15हॉटस्पॉट और अंतःप्लेट ज्वालामुखी

जनवरी 1983 से, और उसके बाद दशकों तक, हवाई द्वीप के किलाउआ ने अपने पूर्वी दरार-क्षेत्र के एक छिद्र, Pu‘u ‘O‘o, से लगभग बिना रुके उद्गार किए, और प्रति वर्ष लगभग $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ लावा निकाला। किलाउआ प्रशांत प्लेट के मध्य में खड़ा है, किसी कटक या खाई से हज़ारों किलोमीटर दूर। उत्तर-पश्चिम की ओर हवाई के द्वीप अधिकाधिक पुराने होते जाते हैं, फिर वे समुद्र में डूब जाते हैं और शृंखला हज़ारों किलोमीटर और तक डूबे हुए ज्वालामुखियों की एक रेखा के रूप में चलती रहती है। प्लेट विवर्तनिकी प्लेट-सीमाओं पर के ज्वालामुखियों को समझाती है; यह अध्याय उन ज्वालामुखियों के बारे में है जिन्हें वह सीधे नहीं समझाती, यानी हॉटस्पॉट, और इस बदले में वे हमें क्या बताते हैं: प्लेटें गहरे प्रावार पर कैसे चलती हैं, नीचे से कितनी ऊष्मा और चट्टान ऊपर उठती है, और कैसे कुछ विशाल लावा-उद्गार, यानी बृहत आग्नेय प्रांत, बने।

पहले से ज्ञात

एक हॉटस्पॉट प्लेट के ऊपर से गुज़रते समय गहरे प्रावार से ज्वालामुखियों को पोषित करता है, और प्लेट एक हॉटस्पॉट-पथ ढो ले जाती है जिसके ज्वालामुखी दूरी के साथ अधिक पुराने होते हैं (पुस्तक 1, कक्षा 7; पुस्तक 2, कक्षा 11)। यूलर सदिश $\vec\omega$ के साथ घूमती प्लेट $\vec v = \vec\omega\times\vec r$ के अनुसार चलती है, $\omega R\sin\Delta$ की चाल से, उस महावृत्त के लंबवत जो उसे ध्रुव से जोड़ता है (अध्याय 12); उभार समस्थिति से टिका रहता है (अध्याय 11); गरम चट्टान $\alpha\,\Delta T$ अंश से हल्की होती है (अध्याय 13)।

15.1 हॉटस्पॉट और प्रावार-स्तंभ

परिभाषा 15.1 (हॉटस्पॉट)

एक हॉटस्पॉट ज्वालामुखीय-क्रियाकलाप का वह क्षेत्र है जिसकी स्थिति प्लेट-सीमाओं पर निर्भर नहीं करती, जो दसियों मिलियन वर्षों तक सक्रिय रहता है, और जिसे उसके आसपास के प्रावार से गरम प्रावार से पोषित माना जाता है।

कितने हॉटस्पॉट हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन गिनता है। इस अध्याय में प्रयुक्त हॉटस्पॉट-सारणी उनमें 68 सूचीबद्ध करती है, पर उसके लेखक कई ऐसी विशेषताएँ छोड़ देते हैं जिन्हें वे प्लेट की गति दर्ज करने वाली नहीं मानते, और उनमें से कुछ को, जिन्हें वे रखते हैं, केवल संभावित मानकर चलते हैं। कुछ हॉटस्पॉट, जिनमें हवाई, आइसलैंड और रेयूनियन हैं, लंबे, नियमित पथ और बड़ा उत्पादन रखते हैं, जैसा किसी गहरे स्रोत से अपेक्षित है; दूसरे छोटे और अल्पकालिक हैं। अधिकांश हॉटस्पॉट-ज्वालामुखी बेसाल्ट उगलते हैं; जहाँ कोई हॉटस्पॉट महाद्वीप के नीचे हो, वहाँ गरम बेसाल्ट भूपर्पटी को पिघलाता है, और बड़े उद्गार राइओलाइट में बदल जाते हैं, जैसे येलोस्टोन में।

परिभाषा 15.2 (प्रावार-स्तंभ)

एक प्रावार-स्तंभ गरम, उत्प्लावी प्रावार-चट्टान का एक स्तंभ है जो प्रावार के भीतर गहरे एक ऊष्मीय सीमा-परत से उठता है। नए स्तंभ का एक बड़ा, गोलाकार शीर्ष होता है जो एक लंबी, पतली पुच्छ, या नली, पर टिका होता है; एक बार शीर्ष स्थलमंडल के नीचे फैल जाए, तो पुच्छ दसियों मिलियन वर्षों तक सतह तक पिघला पदार्थ पहुँचाती रहती है।

यह आकार प्रयोगशाला से आता है। 1970 के दशक के टंकी-प्रयोगों में, ऊपर के द्रव से कम श्यान हल्के द्रव की एक परत एक गोल पॉकेट के रूप में ऊपर उठी, जिसे पीछे की एक नली से पोषण मिलता था: एक मशरूम। स्थलमंडल के आधार तक पहुँचता प्रावार-स्तंभ का शीर्ष फैलकर चपटा हो जाता है; दाब घटता है, और गरम चट्टान बड़ी मात्रा में पिघलती है। बाढ़-बेसाल्ट इस चित्र में बैठते हैं: उनका ज्वालामुखी-क्रियाकलाप लगभग दस मिलियन वर्ष चलता है, पर उनके अधिकांश आयतन का उद्गार लगभग दस लाख वर्ष या उससे कम में होता है, और वे अक्सर किसी महाद्वीप के टूटने के साथ आते हैं (अनुभाग 15.4)।

प्रावार-स्तंभों के पक्ष में क्या प्रमाण है? पहला, आयु-प्रगति वाली शृंखलाएँ स्वयं, जिन्हें चलती प्लेट के नीचे स्थिर एक संकरा स्रोत तुरंत समझा देता है (अनुभाग 15.2)। दूसरा, कुछ हॉटस्पॉटों के लावा में हीलियम के हल्के और भारी समस्थानिक का असामान्य रूप से ऊँचा अनुपात होता है, जिसे एक गहरे भंडार का चिह्न माना जाता है, जिसने पृथ्वी के बनने के समय की कुछ गैस बचा रखी है। तीसरा, स्रोत गरम हैं: महासागरीय द्वीपों और पठारों के लावा प्रावार की ओर इशारा करते हैं जो कटकों के नीचे के प्रावार से 200 से $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ अधिक गरम है, जिसका विभव-तापमान 1280 और $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के बीच है। चौथा, प्रावार के भूकंपीय चित्र: हवाई के नीचे, समुद्र-तल और द्वीपों पर भूकंपमापियों के एक जाल ने एक गरम स्तंभ को निचले प्रावार तक नीचे जाते हुए चित्रित किया, और 2015 में पूर्ण भूकंपीय तरंग-रूपों से बने पूरे प्रावार के एक प्रतिरूप में कई प्रमुख हॉटस्पॉटों के नीचे चौड़े, लगभग ऊर्ध्वाधर स्तंभ दिखते हैं, जो कोर–प्रावार सीमा से सतह के नीचे लगभग $1000\,\mathrm{km}$ तक उठते हैं; हवाई, आइसलैंड और सामोआ के नीचे वे प्रावार के आधार पर बहुत कम तरंग-गति वाले धब्बों में जड़े हैं। ऐसे चित्र कैसे बनते हैं, यह पुस्तक 5 का विषय है।

