14सक्रिय किनारे

11 मार्च 2011 को, स्थानीय समय 14:46 बजे, उत्तर-पूर्वी जापान के तट से दूर प्लेट-सीमा खाई के साथ लगभग $400\,\mathrm{km}$ पर और उसकी नति के नीचे $150\,\mathrm{km}$ तक टूट गई। भ्रंश 50 से $60\,\mathrm{m}$ तक सरका, अधिकांश भाग अधिकेंद्र के नति की ओर ऊपर, जापान खाई की दिशा में; ज़मीन पर तट क्षैतिज रूप से खिसका और धँस गया। वहाँ धँसने वाली प्लेट, प्रशांत प्लेट, जापान के नीचे एक ऐसे तल के अनुदिश नीचे जाती है जिसे भूकंप सैकड़ों किलोमीटर नीचे तक रेखांकित करते हैं; और जहाँ वह तल लगभग सौ किलोमीटर गहराई पर है, वहाँ ज्वालामुखियों की एक पंक्ति तट के समांतर चलती है। यह अध्याय ऐसे किनारे को उसके आकार, गुरुत्व, ऊष्मा-प्रवाह और, सबसे बढ़कर, उसके भूकंपों से पढ़ता है।

पहले से ज्ञात

महासागरीय स्थलमंडल खाइयों और भूकंपों के झुके क्षेत्रों से चिह्नित निमज्जन-क्षेत्रों पर प्रावार में वापस धँसता है, और पुराना स्थलमंडल अपने ही भार से धँसता है (पुस्तक 2, कक्षा 11); धँसती प्लेट का पानी उसके ऊपर के प्रावार का गलन-तापमान घटाता है (पुस्तक 2, कक्षा 12)। ऊष्मा एक दूरी $L$ पर लगभग $L^2/\kappa$ के क्रम के समय में विसरित होती है (अध्याय 10); घनत्व $\rho$ और मोटाई $h$ की एक अनंत पट्टी $2\pi G\rho h$ से आकर्षित करती है (अध्याय 11); प्लेटें यूलर ध्रुवों के परितः घूमती हैं (अध्याय 12); महासागर-तल का ऊष्मा-प्रवाह उसकी आयु के व्युत्क्रम वर्गमूल से गिरता है (अध्याय 13)।

14.1 एक सक्रिय किनारे की शारीरिक रचना

परिभाषा 14.1 (सक्रिय किनारा, महासागरीय खाई, फ़ोरआर्क, बैक-आर्क द्रोणी)

एक सक्रिय किनारा एक अभिसारी प्लेट-सीमा है जिस पर महासागरीय स्थलमंडल दूसरी प्लेट के नीचे धँसता है, या तो एक महाद्वीप के नीचे या दूसरी महासागरीय प्लेट के नीचे। एक महासागरीय खाई समुद्र-तल का लंबा, संकरा, V-आकार का अवनमन है जिसके अनुदिश धँसती प्लेट दूसरी के नीचे मुड़ती है। फ़ोरआर्क ऊपरी प्लेट का वह भाग है जो खाई और ज्वालामुखियों की पंक्ति के बीच है। एक बैक-आर्क द्रोणी ज्वालामुखियों के पीछे, खाई से दूर की ओर, एक द्रोणी है जहाँ ऊपरी प्लेट खिंचती है और नई महासागरीय भूपर्पटी बन सकती है।

खाइयाँ महासागरों की सबसे गहरी जगहें हैं, और सबसे गहरी चैलेंजर डीप है, मारियाना खाई में। कुरील खाई के आर-पार तल अतल मैदान पर लगभग $5200\,\mathrm{m}$ से अक्ष पर $8700\,\mathrm{m}$ तक गिरता है, लगभग $3.5\,\mathrm{km}$ नीचे, और खाई केवल दसियों किलोमीटर चौड़ी है (चित्र अनुभाग 14.2 में)। पृथ्वी के अभिसारी किनारे कुल मिलाकर लगभग $55\,000\,\mathrm{km}$ मापते हैं; प्लेट-सीमाओं के एक अंकीय प्रतिरूप में निमज्जन-सीमाएँ लगभग $51\,000\,\mathrm{km}$ जुड़ती हैं, जबकि प्रसारी कटक लगभग $67\,000\,\mathrm{km}$।

खाई के समुद्री ओर प्लेट धँसने से पहले थोड़ा उठती है, एक चौड़े, नीचे बाहरी उभार में। वहाँ प्लेट मुड़ी है, और उसका ऊपरी भाग खिंचा है: बाहरी उभारों पर सामान्य भ्रंशन के भूकंप आते हैं। बाहरी उभार की चौड़ाई एक प्रत्यास्थ प्लेट के मोड़ से मेल खाती है; स्थलमंडल का यह मोड़ पुस्तक 5 में पढ़ा जाता है। खाई स्वयं वह जगह है जहाँ सघन धँसती प्लेट का भार उसके अग्र किनारे को नीचे खींचता है।

परिभाषा 14.2 (निमज्जित स्लैब)

निमज्जित स्लैब धँसती प्लेट का वह भाग है जो पहले ही प्रावार में नीचे जा चुका है: महासागरीय स्थलमंडल की एक चादर, अपनी भूपर्पटी ऊपर, खाई से लेकर कई सौ किलोमीटर गहराई तक ऊपरी प्लेट के नीचे झुकी हुई।

ऊपरी प्लेट खाई के समांतर पट्टियों में कटी है (नीचे का चित्र): फ़ोरआर्क, जिसके सामने प्रायः खुरची गई अवसादों का ढेर और पीछे एक अवसादी द्रोणी होती है; ज्वालामुखी चाप; और कुछ चापों के पीछे, एक बैक-आर्क द्रोणी और उसके परे एक पुराना, विलुप्त चाप। स्लैब और ऊपरी प्लेट के बीच प्रावार का एक पच्चर है, जो स्लैब के शीर्ष के साथ नीचे खींचा जाता है।

इसी डिजिटल प्रतिरूप पर, हर वर्ष लगभग $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ महासागर-तल निमज्जन-सीमाओं से नीचे जाता है, कटकों पर बने $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ के निकट (अध्याय 13)। ऐसे प्रतिरूप की परिशुद्धता के भीतर, जो प्लेट-सीमा क्षेत्रों के धीमे विरूपण को छोड़ देता है, महासागर-तल उतनी ही तेज़ी से नष्ट होता है जितनी तेज़ी से बनता है, और पृथ्वी की सतह अपना आकार बनाए रखती है।

14.2 गुरुत्व और ऊष्मा-प्रवाह

फ़ेलिक्स वेनिंग मायनेज़ ने खाइयों के किनारे ऋणात्मक गुरुत्व विसंगतियों की लंबी, संकरी पेटियाँ पाईं (अध्याय 11)। उपग्रह उन्हें अब हर जगह समुद्र में मानचित्रित करते हैं। कुरील खाई के आर-पार (नीचे का चित्र) मुक्त-वायु विसंगति बाहरी उभार पर लगभग $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ तक उठती है, खाई पर $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ तक गिरती है, और फ़ोरआर्क और चाप के द्वीपों पर फिर प्रबल रूप से धनात्मक है।

