11समस्थिति और गुरुत्व विसंगतियाँ

1840 के दशक में उत्तरी भारत में एक मध्याह्न-चाप मापते सर्वेक्षकों को एक ऐसा अंतर मिला जिसका दोष वे अपने उपकरणों पर नहीं डाल सकते थे। लगभग 370 मील दूर दो स्टेशनों, हिमालय की तलहटी के निकट कालियाना और दक्षिण में दूर कालियानपुर, के बीच त्रिकोणमिति से मिला अक्षांश-अंतर, तारों से मिले अंतर से 5.236 चाप-सेकंड अधिक था। स्पष्ट अपराधी पर्वत थे: उनका आकर्षण ओलंब-रेखा को उत्तर की ओर खींचता है, और खगोलविद अपने उपकरण ओलंब-रेखा से साधते थे। 1855 में जॉन हेनरी प्रैट ने हिमालय और उसके परे के पठारों के आकर्षण की गणना की और पाया कि इससे अंतर 15.885 सेकंड होना चाहिए था, जो प्रेक्षित से तीन गुने से भी अधिक है। पर्वत अपने दृश्य द्रव्यमान की अपेक्षा कहीं कम खींचते थे। उसी वर्ष जॉर्ज एयरी ने उत्तर दिया कि भूपर्पटी एक सघनतर परत पर पानी में लकड़ियों के बेड़े की तरह तैरती है, इसलिए ऊँची भूमि की गहरी जड़ होती है जो हल्की चट्टान की होती है; प्रैट ने बाद में एक और उत्तर सुझाया, पर्वतों के नीचे विस्तार से हल्की हुई चट्टान। दोनों अब भी पढ़ाए जाते हैं: पर्वतों के नीचे हल्की चट्टान है जो उनके द्रव्यमान की भरपाई करती है। यह अध्याय उस विचार को संख्याओं में बदलता है, और दिखाता है कि गुरुत्व, जो अपने मान के एक दस-लाखवें भाग तक मापा जाता है, उच्चावच के नीचे छिपे द्रव्यमानों को कैसे प्रकट करता है।

पहले से ज्ञात

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम $g = GM/r^2$ देता है, जो गोलीय द्रव्यमान $M$ के बाहर का क्षेत्र है; यह क्षेत्र एक गुरुत्वीय विभव से निकलता है, और एक समविभव पृष्ठ हर जगह क्षेत्र के लंबवत होता है (भौतिकी)। स्थिर द्रव में दाब $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho g$ के अनुसार गहराई के साथ बढ़ता है, और एक तैरता पिंड अपने भार के बराबर द्रव विस्थापित करता है (भौतिकी, विश्वविद्यालय वर्ष 1)। स्थलमंडल के नीचे दुर्बलमंडल लंबे समयों में बहता है; भूपर्पटी उसके नीचे के प्रावार से हल्की है (अध्याय 9; पुस्तक 2, कक्षा 11)।

11.1 गुरुत्व और उसका मापन

पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण लगभग $9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ है, और भूवैज्ञानिकों की रुचि की विचलन उससे दस लाख गुना छोटी हैं। वे पुरानी सेंटीमीटर-ग्राम प्रणाली की एक इकाई, गैल, में गिनी जाती हैं: $1\,\mathrm{Gal} = 1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.01\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, इसलिए कि

एक क्षेत्रीय उपकरण कुछ हज़ारवें मिलीगैल को विभेदित करता है; इस अध्याय में पढ़ी विसंगतियाँ एक दबी अयस्क-पिंड के ऊपर मिलीगैल के एक अंश से लेकर एक पर्वत-शृंखला के ऊपर कुछ सौ मिलीगैल तक हैं।

निर्विशेष पृथ्वी पर भी गुरुत्व हर जगह एक समान न होता। पृथ्वी घूमती है, इसलिए ओलंब-रेखा या गुरुत्वमापी जो महसूस करता है वह गुरुत्वाकर्षण और घूर्णन के अपकेंद्री प्रभाव का योग है; और पृथ्वी चपटी है, इसलिए ध्रुव उसके केंद्र के भूमध्य रेखा की तुलना में निकट हैं। दोनों प्रभाव भूमध्य रेखा पर गुरुत्व को ध्रुवों की तुलना में दुर्बल बनाते हैं। एक भूवैज्ञानिक हर माप की तुलना एक चिकने संदर्भ से करता है जो इन्हें समाहित करता है।

परिभाषा 11.1 (सामान्य गुरुत्व)

सामान्य गुरुत्व $\gamma$ एक प्रतिरूप पृथ्वी का गुरुत्व है: एक घूर्णन-दीर्घवृत्तज, जिसका द्रव्यमान और घूर्णन पृथ्वी के समान हैं, इस प्रकार चुना गया कि उसकी सतह अपने ही गुरुत्व (गुरुत्वाकर्षण और अपकेंद्री प्रभाव का योग) का एक समविभव हो। उस सतह पर सामान्य गुरुत्व केवल अक्षांश पर निर्भर करता है।

दीर्घवृत्तज स्वयं, उसकी चपटाई और उसके प्राचलों को वास्तविक पृथ्वी से जिस प्रकार फ़िट किया जाता है, पुस्तक 5 में पढ़े जाते हैं। यहाँ हमें केवल उसका गुरुत्व चाहिए।

प्रतिज्ञप्ति 11.2 (सामान्य गुरुत्व का सूत्र)

1980 में अपनाए गए संदर्भ दीर्घवृत्तज पर, भौगोलिक अक्षांश $\varphi$ पर सामान्य गुरुत्व, उसके सामान्य श्रेणी-रूप में, है

$$\gamma(\varphi) = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\,\bigl(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^2 2\varphi\bigr).$$

यह भूमध्य रेखा पर $9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $45{}^{\circ}$ पर $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ और ध्रुवों पर $9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ देता है: भूमध्य रेखा से ध्रुव तक $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ का अंतर। अधिकांश भाग अकेले घूर्णन से आता है। नाक्षत्र दिवस $23.9345\,\mathrm{h}$ के साथ कोणीय वेग $\omega = 2\pi/86\,164\,\mathrm{s} = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, और भूमध्य रेखा पर अपकेंद्री त्वरण, $\omega^2 a$ जहाँ $a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $0.0339\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, या $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है; शेष भाग चपटाई देती है (अभ्यास 11.2)।

गुरुत्व दो प्रकार से मापा जाता है। एक निरपेक्ष गुरुत्वमापी एक निर्वात कक्ष में परीक्षण-द्रव्यमान गिराता है और उसके मुक्त पतन को एक लेज़र इंटरफ़ेरोमीटर से अनुसरित करता है, जिसका समय एक परमाणु घड़ी से मापा जाता है: त्वरण सीधे दूरी और समय से निकलता है। एक सापेक्ष गुरुत्वमापी एक स्प्रिंग से लटका द्रव्यमान है, जिसका खिंचाव गुरुत्व के साथ बदलता है; वह हल्का और तेज़ है, पर वह केवल स्थानों के बीच अंतर देता है, और वह बहता है, इसलिए एक सर्वेक्षण एक आधार-स्टेशन पर लौटता है जिसका गुरुत्व ज्ञात है। सबसे अच्छे निरपेक्ष उपकरण लगभग एक माइक्रोगैल तक सही हैं, $g$ के एक अरबवें भाग के बराबर।

क्षेत्र-कार्य — भूमि पर एक गुरुत्व सर्वेक्षण

भूमि पर एक गुरुत्व सर्वेक्षण स्टेशन से स्टेशन तक एक धीमी यात्रा है। हर एक पर भूभौतिकीविद् सापेक्ष गुरुत्वमापी को उसके त्रिपाद पर रखता है, उसे समतल करता है, स्प्रिंग के स्थिर होने की प्रतीक्षा करता है और कई पाठ लेता है; उसके बगल का एक उपग्रह-स्थिति ग्राही स्टेशन की स्थिति और ऊँचाई दर्ज करता है। हर कुछ घंटों में दल आधार-स्टेशन पर लौटता है, ताकि स्प्रिंग का बहाव मापा और हटाया जा सके। ऊँचाई गुरुत्व जितनी ही मायने रखती है: जैसा अगला भाग दिखाता है, गुरुत्व हर मीटर ऊँचाई के लिए $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ गिरता है, इसलिए $1\,\mathrm{cm}$ गलत ऊँचाई पाठ को $3\,\text{µ}\mathrm{Gal}$ बिगाड़ देती है।

