25रेडियोमेट्रिक आयु-निर्धारण की विधियाँ

2001 में पश्चिमी ऑस्ट्रेलिया की जैक हिल्स के डेट्राइटल ज़िरकॉन कणों पर काम करती एक टीम ने एक ऐसे कण की रिपोर्ट दी जो $4404 \pm 8$ दस लाख वर्ष पहले क्रिस्टलित हुआ था। बाद के काम ने इन कणों की आयु की पुष्टि की: वे पृथ्वी पर बने किसी भी प्रकार के ज्ञात सबसे पुराने पदार्थ हैं, और दिखाते हैं कि सौरमंडल के जन्म के लगभग 160 मिलियन वर्षों के भीतर एक परत बन चुकी थी। दूसरे छोर पर, आर्गन आयुओं ने क्रिटेशियस के अंत के विलोपन को $66.00\,\mathrm{Ma}$ पूर्व रखा है, उस प्रभाव के $32\,000$ वर्षों के भीतर जिसे उसका कारण माना जाता है। दोनों संख्याएँ परमाणुओं की गिनती से आती हैं: एक रेडियोधर्मी जनक जो ज्ञात दर से क्षय होता है, और एक संतति जो जमा होती है। यह अध्याय बताता है कि ऐसी घड़ियाँ कैसे पढ़ी जाती हैं, हर एक अलग घटना को क्यों आँकती है, और वे अध्याय 24 के चार्ट को वर्षों के पैमाने पर कैसे टाँगती हैं।

पहले से ज्ञात

भौतिकी खंड रेडियोधर्मी क्षय का वर्णन करते हैं: किसी रेडियोधर्मी समस्थानिक के नाभिक यादृच्छिक रूप से, तापमान और दाब से स्वतंत्र, क्षय होते हैं, इसलिए बचा हुआ $N$, समय $t$ के बाद, $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ के अनुसार घटता है, जहाँ $\lambda$ क्षय-स्थिरांक है; अर्ध-आयु $T = \ln 2/\lambda$ है। किसी तत्व के समस्थानिकों में प्रोटॉनों की संख्या समान और न्यूट्रॉनों की संख्या भिन्न होती है; रसायन-विज्ञान के खंड द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर का वर्णन करते हैं, जो आयनों को द्रव्यमान से छाँटता है। पुस्तक 2, कक्षा 12 में, वह चट्टान या खनिज जिसने अपने परिवेश के साथ कोई जनक या संतति परमाणु नहीं बदले, एक बंद तंत्र है, और वार्डेन ग्रेनाइट के खनिज, रूबिडियम–स्ट्रॉन्शियम समतापरेखा पर रखे गए, 310 मिलियन वर्ष की आयु दी। बायोटाइट, मस्कोवाइट और हॉर्नब्लेंड परिभाषा 7.10 के अभ्रक और एम्फ़ीबोल हैं। दो आँके गए स्तरों के बीच की आयु प्रक्षेपित की जा सकती है (प्रतिज्ञप्ति 24.8)।

25.1 क्षय-तंत्र

आयु-निर्धारण के लिए एक घड़ी को दो गिनतियाँ चाहिए: जनक में क्या बचा है, और घड़ी चलने से लेकर अब तक उसने कितनी संतति बनाई है।

परिभाषा 25.1 (जनक समस्थानिक, रेडियोजनित संतति)

आयु-निर्धारण में प्रयुक्त एक क्षय-तंत्र में जनक समस्थानिक वह रेडियोधर्मी समस्थानिक है जिसका क्षय घड़ी का काम करता है, और संतति वह समस्थानिक है जो उसके क्षय से बनता है। रेडियोजनित संतति, $D^*$ लिखी जाती है, संतति का वह भाग है जो नमूने के भीतर जनक के क्षय से तब बना जब से घड़ी चली; शेष, $D_0$, आरंभ से वहाँ था। आज मापी गई संतति के परमाणुओं की संख्या $D = D_0 + D^*$ है।

प्रतिज्ञप्ति 25.2 (रेडियोजनित वृद्धि और आयु-समीकरण)

एक बंद तंत्र में, जिसमें आज जनक के $P$ परमाणु हैं, समय $t$ में बनी रेडियोजनित संतति

$$D^* = P\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr),$$

यदि हर क्षय संतति का एक परमाणु देता है। तब आयु है

$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{D^*}{P}\right).$$

आयु केवल दो परमाणु-संख्याओं के अनुपात पर निर्भर करती है, जिसे द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर सबसे अच्छा मापता है। नीचे का चित्र दोनों गिनतियाँ अर्ध-आयु की इकाइयों में दिखाता है: एक अर्ध-आयु के बाद $D^*/P = 1$, दो के बाद $3$, तीन के बाद $7$ — सामान्यतः $2^n - 1$, $n$ अर्ध-आयुओं के बाद।

एक घड़ी आयुओं की एक खिड़की के भीतर ही ठीक पढ़ी जाती है। एक अर्ध-आयु से बहुत पहले संतति जनक का एक छोटा अंश है; कई अर्ध-आयुओं के बाद मापने के लिए बहुत कम जनक बचता है। नीचे की सारणी सबसे अधिक प्रयुक्त तंत्रों को, उन पदार्थों के साथ जिन पर हर एक लगाया जाता है, सूचीबद्ध करती है।

जनक	संतति	अर्ध-आयु (वर्ष)	$\lambda$ (प्रति वर्ष)	आयु-निर्धारित पदार्थ
$^{14}\mathrm{C}$	$^{14}\mathrm{N}$	$5700$	$1.216 \times 10^{-4}$	लकड़ी, कोयला, हड्डी, सीप
$^{40}\mathrm{K}$	$^{40}\mathrm{Ar}$, $^{40}\mathrm{Ca}$	$1.25 \times 10^{9}$	$5.543 \times 10^{-10}$	पोटैशियम-समृद्ध खनिज: सैनिडीन, बायोटाइट, हॉर्नब्लेंड
$^{87}\mathrm{Rb}$	$^{87}\mathrm{Sr}$	$4.96 \times 10^{10}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	ग्रेनाइट (संपूर्ण शैलें), अभ्रक
$^{147}\mathrm{Sm}$	$^{143}\mathrm{Nd}$	$1.07 \times 10^{11}$	$6.46 \times 10^{-12}$	शैलें और उनके खनिज (समतापरेखाएँ)
$^{235}\mathrm{U}$	$^{207}\mathrm{Pb}$	$7.04 \times 10^{8}$	$9.8485 \times 10^{-10}$	ज़िरकॉन
$^{238}\mathrm{U}$	$^{206}\mathrm{Pb}$	$4.47 \times 10^{9}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	ज़िरकॉन

दो प्रकार के संख्यात्मक मान एक ही नाभिकों के लिए प्रयोग में हैं, और एक आयु को बताना चाहिए कि उसने कौन सा उपयोग किया। परमाणु-आँकड़ों की तालिकाएँ पोटैशियम-40 की अर्ध-आयु $1.248 \times 10^{9}$ वर्ष देती हैं और उसके क्षयों का $10.72\,\%$ आर्गन की ओर भेजती हैं; भू-कालिकी में पारंपरिक रूप से प्रयुक्त स्थिरांक $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}$ प्रति वर्ष देते हैं (अर्ध-आयु $1.2505 \times 10^{9}$ वर्ष), और $0.581/5.543 = 10.48\,\%$ क्षयों को आर्गन की ओर भेजते हैं। रेडियोकार्बन आयुएँ, जैसा अनुभाग 25.3 समझाता है, $5568$ वर्ष की अर्ध-आयु से परिकलित होती हैं, जिसे बहुत छोटा जाना जाता है। अंतर कुछ प्रतिशत तक पहुँचते हैं, जो सर्वोत्तम आयुओं के $0.01\,\%$ से कहीं अधिक हैं (अनुभाग 25.5)। पोटैशियम-40 का अनिश्चित क्षय-स्थिरांक स्वयं, दो शाखाओं और लंबी अर्ध-आयु वाला नाभिक, उसकी आयुओं की सटीकता सीमित करता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.3 (आयु की सटीकता)

यदि अनुपात $R = D^*/P$ मानक अनिश्चितता $\sigma_R$ के साथ मापा जाए, तो आयु यह अनिश्चितता रखती है

$$\sigma_t = \frac{\sigma_R}{\lambda\,(1 + R)}.$$

युवा नमूने के लिए $R$ छोटा है और $\sigma_t \approx \sigma_R/\lambda$: आयु की निरपेक्ष त्रुटि इससे तय होती है कि थोड़ी संतति कितनी अच्छी मापी जा सकती है। लंबी अर्ध-आयु (छोटा $\lambda$) उसे बढ़ाती है। इसी लिए रूबिडियम–स्ट्रॉन्शियम और यूरेनियम–सीसा लगभग दस मिलियन वर्ष से पुरानी चट्टानों के लिए काम आते हैं, जबकि पोटैशियम–आर्गन लगभग दस हज़ार वर्ष तक की युवा चट्टानों तक पहुँचता है, और रेडियोकार्बन पिछले $70\,000$ वर्ष को ढकता है।

