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विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 1 · 本科一年级

4भूवैज्ञानिक मानचित्र

एक भूवैज्ञानिक नक्शा-पट्टी, नोटबुक और कंपास-क्लिनोमीटर लेकर नीची पहाड़ियों के बीच से गुज़रता है। अधिकांश ज़मीन घास, जंगल या जोती हुई खेत है; चट्टान यहाँ-वहाँ ही दिखती है, किसी नाले के किनारे, किसी सड़क की कटान में, किसी चट्टानी उभार पर। इन बिखरी झलकों से, और भूमि की आकृति से, भूवैज्ञानिक को यह बताना होता है कि पहाड़ियों के हर वर्ग मीटर के नीचे कौन-सी चट्टान है, परतें किस कोण पर झुकी हैं, वे कहाँ टूटी हैं, और यह सब किस क्रम में हुआ। परिणाम एक भूवैज्ञानिक मानचित्र है: एक सपाट चित्र जो चट्टान के एक त्रि-विमीय पिंड को कूटबद्ध करता है। यह अध्याय बताता है कि ऐसा मानचित्र कैसे बनता है और कैसे पढ़ा जाता है — किसी सतह का अभिविन्यास कैसे मापा और परिकलित किया जाता है, किसी परत का बहिर्भाग वे आकृतियाँ क्यों बनाता है जो वह बनाता है, और मानचित्र इतिहास कैसे बताता है। इसके उदाहरण एक काल्पनिक पर भूवैज्ञानिक रूप से सुसंगत क्षेत्र, वार्डन पहाड़ियों, से आते हैं, जो इस पूरी पुस्तक में बार-बार आता है।

पहले से ज्ञात

एक स्थलाकृतिक मानचित्र समोच्च रेखाओं, यानी समान ऊँचाई की रेखाओं, से उच्चावच दिखाता है; उसका पैमाना मानचित्र की दूरियों को ज़मीन की दूरियों से जोड़ता है (पुस्तक 1, कक्षा 9)। सापेक्ष आयु अध्यारोपण से निकलती है (परत अपने नीचे की परतों से छोटी होती है, जब तक क्रम उलट न गया हो), आरपार काटने से (जो चट्टान को काटता है वह उससे छोटा है) और समावेशन से (पुस्तक 1, कक्षा 7)। भ्रंश वह दरार है जिसके साथ दो खंड खिसके हैं (पुस्तक 1, कक्षा 7); वलनों और भ्रंशों की ज्यामिति अध्याय 17 का विषय है।

4.1 मानचित्र त्रि-विमीय में एक काट है

परिभाषा 4.1 (भूवैज्ञानिक मानचित्र)

एक भूवैज्ञानिक मानचित्र ज़मीनी सतह के हर बिंदु पर वह शैल-इकाई दिखाता है जो मिट्टी के नीचे वहाँ पड़ी है, साथ में संपर्क — वे सतहें जो दो इकाइयों को अलग करती हैं — और वे संरचनाएँ (भ्रंश, वलन-अक्ष, परतों के अभिविन्यास) जो उन्हें प्रभावित करती हैं। एक मानचित्र इकाई शैल का वह पिंड है जिसे क्षेत्र में पहचाना और अनुसरित किया जा सके और जिसे एक रंग में बनाया जाए; उसका बहिर्भाग वह क्षेत्र है जहाँ वह सतह पर पड़ा है।

परिभाषा 4.2 (अंकीय उन्नयन मॉडल)

एक अंकीय उन्नयन मॉडल नियमित दूरी वाले बिंदुओं पर ज़मीनी उन्नयनों $z = g(x,y)$ का एक जाल है। एक भौगोलिक सूचना प्रणाली ऐसे जालों को और मानचित्र की अन्य परतों (संपर्क, भ्रंश, मापन, बोरहोल) को एक साझा निर्देशांक-ढाँचे में संग्रहीत करती है और उनके साथ परिकलन करती है।

प्रतिज्ञप्ति 4.3 (एक संपर्क का बहिर्भाग)

मान लीजिए ज़मीन सतह $z = g(x,y)$ है और एक संपर्क सतह $z = c(x,y)$ । मानचित्र पर संपर्क का अनुरेख वक्र है

g(x,y) = c(x,y),

जो दो सतहों के प्रतिच्छेद का क्षैतिज समतल पर प्रक्षेप है। संपर्क के ऊपर पड़ी इकाई वहाँ बहिर्भाग बनाती है जहाँ $g > c$ ।

उपपत्ति. मानचित्र का एक बिंदु तभी अनुरेख पर होता है जब उस बिंदु पर ज़मीनी सतह संपर्क से संबद्ध हो, यानी $g(x,y) = c(x,y)$ । जहाँ $g(x,y) > c(x,y)$ है, वहाँ ज़मीन संपर्क के ऊपर है: सतह की चट्टान उस इकाई से है जो उसके ऊपर पड़ी है। ∎

टिप्पणी 4.4 (इस पुस्तक के मानचित्र कैसे बने)

यही ठीक वह तरीका है जिससे एक भौगोलिक सूचना प्रणाली त्रि-विमीय प्रतिरूप से मानचित्र बनाती है: वह अंकीय उन्नयन मॉडल के जाल पर $g - c$ का मान निकालती है और उन वक्रों का अनुरेख करती है जहाँ वह चिह्न बदलता है। इस पुस्तक के वार्डन पहाड़ियों के मानचित्र उसी तरह बने, एक ऐसे भूवैज्ञानिक प्रतिरूप से जिसमें हर सतह ज्ञात है।

वार्डन पहाड़ियाँ एक अंकीय उन्नयन मॉडल के रूप में: ज़मीन उत्तर-पश्चिम से प्रकाशित, समोच्च रेखाएँ हर 50\, m पर (250 और 500\, m पर मोटी), और नदी, जो पूर्व की ओर बहती है। — वार्डन पहाड़ियाँ एक अंकीय उन्नयन मॉडल के रूप में: ज़मीन उत्तर-पश्चिम से प्रकाशित, समोच्च रेखाएँ हर $50\,\mathrm{m}$ पर (250 और $500\,\mathrm{m}$ पर मोटी), और नदी, जो पूर्व की ओर बहती है।