11.2 समस्थिति

हिमालय के लिए एयरी और प्रैट ने जिस प्रतिपूर्ति की कल्पना की, वह पृथ्वी की बाहरी परतों की एक सामान्य अवस्था का एक उदाहरण है।

परिभाषा 11.3 (समस्थिति; प्रतिपूर्ति गहराई)

किसी क्षेत्र में समस्थिति, अथवा समस्थैतिक साम्य, होता है जब एक गहराई, प्रतिपूर्ति गहराई, विद्यमान हो, जिस पर दाब क्षैतिज सतह के हर बिंदु पर समान हो, ऊपर के उच्चावच चाहे जो हों। प्रतिपूर्ति गहराई के नीचे चट्टानें स्थिर द्रव की तरह व्यवहार करती हैं; उसके ऊपर भूपर्पटी और प्रावार के स्तंभ उन पर तैरते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 11.4 (समान द्रव्यमान, प्रतिपूर्ति गहराई के ऊपर)

यदि गुरुत्व $g$ सभी स्तंभों के साथ समान है, तो एक क्षेत्र प्रतिपूर्ति गहराई $z_c$ के साथ समस्थिति में है यदि और केवल यदि एकाई अनुप्रस्थ-काट का हर ऊर्ध्वाधर स्तंभ, सतह से लेकर $z_c$ तक, एक ही द्रव्यमान रखता है।

दो सरल तरीके द्रव्यमानों के वितरण के दो क्लासिकी प्रतिरूप देते हैं (नीचे का चित्र)।

प्रतिज्ञप्ति 11.5 (एयरी समस्थिति)

मान लीजिए भूपर्पटी का एक एकसमान घनत्व $\rho_c$ और मोटाई $H$ है जहाँ उसकी सतह समुद्र-तल पर है, $\rho_m > \rho_c$ घनत्व वाले प्रावार के ऊपर। समस्थैतिक साम्य में:

1. जहाँ सतह समुद्र-तल से ऊपर ऊँचाई $h$ पर खड़ी है, वहाँ भूपर्पटी के सामान्य भूपर्पटी के नीचे गहराई $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ की एक जड़ है, और मोटाई $H + h + r$ है;
2. जहाँ सतह समुद्र-तल से गहराई $d$ पर है, घनत्व $\rho_w$ के पानी के नीचे, वहाँ भूपर्पटी का एक प्रति-जड़ है: उसका आधार $r' = d\,(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c)$ से ऊपर उठा है, और उसकी मोटाई $H - d - r'$ है।

यह एयरी समस्थिति है: घनत्व स्थिर रहते हुए मोटाई के परिवर्तन से प्रतिपूर्ति।

प्रतिज्ञप्ति 11.6 (प्रैट समस्थिति)

हर स्तंभ समुद्र-तल से नीचे एक ही प्रतिपूर्ति गहराई $D$ पर समाप्त हो, हर स्तंभ में एकसमान घनत्व के साथ, जो सतह के समुद्र-तल पर होने पर $\rho_0$ है। समस्थैतिक साम्य में जिस स्तंभ की सतह ऊँचाई $h$ पर खड़ी है, उसका घनत्व है

$$\rho(h) = \rho_0\,\frac{D}{D + h},$$

और पानी की गहराई $d$ के नीचे एक स्तंभ का घनत्व है $\rho = (\rho_0 D - \rho_w d)/(D - d)$। यह प्रैट समस्थिति है: स्थिर गहराई पर घनत्व के परिवर्तन से प्रतिपूर्ति।

$\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, एयरी का मूल $h\times2700/600 = 4.5\,h$ है: $2\,\mathrm{km}$ ऊँची एक श्रेणी का मूल $9\,\mathrm{km}$ का है, $4\,\mathrm{km}$ ऊँचे एक पठार का $18\,\mathrm{km}$। प्रैट के प्रतिरूप में $D = 100\,\mathrm{km}$ और $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, वही दो स्तंभों के घनत्व 2647 और $2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ हैं, दो और चार प्रतिशत हल्के। दोनों प्रतिरूप वही द्रव्यमान संतुलित करते हैं; वे इसमें भिन्न हैं कि हल्की चट्टान कहाँ है, और यह भूकंप-विज्ञान देख सकता है: एयरी पर्वतों के नीचे गहराते मोहो की भविष्यवाणी करता है, प्रैट एक समतल मोहो की।

समस्थिति एक ऐसा कथन है जो लंबे समयों में विस्तृत क्षेत्रों के बारे में है। दुर्बलमंडल केवल उन भारों के आगे झुकता है जो हज़ारों वर्षों तक बने रहते हैं, और उसके ऊपर का स्थलमंडल इतना कठोर है कि एक संकीर्ण भार को मोड़कर एक व्यापक क्षेत्र पर फैला दे, जैसे एक तख़्ता भार उठाता है: एक अकेला ज्वालामुखी अपने ही नीचे प्रतिपूर्ति नहीं पाता; स्थलमंडल का यह मोड़ पुस्तक 5 में पढ़ा जाता है। बड़ी पर्वत-शृंखलाओं के नीचे भूपर्पटी उसके महाद्वीपीय औसत, लगभग $30\,\mathrm{km}$ से कहीं अधिक मोटी है: एयरी का चित्र, हल्की भूपर्पटी की जड़ें, पर्वत-शृंखलाओं के लिए अधिक निकट है। प्रैट का, स्थिर गहराई पर हल्की चट्टान, मध्य-महासागरीय कटकों की व्याख्या करता है, जो एक ऊपरी प्रावार के ऊपर ऊँचे खड़े रहते हैं जिसे उसके ऊँचे तापमान ने हल्का कर दिया है।

पृथ्वी के दो स्तर

समस्थिति पूरे ग्रह के उच्चावच को व्यवस्थित करती है। उसका वितरण एक वक्र से सारांशित होता है।

परिभाषा 11.7 (हिप्सोमेट्रिक वक्र)

किसी ग्रह का हिप्सोमेट्रिक वक्र उसकी सतह के हर अंश $f$ के लिए वह उन्नयन $z(f)$ देता है, जिसे ठीक उतना ही अंश पार करता है। यह ऊपर से पढ़े गए उन्नयन का संचयी वितरण है।

इसे एक ग्रिड वाले उन्नयन-प्रतिरूप से खींचने के लिए हर ग्रिड-कोष्ठक को उसके क्षेत्रफल से भारित करना होगा। अक्षांश और देशांतर में एक-एक डिग्री के ग्रिड पर, अक्षांशों $\varphi_1$ और $\varphi_2$ के बीच का कोष्ठक क्षेत्रफल $R^2\,\Delta\lambda\,(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$ रखता है, जो ध्रुवों की ओर सिकुड़ता है; सभी कोष्ठकों पर जोड़ने से क्षेत्रफल ठीक $4\pi R^2$ देते हैं। कोष्ठकों को उन्नयन के अनुसार छाँटकर और उनके क्षेत्रफल संचित करके नीचे के चित्र का वक्र मिलता है। वह दिखाता है कि सतह का $70.9\,\%$ भाग समुद्र-तल से नीचे है; कि भूमि का औसत उन्नयन लगभग $0.8\,\mathrm{km}$ है और महासागर की औसत गहराई लगभग $3.7\,\mathrm{km}$; और कि सतह का अधिकांश भाग दो सपाट सोपानों में से एक का है, समुद्र-तल के निकट महाद्वीपीय मंच और लगभग 3.5 से $6\,\mathrm{km}$ नीचे का अतल तल, जो एक तीखी ढलान से जुड़े हैं।