25.2 समतापरेखाएँ

आयु-समीकरण को $D^*$ चाहिए, पर यंत्र $D = D_0 + D^*$ मापता है, और $D_0$ शायद ही कभी शून्य है: स्ट्रॉन्शियम-87 हर उस खनिज में मौजूद है जिसने अपने बनते समय स्ट्रॉन्शियम लिया। समतापरेखा कई नमूनों को मापकर $D_0$ हटाती है, जो संतति तत्व के एक ही समस्थानिक-संघटन से आरंभ हुए थे।

परिभाषा 25.4 (समतापरेखा, आरंभिक अनुपात)

मान लीजिए $S$ संतति तत्व का एक स्थायी समस्थानिक है जिसे कोई क्षय उत्पन्न नहीं करता ($^{86}\mathrm{Sr}$ स्ट्रॉन्शियम के लिए, $^{144}\mathrm{Nd}$ नियोडिमियम के लिए)। एक समतापरेखा वह सीधी रेखा है जिस पर, $y = D/S$ बनाम $x = P/S$ के आलेख में, वे नमूने आलेखित होते हैं जो एक ही समय पर, एक ही $D/S$ मान के साथ बने और तब से बंद तंत्र रहे हैं। वह साझा आरंभिक मान $y_0 = (D/S)_0$ आरंभिक अनुपात है।

प्रमेय 25.5 (समतापरेखा)

वे नमूने जो एक ही समय पर, एक ही आरंभिक अनुपात $y_0$ के साथ बने, और समय $t$ के लिए बंद तंत्र रहे हैं, संतुष्ट करते हैं

$$y = y_0 + \bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr)\,x .$$

उनके बिंदु ढलान $m = e^{\lambda t} - 1$ और अंतःखंड $y_0$ की एक सीधी रेखा पर होते हैं, और $t = \ln(1+m)/\lambda$।

जब एक ग्रेनाइट क्रिस्टलित हुआ, तो उसके सभी नमूनों का $y_0$ एक ही था और वे एक क्षैतिज रेखा पर आलेखित होते; तब से हर एक अपने $x$ के अनुपात में ऊपर खिसका है, और रेखा अपने अंतःखंड के चारों ओर घूमी है। ढलान को अच्छी तरह परिभाषित करने के लिए नमूनों को भिन्न $x$ मान चाहिए: अधिक और कम रूबिडियम वाले खनिज, जैसा पुस्तक 2 में था, या एक ही अंतर्वेधन के अधिक और कम विकसित भागों से लिए गए संपूर्ण-शैल नमूने। रेखा से हटा बिंदु वह नमूना है जो बंद नहीं था, या जिसने आरंभिक अनुपात साझा नहीं किया। आरंभिक अनुपात स्वयं एक अनुरेखक है: मैंटल से आया मैग्मा एक निम्न $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ लेता है, लगभग $0.7025$, और पिघली महाद्वीपीय पपड़ी से बना एक उच्च, लगभग $0.710$, क्योंकि पपड़ी रूबिडियम से समृद्ध है और युगों में उसने अधिक स्ट्रॉन्शियम-87 बनाया है।

वास्तविक बिंदु कभी ठीक रेखा पर नहीं पड़ते। रेखा का सामान्य अनुमान वह है जो बिंदुओं की उससे ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों को यथासंभव छोटा बनाता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.6 (न्यूनतम-वर्ग रेखा)

मान लीजिए $(x_i, y_i)$, $i = 1, \dots, n$, कम से कम दो भिन्न $x_i$ वाले बिंदु हैं, जिनके माध्य $\bar x$ और $\bar y$ हैं, और मान लीजिए

$$S_{xx} = \sum_i (x_i - \bar x)^2, \qquad S_{xy} = \sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

वह रेखा $y = b + m x$ जो $Q(b, m) = \sum_i (y_i - b - m x_i)^2$ को न्यूनतम करती है, उसकी है

$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x ,$$

और केंद्रक $(\bar x, \bar y)$ से गुज़रती है।

बिंदुओं का रेखा के चारों ओर बिखराव ढलान की अनिश्चितता देता है। अवशेषों $r_i = y_i - b - m x_i$ के साथ, बिखराव का मानक विचलन $s = \sqrt{\sum_i r_i^2/(n-2)}$ है — दो प्राचल दो स्वतंत्रता-कोटियाँ लेते हैं — और ढलान तथा अंतःखंड की मानक अनिश्चितताएँ

ये सांख्यिकी के दो परिणाम यहाँ स्वीकार किए जाते हैं; तब आयु $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1 + m)\bigr)$ वहन करती है, प्रतिज्ञप्ति 25.3 के तर्क से। वे दिखाते हैं कि एक अच्छी समतापरेखा क्या बनाती है: बहुत से बिंदु, $x$ में व्यापक रूप से फैले (एक बड़ा $S_{xx}$), और थोड़े बिखराव के साथ।

विधि 25.7 (समतापरेखा का अनुरूपण)

1. एक ही पिंड के कम से कम चार नमूनों में $x = P/S$ और $y = D/S$ मापिए, जो $x$ को यथासंभव व्यापक रूप से फैलाने के लिए चुने गए हों।
2. उन्हें आलेखित कीजिए; प्रवृत्ति से स्पष्ट रूप से हटे किसी भी बिंदु को, कारण सहित, अलग रखिए।
3. $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$, $S_{xy}$ परिकलित कीजिए, फिर $m = S_{xy}/S_{xx}$ और $b = \bar y - m \bar x$।
4. अवशेष, $s$, $\sigma_m$ और $\sigma_b$ परिकलित कीजिए।
5. आयु $t = \ln(1+m)/\lambda$ है, $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1+m)\bigr)$ के साथ; आरंभिक अनुपात $b \pm \sigma_b$ है।

उदाहरण 25.8 (एक आविष्कृत राइओलाइट)

एक राइओलाइट लावा-श्रृंखला के छह संपूर्ण-शैल नमूने (अभ्यास का डेटा) देते हैं:

$x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	1.85	4.62	9.30	14.75	21.20	27.60
$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71732	0.73332	0.76164	0.79420	0.83226	0.87028

यहाँ $\bar x = 13.22$, $\bar y = 0.784837$, $S_{xx} = 491.41$ और $S_{xy} = 2.92308$, इसलिए $m = 0.0059484$ और $b = 0.70620$। अवशेष देते हैं $s = 0.00024$, $\sigma_m = 1.10 \times 10^{-5}$ और $\sigma_b = 0.00018$। आयु है $t = \ln(1.0059484)/1.3972 \times 10^{-11} = 424.5\,\mathrm{Ma}$, जिसकी $\sigma_t = 1.10 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0059) = 0.8\,\mathrm{Myr}$ है: $(424.5 \pm 0.8)\,\mathrm{Ma}$, आरंभिक अनुपात $0.706\,20 \pm 0.000\,18$ (नीचे का चित्र)।

प्रयोगशाला में — समस्थानिकों का तौलना

एक तापीय-आयनन द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर (बायीं ओर) स्ट्रॉन्शियम जैसे तत्वों के समस्थानिक-अनुपात मापता है। तत्व, जो रसायन विधि से घुले नमूने से अलग किया गया है, निर्वात में एक धातु के तंतु पर लादा जाता है; गरम होने पर वह आयन छोड़ता है, जो एक बड़े विद्युत-चुंबक के क्षेत्र (केंद्र की काली कुंडलियाँ) से त्वरित और मोड़े जाते हैं, हल्के आयन भारी आयनों से अधिक, ताकि हर समस्थानिक अपने संग्राहक तक पहुँचे। समस्थानिकों के अनुपात वही हैं जो यंत्र सबसे अच्छा मापता है, और इसी लिए केवल अनुपातों पर आधारित विधियाँ सबसे सटीक हैं। (फ़ोटो: Radiogenic, CC0, विकिमीडिया कॉमन्स के माध्यम से।)

25.3 पोटैशियम–आर्गन, यूरेनियम–सीसा और रेडियोकार्बन

एक जनक, दो संतति

परिभाषा 25.9 (शाखित क्षय)

किसी जनक का शाखित क्षय होता है जब उसके नाभिक दो या अधिक मार्गों से भिन्न संततियों में क्षय होते हैं। हर मार्ग $i$ का अपना आंशिक क्षय-स्थिरांक $\lambda_i$ है; जनक कुल स्थिरांक $\lambda = \sum_i \lambda_i$ से क्षय होता है, और क्षयों का अंश $\lambda_i/\lambda$ मार्ग $i$ लेता है। पोटैशियम-40 $\lambda_\beta = 4.962 \times 10^{-10}$ प्रति वर्ष से कैल्शियम-40 में, और $\lambda_e = 0.581 \times 10^{-10}$ प्रति वर्ष से आर्गन-40 में क्षय होता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.10 (पोटैशियम–आर्गन आयु)