वार्डन पहाड़ियों का भूवैज्ञानिक मानचित्र, समोच्च रेखाओं, नदी, दो मापे गए अभिविन्यासों (स्ट्राइक रेखा और नति-निशान, नति डिग्री में) और उपाख्यान के साथ। इकाइयों की आयु उस क्षेत्र की इकाइयों की है; भ्रंश घाटी-तली की अपेक्षाकृत नई जलोढ़ के नीचे छिपा है।

4.2 एक समतल का अभिविन्यास

परिभाषा 4.5 (स्ट्राइक, नति और नति-दिशा)

मान लीजिए एक भूवैज्ञानिक सतह — एक शय्या-तल, एक संपर्क, एक भ्रंश — स्थानीय रूप से एक समतल है। उसका स्ट्राइक उन क्षैतिज रेखाओं की दिशा है जो उसमें हैं, दिगंश के रूप में दी गई (उत्तर से घड़ी की दिशा में डिग्री)। उसकी नति $\delta$ समतल और क्षैतिज के बीच का कोण है, जो स्ट्राइक के लंबवत ऊर्ध्वाधर तल में मापा जाता है, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ । उसकी नति-दिशा $\alpha$ समतल की सबसे खड़ी अधोमुखी रेखा का दिगंश है। साथ मिलकर वे समतल का अभिविन्यास बनाते हैं, जो नति-दिशा/नति के रूप में लिखा जाता है, जैसे $080/12$ ।

संकेतन 4.6 (दाएँ-हाथ के नियम से स्ट्राइक)

स्ट्राइक को दो विपरीत दिशाओं में पढ़ा जा सकता है। दाएँ-हाथ का नियम वह दिशा चुनता है जिसमें, स्ट्राइक के अनुदिश देखने वाले प्रेक्षक के लिए, समतल दाईं ओर नीचे झुकता है: स्ट्राइक $= \alpha - 90{}^{\circ}$ ( $360{}^{\circ}$ के मॉड्यूलो)। मानचित्र पर चिह्न एक स्ट्राइक रेखा है जिस पर नति की दिशा में इंगित एक छोटा निशान है, और नति से अंकित।

एक समतल जो उत्तर की ओर स्ट्राइक करता है और पूर्व की ओर 30 झुकता है (अभिविन्यास 090/30), अपनी स्ट्राइक रेखा के साथ एक क्षैतिज समतल को काटता हुआ। पैमाने पर नहीं। — एक समतल जो उत्तर की ओर स्ट्राइक करता है और पूर्व की ओर $30{}^{\circ}$ झुकता है (अभिविन्यास $090/30$ ), अपनी स्ट्राइक रेखा के साथ एक क्षैतिज समतल को काटता हुआ। पैमाने पर नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 4.7 (झुके हुए समतल का समीकरण)

$x$ पूर्व की ओर, $y$ उत्तर की ओर और $z$ ऊपर की ओर लेने पर, नति-दिशा $\alpha$ और नति $\delta$ वाला, बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से होकर जाने वाला समतल है

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

उपपत्ति. नति-दिशा की ओर इंगित क्षैतिज इकाई सदिश है $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (दिगंश उत्तर से, यानी $y$ अक्ष से, पूर्व की ओर, यानी $x$ अक्ष की ओर मापा जाता है)। स्ट्राइक के अनुदिश, $\vec u$ के लंबवत, समतल क्षैतिज है; $\vec u$ के अनुदिश वह क्षैतिज दूरी की प्रति इकाई $\tan\delta$ नीचे उतरता है। बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुज़रने वाली स्ट्राइक रेखा से किसी बिंदु की क्षैतिज दूरी, जो नति की दिशा में धनात्मक गिनी जाती है, $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ है, जिससे सूत्र मिलता है। ∎

प्रमेय 4.8 (तीन बिंदुओं से अभिविन्यास)

मान लीजिए $P_1, P_2, P_3$ एक समतल के तीन असरेखीय बिंदु हैं, और $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ , $n_z > 0$ के साथ चुना गया (अन्यथा $\vec n$ को $-\vec n$ से बदलिए)। तब समतल की नति और नति-दिशा हैं

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{क्षैतिज सदिश का दिगंश } (n_x, n_y),

यानी वह कोण $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ जिसके लिए $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ और $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ है (समतल क्षैतिज है यदि $n_x = n_y = 0$ )।

उपपत्ति. $\vec n$ समतल के दो स्वतंत्र सदिशों के लंबवत है, अतः उसके अभिलंब है। नति समतल और क्षैतिज के बीच का कोण है, जो उनके अभिलंबों $\vec n$ और ऊर्ध्वाधर $\vec k$ के बीच के कोण के बराबर है: $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ । प्रतिज्ञप्ति 4.7 से समतल $z = \text{स्थिरांक} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ है, अर्थात् $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{स्थिरांक}$ ; उसका ऊर्ध्व अभिलंब $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ के समानुपाती है, जिसका क्षैतिज भाग नति-दिशा $\alpha$ की ओर इंगित करता है। चूँकि $\vec n$ इस अभिलंब का धनात्मक गुणज है, $(n_x, n_y)$ भी नति-दिशा की ओर इंगित करता है। ∎

विधि 4.9 (तीन-बिंदु समस्या)

तीन बोरहोलों में मिले (या तीन बहिर्भागों पर देखे गए) एक संपर्क का अभिविन्यास ज्ञात करने के लिए:

हर बोरहोल के लिए संपर्क का उन्नयन लीजिए: ज़मीन का उन्नयन घटा वह गहराई जिस पर संपर्क मिला;
तीन बिंदुओं $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ को मीटर में लिखिए, $x$ पूर्व, $y$ उत्तर;
$\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ परिकलित कीजिए और $n_z$ को धनात्मक बनाइए;
प्रमेय 4.8 लगाइए; अभिविन्यास को नति-दिशा/नति के रूप में दीजिए और, यदि पूछा जाए, दाएँ-हाथ के नियम से स्ट्राइक।