इनमें से कुछ भी प्रमाण नहीं है, और बहस जीवित है। प्लेट-परिकल्पना में, जिसका समर्थन अन्य लोगों के साथ गिलियन फ़ाउल्जर और जेम्स नैटलैंड करते हैं, हॉटस्पॉट-ज्वालामुखी-क्रियाकलाप विशेष रूप से गरम नहीं होता और उसे गहरे स्तंभ की आवश्यकता नहीं: वह प्लेट विवर्तनिकी का एक उपोत्पाद है, जो उथले स्रोतों से पोषित होता है जहाँ स्थलमंडल खिंचा या दरका हुआ है। उनके विरोधी मानते हैं कि कम से कम कुछ गहरे स्तंभों के पक्ष में प्रमाण प्रबल है, यद्यपि भूकंपीय चित्र उसे तय करने जितने तीखे नहीं हैं; और हॉटस्पॉट, जैसा अगला खंड दिखाता है, पूरी तरह स्थिर नहीं हैं।

15.2 हॉटस्पॉट-पथ और प्लेटों की गति

परिभाषा 15.3 (हॉटस्पॉट-पथ; आयु-प्रगति)

एक हॉटस्पॉट-पथ ज्वालामुखियों, समुद्री पर्वतों और ज्वालामुखी कटकों की वह रेखा है जिसे प्लेट, हॉटस्पॉट के ऊपर से गुज़रते हुए, उससे दूर ले जाती है। उसकी आयु-प्रगति सक्रिय ज्वालामुखी से दूरी के साथ उसके ज्वालामुखियों की आयुओं की नियमित वृद्धि है। हॉटस्पॉट पर एक पथ की दिशा वह दिगंश है, उत्तर से मापा गया, जिस ओर उसका तरुण भाग हॉटस्पॉट से दूर भागता है।

यदि हॉटस्पॉट गहरे प्रावार में स्थिर रहें, तो एक पथ गहरे प्रावार के ऊपर प्लेट की गति दर्ज करता है: उसकी दिशा हॉटस्पॉट पर प्लेट के वेग की दिशा है, और उसकी आयु-प्रगति चाल देती है। पुस्तक 2, कक्षा 11 ने हवाई के ज्वालामुखियों की आयुओं से प्रशांत प्लेट की चाल पढ़ी थी। केवल दिशाएँ ही इससे अधिक बताती हैं: वे यूलर ध्रुव देती हैं।

प्रतिज्ञप्ति 15.4 (दो पथों से यूलर ध्रुव)

मान लीजिए एक दृढ़ प्लेट दो स्थिर हॉटस्पॉटों पर, स्थितियों $\vec r_1$ और $\vec r_2$ पर, के ऊपर से चलती है, और मान लीजिए $\vec t_1$ और $\vec t_2$ उनके पथों के अनुदिश क्षैतिज इकाई सदिश हैं। यदि $\vec t_1$ और $\vec t_2$ समांतर नहीं हैं, तो हॉटस्पॉटों के सापेक्ष प्लेट का यूलर सदिश $\vec t_1\times\vec t_2$ के समांतर है, और उसका ध्रुव वह इकाई सदिश है

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

चिह्न उसका है जिसके लिए $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$।

प्रस्ताव के प्रयोग के लिए, अक्षांश $\varphi$ और देशांतर $\lambda$ वाले एक बिंदु पर, पूर्व और उत्तर की ओर इंगित करने वाले इकाई सदिशों की आवश्यकता होती है,

(अध्याय 12) के अक्षों में ($x$ की ओर $0{}^{\circ}$ N $0{}^{\circ}$ E, $y$ की ओर $0{}^{\circ}$ N $90{}^{\circ}$ E, $z$ उत्तरी ध्रुव की ओर)। दिगंश $\theta$ का एक पथ $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$ के अनुदिश चलता है। हवाई पथ, दिगंश $304{}^{\circ}$, और लुईसविल पथ, दिगंश $316{}^{\circ}$, के साथ यह प्रस्ताव प्रशांत प्लेट का ध्रुव $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E पर रखता है (सप्ताहांत समस्या में परिकलन किया गया है)।

दो पथ ध्रुव तय करते हैं, पर उसकी परीक्षा नहीं कर सकते। कई पथ उसे अति-निर्धारित करते हैं, और विचलन बताता है कि हॉटस्पॉट एक स्थिर चौखटे की तरह व्यवहार करते हैं या नहीं। डब्ल्यू॰ जेसन मॉर्गन, जिन्होंने गहरे स्तंभों का प्रस्ताव रखा, और जेसन फ़िप्स मॉर्गन ने 2007 में 68 हॉटस्पॉटों की एक सारणी संकलित की, जिसमें, जहाँ वे मापे जा सकते थे, पथ की दिशा और हॉटस्पॉट पर प्लेट की चाल थी, हर एक अपनी अनिश्चितता और अपनी विश्वसनीयता के भार के साथ; आइसलैंड की तरह, जो दो प्लेटों के नीचे है, उसकी प्रत्येक प्लेट के लिए एक पंक्ति है। प्रशांत प्लेट पर पंद्रह भारित पथ पड़ते हैं, जिनमें से तेरह की चाल दी गई है।

विधि 15.5 (हॉटस्पॉट-पथों से यूलर ध्रुव और दर का अनुमान)

एक प्लेट पर $N$ हॉटस्पॉटों के लिए, उनकी स्थितियाँ, पथ-दिशाएँ $\theta_i \pm \sigma_i$ भारों $w_i$ के साथ, और उनमें से कुछ के लिए चालें $v_i$ दी गई हों:

1. एक परीक्षण ध्रुव $\vec p$ के लिए, हर हॉटस्पॉट पर $\vec p\times\vec r_i$ की दिशा परिकलित कीजिए, और उससे अनुमानित गति का दिगंश $\hat\theta_i$ (प्रतिज्ञप्ति 12.5)।
2. विचलन $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$ बनाइए, हर अंतर को $-180{}^{\circ}$ और $180{}^{\circ}$ के बीच लाकर।
3. $S$ को न्यूनतम करने वाला ध्रुव खोजिए: पूरे गोले के एक ग्रिड पर, फिर सर्वोत्तम बिंदु के चारों ओर एक सूक्ष्म ग्रिड पर।

4. ध्रुव मिलने पर, चाल वाले हर हॉटस्पॉट के लिए उसकी ध्रुव से कोणीय दूरी $\Delta_i$ और $x_i = R\sin\Delta_i$ परिकलित कीजिए। चालें $v_i = \omega x_i$ होनी चाहिए: न्यूनतम-वर्ग दर है

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   जहाँ $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ वहाँ शून्य होता है।

5. फ़िट का आकलन कीजिए: यदि हॉटस्पॉट स्थिर होते और अनिश्चितताएँ ईमानदार होतीं, तो $S$ दिशाओं की संख्या से दो घटाए जाने के निकट होता (ध्रुव के दो निर्देशांक, जो फ़िट किए गए)।

प्रशांत के पंद्रह पथों के लिए विधि ध्रुव $63.8{}^{\circ}$ S, $112.5{}^{\circ}$ E देती है, दो-पथ ध्रुव से लगभग $10{}^{\circ}$ दूर, और तेरह चालों से दर $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$। हवाई पर, ध्रुव से $108.0{}^{\circ}$ दूर, फ़िट $298{}^{\circ}$ की ओर $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की गति का अनुमान लगाता है; मॉर्गन और मॉर्गन $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ और $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देते हैं। विचलन $S$ 39 है, जहाँ स्थिर हॉटस्पॉट और ईमानदार अनिश्चितताएँ लगभग 13 देतीं, और चालें रेखा के चारों ओर लगभग $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ (वर्ग-माध्य मूल) बिखरती हैं: प्रशांत हॉटस्पॉट एक संदर्भ-चौखटा बनाते हैं जो कुछ अंशों और प्रति वर्ष कुछ सेंटीमीटर तक ठीक है, इससे बेहतर नहीं।

