13दरारें, कटक और निष्क्रिय किनारे

सितंबर 2005 में इथियोपिया के उत्तर-पूर्व में अफ़ार मरुस्थल की ज़मीन खुल गई। तीन सप्ताह के भीतर लगभग $60\,\mathrm{km}$ लंबे दरार-खंड का एक भाग $8\,\mathrm{m}$ तक चौड़ा हो गया, और लगभग $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ मैग्मा नीचे से दरार में उठ आया। वहाँ की प्लेटें लगभग $18\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष पर अलग होती हैं: उस संकट ने कुछ सप्ताहों में लगभग चार सदियों का खिंचाव मुक्त कर दिया। अफ़ार एक टूटता हुआ महाद्वीप है; कुछ सौ किलोमीटर उत्तर में लाल सागर एक युवा महासागर है जिसका तल पहले से अटलांटिक के तल की तरह बना है, और दक्षिण अटलांटिक भी खुलने से पहले ऐसी ही एक दरार था, लगभग 120 मिलियन वर्ष पहले। यह अध्याय एक महासागर के जन्म का अनुसरण करता है: एक महाद्वीप का खिंचाव, उसका टूटना, पीछे छूटे दो निष्क्रिय किनारे, वह कटक जो महासागर-तल बनाता है, और ठंडे होते उस तल का धीमा धँसना।

पहले से ज्ञात

प्लेटें प्रावार की ऊपरी ऊष्मीय सीमा-परत हैं; महासागरों के नीचे एक ठंडा होता अर्ध-अंतरिक्ष उन्हें वर्णित करता है, और उनकी समतापीय रेखाएँ आयु के वर्गमूल के अनुपात में गहरी होती हैं (अध्याय 10)। समस्थैतिक साम्य में चट्टान के स्तंभ एक प्रतिपूर्ति गहराई के ऊपर प्रति एकाई क्षेत्रफल समान द्रव्यमान रखते हैं (अध्याय 11)। प्लेटें यूलर ध्रुवों के परितः घूमती हैं, कटक चुंबकीय विसंगतियों से पढ़ी दरों से फैलते हैं, और रूपांतर ध्रुव के परितः लघुवृत्तों पर पड़ते हैं (अध्याय 12)। एक भ्रंश का विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन अध्याय 5 में परिभाषित किए गए थे; एक सामान्य भ्रंश एक झुका हुआ भ्रंश है जिसका ऊपरी खंड नीचे खिसका है (पुस्तक 2, कक्षा 11)।

13.1 महाद्वीपीय दरार

एक महाद्वीप जो अपने किनारों पर बलों से खिंचता है, समान रूप से पतला नहीं होता। उसकी भंगुर ऊपरी भूपर्पटी सामान्य भ्रंशों के साथ टूटती है, और उनके बीच के खंड धँसते और झुकते हैं; नीचे, गरम निचली भूपर्पटी और प्रावार बहते हैं।

परिभाषा 13.1 (महाद्वीपीय दरार, ग्राबेन, अर्ध-ग्राबेन)

एक महाद्वीपीय दरार एक लंबा, संकरा क्षेत्र है जहाँ एक महाद्वीप खिंच रहा है: सामान्य भ्रंशों से घिरा एक अवनमन, जिसमें भूकंप और प्रायः ज्वालामुखी होते हैं। एक ग्राबेन दो सामान्य भ्रंशों के बीच गिरा एक खंड है, जो एक-दूसरे की ओर झुकते हैं। एक अर्ध-ग्राबेन एक खंड है जो केवल एक ओर के एक प्रमुख सामान्य भ्रंश, सीमा-भ्रंश, के विरुद्ध गिरा और झुका हुआ है।

अधिकांश दरार-द्रोणियाँ अर्ध-ग्राबेनों की शृंखलाएँ हैं। उनके सीमा-भ्रंश विस्थापन को रिले-ढलानों के ज़रिए एक-दूसरे को सौंप देते हैं, और सीमा-भ्रंश की दिशा, एक खंड से अगले में, अक्सर बदलती रहती है। हर सीमा-भ्रंश की लटकती दीवार उसकी ओर नीचे झुकती है, और द्रोणी वहीं सबसे तेज़ भरती है: सबसे मोटा अवसाद भ्रंश से सटकर जमा होता है, जबकि पादभित्ति दरार-कंधे में ऊपर उठ जाती है।

किसी भ्रंश द्वारा वहन किया गया क्षैतिज खिंचाव उसका क्षैतिज विस्थापन है। $h$ विस्थापन और $\delta$ नति वाले एक समतल सामान्य भ्रंश का क्षैतिज विस्थापन $h/\tan\delta$ है (अध्याय 5); एक दरार-परिच्छेद में भ्रंशों के क्षैतिज विस्थापनों को जोड़ने से भंगुर भूपर्पटी का विस्तार मिलता है। पूरा स्थलमंडल खिंचने पर कैसे पतला होता है, और फिर क्यों धँसता है, यह पुस्तक 4 में परिमाणित है; यहाँ भ्रंशों को मापा जाता है, और उनके योग की तुलना प्लेटों की गति से की जाती है।

ज्वालामुखी और मैग्मा-विरल दरारें

दरारें इस बात में भिन्न हैं कि उन्हें कितना मैग्मा मिलता है। एक मैग्मा-विरल दरार में खिंचाव भ्रंशों द्वारा वहन होता है, और खंडों के खिसकने पर भूपर्पटी पतली होती है। एक ज्वालामुखी दरार में मैग्मा कमान संभाल लेता है: अक्ष के साथ भूपर्पटी में डाइक घुसते हैं, जिनमें से हर एक दरार को अपनी मोटाई भर खोलता है, और लावा सतह को भर देता है। पूर्वी अफ़्रीकी दरार दोनों दिखाती है, साथ-साथ: उसकी पूर्वी शाखा तीव्र रूप से ज्वालामुखी-सक्रिय है, जबकि पश्चिमी शाखा उतनी नहीं है और गहरे अवसादी द्रोणियाँ रखती है, जो तांगानिका झील जैसी झीलों से भरी हैं और भ्रंशों से घिरी हैं।

दोनों शाखाएँ लगभग 25 मिलियन वर्ष पहले बननी शुरू हुईं, और दरार अफ़्रीकी प्लेट को पश्चिम में एक नूबियन प्लेट और पूर्व में एक सोमाली प्लेट में बाँटती है। अफ़ार त्रि-संधि से वह दक्षिण की ओर चलती है, पुराने, मोटे और ठंडे तंज़ानिया क्रेटन के चारों ओर दो शाखाओं में। इसकी गति धीमी है: सोमालिया और नूबिया के प्लेट सदिशों से परिकलित, जिनमें से हर एक अंटार्कटिक प्लेट के सापेक्ष मापा गया है, सोमालिया नूबिया से $6.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर $105{}^{\circ}$ की ओर, मध्य इथियोपिया ($8.5{}^{\circ}$ N, $39.5{}^{\circ}$ E) में, दूर जाता है, और भूमध्य रेखा पर $5.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर। दरार के कई भूकंप सामान्य भ्रंशन दिखाते हैं।

अफ़ार में, उत्तरी सिरे पर, दरार लाल सागर और अदन की खाड़ी से मिलती है। इथियोपियाई बाढ़-बेसाल्ट का अधिकांश भाग वहाँ लगभग 30 मिलियन वर्ष पहले, एक मिलियन वर्ष या उससे कम में, फूटा, और तब से मैग्मा लगातार आता रहा है: सतह पर लावा-प्रवाह, भूपर्पटी में अंतर्वेधन और उसके नीचे नई सामग्री का जुड़ना, इतना कि अंतर्विष्ट भूपर्पटी ने दरार की प्रारंभिक अवस्थाओं में अपनी मोटाई बनाए रखी। 2005 का संकट दिखाता है कि ऐसी दरार कैसे खुलती है: एकसमान रूप से नहीं, बल्कि प्रकरणों में, हर एक एक डाइक जो मीटरों चौड़ा है और दिनों या सप्ताहों में अंतर्विष्ट होता है। चूँकि वहाँ प्लेटें लगभग $18\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर अलग होती हैं, 2005 के $8\,\mathrm{m}$ डाइक ने लगभग 440 वर्षों के खिंचाव को समाहित किया।