कागज़ पर वही समस्या संरचना समोच्चों से हल होती है: सबसे ऊँचे और सबसे नीचे बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर, अनुपात से, तीसरे बिंदु के उन्नयन वाला बिंदु खोजिए; इन दो समान-उन्नयन बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा एक स्ट्राइक रेखा है; नति दो समांतर स्ट्राइक रेखाओं के बीच के उन्नयन-अंतर और उनकी दूरी से निकलती है।

उदाहरण 4.10 (वार्डन अपनति की पूर्वी भुजा)

तीन बोरहोल, E1 $(4000, 6000)$ पर, E2 $(4600, 7200)$ पर और E3 $(5100, 6400)$ पर (मीटर में मानचित्र के दक्षिण-पश्चिम कोने से पूर्व और उत्तर), चूना-पत्थर के आधार को उन्नयनों $174$ , $4$ और $-74\,\mathrm{m}$ पर पाते हैं। तब $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ; उनका सदिश गुणनफल $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ है, जो नीचे की ओर इंगित करता है, अतः

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

अतः $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ , और नति-दिशा $(229\,600, 38\,200)$ का दिगंश है, $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : अभिविन्यास $081/12$ है, दाएँ-हाथ के नियम से स्ट्राइक $351{}^{\circ}$ । चूना-पत्थर का आधार हल्का पूर्व-उत्तर-पूर्व की ओर झुकता है।

4.3 बहिर्भाग के प्रारूप

प्रतिज्ञप्ति 4.11 (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर संपर्क)

एक क्षैतिज संपर्क का अनुरेख उसकी ऊँचाई की समोच्च रेखा का अनुसरण करता है। एक ऊर्ध्वाधर संपर्क का अनुरेख मानचित्र पर एक सीधी रेखा है, उच्चावच चाहे जैसा हो।

उपपत्ति. $c(x,y) = z_0$ के लिए अनुरेख $g(x,y) = z_0$ , यानी समोच्च $z_0$ है (प्रतिज्ञप्ति 4.3)। एक ऊर्ध्वाधर समतल उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी क्षैतिज स्थिति एक सीधी रेखा पर है, किसी भी उन्नयन पर; मानचित्र पर उसका अनुरेख वही रेखा है। ∎

प्रमेय 4.12 (V-नियम)

एक समतल संपर्क एक ऐसी घाटी को काटता है जिसका तल प्रवाह की दिशा में प्रवणता $s > 0$ से नीचे उतरता है। मान लीजिए $a$ संपर्क की प्रवाह की दिशा में प्रकट नति की स्पर्शज्या है ( $a > 0$ यदि वह प्रवाह की दिशा में झुकता है, $a < 0$ यदि वह प्रवाह के विपरीत झुकता है, $a = 0$ यदि क्षैतिज है)। तब बहिर्भाग का अनुरेख एक V बनाता है जिसका शीर्ष घाटी के तल पर है, और

यदि $a > s$ तो V प्रवाह की ओर इंगित करता है: संपर्क प्रवाह की दिशा में इतनी तीखी नति से झुकता है जितनी तीखी घाटी का तल नीचे उतरता है;
यदि $a < s$ तो V प्रवाह के विपरीत इंगित करता है: संपर्क क्षैतिज है, प्रवाह के विपरीत झुकता है, या प्रवाह की दिशा में तल से कम तीखी नति से झुकता है।

एक ऊर्ध्वाधर संपर्क कोई V नहीं बनाता।

उपपत्ति. मान लीजिए $\xi$ घाटी के तल के अनुदिश प्रवाह की दिशा में मापी गई दूरी है। तल उन्नयन $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ पर है; घाटी के अनुदिश ऊर्ध्वाधर काट में संपर्क $z_c(\xi) = c - a\xi$ पर है। तल पर अनुरेख वहाँ है जहाँ $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{तल}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

घाटी के एक किनारे पर, जो तल से $h > 0$ ऊँचा है और घाटी के स्रोत से उसी दूरी पर है, ज़मीन $z_0 - s\xi + h$ पर है, अतः अनुरेख वहाँ है जहाँ $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{किनारा}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{तल}} - \xi_{\text{किनारा}} = \frac{h}{a - s}.

यदि $a > s$ , तो अनुरेख तल पर किनारों की तुलना में अधिक प्रवाह की ओर स्थित है: V प्रवाह की ओर इंगित करता है। यदि $a < s$ , तो उल्टा। एक ऊर्ध्वाधर संपर्क तल और किनारों को एक ही $\xi$ पर काटता है। ∎

V-नियम का परिकलित रूप। हर पैनल में एक नदी (नीला तीर) घाटी के नीचे उत्तर की ओर बहती है, जिसकी समोच्च रेखाएँ (हर 10\, m पर) ऊपर की ओर, यानी प्रवाह के विपरीत, इंगित करती हैं; पूर्व-पश्चिम स्ट्राइक वाला एक संपर्क लाल रंग में अनुरेखित है। क्षैतिज होने पर वह समोच्च रेखाओं का अनुसरण करता है; प्रवाह के विपरीत झुकने पर, या प्रवाह की दिशा में तल से कम तीखी नति से झुकने पर, वह प्रवाह के विपरीत इंगित करता V बनाता है; प्रवाह की दिशा में तल से अधिक तीखी नति (यहाँ 10) से झुकने पर, प्रवाह की ओर इंगित करता V। एक ऊर्ध्वाधर संपर्क सीधा आर-पार जाता। — V-नियम का परिकलित रूप। हर पैनल में एक नदी (नीला तीर) घाटी के नीचे उत्तर की ओर बहती है, जिसकी समोच्च रेखाएँ (हर $10\,\mathrm{m}$ पर) ऊपर की ओर, यानी प्रवाह के विपरीत, इंगित करती हैं; पूर्व-पश्चिम स्ट्राइक वाला एक संपर्क लाल रंग में अनुरेखित है। क्षैतिज होने पर वह समोच्च रेखाओं का अनुसरण करता है; प्रवाह के विपरीत झुकने पर, या प्रवाह की दिशा में तल से कम तीखी नति से झुकने पर, वह प्रवाह के विपरीत इंगित करता V बनाता है; प्रवाह की दिशा में तल से अधिक तीखी नति (यहाँ $10{}^{\circ}$ ) से झुकने पर, प्रवाह की ओर इंगित करता V। एक ऊर्ध्वाधर संपर्क सीधा आर-पार जाता।

