16प्रतिबल, विकृति और रियोलॉजी

1960 के दशक में, डेनवर के निकट रॉकी माउंटेन आर्सेनल में एक निपटान-कूप में पंप किया गया अपशिष्ट द्रव, सतह से $3.7\,\mathrm{km}$ और $7.0\,\mathrm{km}$ नीचे की दरार-युक्त क्रिस्टलीय आधारशिला में फैल गया, और भूकंप आए। वे चट्टान के उस भाग के भीतर रहे जहाँ द्रव-दाब लगभग $3.2\,\mathrm{MPa}$ से अधिक बढ़ गया था।

आधी सदी बाद वही बात ओकलाहोमा में बड़े पैमाने पर हुई, जहाँ तेल और गैस के साथ ऊपर लाया गया खारा पानी भूमि में वापस पंप किया जाता है। राज्य में और उसके आसपास, परिमाण 3 या अधिक के भूकंप 2005 से 2008 तक वर्ष में एक से पाँच थे, फिर 2009 में $20$, 2014 में $585$ और 2015 में $888$, यानी प्रतिदिन दो से अधिक; परिमाण 5.7 और 5.8 के झटकों ने 2011 में प्राग को और 2016 में पॉनी को हिलाया। अकेले चार उच्च-आयतन निपटान-कूप संयुक्त राज्य के मध्य भाग के भूकंपों के एक-पाँचवें के लिए ज़िम्मेदार हो सकते हैं, और कुछ ने $30\,\mathrm{km}$ से अधिक दूर भी झटके उत्पन्न किए।

जल कुछ भी नहीं हटाता; वह केवल चट्टान के छिद्रों में द्रव का दाब बढ़ाता है। एक भ्रंश को क्यों खिसकना चाहिए? उत्तर के लिए तीन विचार चाहिए, जो इस अध्याय का विषय हैं: चट्टान के भीतर एक तल पर प्रतिबल, वह शर्त जिसके तहत तल टूट जाता है, और यह तथ्य कि छिद्र-द्रव का दाब उन दो पक्षों को एक साथ दबाने वाले बल के विरुद्ध गिना जाता है। इन्हें, और गरम चट्टान के एक विसर्पण-नियम के साथ, हम पूरे स्थलमंडल की सामर्थ्य को गहराई के विरुद्ध खींच सकते हैं।

पहले से ज्ञात

एक बल जो किसी सतह पर फैला है, प्रति इकाई क्षेत्र बल से कार्य करता है, पास्कल में; स्थिर द्रव में दाब गहराई के साथ $\rho g z$ के रूप में बढ़ता है (भौतिकी की पुस्तकें)। एक स्प्रिंग, और छोटे विरूपणों में एक ठोस, हुक के नियम का पालन करते हैं: विकृति प्रतिबल के समानुपाती है, यंग के मापांक के स्थिरांक के साथ; एक श्यान द्रव अपनी कर्तन-दर के समानुपाती रूप से विरोध करता है, जिसका स्थिरांक उसकी श्यानता है। भौतिकी की पुस्तकों का विश्वविद्यालय वर्ष 3 वाला खंड प्रतिबल और विकृति का त्रि-आयामी वर्णन टेंसरों से करता है; इस अध्याय को केवल दो चाहिए। एक सममित $2\times2$ आव्यूह के दो वास्तविक आइगेनमान और दो लंबवत आइगेनसदिश होते हैं (गणित, वर्ष 1)। अध्याय 10 के जियोथर्म गहराई पर तापमान देते हैं; भ्रंशों से पुस्तक 1, कक्षा 7 में मिले थे।

16.1 दो आयामों में प्रतिबल

किसी चट्टान को विचार में एक छोटी समतल सतह के साथ काटिए। सतह की एक ओर की चट्टान दूसरी पर एक बल लगाती है, और प्रति इकाई क्षेत्र बल उस सतह पर का ट्रैक्शन है, भौतिकी पुस्तकों के शब्द में। उसकी दिशा सामान्यतः सतह के अभिलंब की दिशा नहीं होती।

परिभाषा 16.1 (अभिलंब प्रतिबल)

किसी चट्टान के एक बिंदु से होकर एक तल पर, एक ओर की चट्टान दूसरी पर जो प्रति इकाई क्षेत्र बल लगाती है, उसका एक घटक तल के अभिलंब के अनुदिश है, अभिलंब प्रतिबल $\sigma_n$, और एक घटक तल के अनुदिश है, कर्तन-प्रतिबल $\tau$। पृथ्वी विज्ञानों में अभिलंब प्रतिबल तब धनात्मक गिना जाता है जब वह संपीड़न करे।

यह चिह्न-परिपाटी इंजीनियर की परिपाटी के विपरीत है। इसे इसलिए चुना गया है क्योंकि ठोस पृथ्वी में लगभग हर प्रतिबल संपीड़न है: ऊपर की चट्टान का भार उसके नीचे की हर चीज़ को दबाता है।

हम एक ऊर्ध्वाधर तल में काम करते हैं, क्षैतिज अक्ष $x$ और एक अक्ष $y$ के साथ। $x$ के लंबवत तल पर अभिलंब प्रतिबल $\sigma_{xx}$ है और कर्तन-प्रतिबल $\sigma_{xy}$; $y$ के लंबवत तल पर वे $\sigma_{yy}$ और $\sigma_{yx}$ हैं। दो कर्तन-प्रतिबल बराबर हैं: एक छोटे वर्ग पर, ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर कर्तन-बल आघूर्ण $\sigma_{xy}a\cdot a$ का युग्म बनाते हैं, एक भुजा $a$ के लिए, क्षैतिज भुजाओं पर युग्म $\sigma_{yx}a\cdot a$ विपरीत दिशा में घूमता है, और यदि वे भिन्न होते तो वर्ग घूम जाता। अतः किसी बिंदु पर प्रतिबल तीन संख्याओं से वर्णित होता है, और वे हर तल पर उसे देने के लिए पर्याप्त हैं।

प्रतिज्ञप्ति 16.2 (झुके तल पर प्रतिबल)

मान लीजिए एक तल का इकाई अभिलंब $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$ है, कोण $\theta$ पर, अक्ष $x$ से, और मान लीजिए $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ तल के अनुदिश इकाई सदिश है। उस पर अभिलंब और कर्तन प्रतिबल हैं

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

जहाँ $\tau$ को $\vec m$ के अनुदिश धनात्मक गिना गया है।

प्रमेय 16.3 (मुख्य प्रतिबल)

हर चट्टान में हर बिंदु पर दो लंबवत तल होते हैं जिन पर कर्तन-प्रतिबल शून्य है। उन पर के अभिलंब प्रतिबल बिंदु से होकर जाने वाले सभी तलों के अभिलंब प्रतिबलों में सबसे बड़े और सबसे छोटे हैं,

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

जहाँ $\theta_p$ अक्ष $x$ से उस तल के अभिलंब तक का कोण है जो $\sigma_1$ वहन करता है।

परिभाषा 16.4 (मुख्य प्रतिबल, अवकल प्रतिबल)

किसी बिंदु पर मुख्य प्रतिबल वे अभिलंब प्रतिबल $\sigma_1 \ge \sigma_3$ हैं उन दो तलों पर जो कर्तन-प्रतिबल से मुक्त हैं, और उनकी दिशाएँ मुख्य दिशाएँ हैं। तीन आयामों में तीन हैं, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, तीन लंबवत तलों पर। अवकल प्रतिबल $\sigma_1 - \sigma_3$ है, और तल में माध्य प्रतिबल $(\sigma_1+\sigma_3)/2$।

