हल — अभ्यास 8.2.

विसर्जन जल का वह आयतन है जो हर सेकंड नदी की किसी अनुप्रस्थ काट से होकर गुज़रता है, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ में। $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ हर सेकंड $1000\,\mathrm{L}$ है; एक दिन में $1000 \times 86\,400 = 86.4$ मिलियन लीटर।

अभ्यास 8.3 ★

जनवरी 1996 के पोटोमैक के जलालेख पर बाढ़ से पहले का आधार-प्रवाह, शिखर विसर्जन और उसकी तिथि, और चढ़ाव में लगे दिनों की संख्या पढ़िए।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

बाढ़ से पहले नदी लगभग $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जा रही थी (लगभग $240$ और $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ के बीच)। शिखर 21 जनवरी को $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ था। चढ़ाव 18 जनवरी ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) को शुरू हुआ: इसमें तीन दिन लगे।

अभ्यास 8.4 ★

इसकी प्रायिकता क्या है कि अगले वर्ष कोई $50$-वर्षीय बाढ़ बराबर हो या पार हो? पिछले वर्ष एक $50$-वर्षीय बाढ़ आई थी: क्या इस वर्ष उसकी संभावना कम है?

हल

हल — अभ्यास 8.4.

$1/50 = 0.02$, $2\,\%$। नहीं: वर्ष स्वतंत्र हैं; इस वर्ष भी संभावना $2\,\%$ ही है, पिछले वर्ष चाहे जो हुआ हो।

अभ्यास 8.5 ★

मिसिसिपी औसतन प्रति सेकंड $593\,000$ घन फ़ुट जल समुद्र तक लाती है ($1$ फ़ुट = $0.3048\,\mathrm{m}$)। इस विसर्जन को $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ में बदलिए, और इसकी तुलना अमेज़न के $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.5.

एक घन फ़ुट $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$ है, इसलिए $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$। अमेज़न $206\,000/16\,800 \approx 12$ गुना अधिक ले जाती है।

अभ्यास 8.6 ★★

एक जलविज्ञानी $1.5\,\mathrm{m}$ की दूरी पर चार ऊर्ध्वाधरों से एक धारा का प्रवाह-मापन करता है। गहराइयाँ $0.3$, $0.6$, $0.7$ और $0.4\,\mathrm{m}$ हैं; माध्य वेग $0.2$, $0.5$, $0.6$ और $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। अनुप्रस्थ काट, विसर्जन और माध्य वेग परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.6.

पट्टियों के क्षेत्रफल: $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$ और $0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$। विसर्जन: $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$। माध्य वेग $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

अभ्यास 8.7 ★★

एक तूफ़ान मानचित्र पर वार्डन नदी की पूरी द्रोणी, $66\,\mathrm{km}^{2}$, पर $20\,\mathrm{mm}$ वर्षा करता है। यह जल का कितना आयतन है? यदि यह सारा जल दो दिनों में निकास तक पहुँचे, तो माध्य अतिरिक्त विसर्जन क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$। दो दिन $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$ हैं: औसतन $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$।

अभ्यास 8.8 ★★

किसी छोटी नदी के नौ वर्षों के वार्षिक शिखर, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ में, ये हैं: $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$। इन्हें क्रम दीजिए और तीन सबसे बड़े शिखरों के पुनरावृत्ति काल बताइए। माध्यिका शिखर का पुनरावृत्ति काल क्या है?

हल

हल — अभ्यास 8.8.

क्रम से: 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35। $n = 9$ के साथ $T = 10/m$: सबसे बड़े (120) का $T = 10$ वर्ष, दूसरे (88) का 5 वर्ष, तीसरे (65) का लगभग 3.3 वर्ष। माध्यिका, 51, का क्रम 5 है और $T = 2$ वर्ष: वह दो में से एक वर्ष बराबर होता है या पार होता है।

अभ्यास 8.9 ★★

एक ही तूफ़ान समान क्षेत्रफल की दो द्रोणियों पर गिरता है: एक तीव्र ढलान वाली, नगर से ढकी, दूसरी हल्की ढलान वाली और वनाच्छादित। उनके दोनों जलालेखों का रेखाचित्र एक ही अक्षों पर बनाइए और अंतर समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 8.9.

