17भ्रंश, वलन और विन्यास

एक सड़क की कटाई पर एक चट्टान का चेहरा दिखता है जो काँच की तरह चिकना है और बारीक समांतर खाँचों से खुरचा हुआ है। घाटी के पार, एक समुद्र-तट की चट्टान में बलुआ पत्थर और शेल की परतें ज़िगज़ैग में मुड़ी हैं, जिनकी भुजाएँ सीधी और कोने तीखे हैं। पास की एक छत पर स्लेट कुछ मिलीमीटर मोटी चादरों में टूटती है, उन तलों के साथ जो उस कीचड़ की परतों को काटते हैं जिससे वे बनी थीं। इनमें से हर एक चट्टान के विरूपण का एक अभिलेख है, अलग-अलग पैमाने पर पढ़ा गया: खाँचे बताते हैं कि दो खंड एक भ्रंश के साथ किस दिशा में एक-दूसरे को पार करते हुए खिसके; ज़िगज़ैग मापते हैं कि परतें कितनी छोटी हुईं; स्लेट के तल उस दिशा में बने जिसमें चट्टान दबाई गई। यह अध्याय उन तीन अभिलेखों को मापने के लिए आवश्यक ज्यामिति देता है, और पिछले अध्याय की यांत्रिकी समझाता है कि भ्रंश वे नतियाँ क्यों लेते हैं जो वे लेते हैं।

पहले से ज्ञात

किसी तल का अभिविन्यास उसकी नति-दिशा और नति है, जैसे $080/12$ लिखा हुआ; उसका स्ट्राइक दाएँ-हाथ नियम से आता है: तल उस प्रेक्षक के दाईं ओर नत है जो स्ट्राइक के अनुदिश देख रहा हो (अध्याय 4)। वलन वे मोड़ हैं जो एक बार समतल परतों में पड़े; अपनति ऊपर की ओर उत्तल है, जिसके केंद्र में सबसे पुरानी चट्टानें हैं, और अभिनति ऊपर की ओर अवतल; वलन-अक्ष वह रेखा है जिसके अनुदिश परतें सबसे अधिक मुड़ती हैं (अध्याय 4)। भ्रंश का विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन उसके विस्थापन के ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटक हैं (अध्याय 5)। एक रेखा की दिगंश और अवनति होती है, और अधोमुखी इकाई सदिश $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ है (अध्याय 6)। कूलॉम्ब कसौटी का पालन करने वाली चट्टान $45{}^{\circ} - \phi/2$ कोण पर, जो $\sigma_1$ से मापा जाता है, बने तलों पर टूटती है, और मौजूदा भ्रंश बायरली नियम के अनुसार सरकते हैं (अध्याय 16)। एक खनिज क्रॉस्ड पोलरों के बीच विलोपन में होता है जब उसकी कंपन-दिशाएँ ध्रुवकों की दिशाओं के समांतर हों (अध्याय 8)। भ्रंश पुस्तक 1 में, कक्षा 7 में मिले थे; उत्क्रम भ्रंश, अधिक्षेप और पर्णन पुस्तक 2 में, कक्षा 12 में। दो सदिशों का सदिश-गुणनफल दोनों के लंबवत होता है (गणित श्रृंखला)।

17.1 भ्रंश: ज्यामिति और गतिकी

भ्रंश वह सतह है जिसके आर-पार चट्टान के दो खंड एक-दूसरे के सापेक्ष खिसक गए हों। गति का वर्णन करने के लिए हमें दोनों खंडों के नाम, विस्थापन के लिए एक नाम, और भ्रंश-तल के भीतर उसकी दिशा मापने का एक तरीका चाहिए।

परिभाषा 17.1 (लटकती दीवार, पादभित्ति, सरकन-सदिश, निवल सरकन, रेक)