स्थिर चौखटे की सबसे प्रसिद्ध परीक्षा हवाई–सम्राट शृंखला का मोड़ है। हवाई शाखा उत्तर-पश्चिम की ओर जाती है; सम्राट समुद्री पर्वत लगभग उत्तर की ओर जाते हैं, मेइजी गयो तक, जो 81 मिलियन वर्ष से अधिक पुराना है और जो कुरील–कामचटका और अलेउशियन खाइयों के संगम पर डूबने ही वाला है। क्या यह मोड़ प्लेट की गति में एक परिवर्तन था? सम्राट लावाओं का चुंबकत्व, ड्रिल किए गए नमूनों पर मापा गया, वह अक्षांश दर्ज करता है जिस पर हर एक ठंडा हुआ (यह विधि पुस्तक 5 का विषय है): वे आज के हवाई से उत्तर में बने, और 81 से 47 मिलियन वर्ष पहले के बीच हॉटस्पॉट स्वयं $40\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष से अधिक की चाल से दक्षिण की ओर खिसका। सम्राट शृंखला का अधिकांश भाग हॉटस्पॉट को दर्ज करता है, प्लेट को नहीं। फिर भी प्लेट भी बदली: नई आयुएँ मोड़ की शुरुआत किम्मेई समुद्री पर्वत के निकट रखती हैं, लगभग 50 मिलियन वर्ष पहले, जब प्रशांत के प्रसारी कटक पुनः संरेखित हुए। स्तंभ शृंखला से भी पुराना हो सकता है: माना जाता है कि जिस शीर्ष ने उसे पहले पोषित किया उसने लगभग 100 मिलियन वर्ष पहले एक पठार बनाया, जो 20 से 30 मिलियन वर्ष पहले एक खाई में धँसा और अब ओखोत्स्क सागर के पश्चिम में, साइबेरिया के नीचे लगभग $810\,\mathrm{km}$ गहराई पर है।

हॉटस्पॉट-पथ महाद्वीपों को भी पार करते हैं। जब उत्तर अमेरिकी प्लेट येलोस्टोन हॉटस्पॉट के ऊपर दक्षिण-पश्चिम की ओर खिसकी, तो स्नेक रिवर प्लेन के साथ दक्षिण-पश्चिम की ओर उत्तरोत्तर पुराने, महान कैल्डेरों की एक शृंखला बनी। उसके दूरस्थ छोर पर, नेवाडा और ओरेगन की सीमा पर, मैकडर्मिट कैल्डेरा, जो लगभग $40\,\mathrm{km}$ आर-पार है, 16.4 मिलियन वर्ष पहले लगभग $1000\,\mathrm{km}^{3}$ के उद्गार में धँस गया। येलोस्टोन पर स्वयं, तीन कैल्डेरा-निर्माणकारी उद्गारों में पहला, 2.1 मिलियन वर्ष पहले, लगभग $2400\,\mathrm{km}^{3}$ मैग्मा बाहर निकालकर $100\,\mathrm{km}$ से अधिक आर-पार का कैल्डेरा छोड़ गया; अंतिम, 640 000 वर्ष पहले, वर्तमान येलोस्टोन कैल्डेरा बनाता है, जो $55\,\mathrm{km}$ बटा 80 है। 10 मिलियन वर्ष पहले से कैल्डेरा-उद्गारों की शुरुआत उत्तर-पूर्व की ओर $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष खिसकी है, और मॉर्गन और मॉर्गन प्लेट की हॉटस्पॉट के ऊपर चाल $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ बताते हैं, $235{}^{\circ}$ की ओर; पुराने कैल्डेरे, जैसा अभ्यास 15.8 दिखाता है, अधिक तेज़ खिसके।

15.3 उभार, उत्प्लावकता और मैग्मा की आपूर्ति

हवाई सामान्य महासागरीय तल पर नहीं खड़ा है। 1953 में रॉबर्ट डीट्ज़ और विलियम मेनार्ड ने समुद्र-तल के उस व्यापक उभार का वर्णन किया जिस पर द्वीप टिके हैं, हवाई उभार। यह उभार मोटी भूपर्पटी द्वारा प्रतिपूरित नहीं है: वह नीचे से स्तंभ की गरम, हल्की चट्टान द्वारा ऊपर रखा जाता है जब वह प्लेट के नीचे फैलती है, एक गतिक सहारा। उभार के ऊपर सतह पर ऊष्मा-प्रवाह उसके आसपास से अधिकतम 5 से $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ अधिक है, और शायद बिल्कुल भी अधिक नहीं।

उसका आकार वैश्विक गहराई-ग्रिड से पढ़ा जा सकता है। पथ के आर-पार, उसकी दिशा के लंबवत, हॉटस्पॉट से प्लेट की गति की दिशा में $1000\,\mathrm{km}$ तक हर $50\,\mathrm{km}$ पर खंड लीजिए; शृंखला की अक्ष से हर दूरी पर, इन खंडों की गहराइयों की माध्यिका एक ऐसा परिच्छेद देती है जो उभार को रखता है और एकल ज्वालामुखियों को सुचिकण कर देता है (अगले प्रस्ताव के बाद का चित्र)। शृंखला से दूर, दोनों ओर 1000 से $1500\,\mathrm{km}$ के बीच, तल $5274\,\mathrm{m}$ पर है। उसके निकट, द्वीप और समुद्री पर्वत $3\,\mathrm{km}$ तक ऊँचे उठते हैं; उन्हें शृंखला के $300\,\mathrm{km}$ पर एक सीधी रेखा से बदल दीजिए, और जो बचता है वह उभार है: अधिकतम लगभग $690\,\mathrm{m}$ ऊँचा, दोनों ओर कुछ सौ किलोमीटर चौड़ा, दूर के तल से ऊपर $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ के अनुप्रस्थ-काट के साथ।

उभार स्तंभ को मापता है। वह प्लेट के साथ दूर ले जाया जाता है और हॉटस्पॉट पर पुनः बनता है, अतः स्तंभ को उतनी ही तेज़ी से उत्प्लावकता देनी होगी जितनी तेज़ी से प्लेट उसे दूर ले जाती है।

प्रतिज्ञप्ति 15.6 (स्तंभ का उत्प्लावकता-प्रवाह)

मान लीजिए एक प्लेट $v$ की चाल से एक हॉटस्पॉट के ऊपर चलती है, और मान लीजिए पथ के चारों ओर का उभार उससे दूर के तल के ऊपर $A$ अनुप्रस्थ-काट रखता है, और उभार समस्थितिक साम्य में है (परिभाषा 11.3) और उसे प्लेट के साथ चलती हल्की चट्टान सहारा देती है। तब स्तंभ द्रव्यमान-न्यूनता, अपना उत्प्लावकता-प्रवाह, इस दर से पहुँचाता है

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

जहाँ $\rho_m$ प्रावार का घनत्व है और $\rho_w$ समुद्री पानी का।

उत्प्लावकता-प्रवाह लुप्त द्रव्यमान का एक प्रवाह है: वह गिनता है कि स्तंभ हल्की चट्टान कितनी तेज़ी से ऊपर लाता है। चट्टान को हल्का बनाती है ऊष्मा, अतः उत्प्लावकता-प्रवाह एक ऊष्मा-प्रवाह भी है।

प्रतिज्ञप्ति 15.7 (स्तंभ द्वारा वाहित ऊष्मा)

यदि एक स्तंभ की चट्टान $\Delta T$ जितनी आसपास के प्रावार से गरम है, जिसमें ऊष्मीय प्रसार-गुणांक $\alpha$ और विशिष्ट ऊष्मा-धारिता $c_p$ है, तो उसका उत्प्लावकता-प्रवाह $B$ और वह अतिरिक्त ऊष्मा जो वह वाहित करता है, $Q$, संतुष्ट करते हैं