खाई की विसंगति का आकार बताता है कि खाई कैसे टिकी है। मान लीजिए खाई, अपने चारों ओर के तल से $3.5\,\mathrm{km}$ गहरी, बिल्कुल प्रतिपूरित नहीं है: जहाँ खाई है, घनत्व लगभग $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ की $3.5\,\mathrm{km}$ चट्टान समुद्री पानी से बदल दी गई है। बूगेर पट्टी (प्रतिज्ञप्ति 11.9) द्वारा वहाँ गुरुत्व इतना कम होगा

उस मात्रा का प्रेक्षित निम्न के बराबर आकार है। खाई इसलिए समस्थैतिक साम्य में नहीं है: वह एक दबाया गया अवनमन है, मुड़ी प्लेट की मज़बूती और स्लैब के खिंचाव से, नीचे के प्रावार की उत्प्लावकता के विरुद्ध टिका हुआ। (दसियों किलोमीटर चौड़ी खाई एक अनंत स्लैब से कम आकर्षित करती है, इसलिए उसमें अकेला पानी इससे कुछ कम देता है; शेष कमी गहरे है, जहाँ पूरी मुड़ी प्लेट, उसकी हल्की भूपर्पटी सहित, प्रावार में दबाई जाती है: अभ्यास 14.1)।

ऊष्मा-प्रवाह वही कहानी दूसरी ओर से बताता है। पुराना महासागर-तल जो एक खाई तक आता है, थोड़ी ऊष्मा खोता है: $122\,\mathrm{Myr}$ पुरानी कुरील प्लेट के लिए अध्याय 13 के नियम से लगभग $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$। फ़ोरआर्क के ऊपर प्रवाह और भी कम है: उसके नीचे का ठंडा स्लैब ऊपर से ऊष्मा लेता है, और फ़ोरआर्क के नीचे का प्रावार ठंडा और स्थिर है। चाप और बैक-आर्क के ऊपर वह ऊँचा है, औसतन 70 से $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, महाद्वीपों के पुराने आंतरिक भागों के प्रवाह (लगभग $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) का दोगुना। एक सक्रिय ज्वालामुखी चाप को लगभग $100\,\mathrm{km}$ नीचे लगभग $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर एक प्रावार-पच्चर चाहिए; उसके पीछे पूरा बैक-आर्क गरम है, केवल 50 से $60\,\mathrm{km}$ मोटे स्थलमंडल के साथ और उसका मोहो 800 से $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर।

स्लैब ठंडा क्यों रहता है? वह उससे तेज़ धँसता है जितनी तेज़ी से वह गरम हो सकता है। अनुभाग 14.3 का कुरील स्लैब लगभग $82\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष पर प्रवेश करता है और $45{}^{\circ}$ पर झुकता है: वह $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$ के पथ के बाद, लगभग दस मिलियन वर्षों में, $600\,\mathrm{km}$ तक पहुँचता है। चालन के समय-पैमाने (प्रतिज्ञप्ति 10.12) से, प्रावार की ऊष्मा $100\,\mathrm{km}$ मोटे स्लैब के मध्य तक $50\,\mathrm{km}$ पार करने में

लगभग आठ गुना अधिक समय लगता है। स्लैब का केंद्र $600\,\mathrm{km}$ पर लगभग उतना ही ठंडा पहुँचता है जितना खाई पर था, और समतापीय रेखाएँ उसके साथ नीचे खिंचती हैं, जैसा ऊपर सबडक्शन क्षेत्र का परिच्छेद दिखाता है।

14.3 भूकंप और स्लैब का आकार

परिभाषा 14.3 (वादाती–बेनीऑफ़ क्षेत्र)

एक वादाती–बेनीऑफ़ क्षेत्र भूकंपों का झुका क्षेत्र है जो एक खाई के निकट शुरू होता है और ऊपरी प्लेट के नीचे गहरा होता है, लगभग $700\,\mathrm{km}$ तक: वह धँसते स्लैब की रूपरेखा बनाता है।

उसके भूकंप दो प्रकार के हैं। कुछ दसियों किलोमीटर तक वे प्लेट-सीमा पर ही होते हैं, वह मंद रूप से झुका दोष जिसके अनुदिश दोनों प्लेटें एक-दूसरे को सरकाती हैं; पृथ्वी के सबसे बड़े भूकंप, जैसे 2011 का जापान के तट से दूर वाला, इसी दोष को तोड़ते हैं। गहरे भूकंप स्लैब के भीतर होते हैं, जो अकेला अब भी तनाव संचित करने के लिए पर्याप्त ठंडा है। सबसे गहरी गहराइयों पर स्लैब को भी टूटने के बजाय बहना चाहिए, और गहरे भूकंप कितनी गहराई से शुरू होते हैं, यह अब भी विवादित है। सूची का सबसे गहरा भूकंप, परिमाण 4.2, 2004 में वानुआतु क्षेत्र के नीचे $735.8\,\mathrm{km}$ पर आया। हर जाँचे गए निमज्जन-क्षेत्र में, मध्यवर्ती गहराइयों पर क्षेत्र दोहरा है: भूकंपों की दो परतें, पुरानी प्लेटों में एक-दूसरे से अधिक दूर।

कुरील द्वीप, होक्काइडो और कामचटका के बीच, एक ऐसे स्लैब के ऊपर बैठे हैं जिसे भूकंप खाई से लेकर $600\,\mathrm{km}$ से अधिक तक रेखांकित करते हैं। वहाँ प्रशांत प्लेट, जो खाई तक पहुँचने पर लगभग 120 मिलियन वर्ष पुरानी है, ओखोत्स्क प्लेट के नीचे धँसती है (नीचे का मानचित्र)। 1976 से परिमाण 5 या अधिक के भूकंप स्लैब को मानचित्र में खींचते हैं: उथले खाई के साथ, मध्यवर्ती द्वीपों के नीचे, गहरे ओखोत्स्क सागर के नीचे। 24 मई 2013 को परिमाण 8.3 का भूकंप ओखोत्स्क सागर के नीचे $598\,\mathrm{km}$ पर आया, उसी स्लैब में और उत्तर में; वह मॉस्को तक, लगभग $6400\,\mathrm{km}$ दूर, महसूस किया गया।

परिच्छेद में स्लैब देखने के लिए, खाई से शुरू होने वाली और उसके लंबवत ऊपरी प्लेट की ओर चलने वाली एक रेखा के $150\,\mathrm{km}$ के भीतर के भूकंप रखिए, और हर एक को रेखा के अनुदिश उसकी दूरी $x$ और उसकी गहराई $z$ पर अंकित कीजिए (नीचे का चित्र)। बिंदु एक पट्टी बनाते हैं; वह सीधी रेखा जो उसका सबसे अच्छा अनुसरण करती है, न्यूनतम वर्गों से पाई जाती है।

विधि 14.4 (न्यूनतम वर्गों से स्लैब फ़िट करना)

$n$ भूकंप, स्लैब के भीतर $(x_i, z_i)$ पर, दिए गए हैं:

1. माध्य $\bar x = \frac1n\sum x_i$ और $\bar z = \frac1n\sum z_i$ परिकलित कीजिए;
2. $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ और $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$ परिकलित कीजिए;
3. स्लैब की रेखा $z = a + s x$ है, जहाँ $s = S_{xz}/S_{xx}$ और $a = \bar z - s\bar x$; उसकी नति $\delta = \arctan s$ है।

यह रेखा निम्न ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम करती है, $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$, $a$ और $s$ का एक द्विघात फलन, जो वहाँ सबसे छोटा है जहाँ दोनों आंशिक अवकलज शून्य हों। $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ से $\bar z = a + s\bar x$ मिलता है: रेखा बिंदुओं के केंद्र से होकर जाती है। $a = \bar z - s\bar x$ रखने पर, $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$; चूँकि $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$ है, यह है $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, अर्थात् $S_{xz} = s S_{xx}$।

मध्य कुरील द्वीपों के नीचे पट्टी में 599 भूकंप हैं, जिनमें से 121 $70\,\mathrm{km}$ से गहरे हैं, स्लैब के भीतर। उथले कम उपयोगी हैं: वे प्लेट-सीमा और मुड़ती प्लेट को मिलाते हैं, और 478 में से 147 एक ही गोल गहराई $33\,\mathrm{km}$ पर सूचीबद्ध हैं। गहरे 121 यह देते हैं:

$44.9{}^{\circ}$ की नति, लगभग $45{}^{\circ}$, पट्टी के सबसे गहरे भूकंप, $632\,\mathrm{km}$, तक। रेखा खाई से होकर नहीं जाती: वह खाई से $53\,\mathrm{km}$ भू-ओर सतह तक पहुँचती है। स्लैब सीधा नहीं है: वह खाई को एक नरम नति पर छोड़ता है और फ़ोरआर्क के नीचे तीखा होता है, जैसा रेखा के ऊपर के उथले भूकंप दिखाते हैं।

एक ठंडी स्लैब आसपास के प्रावार से सघन है, और उसका भार उसके पीछे की प्लेट को खींचता है: यह पुस्तक 2, कक्षा 11 का स्लैब-पुल है। उसका आकार महासागर-तल की गहराई से निकलता है।

प्रतिज्ञप्ति 14.5 (स्लैब का अतिरिक्त भार)

गहराई–आयु नियम की परिकल्पनाओं के अंतर्गत (प्रमेय 13.7), आयु $A$ की एक प्लेट प्रति एकाई क्षेत्रफल अतिरिक्त द्रव्यमान रखती है

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

$T_m$ पर प्रावार के ऊपर। इस प्लेट का एक स्लैब, लंबाई $L$ का, उसकी नति $\delta$ के अनुदिश, और अभी तक गरम न हुआ, खाई की प्रति इकाई लंबाई पर अतिरिक्त भार $F = g\,m\,L$ रखता है, जिसमें से $F\sin\delta$ स्लैब के अनुदिश कार्य करता है।

महासागर-तल इसलिए अपना अतिरिक्त द्रव्यमान तौलता है: कटक के नीचे धँसे हर मीटर के लिए प्रति वर्ग मीटर $2300\,\mathrm{kg}$ अतिरिक्त। कुरील प्लेट, $122\,\mathrm{Myr}$ पुरानी, के लिए अर्ध-अंतरिक्ष नियम ($C = 393$), जो इतने पुराने तल के लिए धँसाव को कुछ अधिक आँकता है (अध्याय 13), देता है $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ और $m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, हर वर्ग मीटर पर दस हज़ार टन। सबसे गहरे भूकंप, $632\,\mathrm{km}$, तक स्लैब की लंबाई $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ है, अतः

उसमें से $6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ स्लैब के अनुदिश कार्य करता है। यह एक ऊपरी सीमा है: स्लैब अपने फलकों पर गरम होता है, और उसके भार का बड़ा भाग उस चिपचिपे प्रावार द्वारा वहन होता है जिसे वह किनारे धकेलता है, न कि सतह पर प्लेट को दिया जाता। फिर भी, 1970 के दशक में सभी प्लेटों की चालक बलों के विश्लेषणों से, धँसते स्थलमंडल का अतिरिक्त घनत्व उन प्लेटों को चलाने वाली अधिकांश शक्ति देता माना जाता है।

14.4 संचयी और अपरदनी किनारे

धँसती प्लेट अपने अवसाद खाई तक लाती है। कुछ खुरच दिए जाते हैं और रह जाते हैं; अन्य स्लैब के साथ नीचे जाते हैं, और स्लैब ऊपरी प्लेट से चट्टान भी साथ ले जा सकता है।

परिभाषा 14.6 (संचयी प्रिज़्म, विवर्तनिक अपरदन)

एक संचयी प्रिज़्म अवसादों का एक पच्चर है, जिसमें महासागरीय भूपर्पटी के टुकड़े हैं, जो धँसती प्लेट से खुरचे जाकर खाई पर ऊपरी प्लेट के अग्र भाग में जोड़े जाते हैं। विवर्तनिक अपरदन धँसती प्लेट द्वारा ऊपरी प्लेट से चट्टान का हटाया जाना है, जो उसे नीचे ले जाती है: ऊपरी प्लेट के अग्र भाग से, या उसकी भूपर्पटी के आधार से।

एक प्रिज़्म दो प्रकार से बढ़ता है। उसके अग्र भाग पर, अवसाद धँसती प्लेट से बुलडोज़र की तरह हटाए जाते हैं और खाई से दूर नति वाले टुकड़ों के रूप में ढेर किए जाते हैं; सबसे युवा टुकड़े सबसे बाहरी हैं, और पीछे के पुराने ऊपर उठकर और तीखे हो जाते हैं। उसके आधार पर, प्लेट-सीमा के साथ नीचे लाए गए अवसाद उसके निचले भाग से चिपक जाते हैं, एक वृद्धि जिसे अधो-परतन कहते हैं। कैलिफ़ोर्निया की फ़्रांसिस्कन चट्टानें एक पुराना प्रिज़्म हैं, जिसके अधो-परतित भाग अब एक कतरित आधार में खंडों का अव्यवस्थित मिश्रण हैं, मेलांज़। एक प्रिज़्म, बुलडोज़र से धकेले गए रेत के ढेर की तरह, एक स्थिर ढलान बनाए रखता है: जब उसकी सतह और आधार के बीच का कोण एक क्रांतिक मान तक पहुँच जाता है, तब वह केवल अपनी ही बड़ी प्रति के रूप में बढ़ता है (अभ्यास 14.11)।

कोई किनारा प्रिज़्म बनाता है या चट्टान खोता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कितना अवसाद खाई तक पहुँचता है और अभिसरण की गति कितनी है। संचयी किनारे, जैसे कैस्केडिया, एल्यूशियन और दक्षिणी पेरू–चिली खाई, प्रचुर पाते हैं। अपरदनी किनारे, जैसे उत्तरी पेरू–चिली खाई, टोंगा–केरमाडेक या मारियाना, थोड़ा पाते हैं, और धँसती प्लेट उनके अग्र भाग पर और उनकी भूपर्पटी के आधार पर कुतरती है। अपरदन वहाँ प्रबल होता है जहाँ प्लेटें लगभग $6\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष से तेज़ अभिसरण करती हैं और अवसाद का आवरण $1\,\mathrm{km}$ से पतला है; संचय वहाँ जहाँ अभिसरण धीमा है या खाई का अवसाद $1\,\mathrm{km}$ से मोटा।