मान लीजिए भ्रंश स्थानीय रूप से एक ऐसा तल है जो ऊर्ध्वाधर नहीं है। लटकती दीवार वह खंड है जो उसके ऊपर है, पादभित्ति वह जो उसके नीचे। मान लीजिए $A$ पादभित्ति का एक बिंदु है, और $A'$ लटकती दीवार का वह बिंदु जो गति से पहले उसके संपर्क में था। सरकन-सदिश $\overrightarrow{AA'}$ लटकती दीवार का पादभित्ति के सापेक्ष विस्थापन है; उसकी लंबाई निवल सरकन है। सरकन-सदिश का रेक $r$ (जिसे पिच भी कहते हैं) वह कोण है, भ्रंश-तल में मापा गया, स्ट्राइक-दिशा से, जो दाएँ-हाथ नियम से दी गई है, सरकन-सदिश तक; वह धनात्मक है जब सरकन-सदिश तल पर ऊपर की ओर इंगित करता है, और ऋणात्मक जब नीचे की ओर: $-180{}^{\circ} < r \le 180{}^{\circ}$। यह भूकंप-विज्ञानियों की परिपाटी है, जो अध्याय 18 में भूकंपों के लिए फिर से प्रयोग होती है; कई क्षेत्र-भूवैज्ञानिक इसके बजाय 0 और $180{}^{\circ}$ के बीच का कोण दर्ज करते हैं, जो स्ट्राइक से ऊपर से देखने पर दक्षिणावर्त मापा जाता है, और गति की दिशा शब्दों में जोड़ देते हैं।

खदान-मज़दूरों से दोनों नाम आए हैं: एक ढलवाँ शिरा पर काम करता खनिक पादभित्ति पर खड़ा होता था और लटकती दीवार उसके सिर के ऊपर होती थी। एक कटाव में देखा गया विस्थापन सामान्यतः सरकन नहीं होता: मानचित्र या काट पर एक परत का खिसका हुआ दिखना एक अलगाव दिखाता है, जो परत के अभिविन्यास पर निर्भर है। सरकन के लिए ऐसे दो बिंदु चाहिए जो कभी एक थे, जैसे भ्रंश द्वारा काटी गई एक रेखा के दो भाग, उदाहरण के लिए एक परत से सटी डाइक का किनारा।

प्रतिज्ञप्ति 17.2 (सरकन के घटक)

मान लीजिए एक भ्रंश की नति-दिशा $\alpha$ और नति $\delta$ है, और एक सरकन-सदिश की लंबाई $L$ और रेक $r$ है। पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों के साथ मान लीजिए $\mathbf s = (\sin(\alpha-90{}^{\circ}), \cos(\alpha-90{}^{\circ}), 0)$ स्ट्राइक के अनुदिश इकाई सदिश है, और $\mathbf u = (-\cos\delta\sin\alpha, -\cos\delta\cos\alpha, \sin\delta)$ नति की ओर ऊपर का इकाई सदिश है। तब

$$\overrightarrow{AA'} = L\,(\cos r\,\mathbf s + \sin r\,\mathbf u),$$

इसका स्ट्राइक-स्लिप घटक $L\cos r$ है और नति-सरकन घटक $L\sin r$; भ्रंश का विस्थापन $L\,|\sin r|\sin\delta$ है, क्षैतिज विस्थापन $L\,|\sin r|\cos\delta$, और सरकन-सदिश $p$ कोण से अवनत है, जहाँ $\sin p = |\sin r|\sin\delta$।

नति-सरकन भ्रंश के लिए $|\sin r| = 1$ है, और क्षैतिज विस्थापन भ्रंश के विस्थापन को $\tan\delta$ से भाग देने पर मिलता है, जैसा अध्याय 5 में है। रेक भ्रंशों को परिवारों में छाँटता है।

परिभाषा 17.3 (सामान्य, उत्क्रम, अधिक्षेप, स्ट्राइक-स्लिप और तिर्यक-सरकन भ्रंश)