13.2 टूटना और निष्क्रिय किनारे

यदि खिंचाव जारी रहता है, तो महाद्वीपीय भूपर्पटी शून्य तक पतली हो जाती है, दरार के नीचे प्रावार उठता है और उठते हुए पिघलता है, और महाद्वीप के दो अर्ध-भागों के बीच पहली महासागरीय भूपर्पटी बनती है। वह क्षण टूटना है। उसके बाद प्लेटें एक नए महासागर के बीच एक कटक पर अलग होती हैं, और महाद्वीप के दोनों किनारे, कटक से दूर ले जाए जाकर, प्लेट-सीमाएँ नहीं रहते।

परिभाषा 13.2 (निष्क्रिय किनारा, महासागर–महाद्वीप संक्रमण, टूटन-असंगति)

एक निष्क्रिय किनारा एक महाद्वीप का वह किनारा है जो दरार से बना और अब प्लेट-सीमा नहीं है: महाद्वीप और सटा महासागर-तल एक ही प्लेट के हैं। महासागर–महाद्वीप संक्रमण किनारे का वह क्षेत्र है, किलोमीटर से दसियों किलोमीटर चौड़ा, जो पतली महाद्वीपीय भूपर्पटी और सामान्य महासागरीय भूपर्पटी के बीच है। टूटन-असंगति वह असंगति है जो दरार-द्रोणियों में जमा अवसादों को, उनके खंडों के साथ झुके हुए, टूटने के बाद किनारे पर बिछे अविक्षुब्ध अवसादों से अलग करती है।

निष्क्रिय किनारे अटलांटिक के अधिकांश, आर्कटिक महासागर और पश्चिमी हिंद महासागर को रेखांकित करते हैं, और अफ़्रीका, ऑस्ट्रेलिया, ग्रीनलैंड और भारत के लगभग सभी तट। उत्तर अमेरिका का पूर्वी किनारा और अफ़्रीका का उत्तर-पश्चिमी किनारा एक ही दरार के दो पक्ष थे: वे संयुग्मी किनारे हैं। उनकी परिच्छेदिका ज़मीन के निकट महासागर-तल का परिचित क्रम है: महाद्वीपीय शेल्फ, ढलान, उभार और अतल मैदान। शेल्फ और ढलान के नीचे पतली महाद्वीपीय भूपर्पटी है, सामान्य भ्रंशों से कटी जो महासागर की ओर झुकते हैं, उनके घूमे हुए खंड अवसादों के नीचे दबे हुए।

दो प्रकार के किनारे

किनारे अपनी दरार का चरित्र विरासत में पाते हैं। मैग्मा-विरल किनारों पर, जैसे इबेरिया और न्यूफ़ाउंडलैंड के, भूकंप-परिच्छेद घूमे हुए खंड दिखाते हैं जिनकी परतें महाद्वीप की ओर झुकती हैं; कुछ स्थानों पर ऊँचा-नीचा संक्रमण प्रावार की पेरिडोटाइट से बिछा है, जो समुद्र-तल तक लाई गई और समुद्र के पानी से सर्पेंटीनाइट में बदली गई। ज्वालामुखी किनारों पर, जैसे मध्य-नॉर्वे, पूर्वी ग्रीनलैंड, नामीबियाई और ब्राज़ीली किनारों पर, संक्रमण बेसाल्ट से बना है: लावा प्रवाहों के ढेर जो महासागर की ओर झुकते हैं, भूकंप-परिच्छेदों के समुद्र की ओर झुके परावर्तक, और उनके नीचे एक निचली भूपर्पटी जिसमें P तरंगें असामान्य रूप से तेज़ चलती हैं, टूटने पर भूपर्पटी के नीचे जोड़ा गया मैग्मा। ज्वालामुखी किनारे टूटने के दौरान बहुत कम धँसते हैं।

क्षेत्र-कार्य — महाद्वीप के किनारे का पता लगाना

महासागर–महाद्वीप संक्रमण किलोमीटरों पानी और अवसाद के नीचे है, और केवल भूभौतिकी से, आम तौर पर कई विधियों को एक साथ लगाकर, खोजा जाता है। भूकंपीय परावर्तन झुके हुए खंड, टूटन-असंगति और, जहाँ संकेत पर्याप्त गहराई तक पहुँचता है, मोहो को दिखाता है। चौड़े-कोण का भूकंपीय अपवर्तन P तरंगों की चालें मापता है जो भूपर्पटी से होकर जाती हैं, और महाद्वीपीय और महासागरीय भूपर्पटी में ये भिन्न होती हैं। गुरुत्व आँकड़े, मोहो की गहराई के लिए व्युत्क्रमित, भूपर्पटी की मोटाई देते हैं। महासागर-तल की चुंबकीय धारियाँ वहीं रुकती हैं जहाँ चुंबकीय रूप से शांत महाद्वीपीय भूपर्पटी शुरू होती है।

टूटने के बाद किनारा धँसता है। दरार के दौरान स्थलमंडल पतला और गरम हुआ था; कटक से दूर ले जाए जाने पर, वह ठंडा होता है और सिकुड़ता है, अपने बगल के महासागर-तल की तरह, और उसके ऊपर खुलने वाला स्थान टूटन-पश्चात अवसादों की पच्चर से भरता है, जिसका भार उसे और नीचे दबाता है। इस कहानी का शीतलन वाला भाग अनुभाग 13.4 में कहा गया है; अवसादों का भार अध्याय 23 का विषय है।

13.3 तेज़ और धीमे कटक

एक बार महासागर जन्म लेता है, वह अपने कटक पर बढ़ता है। कटक बहुत भिन्न दरों पर फैलते हैं: पिछले कुछ मिलियन वर्षों में मापी गई दरें लाल सागर के उत्तरी भाग में $9.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से पूर्वी प्रशांत उभार पर $154.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ तक चलती हैं। उनका आकार उस दर पर निर्भर करता है।

परिभाषा 13.3 (तेज़-, धीमे- और अति-धीमे-प्रसार कटक)

कटक को उसकी पूर्ण प्रसार-दर से वर्गीकृत किया जाता है। एक अति-धीमा प्रसार कटक लगभग $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से कम पर खुलता है; एक धीमा प्रसार कटक 20 से $55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर; एक मध्यवर्ती कटक 55 से $75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर; एक तेज़ प्रसार कटक लगभग $75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से अधिक पर।

सीमाएँ परंपराएँ हैं और लेखकों के बीच भिन्न हैं। जो नहीं बदलता वह रूप का परिवर्तन है। एक धीमा कटक, जैसे मध्य-अटलांटिक कटक, में अंदर की ओर मुँह किए सामान्य भ्रंशों के बीच एक अक्षीय घाटी होती है: प्लेटों के बीच का अंतर उतनी तेज़ी से मैग्मा से नहीं भरता जितनी तेज़ी से वह खुलता है, और ठंडा स्थलमंडल टूट जाता है। एक तेज़ कटक, जैसे पूर्वी प्रशांत उभार, में कोई दरार-घाटी नहीं होती, बल्कि पिघलने के लेंस के ऊपर एक चिकना अक्षीय उभार होता है, जो बार-बार पर्याप्त भरा जाता है ताकि गति बनी रहे। दोनों ही स्थितियों में अक्ष लगभग $2500\,\mathrm{m}$ गहरा है, और द्रोणियों का सबसे पुराना तल लगभग $4\,\mathrm{km}$ और गहरा है (अनुभाग 13.4)।

अति-धीमे कटक दिखाते हैं कि मैग्मा सबसे कम होने पर क्या होता है: उनका ज्वालामुखीपन रुक-रुककर होता है, उनमें रूपांतर भ्रंश नहीं होते, और बड़े क्षेत्रों में प्रावार स्वयं समुद्र-तल तक लाया जाता है। गाक्कल कटक, आर्कटिक महासागर के नीचे, सबसे धीमा, बिल्कुल विस्थापित नहीं है; उसके अक्ष के एक मध्य भाग के साथ, लगभग $300\,\mathrm{km}$ लंबा, प्रावार की पेरिडोटाइट अक्ष पर सीधे पड़ी है, पश्चिम में प्रचुर ज्वालामुखीपन और पूर्व में बड़े, दूर-दूर ज्वालामुखियों के बीच। विशेष रूप से धीमे और अति-धीमे कटकों पर, प्रसार का कुछ भाग लंबे, मंद रूप से झुके सामान्य भ्रंशों, विच्छेदों (डिटैचमेंट्स) से वहन होता है, जिनकी पादभित्ति अक्ष के नीचे से बाहर खींची जाती है: गैब्रो और पेरिडोटाइट लहरदार गुंबदों में समुद्र-तल तक पहुँचते हैं, महासागरीय कोर कॉम्प्लेक्स। अटलांटिस मैसिफ़, लगभग $30{}^{\circ}$ N पर मध्य-अटलांटिक कटक के बगल में, एक ऐसा ही है: उसकी चोटी पर, कटक-अक्ष से लगभग $15\,\mathrm{km}$ दूर $1.5\,\mathrm{Myr}$ पुरानी भूपर्पटी पर, प्रावार-चट्टान से प्रतिक्रिया करता समुद्र का पानी लॉस्ट सिटी जलतापीय क्षेत्र के गरम, क्षारीय झरनों को पोषित करता है।