एक ग्रह जिसकी एक ही प्रकार की भूपर्पटी हो, जिसका उच्चावच यादृच्छिक रूप से उठा और घिसा हो, एक ही स्तर रखता, जिसके चारों ओर उन्नयन बिखरे होते। पृथ्वी के दो हैं, क्योंकि उसकी समस्थैतिक साम्य में दो प्रकार की भूपर्पटी है: मोटी, हल्की महाद्वीपीय भूपर्पटी ऊँची तैरती है, पतली, सघन महासागरीय भूपर्पटी नीची (पुस्तक 2, कक्षा 11)। अभ्यास 11.8 दिखाता है कि एयरी का एक भूपर्पटी-घनत्व वाला प्रतिरूप प्रेक्षित भूपर्पटी-मोटाइयों के साथ दोनों स्तर उत्पन्न नहीं कर सकता।

11.3 गुरुत्व विसंगतियाँ

दो सुधार

पहाड़ी पर का गुरुत्वमापी पृथ्वी के केंद्र से समुद्र-तल वाले की तुलना में अधिक दूर है, और चट्टान की एक ऐसी परत पर खड़ा है जो दूसरे के नीचे नहीं है। दोनों प्रभाव माप की सामान्य गुरुत्व से तुलना से पहले परिकलित किए जाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 11.8 (मुक्त-वायु प्रवणता)

त्रिज्या $R$ के एक गोलीय पृथ्वी के बाहर, गुरुत्व ऊँचाई $h$ के साथ इस दर से घटता है:

$$\frac{\mathrm dg}{\mathrm dh} = -\frac{2g}{R}\,;$$

सतह पर, $2g/R \approx 3.08 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$, लगभग $0.308\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ प्रति मीटर।

समतलीकरण और घूर्णन प्रवणता को थोड़ा बदलते हैं; व्यवहार में प्रयुक्त मान $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ है।

प्रतिज्ञप्ति 11.9 (बूगेर पट्टी)

मोटाई $h$ और एकसमान घनत्व $\rho$ की एक अनंत क्षैतिज पट्टी उसके बाहर के एक बिंदु को ऊर्ध्वाधर त्वरण के साथ आकर्षित करती है:

$$g_B = 2\pi G\rho h ,$$

बिंदु से पट्टी तक की दूरी चाहे जो हो। संख्यात्मक रूप से $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ प्रति मीटर मोटाई और प्रति $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व पर।

परिभाषा 11.10 (गुरुत्व विसंगतियाँ)

मान लीजिए $g$ अक्षांश $\varphi$ और समुद्र-तल से ऊँचाई $h$ पर एक स्टेशन पर मापा गया गुरुत्व है।

• एक गुरुत्व विसंगति एक सामान्य स्तर तक सुधारे गए मापित गुरुत्व और उसी अक्षांश पर सामान्य गुरुत्व के बीच का अंतर है।
• मुक्त-वायु सुधार है $+0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times h$: यह गुरुत्व की ऊँचाई के साथ कमी को वापस जोड़ता है। मुक्त-वायु विसंगति है $\Delta g_{\mathrm{FA}} = g + 0.3086\,h - \gamma(\varphi)$।
• बूगेर सुधार है $-2\pi G\rho h$: यह स्टेशन और समुद्र-तल के बीच की चट्टान का आकर्षण हटाता है, जिसे घनत्व $\rho$ की एक पट्टी माना जाता है, परंपरागत रूप से $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, जो प्रति मीटर $0.112\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ देता है। बूगेर विसंगति है $\Delta g_{\mathrm B} = \Delta g_{\mathrm{FA}} - 2\pi G\rho h$।

पट्टी खुरदुरे देश में एक स्टेशन के चारों ओर की भूमि का एक मोटा प्रतिरूप है: स्टेशन के नीचे की घाटियाँ उस चट्टान के रूप में गिनी जाती हैं जो वहाँ नहीं है, और उसके ऊपर की पहाड़ियाँ ऊपर खींचती हैं और बिल्कुल नहीं गिनी जातीं। एक तीसरा अपचयन, भूभाग सुधार, जो एक अंकीय उन्नयन-प्रतिरूप से परिकलित होता है, दोनों त्रुटियाँ हटाता है। समुद्र पर मुक्त-वायु सुधार शून्य होता है, और बूगेर अपचयन पानी की जगह चट्टान रखता है।

विधि 11.11 (गुरुत्व-पाठ का अपचयन)

1. स्टेशन के अक्षांश पर सामान्य गुरुत्व $\gamma(\varphi)$ परिकलित कीजिए।
2. मापे गए गुरुत्व में मुक्त-वायु सुधार $0.3086\,h$ ($\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ में, $h$ मीटर में) जोड़िए और $\gamma$ घटाइए: यह मुक्त-वायु विसंगति है।
3. बूगेर सुधार $0.0419\times(\rho/1000)\times h$ घटाइए, जो मानक घनत्व के लिए $0.112\,h$ है: यह बूगेर विसंगति है।
4. पूरे हिसाब में मिलीगैल में काम कीजिए, और मापे गए तथा सामान्य गुरुत्व को सात सार्थक अंकों तक रखिए: विसंगति दो बड़ी संख्याओं का एक छोटा अंतर है।

उदाहरण 11.12 (एक पहाड़ी पर स्टेशन)

समुद्र-तल से $1200\,\mathrm{m}$ ऊपर और $45{}^{\circ}$ अक्षांश के एक स्टेशन पर गुरुत्वमापी $9.802\,597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ देता है। वहाँ का सामान्य गुरुत्व $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ है; मापा गया मान $360.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ कम है। मुक्त-वायु सुधार $0.3086\times1200 = 370.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है, अतः $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -360.3 + 370.3 = +10.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। बूगेर सुधार $0.112\times1200 = 134.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है, अतः $\Delta g_{\mathrm B} = -124.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: समुद्र-तल से ऊपर की चट्टान हटाने के बाद इस स्टेशन के नीचे समुद्र-तल वाले स्टेशन के नीचे की तुलना में कम द्रव्यमान है।

विसंगतियाँ प्रतिपूर्ति के बारे में क्या कहती हैं

प्रतिज्ञप्ति 11.13 (व्यापक उच्चावच पर विसंगतियाँ)

मान लीजिए ऊँचाई $h$ और घनत्व $\rho_c$ का एक पठार है, जो अपनी प्रतिपूर्ति गहराई से कहीं अधिक चौड़ा है, और उसके केंद्र के निकट एक स्टेशन। बूगेर घनत्व को $\rho_c$ के बराबर लीजिए।

1. यदि पठार प्रतिपूर्ति नहीं है, तो $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 2\pi G\rho_c h$ और $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$।
2. यदि वह समस्थैतिक साम्य में है, प्रतिपूर्ति करने वाले द्रव्यमानों का वितरण चाहे जो हो, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ और $\Delta g_{\mathrm B} \approx -2\pi G\rho_c h$।

एयरी प्रतिपूर्ति के लिए दूसरी स्थिति का बूगेर विसंगति भी $-2\pi G(\rho_m - \rho_c)r$ है, मूल के लुप्त द्रव्यमान का आकर्षण, क्योंकि $(\rho_m - \rho_c)r = \rho_c h$। विस्तृत क्षेत्रों पर शून्य के निकट मुक्त-वायु विसंगतियाँ इस प्रकार समस्थिति का चिह्न हैं, और बूगेर विसंगतियाँ जो उच्चावच का दर्पण-प्रतिबिंब अनुसरण करती हैं, प्रतिपूर्ति करने वाले द्रव्यमानों को मापती हैं: बूगेर विसंगतियाँ आल्प्स के पूरे विस्तार में क्षेत्रीय रूप से ऋणात्मक हैं, और मध्य-महासागरीय कटकों पर, वे चाहे जितने ऊँचे हों, मुक्त-वायु विसंगति छोटी है। महासागरों पर बूगेर विसंगति धनात्मक है: पानी की जगह चट्टान रखने से उस स्तंभ पर द्रव्यमान जुड़ता है जिससे कोई द्रव्यमान गायब नहीं है।