14.5 ज्वालामुखी चाप और बैक-आर्क द्रोणियाँ

परिभाषा 14.7 (ज्वालामुखी चाप, चाप–खाई अंतराल)

एक ज्वालामुखी चाप एक निमज्जन-क्षेत्र की ऊपरी प्लेट पर ज्वालामुखियों की एक पेटी है, खाई के समांतर और धँसती प्लेट की ओर उत्तल, स्लैब के ऊपर के प्रावार-पच्चर से मैग्मा द्वारा पोषित। चाप–खाई अंतराल खाई और ज्वालामुखी अग्र, खाई के सबसे निकट ज्वालामुखियों की रेखा, के बीच की क्षैतिज दूरी है।

चाप के ज्वालामुखी वहाँ खड़े होते हैं जहाँ स्लैब का शीर्ष औसतन लगभग $105\,\mathrm{km}$ गहरा है, हालाँकि विभिन्न चापों के नीचे गहराई, $500\,\mathrm{km}$ लंबे खंडों पर औसत निकाली गई, 72 से $173\,\mathrm{km}$ तक है। मैग्मा वहाँ बनता है जहाँ स्लैब से छोड़ा गया पानी, जब उसके जलयोजित खनिज टूटते हैं, पच्चर के गरम प्रावार का गलन-तापमान घटाता है (पुस्तक 2, कक्षा 12; चापों के मैग्मा पुस्तक 4 में पढ़े जाते हैं)। मध्य कुरील द्वीपों के नीचे ज्वालामुखी अग्र खाई से $164\,\mathrm{km}$ पर है, जहाँ कुरील स्लैब की रेखा $111\,\mathrm{km}$ गहरी है।

प्रतिज्ञप्ति 14.8 (चाप–खाई अंतराल)

मान लीजिए स्लैब का शीर्ष खाई से $\delta_1$ पर गहराई $z_1$ तक झुकता है, फिर उसके नीचे $\delta_2$ पर, और ज्वालामुखी अग्र उस स्थान के ऊपर है जहाँ स्लैब का शीर्ष गहराई $H > z_1$ पर है। तब चाप–खाई अंतराल है

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

समान नति $\delta$ वाले स्लैब के लिए, $g = H/\tan\delta$। दिए $z_1$, $H$ और $\delta_1$ के लिए, नति $\delta_2$ जितनी नरम होगी, अंतराल उतना चौड़ा होगा।

$45{}^{\circ}$ का स्लैब, जिसके ऊपर ज्वालामुखी $111\,\mathrm{km}$ हों, अग्र को खाई से $111\,\mathrm{km}$ पर रखता यदि वह सीधा होता; कुरील अग्र $164\,\mathrm{km}$ पर है क्योंकि स्लैब फ़ोरआर्क के नीचे अधिक नरम झुकता है (अभ्यास 14.6)।

चाप वक्राकार हैं, और उनकी वक्रता गोले से निकलती है। जो प्लेट प्रावार में नीचे जाती है उसे बिना खिंचे मुड़ना होगा, क्योंकि दसियों किलोमीटर मोटी प्लेट दसियों प्रतिशत नहीं खिंच सकती। गोले पर यह तय करता है कि मुड़ी प्लेट कैसी दिख सकती है।

प्रतिज्ञप्ति 14.9 (एक मुड़ा गोलीय कवच)

गोले के एक कैप को, कोणीय त्रिज्या $\rho$ के एक लघुवृत्त से कटा, उस वृत्त के तल में परावर्तित कीजिए। परावर्तित कैप का आकार और माप मूल जैसे ही हैं, अतः सतह बिना खिंचे मुड़ती है; और वृत्त के अनुदिश वह कोण $\theta = 2\rho$ से मुड़ती है। एक प्लेट जो ऐसी मोड़ के अनुदिश नति $\theta$ पर धँसती है, कोणीय त्रिज्या $\theta/2$ के एक लघुवृत्त के अनुदिश बिना खिंचे ऐसा कर सकती है।

कुरील स्लैब $45{}^{\circ}$ की नति पर झुकता है, अतः प्रस्ताव कोणीय त्रिज्या लगभग $22.5{}^{\circ}$ के एक चाप की भविष्यवाणी करता है। खाई के PB2002 स्थान, होक्काइडो से दक्षिणी कामचटका तक, $21.9{}^{\circ}$ त्रिज्या के एक लघुवृत्त से सबसे अच्छी तरह फ़िट होते हैं, जिसका केंद्र लगभग $58.9{}^{\circ}$ N, $123.8{}^{\circ}$ E पर, पूर्वी साइबेरिया में है, ऊपरी प्लेट की ओर। मेल यहाँ निकट है, पर प्रतिरूप मोटा है: उसी खाई का केवल मध्य भाग $18.1{}^{\circ}$ देता है। विचार चार्ल्स फ़्रैंक का है, 1968 में: कुरील–कामचटका, एल्यूशियन और सुमात्रा–जावा चाप, लगभग $45{}^{\circ}$ नति वाले स्लैबों के ऊपर, सबकी त्रिज्या लगभग $20{}^{\circ}$ है, उनकी खाइयों तक मापी गई लगभग $22{}^{\circ}$।

आर्क के नीचे की भूपर्पटी छोटा होने और ऊपर से जोड़े गए मैग्मा दोनों से मोटी है; आंडीज़ जैसे महाद्वीपों पर बने चापों के नीचे वह पृथ्वी की सबसे मोटी भूपर्पटियों में से है।

कुछ चापों के पीछे ऊपरी प्लेट खींची जाती है। डैन कैरिग ने 1971 में पश्चिमी प्रशांत की इन सीमांत द्रोणियों को प्लेट विवर्तनिकी के भीतर समझाया: जब स्लैब तीखा धँसता है और पीछे लौटता है, तो खाई और चाप धँसती प्लेट की ओर खिसकते हैं, और उनके पीछे की प्लेट तब तक खिंचती है जब तक वह टूट न जाए, कभी दूसरी ओर एक विलुप्त अवशेष चाप छोड़ते हुए। ऊपर प्रयुक्त प्लेट प्रतिरूप में, बैक-आर्क प्रसार लगभग $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर मारियाना ट्रफ़ में $18{}^{\circ}$ N के निकट चलता है, और टोंगा के पीछे लाउ द्रोणी के उत्तर में $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से अधिक पर। जहाँ स्लैब उथला है, इसके विपरीत, वह ऊपरी प्लेट को खींचता है, जिसकी भूपर्पटी चाप के पीछे छोटी और मोटी होती है, जैसे आंडीज़ के पीछे।