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

किसी भी $\Delta T$ के लिए।

हवाई के लिए, $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, $A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ और $v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$,

स्तंभ हर सेकंड लगभग तीन टन लुप्त द्रव्यमान ऊपर लाता है। चट्टानें प्रति घन मीटर और प्रति केल्विन 2 से $3\,\mathrm{MJ}$ संचित करती हैं; $3\,\mathrm{MJ}$ मानने पर, घनत्व $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ वाला प्रावार $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ रखता है; $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ लेने पर,

पूरी पृथ्वी से निकलने वाली $47\,\mathrm{TW}$ का $0.2\,\%$। पृथ्वी का सबसे प्रबल स्तंभ भी ग्रह के ऊष्मा-बजट (अध्याय 10) में एक छोटी मद है; अधिकांश ऊष्मा कटकों पर बने महासागर-तल से निकलती है।

मैग्मा वही कहानी बताता है। 81 मिलियन वर्ष पहले से हॉटस्पॉट ने हवाई–सम्राट शृंखला बनाई है, लगभग दो मिलियन घन किलोमीटर बेसाल्ट, जब प्लेट के अपने भार के नीचे धँसने को गिना जाए, प्रति वर्ष औसतन $0.025\,\mathrm{km}^{3}$; पर उसका लगभग एक चौथाई अंतिम छह मिलियन वर्षों में उगला गया, और अकेले किलाउआ को आज लगभग $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ मैग्मा प्रति वर्ष मिलता है। माउना लोआ, द्वीपों का सबसे बड़ा ज्वालामुखी, लगभग $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$ धारण करता है, और उसका पड़ोसी माउना केआ समुद्र से $4205\,\mathrm{m}$ ऊपर उठता है। फिर भी कटक प्रति वर्ष लगभग $21\,\mathrm{km}^{3}$ महासागरीय भूपर्पटी बनाते हैं, जो किलाउआ की वर्तमान आपूर्ति का दो सौ गुना है।

इतिहास — प्लेटों के लिए एक स्थिर चौखटा

1963 में जॉन टूज़ो विल्सन ने हवाई द्वीपों को, जो एक रेखा के साथ अधिकाधिक पुराने हैं, प्रावार-संवहन कोष्ठ के धीमे कोर में रखे लावा के एक स्रोत से समझाया, जबकि कोष्ठ का तेज़ ऊपरी भाग समुद्र-तल को उसके ऊपर से ले जाता था। 1971 और 1972 में डब्ल्यू॰ जेसन मॉर्गन ने उस स्रोत को एक स्तंभ बनाया, लगभग $150\,\mathrm{km}$ आर-पार, जो प्रावार के निचले भाग से उठता है और इसलिए उसके ऊपर प्लेटों के चलने पर लगभग स्थिर रहता है; टंकी-प्रयोगों ने शीघ्र ही दिखाया कि ऐसा स्तंभ कैसा दिखता है। हॉटस्पॉट एक ऐसा चौखटा बन गए जिसमें प्लेटों को केवल एक-दूसरे के सापेक्ष नहीं, प्रावार के सापेक्ष मापा जा सका। आधी सदी बाद पता चला है कि यह चौखटा खिसकता है, हवाई हॉटस्पॉट उनमें से एक है, पर इतनी धीमी गति से कि प्रशांत पथ अब भी प्रावार के ऊपर प्लेट की गति प्रति वर्ष कुछ अंशों और कुछ सेंटीमीटर तक दे देते हैं, जैसा इस अध्याय के फ़िट ने दिखाया।

15.4 बृहत आग्नेय प्रांत

परिभाषा 15.8 (बृहत आग्नेय प्रांत)

बृहत आग्नेय प्रांत (LIP) आग्नेय चट्टान का एक संचय है, अधिकतर बेसाल्ट, जो कटक पर साधारण प्रसार से नहीं बनता, $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ से अधिक क्षेत्र घेरता है, $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ से अधिक धारण करता है, और अधिकतम लगभग 50 मिलियन वर्षों के भीतर स्थापित हुआ, जिसका अधिकांश 1 से 5 मिलियन वर्ष की स्पंदों में, जो उसके आयतन के तीन-चौथाई से अधिक वहन करते हैं। स्थल पर LIP अधिकतर बाढ़-बेसाल्ट हैं; महासागरों में, महासागरीय पठार।

एक विशिष्ट LIP लगभग दस लाख वर्ग किलोमीटर घेरता है और लगभग दस लाख घन किलोमीटर लावा धारण करता है, जिसका अधिकांश लगभग दस लाख वर्ष या उससे कम में उगला गया। उनके लावा लगभग समतल प्रवाहों में ढेर होते हैं, जिन्हें अपरदन सीढ़ियों में काटता है, उनके नामों के ट्रैप्स। सारणी पिछले 260 मिलियन वर्षों के मुख्य प्रांत सूचीबद्ध करती है।

प्रांत	आयु (Ma)	क्षेत्रफल ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	पहला आयतन ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
कोलंबिया नदी	16	0.2	0.2
इथियोपिया–यमन	30	0.7	1.2
उत्तर अटलांटिक	61 और 56	1.2	2 से अधिक
डेक्कन	65.5	0.5 (एक बार 1.8)	2 से 4
ओंटोंग जावा	122 और 90	2	44 (पूरी भूपर्पटी)
पारानी–एटेंडेका	133	1.5 (एक बार 2 से अधिक)	2.3 से अधिक
कारू–फेरार	183	3.1	2.5 से अधिक
मध्य अटलांटिक (CAMP)	201	एक बार 7 तक	2 से अधिक
साइबेरियाई ट्रैप्स	250	0.4 (एक बार 4 से अधिक)	3 से अधिक
एमेइशान	259	0.5 (एक बार 2 से 5)	1 से अधिक

अनुभाग 15.1 में खींचा गया प्रावार-स्तंभ मॉडल आकार और तीव्रता दोनों समझाता है: सैकड़ों किलोमीटर आर-पार का एक स्तंभ-शीर्ष स्थलमंडल के आधार तक पहुँचता है, दाब घटाता है और पिघलता है, और सतह को प्लावित करता है; फिर पुच्छ एक साधारण हॉटस्पॉट-पथ बनाती रहती है। कई प्रांत एक जीवित पथ के पुराने छोर पर खड़े माने जाते हैं: डेक्कन ट्रैप्स और रेयूनियन हॉटस्पॉट, पारानी–एटेंडेका और ट्रिस्टन दा कुन्हा, जिन्हें वॉलविस कटक जोड़ता है, और कोलंबिया नदी के बेसाल्ट और येलोस्टोन।

पश्चिम-मध्य भारत के डेक्कन ट्रैप्स लावा-प्रवाहों का एक ढेर हैं, लगभग $2500\,\mathrm{m}$ मोटा, जिसका कम से कम $1800\,\mathrm{m}$ 65.5 मिलियन वर्ष पहले के निकट, दस लाख वर्ष से बहुत कम में उगला गया; आज वे लगभग $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ ढकते हैं, अपरदन से पहले शायद $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$। दक्षिण-पश्चिम प्रशांत का ओंटोंग जावा पठार सभी महासागरीय पठारों में सबसे बड़ा है: वह लगभग $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ ढकता है, और उसकी भूपर्पटी, लगभग $36\,\mathrm{km}$ मोटी, लगभग $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ आग्नेय चट्टान धारण करती है। मनिहिकी और हिकुरांगी पठार, जो अब नए महासागर-तल से पार उससे दूर हैं, शायद उसके साथ एक ही पठार के रूप में बने थे। मध्य अटलांटिक मैग्मा प्रांत, जो लगभग 201 मिलियन वर्ष पहले उगला गया जब अटलांटिक खुलने लगा, आज लावाओं, डाइकों और सिलों के रूप में चार महाद्वीपों में बिखरा है: पूर्वी उत्तर अमेरिका, उत्तर-पूर्वी दक्षिण अमेरिका, पश्चिम अफ़्रीका और दक्षिण-पश्चिम यूरोप; वह कभी $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ तक ढक सकता था।