टिप्पणी 4.13 (बहिर्भाग की चौड़ाई)

एक इकाई के बहिर्भाग की चौड़ाई उसकी मोटाई, उसकी नति और ज़मीन की ढलान पर निर्भर करती है: एक पतली परत जो ढलान की उसी दिशा में झुकती है, एक विस्तृत क्षेत्र में बहिर्भाग बना सकती है। मोटाई एक मानचित्र और एक अनुप्रस्थ काट से अध्याय 5 में परिकलित की जाती है।

4.4 मानचित्र पर वलन, भ्रंश, अंतर्वेधन और असंगतियाँ

परिभाषा 4.14 (अपनति और अभिनति)

एक वलन एक बार समतल रही परतों का मोड़ है। एक अपनति ऐसा वलन है जिसकी परतें ऊपर की ओर उत्तल हैं (ऊर्ध्व वलन); एक अभिनति ऐसा वलन है जिसकी परतें ऊपर की ओर अवतल हैं (अधोमुखी वलन)। वलन के दो पार्श्व उसकी भुजाएँ हैं; उसका वलन-अक्ष वह रेखा है जिसके अनुदिश परतें सबसे अधिक मुड़ती हैं, और अक्ष जब क्षैतिज न हो तो नमन करता है। वलन-अक्ष जैसी रेखा उसके क्षैतिज प्रक्षेप का दिगंश, जो नीचे की दिशा में लिया जाता है, और उसके नमन, वह कोण जो वह क्षैतिज से बनाती है, से स्थित की जाती है (अध्याय 6)। त्रि-विमीय में वलन की ज्यामिति अध्याय 17 का विषय है।

प्रतिज्ञप्ति 4.15 (वलन के प्रारूप)

अपरदित वलित परतों के एक मानचित्र पर, एक अपनति अपने क्रोड में सबसे पुरानी इकाइयाँ और दोनों ओर बाहर की ओर छोटी इकाइयाँ दिखाती है; एक अभिनति अपने क्रोड में सबसे नई इकाई दिखाती है। यदि वलन-अक्ष नमन करता है, तो बहिर्भाग वलन के चारों ओर बंद हो जाते हैं: अपनति का बंद होना नमन की दिशा में इंगित करता है, और अभिनति का उसके विपरीत।

आंशिक उपपत्ति. एक अपनति में परतें अक्ष की ओर उठती हैं, अतः एक लगभग समतल अपरदन सतह वहाँ क्रम में सबसे गहरा काटती है और उसकी सबसे पुरानी, सबसे निचली इकाइयाँ उजागर करती है; एक अभिनति में सबसे नई इकाइयाँ क्रोड में, सबसे नीचे संरक्षित रहती हैं। यदि अक्ष नमन करता है, तो अपनति का एक संपर्क विचार कीजिए: वह एक मेहराब है जिसका शिखर नमन के अनुदिश नीचे उतरता है। जहाँ शिखर ज़मीन के ऊपर है, ज़मीन मेहराब को दो भुजाओं के साथ काटती है; जहाँ शिखर ज़मीन के नीचे से गुज़रता है, संपर्क अब सतह तक नहीं पहुँचता। अनुरेख की दो भुजाएँ इसलिए उस बिंदु के चारों ओर जुड़ जाती हैं जहाँ शिखर ज़मीन से मिलता है, और वह बंद होना नमन की दिशा में है। एक अभिनति एक द्रोणी है जिसका तल विपरीत दिशा में उठता है, इसलिए उसका बंद होना नमन के विरुद्ध इंगित करता है। तर्क मानता है कि उच्चावच अक्ष के उतार की तुलना में मंद है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 4.16 (भ्रंश, अंतर्वेधन और असंगतियाँ)

एक मानचित्र पर:

एक भ्रंश उन संपर्कों को बाधित और विस्थापित करता है जिन्हें वह आरपार काटता है; जो खंड नीचे खिसका, उस पर नई इकाइयाँ पुरानी इकाइयों के सामने सतह पर आती हैं; एक झुके भ्रंश का अनुरेख किसी भी समतल की तरह V-नियम का पालन करता है;
एक प्लूटॉन या एक डाइक उन चट्टानों के संपर्कों को आरपार काटता है जिनमें वह अंतर्विष्ट है, और उनसे नई है;
एक असंगति पर, पुरानी चट्टानों के संपर्क नई चट्टानों के आधार के साथ कट जाते हैं, और नई चट्टानें बारी-बारी से कई पुरानी इकाइयों पर टिक सकती हैं।

विधि 4.17 (मानचित्र से इतिहास पढ़ना)

इकाइयों को आयु के क्रम में सूचीबद्ध कीजिए, संकेत-सूची और अध्यारोपण से।
पता कीजिए कि क्या किसे काटता है: भ्रंश, अंतर्वेधन, असंगतियाँ; हर एक, जिसे वह काटता है उससे नया है, और जो उसे सील करता है उससे पुराना है।
वलन और उनके अक्ष खोजिए; एक वलन उस सबसे नई इकाई से नया है जिसे वह मोड़ता है।
घटनाएँ क्रम में लिखिए, हर एक के साथ मानचित्र पर उसका प्रमाण।

उदाहरण 4.18 (वार्डन पहाड़ियों का इतिहास)