प्रतिबल की अवस्था अपनी मुख्य दिशाओं में सबसे आसानी से पढ़ी जाती है। यदि हम कोण $\theta$ को $\sigma_1$ की दिशा से मापें, अक्ष $x$ के बजाय, तो सूत्रों के अंतिम पद गिर जाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 16.5 (मोर का वृत्त)

एक तल पर, जिसका अभिलंब कोण $\theta$ पर है, $\sigma_1$ की दिशा के साथ,

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

$\theta$ घूमने पर बिंदु $(\sigma_n, |\tau|)$ केंद्र $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ और त्रिज्या $(\sigma_1-\sigma_3)/2$ वाले वृत्त के ऊपरी अर्धभाग पर चलता है, कोण $2\theta$ पर, अपने $\sigma_1$ सिरे से। सबसे बड़ा कर्तन-प्रतिबल, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, मुख्य दिशाओं से $45{}^{\circ}$ पर के तलों पर कार्य करता है।

$\tau$ का चिह्न केवल यह बताता है कि दो पक्ष किस अर्थ में फिसलते, अतः वृत्त का ऊपरी अर्धभाग प्रायः अकेले खींचा जाता है। यह रचना इंजीनियर क्रिश्चियन ओटो मोर के नाम पर है, जिन्होंने इस पर विफलता की एक कसौटी भी बनाई, और वहीं हम जा रहे हैं (अनुभाग 16.3)।

गहराई पर प्रतिबल

परिभाषा 16.6 (स्थैतिक दाब, छिद्र-द्रव दाब, प्रभावी प्रतिबल)

गहराई $z$ पर, ऊपर की चट्टान का भार, क्षैतिज क्षेत्रफल की प्रति इकाई, ऊर्ध्वाधर प्रतिबल $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$ है, जो $\rho g z$ है, एकसमान घनत्व $\rho$ की परत में। जब प्रतिबल हर दिशा में समान हो और उसके बराबर हो, तो चट्टान स्थैतिक दाब में है। चट्टान के छिद्रों और दरारों में जल, तेल या गैस का दाब छिद्र-द्रव दाब $P$ है; जब छिद्र सतह से जुड़े हों तो वह स्थैतिक है, $P = \rho_w g z$। प्रभावी प्रतिबल प्रतिबल में से छिद्र-दाब घटाने पर मिलता है, $\sigma' = \sigma - P$, हर तल पर; $\lambda = P/\sigma_v$ छिद्र-दाब अनुपात है।

$2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व की भूपर्पटी में ऊर्ध्वाधर प्रतिबल प्रति किलोमीटर $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ बढ़ता है, और स्थैतिक छिद्र-दाब प्रति किलोमीटर $9.81\,\mathrm{MPa}$: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$। छिद्र-द्रव कणों को हर दिशा में समान दाब से अलग धकेलता है; वह कर्तन-प्रतिबल से कुछ नहीं लेता, पर हर अभिलंब प्रतिबल से $P$ घटाता है। जहाँ छिद्र बंद हों, उदाहरण के लिए मिट्टी या नमक से, द्रव ऊपर की चट्टान के भार का कुछ भाग वहन कर सकता है, और $\lambda$ 1 की ओर बढ़ता है।

भूपर्पटी में प्रतिबल स्थैतिक नहीं है। प्लेटें धकेलती और खींचती हैं, भूपर्पटी मुड़ती है, पहाड़ अपनी जड़ों पर भार डालते हैं, और क्षैतिज प्रतिबल ऊर्ध्वाधर से भिन्न हैं। सतह के निकट, जो कोई कर्तन-प्रतिबल नहीं वहन करती, एक मुख्य दिशा ऊर्ध्वाधर है, जैसा अध्याय 17 दिखाता है: $\sigma_v$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ या $\sigma_3$ है, और तीन स्थितियाँ भ्रंशों के चलने के तीन तरीके हैं।

16.2 विकृति

प्रतिबल कारण है; विकृति वह है जो चट्टान अभिलेखित करती है। खिंचा हुआ एक जीवाश्म, चपटा हुआ एक कंकड़, वलनों में सिकुड़ी एक परत: ये सब आकार के परिवर्तन को मापते हैं।

परिभाषा 16.7 (प्रसार, स्ट्रेच, कर्तन-विकृति)

लंबाई $\ell_0$ की पदार्थ-रेखा जो लंबाई $\ell$ तक विरूपित हुई, उसका प्रसार $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ है और स्ट्रेच $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; संकुचन ऋणात्मक प्रसार है, 1 से कम स्ट्रेच। दो पदार्थ-रेखाएँ जो लंबवत थीं और अब कोण $90{}^{\circ} - \psi$ बनाती हैं, कोण $\psi$ से कर्तित हुई हैं, और कर्तन-विकृति $\gamma = \tan\psi$ है।

विकृति समांगी है जब चट्टान का हर छोटा क्षेत्र एक ही ढंग से विकृत हो। नई स्थिति $\vec x'$, बिंदु $\vec x$ की, तब एक रैखिक फलन है, $\vec x' = F\vec x$, एक अचर $2\times2$ आव्यूह $F$ के साथ ($\det F > 0$, क्योंकि चट्टान अंदर-बाहर नहीं पलटती)। सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं और समांतर रेखाएँ समांतर; एक वर्ग समांतर चतुर्भुज बनता है, और एक वृत्त एक दीर्घवृत्त।

प्रतिज्ञप्ति 16.8 (विकृति-दीर्घवृत्त)

समांगी विकृति $\vec x' = F\vec x$ के अंतर्गत त्रिज्या 1 का वृत्त एक दीर्घवृत्त बन जाता है, जिसके अर्ध-अक्ष $S_1 \ge S_2$ हैं, $FF^{\mathsf T}$ के आइगेनमानों के वर्गमूल, उसके लंबवत आइगेनसदिशों के अनुदिश। $S_1$ और $S_2$ पदार्थ की सभी रेखाओं के सबसे बड़े और सबसे छोटे स्ट्रेच हैं, और क्षेत्रफल $\det F = S_1S_2$ गुणा होता है।

परिभाषा 16.9 (विकृति-दीर्घवृत्त)

विकृति-दीर्घवृत्त वह दीर्घवृत्त है जिसमें एक समांगी विकृति त्रिज्या 1 का वृत्त बदल देती है; उसके अर्ध-अक्ष मुख्य स्ट्रेच $S_1 \ge S_2$ हैं, और उसके अक्ष विकृति की मुख्य दिशाएँ।

दो विकृतियाँ जो किसी पिंड का आकार समान रूप से बदलती हैं, बहुत भिन्न हो सकती हैं।

परिभाषा 16.10 (शुद्ध कर्तन, सरल कर्तन)

एक शुद्ध कर्तन एक समांगी विकृति है जो क्षेत्रफल रखती है और चट्टान में अपनी मुख्य दिशाएँ स्थिर रखती है: उन अक्षों में $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$, जहाँ $k > 1$। एक सरल कर्तन हर बिंदु को एक दिशा के समांतर, कर्तन-दिशा के अनुदिश, $\gamma$ गुणा उसकी उस समांतर स्थिर तल से दूरी के बराबर चलाता है: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$।