जिस भ्रंश का सरकन-सदिश नति-रेखा के अनुदिश है ($r = \pm90{}^{\circ}$), वह एक नति-सरकन भ्रंश है: एक सामान्य भ्रंश जब लटकती दीवार नीचे खिसकी हो ($r = -90{}^{\circ}$), एक उत्क्रम भ्रंश जब वह ऊपर उठी हो ($r = 90{}^{\circ}$)। एक अधिक्षेप भ्रंश वह उत्क्रम भ्रंश है जो $45{}^{\circ}$ या उससे कम नत हो। जिस भ्रंश का सरकन उसके स्ट्राइक के समांतर है ($r = 0$ या $180{}^{\circ}$), वह एक स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश है; ऐसे भ्रंश प्रायः लगभग ऊर्ध्वाधर होते हैं। स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश दाएँ-पार्श्वीय है जब उसके एक ओर खड़ा प्रेक्षक दूसरी ओर के खंड को दाईं ओर सरकते देखता है, और बाएँ-पार्श्वीय जब बाईं ओर। एक भ्रंश जिसके सरकन में स्ट्राइक-स्लिप और नति-सरकन, दोनों घटक हैं, वह तिर्यक-सरकन भ्रंश है; व्यवहार में भ्रंश का नाम उसके बड़े घटक से दिया जाता है, इसलिए लगभग $-90{}^{\circ}$ के निकट का रेक सामान्य कहलाता है।

प्रतिज्ञप्ति 17.4 (स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश की दिशा)

स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश की दिशा उस ओर पर निर्भर नहीं करती जिस पर प्रेक्षक खड़ा है। $0$ के निकट का रेक बाएँ-पार्श्वीय है, और $180{}^{\circ}$ के निकट का दाएँ-पार्श्वीय।

भ्रंश की सतह अक्सर स्वयं गति का एक अभिलेख होती है: उस पर की खरोंचें और रेशे सरकन के अनुदिश पड़े होते हैं। सतह के चारों ओर, भ्रंश-क्षेत्र गति से टूटी चट्टान से भरा हो सकता है।

परिभाषा 17.5 (स्लिकेनसाइड, स्लिकेनलाइन, भ्रंश-शैल)

स्लिकेनलाइन भ्रंश-सतह पर की खरोंचें या रेशे हैं, जो सरकन के समांतर हैं; स्लिकेनसाइड वह भ्रंश-सतह है जो उन्हें वहन करती है, जो प्रायः सरकन से चिकनी हो जाती है। भ्रंश-शैल वह चट्टान है जो भ्रंश पर गति से बनी हो। भ्रंश-ब्रेशिया भ्रंश की दीवारों के कोणीय टुकड़ों से बनी है, जो घुमाए और अपनी जगह से हटाए गए हैं, विशाल खंडों से लेकर लगभग $2\,\mathrm{mm}$ तक; कैटाक्लासाइट बालू के आकार या उससे छोटे टुकड़ों से बना है; दोनों में कोई विन्यास नहीं होता, टुकड़े यादृच्छिक रूप से पड़े होते हैं। भ्रंश-गाउज चिकनी मिट्टी से भरपूर भ्रंश-शैल है, जो उद्भेद में बहुत मुलायम होती है। मायलोनाइट एक बारीक-दाना, प्रबल पर्णित चट्टान है जो एक कर्तन-क्षेत्र में तन्य कर्तन से बनती है, जिसके कण पिसने से नहीं, बल्कि पुनर्क्रिस्टलन से सिकुड़े होते हैं।

भ्रंश-शैलें एक गहराई-मापी हैं, और वे, अध्याय 16 के सामर्थ्य-आवरण का अनुसरण करती हैं। गाउज, ब्रेशिया और कैटाक्लासाइट, अपने यादृच्छिक विन्यास के साथ, घर्षणी सरकन और भंजन से बनते हैं भंगुर भूपर्पटी में; मायलोनाइट भंगुर–तन्य संक्रमण के नीचे बनते हैं, जहाँ भ्रंश तन्य कर्तन के एक पट्टे के रूप में नीचे की ओर जारी रहता है। एक सामान्य जियोथर्म और पर्याप्त जल के लिए, इन दोनों के बीच का संक्रमण $10\text{ से }15\,\mathrm{km}$ पर होता है, जो पिछले अध्याय के आवरण के $13.7\,\mathrm{km}$ के निकट है, और भ्रंश वहीं सबसे प्रबल है। गहराई से ऊपर लाए गए एक बड़े भ्रंश के आर-पार वही क्रम साथ-साथ मिलता है: सतह के निकट गाउज के क्षेत्र, फिर कैटाक्लासाइट, फिर मायलोनाइट। मायलोनाइट नाम, जो एक यूनानी शब्द से है जिसका अर्थ आटा पीसना है, एक भूल दर्ज करता है: माना गया था कि वह पिसी हुई चट्टान है। पुस्तक 5 उन गहरे कर्तन-क्षेत्रों और मायलोनाइट बनाने वाली क्रियाविधियों का अध्ययन करती है।