कई प्रांत उन महान सामूहिक विलोपनों के साथ समय में संपाती हैं जिन्हें जीवविज्ञान वर्णित करता है: साइबेरियाई ट्रैप्स सभी में सबसे बड़े विलोपन के साथ, पर्मियन के अंत में; मध्य अटलांटिक प्रांत ट्राइऐसिक के अंत के साथ; कारू–फेरार प्रारंभिक जुरासिक के एक विलोपन के साथ; एमेइशान मध्य पर्मियन के एक विलोपन के साथ; और डेक्कन ट्रैप्स क्रिटेशस के अंत के साथ। पिछले 260 मिलियन वर्षों के चार सबसे बड़े विलोपनों में से हर एक, तिथियाँ जितने निकटता से बता सकती हैं, इन प्रांतों में से किसी एक पर पड़ता है, और कारणात्मक संबंध सबसे संभावित माना जाता है। प्रस्तावित तंत्र वायुमंडलीय हैं: सल्फेट एरोसोल जो थोड़े समय के लिए जलवायु को ठंडा करते हैं, कार्बन डाइऑक्साइड जो उसे बहुत लंबे समय तक गरम करती है, और ऑक्सीजन से वंचित महासागर। क्रिटेशस के अंत के लिए, डेक्कन उद्गार चिक्सुलब पर प्रभाव से पहले शुरू हुए और उसके बाद भी चलते रहे; सीमा के अभिलेखों की एक समीक्षा ने 2010 में निष्कर्ष निकाला कि प्रभाव ने विलोपन को उत्प्रेरित किया।

प्लेट-सीमाओं से दूर का हर ज्वालामुखी-क्रियाकलाप स्तंभ नहीं माँगता। छोटे ज्वालामुखी-क्षेत्र वहाँ बनते हैं जहाँ कोई प्लेट खिंचती या दरकती है, और जिन शृंखलाओं में स्पष्ट आयु-प्रगति नहीं है वे ऊपरी प्रावार से पोषित हो सकती हैं; यह प्लेट-परिकल्पना का काम है। हॉटस्पॉट द्वारा छोड़ने के बाद महासागरीय द्वीप क्या बनते हैं, जब वे धँसते हैं, घिसते हैं और प्रवाल-भित्तियाँ उगाते हैं, वह पुस्तक 4 का विषय है।

15.5 अभ्यास

अभ्यास 15.1 ★

(क) माउना केआ समुद्र-तल से $4205\,\mathrm{m}$ ऊपर उठता है, और हवाई शृंखला से दूर का समुद्र-तल $5274\,\mathrm{m}$ गहरा है। ज्वालामुखी उस तल से कितना ऊँचा खड़ा है? उसके आधार से वास्तविक ऊँचाई फिर भी बड़ी क्यों है? (ख) माउना लोआ लगभग $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$ धारण करता है। किलाउआ की वर्तमान आपूर्ति, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष, पर, और पूरी शृंखला की औसत दर, $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष पर, उसे बनाने में कितना समय लगेगा? (ग) Pu‘u ‘O‘o का उद्गार 1983 से 2002 तक लगभग $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष उगलता रहा। वह कितना आयतन है, और माउना लोआ का कितना अंश?

हल

हल — अभ्यास 15.1.

(क) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$, लगभग $9.5\,\mathrm{km}$। ज्वालामुखी उस पानी से भारी है जिसे वह विस्थापित करता है: प्लेट उसके भार के नीचे मुड़ती है, अतः उसका आधार दूर के तल से गहरा बैठता है, और उसकी वास्तविक ऊँचाई अधिक है। (ख) $74000/0.1 = 740\,000$ वर्ष किलाउआ की आपूर्ति पर; $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ वर्ष शृंखला की औसत दर पर। (ग) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$, माउना लोआ का लगभग $3 \times 10^{-5}$: एक प्रतिशत का तीन हज़ारवाँ भाग।

अभ्यास 15.2 ★

एक प्लेट हॉटस्पॉटों के ऊपर $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ पर घूमती है। लीजिए $R = 6371\,\mathrm{km}$। (क) $\omega$ को रेडियन प्रति मिलियन वर्ष में व्यक्त कीजिए। (ख) $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में, ध्रुव से $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ और $108.0{}^{\circ}$ पर स्थित हॉटस्पॉटों की चाल परिकलित कीजिए। (ग) $108.0{}^{\circ}$ पर स्थित हवाई की चाल $90{}^{\circ}$ से कम क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 15.2.

(क) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$। (ख) प्रति मिलियन वर्ष रेडियन गुणा किलोमीटर में, $\omega R\sin\Delta$ किलोमीटर प्रति मिलियन वर्ष में है, अर्थात् मिलीमीटर प्रति वर्ष: $0.016057\times6371 = 102.3$, अतः $v = 102.3\sin\Delta$, जो $30{}^{\circ}$ पर $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $60{}^{\circ}$ पर $88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $90{}^{\circ}$ पर $102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $108.0{}^{\circ}$ पर $97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देता है। (ग) चाल ध्रुव से परिभ्रमण-अक्ष से दूरी $R\sin\Delta$ के समानुपाती है, महावृत्त पर ध्रुव से $90{}^{\circ}$ पर सबसे बड़ी; उसके आगे बिंदु फिर अक्ष के निकट आता है, विपरीत ध्रुव की ओर।

अभ्यास 15.3 ★

(क) डेक्कन ट्रैप्स की आज की औसत मोटाई परिकलित कीजिए, $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ पर $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$, और मध्य अटलांटिक प्रांत की, $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ पर $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$। (ख) उसकी तुलना डेक्कन खंड की मोटाई, $2500\,\mathrm{m}$, से कीजिए। (ग) मध्य अटलांटिक प्रांत की औसत मोटाई उसके लावा-ढेरों की मोटाई के बारे में कम क्यों कहती है?

हल

हल — अभ्यास 15.3.

(क) डेक्कन: $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$। मध्य अटलांटिक: $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$, लगभग $290\,\mathrm{m}$। (ख) डेक्कन का माध्य उसके $2.5\,\mathrm{km}$ खंड के निकट है: प्रांत एक मोटा, अविच्छिन्न पठार है। (ग) मध्य अटलांटिक का क्षेत्रफल उस पूरे क्षेत्र का है, चार महाद्वीपों पर, जिसके ऊपर उसके अवशेष मिलते हैं: लावा, डाइक और सिल, जो अब एक महासागर से अलग हैं और बहुत अपरदित हैं। चट्टान कुछ स्थानों पर संकेंद्रित है और अधिकांश क्षेत्र में अनुपस्थित है, अतः माध्य एक एकल ढेर के बारे में कुछ नहीं कहता।

अभ्यास 15.4 ★

आसपास के प्रावार से $250\,\mathrm{K}$ गरम स्तंभ-चट्टान की $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है। (क) $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ में वह कितनी हल्की है? (ख) प्लेट के नीचे फैली ऐसी चट्टान की कितनी मोटाई समुद्र के नीचे $690\,\mathrm{m}$ ऊँचे उभार को समस्थितिक रूप से टिका सकेगी ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

हल

हल — अभ्यास 15.4.