दोनों क्षेत्रफल रखते हैं, क्योंकि दोनों के सारणिक 1 हैं। शुद्ध कर्तन में विकृति-दीर्घवृत्त के अक्षों के अनुदिश पदार्थ-रेखाएँ हर अवस्था में वही रेखाएँ हैं: विकृति सह-अक्षीय है। सरल कर्तन में वे नहीं हैं, जैसा अगला प्रस्ताव और उसके बाद का चित्र दिखाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 16.11 (सरल कर्तन का दीर्घवृत्त)

एक सरल कर्तन $\gamma$ के मुख्य स्ट्रेच हैं

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

और उसके विकृति-दीर्घवृत्त का लंबा अक्ष कर्तन-दिशा के साथ वह कोण $\theta'$ बनाता है जो $\tan2\theta' = 2/\gamma$ से दिया गया है।

विकृति-दीर्घवृत्त कुल, या परिमित, विकृति अभिलेखित करता है। जो विरूपण लाखों वर्षों तक चलता है, वह कई छोटे वृद्धिशील विकृतियों का योग है, हर एक अनंतसूक्ष्म विकृति; छोटे $\gamma$ के लिए प्रस्ताव $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ और $\theta' \approx 45{}^{\circ}$ देता है। सरल कर्तन में वृद्धिशील विकृतियाँ हमेशा कर्तन-दिशा से $45{}^{\circ}$ पर सबसे तेज़ खिंचती हैं, जबकि परिमित दीर्घवृत्त उसकी ओर मुड़ता है, $\gamma = 1$ पर $31.7{}^{\circ}$, $\gamma = 2$ पर $22.5{}^{\circ}$, और $\gamma$ बढ़ने के साथ और निकट होता जाता है। इसी कारण तीव्र कर्तन के क्षेत्र में चपटे कंकड़ और खिंचे खनिज लगभग उसके तल में पड़े होते हैं, और जिस कोण पर वे क्षेत्र से बनाते हैं वह मापता है कि वह कितना खिसका है।

16.3 रियोलॉजी

परिभाषा 16.12 (रियोलॉजी, भंगुर और तन्य व्यवहार)

किसी पदार्थ की रियोलॉजी वह है जिस ढंग से वह प्रतिबल के अंतर्गत विरूपित और प्रवाहित होता है: प्रतिबल, विकृति और विकृति-दर के बीच का संबंध। एक चट्टान भंगुर व्यवहार दिखाती है जब वह भंग से, या भंगों पर फिसलकर, अलग-अलग सतहों पर, अचानक सामर्थ्य खोते हुए विरूपित होती है; वह तन्य व्यवहार दिखाती है जब वह अपने आयतन में स्थायी और निरंतर विरूपित होती है, बिना अपना संसंजन खोए।

चट्टानें भौतिकी की पुस्तकों के सभी व्यवहार दिखाती हैं। छोटे, संक्षिप्त प्रतिबलों के अंतर्गत वे प्रत्यास्थ हैं: विकृति प्रतिबल के समानुपाती है, जैसा हुक के नियम में, और उसके साथ लुप्त हो जाती है; भूकंपीय तरंगें (अध्याय 9) प्रत्यास्थ चट्टान से गुज़रती हैं। लंबे समय में गरम प्रावार बहुत श्यान द्रव की तरह बहता है, विकृति-दर प्रतिबल के साथ बढ़ती है। इनके बीच में ठंडी चट्टान टूटती और फिसलती है, और गरम चट्टान विसर्पित होती है। कौन-सा व्यवहार प्रबल होता है, यह प्रतिबल, तापमान, दाब, छिद्रों के द्रव और दिए गए समय पर निर्भर करता है।

भंगुर विफलता

परिभाषा 16.13 (कूलॉम्ब विफलता-कसौटी)

कोई चट्टान कूलॉम्ब विफलता-कसौटी का पालन करती है यदि उसमें से गुज़रने वाला एक तल टूटता है, या एक विद्यमान भंग फिसलता है, जैसे ही उस तल पर

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

जहाँ $C \ge 0$ चट्टान का संसंजन है, $\mu$ उसका आंतरिक घर्षण-गुणांक और $\phi = \arctan\mu$ उसका आंतरिक घर्षण-कोण।

यह कसौटी कूलॉम्ब और मोर के नामों से जुड़ी है। इसके स्थिरांक प्रयोगशाला में नमूनों पर मापे जाते हैं, और चट्टान-दर-चट्टान भिन्न होते हैं। एक विद्यमान भंग अपना संसंजन खो चुका है: उसके लिए $C = 0$ है, और उस पर घर्षण लगभग चट्टान पर निर्भर नहीं करता (प्रतिज्ञप्ति 16.15), $\mu$ 0.6 और 0.85 के बीच, और घर्षण-कोण $31{}^{\circ}$ और $40{}^{\circ}$ के बीच।

प्रमेय 16.14 (विफलता का कोण)

कूलॉम्ब कसौटी का पालन करने वाली चट्टान पहले उन तलों पर टूटती है जो कोण $45{}^{\circ} - \phi/2$ बनाते हैं, $\sigma_1$ की दिशा के साथ, उसके दोनों ओर, और तब टूटती है जब

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

$\phi = 30{}^{\circ}$ के साथ, चट्टान $\sigma_1$ से $30{}^{\circ}$ पर तलों पर टूटती है, और दो संभव तल एक-दूसरे से $60{}^{\circ}$ बनाते हैं, जिन्हें $\sigma_1$ दो भागों में काटता है। यह वह कोण है जो क्षेत्र में देखे जाने वाले संयुग्मी भ्रंशों के बीच होता है, और, जैसा अध्याय 17 दिखाता है, यही कारण है कि सामान्य भ्रंश खड़ी नति रखते हैं और उत्क्षेप मंद नति।

विद्यमान भंगों पर फिसलने के लिए, प्रयोग स्वयं घर्षण देता है, और उसे आश्चर्यजनक सरलता से देता है।

प्रतिज्ञप्ति 16.15 (बायरली नियम)

अधिकांश चट्टानों के लिए, विद्यमान भंग या भ्रंश पर फिसलना तब शुरू होता है जब कर्तन-प्रतिबल पहुँचता है

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

चट्टान का जो भी प्रकार हो: यह बायरली नियम है।

यह नियम प्रयोग का परिणाम है, सिद्धांत का नहीं। जेम्स बायरली ने 1975 में एक बलुआ पत्थर की भंग-सामर्थ्य और घर्षण-सामर्थ्य को परिबद्ध और छिद्र-दाबों के अंतर्गत मापा, और पाया कि दोनों केवल प्रभावी प्रतिबल से, यानी दो दाबों के अंतर से, नियंत्रित होती हैं; भंग-सामर्थ्य कणों के बीच के सीमेंट से $20\,\%$ तक बदलती थी, पर घर्षण चट्टान पर निर्भर नहीं था, और वही नियम गैब्रो, डुनाइट, सर्पेंटिनाइट, ग्रेनाइट और चूना-पत्थर के लिए लागू हुआ। दोनों रेखाएँ $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$ पर मिलती हैं, जहाँ दोनों $170\,\mathrm{MPa}$ देती हैं।