वार्डन पहाड़ियों के मानचित्र पर: शिस्ट सबसे पुरानी इकाई है; ग्रेनाइट उसे काटता है, इसलिए वह नया है; बलुआ पत्थर दोनों पर टिकता है और ग्रेनाइट की रूपरेखा को काट देता है: एक असंगति, एक लंबे अपरदन के बाद। बलुआ पत्थर, चूना-पत्थर, शेल और खड़िया बिना किसी विराम के एक-दूसरे के बाद आते हैं और एक साथ एक अपनति (क्रोड में बलुआ पत्थर और आधार, लगभग $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर) और एक अभिनति (क्रोड में खड़िया, मानचित्र के केंद्र के पूर्व में) में मुड़ जाते हैं: वलन खड़िया के निक्षेपण के बाद आया। भ्रंश मुड़े संपर्कों को विस्थापित करता है: वह वलन से नया है। अंत में नदी गहरी कट गई है और उसने अपना जलोढ़ फैलाया है, जिसे कोई भ्रंश नहीं तोड़ता।

क्षेत्र-कार्य — अभिविन्यास मापना

एक साफ़ शय्या-तल पर भूवैज्ञानिक कंपास-क्लिनोमीटर का किनारा क्षैतिज रखता है और कंपास पर स्ट्राइक पढ़ता है, फिर उसे सबसे खड़ी ढलान पर रखकर क्लिनोमीटर पर नति पढ़ता है। हर मापन उसकी स्थिति के साथ नोटबुक में लिखा जाता है और एक साथ मानचित्र पर अंकित किया जाता है, ताकि एक असंगत पाठ तब दिख जाए जब बहिर्भाग अब भी हाथ में हो। आज स्थितियाँ उपग्रह रिसीवरों से आती हैं, मापन ऐसी टैबलेटों पर दर्ज होते हैं जो एक भौगोलिक सूचना प्रणाली चलाती हैं, और बहिर्भाग फ़ोटो में लेकर अंकीय उन्नयन मॉडलों पर रखे जाते हैं।

इतिहास — किसी देश का पहला भूवैज्ञानिक मानचित्र

सर्वेक्षक विलियम स्मिथ, जिसने इंग्लैंड में नहरें खोदीं और ज़मीन सुखाई, ने देखा कि शैल की हर परत अपने जीवाश्म लिए होती है, और यह क्रम हर जगह एक-सा है। परतों को पहचानने के लिए जीवाश्मों का उपयोग करके उसने उन्हें पंद्रह वर्षों से अधिक तक देश भर में अनुसरित किया। उसका मानचित्र, A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland, जिस पर 1 अगस्त 1815 की तिथि है, किसी पूरे देश का पहला भूवैज्ञानिक मानचित्र माना जाता है।

विलियम स्मिथ का 1815 का मानचित्र (सार्वजनिक क्षेत्र)।

4.5 अभ्यास

अभ्यास 4.1 ★

समतल का स्ट्राइक, नति और नति-दिशा परिभाषित कीजिए। एक शय्या का अभिविन्यास $135/40$ है: उसका स्ट्राइक दाएँ-हाथ के नियम से दीजिए और उसका मानचित्र-चिह्न बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 4.1.

स्ट्राइक: समतल की क्षैतिज रेखाओं का दिगंश; नति: समतल और क्षैतिज के बीच का कोण, जो स्ट्राइक के लंबवत मापा जाता है; नति-दिशा: सबसे खड़ी अधोमुखी रेखा का दिगंश। $135/40$ के लिए, दाएँ-हाथ के नियम से स्ट्राइक $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ है। चिह्न: एक स्ट्राइक रेखा जो उत्तर से $45{}^{\circ}$ पूर्व की ओर अभिमुख है, जिसके दक्षिण-पूर्वी भाग पर ( $135{}^{\circ}$ की ओर) एक निशान है, जिस पर 40 अंकित है।

अभ्यास 4.2 ★

अभिविन्यास $090/30$ वाले समतल का समीकरण लिखिए जो बिंदु $(0, 0, 500)$ से होकर जाता है, निर्देशांक मीटर में। वह $(1000, 0)$ और $(0, 1000)$ पर किस उन्नयन पर है?

हल

हल — अभ्यास 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ । $(1000, 0)$ पर: $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ । $(0, 1000)$ पर: $500\,\mathrm{m}$ , क्योंकि समतल अपनी उत्तर-दक्षिण स्ट्राइक के अनुदिश क्षैतिज है।

अभ्यास 4.3 ★

एक मानचित्र पर एक संपर्क का अनुरेख कई किलोमीटर की पहाड़ियों और घाटियों पर $350\,\mathrm{m}$ की समोच्च रेखा का ठीक अनुसरण करता है। संपर्क के बारे में आप क्या कह सकते हैं? और यदि उसका अनुरेख पहाड़ियों और घाटियों के आरपार एक सीधी रेखा हो?

हल

हल — अभ्यास 4.3.

$350\,\mathrm{m}$ की समोच्च रेखा का अनुसरण करने वाला अनुरेख एक क्षैतिज संपर्क है। पहाड़ियों और घाटियों के आरपार सीधी रेखा में चलने वाला अनुरेख एक ऊर्ध्वाधर संपर्क का है।

अभ्यास 4.4 ★

वार्डन पहाड़ियों के मानचित्र पर, नदी के किनारे वाली अपनति के क्रोड में कौन-सी इकाई बहिर्भाग बनाती है, और अभिनति के क्रोड में कौन-सी इकाई है? अध्यारोपण के सिद्धांत से समझाइए कि ऐसा क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 4.4.