एक खनिज जिसने उसमें बने सारे आर्गन रखे हैं, और बनते समय उसमें कोई नहीं था, समय $t$ के बाद रखता है

$${}^{40}\mathrm{Ar}^* = \frac{\lambda_e}{\lambda}\;{}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr), \qquad\text{तो}\qquad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\, \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}^*}{{}^{40}\mathrm{K}}\right),$$

जहाँ ${}^{40}\mathrm{K}$ आज पोटैशियम-40 के परमाणुओं की संख्या है और $\lambda = \lambda_\beta + \lambda_e$।

घातांक में कुल स्थिरांक है और सामने का गुणक आंशिक: घातांक में $\lambda_e$ का उपयोग, मानो आर्गन ही एकमात्र मार्ग हो, एक बिल्कुल गलत आयु देता। कैल्शियम शाखा क्षयों का नौ-दसवाँ भाग ले जाती है, पर आयु-निर्धारण के लिए बेकार है, क्योंकि कैल्शियम-40 शैलों में प्रचुर तत्व का सामान्य समस्थानिक है; आर्गन, एक उत्कृष्ट गैस, द्रव से निकल जाती है, इसलिए एक क्रिस्टल लगभग कुछ भी नहीं लेकर शुरू होता है। पोटैशियम-40 पोटैशियम के परमाणुओं का $0.0117\,\%$ है। विधि को पोटैशियम और आर्गन, दोनों की निरपेक्ष मात्राएँ चाहिए, अलग-अलग मापी गई। हवा का आर्गन, जो हर शैल में होता है, उसके आर्गन-36 से पहचाना जाता है और वायुमंडलीय अनुपात $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$ से घटाया जाता है।

विधि दो तरीकों से विफल होती है। अतिरिक्त आर्गन आयुओं को बहुत पुराना बनाता है: जो लावा तेज़ी से ठंडा होता है, वह मैंटल से बुलबुलों में आर्गन फँसा सकता है, और ऐतिहासिक लावा प्रायः 1 से 2 मिलियन वर्ष की पोटैशियम–आर्गन आयु देते हैं, एक ऐसी त्रुटि जो केवल युवा चट्टानों के लिए मायने रखती है। आर्गन की हानि उन्हें बहुत युवा बनाती है: अधिकांश खनिज लगभग $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर गरम होने पर आर्गन खो देते हैं, इसलिए बाद का रूपांतरण घड़ी को पूरी या आंशिक रूप से फिर से शून्य कर देता है, और आंशिक हानि दो घटनाओं के बीच की आयु देती है जो दोनों में से किसी को नहीं आँकती। पोटैशियम-समृद्ध खनिज पसंद किए जाते हैं: सैनिडीन और बायोटाइट, फिर प्लैजियोक्लेज़ या हॉर्नब्लेंड।

आर्गन–आर्गन विधि केवल अनुपात मापती है। नमूने को एक परमाणु रिएक्टर के केंद्र में तेज़ न्यूट्रॉनों से, ज्ञात आयु के एक मानक खनिज के साथ, विकिरणित किया जाता है; अभिक्रिया उसके पोटैशियम-39 के एक भाग को आर्गन-39 में बदलती है, जो फिर पोटैशियम के स्थान पर खड़ा होता है, और मानक अभिक्रिया का उत्पादन देता है। दोनों समस्थानिक उसी गैस में एक साथ मापे जाते हैं। तब नमूने को भट्टी या लेज़र से चरणों में गरम किया जा सकता है; हर चरण एक आयु देता है, और आयुएँ उत्सर्जित आर्गन-39 के संचयी अंश के विरुद्ध आलेखित की जाती हैं, एक आयु-स्पेक्ट्रम। जो चरण अपनी त्रुटियों के भीतर मिलते हैं, वे एक पठार बनाते हैं; बिना पठार वाला स्पेक्ट्रम चेतावनी है कि खनिज बंद नहीं रहा। क्रिटेशियस के अंत के प्रभाव और विलोपन की समकालिकता आर्गन–आर्गन आयुओं पर टिकी है।

दो यूरेनियम घड़ियाँ

यूरेनियम के दो दीर्घजीवी समस्थानिक हैं, यूरेनियम-238 सीसा-206 में और यूरेनियम-235 सीसा-207 में, भिन्न दरों से; आज $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$ है, यानी 137.8 में एक परमाणु। इसलिए यूरेनियम रखने वाला खनिज दो स्वतंत्र घड़ियाँ रखता है, हर एक की अपनी वृद्धि-समीकरण के साथ, ${}^{206}\mathrm{Pb}^* = {}^{238}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{238} t} - 1)$ और ${}^{207}\mathrm{Pb}^* = {}^{235}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{235} t} - 1)$। यदि दोनों आयुएँ मेल खाती हैं, तो वे संगत कही जाती हैं, और मेल एक परीक्षण है कि खनिज बंद रहा, जो कोई एक घड़ी नहीं दे सकती। असहमति मुख्यतः क्रिस्टल के उन भागों से सीसा खोने से आती है जो यूरेनियम के अपने विकिरण से क्षतिग्रस्त हुए हैं; दोनों अनुपातों को एक-दूसरे के विरुद्ध आलेखित करने वाला एक ग्राफ़, जिसे कॉनकॉर्डिया आरेख कहते हैं, फिर क्रिस्टल की आयु और उस घटना की आयु, दोनों, बरामद करता है जिसने उसे सीसा खोने पर विवश किया — पुस्तक 5 (स्नातक वर्ष 3) का एक उपकरण।

ज़िरकॉन, $\mathrm{ZrSiO_4}$, पसंदीदा खनिज है: वह अपनी संरचना में यूरेनियम लेता है पर लगभग कोई सीसा नहीं, इसलिए उसका लगभग सारा सीसा रेडियोजनित है; वह कठोर है, अपक्षय का प्रतिरोध करता है और रूपांतरण से बच जाता है, इसलिए चट्टान से अपरदित कण उससे व्युत्पन्न बालू में अपनी आयु रखते हैं। अपेटाइट और स्फ़ीन भी प्रयुक्त होते हैं, कम बार।

रेडियोकार्बन

कार्बन-14 ऊपरी वायुमंडल में ब्रह्मांडीय किरणों से प्रहार किए गए नाइट्रोजन-14 से लगातार बनता है। वह वायुमंडल के कार्बन में मिलता है; जीवित प्राणी वायुमंडल के साथ कार्बन का आदान-प्रदान करते हैं और उसका कार्बन-14 अनुपात बनाए रखते हैं। मृत्यु पर आदान-प्रदान रुक जाता है और कार्बन-14 वापस नाइट्रोजन-14 में क्षय होता है। चूँकि आरंभिक अनुपात वायुमंडल का है, आयु केवल क्षय-नियम से निकलती है, समतापरेखा के बिना: $t = -\tau \ln(A/A_0)$, जहाँ $A$ नमूने के कार्बन की सक्रियता है, $A_0$ जीवित कार्बन की, और $\tau = 1/\lambda$ माध्य-जीवन है। लकड़ी, कोयला, हड्डी, दाँत और सीप इस प्रकार आँके जाते हैं, कुछ दसियों हज़ार वर्ष तक: अधिकतम लगभग $70\,000$ वर्ष।

परिभाषा 25.11 (रेडियोकार्बन आयु, अंशांकन वक्र)

नमूने की (पारंपरिक) रेडियोकार्बन आयु है

$$t = -8033 \,\ln \frac{A_{\mathrm{SN}}}{A_{\mathrm{ON}}} \ \text{वर्ष BP},$$

जहाँ $A_{\mathrm{SN}}$ नमूने के कार्बन की सक्रियता है और $A_{\mathrm{ON}}$ संदर्भ मानक की; इसमें $5568$ वर्ष की अर्ध-आयु (माध्य-जीवन $8033$ वर्ष) प्रयुक्त होती है, सक्रियताएँ कार्बन के समस्थानिक-विभाजन ($\delta^{13}\mathrm{C} = -25\,\text{‰}$) के लिए सामान्यीकृत होती हैं, और वर्ष AD 1950 से पहले गिने जाते हैं (BP, यानी वर्तमान से पूर्व)। एक अंशांकन वक्र ज्ञात कैलेंडर-आयु के नमूनों की रेडियोकार्बन आयु देता है; पीछे की ओर पढ़ने पर, वह रेडियोकार्बन आयु को कैलेंडर-आयुओं की एक परास में बदलता है (cal BP)।