प्रभावी प्रतिबल का नियम इस अध्याय के आरंभ की कुंजी है। छिद्र-दाब को $\Delta P$ बढ़ाने से हर प्रभावी अभिलंब प्रतिबल $\Delta P$ घटता है और हर कर्तन-प्रतिबल पूर्ववत रहता है: मोर का वृत्त बाईं ओर, आकार वही रखते हुए, विफलता-रेखा की ओर खिसकता है। एक भ्रंश जो सुरक्षित था, विवर्तनिक प्रतिबल में किसी परिवर्तन के बिना फिसलने के लिए लाया जा सकता है। एक भ्रंश पर क्रांतिक कर्तन-प्रतिबल $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$ है, और अंतःक्षेपण उसके अंतिम पद पर काम करता है। डेनवर में भूकंप उस चट्टान में रहे जहाँ छिद्र-दाब लगभग $3.2\,\mathrm{MPa}$ से अधिक बढ़ गया था, मानो वही वृद्धि वहाँ के भ्रंशों को चाहिए थी।

विधि 16.16 (भ्रंश के फिसलने की जाँच)

किसी भ्रंश की गहराई $z$ पर फिसलेगा या नहीं, और उसे क्या फिसलाएगा, यह तय करने के लिए:

1. भ्रंश की स्ट्राइक के लंबवत तल में मुख्य प्रतिबल ज्ञात कीजिए: $\sigma_v = \rho g z$, और मापा या मान लिया गया क्षैतिज प्रतिबल; छिद्र-दाब $P$ लीजिए (स्थैतिक, $\rho_w g z$, यदि और कुछ ज्ञात न हो)।
2. भ्रंश के अभिलंब का $\theta$ कोण, $\sigma_1$ की दिशा से, मापिए।
3. प्रतिज्ञप्ति 16.5 से भ्रंश पर $\sigma_n$ और $\tau$ परिकलित कीजिए, फिर $\sigma_n' = \sigma_n - P$।
4. $\tau$ की तुलना प्रतिज्ञप्ति 16.15 के घर्षण से कीजिए: उससे नीचे भ्रंश टिकता है; $\tau/\sigma_n'$ की 0.85 से तुलना सीमा-अंतर मापती है।
5. वह छिद्र-दाब-वृद्धि जो उसे फिसलाती है, नियम की निम्न शाखा पर $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ है ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$, मेगापास्कल में, ऊपरी शाखा पर)।

तन्य विसर्पण

गरम चट्टान टूटने की प्रतीक्षा नहीं करती। क्वार्ट्ज़-समृद्ध चट्टान में कुछ सौ अंश से ऊपर, और ओलिवीन में उच्चतर तापमानों पर, क्रिस्टल अपने जालक में दोषों की धीमी गति से विरूपित होते हैं, और चट्टान एक ऐसी दर से विसर्पित होती है जो प्रतिबल और तापमान के साथ तीव्र गति से बढ़ती है।

प्रतिज्ञप्ति 16.17 (घात-नियम विसर्पण)

उच्च तापमान पर विस्थापन-विसर्पण से विरूपित होती चट्टान इस विकृति-दर पर प्रवाहित होती है

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

जहाँ $T$ निरपेक्ष तापमान है, $P$ दाब, $R$ गैस-नियतांक, और $A$, $n$, $E$ (सक्रियण ऊर्जा) और $V$ (सक्रियण आयतन) पदार्थ के स्थिरांक हैं, जो प्रयोगशाला में मापे जाते हैं। दर $\dot\varepsilon$ पर प्रवाहित होने के लिए इसे अवकल प्रतिबल की आवश्यकता होती है

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

इस नियम के पीछे की क्रियाविधियाँ पुस्तक 5 का विषय हैं। उसके स्थिरांक प्रयोगों से आते हैं; गीले क्वार्ट्ज़ाइट के लिए, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ और $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (प्रतिबल मेगापास्कल में, समय सेकंड में), ग्लीसन और टुलिस (1995) के अनुसार; शुष्क ओलिवीन के लिए, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ और $A = 10^{5}$, हर्थ और कोहलस्टेड (2003) के अनुसार; $R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$।

नियम के दो लक्षण स्थलमंडल को आकार देते हैं। प्रतिबल दर पर केवल कमज़ोर रूप से निर्भर है: दस गुना तेज़ के लिए क्वार्ट्ज़ाइट में केवल $10^{1/4} = 1.78$ गुना अधिक प्रतिबल चाहिए। और वह तापमान पर अत्यधिक निर्भर है: घातांकी पद हर सौ अंश के लिए क्वार्ट्ज़ाइट की सामर्थ्य को कई गुना घटा देता है। प्राकृतिक विकृति-दरें धीमी हैं। $300\,\mathrm{km}$ चौड़ी एक भूपर्पटी-पट्टी जो प्लेट-गति का $1\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष अवशोषित करती है, $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर विरूपित होती है, वह दर जिसे हम प्रयोग करेंगे।

प्रयोगशाला में — चट्टान की सामर्थ्य का मापन

चट्टान-यांत्रिकी की प्रयोगशालाएँ सामर्थ्य को एक त्रि-अक्षीय कक्ष में मापती हैं। एक चट्टान का बेलन, जिसे काटकर सिरों पर समतल घिसा गया हो, एक रबर या मुलायम धातु के आवरण में सील किया जाता है जो परिबद्ध द्रव को उसके छिद्रों से दूर रखता है। वह एक मोटी दीवार वाले दाब-पात्र में रहता है: उसके चारों ओर का तेल परिबद्ध दाब तय करता है, जो $\sigma_2 = \sigma_3$ की भूमिका निभाता है; एक पिस्टन उसके सिरों पर दबाता है और अक्षीय भार, $\sigma_1$, जोड़ता है। एक अलग नली छिद्रों को अपने दाब पर पानी से भरती है, ताकि कुल प्रतिबल स्थिर रखते हुए प्रभावी प्रतिबल बदला जा सके। मशीन नमूने के अक्षीय बल और उसके संकुचन को रिकॉर्ड करती है जब उसे स्थिर दर से भारित किया जाता है, जब तक वह टूट न जाए, या, पहले से काटे गए नमूने में, जब तक कट फिसलना शुरू न करे। पात्र के भीतर एक भट्टी विसर्पण के प्रयोगों के लिए नमूने गरम करती है, जो पृथ्वी की किसी भी दर से कई परिमाण-क्रम तेज़ विकृति-दरों पर चलाए जाते हैं और उसके लिए बहिर्वेशित करने पड़ते हैं।

16.4 स्थलमंडल की सामर्थ्य

हर गहराई पर स्थलमंडल दो ढंगों से विफल हो सकता है: भ्रंशों पर फिसलकर, जिसकी सामर्थ्य प्रभावी दाब के साथ बढ़ती है, या विसर्पण से, जिसकी सामर्थ्य गरम होने पर घटती है। वह उस ढंग से विरूपित होता है जिसमें छोटा प्रतिबल चाहिए।

परिभाषा 16.18 (सामर्थ्य-आवरण, भंगुर–तन्य संक्रमण, भूकंप-जनक परत)