उच्चावच के किनारों के निकट पट्टी का सन्निकटन विफल होता है, क्योंकि उच्चावच स्टेशन के निकट है और मूल उसके नीचे बहुत दूर। नीचे का चित्र एक प्रतिरूप श्रेणी, जो $200\,\mathrm{km}$ चौड़ी और $2\,\mathrm{km}$ ऊँची है, का सटीक आकर्षण देता है। प्रतिपूर्ति के बिना, मुक्त-वायु विसंगति केंद्र पर $+225\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है, जो पट्टी के मान $226\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ के निकट है; $9\,\mathrm{km}$ के एयरी मूल के साथ, केंद्र की मुक्त-वायु विसंगति $+55\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ तक गिरती है, शून्य तक नहीं, क्योंकि केवल $200\,\mathrm{km}$ चौड़ी श्रेणी अपने मूल से $40\,\mathrm{km}$ ऊपर से अनंत नहीं दिखती, और मुक्त-वायु विसंगति हर किनारे के ठीक बाहर तीखी ऋणात्मक हो जाती है, जहाँ स्टेशन मूल देखता है पर पर्वत नहीं।

विधि 11.14 (एक क्षेत्र की समस्थिति की जाँच)

1. उच्चावच के किनारों से दूर, भूपर्पटी की मोटाई से कई गुना चौड़े क्षेत्र पर मुक्त-वायु विसंगति का औसत लीजिए।
2. यदि वह शून्य के निकट है, तो क्षेत्र प्रतिपूरित है; यदि वह औसत ऊँचाई के गुणा $2\pi G\rho_c$ के निकट पहुँचती है, तो नहीं।
3. अनुपात $-\Delta g_{\mathrm B}/(2\pi G\rho_c h)$ उच्चावच का वह अंश देता है जो प्रतिपूरित है।
4. मोहो की गहराई पर भूकंपीय या अन्य प्रमाण एयरी की प्रतिपूर्ति को प्रैट की से अलग बताते हैं: अकेला विस्तृत गुरुत्व नहीं बता सकता, क्योंकि दोनों उच्चावच के नीचे एक ही द्रव्यमान-कमी रखते हैं।

इतिहास — समुद्र पर गुरुत्व

एक लोलक अपने आवर्तकाल से गुरुत्व मापता है, पर एक जहाज़ पर लहरें उसे किसी भी विसंगति से कहीं अधिक हिलाती हैं। 1920 के दशक में डच भू-मापक फ़ेलिक्स वेनिंग मायनेज़ ने उपाय खोजा: एक ही चौखट में विपरीत कला में झूलते दो लोलक जहाज़ के वही क्षैतिज त्वरण महसूस करते हैं, और उनका अंतर उन्हें निरस्त कर देता है। 1923 से उन्होंने अपना उपकरण डच नौसेना की पनडुब्बियों पर ले जाया, जहाँ डूबे होने पर वह लहरों के सबसे बुरे प्रभाव से बच जाता था, पहले पूर्वी द्वीपसमूह की एक यात्रा पर और फिर उनके समुद्रों के सर्वेक्षणों में। द्वीपसमूह की गहरी समुद्री खाइयों के साथ उन्हें ऋणात्मक समस्थैतिक विसंगतियों की लंबी पट्टियाँ मिलीं, और फिर उन्होंने वे अन्य खाइयों के साथ भी पाईं: वे उन्हें केवल ऐसी भूपर्पटी से समझा सकते थे जिसे वहाँ बाहरी बलों द्वारा नीचे दबाया गया हो, और जो समस्थैतिक साम्य से बाहर हो।

11.4 जियॉइड

स्थिर समुद्र-सतह स्थिर गुरुत्व-विभव की एक सतह है: यदि ऐसा न होता, तो पानी उस पर बहता। वह ऊँचाइयों के लिए स्वाभाविक संदर्भ है, वह सतह जिस पर पुरानी ओलंब-रेखाएँ लंबवत थीं।

परिभाषा 11.15 (जियॉइड; जियॉइड ऊँचाई)

जियॉइड पृथ्वी के गुरुत्व (गुरुत्वाकर्षण और घूर्णन के अपकेंद्री प्रभाव का योग) का वह समविभव पृष्ठ है जो खुले महासागरों पर स्थिर औसत समुद्र-सतह के साथ संपाती है, और महाद्वीपों के नीचे आगे बढ़ाया जाता है। किसी बिंदु पर जियॉइड ऊँचाई $N$ संदर्भ दीर्घवृत्तज के ऊपर जियॉइड की ऊँचाई है, जहाँ जियॉइड उसके नीचे है वहाँ ऋणात्मक गिनी जाती है।

मानचित्रों पर समुद्र-तल से ऊपर की ऊँचाइयाँ जियॉइड से ऊपर की ऊँचाइयाँ हैं; उपग्रह स्थिति-निर्धारण से दी गई ऊँचाइयाँ दीर्घवृत्तज से ऊपर की हैं; दोनों $N$ से भिन्न हैं। जियॉइड आइसलैंड के निकट $+85\,\mathrm{m}$ और दक्षिणी भारत के तट पर $-106\,\mathrm{m}$ दीर्घवृत्तज से हटता है, कुल मिलाकर $200\,\mathrm{m}$ से कम, जबकि ठोस सतह का उच्चावच लगभग $20\,\mathrm{km}$ फैला है: जियॉइड ज़मीन से कहीं अधिक चिकनी सतह है।

प्रतिज्ञप्ति 11.16 (जियॉइड ऊँचाई और विभव-विसंगति)

माना $\Phi$ पृथ्वी का गुरुत्वीय विभव है और $\Phi_n$ सामान्य विभव, उस प्रतिरूप पृथ्वी का जिसकी सतह, संदर्भ दीर्घवृत्तज, का वही विभव $\Phi_0$ है जो जियॉइड का है; दोनों भौतिकी के चिह्न से गिने गए (विभव ऊपर की ओर बढ़ता है और $g = -\nabla\Phi$)। माना $T = \Phi - \Phi_n$ जियॉइड पर विभव-विसंगति है। पहली कोटि तक,

$$N = -\frac{T}{\gamma} .$$

भूमितिज्ञ, जो विभव को विपरीत चिह्न से गिनते हैं, वही परिणाम $N = T/\gamma$ लिखते हैं, ब्रुन्स का सूत्र।

किसी बिंदु के नीचे द्रव्यमान की अधिकता वहाँ विभव को और ऋणात्मक बनाती है, इसलिए $T < 0$ और $N > 0$: जियॉइड अधिक द्रव्यमान के ऊपर उभरता है और कमी के ऊपर धँसता है। आइसलैंड के निकट ऊँचाई के $85\,\mathrm{m}$ एक विभव-विसंगति से मेल खाते हैं: $-85\,\mathrm{m}\times9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx -830\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$। चूँकि विभव $1/r$ से घटता है जबकि आकर्षण $1/r^2$ से, जियॉइड बड़े, गहरे द्रव्यमानों से प्रभावित होता है, और गुरुत्व विसंगतियाँ उथले द्रव्यमानों से। प्रतिपूरित पर्वत-शृंखला जियॉइड को केवल थोड़ा उठाती है, क्योंकि उसकी द्रव्यमान-अधिकता और उसके मूल की कमी लगभग निरस्त हो जाते हैं; एक अप्रतिपूरित भार उसे कहीं अधिक उठाता है।

विचलन छोटे हैं: वह पूरा विचलन जिसने भारत के सर्वेक्षकों को परेशान किया, लगभग पाँच चाप-सेकंड था। महासागरों पर जियॉइड दिखता है। 1978 से उपग्रहों पर रडार अल्टीमीटर समुद्र-सतह से परावर्तित सूक्ष्मतरंग स्पंदों का समय मापकर उसकी ऊँचाई नापते हैं। ज्वार, लहरों और धाराओं को औसत से हटा देने पर, समुद्र-सतह समुद्री पर्वतों और कटकों के ऊपर ऊँची और खाइयों व अतल मैदानों के ऊपर नीची खड़ी होती है, और ये उभार (अभ्यास 11.11 उनमें से एक का अनुमान लगाती है) गहरे समुद्र-तल का उच्चावच ऐसी जगहों पर मानचित्रित करते हैं जहाँ कोई जहाज़ नहीं गया। उपग्रह GOCE, 2009 से 2013 तक, लगभग $260\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर उड़ा और कक्षा से गुरुत्व क्षेत्र मापा, जियॉइड को 1 से $2\,\mathrm{cm}$ तक और गुरुत्व विसंगतियों को लगभग $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ तक सही करने के लक्ष्य के साथ, और $100\,\mathrm{km}$ से बेहतर विभेदन के साथ।