महासागरीय भूपर्पटी

परिभाषा 13.4 (महासागरीय भूपर्पटी, तकिया-लावा, चादरी डाइक-संकुल)

महासागरीय भूपर्पटी कटकों पर बनी भूपर्पटी है: समुद्र-तल से लेकर मोहो तक $6\,\mathrm{km}$ से $7\,\mathrm{km}$ बेसाल्ट और गैब्रो, अवसादों के आवरण के नीचे। तकिया-लावा पानी के नीचे फूटा लावा है, गोल, परस्पर जुड़ी नलियों और लोब से बना, जिनमें से हर एक पर समुद्र से ठंडी हुई काँच जैसी त्वचा होती है। एक चादरी डाइक-संकुल एक परत है जो लगभग पूरी तरह समानांतर ऊर्ध्वाधर डाइकों से बनी है, जिनमें से हर एक पिछले डाइकों में अंतर्विष्ट है।

महासागरीय भूपर्पटी की परतें पहले भूकंप-विज्ञान से परिभाषित हुईं, फिर ड्रिलिंग से नमूने ली गईं, और महाद्वीपों पर धकेली गई समुद्र-तल की स्लाइसों में, ऑफ़ियोलाइटों में, पहचानी गईं। ऊपर से:

• परत 1, अवसाद, कटक के निकट पतले या अनुपस्थित और तल की आयु के साथ मोटे होते हुए;
• परत 2, औसत रूप से $1.84\,\mathrm{km}$ बेसाल्ट: ऊपर तकिया-लावा (परत 2A), नीचे डायबेस के चादरी डाइक (परत 2B);
• परत 3, शेष चार से पाँच किलोमीटर, गैब्रो का, और उसके आधार पर मैग्मा से बैठे संचयों का: भूपर्पटी की मोटाई का लगभग $70\,\%$।

मोहो के नीचे प्रावार की पेरिडोटाइट है, पिघलने से बचा अवशेष।

भूकंपीय अपवर्तन भ्रंश-क्षेत्रों और गरम स्थानों से दूर आग्नेय भूपर्पटी को $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ औसत मोटाई देता है, और भूकंपीय परिच्छेदों का एक बाद का संश्लेषण $6.15\,\mathrm{km}$ देता है, सभी प्रसार-दरों पर लगभग एक जैसा: पिघले की मात्रा उठते प्रावार के तापमान पर निर्भर करती है, उसके उठने की चाल पर नहीं। केवल बहुत धीमे कटक असामान्य रूप से पतली भूपर्पटी बनाते हैं: वहाँ प्रावार के पास उठते हुए ठंडा होने का समय होता है, और वह कम पिघलता है। एक गरम प्लूम के ऊपर भूपर्पटी मोटी है, प्लूम के उठते केंद्र के ठीक ऊपर लगभग $20\,\mathrm{km}$, जैसा आइसलैंड के नीचे (अध्याय 15)। सारे कटकों पर एक साथ, हर वर्ष लगभग $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ नया समुद्र-तल और लगभग $20\,\mathrm{km}^{3}$ नई भूपर्पटी बनती है।

प्रतिज्ञप्ति 13.5 (हर डाइक पिछले को विभाजित करता है)

मान लीजिए कि चादरी डाइक-संकुल का हर डाइक प्रसार के अक्ष पर अंतर्विष्ट हुआ, जहाँ भूपर्पटी सबसे गरम और दुर्बल है, और भूपर्पटी अक्ष से सममित रूप से दूर खिसकती है। तब अधिकांश डाइक दो में विभाजित मिलते हैं, हर आधा अपने पुराने पड़ोसी के विरुद्ध ही ठंडे किनारे के साथ।

एक ओर ही ठंडे किनारे वाले डाइक चादरी डाइक-संकुलों में सचमुच नियम हैं: प्रसार द्वारा बनी, डाइक-दर-डाइक बनी, एक भूपर्पटी की पहचान।

13.4 गहराई–आयु नियम

महासागर-तल कटक पर उथला और उससे दूर गहरा है। चूँकि तल कटक पर बनता है और दूर ले जाया जाता है, कटक से दूरी आयु है, और तल की गहराई उसकी आयु पर निर्भर करती है। प्लेट बूढ़ी होते हुए ऊपर से ठंडी होती है (अध्याय 10); ठंडी चट्टान सघनतर होती है, और एक सघनतर स्तंभ नीचे तैरता है।

प्रमेयिका 13.6 (त्रुटि-फलन का एक समाकल)

$\operatorname{erfc} u = 1 - \operatorname{erf} u = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_u^\infty e^{-s^2}\,\mathrm ds$ के साथ,

$$\int_0^\infty \operatorname{erfc} u \,\mathrm du = \frac{1}{\sqrt\pi}.$$

प्रमेय 13.7 (गहराई–आयु नियम)

मान लीजिए कि

1. प्रावार एकसमान तापमान $T_m$ पर कटक छोड़ता है, और आयु $t$ की महासागरीय प्लेट एक अर्ध-अंतरिक्ष है जो तब से अपनी सतह से ठंडा हुआ है, जो $T_0$ पर रखी है, ऊष्मीय विसरणशीलता $\kappa$ के साथ;
2. ठंडी चट्टान का घनत्व $\rho_m\bigl(1 + \alpha(T_m - T)\bigr)$ है, जहाँ $\rho_m$, $T_m$ पर प्रावार का घनत्व है और $\alpha$ उसका ऊष्मीय प्रसार-गुणांक;
3. हर स्तंभ एक प्रतिपूर्ति गहराई के ऊपर समस्थैतिक साम्य में है जो ठंडी परत के नीचे है, और समुद्री पानी का घनत्व $\rho_w$ है।

तब आयु $t$ के समुद्र-तल की गहराई है

$$d(t) = d_r + C\sqrt t, \qquad C = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\frac{\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt\kappa}{\rho_m - \rho_w},$$

जहाँ $d_r$ कटक-अक्ष की गहराई है। यह महासागर-तल का गहराई–आयु नियम है।

पानी मायने रखता है: जैसे-जैसे प्लेट धँसती है, पानी उसके ऊपर का स्थान भरता है, और उसका भार उसे और नीचे दबाता है। प्रभावी प्रसार-गुणांक $\alpha\rho_m/(\rho_m - \rho_w)$ है, जो $\alpha$ से गुणनखंड $3300/2300 \approx 1.43$ द्वारा बड़ा है।

$\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1350\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, और समय दस लाख वर्षों में गिनते हुए ($\sqrt{\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = 5618\,\mathrm{m}$), प्रमेय $C = 393\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ देता है। पार्सन्स और स्क्लेटर ने उत्तरी प्रशांत और उत्तरी अटलांटिक की गहराइयों से, तलछट हटाने के बाद, जो स्थिरांक निकाले, वे निकट हैं: $d_r \approx 2500\,\mathrm{m}$ और $C \approx 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, 0 से $70\,\mathrm{Myr}$ तक। ऊपर प्रयुक्त $\alpha$ और $T_m$ के मान उनके पुराने तल के प्लेट-प्रतिरूप के हैं, $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर प्रावार और $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,/{}^{\circ}\mathrm{C}$, जो क्रमशः एक-पाँचवें और एक-तिहाई तक अनिश्चित हैं, अतः 393 और 350 का मेल जितना हो सकता था उतना अच्छा है।

उदाहरण 13.8 (महासागर-तल 25 और 100 मिलियन वर्ष पुराना)

$d = 2500 + 350\sqrt t$ के साथ (मीटर में, $t$ मिलियन वर्षों में), $25\,\mathrm{Myr}$ पुराना तल $2500 + 350\times5 = 4250\,\mathrm{m}$ पर और $100\,\mathrm{Myr}$ पुराना तल $2500 + 350\times10 = 6000\,\mathrm{m}$ पर है। तल अपने पहले 25 मिलियन वर्षों में $1750\,\mathrm{m}$ धँसता है, और अगले 75 में बस $1750\,\mathrm{m}$ और।