स्थलमंडल का सामर्थ्य-आवरण गहराई के विरुद्ध वह वक्र है जो दिए गए विकृति-दर पर वह अधिकतम अवकल प्रतिबल दिखाता है जिसे वह सह सकता है: हर गहराई पर, घर्षण-सामर्थ्य और विसर्पण-सामर्थ्य में छोटी। भंगुर–तन्य संक्रमण वह गहराई है जिस पर दोनों बराबर हैं: उसके ऊपर चट्टान भ्रंशन से विरूपित होती है, नीचे विसर्पण से। भूकंप-जनक परत गहराइयों का वह परास है जिसमें अधिकांश भूकंप शुरू होते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 16.19 (गहराई के साथ घर्षण-सामर्थ्य)

घनत्व $\rho$ की परत में, स्थैतिक छिद्र-दाब के साथ, जिसमें एक मुख्य प्रतिबल ऊर्ध्वाधर है, हर दिशा के भ्रंश हैं और संसंजन नहीं, घर्षण $\mu$ के साथ फिसलना अवकल प्रतिबल पर शुरू होता है

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{यदि $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{यदि $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

जहाँ $\lambda = \rho_w/\rho$: पहली स्थिति सामान्य भ्रंश देती है, दूसरी उत्क्षेप।

$\mu = 0.85$ और $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, $S$ प्रति किलोमीटर $16.7\,\mathrm{MPa}$ बढ़ता है, और घर्षण-सामर्थ्य प्रति किलोमीटर $13.1\,\mathrm{MPa}$ खिंचाव के अंतर्गत और $61.3\,\mathrm{MPa}$ संपीड़न के अंतर्गत, लगभग पाँच गुना अधिक: भूपर्पटी को खींचकर अलग करना उसे धकेलकर साथ लाने से कहीं आसान है। प्रभावी अभिलंब प्रतिबल $200\,\mathrm{MPa}$ से आगे बायरली नियम की ऊपरी शाखा लागू होती है, और संपीड़न में ढलान घटकर लगभग $35\,\mathrm{MPa}$ प्रति किलोमीटर रह जाती है।

ऊपर का चित्र दो स्थलमंडलों के लिए दोनों सामर्थ्यों को एक साथ रखता है। महाद्वीप का अध्याय 10 का जियोथर्म है, जिसका सतह-ऊष्मा-प्रवाह $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ है, गीले क्वार्ट्ज़ाइट की $35\,\mathrm{km}$ मोटी भूपर्पटी, और नीचे शुष्क ओलिवीन; महासागरीय तल $60\,\mathrm{Myr}$ पुराना है, उसी अध्याय के अर्ध-अंतरिक्ष जियोथर्म के साथ, और समुद्र-तल से नीचे ओलिवीन। विकृति-दर $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। $35\,\mathrm{km}$ संदर्भ पृथ्वी मॉडल (अध्याय 9) में महाद्वीपों के नीचे मोहो की औसत गहराई है।

महाद्वीप के नीचे भंगुर–तन्य संक्रमण संपीड़न में $13.7\,\mathrm{km}$ पर, $249{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, और खिंचाव में $17.1\,\mathrm{km}$ पर आता है। गरम भूपर्पटी उसे ऊपर लाती, ठंडी उसे नीचे धकेलती, क्योंकि विसर्पण-नियम दिए गए प्रतिबल पर केवल तापमान पर निर्भर है। यह संक्रमण भूपर्पटी का सबसे सबल स्तर है। उसके नीचे सामर्थ्य ढह जाती है: मोहो पर, $527{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, क्वार्ट्ज़ाइट $7.6\,\mathrm{MPa}$ के नीचे प्रवाहित होता है, जबकि उसी तापमान पर ओलिवीन को लगभग $30\,000\,\mathrm{MPa}$ चाहिए होंगे, घर्षण-सामर्थ्य से इतने दूर कि प्रावार का ऊपरी भाग फिर भंगुर है। दूसरा संक्रमण संपीड़न में $44.6\,\mathrm{km}$ पर आता है। इस मॉडल की निचली भूपर्पटी दो सबल परतों के बीच एक मुलायम परत है: “जेली सैंडविच”। महासागर के नीचे पूरा स्थलमंडल ओलिवीन है, और सामर्थ्य एक ही संक्रमण तक नीचे बढ़ती है, $38.2\,\mathrm{km}$ पर, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर।

भूकंप महासागरीय आवरण से मेल खाते हैं: महासागरीय प्लेटों के भीतर, वे ऐसी गहराइयों तक पहुँचते हैं जहाँ तापमान $600\text{ से }800{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, मॉडल के एकल संक्रमण के $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ के निकट। इससे गहरे भूकंप केवल वहाँ होते हैं जहाँ एक प्लेट दूसरी के नीचे धँसती है, $700\,\mathrm{km}$ से अधिक गहराई तक (अध्याय 14)।

महाद्वीपीय प्रावार पर तस्वीर विवादित है। लगभग बीस वर्षों तक जेली सैंडविच प्रचलित मत था, जो शुष्क ओलिवीन के प्रयोगशाला-मापों और कुछ भूकंपों पर आधारित था, जिन्हें मोहो के नीचे माना गया था। 2002 में जेम्स जैक्सन ने तर्क दिया कि इसे छोड़ देना चाहिए: बेहतर गहराइयों ने दिखाया कि महाद्वीपों के भूकंप एक ही परत तक सीमित हैं, प्रायः ऊपरी भूपर्पटी, कभी-कभी पूरी भूपर्पटी, और नीचे प्रावार में कोई विश्वसनीय भूकंप नहीं, भले ही मोहो केवल $300\text{ से }500{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर हो। ओलिवीन में प्रति दस लाख भाग कुछ भाग जितना थोड़ा पानी उसे नाटकीय रूप से दुर्बल करने के लिए पर्याप्त है, और महाद्वीपीय प्रावार में शायद उतना होता है; तब महाद्वीपों की सामर्थ्य मुख्यतः उनकी भूपर्पटी में होगी। दोनों मत एक ही नियमों से भिन्न आवरण खींचते हैं, मोहो के नीचे शुष्क या गीले ओलिवीन के साथ।

कोई भी सही हो, आवरण एक सीमा है, माप नहीं: प्रयोगशाला के नियम विकृति-दर के कई परिमाण-क्रमों पर बहिर्वेशित किए जाते हैं, और वे जो चरम प्रतिबल दिखाते हैं, एक गिगापास्कल से अधिक, उन $1\text{ से }10\,\mathrm{MPa}$ से कहीं ऊपर हैं जिन्हें भूकंप मुक्त करते देखे जाते हैं।

16.5 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

$2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व की भूपर्पटी और $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ लीजिए। $10\,\mathrm{km}$ की गहराई पर परिकलित कीजिए: (क) ऊर्ध्वाधर प्रतिबल, (ख) स्थैतिक छिद्र-दाब, (ग) ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल और छिद्र-दाब अनुपात $\lambda$।

हल

हल — अभ्यास 16.1.

(क) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$। (ख) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$। (ग) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, और $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, जो $1000/2700$ है।

अभ्यास 16.2 ★

(क) $10\,\mathrm{km}$ लंबी एक परत $13\,\mathrm{km}$ तक खिंचती है: उसका प्रसार और उसका स्ट्रेच दीजिए। (ख) एक और, $10\,\mathrm{km}$ लंबी, $7\,\mathrm{km}$ तक सिकुड़ती है। (ग) एक चट्टान की दो रेखाएँ जो लंबवत थीं, अब $60{}^{\circ}$ का कोण बनाती हैं: कोणीय कर्तन और कर्तन-विकृति क्या हैं?

