5अनुप्रस्थ काट

हल — अभ्यास 5.1.

1:25 000 पर मानचित्र का $1\,\mathrm{cm}$ ज़मीन पर $250\,\mathrm{m}$ है। ऊर्ध्वाधर पैमाना $100\,\mathrm{m}$ के लिए $1\,\mathrm{cm}$ है, अतः ऊर्ध्वाधर पैमाना क्षैतिज का $250/100 = 2.5$ गुना है: $e = 2.5$।

हल — अभ्यास 5.2.

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$, और $\tan\beta = \tan40{}^{\circ} \cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$: $\beta = 36.0{}^{\circ}$, परत काट के पूर्वी सिरे की ओर नीचे जाती है। दिगंश $000{}^{\circ}$ की काट में $\gamma = 90{}^{\circ}$ और $\beta = 0$ है: काट स्ट्राइक के अनुदिश चलती है और परत क्षैतिज दिखती है।

हल — अभ्यास 5.3.

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 = 117.3\,\mathrm{m}$।

हल — अभ्यास 5.4.

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$। $e = 2$ के साथ: $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$; $e = 3$ के साथ: $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$; $e = 5$ के साथ: $\arctan 1.0628 = 46.7{}^{\circ}$। कोण $e$ से कहीं कम बढ़ता है, और कभी $90{}^{\circ}$ तक नहीं पहुँचता।

हल — अभ्यास 5.5.

(क) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$। (ख) $t = 300\sin35{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$। (ग) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$। एक ही बहिर्भाग चौड़ाई का अर्थ दो गुने से अधिक भिन्न मोटाइयाँ हो सकता है: ज़मीन की ढलान को सदा ध्यान में रखना होगा।

हल — अभ्यास 5.6.

नति-दिशा $\alpha$ और नति $\delta$ के साथ, प्रमेय उत्तर-दक्षिण काट ($\theta = 0$) में $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ देता है, और पूर्व-पश्चिम काट ($\theta = 90{}^{\circ}$) में $\tan30{}^{\circ} = \tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$। भाग देने पर $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$, $\alpha = 057.8{}^{\circ}$; वर्गों को जोड़ने पर, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$, $\delta = 34.3{}^{\circ}$। दोनों आभासी नतियाँ वास्तविक नति से छोटी हैं, जैसा होना ही चाहिए।

हल — अभ्यास 5.7.

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$। मानचित्र पर पूर्वी भुजा के संरचना समोच्च सचमुच आधे किलोमीटर से थोड़े कम दूर हैं, समान अंतराल पर और समांतर: भुजा एक समतल है।

हल — अभ्यास 5.8.

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$; B3: $529.98 - 494.93 = 35.05\,\mathrm{m}$। B2 के ऊपर शेल का आधार चूना-पत्थर का ऊपरी सिरा है, जो उसके आधार से $180\,\mathrm{m}$ ऊपर है: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$, जो ज़मीन ($380.64\,\mathrm{m}$) से ऊपर है, इसीलिए वहाँ वह अपरदित है। B1 और B2 के बीच संपर्क $2000\,\mathrm{m}$ पर $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ता है: $0.2126$ की ढलान, $12.0{}^{\circ}$ की आभासी नति। B1 और B3, B2 के दोनों ओर समान दूरी पर, हर संपर्क को $1\,\mathrm{cm}$ के भीतर एक ही उन्नयन पर पाते हैं: वलन $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर एक ऊर्ध्वाधर अक्षीय तल के सापेक्ष सममित है, उसकी दोनों भुजाएँ समान रूप से झुकती हैं, और उनके बीच कोई भ्रंश काट को नहीं काटता।

हल — अभ्यास 5.9.