यह आलेख पूरे महासागर पर प्रमेय की परख करता है। लगभग $20\,\mathrm{Myr}$ ($\sqrt t \approx 4.5$) तक माध्यिकाएँ नियम से लगभग सौ मीटर के भीतर पड़ती हैं। $70\,\mathrm{Myr}$ से युवा माध्यिकाओं पर फ़िट सीधी रेखा की ढलान केवल $250\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ है: मापी गई गहराइयाँ अवसाद की सतह की हैं, जबकि नियम भूपर्पटी के शीर्ष की गहराई देता है, और अवसाद का आवरण आयु के साथ मोटा होता है। 60 और $80\,\mathrm{Myr}$ के बीच, अवसाद हटाने के बाद भी तल वर्गमूल-नियम से विचलित होता है: वह नियम से उथला हो जाता है, और धँसना बंद कर देता है। प्लेट प्रतिरूप, $125\,\mathrm{km}$ मोटी एक प्लेट जिसका आधार प्रावार के तापमान पर रखा गया है, इस चपटेपन का वर्णन करता है: उसकी गहराई लगभग $6400\,\mathrm{m}$ की ओर जाती है, और उसका ऊष्मा-प्रवाह एक स्थिरांक की ओर, मानो संवहन करते प्रावार ने पुरानी प्लेटों के आधार पर ऊष्मा पहुँचाई हो। वह प्रतिरूप पुस्तक 5 में पढ़ा जाता है; इस पुस्तक में वर्गमूल नियम $80\,\mathrm{Myr}$ तक प्रयुक्त होता है।

विधि 13.9 (तल की गहराई से उसकी आयु निर्धारण)

समुद्र-तल की आयु का अनुमान लगाने के लिए, जहाँ उसकी चुंबकीय विसंगतियाँ अनुपस्थित हैं या मानचित्रित नहीं हैं:

1. तल की गहराई मापिए और भूकंपीय परिच्छेदों से उसके अवसादों की मोटाई; भूपर्पटी के शीर्ष की गहराई $d$ लीजिए, अवसादों के भार के लिए सुधारी हुई;
2. नियम को उलटिए: $t = \bigl((d - d_r)/C\bigr)^2$, संबंधित महासागर के लिए $d_r$ और $C$ के साथ;
3. जाँचिए कि तल $80\,\mathrm{Myr}$ से युवा है, और अनिश्चितता का अनुमान लगाइए: गहराई पर त्रुटि $\delta d$ देती है $\delta t = 2t\,\delta d/(d - d_r)$।

$4600\,\mathrm{m}$ पर तल के लिए, $t = (2100/350)^2 = 36\,\mathrm{Myr}$, और गहराई पर $100\,\mathrm{m}$ की अनिश्चितता आयु पर $2\times36\times100/2100 \approx 3.4\,\mathrm{Myr}$ देती है। जहाँ तल एक व्यापक क्षेत्र पर नियम की भविष्यवाणी से उथला है, एक उभार, तो कारण आयु नहीं बल्कि नीचे से ऊष्मा है (अध्याय 15)।

नियम महासागर को समुद्र-तल से भी जोड़ता है। एक कटक जो तेज़ फैलता है, युवा, उथला तल अपने अक्ष से दूर ले जाता है; महासागर द्रोणियों में कम पानी रखते हैं, और समुद्र महाद्वीपों पर चढ़ता है। दसियों मिलियन वर्षों में, प्रसार-दर में परिवर्तन विश्वव्यापी समुद्र-स्तर परिवर्तनों के दो मुख्य कारणों में से एक है, जिसके साथ भूमि पर बर्फ़ की मात्रा है।

13.5 रूपांतर भ्रंश और भंग-क्षेत्र

कटक निरंतर रेखाएँ नहीं हैं: वे खंडों में कटे हैं जो उनके समकोण पर चलने वाले भ्रंशों से विस्थापित हैं, प्रसार की दिशा के अनुदिश। विस्थापनों से आगे, भ्रंश महासागर-तल पर लंबे निशानों के रूप में जारी रहते हैं।

परिभाषा 13.10 (रूपांतर भ्रंश, भंग-क्षेत्र)

एक रूपांतर भ्रंश एक क्षैतिज-सरकने वाला भ्रंश है जो एक प्लेट-सीमा है और अन्य प्लेट-सीमाओं पर समाप्त होता है; एक कटक–कटक रूपांतर दो विस्थापित कटक-खंडों के सिरों को जोड़ता है। एक भंग-क्षेत्र कटक-खंडों के सिरों से परे रूपांतर भ्रंश की निरंतरता है: महासागर-तल के पार एक रैखिक घाटी या सीढ़ी, जो एक ही प्लेट से संबंधित भिन्न आयु के तल को अलग करती है।

प्रतिज्ञप्ति 13.11 (कटक–कटक रूपांतर पर विस्थापन)

दो कटक-खंड, जो अपने-अपने लंबवत, अर्ध दर $u$ पर सममित रूप से फैलते हैं, लंबाई $a$ के एक रूपांतर भ्रंश द्वारा विस्थापित हैं। तब:

1. रूपांतर के दोनों पक्ष एक-दूसरे के पार पूर्ण दर $2u$ पर सरकते हैं, उस दिशा के उल्टे में जो विस्थापन सुझाता यदि एक सीधा कटक काटा गया होता और भ्रंश द्वारा हटाया गया होता;
2. भंग-क्षेत्रों के अनुदिश दोनों पक्ष एक-दूसरे के सापेक्ष नहीं चलते, और दोनों ओर का तल आयु में $a/u$ से भिन्न है;
3. रूपांतर की लंबाई समय के साथ नहीं बदलती।

जे॰ टूज़ो विल्सन ने 1965 में देखा कि कटकों के विस्थापन एक पुराने, सीधे कटक के विस्थापन के रूप में नहीं पढ़े जा सकते, और उन्होंने प्रमेय की विस्थापन-दिशा की भविष्यवाणी की; रूपांतरों पर भूकंपों के फ़ोकल मैकेनिज़्म ने इसकी पुष्टि की। भूकंप सक्रिय रूपांतर के साथ होते हैं, कटक के सिरों के बीच; भंग-क्षेत्र आम तौर पर शांत होते हैं। भंग-क्षेत्र के आर-पार दोनों पक्षों के तल की आयु भिन्न है, अतः गहराई–आयु नियम के अनुसार भिन्न गहराई: एक ऐसी सीढ़ी जो कटक से दूरी के साथ धीरे-धीरे लुप्त होती है। उत्तरी अटलांटिक में, लगभग $52{}^{\circ}$ N पर, दो चार्ली–गिब्स रूपांतर मध्य-अटलांटिक कटक को कुल मिलाकर लगभग $350\,\mathrm{km}$ विस्थापित करते हैं।

रूपांतर अध्याय 12 की प्लेट गतियों के लिए साक्ष्य का तीसरा प्रकार हैं: एक रूपांतर दोनों प्लेटों के सापेक्ष वेग के अनुदिश चलता है, इसलिए वह उनके यूलर ध्रुव के परितः एक लघुवृत्त पर स्थित है, और कई रूपांतरों के लंबवत खींचे गए महावृत्त ध्रुव पर मिलते हैं। भंग-क्षेत्र, महासागर-तल के पार खींचे गए, अतीत में गति की दिशा दर्ज करते हैं, जैसे चुंबकीय विसंगतियाँ उसकी दर दर्ज करती हैं।

13.6 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

2005 में अफ़ार दरार का एक $60\,\mathrm{km}$ लंबा खंड $8\,\mathrm{m}$ तक खुला, और $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ मैग्मा अंतर्विष्ट हुआ। (क) यदि डाइक पूरे खंड में $8\,\mathrm{m}$ मोटा होता, तो उसकी औसत ऊँचाई क्या होती? (ख) $18\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की प्लेट दर पर, $8\,\mathrm{m}$ का खुलाव कितने वर्षों की गति दर्शाता है?

हल

हल — अभ्यास 13.1.