(क) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$। (ख) स्तंभ-खंड में अतिरिक्त द्रव्यमान $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ है, जिसे हल्की परत को संतुलित करना होगा: $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, लगभग $60\,\mathrm{km}$ गरम चट्टान।

अभ्यास 15.5 ★★

दो हॉटस्पॉट भूमध्य-रेखा पर हैं, A $0{}^{\circ}$ E पर और B $90{}^{\circ}$ E पर, और दोनों पथ ठीक पश्चिम चलते हैं (दिगंश $270{}^{\circ}$)। (क) पथ-सदिश $\vec t_A$ और $\vec t_B$ परिकलित कीजिए। (ख) $\vec t_A\times\vec t_B$ परिकलित कीजिए। (ग) प्रतिज्ञप्ति 15.4 का चिह्न-नियम लगाइए: यूलर ध्रुव कहाँ है? परिकलन के बिना परिणाम समझाइए। (घ) यदि A $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से चलता है, तो $\omega$ प्रति मिलियन वर्ष कितने अंश में है?

हल

हल — अभ्यास 15.5.

(क) A पर ($\lambda = 0$, $\varphi = 0$), $\vec e = (0, 1, 0)$ और $\vec n = (0, 0, 1)$; $\sin270{}^{\circ} = -1$ और $\cos270{}^{\circ} = 0$ के साथ, $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$। B पर ($\lambda = 90{}^{\circ}$), $\vec e = (-1, 0, 0)$, $\vec n = (0, 0, 1)$ और $\vec t_B = (1, 0, 0)$। (ख) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$। (ग) $\vec p' = (0, 0, 1)$ और $\vec r_A = (1, 0, 0)$ के साथ, $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$, और $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$: ध्रुव $-\vec p' = (0, 0, -1)$ है, दक्षिण ध्रुव। भूमध्य-रेखा के साथ पश्चिम की ओर गति उत्तरी ध्रुव के ऊपर से देखने पर दक्षिणावर्त है, अतः दक्षिणी ध्रुव के ऊपर से देखने पर वामावर्त। (घ) ध्रुव से $90{}^{\circ}$ पर, $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$।

अभ्यास 15.6 ★★

एक प्लेट के तीन हॉटस्पॉट परिभ्रमण-अक्ष से $x = R\sin\Delta = 3000$, 5000 और $6000\,\mathrm{km}$ दूरियों पर पड़ते हैं और 30, 48 और $57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से चलते हैं। (क) न्यूनतम-वर्ग से $v = \omega x$ फ़िट कीजिए और $\omega$ रेडियन में और प्रति मिलियन वर्ष अंशों में दीजिए। (ख) अवशेष परिकलित कीजिए। (ग) रेखा मूलबिंदु से होकर क्यों जानी चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 15.6.

(क) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ और $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$, अतः $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, या $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$। (ख) पूर्वानुमान 28.8, 48.0 और $57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ हैं; अवशेष $+1.2$, $0.0$ और $-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। (ग) दृढ़ घूर्णन के लिए चाल अक्ष से दूरी के समानुपाती है, और अक्ष पर का बिंदु नहीं चलता: फ़िट करने के लिए कोई अंतःखंड नहीं है।

अभ्यास 15.7 ★★

$3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ अनुप्रस्थ-काट का एक उभार $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से चलती प्लेट पर एक हॉटस्पॉट-पथ को घेरता है। लीजिए $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$। (क) उसका उत्प्लावकता-प्रवाह और उसका ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए। (ख) हवाई, $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, से तुलना कीजिए। (ग) दो हॉटस्पॉटों का उभार एक-सा है; एक ऐसी प्लेट के नीचे है जो दोगुनी तेज़ चलती है। कौन-सा स्तंभ प्रबलतर है?

हल

हल — अभ्यास 15.7.

(क) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, अतः $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$। (ख) हवाई प्रवाह का एक-तिहाई। (ग) $B$, $A\,v$ के साथ बढ़ता है: तेज़ प्लेट के नीचे का स्तंभ उसी उभार को दोगुनी तेज़ी से पुनः बनाना होगा, और उसका प्रवाह दोगुना बड़ा है।

अभ्यास 15.8 ★★

येलोस्टोन पथ के साथ, कैल्डेरा-उद्गार 16.1 मिलियन वर्ष पहले मैकडर्मिट ज्वालामुखी-क्षेत्र में, और लगभग $350\,\mathrm{km}$ उत्तर-पूर्व में स्थित पिकाबो क्षेत्र में 10.3 मिलियन वर्ष पहले शुरू हुए; तब से वे $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष की दर से N $54{}^{\circ}$ E की ओर खिसके हैं। (क) ज्वालामुखी-क्रिया किस औसत चाल से मैकडर्मिट से पिकाबो तक खिसकी? (ख) दोनों चालों की तुलना हॉटस्पॉट के ऊपर प्लेट की चाल से कीजिए, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $235{}^{\circ}$ की ओर। (ग) क्या युवा पथ की दिशा वही है जिसकी अपेक्षा थी? (घ) पथ का पुराना भाग एक ऐसे क्षेत्र में पड़ता है जो ज्वालामुखी-क्रिया के गुज़रने के साथ खिंचा गया है। यह अंतर कैसे समझा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 15.8.

(क) $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, अर्थात् $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। (ख) युवा पथ, $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ वाली प्लेट के साथ अनिश्चितताओं के भीतर मेल खाता है; पुराना भाग दोगुने से अधिक तेज़ चला, $60 - 26 = 34$, प्लेट की चाल की लगभग सात मानक अनिश्चितताएँ। (ग) हाँ: N $54{}^{\circ}$ E दिगंश $54{}^{\circ}$ है, जो $235{}^{\circ}$ के एक अंश के भीतर उसके विपरीत है। ज्वालामुखी-क्रिया प्लेट के ऊपर उस दिशा के विपरीत चलती है जिसमें प्लेट हॉटस्पॉट के ऊपर चलती है। (घ) खिंचाव ने पुराने कैल्डेरों को अलग कर दिया, उनके बीच की दूरियाँ बढ़ाकर और इस प्रकार प्रत्यक्ष चाल; प्लेट स्वयं तेज़ नहीं चली।

अभ्यास 15.9 ★★

हवाई स्तंभ लगभग $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ अतिरिक्त ऊष्मा वाहित करता है। (क) यदि उसका सब कुछ हॉटस्पॉट के निकटतम $1000\,\mathrm{km}$ गुणा $1000\,\mathrm{km}$ समुद्र-तल से निकले, तो वहाँ का ऊष्मा-प्रवाह कितना बढ़ेगा? (ख) उसकी तुलना प्रेक्षित अतिरिक्त से कीजिए, अधिकतम 5 से $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$। (ग) $100\,\mathrm{km}$ मोटी प्लेट के आर-पार ऊष्मा को विसरित होने में कितना समय लगता है ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$)? $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर प्लेट को $1000\,\mathrm{km}$ पार करने में कितना समय लगता है? निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 15.9.