हल

हल — अभ्यास 16.2.

(क) $e = (13-10)/10 = 0.30$ और $S = 1.30$। (ख) $e = (7-10)/10 = -0.30$, $30\,\%$ का संकुचन, और $S = 0.70$। (ग) कोण $\psi = 30{}^{\circ}$ से सिकुड़ गया है, और $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$।

अभ्यास 16.3 ★

एक बिंदु पर, $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$। (क) मोर वृत्त खींचिए। (ख) सबसे बड़ा कर्तन-प्रतिबल क्या है, वह किन तलों पर कार्य करता है, और उन पर कौन-सा अभिलंब प्रतिबल कार्य करता है? (ग) उस तल पर $\sigma_n$ और $\tau$ परिकलित कीजिए जिसका अभिलंब $\sigma_1$ के साथ $30{}^{\circ}$ बनाता है।

हल

हल — अभ्यास 16.3.

(क) केंद्र $70\,\mathrm{MPa}$, त्रिज्या $30\,\mathrm{MPa}$। (ख) सबसे बड़ा कर्तन-प्रतिबल त्रिज्या है, $30\,\mathrm{MPa}$, उन तलों पर जो $\sigma_1$ और $\sigma_3$ से $45{}^{\circ}$ पर हैं, और वे केंद्र का अभिलंब प्रतिबल वहन करते हैं, $70\,\mathrm{MPa}$। (ग) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ और $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$।

अभ्यास 16.4 ★

एक चट्टान का संसंजन $10\,\mathrm{MPa}$ और आंतरिक घर्षण-कोण $30{}^{\circ}$ है। (क) $\sigma_1$ से किस कोण पर वह टूटती है, और दो संभव भंग-तल एक-दूसरे से कौन-सा कोण बनाते हैं? (ख) $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$ के साथ, कौन-सा प्रभावी $\sigma_1'$ उसे तोड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 16.4.

(क) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ है $\sigma_1$ से, उसके दोनों ओर, अतः दो तल एक-दूसरे से $60{}^{\circ}$ बनाते हैं। (ख) $c' = 20 + r$ के साथ, प्रमेय 16.14 की शर्त पढ़ी जाती है $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, अतः

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

और $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$।

अभ्यास 16.5 ★★

अक्ष $x$ (क्षैतिज) और $y$ (ऊर्ध्वाधर) में, $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$। (क) मुख्य प्रतिबल और कोण $\theta_p$ परिकलित कीजिए। (ख) प्रतिज्ञप्ति 16.2 से जाँचिए कि अभिलंब $\theta_p$ वाला तल कोई कर्तन-प्रतिबल नहीं वहन करता और अभिलंब प्रतिबल $\sigma_1$ है। (ग) इस बिंदु पर सबसे बड़ा कर्तन-प्रतिबल क्या है?

हल

हल — अभ्यास 16.5.

(क) $c = 40$ और $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$। (ख) इस कोण पर $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ और $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$, और $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$। (ग) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, मुख्य दिशाओं से $45{}^{\circ}$ पर के तलों पर।

अभ्यास 16.6 ★★

एक कर्तन-क्षेत्र ने अपनी चट्टान को सरल कर्तन $\gamma = 2$ से विरूपित किया है। (क) मुख्य स्ट्रेच और विकृति-दीर्घवृत्त के लंबे अक्ष का कर्तन-दिशा से कोण परिकलित कीजिए। (ख) जाँचिए कि क्षेत्रफल नहीं बदला। (ग) पदार्थ की एक रेखा कर्तन-दिशा से $45{}^{\circ}$ पर थी, कर्तन की दिशा में उठती हुई: अब वह कहाँ है, और उसका स्ट्रेच क्या है? (क) से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

(क) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ और $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$। (ख) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, जो $\det F$ है: कोई क्षेत्रफल-परिवर्तन नहीं। (ग) $(1, 1)$ के अनुदिश रेखा $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$ पर जाती है, कर्तन-दिशा से $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ पर, स्ट्रेच $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$ के साथ। वह दीर्घवृत्त के लंबे अक्ष से, जो $22.5{}^{\circ}$ पर है, आगे निकल गई है, कर्तन-तल की ओर; उसका स्ट्रेच $S_1$ से कुछ कम है, जैसा होना ही चाहिए, क्योंकि कोई रेखा $S_1$ से अधिक नहीं खिंचती।

अभ्यास 16.7 ★★

$200\,\mathrm{m}$ मोटे एक कर्तन-क्षेत्र में, एक स्लेट के छोटे गोल धब्बे अक्षों के 4 से 1 अनुपात के दीर्घवृत्त बन गए हैं। सरल कर्तन मानिए, क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन नहीं। (क) $S_1$, $S_2$ और $\gamma$ ज्ञात कीजिए। (ख) क्षेत्र की दीवारों से किस कोण पर लंबे अक्ष होने चाहिए? (ग) एक दीवार दूसरी के आगे कितनी दूर खिसक गई है?

हल

हल — अभ्यास 16.7.

(क) $S_1/S_2 = 4$ और $S_1S_2 = 1$ से $S_1 = 2$ और $S_2 = 0.5$ मिलते हैं; प्रतिज्ञप्ति 16.11 द्वारा, $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$। (ख) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: लंबे अक्ष दीवारों से $26.6{}^{\circ}$ पर होने चाहिए। (ग) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$।

अभ्यास 16.8 ★★

$3\,\mathrm{km}$ की गहराई पर एक भ्रंश, $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व की भूपर्पटी में, अभिलंब प्रतिबल $70\,\mathrm{MPa}$ और कर्तन-प्रतिबल $30\,\mathrm{MPa}$ वहन करता है। (क) स्थैतिक छिद्र-दाब के साथ, क्या वह बायरली नियम के अनुसार फिसलता है? (ख) और यदि छिद्र बंद हों और $\lambda = 0.6$ हो? (ग) $\lambda$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिस पर वह फिसलना शुरू करता है।

हल

हल — अभ्यास 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$। (क) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, और बायरली अनुमति देता है $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$, जो लागू $30\,\mathrm{MPa}$ से अधिक है: भ्रंश टिकता है। (ख) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$, और घर्षण केवल $19.0\,\mathrm{MPa}$ देता है: भ्रंश फिसलता है। (ग) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ से $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$।

अभ्यास 16.9 ★★

गीले क्वार्ट्ज़ाइट के विसर्पण-नियम का प्रयोग कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 16.17)। (क) उसे दस गुना तेज़ बहाने के लिए प्रतिबल किस गुणक से बढ़ना होगा? (ख) समान दर पर और $V = 0$ के साथ, $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $500{}^{\circ}\mathrm{C}$ के बीच उसकी सामर्थ्य किस गुणक से घटती है? (ग) इन दोनों परिणामों से समझाइए कि भंगुर–तन्य संक्रमण की गहराई विकृति-दर पर उतनी नहीं जितनी जियोथर्म पर क्यों निर्भर करती है।

हल

हल — अभ्यास 16.9.