क्षेत्र-कार्य — सुनामी चेतावनी

एक सुनामी चेतावनी केंद्र के पास मिनट होते हैं। 2011 में उत्तर-पूर्वी जापान के तट के लिए पहली चेतावनी भूकंप के लगभग तीन मिनट बाद आई, छोटी-अवधि की भूकंपीय तरंगों पर आधारित परिमाण से; परिमाण 8 या उससे अधिक के भूकंपों के लिए ऐसा परिमाण कम आँका जाता है, और सुनामी की ऊँचाई भी कम आँकी गई। आघूर्ण परिमाण, जो संतृप्त नहीं होता, लगभग पंद्रह मिनट में आया: जापान के चौड़े-बैंड भूकंपमापी अपनी सीमा से परे धकेले गए थे। 2013 से, जब इतने बड़े भूकंप का आकार अनिश्चित हो, पहली चेतावनी वहाँ संभव सबसे बड़ा भूकंप मानती है और सुनामी को संख्या के बजाय शब्दों में वर्णित करती है, जैसे “विशाल”, और पूर्वानुमान समुद्र के अपने तट-दूर मापों पर आधारित होते हैं: उपग्रह से स्थित बॉय और समुद्र-तल के दबाव-गेज, जो लहर को तट तक पहुँचने से पहले देखते हैं।

14.6 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

एक खाई उसके चारों ओर के समुद्र-तल से $3\,\mathrm{km}$ नीचे है। (क) यदि वह प्रतिपूरित नहीं होती, तो $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व के समुद्री पानी से बदले गए, $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व के अनुपस्थित चट्टान, वहाँ गुरुत्व को कितना कम करते? बूगेर पट्टी का प्रयोग कीजिए, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ के साथ। (ख) कुरील खाई पर प्रेक्षित विसंगति, लगभग $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, से तुलना कीजिए, जहाँ खाई अपने चारों ओर के तल से $3.5\,\mathrm{km}$ नीचे है: उस गहराई के लिए परिकलन दोहराइए। (ग) दसियों किलोमीटर चौड़ी खाई में पानी स्लैब सूत्र से कम क्यों देता है, और कमी का शेष भाग कहाँ होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 14.1.

(क) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$: गुरुत्व लगभग $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ कम होता। (ख) $3.5\,\mathrm{km}$ के लिए, $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, यानी $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: यह प्रेक्षित न्यूनता के आकार का है, अतः खाई समस्थैतिक साम्य से बहुत दूर रोकी गई है। (ग) स्लैब का सूत्र मान लेता है कि लुप्त चट्टान हर ओर अनंत तक फैली है; केवल दसियों किलोमीटर चौड़ी खाई बिंदु के आसपास बहुत कम द्रव्यमान हटाती है, अतः अकेला उसका पानी $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ से कम देता है। शेष न्यूनता गहराई में है: समूची प्लेट खाई के नीचे मुड़ती है, और उसकी भूपर्पटी, जो प्रावार से हल्की है, अपने आधार पर प्रावार का स्थान लेती है।

अभ्यास 14.2 ★

पैसिफ़िक प्लेट कुरील खाई में $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर प्रवेश करती है। (क) 10 मिलियन वर्षों में कितनी प्लेट नीचे जाती है? (ख) यदि स्लैब $45{}^{\circ}$ नति वाले एक सीधे पथ के अनुदिश धँसे, तो उसका अग्रणी किनारा तब कितना गहरा होगा? (ग) $600\,\mathrm{km}$ तक पहुँचने में कितना समय लगता है?

हल

हल — अभ्यास 14.2.

(क) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, अतः $10\,\mathrm{Myr}$ में $820\,\mathrm{km}$। (ख) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$। (ग) $600\,\mathrm{km}$ तक का पथ $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$ है, जो $849/82 = 10.3\,\mathrm{Myr}$ में तय होता है।

अभ्यास 14.3 ★

सीधा स्लैब जहाँ $110\,\mathrm{km}$ गहरा है, वहाँ के ऊपर ज्वालामुखी खड़े हैं। $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ और $60{}^{\circ}$ नति वाले स्लैब के लिए चाप–खाई अंतराल परिकलित कीजिए। कौन-सा चाप अपनी खाई से सबसे दूर है?

हल

हल — अभ्यास 14.3.

$g = 110/\tan\delta$: $30{}^{\circ}$ के लिए $191\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ के लिए $110\,\mathrm{km}$, $60{}^{\circ}$ के लिए $64\,\mathrm{km}$। मंद नति वाले स्लैब के ऊपर का चाप अपनी खाई से सबसे दूर पड़ता है।

अभ्यास 14.4 ★

अध्याय के अंकीय प्लेट प्रतिरूप में, हर वर्ष लगभग $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ महासागर-तल $51\,000\,\mathrm{km}$ के साथ निमज्जन-सीमाओं से नीचे जाता है, और लगभग $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ लगभग $67\,000\,\mathrm{km}$ प्रसारी कटकों पर बनता है। (क) माध्य अभिसरण-दर और माध्य पूर्ण प्रसार-दर, $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में परिकलित कीजिए। (ख) अपनी सभी सीमाओं पर प्रतिरूप उतना ही क्षेत्र नष्ट करता है जितना बनाता है। नए तल का बाकी भाग कहाँ जाता है?

हल

हल — अभ्यास 14.4.

(क) अभिसरण के लिए: $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, लगभग $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। प्रसार के लिए: $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, लगभग $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। एक छोटी कुल लंबाई पर सबडक्शन सीमाएँ महासागर-तल को कटक उसे बनाने से तेज़ नष्ट करती हैं, फिर भी कुल मिलाकर कम नष्ट करती हैं। (ख) शेष लगभग $0.3\,\mathrm{km}^{2}$ मॉडल की अन्य अभिसारी सीमाओं पर खप जाता है, जैसे महाद्वीपीय टकराव और महासागरों के भीतर के अभिसारी क्षेत्र, जहाँ प्लेटें नष्ट होने के बजाय सिकुड़ती हैं; और कटक ही अपसारी सीमाएँ नहीं हैं: महाद्वीपीय दरारें और कुछ रूपांतर भी थोड़े फैलते हैं।

अभ्यास 14.5 ★★

एक खंड के चार भूकंप $(x, z) = (200, 150)$, $(300, 250)$, $(400, 330)$ और $(500, 430)$ पर हैं, किलोमीटर में। (क) न्यूनतम वर्गों से स्लैब की रेखा फ़िट कीजिए और उसकी नति दीजिए। (ख) रेखा सतह तक कहाँ पहुँचती है? (ग) केवल पहले और अंतिम भूकंपों से होकर जाने वाली रेखा की नति से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.5.