रेडियोकार्बन आयु वर्षों में कैलेंडर-आयु नहीं है, दो कारणों से। $5568$ वर्ष की अर्ध-आयु, लिबी का मान, जो परंपरा से चलता है, सही $5700$ वर्षों से छोटी है, इसलिए रेडियोकार्बन आयुएँ लगभग $2.4\,\%$ कम चलती हैं। और अधिक महत्त्वपूर्ण यह कि वायुमंडल में कार्बन-14 का अनुपात स्थिर नहीं रहा है। अंशांकन वक्र दोनों प्रभावों को एक साथ मापता है, स्वतंत्र रूप से आँके गए अभिलेखों पर: लगभग $13\,900$ cal BP तक वृक्ष-वलय, और उससे परे, तैरते वृक्ष-वलय अनुक्रम, झील और समुद्री तलछट, गुफा-निक्षेप और मूँगे, $55\,000$ cal BP तक (नीचे का चित्र)।

$2000$ cal BP पर वक्र $2070 \pm 14$ वर्ष BP देता है; $12\,000$ cal BP पर $10\,306$: वहाँ रेडियोकार्बन आयुएँ कैलेंडर आयुओं से $1694$ वर्ष छोटी हैं, अर्ध-आयु के $2.4\,\%$ से कहीं अधिक। वक्र लहराता है, और जहाँ वह सपाट है वहाँ एक रेडियोकार्बन आयु कैलेंडर-आयुओं की लंबी परास से मेल खाती है, माप चाहे जितना सटीक हो।

आँकड़े: वर्ष 2020

उत्तरी गोलार्ध के लिए प्रयुक्त वक्र IntCal20 है, जो 2020 में प्रकाशित हुआ। उसने IntCal13 का स्थान लिया, नए आँकड़े जोड़े और वक्र को $55\,000$ cal BP तक बढ़ाया, दक्षिणी गोलार्ध और सतही महासागर के लिए अलग वक्रों के साथ। अंशांकन वक्र नए अभिलेखों के मापे जाने पर संशोधित होते हैं, इसलिए कैलेंडर आयु को वह वक्र नामित करना होगा जिससे वह निकली।

25.4 अवरोध-तापमान

मैग्मा से $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर क्रिस्टलित होने वाला खनिज अपनी घड़ी तुरंत नहीं शुरू करता। जब तक वह गरम है, संतति के परमाणु — सबसे ऊपर आर्गन — उसकी जालक में विसरित होकर निकल जाते हैं; केवल जब वह काफ़ी ठंडा हो जाता है, तब विसरण इतना धीमा होता है कि मायने न रखे, और संतति जमना शुरू करती है।

परिभाषा 25.12 (अवरोध-तापमान, शीतलन-आयु)

किसी क्षय-तंत्र के लिए किसी खनिज का अवरोध-तापमान वह तापमान है जिसके नीचे जनक और संतति के परमाणु उसकी जालक में भीतर या बाहर पर्याप्त तेज़ी से विसरित नहीं होते जो मायने रखे, इसलिए खनिज एक बंद तंत्र की तरह व्यवहार करता है। एक शीतलन-आयु एक ऐसे खनिज में मापी गई आयु है जो अपने अवरोध-तापमान से ऊपर बना था: वह उस क्षण को आँकती है जब खनिज उस तापमान से होकर ठंडा हुआ, न कि उस क्षण को जब वह बना।

अवरोध-तापमान खनिज के अनुसार भिन्न हैं, क्योंकि जालक भिन्न हैं, और तत्व के अनुसार, क्योंकि भिन्न परमाणु एक ही जालक में भिन्न दरों से विसरित होते हैं (नीचे का चित्र)। वे अनुमानित हैं: दो सारणियाँ बायोटाइट में आर्गन के लिए $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ देती हैं, हॉर्नब्लेंड में आर्गन के लिए $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। विखंडन-ट्रैक, क्रिस्टल में यूरेनियम नाभिकों के स्वतःस्फूर्त विखंडन से छोड़े गए क्षति के मार्ग, और भी कम तापमान पर भर जाते हैं।

एक धीरे ठंडे होते प्लूटन में घड़ियाँ इसलिए एक के बाद एक बंद होती हैं, सबसे गरम से सबसे ठंडी तक: पहले ज़िरकॉन, उसके क्रिस्टलीकरण के निकट, फिर हॉर्नब्लेंड, फिर मस्कोवाइट और बायोटाइट। उनकी आयुओं का फैलाव शीतलन को अंकित करता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.13 (दो अवरोधों के बीच शीतलन-दर)

यदि एक चट्टान के दो खनिज, अवरोध-तापमान $T_1 > T_2$ वाले, शीतलन-आयुएँ $t_1 > t_2$ देते हैं, तो दो अवरोधों के बीच औसत शीतलन-दर है

$$\dot T = \frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2}.$$

यदि चट्टान ऐसी गहराई पर थी जहाँ तापमान गहराई के साथ एक स्थिर प्रवणता $G$ से बढ़ता है, नीचे तापमान $T_s$ की एक सतह से, तो वह गहराई $z_i = (T_i - T_s)/G$ पर थी, जब घड़ी $i$ बंद हुई।

गहराई एक शीतलन-उत्थान दर देती है, एक बार जब वह समय ज्ञात हो जब चट्टान सतह तक पहुँची — जैसा इस अध्याय की समस्या में। विधि मोटी है: अवरोध-तापमान दसियों डिग्री तक अनिश्चित हैं, और भू-तापीय प्रवणता समय के साथ स्थिर मानी जाती है। तापीय-कालिकी, कई घड़ियों से तापमान-समय पथों का विस्तृत पुनर्निर्माण, पुस्तक 5 (स्नातक वर्ष 3) का विषय है।

25.5 अवसादी अनुक्रमों की डेटिंग

अधिकांश अवसादी शैलें सीधे नहीं आँकी जा सकतीं। उनके कण शैल से पुराने हैं: एक डेट्राइटल ज़िरकॉन, इस अध्याय के आरंभ वाले कण की तरह, उस शैल को आँकता है जिससे वह अपरदित हुआ। रेडियोकार्बन केवल युवा कार्बनिक पदार्थ आँकता है। चार्ट की आयुएँ इसलिए उन शैलों से आती हैं जो अपने निक्षेपण के क्षण पर क्रिस्टलित हुईं — अनुक्रम के भीतर ज्वालामुखीय राख और लावा प्रवाह — और उन आग्नेय शैलों से जो उसे काटती हैं।

परिभाषा 25.14 (परिबद्ध आयु)

एक परिबद्ध आयु एक अवसादी स्तर की आयु पर लगाई गई सीमा है, जो स्तरिकी के सिद्धांतों द्वारा उससे संबंधित आँकी गई शैलों से लगती है: नीचे की एक आँकी गई परत से उच्चतम आयु, या उसके सबसे युवा डेट्राइटल कण से; ऊपर की एक आँकी गई परत से, या उसे काटने वाले अंतर्वेधन से न्यूनतम आयु। एक स्तर जो उच्चतम और न्यूनतम के बीच हो, वह परिबद्ध है।

सबसे अच्छी परिबंधें निकट और सटीक होती हैं: कुछ मीटर दूर दो राख-परतें, ज़िरकॉन पर कुछ दसियों हज़ार वर्षों तक आँकी गईं, उनके बीच का स्तर प्रतिज्ञप्ति 24.8 से प्रक्षेपित। मेइशान पर, ट्राइऐसिक के आधार का GSSP पाँच आँकी गई राख-परतों के बीच है; विलोपन $(251.941 \pm 0.037)\,\mathrm{Ma}$ और $(251.880 \pm 0.031)\,\mathrm{Ma}$ के बीच परिबद्ध है, और तंत्र का आधार $(251.902 \pm 0.024)\,\mathrm{Ma}$ पर रखा गया है (अनुभाग 24.4)। राख-परतें, जिन्हें हवा संस्तर-प्रकारों के आर-पार ले जाती है, समय-रेखाएँ भी हैं और घड़ियाँ भी।

चार्ट उतना ही सटीक है जितनी सटीक हर सीमा के निकट की आँकी गई परतें हैं। ट्राइऐसिक का आधार $0.024\,\mathrm{Myr}$ तक ज्ञात है, दस हज़ार में एक भाग; कार्बनिफ़रस का आधार $0.19\,\mathrm{Myr}$ तक; डेवोनियन का आधार $1.36\,\mathrm{Myr}$ तक। जहाँ सीमा के निकट कोई आँकी गई परत नहीं है, उसकी आयु दूर की परतों के बीच प्रक्षेपित होती है, और उसकी अनिश्चितता उसी अनुपात में बढ़ती है। सीमा के निकट आँकी गई हर नई राख-परत उसे खिसका सकती है, इसीलिए चार्ट एक संस्करण-तिथि रखता है।

25.6 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

(क) एक खनिज में जनक परमाणुओं से तीन गुना रेडियोजनित संतति परमाणु हैं। वह कितनी अर्ध-आयु पुराना है? (ख) $310\,\mathrm{Myr}$ के बाद रूबिडियम-87 और यूरेनियम-235 के लिए $D^*/P$ परिकलित कीजिए, Table 25.1 के स्थिरांकों के साथ। कौन सा अनुपात अधिक सटीक मापा जा सकता है? (ग) कितनी अर्ध-आयुओं के बाद जनक का $1\,\%$ से कम बचता है?