(क) प्रतिबल $\dot\varepsilon^{1/4}$ के अनुसार बढ़ता है: $10^{1/4} = 1.78$। (ख) सामर्थ्यों का अनुपात है

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(ग) दर का दसगुना परिवर्तन विसर्पण-सामर्थ्य को 1.78 गुणक से बदलता है, जो तापमान केवल $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$ में करता है; लगभग $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ प्रति किलोमीटर के जियोथर्म पर, वह संक्रमण को लगभग $2\,\mathrm{km}$ खिसकाता है। जियोथर्म का एक परिवर्तन समतापों को, और उनके साथ संक्रमण को, इससे कहीं अधिक खिसकाता है।

अभ्यास 16.10 ★★★

जहाँ ऊर्ध्वाधर प्रतिबल $\sigma_2$ है, भ्रंश स्ट्राइक-स्लिप हैं। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल तब माध्य $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$ है। (क) दिखाइए कि संसंजन-रहित घर्षण $\mu$ के साथ फिसलना $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$ पर शुरू होता है। (ख) $\mu = 0.85$ और $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के लिए मेगापास्कल प्रति किलोमीटर में ढलान परिकलित कीजिए, और उसे सामान्य और उत्क्षेप भ्रंशन की ढलानों के बीच रखिए। (ग) तीनों ढलानों में से हर एक को ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल के गुणक के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.10.

(क) $C = 0$ के साथ, भ्रंश तब फिसलता है जब $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (प्रमेय 16.14)। यहाँ $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$ है, अतः $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$। (ख) $S$ प्रति किलोमीटर $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ बढ़ता है, और $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: ढलान प्रति किलोमीटर $21.6\,\mathrm{MPa}$ है, $13.1$ (सामान्य भ्रंश) और $61.3\,\mathrm{MPa}$ प्रति किलोमीटर (उत्क्षेप) के बीच। (ग) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ और $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, $k = 1.3124$ के साथ: फिसलने पर अवकल प्रतिबल ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल का 0.79, 1.30 और 3.68 गुना है।

अभ्यास 16.11 ★★★

$60\,\mathrm{Myr}$ पुराने महासागरीय स्थलमंडल को $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ठंडे हुए एक अर्ध-अंतरिक्ष के रूप में मॉडल कीजिए, सतह पर $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$। (क) $2\sqrt{\kappa t}$ परिकलित कीजिए। (ख) $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $800{}^{\circ}\mathrm{C}$ के समतापों की गहराइयाँ ज्ञात कीजिए। (ग) महासागरीय प्लेटों के भीतर के भूकंप वहाँ तक पहुँचते हैं जहाँ तापमान $600\text{ से }800{}^{\circ}\mathrm{C}$ है। इस अध्याय की महासागरीय सामर्थ्य-आवरण में भंगुर–तन्य संक्रमण से, जो $38.2\,\mathrm{km}$ और $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर है, तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.11.

(क) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ और $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$। (ख) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ के लिए $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ के लिए $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$। (ग) भूकंप $36\,\mathrm{km}$ से $51\,\mathrm{km}$ तक पहुँचने चाहिए; आवरण भंगुर परत का आधार $38.2\,\mathrm{km}$ पर रखता है, उस परास के भीतर और उसके ऊपरी भाग के निकट, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ के तापमान पर, जो देखे गए परास में है।

अभ्यास 16.12 ★★★

एक चट्टान को हर दिशा के भंग काटते हैं, सभी में $\sigma_2$ की दिशा है, संसंजन नहीं और घर्षण 0.85। प्रभावी मुख्य प्रतिबल $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$ हैं। (क) दिखाइए कि कुछ भंग फिसलते हैं। (ख) फिसलने वाले भंगों और $\sigma_1$ के बीच कोण का परास ज्ञात कीजिए। परास के बीच में कौन-सा है? (ग) $\sigma_1'$ के किस मान तक, $\sigma_3'$ स्थिर रखते हुए, कम से कम एक भंग अब भी फिसलता है?

हल

हल — अभ्यास 16.12.

(क) $r = 45$ और $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; केंद्र से रेखा $\tau = 0.85\sigma_n'$ तक की दूरी $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$ है, त्रिज्या से कम: वृत्त रेखा को पार करता है, और उसके ऊपर के चाप पर के तल फिसलते हैं। (ख) $2\theta$ को $\sigma_1$ सिरे से कोण मानते हुए, फिसलने के लिए $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$ चाहिए, अर्थात् $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, या $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, जहाँ $40.36{}^{\circ} = \phi$। अतः $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ $69.31{}^{\circ}$ और $110.69{}^{\circ}$ के बीच, $2\theta$ $109.67{}^{\circ}$ और $151.06{}^{\circ}$ के बीच: अभिलंब $\sigma_1$ से $54.8{}^{\circ}$ से $75.5{}^{\circ}$ पर हैं, और फिसलने वाले भंग $\sigma_1$ से $14.5{}^{\circ}$ से $35.2{}^{\circ}$ पर। परास का मध्य, $24.8{}^{\circ}$, $45{}^{\circ} - \phi/2$ है, वह तल जो प्रमेय 16.14 का है। (ग) केवल वही तल फिसलता है जब वृत्त रेखा को बस छूता है: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, और $\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$।

16.6 समस्या: क्या भ्रंश फिसलेगा?

समस्या 16.1

सप्ताहांत समस्या — पाँच किलोमीटर की गहराई पर एक सामान्य भ्रंश पर प्रतिबल, उसका सुरक्षा-अंतर, और छिद्र-दाब में वह वृद्धि जो उसे फिसलाएगी

एक भ्रंश उत्तर–दक्षिण स्ट्राइक करता है और पूर्व की ओर $60{}^{\circ}$ नत है। एक निपटान-कूप उसे $5.00\,\mathrm{km}$ की गहराई पर पाता है, $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व की भूपर्पटी में, जिसके छिद्र सतह से जुड़े हैं। कूप में एक माप भ्रंश के लंबवत क्षैतिज प्रतिबल $75.0\,\mathrm{MPa}$ देता है; स्ट्राइक के अनुदिश क्षैतिज प्रतिबल उसके और ऊर्ध्वाधर प्रतिबल के बीच है, अतः समस्या ऊर्ध्वाधर पूर्व–पश्चिम तल में द्वि-आयामी है। $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ घनत्व का पानी और बायरली नियम लीजिए। प्रतिबल $0.01\,\mathrm{MPa}$ तक दीजिए।

भाग I — प्रतिबल की अवस्था।

1. भ्रंश की गहराई पर ऊर्ध्वाधर प्रतिबल परिकलित कीजिए।
2. वहाँ स्थैतिक छिद्र-दाब और अनुपात $\lambda$ परिकलित कीजिए।
3. दो प्रतिबलों में से कौन-सा $\sigma_1$ है और कौन-सा $\sigma_3$? प्रतिबल की यह अवस्था किस प्रकार का भ्रंश चलाती है?
4. अवकल प्रतिबल, मोर वृत्त का केंद्र और त्रिज्या परिकलित कीजिए।
5. प्रभावी मुख्य प्रतिबल और प्रभावी वृत्त का केंद्र परिकलित कीजिए।
6. $x$ पूर्व की ओर क्षैतिज और $y$ ऊर्ध्वाधर मानकर, तीनों घटक $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{xy}$ लिखिए। $\sigma_{xy}$ शून्य क्यों है?