(क) $\bar x = 350$, $\bar z = 290$; $x$ के विचलन $-150$, $-50$, $50$, $150$ हैं और $z$ के $-140$, $-40$, $40$, $140$, अतः $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ और $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$। तब $s = 0.92$, $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$, और नति $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$ है। (ख) $z = 0$ पर $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$, खाई से दूर। (ग) अंत-बिंदुओं से होकर ढलान $280/300 = 0.933$ है, नति $43.0{}^{\circ}$: निकट, पर वह चार भूकंपों में से केवल दो का प्रयोग करती है।

अभ्यास 14.6 ★★

एक प्रतिरूप स्लैब खाई से $50\,\mathrm{km}$ तक $25{}^{\circ}$ नति पर झुकता है, फिर $45{}^{\circ}$। ज्वालामुखी अग्र वहाँ है जहाँ स्लैब $110\,\mathrm{km}$ गहरा है। (क) चाप–खाई अंतराल परिकलित कीजिए। (ख) पूरे रास्ते $45{}^{\circ}$ नति वाले स्लैब से तुलना कीजिए। (ग) गहरा खंड, ऊपर की ओर बढ़ाया गया, सतह तक पहुँचता है: कहाँ? कुरील रेखा से तुलना कीजिए, जो उस तक खाई से $53\,\mathrm{km}$ भू-ओर पहुँचती है। (घ) $60{}^{\circ}$ के गहरे खंड से कौन-सा अंतराल मिलेगा?

हल

हल — अभ्यास 14.6.

(क) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$। (ख) पूरे रास्ते $45{}^{\circ}$ का स्लैब $110\,\mathrm{km}$ देता: मंद उथला खंड अंतर को $57\,\mathrm{km}$ चौड़ा कर देता है। (ग) गहरा खंड $z = 50 + (x - 107.2)$ है; वह $z = 0$ पर $x = 57.2\,\mathrm{km}$ तक पहुँचता है, खाई से भू-ओर, जैसा कुरील रेखा $53\,\mathrm{km}$ पर करती है: एक मंद उथला खंड कुरील विस्थापन की व्याख्या करता है। (घ) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$।

अभ्यास 14.7 ★★

(क) मुड़े-कवच प्रस्ताव के द्वारा, $45{}^{\circ}$ नति वाले स्लैब के ऊपर एक चाप की कौन-सी कोणीय त्रिज्या, और किलोमीटर में कौन-सी त्रिज्या ($R = 6371\,\mathrm{km}$), होनी चाहिए? $30{}^{\circ}$? $70{}^{\circ}$? (ख) कौन-से चाप सबसे कसकर मुड़े हैं? (ग) कुरील स्लैब $44.9{}^{\circ}$ नति पर झुकता है और कुरील खाई $21.9{}^{\circ}$ के एक वृत्त से फ़िट होती है: पूर्वानुमान से सापेक्ष अंतर परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.7.

(क) त्रिज्या नति का आधा है, और $r = R\,\theta$ जहाँ $\theta$ रेडियन में है: $45{}^{\circ}$ के लिए $22.5{}^{\circ}$ और $6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$; $30{}^{\circ}$ के लिए $15{}^{\circ}$ और $1668\,\mathrm{km}$; $70{}^{\circ}$ के लिए $35{}^{\circ}$ और $3892\,\mathrm{km}$। (ख) मंद नति वाले स्लैबों के ऊपर के चाप। (ग) पूर्वानुमान $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$ है; फ़िट, $21.9{}^{\circ}$, $0.55/22.45 = 2.4\,\%$ छोटा है।

अभ्यास 14.8 ★★

चालकता $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और सतह-तापमान $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ लीजिए। (क) $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ खोते फ़ोरआर्क के नीचे और $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ खोते बैक-आर्क के नीचे सतह तापमान प्रवणता परिकलित कीजिए। (ख) इन प्रवणताओं को रैखिक रूप से बढ़ाकर, हर एक में $30\,\mathrm{km}$ पर तापमान का अनुमान लगाइए। (ग) बैक-आर्क मोहो 800 से $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर मापे गए हैं। रैखिक अनुमान बहुत अधिक क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 14.8.

(क) $q/k$: $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ अग्र भाग के नीचे, $0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ बैक-आर्क के नीचे। (ख) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। (ग) सतह के ऊष्मा-प्रवाह का एक भाग भूपर्पटी के भीतर की रेडियोधर्मिता से आता है, अतः गहरे स्तरों से कम ऊष्मा गुज़रती है और प्रवणता गहराई के साथ घटती है: सतह की प्रवणता का रैखिक बहिर्वेशन गहराई पर तापमान को अधिक आँकता है।

अभ्यास 14.9 ★★

अध्याय के प्लेट प्रतिरूप में, मारियाना ट्रफ़ $18{}^{\circ}$ N के निकट लगभग $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की पूर्ण दर पर खुलता है। (क) इस दर को $\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ में व्यक्त कीजिए, और यदि प्रसार सममित हो तो अर्ध दर दीजिए। (ख) इस दर पर ट्रफ़ को $100\,\mathrm{km}$ खुलने में कितना समय लगेगा? (ग) दो कारण दीजिए कि किसी बैक-आर्क द्रोणी की आयु उसकी चौड़ाई और उसकी वर्तमान दर से सरलता से क्यों नहीं पढ़ी जा सकती।

हल

हल — अभ्यास 14.9.

(क) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ = $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$; अर्ध दर $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। (ख) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Myr}$। (ग) दर का स्थिर होना आवश्यक नहीं; चौड़ाई का कुछ भाग प्रसार आरंभ होने से पहले चाप के खिंचने और दरार पड़ने से आ सकता है; और अक्ष कूद गया हो सकता है या असममित रूप से फैला हो।

अभ्यास 14.10 ★★★

$100\,\mathrm{km}$ मोटा एक स्लैब $45{}^{\circ}$ नति वाले पथ के अनुदिश $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर धँसता है। $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ लीजिए। (क) $600\,\mathrm{km}$ तक पहुँचने में कितना समय लगता है? (ख) उस समय में ऊष्मा $\sqrt{\kappa t}$ से उसमें कितनी दूर विसरित होती है? (ग) ऊष्मा को उसके मध्य तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? (घ) $600\,\mathrm{km}$ पर स्लैब के तापमान और उसके भूकंपों के बारे में निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

(क) पथ $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$ है, जो $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ पर $10.3\,\mathrm{Myr}$ में तय होता है, अर्थात् $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$। (ख) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, लगभग $18\,\mathrm{km}$। (ग) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, लगभग $79\,\mathrm{Myr}$। (घ) ऊष्मा स्लैब के हर पार्श्व के केवल बाहरी $18\,\mathrm{km}$ तक पहुँची है: उसका केंद्र $600\,\mathrm{km}$ पर लगभग उतना ही ठंडा पहुँचता है जितना खाई से चला था, अपने आसपास के प्रावार से ठंडा और मज़बूत, और इसी कारण वह उस गहराई पर अब भी भूकंपों में टूट सकता है।

अभ्यास 14.11 ★★★

एक मॉडल संचयी प्रिज़्म का त्रिकोणीय काट है: उसकी सतह खाई की ओर $\alpha = 4{}^{\circ}$ पर ढलती है और उसका आधार उसके नीचे $\beta = 6{}^{\circ}$ पर झुकता है, दोनों उसके पैर पर मिलते हुए; वह बढ़ते हुए ये कोण बनाए रखता है। (क) दिखाइए कि उसका क्षेत्रफल $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ है, चौड़ाई $L$ के लिए, जब कोण इतने छोटे हों कि पिछली ओर की ऊँचाई $L(\tan\alpha + \tan\beta)$ हो। (ख) $1\,\mathrm{km}$ मोटा अवसाद $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर अभिसरित होती प्लेट पर पहुँचता है, और उसका सब कुछ संचित होता है: 1, 4 और 10 मिलियन वर्ष बाद चौड़ाई परिकलित कीजिए। $L$ समय के साथ कैसे बढ़ता है? (ग) यदि आधा अवसाद स्लैब के साथ नीचे चला जाए तो क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 14.11.