(क) डाइक मानचित्र पर $60\,000\,\mathrm{m}\times8\,\mathrm{m} = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}$ घेरता, अतः उसकी औसत ऊँचाई $2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}/4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2} = 5200\,\mathrm{m}$ होती, लगभग $5\,\mathrm{km}$: डाइक ने भूपर्पटी के बहुत बड़े भाग को काटा। (ख) $8\,\mathrm{m}/0.018\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 444$ वर्ष, लगभग चार सदियाँ।

अभ्यास 13.2 ★

एक अर्ध-ग्राबेन की सीमा एक $60{}^{\circ}$ नति वाले, $3.0\,\mathrm{km}$ विस्थापन के सीमा-भ्रंश से बंधी है, और उसे $70{}^{\circ}$ नति वाले, $0.8\,\mathrm{km}$ विस्थापन के एक छोटे प्रतिविलोम भ्रंश ने काटा है। (क) हर भ्रंश का क्षैतिज विस्थापन और खंड का विस्तार परिकलित कीजिए। (ख) खंड अब $25\,\mathrm{km}$ चौड़ा है: भ्रंशन से पहले वह कितना चौड़ा था?

हल

हल — अभ्यास 13.2.

(क) क्षैतिज विस्थापन विस्थापन को नति की स्पर्शज्या से भाग देने पर मिलता है, इस प्रकार: $3.0/\tan60{}^{\circ} = 1.73\,\mathrm{km}$ और इसी प्रकार $0.8/\tan70{}^{\circ} = 0.29\,\mathrm{km}$; खंड का विस्तार $2.02\,\mathrm{km}$ है। (ख) भ्रंशन से पहले खंड $25 - 2.02 = 22.98\,\mathrm{km}$ चौड़ा था, लगभग $23\,\mathrm{km}$: वह लगभग $9\,\%$ लंबा हुआ है।

अभ्यास 13.3 ★

परिभाषा की सीमाओं से, प्लेट सदिशों से परिकलित उनकी पूर्ण प्रसार-दरों के आधार पर इन कटकों का वर्गीकरण कीजिए: गाक्कल कटक $12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; मध्य लाल सागर $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; रेक्यनीस कटक $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; पश्चिमी कार्ल्सबर्ग कटक $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; दक्षिण अटलांटिक पर $20{}^{\circ}$ S $33\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; पूर्वी प्रशांत उभार पर $20{}^{\circ}$ S $143\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। उनमें से किसमें अक्षीय घाटी की आप अपेक्षा करेंगे, और किसमें अक्षीय उभार?

हल

हल — अभ्यास 13.3.

अति-धीमे ($20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से कम): गाक्कल कटक (12), मध्य लाल सागर (15) और रेक्यनीस कटक (19), जिनमें अंतिम सीमा के निकट है। धीमे (मान 20 से $55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$): पश्चिमी कार्ल्सबर्ग कटक (23) और दक्षिण अटलांटिक (33)। तेज़ ($75\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से ऊपर): पूर्वी प्रशांत उभार (143)। अति-धीमे और धीमे कटकों में सामान्य भ्रंशों के बीच एक अक्षीय घाटी होनी चाहिए; पूर्वी प्रशांत उभार में एक अक्षीय उभार।

अभ्यास 13.4 ★

हर वर्ष लगभग $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ नया महासागर-तल बनता है, $7.1\,\mathrm{km}$ मोटी भूपर्पटी के साथ। (क) हर वर्ष कितनी भूपर्पटी का आयतन बनता है? (ख) इस दर पर, $3.028 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ महासागर-तल बनाने में कितना समय लगेगा? उसकी तुलना सबसे पुराने महासागर-तल की आयु, लगभग $190\,\mathrm{Myr}$, से कीजिए, और समझाइए कि दोनों सहमत क्यों होने ज़रूरी नहीं।

हल

हल — अभ्यास 13.4.

(क) $3.0\,\mathrm{km}^{2}\times7.1\,\mathrm{km} = 21.3\,\mathrm{km}^{3}$, लगभग $21\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष। (ख) $3.028 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}/3.0\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1} = 1.01 \times 10^{8}\,\mathrm{yr}$, अर्थात् $101\,\mathrm{Myr}$। सबसे पुराना तल, लगभग $190\,\mathrm{Myr}$, इसलिए पुराना है क्योंकि तल आयु के क्रम में नष्ट नहीं होता: निमज्जन हर आयु का तल खाता है, कुछ पुराना तल वहाँ बचता है जहाँ कोई खाई उस तक नहीं पहुँची, और उत्पादन की दर बदलती रही है।

अभ्यास 13.5 ★★

$d = 2500 + 350\sqrt t$ के साथ (मीटर में, $t$ मिलियन वर्षों में): (क) 4, 36 और 64 मिलियन वर्ष पुराने तल की गहराई परिकलित कीजिए; (ख) $4600\,\mathrm{m}$ और $5300\,\mathrm{m}$ पर स्थित तल की आयु ज्ञात कीजिए; (ग) 4 और $36\,\mathrm{Myr}$ के बीच, और 36 और $64\,\mathrm{Myr}$ के बीच, तल कितना धँसता है?

हल

हल — अभ्यास 13.5.

(क) $2500 + 350\times2 = 3200\,\mathrm{m}$, $2500 + 350\times6 = 4600\,\mathrm{m}$, $2500 + 350\times8 = 5300\,\mathrm{m}$। (ख) $t = \bigl((d - 2500)/350\bigr)^2$: $(2100/350)^2 = 36\,\mathrm{Myr}$ और $(2800/350)^2 = 64\,\mathrm{Myr}$। (ग) तल 4 और $36\,\mathrm{Myr}$ के बीच $1400\,\mathrm{m}$ धँसता है, परंतु 36 और $64\,\mathrm{Myr}$ के बीच केवल $700\,\mathrm{m}$, लगभग समान अवधि में।

अभ्यास 13.6 ★★

गहराई–आयु नियम (प्रमेय 13.7) का स्थिरांक $C$ परिकलित कीजिए, $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $T_m - T_0 = 1350\,\mathrm{K}$ और $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ के साथ, $\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ में। उसे $250\,\mathrm{K}$ ठंडे प्रावार के लिए फिर से परिकलित कीजिए। एक ठंडे महासागर का तल किस स्थिरांक का अनुसरण करेगा?

हल

हल — अभ्यास 13.6.

प्रभावी प्रसार-गुणांक है, वह $3.2 \times 10^{-5}\times3300/2300 =$ $4.591 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, और

$$\sqrt{\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 5618\,\mathrm{m}$$

तब इसके लिए $C =$ $(2/\sqrt\pi)\times4.591 \times 10^{-5}\times1350\times5618 =$ $1.1284\times4.591 \times 10^{-5}\times1350\times5618 = 393\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$। $250\,\mathrm{K}$ ठंडे प्रावार के लिए, $C$ $T_m - T_0$ के साथ मापता है: $393\times1100/1350 = 320\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$। एक ठंडे महासागर का तल धीमे धँसता है और छोटा स्थिरांक अनुसरण करता है। अध्याय का परिकलित $350$ ऐसा मामला नहीं है: वह मापदंडों की अनिश्चितता के भीतर है।

अभ्यास 13.7 ★★

प्लेट प्रतिरूप महासागर-तल की ऊष्मा-प्रवाह को $q = 11.3/\sqrt t$ देता है, $10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ की इकाइयों में, $t$ मिलियन वर्षों में। (क) स्थिरांक को $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ में बदलिए ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$) और उसकी तुलना अध्याय 10 के $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ से कीजिए। (ख) 1, 10 और $150\,\mathrm{Myr}$ पर $q$ परिकलित कीजिए। नियम $120\,\mathrm{Myr}$ तक पुराने तल पर फ़िट किया गया था, और प्लेट प्रतिरूप पुराने तल के ऊष्मा-प्रवाह को एक स्थिरांक पर समतल करता है: $150\,\mathrm{Myr}$ पर उसका मान तब बहुत ऊँचा है या बहुत नीचा?

हल

हल — अभ्यास 13.7.