भाग II — भ्रंश पर प्रतिबल।

7. प्रश्न 6 के अक्षों में भ्रंश का इकाई अभिलंब, और उसका कोण $\theta$, $\sigma_1$ के साथ, दीजिए।
8. प्रतिज्ञप्ति 16.2 से भ्रंश पर $\sigma_n$ और $\tau$ परिकलित कीजिए।
9. मोर वृत्त से दोनों मान जाँचिए: $\sigma_1$ सिरे से किस कोण पर भ्रंश स्थित है?
10. भ्रंश पर प्रभावी अभिलंब प्रतिबल परिकलित कीजिए।
11. अनुपात $\tau/\sigma_n'$ परिकलित कीजिए और उसकी 0.85 से तुलना कीजिए।
12. वर्तमान प्रभावी अभिलंब प्रतिबल के अंतर्गत कौन-सा कर्तन-प्रतिबल भ्रंश को फिसलाएगा? वह कितने मेगापास्कल कम है?

भाग III — मोर का वृत्त और बायरली नियम।

13. प्रभावी मोर वृत्त और बायरली रेखा को पैमाने पर खींचिए।
14. वृत्त के केंद्र से रेखा तक की दूरी परिकलित कीजिए और उसकी त्रिज्या से तुलना कीजिए। क्या चट्टान से होकर कोई तल फिसल सकता है?
15. कौन-सा तल पहले फिसलेगा? उसका $\sigma_1$ से कोण और उसकी नति दीजिए।
16. प्रतिज्ञप्ति 16.19 से, वह अवकल प्रतिबल परिकलित कीजिए जिस पर इस गहराई पर सामान्य भ्रंश फिसलते हैं, और उसे $13.1\,\mathrm{MPa}$ प्रति किलोमीटर की ढलान से जाँचिए।
17. सबसे अच्छी तरह उन्मुख तल के फिसलने के लिए क्षैतिज प्रतिबल को कितना नीचे गिरना होगा?
18. इस समस्या के भ्रंश को फिसलने के लिए कितना नीचे? समझाइए कि वह नीचा क्यों है।

भाग IV — अंतःक्षेपण।

19. समझाइए कि छिद्र-दाब की वृद्धि $\Delta P$ प्रभावी वृत्त को बिना उसकी त्रिज्या बदले $\Delta P$ बाईं ओर खिसकाती है।
20. सबसे अच्छी तरह उन्मुख तल को फिसलाने वाली छिद्र-दाब-वृद्धि परिकलित कीजिए।
21. कूप पानी से भरा है। भ्रंश पर छिद्र-दाब को उस मात्रा से बढ़ाने के लिए पंप को कूप-मुख पर कितना अतिरिक्त दाब लगाना होगा? वह पानी के कितने ऊँचे स्तंभ के बराबर है?
22. यदि भ्रंश पर घर्षण 0.85 के बजाय 0.6 होता, तो क्या वह पहले से फिसल रहा होता? भ्रंश की शांति उसके घर्षण के बारे में क्या कहती है?
23. किस अनुपात $\lambda$ पर सबसे अच्छी तरह उन्मुख तल फिसलता है?
24. मेगापास्कल में, एक दशमलव तक, छिद्र-दाब की कितनी वृद्धि इस भ्रंश को फिसलाती है?

हल

हल — समस्या 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$।

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, और $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$।

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, ऊर्ध्वाधर, और $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, क्षैतिज पूर्व–पश्चिम: भूपर्पटी अपने ही भार के नीचे पूर्व–पश्चिम खिंच रही है, वह अवस्था जो सामान्य भ्रंश चलाती है, जैसा यह है।

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; केंद्र $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; त्रिज्या $28.72\,\mathrm{MPa}$।

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, केंद्र $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$।

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_{xy} = 0$: अक्ष मुख्य दिशाएँ हैं, उनमें से एक ऊर्ध्वाधर, अतः उन पर लंबवत तल कोई कर्तन-प्रतिबल नहीं वहन करते।

7. भ्रंश अपनी नति के अनुदिश इकाई सदिश $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$ के अनुदिश चलता है, पूर्व और नीचे की ओर; उसका ऊपर का अभिलंब $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$ है, $x$ से $30{}^{\circ}$ पर। $\sigma_1$ के साथ उसके कोण की, $y$ के अनुदिश, कोज्या 0.500 है: $\theta = 60{}^{\circ}$।

8. $x$ से $30{}^{\circ}$ पर: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, और $\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$।

9. $2\theta = 120{}^{\circ}$ पर, $\sigma_1$ सिरे से: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ और $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$।

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$।

11. $24.87/40.31 = 0.617$, 0.85 से नीचे: भ्रंश टिकता है।

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; कर्तन-प्रतिबल उससे $9.39\,\mathrm{MPa}$ कम है।

13. वृत्त का केंद्र $54.67\,\mathrm{MPa}$ पर है और त्रिज्या $28.72\,\mathrm{MPa}$, $25.95$ से $83.39\,\mathrm{MPa}$ तक; बायरली रेखा $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ है (यहाँ सभी अभिलंब प्रतिबल $200\,\mathrm{MPa}$ से नीचे हैं); भ्रंश बिंदु $(40.31, 24.87)$ है, $\sigma_1$ सिरे से $120{}^{\circ}$ पर।

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$, त्रिज्या $28.72\,\mathrm{MPa}$ से अधिक: पूरा वृत्त रेखा के नीचे है, और चट्टान से होकर कोई तल फिसल नहीं सकता।

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: तल $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ पर है, ऊर्ध्वाधर $\sigma_1$ से, $65.2{}^{\circ}$ की नति से।

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ और $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$; ढलान $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$ देती है।

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$।

18. भ्रंश तब फिसलता है जब $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ के साथ $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ और $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; हल करने पर $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$। यह सर्वोत्तम तल से कम है: भ्रंश उस बिंदु पर नहीं है जहाँ वृत्त पहले रेखा को छूता है, अतः वृत्त को भ्रंश के अपने बिंदु तक पहुँचने से पहले और बढ़ना होगा।

19. प्रत्येक प्रभावी अभिलंब प्रतिबल, $\sigma_1'$ और $\sigma_3'$ सहित, $\Delta P$ से घटता है, और उनका अंतर नहीं बदलता; कर्तन-प्रतिबल छिद्र-दाब पर बिल्कुल निर्भर नहीं करते।

20. सर्वोत्तम तल तब फिसलता है जब दूरी त्रिज्या के बराबर हो: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, अतः $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$।

21. कूप में पानी का स्तंभ पहले जितना भारी है, अतः पंप को कूप-मुख पर पूरा $10.33\,\mathrm{MPa}$ जोड़ना होगा, वायुमंडलीय दाब का लगभग 103 गुना: पानी के स्तंभ का भार $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$ ऊँचा।

22. $\mu = 0.6$ के साथ भ्रंश केवल $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$ वहन कर सकता, जो उससे कम है जो वह वहन करता है, $24.87\,\mathrm{MPa}$: वह पहले से फिसल रहा होता। चूँकि वह शांत है, उसका घर्षण कम से कम $0.617$ है, या उसमें कुछ संसंजन है।

23. सर्वोत्तम तल तब फिसलता है जब छिद्र-दाब पहुँचे $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, अर्थात् $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, स्थैतिक मान 1 से काफ़ी नीचे।

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, सर्वोत्तम अभिविन्यास के तल को हिलाने वाली $10.33\,\mathrm{MPa}$ से अधिक। एक दशमलव तक, भ्रंश को फिसलाने वाली छिद्र-दाब-वृद्धि है $11.0\,\mathrm{MPa}$।