हल

हल — अभ्यास 25.1.

(क) $D^*/P = 2^n - 1 = 3$ से $n = 2$: दो अर्ध-आयुएँ। (ख) रूबिडियम-87: $e^{\lambda t} - 1 = e^{1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.004341$; यूरेनियम-235: $e^{9.8485 \times 10^{-10} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.3570$। यूरेनियम का अनुपात लगभग 80 गुना बड़ा है: मापन की एक दी हुई निरपेक्ष त्रुटि उसका कहीं छोटा भाग है। (ग) $2^{-n} < 0.01$ जब $n > \log_2 100 = 6.64$ हो: लगभग सात अर्ध-आयुओं के बाद।

अभ्यास 25.2 ★

कौन सी विधि (Table 25.1) और किस पदार्थ पर, आयु-निर्धारण के लिए आप उपयोग करेंगे: (क) लगभग $8000$ वर्ष पुराना एक चूल्हे का कोयला; (ख) लगभग $66\,\mathrm{Ma}$ पुरानी मानी गई एक राख-परत, सैनिडीन और ज़िरकॉन से समृद्ध; (ग) लगभग $2.7\,\mathrm{Ga}$ पुराना एक ग्रेनाइट; (घ) लगभग $40\,000$ वर्ष पुरानी एक सीप; (ङ) बिना ज्वालामुखीय परत वाला जुरासिक का एक चूना-पत्थर?

हल

हल — अभ्यास 25.2.

(क) कोयले पर रेडियोकार्बन। (ख) ज़िरकॉन पर यूरेनियम–सीसा, या सैनिडीन पर आर्गन–आर्गन (पोटैशियम–आर्गन), जो एक पोटैशियम-समृद्ध खनिज है। (ग) ज़िरकॉन पर यूरेनियम–सीसा, जो एक लंबे इतिहास से बचता है; पूरी शैलों पर रूबिडियम–स्ट्रॉन्शियम संभव है; पोटैशियम–आर्गन में बाद के ऊष्मन में खोए आर्गन से आयुएँ घटने का जोखिम होगा। (घ) सीप के कार्बोनेट पर रेडियोकार्बन, विधि की सीमा के निकट (लगभग $70\,000$ वर्ष)। (ङ) सीधे कोई नहीं: उसकी आयु ऊपर और नीचे की आँकी गई ज्वालामुखीय शैलों से परिबद्ध है, या उसके जीवाश्मों को एक आँकी गई खंड से सहसंबंधित करके मिलती है (अध्याय 24)।

अभ्यास 25.3 ★

लकड़ी के एक टुकड़े का कार्बन, सामान्यीकरण के बाद, मानक की सक्रियता का एक-चौथाई है। (क) उसकी पारंपरिक रेडियोकार्बन आयु परिकलित कीजिए। (ख) $5700$ वर्ष की अर्ध-आयु से उसकी आयु परिकलित कीजिए। (ग) क्यों इनमें से कोई भी कैलेंडर वर्षों में उसकी आयु नहीं है, और वह आयु कैसे प्राप्त होती है?

हल

हल — अभ्यास 25.3.

(क) $t = -8033 \ln 0.25 = 8033 \times 1.3863 = 11\,136$ वर्ष BP। (ख) माध्य-जीवन $5700/\ln 2 = 8223$ वर्ष है: $t = 8223 \times 1.3863 = 11\,400$ वर्ष। (ग) दोनों मानते हैं कि जीवित कार्बन में कार्बन-14 का अनुपात तब भी वही था जो मानक में है; वह नहीं था। कैलेंडर आयु IntCal20 जैसे एक अंशांकन वक्र से पढ़ी जाती है, cal BP वर्षों की एक परास के रूप में।

अभ्यास 25.4 ★

एक ग्रेनाइट का ज़िरकॉन पर यूरेनियम–सीसा आयु $420\,\mathrm{Ma}$, हॉर्नब्लेंड पर पोटैशियम–आर्गन आयु $410\,\mathrm{Ma}$ और बायोटाइट पर $398\,\mathrm{Ma}$ है। (क) तीनों आयुएँ क्यों भिन्न हैं, और इसी क्रम में? (ख) अनुभाग 25.4 के चित्र के अवरोध-तापमानों से, हॉर्नब्लेंड और बायोटाइट के अवरोधों के बीच औसत शीतलन-दर परिकलित कीजिए। (ग) ज़िरकॉन और हॉर्नब्लेंड के अवरोधों के बीच शीतलन-दर के बारे में क्या कहा जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 25.4.

(क) हर घड़ी तब शुरू होती है जब उसका खनिज अपने अवरोध-तापमान से नीचे ठंडा होता है: ज़िरकॉन ($750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर) पहले बंद होता है, हॉर्नब्लेंड (लगभग $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) उसके बाद, बायोटाइट (लगभग $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) अंत में, इसलिए जैसे-जैसे ग्रेनाइट ठंडा हुआ, आयुएँ उसी क्रम में घटती हैं। (ख) $(530 - 280)/(410 - 398) = 250/12 = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष। (ग) ज़िरकॉन $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर बंद हुआ, इसलिए ग्रेनाइट कम से कम $750 - 530 = 220\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ $10\,\mathrm{Myr}$ में ठंडा हुआ: कम से कम $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष, एक निम्न सीमा।

अभ्यास 25.5 ★★

एक ग्नाइस के चार संपूर्ण-शैल नमूने (अभ्यास का डेटा) देते हैं: $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 2.0$, $5.0$, $9.0$, $14.0$ और $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7323$, $0.7741$, $0.8307$, $0.9010$। (क) विधि 25.7 की विधि से न्यूनतम-वर्ग रेखा बिठाइए। (ख) आयु और आरंभिक अनुपात परिकलित कीजिए। (ग) $s$ और आयु की अनिश्चितता परिकलित कीजिए। (घ) क्या आरंभिक अनुपात मैंटल के किसी स्रोत की ओर या पपड़ी की ओर संकेत करता है?

हल

हल — अभ्यास 25.5.

(क) $\bar x = 7.5$, $\bar y = 0.809525$, $S_{xx} = 81.0$, $S_{xy} = 1.13965$; $m = 1.13965/81.0 = 0.0140698$, $b = 0.809525 - 7.5 \times 0.0140698 = 0.70400$। (ख) $t = \ln(1.0140698)/1.3972 \times 10^{-11} = 1000.0\,\mathrm{Ma}$; आरंभिक अनुपात $0.7040$। (ग) अवशेष हैं $+1.6$, $-2.5$, $+0.7$ और $+0.2$ ($10^{-4}$ की इकाइयों में): $s = \sqrt{9.34 \times 10^{-8}/2} = 0.00022$, $\sigma_m = 0.00022/\sqrt{81} = 2.40 \times 10^{-5}$ और $\sigma_t = 2.40 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0141) = 1.7\,\mathrm{Myr}$: $(1000.0 \pm 1.7)\,\mathrm{Ma}$। (घ) $0.7040$ मैंटल के मान $0.7025$ के निकट है और पपड़ी के $0.710$ से काफ़ी नीचे: एक स्रोत जो अधिकतर मैंटल में है।

अभ्यास 25.6 ★★

एक सैनिडीन, एक राख-परत से, द्रव्यमान से $10.0\,\%$ पोटैशियम और प्रति ग्राम $1.169\,\mathrm{nmol}$ रेडियोजनित आर्गन-40 रखता है। (क) पोटैशियम का परमाणु भार $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ और पोटैशियम-40 की प्रचुरता लेकर, प्रति ग्राम पोटैशियम-40 के मोलों की संख्या परिकलित कीजिए। (ख) पोटैशियम–आर्गन आयु परिकलित कीजिए। (ग) यदि मापे गए आर्गन का $0.5\,\%$ राख गिरते समय फँसा हुआ था, न कि क्षय से बना, तो आयु कितनी अधिक पुरानी होगी? क्या यहाँ यह चिंता का विषय है?

हल

हल — अभ्यास 25.6.