नगर का जलालेख जल्दी और कहीं अधिक ऊँचा चढ़ता है, और तेज़ी से गिरता है: तीव्र ढलानों, छतों और सड़कों पर थोड़ा ही जल रिसता है और अपवाह नाले तक तेज़ी से और एक साथ पहुँचता है; उसका विलंब-काल छोटा है। वनाच्छादित द्रोणी का जलालेख देर से, एक नीचे, चौड़े शिखर तक चढ़ता है: मृदा और वन वर्षा का बड़ा भाग सोखकर उसे धीरे-धीरे छोड़ते हैं, और हल्की ढलानों पर जल धीरे बहता है। तूफ़ान के बाद उसका आधार-प्रवाह अधिक ऊँचा बना रहता है।

अभ्यास 8.10 ★★

21 जनवरी 1996 के शिखर पर पोटोमैक $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$ की द्रोणी से $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जा रही थी। पूरी द्रोणी पर फैलाने पर इस विसर्जन का एक दिन जल की कितनी गहराई दर्शाता है? इसकी तुलना $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ के आधार-प्रवाह से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, जो $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$ पर फैला है: लगभग $0.027\,\mathrm{m}$, यानी $27\,\mathrm{mm}$। आधार-प्रवाह $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$ देता है, यानी लगभग $1\,\mathrm{mm}$ प्रतिदिन: शिखर-दिवस लगभग 28 गुना अधिक ले गया।

अभ्यास 8.11 ★★

इसकी प्रायिकता क्या है कि कोई $10$-वर्षीय बाढ़ $10$ वर्षों में कम से कम एक बार आए? और इसकी कि वह इन दस वर्षों में बिल्कुल न आए?

हल

हल — अभ्यास 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: लगभग $65\,\%$। इसके बिल्कुल न आने की प्रायिकता $0.9^{10} \approx 0.35$ है, यानी लगभग $35\,\%$।

अभ्यास 8.12 ★★★

बाढ़ के समय किसी जलाशय में आने वाला विसर्जन एक दिन में $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ तक समान रूप से चढ़ता है, फिर दो दिनों में समान रूप से वापस $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ तक गिरता है (आधार-प्रवाह उपेक्षित)। बाढ़ कितना आयतन लाती है? बाँध अधिकतम $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ निकलने देता है, और जलाशय $60$ मिलियन $\mathrm{m}^{3}$ संचित कर सकता है। क्या वह $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से ऊपर का सब कुछ रोक सकता है?

हल

हल — अभ्यास 8.12.

जलालेख तीन दिन लंबा और $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ऊँचा एक त्रिभुज है: उसका क्षेत्रफल $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, यानी $156$ मिलियन घन मीटर, है। $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से ऊपर का भाग इसी आकार का एक छोटा त्रिभुज है, जो ऊँचाई ($400$, $1200$ के बजाय) और अवधि (तीन के बजाय एक दिन) में तीन गुना छोटा है: $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, यानी $17$ मिलियन घन मीटर। यह जलाशय द्वारा संचित किए जा सकने वाले $60$ मिलियन से कम है: हाँ।

अभ्यास 8.13 ★★★

$100\,\mathrm{m}$ चौड़ी एक नदी $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ पर अपने किनारों तक भरी है, और $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती है। $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ की बाढ़ आती है।

1. तटबंधों के बिना अतिरिक्त $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ $900\,\mathrm{m}$ चौड़े बाढ़ के मैदान पर फैल जाता है, जहाँ वह $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहता है। बाढ़ के मैदान पर जल कितना गहरा है?
2. तटबंधों के साथ सारी बाढ़ उनके बीच से, $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से, गुज़रती है। नदी कितनी गहरी है, और वह अपने किनारों से कितनी ऊपर खड़ी है?

हल

हल — अभ्यास 8.13.

किनारों तक भरी नदी $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$ गहरी है। (1) बाढ़ का मैदान $900\,\mathrm{m}$ पर $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाता है: उसकी गहराई $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$ है। (2) तटबंधों के बीच: $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$ गहरी, अपने किनारों से $2\,\mathrm{m}$ ऊपर, जो तटबंधों के बिना बाढ़ के मैदान की गहराई के दुगुने से भी अधिक है।

अभ्यास 8.14 ★★★

कौन-सा पुनरावृत्ति काल $T$ किसी बाढ़ को $30$ वर्षों में कम से कम एक बार आने की दो में एक संभावना देता है?