(क) $10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\times10^{4} = 4.184 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, अतः स्थिरांक $11.3\times41.84 = 473\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ है, $3.5\,\%$ नीचे अध्याय 10 के 490 से: दोनों फ़िट सहमत हैं। (ख) $q = 473$, $473/\sqrt{10} = 150$ और $473/\sqrt{150} = 38.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$। वर्गमूल नियम लगातार गिरता रहता है, जबकि प्लेट प्रतिरूप एक स्थिरांक पर समतल हो जाता है: $150\,\mathrm{Myr}$ पर वर्गमूल का मान बहुत कम है, जैसे गहराई-नियम बहुत गहरा चला जाता है।

अभ्यास 13.8 ★★

एक उत्तर–दक्षिण प्रवृत्ति वाला कटक दो खंडों में कटा है; कटक के साथ दक्षिण जाते हुए, एक रूपांतर भ्रंश पर अक्ष $40\,\mathrm{km}$ पश्चिम की ओर कूदता है। (क) रूपांतर पर सरकाव की दिशा क्या है? (ख) कटक का विस्थापन क्या दिखाता प्रतीत होता है? (ग) रूपांतर की रेखा के किस भाग के अनुदिश भूकंप होते हैं, और आगे क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 13.8.

उत्तरी खंड $x = 0$ पर लीजिए और दक्षिणी $x = -40$ पर ($\mathrm{km}$ में), रूपांतर $y = 0$ पर उनके बीच। (क) रूपांतर के ठीक उत्तर में तल उत्तरी खंड के पश्चिम में है और पश्चिम की ओर चलता है; उसके ठीक दक्षिण में, वह दक्षिणी खंड के पूर्व में है और पूर्व की ओर चलता है। किसी भी ओर से देखने पर दूर का पक्ष बाईं ओर चलता है: सरकाव बाएँ-पार्श्व है। (ख) कटक दाहिने-पार्श्व विस्थापित दिखता है, उसका दक्षिणी भाग पश्चिम में: विपरीत दिशा, जैसा प्रतिज्ञप्ति 13.11 भविष्यवाणी करता है। (ग) भूकंप केवल दो कटक-सिरों के बीच $40\,\mathrm{km}$ पर होते हैं, जहाँ दोनों पक्ष अलग-अलग प्लेटों के हैं; उससे आगे, भंग-क्षेत्रों के अनुदिश, दोनों पक्ष एक ही प्लेट के हैं और एक साथ चलते हैं।

अभ्यास 13.9 ★★

चार्ली–गिब्स भंग-क्षेत्र मध्य-अटलांटिक कटक को कुल मिलाकर $350\,\mathrm{km}$ विस्थापित करते हैं; वहाँ पूर्ण प्रसार-दर $21.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। विस्थापन को एक एकल रूपांतर मानिए। (क) भंग-क्षेत्र के आर-पार आयु में अंतर क्या है? (ख) $d = 2500 + 350\sqrt t$ के प्रयोग से, रूपांतर के अंत पर, फिर उससे आगे $100\,\mathrm{km}$ और $1000\,\mathrm{km}$ पर भंग-क्षेत्र के आर-पार गहराई का चरण परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.9.

आधी दर $10.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, अर्थात् $10.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$। (क) आयु का चरण $350/10.6 = 33.0\,\mathrm{Myr}$ है। (ख) रूपांतर के अंत पर, $33.0\,\mathrm{Myr}$ पुराना तल ($2500 + 350\sqrt{33.0} = 4511\,\mathrm{m}$) आयु 0 के तल ($2500\,\mathrm{m}$) के सामने है: लगभग $2010\,\mathrm{m}$ का चरण। $100\,\mathrm{km}$ आगे, आयु $450/10.6 = 42.5$ और $100/10.6 = 9.4\,\mathrm{Myr}$, गहराइयाँ 4781 और $3575\,\mathrm{m}$: लगभग $1210\,\mathrm{m}$ का चरण। $1000\,\mathrm{km}$ आगे, आयु 127.4 और $94.3\,\mathrm{Myr}$, गहराइयाँ 6450 और $5899\,\mathrm{m}$: $550\,\mathrm{m}$। (ये आयुएँ $80\,\mathrm{Myr}$ से परे हैं, जहाँ वर्गमूल नियम बहुत गहरा चला जाता है; प्लेट नियम एक छोटा चरण देता।)

अभ्यास 13.10 ★★★

एक महासागर द्रोणी एक स्थिर दर पर बनती है और हर आयु का तल समान क्षेत्रफलों में रखती है, 0 से $A$ तक। (क) दिखाइए कि उसकी माध्य गहराई $d_r + \frac23C\sqrt A$ है। (ख) $d_r = 2500\,\mathrm{m}$ और $C = 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ के साथ, $A = 180\,\mathrm{Myr}$ और $A = 120\,\mathrm{Myr}$ की तुलना कीजिए। (ग) यदि द्रोणी का प्रसार तेज़ हो जाए ताकि उसका सबसे पुराना तल $180\,\mathrm{Myr}$ के बजाय $120\,\mathrm{Myr}$ हो, तो समुद्र-स्तर कितना बढ़ता है, महाद्वीपों की बाढ़ नगण्य मानते हुए, पर तल पर अतिरिक्त पानी के भार को ध्यान में रखते हुए, जो उन्नयन का $\rho_w/(\rho_m - \rho_w)$ गुना धँसता है ($\rho_m = 3300$, $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

हल

हल — अभ्यास 13.10.

(क) हर आयु के समान क्षेत्रफल के साथ, माध्य गहराई $d(t)$ का माध्य है, $[0, A]$ पर:

$$\frac1A\int_0^A\bigl(d_r + C\sqrt t\bigr)\mathrm dt = d_r + \frac CA\cdot\frac23A^{3/2} = d_r + \frac23C\sqrt A.$$

(ख) $A = 180\,\mathrm{Myr}$ के लिए: $2500 + \frac23\times350\times13.416 = 5630\,\mathrm{m}$; $120\,\mathrm{Myr}$ के लिए: $2500 + \frac23\times350\times10.954 = 5056\,\mathrm{m}$, $574\,\mathrm{m}$ उथला। (ग) मान लीजिए समुद्र $r$ ऊपर उठता है और लदा तल $s = r\rho_w/(\rho_m - \rho_w)$ धँसता है। पानी, आयतन में अपरिवर्तित, उसी क्षेत्र पर उसी गहराई को भरना चाहिए, अतः $r + s = 574\,\mathrm{m}$, $r\,\rho_m/(\rho_m - \rho_w) = 574$, और $r = 574\times2300/3300 = 400\,\mathrm{m}$: केवल प्रसार-दर से सैकड़ों मीटर।

अभ्यास 13.11 ★★★

प्रतिज्ञप्ति 13.11 के संदर्भ में, दूर वाले कटक खंड से दूरी $x > a$ पर भंग-क्षेत्र के आर-पार गहराई का चरण $\Delta d = C\bigl(\sqrt{x/u} - \sqrt{(x - a)/u}\bigr)$ है। (क) दिखाइए कि $x \gg a$ के लिए, $\Delta d \approx Ca/(2\sqrt{ux})$। (ख) $C = 350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, $a = 350\,\mathrm{km}$ और $u = 10.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ के साथ, $x = 450$, 1350 और $3350\,\mathrm{km}$ पर सटीक और सन्निकट चरणों की तुलना कीजिए। सन्निकटन कब $10\,\%$ तक अच्छा है?

हल

हल — अभ्यास 13.11.

(क) $\sqrt{x - a} = \sqrt x\sqrt{1 - a/x} \approx \sqrt x\,(1 - a/2x)$ के लिए $a \ll x$, अतः $\Delta d \approx C\sqrt{x/u}\cdot a/(2x) = Ca/(2\sqrt{ux})$। (ख) $x = 450\,\mathrm{km}$ पर: सटीक $1205\,\mathrm{m}$, सन्निकट $350\times350/(2\sqrt{10.6\times450}) = 887\,\mathrm{m}$; $1350\,\mathrm{km}$ पर: $550\,\mathrm{m}$ और $512\,\mathrm{m}$; $3350\,\mathrm{km}$ पर: $334\,\mathrm{m}$ और $325\,\mathrm{m}$। सन्निकट और सटीक चरण का अनुपात केवल $r = a/x$ पर निर्भर करता है: $(r/2)/(1 - \sqrt{1 - r})$, जो $r = 0.36$ पर 0.9 है। सन्निकटन $10\,\%$ तक अच्छा है $x = 350/0.36 \approx 970\,\mathrm{km}$ से आगे, कटक से लगभग तीन विस्थापनों पर।

अभ्यास 13.12 ★★★

अर्ध-अंतरिक्ष नियम $d_1(t) = 2500 + 350\sqrt t$ की प्लेट नियम $d_2(t) = 6400 - 3200\,e^{-t/62.8}$ से तुलना कीजिए। (क) 10, 20, 30 और $40\,\mathrm{Myr}$ पर $d_2 - d_1$ परिकलित कीजिए। (ख) दिखाइए कि दोनों नियम 20 और $30\,\mathrm{Myr}$ के बीच एक आयु पर बराबर हैं और उसे द्विभाजन से $0.1\,\mathrm{Myr}$ तक ज्ञात कीजिए। (ग) वहाँ उनकी ढलानों की तुलना कीजिए। दोनों नियम उस आयु पर बिना दिखने वाले विच्छेद के क्यों जोड़े जा सकते हैं?