गति में समस्थिति

समस्थिति प्रवाह से पहुँची जाती है, और प्रवाह में समय लगता है। अंतिम हिमयुग के चरम पर, लगभग $20\,000$ वर्ष पहले, लगभग $3\,\mathrm{km}$ मोटी एक हिम-चादर स्कैंडिनेविया को ढकती थी। बर्फ़ पानी से लगभग नौ-दसवें भाग सघन है, इसलिए $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के प्रावार के साथ, ऐसी चादर के नीचे पूरा समस्थैतिक अवनमन $3000\,\mathrm{m}\times900/3300 \approx 820\,\mathrm{m}$ है। बर्फ़ चली गई है, और भूमि अब भी ऊपर उठ रही है: उपग्रह स्थिति-निर्धारण आज बॉथ्निया की खाड़ी के पश्चिम में, उत्तरी स्वीडन में लगभग $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ तक उत्थान मापता है। जिस दर से एक अवनमन शिथिल होता है वह नीचे के प्रावार की श्यानता मापती है, जो पुस्तक 5 का विषय है; अभ्यास 11.12 दिखाता है कि कैसे।

11.5 अभ्यास

अभ्यास 11.1 ★

(क) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ के बूगेर विसंगति को $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ में बदलिए, और उसे $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ के अंश के रूप में व्यक्त कीजिए। (ख) वही $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ के लिए, जो GOCE से गुरुत्व विसंगतियों के लिए लक्ष्यित परिशुद्धता है, और $1\,\text{µ}\mathrm{Gal}$ के लिए।

हल

हल — अभ्यास 11.1.

(क) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = -150\times10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, और $1.5 \times 10^{-3}/9.81 = 1.53 \times 10^{-4}$ का $g$। (ख) $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $g$ का $1.02 \times 10^{-6}$; $1\,\text{µ}\mathrm{Gal} = 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $g$ का $1.02 \times 10^{-9}$: जो गुरुत्वमापी एक माइक्रोगैल विभेदित करता है, वह गुरुत्व को लगभग एक अरबवें भाग तक मापता है।

अभ्यास 11.2 ★

(क) अध्याय के सूत्र से भूमध्य रेखा, $45{}^{\circ}$ और ध्रुवों पर सामान्य गुरुत्व परिकलित कीजिए। (ख) भूमध्य रेखा से ध्रुव तक का अंतर मिलीगैल में दीजिए। (ग) भूमध्य रेखा पर अपकेंद्री त्वरण $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है। अंतर का कितना भाग घूर्णन सीधे समझाता है?

हल

हल — अभ्यास 11.2.

(क) भूमध्य रेखा पर दोनों ज्याएँ शून्य हैं: $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। $45{}^{\circ}$ पर, $\sin^2\varphi = 0.5$ और $\sin^2 2\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0026512 - 0.0000058) = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। ध्रुवों पर, $\sin^2\varphi = 1$ और $\sin 2\varphi = 0$: $\gamma = 9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। (ख) $9.832186 - 9.780327 = 0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, अर्थात् $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। (ग) $3392/5186 = 0.65$: अपकेंद्री प्रभाव अंतर का लगभग दो-तिहाई समझाता है; चपटाई, जो ध्रुवों को केंद्र के निकट रखती है, शेष।

अभ्यास 11.3 ★

एक पठार समुद्र-तल से $3\,\mathrm{km}$ ऊपर खड़ा है। $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व की भूपर्पटी और $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के प्रावार के साथ, उसका एयरी मूल और उसकी भूपर्पटी का मोटा होना परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 11.3.

$r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 3\times2800/500 = 16.8\,\mathrm{km}$। भूपर्पटी $h + r = 19.8\,\mathrm{km}$ जितनी मोटी है (अर्थात् $h\rho_m/(\rho_m - \rho_c) = 3\times3300/500$)।

अभ्यास 11.4 ★

(क) एक गुरुत्वमापी को कितना ऊपर उठाया जाना चाहिए ताकि उसका पाठ $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ गिर जाए? $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ लीजिए। (ख) एक सर्वेक्षण विसंगतियों को $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ तक लक्ष्यित करता है। स्टेशन की ऊँचाइयाँ किस परिशुद्धता से ज्ञात होनी चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 11.4.

(क) $1/0.3086 = 3.24\,\mathrm{m}$। (ख) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$: ऊँचाइयाँ लगभग $3\,\mathrm{cm}$ तक ज्ञात होनी चाहिए, इसीलिए एक सर्वेक्षण हर स्टेशन की ऊँचाई उपग्रह-स्थिति-निर्धारण या समतलन से दर्ज करता है।

अभ्यास 11.5 ★★

$D = 100\,\mathrm{km}$ और $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ वाले प्रैट के प्रतिरूप में, (क) 1, 3 और $5\,\mathrm{km}$ ऊँचे खड़े स्तंभों का घनत्व परिकलित कीजिए; (ख) $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व के समुद्री पानी की $4\,\mathrm{km}$ के नीचे वाले स्तंभ का घनत्व परिकलित कीजिए। (ग) प्रैट का प्रतिरूप महाद्वीपों की तुलना में समुद्र-तल के लिए अधिक उपयुक्त क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 11.5.

(क) $\rho = 2700\times100/(100 + h)$: $1\,\mathrm{km}$ के लिए $2673\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3\,\mathrm{km}$ के लिए $2621\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $5\,\mathrm{km}$ के लिए $2571\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$। (ख) $\rho = (2700\times100 - 1030\times4)/96 = 265\,880/96 = 2770\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: समुद्र के नीचे का स्तंभ सघनतर है। (ग) प्रैट का प्रतिरूप स्थिर गहराई पर घनत्व के पार्श्व परिवर्तन माँगता है। महासागर-तल के नीचे ऐसे परिवर्तन विद्यमान हैं: कटक के निकट युवा, गरम स्थलमंडल दूर के पुराने, ठंडे स्थलमंडल से हल्का है (अध्याय 10)। महाद्वीपों के नीचे, इसके विपरीत, भूपर्पटी की मोटाई उच्चावच के साथ बदलती देखी जाती है।

अभ्यास 11.6 ★★

दो स्टेशन $48{}^{\circ}$ अक्षांश पर हैं, जहाँ सामान्य गुरुत्व $9.808\,911\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ है। स्टेशन 1, समुद्र-तल से $350\,\mathrm{m}$ ऊपर, $9.807\,751\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ पढ़ता है; स्टेशन 2, $1850\,\mathrm{m}$ पर, $9.803\,552\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ पढ़ता है। (क) मानक बूगेर घनत्व से दोनों की मुक्त-वायु और बूगेर विसंगतियाँ परिकलित कीजिए। (ख) स्टेशन 2 की विसंगतियाँ उसके चारों ओर के पर्वतों के बारे में क्या सुझाती हैं?

हल

हल — अभ्यास 11.6.