(क) $0.100/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.992 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ पोटैशियम-40 प्रति ग्राम। (ख) ${}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{40}\mathrm{K} = 1.169 \times 10^{-9}/2.992 \times 10^{-7} = 0.0039065$; $\lambda/\lambda_e = 5.543/0.581 = 9.5404$; $t = \ln(1 + 9.5404 \times 0.0039065)/5.543 \times 10^{-10} = \ln(1.037269)/5.543 \times 10^{-10} = 66.01\,\mathrm{Ma}$। (ग) विकिरण-जनित आर्गन $0.995 \times 1.169$ नैनोमोल होता, जो $65.69\,\mathrm{Ma}$ देता: मापी गई आयु $0.32\,\mathrm{Myr}$ अधिक पुरानी होती, वह $32\,000$ वर्ष का लगभग दस गुना, जिनके भीतर प्रभाव और क्रिटेशियस के अंत का विलोपन अब समकालिक दिखाए गए हैं। अतिरिक्त आर्गन मुख्यतः युवा शैलों और संपूर्ण-शैल नमूनों के लिए चिंता का विषय है; सैनिडीन जैसे खनिज को क्रिस्टलित होते समय आर्गन नहीं लेना चाहिए, और एक आर्गन–आर्गन आयु-स्पेक्ट्रम इसे प्रकट कर देगा।

अभ्यास 25.7 ★★

अंशांकन वक्र $2000$ cal BP पर $2070 \pm 14$ वर्ष BP, $8000$ cal BP पर $7178$ और $12\,000$ cal BP पर $10\,306$ रेडियोकार्बन आयुएँ देता है। (क) एक बीज $2070 \pm 14$ वर्ष BP देता है। उसकी कैलेंडर आयु क्या है? (ख) दूसरा $2480 \pm 15$ वर्ष BP देता है; अनुभाग 25.3 के चित्र के दाहिने पैनल से उसकी कैलेंडर आयुओं की परास दीजिए, और समझाइए कि वह इतनी चौड़ी क्यों है। (ग) $2000$, $8000$ और $12\,000$ cal BP पर रेडियोकार्बन आयुएँ कैलेंडर आयुओं से कितने वर्ष, और किस दिशा में, भिन्न हैं? क्या अंतर आयु के अनुपात में बढ़ता है?

हल

हल — अभ्यास 25.7.

(क) लगभग $2000$ cal BP: वक्र वहाँ $2070$ वर्ष BP से गुज़रता है। (ख) लगभग $2495$ से $2699$ cal BP तक, दो सौ वर्ष: वक्र $2500$ और $2700$ cal BP के बीच लगभग सपाट है, इसलिए उस अंतराल की हर कैलेंडर आयु की रेडियोकार्बन आयु लगभग एक ही है, और अधिक सटीक माप परास को संकीर्ण नहीं करेगा। (ग) $2000$ cal BP पर रेडियोकार्बन आयु कैलेंडर आयु से $70$ वर्ष पुरानी है; $8000$ cal BP पर $822$ वर्ष छोटी ($10\,\%$); $12\,000$ cal BP पर $1694$ वर्ष छोटी ($14\,\%$)। अंतर आयु के अनुपात में नहीं है: वह चिह्न भी बदलता है। वह अकेले अर्ध-आयु से नहीं आ सकता, जो एक स्थिर $2.4\,\%$ देती।

अभ्यास 25.8 ★★

एक समुद्री खंड में, $4\,\mathrm{m}$ पर एक राख-परत $(94.50 \pm 0.10)\,\mathrm{Ma}$ आँकी गई है और $20\,\mathrm{m}$ पर एक लावा-प्रवाह $(93.80 \pm 0.12)\,\mathrm{Ma}$; पूरे खंड को काटने वाला एक अंतर्वेधन $(93.20 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$ आँका गया है। $6\text{ से }10\,\mathrm{m}$ पर एक बलुआ पत्थर में सबसे युवा डेट्राइटल ज़िरकॉन $(95.3 \pm 0.4)\,\mathrm{Ma}$ है। एक चरण-सीमा $12\,\mathrm{m}$ पर रखी गई है। (क) चारों में से कौन सी आयुएँ सीमा को परिबद्ध करती हैं, और कौन सी उसके लिए बेकार हैं? (ख) प्रतिज्ञप्ति 24.8 से उसकी आयु और उसकी अनिश्चितता प्रक्षेपित कीजिए। (ग) डेट्राइटल ज़िरकॉन बलुआ पत्थर के बारे में क्या बताता है?

हल

हल — अभ्यास 25.8.

(क) नीचे की राख-परत ($94.50\,\mathrm{Ma}$) एक उच्चतम आयु देती है, ऊपर का लावा-प्रवाह ($93.80\,\mathrm{Ma}$) एक न्यूनतम: सीमा उनके बीच परिबद्ध है। अंतर्वेधन भी एक न्यूनतम है, पर कमज़ोर, लावा से युवा। डेट्राइटल ज़िरकॉन केवल बलुआ पत्थर के लिए एक उच्चतम है, और राख-परत से कमज़ोर, जो बलुआ पत्थर के नीचे है। (ख) $f = (12 - 4)/(20 - 4) = 0.5$; $t = 94.50 - 0.5 \times 0.70 = 94.15\,\mathrm{Ma}$; $\sigma_t = \sqrt{0.25 \times 0.10^2 + 0.25 \times 0.12^2} = 0.08\,\mathrm{Myr}$: $(94.15 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$। (ग) उसके कण कम से कम $95.3\,\mathrm{Ma}$ पुरानी एक शैल से आए थे, स्रोत-क्षेत्र में कहीं अपरदित; यह दिखाता है कि बलुआ पत्थर $95.3\,\mathrm{Ma}$ से युवा है, जिसे नीचे की राख-परत पहले ही अधिक कसकर सिद्ध कर चुकी है।

अभ्यास 25.9 ★★

एक ग्रेनाइट के दो ज़िरकॉन देते हैं $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.08401$ और $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.6688$ (कण A), और $0.05881$ और $0.4682$ (कण B)। (क) हर कण की दो आयुएँ परिकलित कीजिए। (ख) कौन सा कण संगत है? (ग) कण B ने हाल में अपने सीसे का कुछ भाग खोया है। दिखाइए कि उसके दोनों अनुपात कण A के $70\,\%$ हैं, और समझाइए कि उसकी दो आयुएँ क्यों भिन्न हैं, यद्यपि दोनों समस्थानिकों के लिए हानि समान थी।

हल

हल — अभ्यास 25.9.

(क) कण A: $\ln(1.08401)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$ और $\ln(1.6688)/9.8485 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$। कण B: $368.4\,\mathrm{Ma}$ और $389.9\,\mathrm{Ma}$। (ख) कण A संगत है। (ग) $0.05881/0.08401 = 0.7000$ और $0.4682/0.6688 = 0.7001$। आयु $\ln(1 + R)/\lambda$ है, $R$ के अनुपात में नहीं: छोटे यूरेनियम-238 अनुपात के लिए $\ln(1+R) \approx R$ और आयु लगभग $30\,\%$ गिरती है ($368\,\mathrm{Ma}$ तक); बड़े यूरेनियम-235 अनुपात के लिए लघुगणक कम गिरता है, और आयु केवल $390\,\mathrm{Ma}$ तक। दोनों बहुत युवा हैं, और वे असहमत हैं: कण असंगत है।

अभ्यास 25.10 ★★★

(क) दिखाइए कि जब $\lambda t \ll 1$ हो तो आयु-समीकरण $t \approx (D^*/P)/\lambda$ तक घटता है, और इस सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि लगभग $\lambda t/2$ के निकट है। (ख) $310\,\mathrm{Ma}$ पर रूबिडियम-87 के लिए, $296\,\mathrm{Ma}$ पर पोटैशियम-40 के लिए और $4.4\,\mathrm{Ga}$ पर यूरेनियम-238 के लिए त्रुटि परिकलित कीजिए। (ग) यदि $D^*/P$ $0.1\,\%$ तक मापा जाए, तो $310\,\mathrm{Ma}$ की रूबिडियम–स्ट्रॉन्शियम आयु की अनिश्चितता क्या है?

हल

हल — अभ्यास 25.10.