हल

हल — अभ्यास 13.12.

(क) $d_2 - d_1 = 3671.1 - 3606.8 = 64.3\,\mathrm{m}$ पर $10\,\mathrm{Myr}$; $4072.8 - 4065.3 = 7.5\,\mathrm{m}$ पर 20; $4415.4 - 4417.0 = -1.7\,\mathrm{m}$ पर 30; $4707.5 - 4713.6 = -6.1\,\mathrm{m}$ पर 40। (ख) $d_2 - d_1$ 20 पर धनात्मक और 30 पर ऋणात्मक है, और दोनों नियम सतत हैं: उनके बीच वे बराबर होते हैं। द्विभाजन: 25 पर, $d_2 - d_1 = +0.9$; 27.5 पर, $-0.7$; 26.25 पर, $+0.01$; 26.875 पर, $-0.3$; 26.56 पर, $-0.2$; 26.41 पर, $-0.08$; 26.33 पर, $-0.04$: मूल 26.25 और 26.33 के बीच है, $26.3\,\mathrm{Myr}$ पर, जहाँ दोनों देते हैं $4294\,\mathrm{m}$। (ग) $d_1' = 175/\sqrt{26.3} = 34.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ और $d_2' = (3200/62.8)\,e^{-26.3/62.8} = 33.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$। नियम वहाँ लगभग एक ही मान और एक ही ढलान रखते हैं, अतः जुड़े वक्र में कोई दृश्य मोड़ नहीं है।

13.7 समस्या: एक महासागर का जन्म

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — अपने भ्रंशों से खिंचा एक महाद्वीप, अपनी धारियों से मापा गया एक युवा महासागर, और बूढ़ा होते उसके तल की गहराई

$R = 6371\,\mathrm{km}$ लीजिए। एक महासागर तीन चरणों में जन्म लेता है, जिनमें से हर एक आज एक अलग स्थान पर दिखता है: एक महाद्वीपीय दरार, एक युवा महासागर, एक पुराना महासागर।

भाग I — भ्रंशों से खिंची एक दरार। $020{}^{\circ}$ प्रवृत्ति वाली एक दरार के आर-पार एक परिच्छेद छह सामान्य भ्रंशों को काटता है, जिनके विस्थापन और नतियाँ भूकंपीय परिच्छेदों पर मापी गई थीं:

भ्रंश	F1	F2	F3	F4	F5	F6
विस्थापन ($\mathrm{m}$)	600	1100	2400	350	800	1500
नति	$60{}^{\circ}$	$55{}^{\circ}$	$50{}^{\circ}$	$65{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$	$52{}^{\circ}$

ये भ्रंश $3.2\,\mathrm{Ma}$ पुराने लावा को काटते हैं, और दरार अब $60\,\mathrm{km}$ चौड़ी है।

1. हर भ्रंश का क्षैतिज विस्थापन परिकलित कीजिए। कौन-सा सीमा-भ्रंश है?
2. परिच्छेद का विस्तार, और भ्रंशन से पहले दरार की चौड़ाई परिकलित कीजिए।
3. दोनों प्लेटें $105{}^{\circ}$ की ओर $6.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर अलग होती हैं। इस गति का दरार के लंबवत घटक परिकलित कीजिए।
4. प्रश्न 2 के विस्तार को उत्पन्न करने में प्लेटों को कितना समय लगेगा?
5. लावा फूटने के बाद से प्लेटें एक-दूसरे से कितनी दूर खिसकी हैं? उसका कितना भाग भ्रंश वहन करते हैं?
6. सुझाइए कि शेष विस्तार कहाँ गया है। यदि उसे 2005 के अफ़ार डाइक जैसे, $8\,\mathrm{m}$ चौड़े डाइकों ने वहन किया होता, तो कितने चाहिए होते, और कितनी बार?

भाग II — धारियों से मापा गया एक युवा महासागर। $18.0{}^{\circ}$ N, $40.0{}^{\circ}$ E पर मध्य लाल सागर की अक्ष के आर-पार एक चुंबकीय परिच्छेद, प्रसार की दिशा के अनुदिश चलता है। C2An कालखंड ($2.581\,\mathrm{Ma}$) का युवा किनारा अक्ष के उत्तर-पूर्व में $21.0\,\mathrm{km}$ और उसके दक्षिण-पश्चिम में $20.2\,\mathrm{km}$ पर है; C3n कालखंड ($5.235\,\mathrm{Ma}$) का पुराना किनारा $41.0\,\mathrm{km}$ और $40.2\,\mathrm{km}$ पर है। विसंगतियों के किनारे अक्ष से बाहर की ओर कुल मिलाकर, दोनों पार्श्वों पर औसतन, $2.2\,\mathrm{km}$ विस्थापित हैं।

7. प्रत्येक कालखंड से, सुधार के बिना, पूर्ण प्रसार-दर परिकलित कीजिए।
8. हर दर को बाहर की ओर विस्थापन के लिए सुधारिए। क्या दोनों सहमत हैं?
9. दिखाइए कि हर पार्श्व पर दोनों कालखंडों के बीच की दूरी से परिकलित दर को सुधार की आवश्यकता नहीं है, और उसे परिकलित कीजिए।
10. दोनों कालखंडों के बीच की दूरियों से हर पार्श्व पर अर्ध दरें परिकलित कीजिए। क्या प्रसार सममित है?
11. अरब का नूबिया के सापेक्ष यूलर ध्रुव $30.9{}^{\circ}$ N, $23.6{}^{\circ}$ E पर है, दर $0.403{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ के साथ। ध्रुव से परिच्छेद तक की कोणीय दूरी, और प्लेट सदिश वहाँ जो पूर्ण प्रसार-दर भविष्यवाणी करता है, परिकलित कीजिए।
12. उत्तरी लाल सागर में, $26.0{}^{\circ}$ N, $35.0{}^{\circ}$ E पर, ध्रुव से कोणीय दूरी और भविष्यवाणित दर परिकलित कीजिए।
13. इन दरों की मापी गई 15 और $9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से तुलना कीजिए। लाल सागर दक्षिण में तेज़ क्यों खुलता है?

भाग III — एक अटलांटिक की ओर।

14. प्रश्न 9 की दर पर, C3n के पुराने किनारे से, मध्य लाल सागर में बना महासागरीय तल कितना चौड़ा है?
15. दक्षिण अटलांटिक $120.6\,\mathrm{Myr}$ में रेसिफ़े पर लगभग $5000\,\mathrm{km}$ खुला (अध्याय 12)। उसकी माध्य खुलाव-दर परिकलित कीजिए।
16. मध्य लाल सागर की वर्तमान दर पर, $5000\,\mathrm{km}$ का खुलाव कितना समय लेगा? और उत्तरी लाल सागर की दर पर?
17. लाल सागर उसके निकट के एक ध्रुव के परितः खुलता है। उसके चौड़ा होते समय उसके आकार के लिए, और उत्तरी भाग को उस चौड़ाई तक पहुँचने के लिए जितना समय चाहिए जो मध्य भाग की अभी है, इसका क्या अर्थ है?
18. लाल सागर की अक्ष किस प्रकार का कटक है, और आप अक्ष का कौन-सा रूप अपेक्षित करते हैं?