विस्थापन $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$। $150{}^{\circ}$ दिगंश की काट में $\gamma = 30{}^{\circ}$ और $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 = 1.0321$: भ्रंश $45.9{}^{\circ}$ की आभासी नति के साथ दिखता है। क्षैतिज परत के दो कटाव-सिरे उस रेखा पर ऊर्ध्वाधर रूप से $150\,\mathrm{m}$ अलग हैं, अतः काट के अनुदिश $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ अलग हैं, जो क्षैतिज विस्थापन से अधिक है, क्योंकि काट भ्रंश को तिरछा पार करती है।

हल — अभ्यास 5.10.

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$, इसलिए $\gamma = 64.3{}^{\circ}$: दिगंशों $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ की काटें (और विपरीत दिशाएँ, जहाँ परत ऊपर उठती है)। आभासी नति $\gamma = 0$, $10{}^{\circ}$, $20{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ के लिए $40.0{}^{\circ}$, $39.6{}^{\circ}$, $38.3{}^{\circ}$ और $36.0{}^{\circ}$ है, परंतु $22.8{}^{\circ}$, $16.0{}^{\circ}$, $8.3{}^{\circ}$ और $0$ क्रमशः $\gamma = 60{}^{\circ}$, $70{}^{\circ}$, $80{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ के लिए। सचमुच, $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ का अवकलन करने पर, $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} = -\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$, जो $\gamma = 0$ पर शून्य है और $-\tan\delta$ के बराबर होता है जब $\gamma = 90{}^{\circ}$: नति-दिशा से थोड़ी हटी काट लगभग वास्तविक नति दिखाती है, जबकि स्ट्राइक के निकट दिगंश का हर अंश आभासी नति को लगभग एक अंश बदल देता है।

हल — अभ्यास 5.11.

परतें पूर्व की ओर झुकती हैं, अतः परत-तल का अभिलंब, नीचे की ओर अनुसरित, ऊर्ध्वाधर से $12.16{}^{\circ}$ पश्चिम की ओर, $260.7{}^{\circ}$ की ओर झुका है। (क) एक ऊर्ध्वाधर बोरहोल उसके साथ $\psi = 12.16{}^{\circ}$ कोण बनाता है: $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$, ऊर्ध्वाधर मोटाई। (ख) $260.7{}^{\circ}$ की ओर $60{}^{\circ}$ नमन करता बोरहोल, अभिलंब की उसी ओर, ऊर्ध्वाधर से $30{}^{\circ}$ झुका है: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} = 17.84{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.9519$, और कोर $176.0/0.9519 = 184.9\,\mathrm{m}$ लंबा है। (ग) $080.7{}^{\circ}$ की ओर यह दूसरी ओर झुका है: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.7413$, और कोर $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ लंबा है। कोर सबसे छोटा, $t$ के बराबर, तब होता है जब बोरहोल अभिलंब के अनुदिश चलता है, यानी $260.7{}^{\circ}$ की ओर $77.84{}^{\circ}$ नमन करता हुआ।

हल — अभ्यास 5.12.

पूर्व-पश्चिम ऊर्ध्वाधर समतल में, कोण पूर्व से मापे गए हैं: ऊपरी परतें पूर्व की ओर $20{}^{\circ}$ उठती हैं और निचली परतें पूर्व की ओर $70{}^{\circ}$ नीचे जाती हैं। बहिर्भाग को स्ट्राइक के परितः $20{}^{\circ}$ घुमाने पर, पूर्वी ओर नीचे, ऊपरी परतें क्षैतिज हो जाती हैं और निचली परतें $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ पर आ जाती हैं: जब ऊपरी परतें जमा हुईं, तब वे ऊर्ध्वाधर थीं। इतिहास, सबसे पुरानी घटना से: निचली परतें समतल जमा हुईं; वे किनारे पर, ऊर्ध्वाधर तक, मोड़ी गईं और उठाई गईं; उनके किनारे एक सतह तक अपरदित हुए; ऊपरी परतें उस सतह के आरपार जमा हुईं; पूरा पश्चिम की ओर $20{}^{\circ}$ नीचे झुक गया; अपरदन ने आज की ज़मीन की सतह काटी। यह हटन के सिकार पॉइंट के बहिर्भाग का इतिहास है।