नदी के किनारे अपनति के क्रोड में शिस्ट और ग्रेनाइट (बलुआ पत्थर के नीचे) हैं; अभिनति के क्रोड में खड़िया है। सबसे पुरानी इकाइयाँ अनुक्रम में सबसे नीचे रहती हैं: जहाँ परतें ऊपर की ओर मेहराब बनाती हैं और अपरदन उनमें सबसे गहरा काटता है, वहाँ सबसे पुरानी इकाइयाँ दिखती हैं; जहाँ वे झुकती हैं, वहाँ सबसे नई इकाइयाँ बीच में संरक्षित रहती हैं।

अभ्यास 4.5 ★★

एक संपर्क $300\,\mathrm{m}$ उन्नयन पर $(0, 0)$ पर, $300\,\mathrm{m}$ पर $(1000, 0)$ पर और $200\,\mathrm{m}$ पर $(0, 500)$ पर मिलता है (मीटर, $x$ पूर्व, $y$ उत्तर)। उसका स्ट्राइक, नति-दिशा और नति ज्ञात कीजिए, पहले संरचना समोच्चों पर तर्क करके, फिर प्रमेय 4.8 से।

हल

हल — अभ्यास 4.5.

पहले दो बिंदु समान उन्नयन पर हैं: रेखा $y = 0$ एक स्ट्राइक रेखा है, अतः स्ट्राइक पूर्व-पश्चिम है। संपर्क उत्तर की ओर $500\,\mathrm{m}$ पर $100\,\mathrm{m}$ नीचे है: वह उत्तर की ओर झुकता है, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ; नति-दिशा $000{}^{\circ}$ , दाएँ-हाथ के नियम से स्ट्राइक $270{}^{\circ}$ । प्रमेय से: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ , $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ , $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ , और $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ उत्तर की ओर इंगित करता है: वही परिणाम।

अभ्यास 4.6 ★★

एक घाटी का तल उत्तर की ओर $30\,\mathrm{m}$ प्रति km नीचे उतरता है। यदि एक संपर्क (क) क्षैतिज है; (ख) $20{}^{\circ}$ दक्षिण की ओर झुकता है; (ग) $1{}^{\circ}$ उत्तर की ओर झुकता है; (घ) $20{}^{\circ}$ उत्तर की ओर झुकता है, तो उसके बहिर्भाग का V किस ओर इंगित करता है? प्रमेय 4.12 से उचित ठहराइए।

हल

हल — अभ्यास 4.6.

दिशा प्रवाह में उत्तर है, $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ )। (क) $a = 0 < s$ : V प्रवाह के विपरीत (दक्षिण), समोच्चों के अनुदिश। (ख) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : V प्रवाह के विपरीत। (ग) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : V प्रवाह के विपरीत। (घ) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : V प्रवाह की ओर (उत्तर)।

अभ्यास 4.7 ★★

V-नियम की स्थिति में, एक संपर्क $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ ) के साथ प्रवाह की दिशा में झुकता है, और घाटी का तल $s = 0.03$ के साथ नीचे उतरता है। घाटी के एक किनारे का एक बिंदु तल से $80\,\mathrm{m}$ ऊँचा है। उस बिंदु पर अनुरेख शीर्ष के कितना ऊपर-प्रवाह में है?

हल

हल — अभ्यास 4.7.

$\xi_{\text{तल}} - \xi_{\text{किनारा}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : किनारे पर अनुरेख शीर्ष के लगभग $240\,\mathrm{m}$ प्रवाह के विपरीत है।

अभ्यास 4.8 ★★

वार्डन अपनति के बहिर्भाग उसके क्रोड के उत्तरी सिरे के चारों ओर बंद होते हैं। वलन-अक्ष किस दिशा में नमन करता है? क्या अभिनति के बहिर्भाग उत्तर की ओर बंद होंगे या दक्षिण की ओर?

हल

हल — अभ्यास 4.8.

अपनति का बंद होना नमन की दिशा में इंगित करता है: वलन-अक्ष उत्तर की ओर नमन करता है। उत्तर की ओर नमन करते वलन-अक्ष के साथ एक अभिनति के बहिर्भाग दक्षिण की ओर बंद होंगे।

अभ्यास 4.9 ★★

भूवैज्ञानिक मानचित्र पर, भ्रंश के अनुदिश, कौन-सी ओर सतह पर नई इकाइयाँ दिखाती है? कौन-सा खंड नीचे खिसका? भ्रंश-चिह्न से जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 4.9.

पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर की सतह पर नई इकाइयाँ (सामने की पुरानी इकाइयों के विपरीत खड़िया और शेल) हैं: वह खंड नीचे खिसका। भ्रंश-चिह्न के निशान उसी ओर हैं, अवनत ओर।

अभ्यास 4.10 ★★★

दिखाइए कि अभिविन्यास $(\alpha_1, \delta_1)$ और $(\alpha_2, \delta_2)$ वाले दो समतल एक ऐसी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं जो $\vec n_1 \times \vec n_2$ के समांतर है, जहाँ $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ । इसे समतलों $090/30$ और $270/30$ पर लागू कीजिए: वह रेखा क्या है, और दोनों समतल किस प्रकार का वलन बनाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 4.10.

एक रेखा जो दोनों समतलों में है, दोनों अभिलंबों के लंबवत है, अतः $\vec n_1 \times \vec n_2$ के समांतर है। $090/30$ के लिए: $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ; $270/30$ के लिए: $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ । तब $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : एक क्षैतिज उत्तर-दक्षिण रेखा। पहला समतल पूर्व की ओर झुकता है, दूसरा पश्चिम की ओर: वे रेखा से दूर झुकते हैं, जो क्षैतिज अक्ष वाले एक अपनति का शिखर है।

अभ्यास 4.11 ★★★

एक ऊर्ध्वाधर डाइक $045{}^{\circ}$ स्ट्राइक करता है और मूल-बिंदु पर, $0\,\mathrm{m}$ उन्नयन वाली घाटी के तल पर, बहिर्भाग बनाता है। $300\,\mathrm{m}$ की एक पहाड़ी पर उसका अनुरेख कहाँ हो सकता है? एक दूसरे डाइक का वही स्ट्राइक है, वह दक्षिण-पूर्व की ओर $60{}^{\circ}$ झुकता है और वह भी मूल-बिंदु पर बहिर्भाग बनाता है। $300\,\mathrm{m}$ की ज़मीन पर उसका अनुरेख मूल-बिंदु से कितनी दूर और किस दिशा में है, स्ट्राइक के लंबवत मापा गया?