विधि 17.6 (भ्रंश पर सरकन मापना)

1. भ्रंश-सतह का अभिविन्यास $\alpha/\delta$ मापिए और उसका स्ट्राइक, $\alpha - 90{}^{\circ}$, लिखिए।
2. स्लिकेनलाइन मापिए: भ्रंश पर उनका रेक, या उनकी दिगंश और अवनति; रेक $r$ के लिए, $\sin p = |\sin r|\sin\delta$।
3. आर-पार विस्थापित चिह्नों से पता लगाइए कि लटकती दीवार किस ओर गई, और रेक को उसका चिह्न दीजिए: यदि लटकती दीवार नीचे गई हो तो ऋणात्मक।
4. दो ऐसे बिंदुओं से निवल सरकन $L$ ज्ञात कीजिए जो कभी एक थे; यदि किसी क्षैतिज चिह्न का केवल भ्रंश का विस्थापन $h$ ज्ञात है, तो $L = h/(|\sin r|\sin\delta)$।
5. घटक प्रतिज्ञप्ति 17.2 से परिकलित कीजिए, और भ्रंश का नाम परिभाषा 17.3 से दीजिए।

क्षेत्र-कार्य — भ्रंश-तल का मापन

एक भूवैज्ञानिक जो उद्भेद में एक भ्रंश-तल पाता है, उसे किसी भी तल की तरह मापता है: एक दिक्सूचक-क्लिनोमीटर उस सतह पर रखकर, और फिर उस पर के स्लिकेनलाइन मापता है, या तो एक प्रोट्रैक्टर से रेक के रूप में जो तल पर रखा जाता है, या दिगंश और अवनति के रूप में। दोनों की जाँच विधि के चरण 2 के सूत्र से एक-दूसरे से की जाती है। गति की दिशा तय करना कठिन भाग है। स्लिकेनसाइड पर छोटे सोपान, और क्वार्ट्ज या कैल्साइट के रेशे जो खंडों के दूर जाने के साथ उगे, बता सकते हैं कि लापता खंड किस ओर गया, परंतु कुछ सोपान उलटी दिशा दिखाते हैं, इसलिए दिशा तभी भरोसे की जाती है जब वह किसी चिह्न-परत या शिरा के विस्थापन से मेल खाए। भ्रंश-शैलों का वर्णन और नमूना लिया जाता है, और एक भ्रंश-क्षेत्र जो एक जगह पर मापने के लिए बहुत चौड़ा हो, उसे एक पट्टे के रूप में मानचित्रित किया जाता है। हर भ्रंश को नोटबुक के एक क्रमांकित स्टेशन पर दर्ज किया जाता है, उसके अभिविन्यास, उसके स्लिकेनलाइन, गति की दिशा और इस बात के साथ कि भूवैज्ञानिक उसके बारे में कितने निश्चित हैं।

17.2 एंडरसन का भ्रंश-सिद्धांत

क्यों अधिकांश सामान्य भ्रंश खड़े होते हैं और अधिकांश अधिक्षेप मंद? 1905 में स्कॉटिश भूवैज्ञानिक अर्नेस्ट मासन एंडरसन ने दो टिप्पणियों से उत्तर दिया: पृथ्वी की सतह मुख्य प्रतिबलों की दिशाएँ तय करती है, और तब कूलॉम्ब कसौटी भ्रंशों का कोण तय करती है।

प्रतिज्ञप्ति 17.7 (मुक्त सतह एक मुख्य तल बनाती है)

पृथ्वी की सतह पर, जहाँ वह क्षैतिज है, एक मुख्य प्रतिबल ऊर्ध्वाधर है और अन्य दो क्षैतिज हैं।

एंडरसन ने माना कि मुख्य प्रतिबल इन दिशाओं को उन गहराइयों तक बनाए रखते हैं जिन पर भ्रंश बनते हैं। यह धारणा धीमी ढलान वाली सतह के नीचे और पुराने प्रबल दुर्बलताओं से रहित चट्टानों में ठीक बैठती है; तीव्र उच्चावच के निकट, और जहाँ पुराने भ्रंश या परतें नए भ्रंशों को मार्गदर्शन देती हैं, वह विफल होती है। इसके साथ केवल तीन स्थितियाँ संभव हैं, इस पर निर्भर करते हुए कि $\sigma_1$, $\sigma_2$ और $\sigma_3$ में से कौन ऊर्ध्वाधर है।