हल

हल — अभ्यास 8.14.

हमें $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$ चाहिए, इसलिए $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ और $T \approx 44$ वर्ष।

अभ्यास 8.15 ★★★

एक छोटे मानचित्र को $100\,\mathrm{m}$ के वर्गों में काटा गया है; मीटर में उनकी ऊँचाइयाँ नीचे दी गई हैं (उत्तर ऊपर)। जल हर वर्ग से उसके चार पड़ोसियों (उत्तर, दक्षिण, पूर्व, पश्चिम) में से सबसे निचले की ओर निकलता है, यदि वह निचला है; $34\,\mathrm{m}$ (उत्तर-पश्चिमी कोना) और $30\,\mathrm{m}$ (दक्षिण-पूर्वी कोना) वाले वर्ग दो नालों के निकास हैं।

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

हर वर्ग की प्रवाह-दिशा बनाइए, हर निकास की द्रोणी और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, और जल-विभाजक बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 8.15.

हर वर्ग अपना जल अपने सबसे निचले पड़ोसी को भेजता है (पंक्तियाँ उत्तर से दक्षिण, स्तंभ पश्चिम से पूर्व):

निकास	पश्चिम	पश्चिम	पश्चिम
उत्तर	पश्चिम	पश्चिम	दक्षिण
उत्तर	उत्तर	दक्षिण	दक्षिण
उत्तर	पूर्व	पूर्व	निकास

तीरों का अनुसरण करने पर वर्ग 47, 39, 44, 37, 46 और 30 दक्षिण-पूर्वी निकास में बहते हैं: 6 वर्ग, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$। बाक़ी 10 वर्ग उत्तर-पश्चिमी निकास में बहते हैं: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$। जल-विभाजक पूर्वी किनारे से 50 और 47 के बीच से चलता है, फिर 48 और 47 के बीच, 48 और 44 के बीच, 49 और 44 के बीच, 49 और 46 के बीच, और 51 और 46 के बीच से होकर दक्षिणी किनारे तक।

8.7 समस्या: सौ-वर्षीय बाढ़

समस्या 8.1

सप्ताहांत समस्या — नदी कितनी बार नगर में आती है?

वॉशिंगटन से ठीक ऊपर की ओर, पोटोमैक नदी पर बसे एक नगर की कल्पना कीजिए, जिसके पास एक प्रवाह-मापन केंद्र है जिसने 1931 से हर वर्ष नदी का सबसे बड़ा विसर्जन अंकित किया है। वार्षिक शिखर नीचे बनाए गए हैं; जनवरी 1996 का जलालेख अध्याय में दिया गया है।

भाग I — द्रोणी और विसर्जन।

1. केंद्र की द्रोणी $11\,560$ वर्ग मील में फैली है ($1$ मील = $1.609\,\mathrm{km}$)। इस क्षेत्रफल को $\mathrm{km}^{2}$ में बदलिए।
2. मानचित्र पर कौन-सी रेखा इस क्षेत्र को घेरती है?
3. सबसे बड़ा शिखर, 19 मार्च 1936 को, $484\,000$ घन फ़ुट प्रति सेकंड था। इसे $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ में बदलिए ($1$ फ़ुट = $0.3048\,\mathrm{m}$)।
4. माध्यिका वार्षिक शिखर $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ है। 1936 की बाढ़ माध्यिका से कितने गुना बड़ी थी?
5. मान लीजिए कि 1936 के शिखर पर केंद्र के पास नदी $400\,\mathrm{m}$ चौड़ी और औसतन $8\,\mathrm{m}$ गहरी थी। उसका माध्य वेग क्या रहा होगा?