(क) $u = \lambda t$ के साथ, $D^*/P = e^u - 1 = u + u^2/2 + \dots$, इसलिए $(D^*/P)/\lambda = t\,(1 + u/2 + \dots)$: सन्निकटन आयु को लगभग $u/2$ के निकट सापेक्ष त्रुटि से अधिक आँकता है। (ख) $310\,\mathrm{Ma}$ पर रूबिडियम-87: $u = 0.00433$, त्रुटि $0.22\,\%$ ($0.7\,\mathrm{Myr}$); $296\,\mathrm{Ma}$ पर पोटैशियम-40: $u = 0.164$, त्रुटि $8.7\,\%$ ($26\,\mathrm{Myr}$; $u/2$ $8.2\,\%$ देता है); $4.4\,\mathrm{Ga}$ पर यूरेनियम-238: $u = 0.683$, त्रुटि $43\,\%$ — सन्निकटन, और उसका त्रुटि-आकलन ($u/2 = 34\,\%$) भी, विफल होते हैं। (ग) $R = 0.004341$, $\sigma_R = 4.34 \times 10^{-6}$; प्रतिज्ञप्ति 25.3 से, $\sigma_t = 4.34 \times 10^{-6}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 0.31\,\mathrm{Myr}$।

अभ्यास 25.11 ★★★

एक बायोटाइट $400\,\mathrm{Myr}$ पहले क्रिस्टलित होकर बंद हुआ। $200\,\mathrm{Myr}$ पहले एक संक्षिप्त ऊष्मन ने उसका आर्गन का एक भाग $f$ खो दिया, जिसके बाद वह फिर बंद हो गया। (क) दिखाइए कि आज

$$\frac{\lambda}{\lambda_e}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}} = (1 - f)\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr) + e^{\lambda t_2} - 1,$$

$t_1 = 400\,\mathrm{Myr}$ और $t_2 = 200\,\mathrm{Myr}$ के साथ। (ख) $f = 0$, $0.3$, $0.6$ और $1$ के लिए स्पष्ट पोटैशियम–आर्गन आयु परिकलित कीजिए। (ग) एक ही पोटैशियम–आर्गन आयु आंशिक हानि को एक छोटी घटना से क्यों नहीं अलग कर सकती?

हल

हल — अभ्यास 25.11.

(क) मान लीजिए ${}^{40}\mathrm{K}$ आज का पोटैशियम-40 है। वर्तमान से पहले समय $t_2$ पर ${}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}$ परमाणु थे, और $t_1$ और $t_2$ के बीच बना आर्गन, उस अंतराल पर लागू प्रतिज्ञप्ति 25.10 से, $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}\bigl(e^{\lambda (t_1 - t_2)} - 1\bigr) = (\lambda_e/\lambda)\, {}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr)$ था। उसका अंश $1 - f$ बचा। $t_2$ से, बंद खनिज ने $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t_2} - 1)$ और बनाया है। जोड़कर और $\lambda/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$ से गुणा करने पर व्यंजक मिलता है। (ख) स्पष्ट आयु $\ln(1 + \text{व्यंजक})/\lambda$ है: $f = 0$ के लिए $400.0\,\mathrm{Myr}$, $0.3$ के लिए $342.3\,\mathrm{Myr}$, $0.6$ के लिए $282.7\,\mathrm{Myr}$ और $1$ के लिए $200.0\,\mathrm{Myr}$। (ग) $200\,\mathrm{Myr}$ और $400\,\mathrm{Myr}$ के बीच की हर आयु किसी आंशिक हानि से बन सकती है, और एक अकेली संख्या नहीं बता सकती कि वह उस समय की एक वास्तविक घटना दर्ज करती है या मिश्रण; एक आयु-स्पेक्ट्रम, या उसी शैल की दूसरी घड़ियाँ, आवश्यक हैं।

अभ्यास 25.12 ★★★

$12\,000$ cal BP पर IntCal20 वक्र $10\,306$ वर्ष BP की रेडियोकार्बन आयु देता है। (क) उसी गतिविधि-अनुपात से, $5700$ वर्ष की अर्ध-आयु के साथ आयु पुनः परिकलित कीजिए। (ख) $1694$ वर्षों में से, जिनसे रेडियोकार्बन आयु कैलेंडर आयु से छोटी है, कितने अर्ध-आयु परंपरा से समझाए जाते हैं? (ग) यदि शेष एक उच्च अनुपात से आता है जो $12\,000$ वर्ष पहले वायुमंडल के कार्बन-14 में था, तो परिकलित कीजिए कि वह मानक के अनुपात से प्रतिशत में कितना अधिक था।

हल

हल — अभ्यास 25.12.

(क) आयु प्रयुक्त माध्य-जीवन के अनुपात में है: $10306 \times 8223/8033 = 10\,550$ वर्ष। (ख) $10550 - 10306 = 244$ वर्ष, $1694$ के लगभग सातवें भाग। (ग) यदि आरंभिक सक्रियता $k A_0$ थी, तो सही आयु $t = \tau \ln(k A_0/A) = 10\,550 + \tau \ln k$ है; $t = 12\,000$ के साथ, $\ln k = 1450/8223 = 0.176$ और $k = 1.19$: मानक से लगभग $19\,\%$ अधिक कार्बन-14।

25.7 समस्या: वार्डेन ग्रेनाइट और उसके आवरण की डेटिंग

समस्या 25.1

सप्ताहांत समस्या — चार घड़ियाँ किसी ग्रेनाइट के क्रिस्टलीकरण, शीतलन और अनावरण को कैसे आँकती हैं

वार्डेन हिल्स का ग्रेनाइट, श्रृंखला का आविष्कृत क्षेत्र, शिस्ट के आधार-तल को काटता है और एक असंगति के ऊपर, ट्रायसिक बलुआ पत्थर से ढका है। इस अध्याय के Table 25.1 के स्थिरांक, अनुभाग 25.4 के चित्र के अवरोध-तापमान, पोटैशियम का परमाणु भार $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ और पोटैशियम-40 की प्रचुरता, जो पोटैशियम के परमाणुओं का $0.0117\,\%$ है, उपयोग कीजिए। सभी विश्लेषण अभ्यास का डेटा हैं।

भाग I — एक संपूर्ण-शैल समतापरेखा। छह संपूर्ण-शैल नमूने देते हैं:

$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.92	2.15	3.40	5.05	7.60	10.30
$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71211	0.71718	0.72284	0.72986	0.74113	0.75261

1. छह नमूने आलेखित कीजिए। क्या वे एक सीधी रेखा पर हैं?
2. $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$ और $S_{xy}$ परिकलित कीजिए, फिर न्यूनतम-वर्ग ढलान।
3. अंतःखंड परिकलित कीजिए। वह क्या दर्शाता है?
4. ग्रेनाइट की आयु परिकलित कीजिए।
5. अवशेष, $s$, और आयु की अनिश्चितता परिकलित कीजिए।
6. क्या आरंभिक अनुपात मैंटल के या महाद्वीपीय पपड़ी के अनुपात के अधिक निकट है? यदि मैग्मा $0.7025$ और $0.710$ के पिघलों का मिश्रण था, जो स्ट्रॉन्शियम में समान रूप से समृद्ध थे, तो उसके स्ट्रॉन्शियम का कितना भाग पपड़ी से आया?

भाग II — पोटैशियम और आर्गन। एक बायोटाइट में द्रव्यमान से $7.40\,\%$ पोटैशियम और प्रति ग्राम $4.139\,\mathrm{nmol}$ रेडियोजनित आर्गन-40 है; एक हॉर्नब्लेंड में $1.10\,\%$ और $0.6333\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$।

7. बायोटाइट के एक ग्राम में पोटैशियम-40 के परमाणुओं की संख्या परिकलित कीजिए।
8. बायोटाइट की पोटैशियम–आर्गन आयु परिकलित कीजिए।
9. हॉर्नब्लेंड की परिकलित कीजिए।
10. यदि शाखन को भुला दिया जाता और सभी क्षयों को आर्गन गिना जाता, तो बायोटाइट कौन सी आयु देता? कैल्शियम-40 क्यों उपयोग नहीं किया जाता?
11. खनिजों के बनने पर फँसा अतिरिक्त आर्गन यहाँ क्यों कम चिंता का विषय है?
12. दोनों आयुएँ समतापरेखा आयु से छोटी हैं। दो व्याख्याएँ दीजिए, और बताइए कि एक आर्गन–आर्गन आयु स्पेक्ट्रम उन्हें कैसे अलग कर सकता है।

भाग III — शीतलन। ग्रेनाइट का एक ज़िरकॉन $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.049361$ और $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.35784$ देता है।

13. दो यूरेनियम–सीसा आयुएँ परिकलित कीजिए। क्या वे संगत हैं?
14. भाग I से III की हर आयु को वह घटना सौंपिए जिसे वह आँकती है। ज़िरकॉन से बायोटाइट तक ग्रेनाइट का तापमान बनाम समय आलेखित कीजिए।
15. हॉर्नब्लेंड और बायोटाइट के अवरोधों के बीच औसत शीतलन-दर परिकलित कीजिए।
16. ज़िरकॉन और हॉर्नब्लेंड के अवरोधों के बीच शीतलन-दर के बारे में क्या कहा जा सकता है?
17. दोनों अवरोध-तापमानों पर, स्वतंत्र, $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ की अनिश्चितता के साथ, कौन सी शीतलन-दर-परास संभव है?
18. इस अध्याय में उद्धृत दूसरी सारणी के साथ (हॉर्नब्लेंड के लिए $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, बायोटाइट के लिए $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), कौन सी दर मिलती है? यह परिणाम के बारे में क्या कहता है?
19. $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर एक सतह के नीचे $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ की भू-तापीय प्रवणता मानिए। बायोटाइट के बंद होने पर ग्रेनाइट किस गहराई पर था?