प्रमेय 17.8 (एंडरसन का भ्रंश-सिद्धांत)

मान लीजिए एक मुख्य प्रतिबल ऊर्ध्वाधर है, और चट्टान कूलॉम्ब कसौटी के अनुसार टूटती है, आंतरिक घर्षण कोण $\phi$ के साथ। नए भ्रंश उन तलों पर बनते हैं जिनमें $\sigma_2$ की दिशा है और जो $45{}^{\circ} - \phi/2$ का कोण $\sigma_1$ के साथ बनाते हैं, और वे $\sigma_2$ के लंबवत खिसकते हैं, और चट्टान को $\sigma_1$ के अनुदिश छोटा करते हैं। अतः

1. यदि $\sigma_1$ ऊर्ध्वाधर है, तो सामान्य भ्रंश बनते हैं, जिनका स्ट्राइक $\sigma_2$ के अनुदिश हो और जिनकी नति $45{}^{\circ} + \phi/2$ हो;
2. यदि $\sigma_3$ ऊर्ध्वाधर है, तो अधिक्षेप भ्रंश बनते हैं, जिनका स्ट्राइक $\sigma_2$ के अनुदिश हो और जिनकी नति $45{}^{\circ} - \phi/2$ हो;
3. यदि $\sigma_2$ ऊर्ध्वाधर है, तो ऊर्ध्वाधर स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश बनते हैं, जिनका स्ट्राइक $45{}^{\circ} - \phi/2$ पर, क्षैतिज $\sigma_1$ के दोनों ओर हो।

$\phi = 30{}^{\circ}$ के साथ नतियाँ $60{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ}$ हैं।

प्रत्येक शासन में दो समूह भ्रंश संभव हैं, $\sigma_1$ के सममित: संयुग्मी भ्रंश, जो $90{}^{\circ} - \phi$ पर, लगभग $60{}^{\circ}$ पर मिलते हैं, जिनके न्यूनकोण में $\sigma_1$ है। विलोमतः, क्षेत्र में मापे गए एक संयुग्मी भ्रंश युग्म से उन प्रतिबलों की दिशाएँ मिलती हैं जिन्होंने उन्हें बनाया: $\sigma_1$ उनके न्यूनकोण को समद्विभाजित करता है, $\sigma_2$ उनकी प्रतिच्छेद-रेखा है।

तीन शासन भूपर्पटी के तीन प्रकार के प्लेट-सीमांत से मेल खाते हैं (अध्याय 13 और 14)। जहाँ स्थलमंडल खिंचता है, दरारों और कटकों पर, क्षैतिज प्रतिबल ऊर्ध्वाधर से नीचे गिर जाता है और सामान्य भ्रंश बनते हैं; जहाँ वह दबाया जाता है, अभिसारी सीमांतों और पर्वत-श्रेणियों में, क्षैतिज प्रतिबल चट्टान के भार से अधिक हो जाता है और अधिक्षेप बनते हैं; रूपांतर भ्रंशों के साथ दो क्षैतिज प्रतिबल ऊर्ध्वाधर के दोनों ओर होते हैं। नतियाँ प्रेक्षणों से मोटे तौर पर मेल खाती हैं: दरारों के सामान्य भ्रंश सतह के निकट लगभग $60{}^{\circ}$ नत हैं, और अधिक्षेप निम्न-कोण उत्क्रम भ्रंश हैं। अपवाद सूचनाप्रद हैं। कई सामान्य भ्रंश गहराई के साथ चपटे हो जाते हैं, और दरारों की कुछ काटें उन्हें कर्तन के लगभग समतल क्षेत्र तक पहुँचते दिखाती हैं: ये निम्न-कोण सामान्य भ्रंश, या विलगन-भ्रंश, $45{}^{\circ}$ से काफ़ी कम पर भूपर्पटी को काटते हैं। एंडरसन का सिद्धांत इन्हें नए भ्रंशों के रूप में नहीं समझा सकता, और अभ्यास 17.10 दिखाता है कि बायरली का घर्षण भी एंडरसनी प्रतिबलों के अंतर्गत इन्हें नहीं सरका सकता: इन्हें दुर्बल भ्रंश-शैलों, उच्च छिद्र-दाब या घूर्णित प्रतिबलों की आवश्यकता है। एक पहले से मौजूद भ्रंश बायरली नियम के घर्षण पर सरकता है, $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$; तब सबसे उपयुक्त दिशा वाले सामान्य भ्रंश $65.2{}^{\circ}$ नत होते हैं, जैसा अध्याय 16 की समस्या ने पाया था।