भाग II — 1996 की बाढ़ को पढ़ना।

6. जनवरी 1996 के जलालेख पर बाढ़ से पहले के दिनों में आधार-प्रवाह क्या था?
7. शिखर दैनिक विसर्जन क्या था, और किस दिन?
8. 18 जनवरी के $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से शिखर तक चढ़ाव में कितने दिन लगे?
9. शिखर-दिवस ने पूरी द्रोणी पर कितनी गहराई का जल केंद्र से आगे पहुँचाया?
10. एक दूसरा, छोटा उभार 29 जनवरी को शिखर पर पहुँचता है। यह द्रोणी तक पहुँचने वाले जल के बारे में क्या बताता है?
11. 7 फ़रवरी को विसर्जन वापस लगभग $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ पर था। यह शिखर के कितने समय बाद था? अवरोही भुजा आरोही भुजा से अधिक समय तक क्यों चलती है?

भाग III — बाढ़ों को क्रम देना।

12. अभिलेख में $n = 95$ वार्षिक शिखर हैं। विधि सबसे बड़े शिखर को कौन-सा पुनरावृत्ति काल देती है?
13. अक्टूबर 1942 का शिखर ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) दूसरे क्रम पर है। उसका पुनरावृत्ति काल क्या है?
14. जून 1972 का शिखर ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) तीसरे क्रम पर है। उसका पुनरावृत्ति काल क्या है?
15. अप्रैल 1937 और जनवरी 1996 की बाढ़ें बराबर थीं ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$)। क्रम 4 और 5 दिए जाने पर उन्हें कौन-से पुनरावृत्ति काल मिलते हैं? क्या यहाँ एक ही मान साझा करना बहुत मायने रखता है?
16. दंड आरेख पर उन वर्षों को गिनिए जिनका शिखर $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ से अधिक था। किसी एक वर्ष में ऐसे शिखर की संभावना का, और उसके पुनरावृत्ति काल का, अनुमान लगाइए।

भाग IV — बाढ़ की संभावना।

17. इसकी प्रायिकता क्या है कि किसी दिए हुए वर्ष में कोई $100$-वर्षीय बाढ़ बराबर हो या पार हो?
18. इसकी प्रायिकता क्या है कि उस वर्ष ऐसा न हो?
19. इसकी प्रायिकता क्या है कि वह $30$ वर्षों में न आए, यानी उतने समय में जितना कोई परिवार नदी के किनारे के घर में रह सकता है?
20. $30$ वर्षों में कम से कम एक $100$-वर्षीय बाढ़ की संभावना क्या है?

हल

हल — समस्या 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$।

2. केंद्र से ऊपर की ओर की द्रोणी का जल-विभाजक।

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$।

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ गुना।

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ और $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

6. लगभग $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$।

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, 21 जनवरी को।

8. तीन दिन।

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: लगभग $27\,\mathrm{mm}$।

10. नदी तक नया जल पहुँचा: द्रोणी पर एक और वर्षा (या पिघलती बर्फ़) ने अपवाह की एक दूसरी, छोटी लहर भेजी।

11. शिखर के सत्रह दिन बाद। चढ़ाव नालों के पास की ढलानों के अपवाह से आता है, जो जल्दी और एक साथ पहुँचता है; अवरोही भुजा पर नदी को अब भी द्रोणी के सबसे दूर के भागों का जल और मृदा से धीरे-धीरे निकलता जल मिलता रहता है।

12. $T = n + 1 = 96$ वर्ष।

13. $96/2 = 48$ वर्ष।

14. $96/3 = 32$ वर्ष।

15. $96/4 = 24$ वर्ष और $96/5 = 19.2$ वर्ष। बहुत नहीं: दोनों ही स्थितियों में यह विसर्जन लगभग बीस वर्षों में एक बार लौटता है।

16. पाँच वर्ष (1936, 1937, 1943, 1972 और 1996): $5/95 \approx 0.053$, यानी प्रति वर्ष लगभग $5\,\%$, जो लगभग $96/5 \approx 19$ वर्ष का पुनरावृत्ति काल है।

17. $1/100 = 0.01$, $1\,\%$।

18. $1 - 0.01 = 0.99$।

19. $0.99^{30} \approx 0.740$।

20. $1 - 0.740 = 0.26$: 30 वर्षों में कम से कम एक 100-वर्षीय बाढ़ की संभावना लगभग $26\,\%$ है, यानी चार में एक।