हल

हल — अभ्यास 4.11.

ऊर्ध्वाधर डाइक का अनुरेख मूल-बिंदु से गुज़रने वाली $045{}^{\circ}$ दिशा की सीधी रेखा है, किसी भी उन्नयन पर; पहाड़ी पर वह उसी रेखा पर कहीं है। नत डाइक समतल $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ है, जहाँ $d$ मूल-बिंदु से गुज़रने वाली स्ट्राइक रेखा से क्षैतिज दूरी है, जो दक्षिण-पूर्व की ओर धनात्मक गिनी जाती है। $z = 300\,\mathrm{m}$ पर: $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : अनुरेख मूल-बिंदु से गुज़रने वाली स्ट्राइक रेखा से $173\,\mathrm{m}$ उत्तर-पश्चिम में है, नति के ऊपर-ढलान वाली ओर।

अभ्यास 4.12 ★★★

$100\,\mathrm{m}$ के ग्रिड वाले एक अंकीय उन्नयन मॉडल में, $(x, y)$ और $(x + 100, y)$ पर ज़मीन $420\,\mathrm{m}$ और $405\,\mathrm{m}$ पर है, और $(x, y + 100)$ पर $412\,\mathrm{m}$ पर। उस वर्ग-कोष्ठ में ज़मीन को एक समतल मानकर उसकी ढलान (डिग्री में) और वह दिगंश परिकलित कीजिए जिस ओर वह मुँह करती है (नीचे-ढलान की दिशा)।

हल

हल — अभ्यास 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

अतः ढलान $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ है। ज़मीन $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ के अनुदिश नीचे उतरती है, जिसका दिगंश $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ है: घन पूर्व-उत्तर-पूर्व की ओर मुँह करता है।

4.6 समस्या: वार्डन पहाड़ियों को हल करना

समस्या 4.1

सप्ताहांत समस्या — बोरहोलों और एक मानचित्र से वलन-अक्ष, भ्रंश और एक क्षेत्र के इतिहास तक

एक कंपनी, जो पेयजल के लिए वार्डन पहाड़ियों में बोरहोल खोद रही है, दर्ज करती है कि उसके बोरहोल चूना-पत्थर के आधार से कहाँ मिलते हैं; उसके भूवैज्ञानिक भ्रंश को भी वहाँ ढूँढते हैं जहाँ वह ज़मीन को पार करता है। निर्देशांक मानचित्र के दक्षिण-पश्चिम कोने से पूर्व और उत्तर में मीटरों में हैं; उन्नयन समुद्र तल से ऊपर मीटरों में हैं। भाग I मानचित्र के रंगीन भूवैज्ञानिक मानचित्र, अनुभाग 4.1, का उपयोग करता है।

भाग I — मानचित्र पढ़ना।

क्षेत्र की इकाइयाँ सबसे पुरानी से सबसे नई तक सूचीबद्ध कीजिए।
नदी पश्चिम से पूर्व की ओर किन इकाइयों को काटती है?
$x = 3.5\,\mathrm{km}$ के पास वलन के क्रोड में कौन-सी इकाई है? वह किस प्रकार का वलन है?
$x = 7.5\,\mathrm{km}$ के पास वलन के क्रोड में कौन-सी इकाई है? वह किस प्रकार का वलन है?
शिस्ट और ग्रेनाइट पहले वलन के क्रोड में, केवल नदी के पास क्यों दिखते हैं?
बलुआ पत्थर को ग्रेनाइट से कौन-सा संपर्क अलग करता है? मानचित्र से उचित ठहराइए।

बोरहोल (चूना-पत्थर के आधार तक गहराई $d$ और ज़मीन का उन्नयन $z_g$ ) और वे तीन बिंदु F1–F3 जहाँ भ्रंश आधार-चट्टान के शीर्ष को पार करता है (F2, घाटी में, पतली जलोढ़ के नीचे है, जिसे भ्रंश नहीं काटता):

	पूर्व	उत्तर	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	पूर्व	उत्तर	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

भाग II — पूर्वी भुजा।

E1, E2 और E3 में चूना-पत्थर के आधार का उन्नयन परिकलित कीजिए।
सदिश $\overrightarrow{E_1E_2}$ और $\overrightarrow{E_1E_3}$ लिखिए।
उनका सदिश गुणनफल परिकलित कीजिए और उसे ऊपर की ओर अभिमुख कीजिए।
पूर्वी भुजा पर चूना-पत्थर के आधार की नति निकालिए।
उसकी नति-दिशा निकालिए, फिर दाएँ-हाथ के नियम से उसका स्ट्राइक।
क्या परिणाम मानचित्र पर पूर्वी भुजा के स्ट्राइक-और-नति चिह्न से सुसंगत है?

भाग III — वलन।

W1, W2 और W3 में चूना-पत्थर के आधार के उन्नयन परिकलित कीजिए।
पश्चिमी भुजा पर चूना-पत्थर के आधार का एक ऊर्ध्वमुखी अभिलंब $\vec n_W$ परिकलित कीजिए।
पश्चिमी भुजा का अभिविन्यास निकालिए।
दो भुजाओं के प्रतिच्छेद की एक दिशा, वलन-अक्ष, $\vec n_E \times \vec n_W$ के रूप में परिकलित कीजिए (जहाँ $\vec n_E$ प्रश्न 9 से है)।
वलन-अक्ष की दिशा (उसके क्षैतिज प्रक्षेप का दिगंश, नीचे की ओर लिया गया) और नमन (क्षैतिज के नीचे उसका कोण) दीजिए।
आधार का बलुआ पत्थर नदी के पार होने वाले स्थान पर $y = 4\,\mathrm{km}$ के पास, अक्ष पर $230\,\mathrm{m}$ पर है। $8\,\mathrm{km}$ और उत्तर में अक्ष पर वह कितना नीचे है? क्या यह भाग I के प्रश्न 3 और बहिर्भागों के बंद होने से सुसंगत है?