भाग IV — असंगति। ट्रायसिक बलुआ पत्थर के आधार से $18\,\mathrm{m}$ ऊपर एक राख-परत में ज़िरकॉन हैं जिनमें $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.039108$ और $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.27577$ है। आधार से $58\,\mathrm{m}$ ऊपर एक दूसरी राख-परत $245.30\,\mathrm{Ma}$ आँकी गई है। बलुआ पत्थर के सबसे निचले मीटर में डेट्राइटल ज़िरकॉन लगभग $310\,\mathrm{Ma}$ की आयुएँ देते हैं।

20. निचली राख-परत की आयु परिकलित कीजिए।
21. डेट्राइटल ज़िरकॉन कहाँ से आते हैं, और बलुआ पत्थर की आयु के बारे में वे क्या कहते हैं?
22. राख-परतों के बीच बलुआ पत्थर के संचय की दर, और निचली राख के नीचे भी वही दर मानकर उसके आधार की आयु परिकलित कीजिए।
23. असंगति पर अभिलेख में कितना अंतराल है, ग्रेनाइट के क्रिस्टलीकरण से बलुआ पत्थर के निक्षेपण तक?
24. प्रश्न 19 की गहराई से ग्रेनाइट को सतह तक लाने वाले अपरदन की औसत दर परिकलित कीजिए। इससे अपरदित ग्रेनाइट कहाँ पड़ा था, इस बारे में कौन सी मान्यता बनती है?
25. ग्रेनाइट की शीतलन-दर क्या है?

हल

हल — समस्या 25.1.

1. बिंदु $x$ के साथ लगातार ऊपर उठते हैं; रेखा से उनके विचलन चौथे दशमलव में अधिकतम दो इकाइयाँ हैं, जबकि परास $0.04$ है, $y$ में: वे थोड़े बिखराव के साथ एक सीधी रेखा पर हैं।
2. $\bar x = 4.90333$, $\bar y = 0.729288$, $S_{xx} = 62.1253$, $S_{xy} = 0.269335$; $m = 0.269335/62.1253 = 0.0043354$।
3. $b = 0.729288 - 0.0043354 \times 4.90333 = 0.70803$: ग्रेनाइट का $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ जब वह क्रिस्टलित हुआ, उसके सभी भागों द्वारा साझा।
4. $t = \ln(1.0043354)/1.3972 \times 10^{-11} = 309.6\,\mathrm{Ma}$।
5. अवशेष हैं $+9.1$, $-17.2$, $+6.9$, $-6.4$, $+15.1$ और $-7.5$ ($10^{-5}$ की इकाइयों में); $s = 0.000137$, $\sigma_m = 0.000137/\sqrt{62.1253} = 1.74 \times 10^{-5}$, $\sigma_t = 1.74 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 1.2\,\mathrm{Myr}$: $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, और $\sigma_b = 0.00010$।
6. $0.7080$ पपड़ी के $0.710$ के निकट है, मैंटल के $0.7025$ के मुकाबले कहीं अधिक। मिश्रण के लिए, $(0.70803 - 0.7025)/(0.710 - 0.7025) = 0.74$: स्ट्रॉन्शियम का लगभग तीन-चौथाई पिघली पपड़ी से आया।
7. $0.0740/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.214 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ प्रति ग्राम, $6.022 \times 10^{23}$ से गुणा करने पर: $1.33 \times 10^{17}$ परमाणु।
8. $^{40}\mathrm{Ar}^*/^{40}\mathrm{K} = 4.139 \times 10^{-9}/2.2144 \times 10^{-7} = 0.018691$; $1 + 9.5404 \times 0.018691 = 1.17832$; $t = \ln(1.17832)/5.543 \times 10^{-10} = 296.0\,\mathrm{Ma}$।
9. $^{40}\mathrm{K} = 3.292 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{g}^{-1}$, अनुपात $0.019239$, $\ln(1.18355)/5.543 \times 10^{-10} = 304.0\,\mathrm{Ma}$।
10. $\ln(1.018691)/5.543 \times 10^{-10} = 33.4\,\mathrm{Ma}$, नौ गुना बहुत युवा, क्योंकि लगभग हर दस क्षयों में केवल एक आर्गन देता है। कैल्शियम-40 कैल्शियम का सामान्य समस्थानिक है, शैलों में प्रचुर: क्षय से बना थोड़ा, खनिजों के आरंभ से मौजूद कैल्शियम से अलग नहीं किया जा सकता।
11. अतिरिक्त आर्गन आयुओं को लगभग दस लाख वर्षों की कोटि में खिसकाता है, जो युवा शैलों के लिए मायने रखता है; यहाँ वह आयु के $1\,\%$ से बहुत कम होगा। और अभ्रक और एम्फ़ीबोल के क्रिस्टल बनते समय लगभग कोई आर्गन नहीं लेते।
12. या तो ग्रेनाइट धीरे ठंडा हुआ और अभ्रक तथा एम्फ़ीबोल क्रिस्टलीकरण के बाद बंद हुए (शीतलन-आयुएँ), या बाद के ऊष्मन ने उनके आर्गन का एक भाग निकाल दिया। आर्गन–आर्गन आयु-स्पेक्ट्रम में एक सपाट पठार एक शीतलन-आयु का समर्थन करता है; बिना पठार वाला स्पेक्ट्रम चेतावनी है कि खनिजों ने आर्गन खोया। आयुओं का क्रम, हॉर्नब्लेंड पहले और बायोटाइट बाद में, जैसा उनके अवरोध-तापमान अनुमान करते हैं, भी शीतलन की ओर संकेत करता है।
13. $\ln(1.049361)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$ और $\ln(1.35784)/9.8485 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$: संगत।
14. ज़िरकॉन $310.6\,\mathrm{Ma}$, $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर बंद: क्रिस्टलीकरण; संपूर्ण-शैल समतापरेखा, $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, भी उसे आँकती है, और अपनी अनिश्चितता के भीतर सहमत है; हॉर्नब्लेंड $304.0\,\mathrm{Ma}$: लगभग $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से होकर शीतलन; बायोटाइट $296.0\,\mathrm{Ma}$: लगभग $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से होकर शीतलन। ग्रेक $310.6\,\mathrm{Ma}$ पर $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर से $296.0\,\mathrm{Ma}$ पर $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक उतरता है।
15. $(530 - 280)/(304.02 - 296.03) = 250/7.99 = 31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष।
16. $(750 - 530)/(310.60 - 304.02) = 220/6.58 = 33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष कम से कम, क्योंकि ज़िरकॉन $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर बंद हुआ: शीतलन आरंभ में कम से कम उतना ही तेज़ था।
17. तापमानों का अंतर, $250 \pm \sqrt{40^2 + 40^2} = 250 \pm 57$, $24\text{ से }38\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष देता है।
18. $(550 - 350)/7.99 = 25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष, प्रश्न 17 की परास के भीतर: अनिश्चितता अवरोध-तापमानों से आती है, आयुओं से नहीं।
19. $(280 - 10)/30 = 9.0\,\mathrm{km}$।
20. $\ln(1.039108)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 247.30\,\mathrm{Ma}$, और यूरेनियम-235 अनुपात से भी वही: संगत।
21. ग्रेनाइट से, असंगति पर अपरदित: उनकी आयु उसकी क्रिस्टलीकरण-आयु है। वे केवल दिखाते हैं कि बलुआ पत्थर $310\,\mathrm{Ma}$ से युवा है: एक उच्चतम आयु, राख-परत से कहीं कमज़ोर।
22. $(58 - 18)/(247.30 - 245.30) = 20.0\,\mathrm{m}$ प्रति दस लाख वर्ष; आधार $18/20.0 = 0.90\,\mathrm{Myr}$ निचली राख से पुराना है: $248.20\,\mathrm{Ma}$।
23. $309.6\,\mathrm{Ma}$ (समतापरेखा) या $310.6\,\mathrm{Ma}$ (ज़िरकॉन) से $248.2\,\mathrm{Ma}$ तक: लगभग $62\,\mathrm{Myr}$।
24. $296.0 - 248.2 = 47.8\,\mathrm{Myr}$ में $9.0\,\mathrm{km}$: $0.19\,\mathrm{km}$ प्रति दस लाख वर्ष, यानी $0.19\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष। यह मानता है कि आँका गया बायोटाइट असंगति के ठीक नीचे से आया, ताकि बालू के पहुँचने तक ग्रेनाइट और शिस्ट के ऊपर की सारी शैल हटा दी गई थी, और भू-तापीय प्रवणता स्थिर रही।
25. ग्रेनाइट हॉर्नब्लेंड और बायोटाइट के बंद होने के बीच लगभग $31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति दस लाख वर्ष की दर से ठंडा हुआ।