(क) स्टेशन 1: $g - \gamma = 9.807751 - 9.808911 = -0.001\,160\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -116.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; मुक्त-वायु सुधार $0.3086\times350 = 108.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, अतः $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -8.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; बूगेर सुधार $0.112\times350 = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, अतः $\Delta g_{\mathrm B} = -47.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। स्टेशन 2: $g - \gamma = -535.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; मुक्त-वायु सुधार $0.3086\times1850 = 570.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, अतः $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +35.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; बूगेर सुधार $0.112\times1850 = 207.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, अतः $\Delta g_{\mathrm B} = -172.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। (ख) स्टेशन 2 पर बूगेर विसंगति प्रबल रूप से ऋणात्मक है: पर्वतों के नीचे द्रव्यमान की कमी है, हल्की भूपर्पटी की एक जड़। मुक्त-वायु विसंगति, बूगेर सुधार की तुलना में छोटी, दिखाती है कि कमी पर्वतों को लगभग निरस्त करती है: वे बहुत हद तक प्रतिपूरित हैं (लगभग $172/207$, या $83\,\%$, यदि पट्टी प्रतिरूप पूरी शृंखला के लिए सही है)।

अभ्यास 11.7 ★★

(क) प्रतिज्ञप्ति 11.9 के सिद्ध का अनुसरण करते हुए दिखाइए कि त्रिज्या $a$, मोटाई $h$ और घनत्व $\rho$ की एक क्षैतिज चकती अपने अक्ष पर, उसके ऊपर दूरी $z \gg h$ पर स्थित एक बिंदु को $2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$ से आकर्षित करती है। (ख) $z = 1\,\mathrm{km}$ पर पट्टी के मान का $90\,\%$ कौन-सी त्रिज्या देती है? (ग) यह बूगेर सुधार के लिए महत्वपूर्ण भूभाग के क्षेत्रफल के बारे में क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 11.7.

(क) प्रस्ताव के सिद्ध की तरह, दूरी $z$ पर एक पतली परत $G\rho\,2\pi z\,h\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds$ का योगदान देती है, अब समाकल को $s = a$ पर रोककर: $\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds = 1/z - 1/\sqrt{z^2 + a^2}$ है। अतः $g = 2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$, जो $a \to \infty$ पर पट्टी के मान की ओर जाता है। (ख) $z/\sqrt{z^2 + a^2} = 0.1$ से $\sqrt{z^2 + a^2} = 10z$, $a = \sqrt{99}\,z = 9.95\,\mathrm{km}$, $z = 1\,\mathrm{km}$ के लिए। (ग) स्टेशन के नीचे अपनी गहराई के लगभग दस गुना के भीतर की चट्टान आकर्षण का $90\,\%$ देती है: भूभाग सुधार को हर स्टेशन के चारों ओर केवल उसके नीचे नहीं, बल्कि कुछ किलोमीटर से दसियों किलोमीटर त्रिज्या तक के उच्चावच की आवश्यकता है।

अभ्यास 11.8 ★★

एयरी के प्रतिरूप में $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ की भूपर्पटी, समुद्र-तल पर $35\,\mathrm{km}$ मोटी, $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के प्रावार के ऊपर, (क) $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व के $4\,\mathrm{km}$ समुद्री पानी के नीचे प्रति-मूल और भूपर्पटी की मोटाई परिकलित कीजिए। (ख) महासागरीय भूपर्पटी वास्तव में लगभग $5\,\mathrm{km}$ मोटी है। यह अंतर क्या दिखाता है?

हल

हल — अभ्यास 11.8.

(क) $r' = d(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c) = 4\times1770/500 = 14.16\,\mathrm{km}$, और भूपर्पटी $35 - 4 - 14.16 = 16.84\,\mathrm{km}$ मोटी है। (ख) एक ही भूपर्पटी-घनत्व वाला एयरी प्रतिरूप महासागरीय भूपर्पटी को तीन गुने से अधिक मोटी बताता है। महासागरीय भूपर्पटी पतली की गई महाद्वीपीय भूपर्पटी नहीं है: वह एक भिन्न, सघनतर चट्टान है, और पृथ्वी के दो स्तर दो प्रकार की भूपर्पटी हैं, जैसा हिप्सोमेट्रिक वक्र सुझाता है।

अभ्यास 11.9 ★★

प्रारंभ के विवरण में, कालियाना और कालियानपुर के अक्षांश-अंतर की विसंगति $5.236''$ थी, जबकि प्रैट द्वारा परिकलित हिमालय का आकर्षण $15.885''$ उत्पन्न करना चाहिए था। (क) दोनों कोण रेडियनों में बदलिए। (ख) एक क्षैतिज त्वरण $a_h$ एक ओलंब-रेखा को कोण $a_h/g$ से झुकाता है। प्रत्येक कोण दोनों स्टेशनों के बीच क्षैतिज आकर्षण के किस अंतर से मेल खाता है, मिलीगैल में, $g = 9.79\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ के साथ? (ग) दृश्य पर्वतों के आकर्षण का कितना भाग प्रतिपूर्ति ने निरस्त किया?

हल

हल — अभ्यास 11.9.

(क) एक चाप-सेकंड $\pi/(180\times3600) = 1/206\,265$ रेडियन है: $5.236''$ $= 2.538 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ और $15.885''$ $= 7.701 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$। (ख) $a_h = g\theta$: $9.79\times2.538 \times 10^{-5} = 2.485 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 24.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ प्रेक्षित, और $9.79\times7.701 \times 10^{-5} = 75.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ दृश्य पर्वतों से परिकलित। (ग) $1 - 5.236/15.885 = 0.670$: प्रतिपूर्ति ने दृश्य पर्वतों के आकर्षण का लगभग दो-तिहाई निरस्त किया।

अभ्यास 11.10 ★★★

एक नमक-गुंबद को त्रिज्या $2\,\mathrm{km}$ के गोले के रूप में प्रतिरूपित किया गया है, जिसका केंद्र $4\,\mathrm{km}$ गहराई पर है, और जिसका घनत्व उसके आसपास की चट्टानों से $200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ कम है। (क) दिखाइए कि असामान्य द्रव्यमान $M$ का एक गोला, जो गहराई $z$ पर दबा है, क्षैतिज दूरी $x$ पर विसंगति $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$ देता है। (ख) उसके केंद्र के ऊपर विसंगति परिकलित कीजिए। (ग) किस दूरी पर वह अपने शिखर-मान के आधे तक गिर गई है? (घ) मापी गई परिच्छेदिका से एक गोले की गहराई कैसे पढ़ी जा सकती है?

हल

हल — अभ्यास 11.10.

(क) उसके बाहर, एक गोला अपने केंद्र पर एक बिंदु-द्रव्यमान की तरह आकर्षित करता है, केंद्र की रेखा के अनुदिश $GM/(x^2 + z^2)$ के साथ; ऊर्ध्वाधर घटक गुणा कोसाइन $z/\sqrt{x^2 + z^2}$, जो $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$ देता है। (ख) $M =$ $\tfrac43\pi(2000\,\mathrm{m})^3\times(-200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) =$ $-6.70 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$, और केंद्र के ऊपर $GM/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times (-6.70 \times 10^{12})/(4000)^2 = -2.80 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -2.80\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। (ग) $(1 + x^2/z^2)^{-3/2} = 1/2$ से, अर्थात् $x = z\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z = 3.07\,\mathrm{km}$। (घ) परिच्छेदिका की अर्ध-उच्चिका-अर्ध-चौड़ाई गहराई देती है: $z = 1.305\,x_{1/2}$। गहरा पिंड चौड़ी, चपटी विसंगति देता है।

अभ्यास 11.11 ★★★

एक समुद्री पर्वत $3\,\mathrm{km}$ ऊँचा शंकु है, जिसका आधार त्रिज्या $15\,\mathrm{km}$ का है, और जो $5\,\mathrm{km}$ गहरे समुद्र-तल पर खड़ा है। उसकी चट्टान का घनत्व $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, समुद्री पानी $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$। (क) विस्थापित पानी के ऊपर उसका अधिक द्रव्यमान परिकलित कीजिए। (ख) उसे उसके द्रव्यमान-केंद्र पर, आधार से उसकी ऊँचाई के एक-चौथाई पर, एक बिंदु-द्रव्यमान मानिए, और $\gamma = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 11.16 का प्रयोग करके उसके ऊपर समुद्र-सतह के उभार की ऊँचाई का अनुमान लगाइए। (ग) क्या बिंदु-द्रव्यमान उभार को अधिक आँकता है या कम? (घ) यदि समुद्री पर्वत एक जड़ से पूरी तरह प्रतिपूरित होता, तो उभार कैसे बदलता?

हल

हल — अभ्यास 11.11.