(क) पैर के पीछे दूरी $L$ पर सतह पैर के स्तर से $L\tan\alpha$ ऊपर खड़ी है और आधार उसके नीचे $L\tan\beta$ पर है: पश्च-भाग $L(\tan\alpha + \tan\beta)$ ऊँचा है, और त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$ है। (ख) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$। प्रिज़्म को $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ खंड मिलता है, अतः $A = 40t$ और $L = \sqrt{2A/0.175}$: $1\,\mathrm{Myr}$ के बाद $21.4\,\mathrm{km}$, $4\,\mathrm{Myr}$ के बाद $42.8\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{Myr}$ के बाद $67.6\,\mathrm{km}$। $L$ $\sqrt t$ के अनुसार बढ़ता है: चार गुना समय दोगुनी चौड़ाई देता है। (ग) $A$ आधा होने पर $L$ $\sqrt2$ से भाग देने पर घटता है: $15.1\,\mathrm{km}$, $30.2\,\mathrm{km}$ और $47.8\,\mathrm{km}$।

अभ्यास 14.12 ★★★

(क) दिखाइए कि न्यूनतम-वर्ग रेखा माध्य बिंदु $(\bar x, \bar z)$ से होकर जाती है। (ख) एक सूची हर गहराई को $10\,\mathrm{km}$ बहुत गहरा सूचीबद्ध करती है। फ़िट रेखा की ढलान और अंतःखंड कैसे बदलते हैं? (ग) दूरियाँ $x$ सभी एक खाई-बिंदु से मापी गई हैं जो $20\,\mathrm{km}$ बहुत भू-ओर रखा गया है, अतः हर $x$ $20\,\mathrm{km}$ बहुत छोटा है। ढलान और अंतःखंड कैसे बदलते हैं? (घ) क्या कोई त्रुटि नति बदलती है?

हल

हल — अभ्यास 14.12.

(क) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ देता है $n\bar z = na + sn\bar x$, अर्थात् $\bar z = a + s\bar x$। (ख) हर $z_i$ और $\bar z$ $10\,\mathrm{km}$ बढ़ते हैं, अतः विचलन $z_i - \bar z$ और $S_{xz}$ अपरिवर्तित हैं: ढलान वही है, और $a = \bar z - s\bar x$ $10\,\mathrm{km}$ बढ़ता है। (ग) विचलन $x_i - \bar x$ अपरिवर्तित हैं, अतः ढलान वही है; $\bar x$ 20 घटता है, अतः $a$ $20s$ बढ़ता है। (घ) कोई नहीं: नति केवल ढलान पर निर्भर करती है। सभी बिंदुओं में साझा त्रुटियाँ रेखा को हिलाती हैं, उसे घुमाती नहीं।

14.7 समस्या: एक निमज्जन-क्षेत्र को उसके भूकंपों से पढ़ना

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — आठ भूकंपों से कुरील स्लैब, वह कितनी तेज़ी से नीचे जाता है, उसका गुरुत्व और ऊष्मा-प्रवाह क्या कहते हैं, और उसके ज्वालामुखी कहाँ खड़े होने चाहिए

कुरील स्लैब के आठ भूकंप, सभी $70\,\mathrm{km}$ से गहरे, परिच्छेद रेखा के साथ खाई से उनकी दूरी $x$, ओखोत्स्क सागर की ओर, और उनकी गहराई $z$ से सूचीबद्ध हैं, दोनों किलोमीटर तक पूर्णांकित।

घटना	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
परिमाण	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

भाग I — स्लैब की रेखा।

1. सभी आठ भूकंपों को दोनों अक्षों पर एक ही पैमाने पर, गहराई नीचे की ओर, अंकित कीजिए।
2. $\sum x_i$, $\sum z_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i z_i$ और माध्य $\bar x$ और $\bar z$ परिकलित कीजिए।
3. $S_{xx}$ और $S_{xz}$ परिकलित कीजिए, फिर न्यूनतम-वर्ग रेखा की ढलान तीन दशमलव तक और उसका अंतःखंड एक दशमलव तक।
4. स्लैब की नति क्या है?
5. रेखा सतह तक कहाँ पहुँचती है? खाई के निकट स्लैब के आकार के बारे में यह क्या कहता है?
6. हर भूकंप का विचलन $z_i - (a + s x_i)$ परिकलित कीजिए। कौन-से रेखा से सबसे दूर हैं, और कितना दूर?

भाग II — स्लैब कितनी तेज़ी से नीचे जाता है। परिच्छेद के आरंभ पर PB2002 प्रतिरूप $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ का अभिसरण देता है: ओखोत्स्क प्लेट के सापेक्ष, पैसिफ़िक प्लेट दिगंश $300{}^{\circ}$ की ओर चलती है। परिच्छेद रेखा, खाई के लंबवत, दिगंश $320.9{}^{\circ}$ की ओर चलती है।

7. अभिसरण और परिच्छेद रेखा के बीच का कोण परिकलित कीजिए, फिर खाई के लंबवत और समांतर अभिसरण के घटक।
8. 10 मिलियन वर्षों में खाई से कितनी लंबाई की प्लेट नीचे जाती है?
9. प्रश्न 4 की नति का प्रयोग करते हुए ($45{}^{\circ}$ तक पूर्णांकित), स्लैब के शीर्ष के एक बिंदु को खाई से पट्टी के सबसे गहरे भूकंप, $632\,\mathrm{km}$, तक ले जाने में कितना समय लगता है? खाई के निकट की मंद नति की उपेक्षा कीजिए।
10. खाई पर प्लेट लगभग $122\,\mathrm{Myr}$ पुरानी है। अब $632\,\mathrm{km}$ गहरा समुद्र-तल कितना पुराना है?
11. $\sqrt{\kappa t}$ से, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ के साथ, उस अवतरण के दौरान ऊष्मा स्लैब में कितनी दूर विसरित हुई है? उसकी मोटाई, लगभग $100\,\mathrm{km}$, से तुलना कीजिए।

भाग III — गुरुत्व और ऊष्मा-प्रवाह। चालकता $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ लीजिए।

12. खाई के सामने का पुराना महासागर-तल लगभग $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ खोता है, बैक-आर्क लगभग $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$; फ़ोरआर्क के लिए $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ लीजिए। हर एक के सतह के निकट तापमान प्रवणता परिकलित कीजिए।
13. समझाइए कि फ़ोरआर्क सामने के पुराने महासागर-तल से कम ऊष्मा क्यों खोता है।
14. कुरील खाई पर मुक्त-वायु विसंगति लगभग $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है। कितनी चट्टान की मोटाई, जो पानी से $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ सघन है, एक बूगेर पट्टी को यह कमी देने के लिए चाहिए? उसकी तुलना उसके चारों ओर के तल से खाई की गहराई, लगभग $3.5\,\mathrm{km}$, से कीजिए।
15. अब मान लीजिए पूरी प्लेट $3.5\,\mathrm{km}$ नीचे धकेली गई है: पानी उसके शीर्ष पर चट्टान का स्थान लेता है, और उसकी भूपर्पटी उसके आधार पर प्रावार का स्थान लेती है, अतः, कुल मिलाकर, $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व का प्रावार पानी से बदल दिया जाता है। बूगेर स्लैब विसंगति परिकलित कीजिए। वास्तविक खाई, जो केवल दसियों किलोमीटर चौड़ी है, कम क्यों देती है?
16. खाई और बाहरी उभार समस्थैतिक साम्य में नहीं हैं। उन्हें उससे बाहर क्या रखता है?