भाग IV — भ्रंश और इतिहास।

F1, F2 और F3 से भ्रंश का अभिविन्यास परिकलित कीजिए।
भ्रंश के अनुदिश, पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर की सतह पर इकाइयाँ अपने सामने की इकाइयों से नई हैं। कौन-सा खंड नीचे खिसका? क्या भ्रंश सामान्य है या उत्क्रम?
F1 से F3 तक की सीधी रेखा F2 से लगभग $200\,\mathrm{m}$ पश्चिम से गुज़रती है। भ्रंश का अनुरेख नदी घाटी को पार करते समय, F2 पर, पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर क्यों मुड़ता है?
क्रम में लिखिए: वलन; खड़िया का निक्षेपण; भ्रंशन; ग्रेनाइट का अंतर्वेधन; बलुआ पत्थर से पहले का अपरदन; जलोढ़ का निक्षेपण।
खड़िया 90 मिलियन वर्ष पुरानी है और वलित है; जलोढ़ अंतिम 2.58 मिलियन वर्षों में बिछी और भ्रंशित नहीं है। वलन और भ्रंशन किन आयुओं के बीच हुए?
F1 के नीचे समुद्र तल से $1000\,\mathrm{m}$ नीचे के भ्रंश तक पहुँचने के लिए F1 से कितनी दूरी पर और किस दिशा में एक ऊर्ध्वाधर कुआँ खोदना होगा?

हल

हल — समस्या 4.1.

1. शिस्ट, ग्रेनाइट, बलुआ पत्थर, चूना-पत्थर, शेल, खड़िया, जलोढ़।

2. पश्चिम से पूर्व: खड़िया और शेल, चूना-पत्थर, फिर बलुआ पत्थर, फिर $x = 3.5\,\mathrm{km}$ के पास शिस्ट और ग्रेनाइट, फिर बलुआ पत्थर, चूना-पत्थर और शेल फिर, फिर खड़िया; पूरे तल पर जलोढ़।

3. बलुआ पत्थर, जिसके नीचे नदी के किनारे शिस्ट और ग्रेनाइट हैं: क्रोड में सबसे पुरानी इकाइयाँ, एक अपनति।

4. खड़िया, सबसे नई इकाई: एक अभिनति।

5. बलुआ पत्थर का आधार अपनति के अक्ष पर सबसे ऊँचा है, और केवल नदी के किनारे अपरदन ने उसके नीचे काटा है।

6. एक असंगति: बलुआ पत्थर दो भिन्न पुरानी इकाइयों, शिस्ट और ग्रेनाइट, पर टिकता है, और ग्रेनाइट की रूपरेखा काट देता है।

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ ।

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ ।

9. सदिश गुणनफल है

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

ऊपर की ओर अभिमुख, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ ।

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ।

11. $(229\,600, 38\,200)$ का दिगंश: $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ; अभिविन्यास $081/12$ , स्ट्राइक $\approx 351{}^{\circ}$ ।

12. हाँ: पूर्वी भुजा के चिह्न की स्ट्राइक रेखा लगभग उत्तर-दक्षिण है और नति-निशान पूर्व की ओर है, जिस पर 12 अंकित है।

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ ।

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ और $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ । उनका सदिश गुणनफल, ऊपर की ओर अभिमुख, है

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ; नति-दिशा: $(-370\,200, 60\,800)$ का दिगंश, $\approx 279.3{}^{\circ}$ । अभिविन्यास $279/12$ , स्ट्राइक $\approx 189{}^{\circ}$ : पश्चिमी भुजा पश्चिम-उत्तर-पश्चिम की ओर झुकती है, पूर्वी भुजा पूर्व-उत्तर-पूर्व की ओर।

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (पूर्णांकित)।

17. नीचे की दिशा $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ है: दिशा $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ , यानी उत्तर; नमन $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ । वलन-अक्ष उत्तर की ओर $2{}^{\circ}$ नमन करता है।

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ नीचे, लगभग $-50\,\mathrm{m}$ के निकट। अपनति का क्रोड नदी के पास सबसे ऊँचा है और उत्तर की ओर धँसता है, इसलिए उसका बहिर्भाग उत्तर की ओर बंद होता है, जैसा मानचित्र दिखाता है।

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ और $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ ऊपर का अभिलंब देते हैं

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

और नति-दिशा $\approx 120{}^{\circ}$ । अभिविन्यास $120/60$ , स्ट्राइक $030{}^{\circ}$ ।

20. भ्रंश पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर झुकता है, इसलिए वह ओर लटकती दीवार है, वह खंड जो झुके भ्रंश-तल के ऊपर है; वह नीचे खिसका (सतह पर नई इकाइयाँ): एक सामान्य भ्रंश।

21. भ्रंश-तल पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर झुकता है, प्रवाह की दिशा में, और नदी के तल के उतार से कहीं अधिक तीखी नति से: निचली ज़मीन तल को नति की दिशा में और नीचे मिलती है, इसलिए अनुरेख घाटी में पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर मुड़ता है — भ्रंश-तल पर V-नियम।

22. ग्रेनाइट का अंतर्वेधन; बलुआ पत्थर से पहले का अपरदन; खड़िया का निक्षेपण; वलन; भ्रंशन; जलोढ़ का निक्षेपण।

23. 90 करोड़ वर्ष पहले के बाद (खड़िया वलित है) और 2.58 मिलियन वर्ष पहले से पहले (जलोढ़ भ्रंशित नहीं है); वलन पहले आया, भ्रंशन उसके बाद।

24. भ्रंश F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) से $-1000\,\mathrm{m}$ तक $1405\,\mathrm{m}$ नीचे जाता है; $60{}^{\circ}$ की नति पर इसके लिए नीचे-ढलान की ओर क्षैतिज दूरी $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ चाहिए। कुआँ F1 से लगभग $810\,\mathrm{m}$ पूर्व-दक्षिण-पूर्व में (दिगंश $120{}^{\circ}$ ) खोदा जाना चाहिए।

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