(क) $V = \tfrac13\pi R^2 H = \tfrac13\pi(15 \times 10^{3}\,\mathrm{m})^2(3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}) = 7.07 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, और $\Delta m = (2800 - 1030)V = 1.25 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$। (ख) द्रव्यमान-केंद्र तल से $0.75\,\mathrm{km}$ ऊपर है, समुद्र-सतह के नीचे $d = 5 - 0.75 = 4.25\,\mathrm{km}$ पर। वहाँ विभव-विसंगति $T = -G\Delta m/d$ है, अतः $N = G\Delta m/(\gamma d) = 6.674 \times 10^{-11}\times1.25 \times 10^{15}/(9.81\times4250) = 2.0\,\mathrm{m}$। (ग) शंकु का अधिकांश द्रव्यमान उसके चौड़े निचले भाग में है, शिखर के ऊपर के बिंदु से $5\,\mathrm{km}$ से $16\,\mathrm{km}$ तक: द्रव्यमान पर $1/r$ का माध्य $1/4.25\,\mathrm{km}$ से छोटा है, और बिंदु-द्रव्यमान विभव को अधिक आँकता है। पतली चकतियों को जोड़ने पर लगभग $1.1\,\mathrm{m}$ आता है। (घ) नीचे प्रकाश भूपर्पटी का एक मूल उतने ही द्रव्यमान की कमी को और गहराई में रखता; दोनों विभव लगभग निरस्त हो जाते, और उभार बहुत छोटा होता, पर शून्य नहीं, क्योंकि कमी अधिकता से सतह से दूर है।

अभ्यास 11.12 ★★★

बर्फ़ के बाद स्कैंडिनेविया के पुनरुत्थान का प्रतिरूप बनाइए: मान लीजिए बर्फ़ $10\,000$ वर्ष पहले अचानक लुप्त हो गई, $818\,\mathrm{m}$ का एक अवनमन छोड़कर, जो तब से $w(t) = w_0\,e^{-t/\tau}$ के अनुसार घटा है। (क) दिखाइए कि उत्थान दर $w/\tau$ है। (ख) $\tau = 4000$ वर्ष लेकर, शेष अवनमन और आज की उत्थान दर परिकलित कीजिए, और दर की मापी गई $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से तुलना कीजिए। (ग) दिखाइए कि $\tau = 3100$ वर्ष और $\tau = 68\,000$ वर्ष दोनों आज लगभग $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देते हैं। हर एक कौन-सा शेष अवनमन सुझाता है, और गुरुत्व सर्वेक्षण उनके बीच कैसे निर्णय ले सकता है? (घ) प्रावार का कौन-सा गुण $\tau$ मापता है?

हल

हल — अभ्यास 11.12.

(क) ऊपर उठने की दर $-\mathrm dw/\mathrm dt = w_0\,e^{-t/\tau}/\tau = w/\tau$ है। (ख) $w = 818\,e^{-10000/4000} = 818\times0.0821 = 67.1\,\mathrm{m}$, और दर $67.1\,\mathrm{m}/4000\,\mathrm{yr} = 16.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, मापे गए मान से डेढ़ गुने से अधिक। (ग) $\tau = 3100$ वर्ष के साथ, $w = 818\,e^{-3.226} = 32.5\,\mathrm{m}$ और दर $10.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\tau = 68\,000$ वर्ष के साथ, $w = 818\,e^{-0.147} = 706\,\mathrm{m}$ और दर $10.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। दोनों बहुत भिन्न शेष अवनमन सुझाते हैं। एक अप्रतिपूरित अवनमन प्रावार-चट्टान की द्रव्यमान-कमी है: एक विस्तृत क्षेत्र पर यह लगभग $-2\pi G\rho_m w$ की मुक्त-वायु विसंगति देता है, अर्थात् $-0.0419\times3.3\times706 \approx -98\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ धीमी स्थिति के लिए, और तेज़ स्थिति के लिए $-4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। एक गुरुत्व सर्वेक्षण (या पुराने तटों की ऊँचाई) उन्हें अलग करता है। (घ) समय-स्थिरांक मापता है कि अवनमन के नीचे प्रावार कितनी तेज़ी से वापस बहता है: उसकी श्यानता।

11.6 समस्या: एक पर्वत-शृंखला का मूल

समस्या 11.1

सप्ताहांत समस्या — एक पठार का मूल, एयरी बनाम प्रैट, उसके ऊपर का गुरुत्व, और क्षरण उस पर क्या करता है

कई सौ किलोमीटर चौड़ा एक विस्तृत पठार समुद्र-तल पर एक निचले मैदान से $4\,\mathrm{km}$ ऊँचा खड़ा है, जिसकी भूपर्पटी $35\,\mathrm{km}$ मोटी है। लीजिए: भूपर्पटी के लिए $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, प्रावार के लिए $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, और $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ प्रति मीटर प्रति $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$।

भाग I — एयरी का पठार।

1. पठार का एयरी मूल परिकलित कीजिए।
2. उसकी भूपर्पटी की मोटाई और समुद्र-तल से नीचे उसके मोहो की गहराई निकालिए।
3. प्रतिपूर्ति गहराई समुद्र-तल से नीचे $60\,\mathrm{km}$ लीजिए। पठार के स्तंभ में और निचले मैदान के स्तंभ में उसके ऊपर प्रति वर्ग मीटर द्रव्यमान परिकलित कीजिए।
4. $60\,\mathrm{km}$ गहराई पर दाब परिकलित कीजिए।
5. मूल ऊँचाई का 4.5 गुना क्यों है? $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ की भूपर्पटी के साथ अनुपात क्या होगा?
6. यदि एयरी का प्रतिरूप सही है, तो पठार के किनारे के पार एक भूकंपीय अपवर्तन सर्वेक्षण क्या दिखाएगा?

भाग II — प्रैट का पठार। अब इसके बजाय मान लीजिए समुद्र-तल से नीचे प्रतिपूर्ति गहराई $D = 100\,\mathrm{km}$ है, और निचले मैदान का स्तंभ $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के एकसमान घनत्व वाला है।

7. पठार स्तंभ का घनत्व परिकलित कीजिए।
8. जाँचिए कि दोनों स्तंभों में प्रति वर्ग मीटर, $D$ के ऊपर, एक ही द्रव्यमान है।
9. प्रतिशत में, पठार स्तंभ कितना हल्का होना चाहिए?
10. यदि यह घनत्व-अंतर केवल ऊष्मा से हो, जिसमें तापीय प्रसार-गुणांक $3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ है, तो पठार स्तंभ औसत रूप से कितना अधिक गरम होना चाहिए? क्या यह संभव है?
11. प्रैट के प्रतिरूप में पठार के नीचे मोहो कहाँ है?
12. एक अपवर्तन सर्वेक्षण पठार के नीचे मोहो $52\,\mathrm{km}$ पर पाता है। कौन-सा प्रतिरूप ठीक बैठता है?

भाग III — केंद्र के ऊपर गुरुत्व।

13. पठार पर एक स्टेशन के लिए बूगेर सुधार परिकलित कीजिए।
14. यदि पठार प्रतिपूरित न होता, तो केंद्र पर मुक्त-वायु और बूगेर विसंगतियों का अनुमान लगाइए।
15. एयरी पठार के लिए उन्हें अनुमानित कीजिए, और मूल के लुप्त द्रव्यमान से बूगेर विसंगति की जाँच कीजिए।
16. पठार के केंद्र पर, $30{}^{\circ}$ अक्षांश और $4000\,\mathrm{m}$ पर एक स्टेशन $9.781\,085\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ पढ़ता है। $30{}^{\circ}$ पर सामान्य गुरुत्व, फिर मुक्त-वायु और बूगेर विसंगतियाँ परिकलित कीजिए।
17. पठार का कितना भाग प्रतिपूरित है?
18. यदि पठार प्रैट के ढंग से प्रतिपूरित होता, तो केंद्र पर बूगेर विसंगति भिन्न होती? समझाइए।
19. पठार के एक किनारे के पार एक परिच्छेदिका पर मुक्त-वायु विसंगति का रेखाचित्र बनाइए, और उसका आकार समझाइए।

भाग IV — क्षरण। नदियाँ पठार की पूरी सतह से $1\,\mathrm{km}$ मोटी एक परत हटाती हैं, इतनी धीरे कि समस्थिति उसका साथ दे सके।

20. भूपर्पटी की नई मोटाई, और उसका नया एयरी मूल क्या है?
21. पठार की नई ऊँचाई क्या है?
22. सतह पर अब जो चट्टान है, वह कितनी ऊपर उठ गई है?
23. पठार को समुद्र-तल तक नीचे लाने के लिए कुल कितनी चट्टान क्षरित होनी चाहिए? यह पुरानी पर्वत-पेटियों में देखी गई चट्टानों के बारे में क्या कहता है?
24. पठार की सतह हर क्षरित किलोमीटर चट्टान के लिए कितना नीचे आती है?