(क) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$। (ख) प्रेक्षित अतिरिक्त का नौ से अठारह गुना, जो शायद शून्य भी हो। (ग) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$, लगभग $320\,\mathrm{Myr}$; प्लेट $1000\,\mathrm{km}$ को $1000/92 = 11\,\mathrm{Myr}$ में पार करती है। जब प्लेट उभार के ऊपर है, नीचे से आई ऊष्मा को प्लेट के केवल एक छोटे भाग के आर-पार विसरित होने का समय मिला है: स्तंभ की अधिकांश ऊष्मा प्लेट के नीचे प्रावार में रहती है और उसके साथ दूर ले जाई जाती है, और सतह उसमें से थोड़ी ही देखती है।

अभ्यास 15.10 ★★★

डेक्कन ट्रैप्स में लगभग $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ लावा है। मान लीजिए वह एक गोलाकार स्तंभ-शीर्ष से आया, जिसका दसवाँ भाग पिघला। (क) शीर्ष का आयतन और त्रिज्या क्या थी? (ख) स्थलमंडल के नीचे $100\,\mathrm{km}$ मोटी एक चकती में चपटा होने पर, शीर्ष का व्यास क्या होता? उसके क्षेत्रफल की तुलना उस क्षेत्रफल से कीजिए जिसे ट्रैप्स कभी ढकते थे, $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$। (ग) यदि लावा दस लाख वर्ष में उगला गया, तो उसकी दर की तुलना किलाउआ की वर्तमान आपूर्ति, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष, से कीजिए। (घ) स्तंभ-शीर्ष बड़ा क्यों होना चाहिए, जबकि उसके बाद आने वाली पुच्छ संकरी है?

हल

हल — अभ्यास 15.10.

(क) पिघले आयतन का दस गुना, $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$, त्रिज्या $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$ का। (ख) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, एक चकती जिसका व्यास $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$ है: क्षेत्रफल में ट्रैप्स से अठारह गुना छोटी। शीर्ष बड़ा रहा होगा या कम पिघला होगा, या वह अधिक चौड़ा और पतला फैला होगा, या लावा उससे बहुत दूर तक बह गया। (ग) $1\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष, किलाउआ की वर्तमान आपूर्ति का दस गुना। (घ) एक नए स्तंभ को श्यान प्रावार के माध्यम से अपना रास्ता ऊपर धकेलने के लिए पर्याप्त गरम, हल्की चट्टान इकट्ठी करनी होगी, और एक बड़ा आयतन एक छोटे से कहीं अधिक तेज़ी से उठता है; उसके बाद आने वाली पुच्छ शीर्ष द्वारा खोले गए गरम, कमज़ोर मार्ग से ऊपर बहती है, और एक संकरी नली पर्याप्त है।

अभ्यास 15.11 ★★★

81 से 47 मिलियन वर्ष पहले हवाई हॉटस्पॉट $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से अधिक चाल से दक्षिण की ओर खिसका। (क) $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ लेकर, वह कितनी दूर खिसका? (ख) मान लीजिए इस बीच प्लेट गहरे प्रावार के ऊपर $340{}^{\circ}$ की ओर $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से चली। $x$ पूर्व और $y$ उत्तर मानकर, खिसकते हॉटस्पॉट के सापेक्ष प्लेट का वेग, उसकी चाल और उसका दिगंश परिकलित कीजिए। (ग) उस समय बना पथ गहरे प्रावार के ऊपर प्लेट की गति को कितने प्रतिशत, और कितने अंश, गलत दर्शाता?

हल

हल — अभ्यास 15.11.

(क) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Myr} = 1360\,\mathrm{km}$। (ख) प्लेट $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$ पर चलती है और हॉटस्पॉट $(0, -40)$ पर: हॉटस्पॉट के सापेक्ष प्लेट $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर चलती है, $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की चाल से $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$ की ओर। (ग) पथ $48\,\%$ अधिक तेज़ चाल और $6.6{}^{\circ}$ अधिक पूर्व की दिशा देता: खिसकता हॉटस्पॉट प्लेट की गति को स्वयं के सापेक्ष दर्ज करता है, गहरे प्रावार के सापेक्ष नहीं।

अभ्यास 15.12 ★★★

(क) एक बाढ़-बेसाल्ट, $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$, लगभग $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से सतह के तापमान तक ठंडा होता है। $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ की ऊष्मा-धारिता के साथ, वह कितनी ऊष्मा निकालता है (क्रिस्टलीकरण की गुप्त ऊष्मा उपेक्षित कीजिए)? (ख) दस लाख वर्ष पर फैलाने पर वह कितनी शक्ति है? उसकी तुलना हवाई स्तंभ, $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, और पूरी पृथ्वी की $47\,\mathrm{TW}$ से कीजिए। (ग) स्तंभ-शीर्ष स्थलमंडल के आधार को भी बिना पूरा पिघलाए गरम करता है। क्या (ख) की शक्ति स्तंभ-शीर्ष द्वारा लाई गई ऊष्मा की ऊपरी सीमा है या निचली सीमा?

हल

हल — अभ्यास 15.12.

(क) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$। (ख) $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ में फैलाने पर, $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$: लगभग वह ऊष्मा जो आज हवाई स्तंभ वाहित करता है (1.3 गुना), और पृथ्वी की $47\,\mathrm{TW}$ का $0.26\,\%$। (ग) एक निचली सीमा: शीर्ष अपनी नौ-दसवीं चट्टान की अतिरिक्त ऊष्मा भी ऊपर लाता है जो नहीं पिघलती, और स्थलमंडल के आधार को गरम करता है, और गुप्त ऊष्मा छोड़ दी गई थी।

15.6 समस्या: प्रशांत प्लेट का गति-मापी

समस्या 15.1

सप्ताहांत समस्या — दो हॉटस्पॉट-पथों से प्रशांत प्लेट का यूलर ध्रुव, एक तीसरे माप से उसकी दर, अन्य हॉटस्पॉटों पर एक परीक्षा, और हवाई स्तंभ की उत्प्लावकता और आपूर्ति

मॉर्गन और मॉर्गन हवाई हॉटस्पॉट को $19.0{}^{\circ}$ N, $155.2{}^{\circ}$ W पर रखते हैं, जिसका पथ $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ की ओर और चाल $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, और लुईसविल हॉटस्पॉट $53.6{}^{\circ}$ S, $140.6{}^{\circ}$ W पर, जिसका पथ $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ की ओर और चाल $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। अक्षों और सदिशों $\vec e$, $\vec n$, $\vec t$ का प्रयोग कीजिए जो अनुभाग 15.2 में हैं, $R = 6371\,\mathrm{km}$ के साथ। घटक चार दशमलव तक दीजिए।

भाग I — दो पथों से ध्रुव।

1. हवाई पर $\vec r$, $\vec e$ और $\vec n$ परिकलित कीजिए, फिर पथ-सदिश $\vec t_H$।
2. उसी प्रकार लुईसविल पर: $\vec r_L$, $\vec e$, $\vec n$ और $\vec t_L$।
3. जाँचिए कि $\vec t_H$ एक इकाई सदिश है जो $\vec r_H$ के लंबवत है।
4. $\vec t_H\times\vec t_L$ और उसकी लंबाई परिकलित कीजिए। दोनों पथ-सदिश किस कोण पर हैं?
5. सदिश गुणनफल को इकाई बनाइए और प्रतिज्ञप्ति 15.4 का चिह्न-नियम लगाइए।
6. हॉटस्पॉटों के सापेक्ष प्रशांत प्लेट के यूलर ध्रुव का अक्षांश और देशांतर दीजिए।

भाग II — दर।

7. दोनों हॉटस्पॉटों तक ध्रुव से कोणीय दूरियाँ $\Delta_H$ और $\Delta_L$ परिकलित कीजिए।
8. $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$ परिकलित कीजिए। समझाइए कि वह क्यों $\sin\Delta_L$ के बराबर है, और उसका चिह्न लुईसविल पर की गति के बारे में क्या कहता है।
9. लुईसविल की चाल से $\omega$ रेडियन में और प्रति मिलियन वर्ष अंशों में परिकलित कीजिए।
10. प्रशांत प्लेट को इस ध्रुव के परितः एक पूरा चक्कर लगाने में कितना समय लगता है?
11. प्रशांत के पंद्रह पथों का न्यूनतम-वर्ग ध्रुव $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E पर है, $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ के साथ। दोनों ध्रुवों के बीच का कोण परिकलित कीजिए और दोनों दरों की तुलना कीजिए।

भाग III — तीन और हॉटस्पॉटों पर एक परीक्षा। मॉर्गन और मॉर्गन सोसाइटी हॉटस्पॉट ($18.2{}^{\circ}$ S, $148.4{}^{\circ}$ W) को $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, पिटकेर्न ($25.4{}^{\circ}$ S, $129.3{}^{\circ}$ W) को $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और कॉब ($46.0{}^{\circ}$ N, $130.1{}^{\circ}$ W) को $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देते हैं।

12. प्रश्न 6 के ध्रुव से तीनों हॉटस्पॉटों में से हर एक तक कोणीय दूरी परिकलित कीजिए।
13. प्रश्न 9 की दर से तीन चालों का पूर्वानुमान कीजिए।
14. कौन-से पूर्वानुमान अपनी अनिश्चितताओं के भीतर मापी गई चालों से मेल खाते हैं, और कौन-से नहीं?
15. दो भिन्न दिशाओं वाले पथ सदैव एक ध्रुव देते हैं। लगभग समांतर दो पथ एक खराब चुनाव क्यों हैं?