भाग IV — ज्वालामुखी कहाँ खड़े होने चाहिए। प्रश्न 3 की रेखा का प्रयोग कीजिए, उसकी पूर्णांकित ढलान और अंतःखंड के साथ।

17. पट्टी का पहला ज्वालामुखी खाई से $164\,\mathrm{km}$ पर है। उसके नीचे स्लैब कितना गहरा है?
18. क्या यह गहराई चापों के नीचे पाई गई सीमा, 72 से $173\,\mathrm{km}$, के भीतर है? औसत, $105\,\mathrm{km}$, से यह कितनी दूर है?
19. खाई से किस दूरी पर स्लैब $100\,\mathrm{km}$ गहरा है?
20. मुड़े-कवच प्रस्ताव के द्वारा, कुरील चाप की कौन-सी कोणीय त्रिज्या, और किलोमीटर में कौन-सी त्रिज्या, होनी चाहिए?
21. कुरील खाई $21.9{}^{\circ}$ के एक लघुवृत्त से फ़िट होती है। तुलना कीजिए।
22. चाप के ज्वालामुखी औसतन वहाँ खड़े होते हैं जहाँ स्लैब लगभग $105\,\mathrm{km}$ गहरा है। खाई से किस दूरी पर स्लैब रेखा वह गहराई पहुँचती है?
23. इस दूरी की प्रेक्षित $164\,\mathrm{km}$ से तुलना कीजिए: कितने किलोमीटर और किस अंश से वह भिन्न है?
24. किलोमीटर के निकटतम, कुरील स्लैब रेखा किस चाप–खाई अंतराल का अनुमान लगाती है, $105\,\mathrm{km}$ पर स्लैब के ऊपर खड़े ज्वालामुखियों के लिए?

हल

हल — समस्या 14.1.

1. आठों बिंदु लगभग $45{}^{\circ}$ नति वाली एक सीधी रेखा के निकट पड़ते हैं, खाई से $155\,\mathrm{km}$ पर $96\,\mathrm{km}$ गहरे से लेकर $609\,\mathrm{km}$ पर $573\,\mathrm{km}$ गहरे तक।

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$।

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ और $S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$। तब $s = 206654/201022 = 1.028$ और $a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$: $z = -61.2 + 1.028\,x$।

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$।

5. खाई से भू-ओर $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ पर। उस नति पर खाई से निकला स्लैब वहाँ सतह तक पहुँचता; वह सतह तक खाई पर ही पहुँचता है, इसलिए वह खाई के निकट अधिक मंद नति से झुकता है और नीचे तीखा होता है।

6. विचलन $-2.1$, $2.0$, $-7.3$, $5.3$, $7.1$, $2.3$, $-15.0$ और $8.1$ $\mathrm{km}$ हैं। भूकंप 7 रेखा से $15\,\mathrm{km}$ ऊपर है, भूकंप 8 $8\,\mathrm{km}$ नीचे; बाक़ी लगभग $7\,\mathrm{km}$ के भीतर हैं, जो स्लैब की मोटाई का एक भाग है।

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$। खाई के लंबवत: $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; समांतर: $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। अभिसरण तिरछा है।

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ = $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$: $10\,\mathrm{Myr}$ में $816\,\mathrm{km}$।

9. पथ $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ है, जो $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Myr}$ में तय होता है।

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Myr}$।

11. $t = 10.95\,\mathrm{Myr} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ और $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, हर पार्श्व से लगभग $19\,\mathrm{km}$: $100\,\mathrm{km}$ मोटे स्लैब के मध्य की $50\,\mathrm{km}$ दूरी से बहुत कम, जिसका केंद्र अब भी ठंडा है।

12. $q/k$: पुराने महासागर-तल के नीचे $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, अग्र भाग के नीचे $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ और बैक-आर्क के नीचे $32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$।

13. अग्र भाग के नीचे ठंडा स्लैब केवल कुछ दसियों किलोमीटर नीचे है; वह अपने ऊपर की चट्टान से ऊष्मा लेता है, अतः सतह तक कम ऊष्मा पहुँचती है।

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$, लगभग $3.6\,\mathrm{km}$: उसके आसपास के तल से नीचे खाई की पूरी गहराई, लगभग $3.5\,\mathrm{km}$, जितना, या उससे कुछ अधिक। खाई से ऐसा द्रव्यमान गायब है जिसकी कोई क्षतिपूर्ति नहीं करता।

15. घनत्व अंतर $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, और $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, यानी $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। स्लैब का सूत्र लुप्त द्रव्यमान को किसी भी दूरी तक गिनता है; वास्तविक खाई केवल दसियों किलोमीटर चौड़ी पट्टी पर नीचे मुड़ी है, अतः उसकी न्यूनता छोटी है, लगभग $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, दोनों स्लैब-अनुमानों के बीच।

16. मुड़ती प्लेट की सामर्थ्य, जो खाई को नीचे और बाहरी उभार को ऊपर उसी तरह रोके रखती है जैसे एक प्रत्यास्थ प्लेट रखती, और सघन स्लैब का प्रावार में धँसने का खिंचाव।

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$।

18. हाँ: $107\,\mathrm{km}$, 72 और $173\,\mathrm{km}$ के बीच है, और औसत, $105\,\mathrm{km}$, से केवल लगभग $2\,\mathrm{km}$ गहरा है।

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$।

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$, और $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$।

21. फ़िट, $21.9{}^{\circ}$, $1.0{}^{\circ}$ छोटा है, लगभग $4\,\%$: मुड़ा कवच कुरील चाप की वक्रता को अच्छी तरह वर्णित करता है।

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$।

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$, प्रेक्षित चाप-मोर्चे से खाई के अधिक निकट, $2.3/164 = 1.4\,\%$: कुरील ज्वालामुखी ऐसे स्लैब के ऊपर खड़े हैं जो औसत से बहुत थोड़ा गहरा है, जैसा प्रश्न 18 में पाया गया।

24. निकटतम किलोमीटर तक, कुरील स्लैब रेखा $105\,\mathrm{km}$ पर स्लैब के ऊपर के ज्वालामुखियों के लिए चाप–खाई अंतराल का अनुमान $162\,\mathrm{km}$ लगाती है (प्रेक्षित: $164\,\mathrm{km}$)।