हल

हल — समस्या 11.1.

1. $r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 4\times2700/600 = 18\,\mathrm{km}$.

2. भूपर्पटी $35 + 4 + 18 = 57\,\mathrm{km}$ मोटी है; उसका आधार, मोहो, समुद्र-तल से नीचे $35 + 18 = 53\,\mathrm{km}$ पर है।

3. पठार: $57\,\mathrm{km}$ भूपर्पटी और $60 - 53 = 7\,\mathrm{km}$ प्रावार, $57\,000\times2700 + 7000\times3300 = 1.539 \times 10^{8} + 2.31 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$। निचला मैदान: $35\,000\times2700 + 25\,000\times3300 = 9.45 \times 10^{7} + 8.25 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$। वे बराबर हैं, जैसा प्रतिज्ञप्ति 11.4 माँगता है।

4. $p = g\times\text{प्रति एकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान} = 9.81\times1.770 \times 10^{8} = 1.74 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$, दोनों स्तंभों के नीचे लगभग $1.7\,\mathrm{GPa}$।

5. मूल को अपने छोटे घनत्व से पठार के द्रव्यमान की भरपाई करनी है: मूल का प्रत्येक मीटर $\rho_m - \rho_c = 600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ द्रव्यमान हटाता है, और पठार का प्रत्येक मीटर $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ जोड़ता है, अतः $2700/600 = 4.5$ मीटर मूल चाहिए। $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ की भूपर्पटी के साथ अनुपात $2900/400 = 7.25$ होगा: अंतर जितना छोटा, मूल उतना गहरा।

6. मोहो, सीस्मिक गति में तीखी वृद्धि, पठार के किनारे के नीचे गहराता हुआ पाया जाएगा, निचले मैदान के नीचे $35\,\mathrm{km}$ से पठार के नीचे लगभग $53\,\mathrm{km}$ तक।

7. $\rho = 2700\times100/104 = 2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $104\,000\times2596.2 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ और $100\,000\times2700 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$।

9. $2700 - 2596 = 104\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, या $104/2700 = 3.85\,\%$।

10. $\Delta\rho/\rho = \alpha\,\Delta T$ से $\Delta T = 0.0385/3 \times 10^{-5} = 1280\,\mathrm{K}$ पूरे $104\,\mathrm{km}$ स्तंभ पर औसतन। वह स्तंभ के बड़े भाग को पिघला देगा: अकेली ऊष्मा इस पठार को इतना हल्का नहीं कर सकती, और प्रैट की व्यवस्था यहाँ मुख्य नहीं हो सकती।

11. प्रैट के स्तंभों में कोई मूल नहीं है: मोहो पठार के नीचे लगभग $35\,\mathrm{km}$ पर रहता है, निचले मैदान के नीचे की तरह।

12. $52\,\mathrm{km}$ एयरी के $53\,\mathrm{km}$ के निकट है और प्रैट के $35\,\mathrm{km}$ से दूर: पठार मुख्य रूप से भूपर्पटी के एक मूल से प्रतिपूरित है।

13. $0.0419\times2.7\times4000 = 452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

14. अप्रतिपूरित (प्रतिज्ञप्ति 11.13): $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx +452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$।

15. प्रतिपूरित: $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ और $\Delta g_{\mathrm B} \approx -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। मूल के लुप्त द्रव्यमान से $-0.0419\times0.6\times18\,000 = -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ मिलता है, वही, क्योंकि $\Delta\rho\,r = \rho_c h$।

16. $\sin^230{}^{\circ} = 0.25$ और $\sin^260{}^{\circ} = 0.75$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0013256 - 0.0000044) = 9.793\,249\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। तब $g - \gamma = 9.781085 - 9.793249 = -1216.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; मुक्त-वायु सुधार $0.3086\times4000 = 1234.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, अतः $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +18.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, और $\Delta g_{\mathrm B} = 18.0 - 452.5 = -434.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$।

17. $434.5/452.5 = 0.96$: पठार लगभग $96\,\%$ प्रतिपूरित है (छोटी धनात्मक मुक्त-वायु विसंगति अप्रतिपूरित $4\,\%$ है)।

18. नहीं। एक विस्तृत पठार के केंद्र के निकट हर असामान्य परत एक पट्टी की तरह कार्य करती है, जिसका आकर्षण उसकी गहराई पर निर्भर नहीं करता: केवल प्रति एकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान-कमी मायने रखती है, और वह दोनों प्रतिरूपों में समान है, $\rho_c h$। वे केवल किनारों के निकट भिन्न हैं, जहाँ प्रतिपूर्ति करने वाले द्रव्यमानों की गहराई विसंगति का आकार बदलती है।

19. किसी भी ओर किनारे से दूर मुक्त-वायु विसंगति लगभग शून्य है। किनारे के भीतर कुछ किलोमीटर, स्टेशन के नीचे का पठार निकट है और केवल एक ओर दूर तक फैला है: वह अब भी लगभग अपने पूरे पट्टी-मान से खींचता है। मूल, $35\,\mathrm{km}$ या उससे अधिक नीचे, वहाँ से लगभग सीधे नीचे समाप्त होता एक पिंड दिखता है: वह अपने प्रभाव के आधे से थोड़ा ही अधिक खींचता है। अंतर एक धनात्मक शिखर है। कुछ किलोमीटर बाहर, पठार बहुत कम खींचता है, जबकि मूल अब भी अपने प्रभाव के लगभग आधे से खींचता है: एक ऋणात्मक गर्त। परिच्छेदिका हर किनारे के पार एक धनात्मक-ऋणात्मक जोड़ी है, जैसा अध्याय के चित्र में।

20. भूपर्पटी अब $57 - 1 = 56\,\mathrm{km}$ मोटी है, निचले मैदान से $21\,\mathrm{km}$ अधिक। साम्य में यह अधिकता $h' + r'$ में बँटती है, $r' = 4.5\,h'$ के साथ: $h' = 21/5.5 = 3.818\,\mathrm{km}$ और $r' = 17.18\,\mathrm{km}$।

21. पठार अब $3818\,\mathrm{m}$ पर खड़ा है।

22. सतह पर अब जो चट्टान है, वह पुरानी सतह से $1\,\mathrm{km}$ नीचे थी, $3000\,\mathrm{m}$ पर; अब वह $3818\,\mathrm{m}$ पर है: वह $818\,\mathrm{m}$ ऊपर उठ गई है, अर्थात् $1000\times\rho_c/\rho_m$।

23. हर क्षरित किलोमीटर सतह को $1 - 2700/3300 = 0.182$ किलोमीटर नीचे लाता है, अतः उसे $4\,\mathrm{km}$ नीचे लाने में $4/0.182 = 22\,\mathrm{km}$ क्षरण लगता है, यानी पूरी अतिरिक्त मोटाई $h + r$। एक पुराने, घिसे पर्वत-पट्टे में सतह की चट्टानें कभी लगभग बीस किलोमीटर गहरी थीं: पट्टे की गहरी जड़ें उजागर हो गई हैं।

24. सतह $1000 - 818$ से नीचे आती है: क्षरित चट्टान के हर किलोमीटर के लिए सतह की शुद्ध गिरावट $182\,\mathrm{m}$।