भाग IV — स्तंभ और गति-मापी। हवाई उभार का अनुप्रस्थ-काट $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ है। लीजिए $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$।

16. $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ को $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ में बदलिए और हवाई स्तंभ का उत्प्लावकता-प्रवाह परिकलित कीजिए।
17. वह अतिरिक्त ऊष्मा परिकलित कीजिए जो वह वाहित करता है, और उसकी तुलना पृथ्वी से निकलने वाली $47\,\mathrm{TW}$ से कीजिए।
18. कटक कुछ $67\,000\,\mathrm{km}$ लंबाई पर प्रति वर्ष लगभग $21\,\mathrm{km}^{3}$ भूपर्पटी बनाते हैं। कटक की कितनी लंबाई उतनी भूपर्पटी बनाती है जितनी किलाउआ को प्रति वर्ष $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ आपूर्ति मिलती है?
19. इस दर से, माउना लोआ, लगभग $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, को बढ़ने में कितना समय लगेगा?
20. हॉटस्पॉट ने 81 मिलियन वर्ष में शृंखला का लगभग $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ बनाया। उसका औसत उत्पादन परिकलित कीजिए और आज की किलाउआ की आपूर्ति से तुलना कीजिए।
21. भाग I और II के ध्रुव और दर के साथ, वह चाल परिकलित कीजिए जो लुईसविल पथ हवाई हॉटस्पॉट के ऊपर प्रशांत प्लेट के लिए अनुमानित करता है।
22. मापी गई $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से तुलना कीजिए: वे कितना, और कितने मानक अनिश्चितता-गुणकों से, भिन्न हैं?
23. हवाई ज्वालामुखियों की आयुओं से पुस्तक 2 ने $9.1\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष पाया, और आयुओं के लेखकों ने, पूरी शृंखला को फ़िट करते हुए, $8.6\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष। दसियों मिलियन वर्षों पर इन औसतों की दोनों हॉटस्पॉट-चालों से तुलना कीजिए।
24. सेंटीमीटर प्रति वर्ष में एक दशमलव तक, लुईसविल पथ प्रशांत प्लेट को हवाई हॉटस्पॉट के ऊपर कौन-सी चाल देता है?

हल

हल — समस्या 15.1.

1. हवाई पर ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$, $\lambda = -155.2{}^{\circ}$), $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ और $\cos304{}^{\circ} = 0.5592$ के साथ:

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. लुईसविल पर ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$, $\lambda = -140.6{}^{\circ}$), $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ और $\cos316{}^{\circ} = 0.7193$ के साथ:

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ और $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$, पूर्णांकन तक।

4. $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$, जिसकी लंबाई $0.8491$ है। दोनों पथों के बीच का कोण $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ है (उनका डॉट-गुणनफल, $0.528$, धनात्मक है, अतः कोण न्यून है)।

5. यह है

$$\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$$

फिर इसके बाद $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H =$ $-0.98 < 0$: ध्रुव $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$ है।

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ और $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$: ध्रुव $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E पर है, दक्षिणी महासागर में ऑस्ट्रेलिया के दक्षिण में।

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$, अतः $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$; $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$, अतः $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$।

8. सदिश $\vec p\times\vec r_L$, $\vec p$ और $\vec r_L$ के लंबवत है, और $\vec t_L$ भी है (जैसा $\vec p$ की रचना से, और क्योंकि पथ क्षैतिज है); दोनों एक ही रेखा के अनुदिश हैं, और उसकी लंबाई $\sin\Delta_L$ है। अतः $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$, और परिकलन देता है $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$: प्लेट लुईसविल पर $+\vec t_L$ के अनुदिश चलती है, पथ की दिशा में। चिह्न-नियम, जो हवाई पर लगाया गया, लुईसविल पर गलत अर्थ दे सकता था; उसने नहीं दिया, अतः दोनों दिशाएँ, $304{}^{\circ}$ और $316{}^{\circ}$, ठीक दोहराई जाती हैं।

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, अर्थात् $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$।

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Myr}$।

11. $56.18{}^{\circ}$ S, $124.01{}^{\circ}$ E और $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E के बीच कोज्या-नियम $9.5{}^{\circ}$ देता है। दो-पथ दर, $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$, तेरह चालों पर फ़िट $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ से $15\,\%$ कम है।

12. सोसाइटी $73.6{}^{\circ}$, पिटकेर्न $77.8{}^{\circ}$, कॉब $134.7{}^{\circ}$।

13. $\omega R$ का मान:

$$\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$$

गुणा से $\sin\Delta$: सोसाइटी $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; पिटकेर्न $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, कॉब $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

14. पिटकेर्न सहमत है: मापी गई से $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ कम, अपनी $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के भीतर। सोसाइटी $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ बहुत धीमी है, 2.6 अनिश्चितताएँ, और कॉब $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ बहुत तेज़, छह से अधिक: कोई भी सहमत नहीं।

15. ध्रुव दोनों पथ-सदिशों के लंबवत है। यदि वे लगभग समांतर हों, तो उनका सदिश गुणनफल छोटा होता है, और किसी भी दिशा में कुछ अंशों की त्रुटि उसे बड़े कोण से घुमा देती है: ध्रुव खराब तय होता है।

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$।

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, $0.20\,\%$ का $47\,\mathrm{TW}$।

18. कटक प्रति वर्ष प्रति किलोमीटर $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ बनाते हैं; $0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ कटक।

19. $74000/0.1 = 740\,000$ वर्ष।

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष: किलाउआ को आज पूरे हॉटस्पॉट के औसत उत्पादन का चार गुना मिलता है, जो उसकी सबसे प्रबल अवस्था के निकट है।

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, मापी गई चाल की 2.2 मानक अनिश्चितताएँ: दोनों हॉटस्पॉट एक स्थिर चौखटे पर एक दृढ़ प्लेट की गति पर ठीक-ठीक सहमत नहीं हैं।

23. आयुएँ पूरी शृंखला पर औसत लेने पर $9.1\,\mathrm{cm}$ और $8.6\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष देती हैं; मॉर्गन और मॉर्गन का $9.2\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष पहले के निकट है, और लुईसविल का पूर्वानुमान, $8.5\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष, दूसरे के निकट। चारों $0.7\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष के भीतर एक-दूसरे से हैं: पथ, आयुएँ और दिशाएँ लगभग $8\,\%$ के भीतर एक ही कहानी कहते हैं।

24. एक दशमलव तक, लुईसविल पथ प्रशांत प्लेट को हवाई हॉटस्पॉट के ऊपर $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की चाल देता है।