भाग IV — तल धँसता है। $d = 2500 + 350\sqrt t$ (मीटर में, $t$ मिलियन वर्षों में) और, तुलना के लिए, प्लेट नियम $6400 - 3200\,e^{-t/62.8}$ का प्रयोग कीजिए।

19. 1, 10 और $40\,\mathrm{Myr}$ की आयुओं पर नए तल की गहराई परिकलित कीजिए।
20. किस आयु पर तल $4000\,\mathrm{m}$ तक पहुँचता है?
21. हर निष्क्रिय किनारे के साथ का तल महासागर जितना ही पुराना है। टूटने के बाद पहले $10\,\mathrm{Myr}$ में, और 70 और $80\,\mathrm{Myr}$ के बीच, वह कितना धँसता है?
22. जब महासागर $80\,\mathrm{Myr}$ पुराना है, तब वह तल किस दर से, मीटर प्रति मिलियन वर्ष में, धँस रहा है?
23. प्रश्न 22 का तल तब कितना ऊष्मा-प्रवाह खोता है, $q = 490/\sqrt t$ के साथ $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ में?
24. दोनों नियमों से $80\,\mathrm{Myr}$ पुराने तल की गहराई, और उनका अंतर परिकलित कीजिए। इस आयु पर दोनों की तुलना क्यों की जा सकती है?
25. किलोमीटर के दसवें भाग तक, वर्गमूल नियम नए महासागर के समुद्र-तल को, जब वह 80 मिलियन वर्ष का है, कितना गहरा रखता है?

हल

हल — समस्या 13.1.

1. क्षैतिज विस्थापन $=$ विस्थापन$/\tan$(नति): F1 $346\,\mathrm{m}$, F2 $770\,\mathrm{m}$, F3 $2014\,\mathrm{m}$, F4 $163\,\mathrm{m}$, F5 $462\,\mathrm{m}$, F6 $1172\,\mathrm{m}$। F3, सबसे बड़े विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन के साथ, सीमा-भ्रंश है।

2. विस्तार योग है, $4927\,\mathrm{m}$, लगभग $4.9\,\mathrm{km}$। दरार भ्रंशन से पहले $60 - 4.9 = 55.1\,\mathrm{km}$ चौड़ी थी।

3. $020{}^{\circ}$ पर झुकी दरार का अभिलंब $110{}^{\circ}$ की ओर इंगित करता है; गति, $105{}^{\circ}$ की ओर, उसके साथ $5{}^{\circ}$ बनाती है। लंबवत घटक $6.0\cos5{}^{\circ} = 5.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है।

4. $4.927\,\mathrm{km}/5.98\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.82\,\mathrm{Myr}$.

5. $3.2\,\mathrm{Myr}$ में प्लेटें दरार के आर-पार $5.98\times3.2 = 19.1\,\mathrm{km}$ अलग हुईं। भ्रंश उसका $4.93/19.1 = 26\,\%$ वहन करते हैं।

6. शेष तीन-चौथाई, $14.2\,\mathrm{km}$, परिच्छेद के भ्रंशों में नहीं हैं। उन्हें अक्ष के साथ अंतर्विष्ट डाइकों द्वारा वहन किया जा सकता है, जो दरार को बिना भ्रंशित किए खोलते हैं, जैसे अफ़ार में, या परिच्छेद के बाहर के भ्रंशों द्वारा। $8\,\mathrm{m}$ चौड़े डाइकों के साथ, $14\,200\,\mathrm{m}/8\,\mathrm{m} \approx 1780$ डाइक चाहिए, औसतन हर $3.2\times10^6/1780 \approx 1800$ वर्ष में एक।

7. C2An से: $(21.0 + 20.2)/2.581 = 41.2/2.581 = 15.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। C3n से: $(41.0 + 40.2)/5.235 = 81.2/5.235 = 15.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

8. $(41.2 - 2.2)/2.581 = 15.11\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $(81.2 - 2.2)/5.235 = 15.09\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: सुधारने पर, दोनों $0.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के भीतर सहमत हैं। सुधार छोटे कालखंड के लिए अधिक मायने रखता है, जिसकी दूरी छोटी है।

9. बाहर की ओर विस्थापन एक पार्श्व के दोनों किनारों को एक ही मात्रा से खिसकाता है, इसलिए उनके अंतर में निरस्त हो जाता है। दोनों पार्श्वों पर मिलाकर, $(81.2 - 41.2)/(5.235 - 2.581) = 40.0/2.654 = 15.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

10. उत्तर-पूर्व, अर्थात् $(41.0 - 21.0)/2.654 = 7.54\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; दक्षिण-पश्चिम: $(40.2 - 20.2)/2.654 = 7.54\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। प्रसार सममित है; पार्श्वों के बीच $0.8\,\mathrm{km}$ का अंतर, दोनों कालखंडों के लिए समान, एक स्थिर खिसकाव है, जैसे अक्ष को $0.4\,\mathrm{km}$ केंद्र से हटाकर रखा गया हो।

11. $\cos\Delta = \sin30.9{}^{\circ}\sin18.0{}^{\circ} + \cos30.9{}^{\circ}\cos18.0{}^{\circ}\cos16.4{}^{\circ} = 0.15870 + 0.78287 = 0.94157$, अतः $\Delta = 19.69{}^{\circ}$। $\omega R = 0.403\times(\pi/180)\times6371 = 44.81\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के साथ, दर $44.81\sin19.69{}^{\circ} = 15.10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, प्रश्न 8 और 9 की सुधारी दरें।

12. $\cos\Delta = \sin30.9{}^{\circ}\sin26.0{}^{\circ} + \cos30.9{}^{\circ}\cos26.0{}^{\circ}\cos11.4{}^{\circ} = 0.22512 + 0.75600 = 0.98112$, अतः $\Delta = 11.15{}^{\circ}$ और दर $44.81\sin11.15{}^{\circ} = 8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

13. भविष्यवाणियाँ, 15.1 और $8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, मापे गए 15 और $9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से मेल खाती हैं। दर $\omega R\sin\Delta$ है, और ध्रुव लाल सागर के उत्तर-पश्चिम में, उत्तर-पूर्वी लीबिया में है: जितना दक्षिण, ध्रुव से उतना दूर, और खुलाव उतना तेज़।

14. $15.09\times5.235 = 79\,\mathrm{km}$ समुद्री तल।

15. $5000/120.6 = 41\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, औसतन $41\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

16. $5000/15.1 = 331\,\mathrm{Myr}$ मध्य दर पर; $5000/8.7 = 575\,\mathrm{Myr}$ उत्तरी दर पर।

17. एक निकटवर्ती ध्रुव के परितः खुलता हुआ, लाल सागर कैंची की जोड़ी की तरह चौड़ा होता है: उसकी चौड़ाई $\sin\Delta$ के अनुपात में बढ़ती है, और वह ध्रुव की ओर संकरा होता एक पच्चर बना रहता है। $8.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर, उत्तरी भाग को उन $79\,\mathrm{km}$ समुद्री तल को बनाने में, जो मध्य भाग के पास अब है, $79/8.7 = 9.1\,\mathrm{Myr}$ लगते हैं।

18. $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर लाल सागर की अक्ष एक अति-धीमा कटक है; सामान्य भ्रंशों के बीच एक अक्षीय घाटी अपेक्षित है।

19. $2500 + 350\times1 = 2850\,\mathrm{m}$; $2500 + 350\sqrt{10} = 3607\,\mathrm{m}$; $2500 + 350\sqrt{40} = 4714\,\mathrm{m}$.

20. $t = (1500/350)^2 = 18.4\,\mathrm{Myr}$.

21. पहले $10\,\mathrm{Myr}$ में वह $350\sqrt{10} = 1107\,\mathrm{m}$ धँसता है; 70 और $80\,\mathrm{Myr}$ के बीच, $350(\sqrt{80} - \sqrt{70}) = 350\times(8.944 - 8.367) = 202\,\mathrm{m}$, उसी समय में पाँच गुना कम।

22. $\mathrm dd/\mathrm dt = C/(2\sqrt t) = 175/\sqrt{80} = 19.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, लगभग $0.02\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष।

23. $490/\sqrt{80} = 54.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

24. वर्गमूल नियम: $2500 + 350\sqrt{80} = 2500 + 350\times8.944 = 5630\,\mathrm{m}$। प्लेट नियम: $6400 - 3200\,e^{-80/62.8} = 6400 - 3200\times0.2798 = 5505\,\mathrm{m}$। वे $126\,\mathrm{m}$ भिन्न हैं। $80\,\mathrm{Myr}$ पर भी दोनों नियम लागू हैं: वर्गमूल नियम लगभग $80\,\mathrm{Myr}$ तक, प्लेट नियम लगभग $20\,\mathrm{Myr}$ से; उसके आगे वर्गमूल नियम बहुत गहरा चला जाता है।

25. वर्गमूल नियम $5630\,\mathrm{m}$ देता है: किलोमीटर के दसवें भाग तक, 80 मिलियन वर्ष के नए महासागर का तल $5.6\,\mathrm{km}$ की गहराई पर है (प्लेट नियम $5.5\,\mathrm{km}$ देता है)।