इतिहास — एंडरसन के भ्रंश

स्कॉटिश भूवैज्ञानिक अर्नेस्ट मासन एंडरसन ने तीन प्रकार के भ्रंशों का अपना सिद्धांत 1905 में एक छोटे लेख में प्रकाशित किया, भ्रंशन की गतिकी पर, और उसका पूरा रूप, ब्रिटेन के डाइकों और भ्रंशों पर उसके अनुप्रयोग के साथ, अपनी पुस्तक The Dynamics of Faulting and Dyke Formation में दिया। कुछ पत्र और वह पुस्तक आज भी संरचनात्मक भूविज्ञान, भूकंप-विज्ञान और शैल-यांत्रिकी को आकार देते हैं: उनके तीन शासन, सामान्य, अधिक्षेप और स्ट्राइक-स्लिप, भूपर्पटी में प्रतिबल-अवस्थाओं और उनके बनाए भ्रंशों को छाँटने का सामान्य तरीका हैं, और भ्रंशों से प्रतिबल पढ़ने का भी।

17.3 वलन की ज्यामिति

अध्याय 4 ने वलनों को नाम दिए और मानचित्रों पर उनके प्रतिरूप पढ़े। त्रि-आयामी रूप में वलन को और नाम चाहिए: वह कहाँ मुड़ता है, कितनी तीखी मुड़ता है, और अंतरिक्ष में वह कैसे स्थित है।

परिभाषा 17.9 (वलन-मोड़, मोड़-रेखा, पार्श्व, अक्षीय तल, अंतर-पार्श्व कोण, बेलनाकार वलन)

एक मुड़ी हुई सतह पर, वलन-मोड़ वह क्षेत्र है जहाँ वक्रता सबसे अधिक है, और मोड़-रेखा वह रेखा है जो उसके सबसे अधिक वक्रता वाले बिंदुओं को जोड़ती है; पार्श्व दोनों ओर के कम मुड़े हुए भाग हैं। वलन का अक्षीय पृष्ठ वह पृष्ठ है जो उसकी उत्तरोत्तर मुड़ी सतहों की मोड़-रेखाओं को जोड़ता है; जब वह एक तल हो, तो वह अक्षीय तल है। अंतर-पार्श्व कोण $\iota$ दोनों पार्श्वों के बीच का कोण है, परिच्छेद में मापा गया, मोड़-रेखा के लंबवत तल में, उन स्पर्श-रेखाओं के बीच जो पार्श्वों को उनके नति-परिवर्तन बिंदुओं पर छूती हैं; $0 \le \iota \le 180{}^{\circ}$। एक वलन बेलनाकार वलन है जब उसकी सतहें एक सीधी रेखा को अपने समांतर चलाने से उत्पन्न होती हैं; उस रेखा की दिशा परिभाषा 4.14 का वलन-अक्ष है, और बेलनाकार वलन की हर मोड़-रेखा उसके समांतर एक सीधी रेखा है।

जब पार्श्व तल होते हैं, जैसे नीचे के शेवरॉन वलनों में और वार्डन हिल्स में, वलन की ज्यामिति उसके पार्श्वों के अभिविन्यास से निकलती है। नति-दिशा $\alpha$ और नति $\delta$ वाले तल का ऊपर की ओर का इकाई अभिलंब $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ है, पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों में।

प्रतिज्ञप्ति 17.10 (वलन उसके पार्श्वों से)

मान लीजिए एक बेलनाकार वलन के पार्श्व तल हैं, न उलटे हुए, ऊपर की ओर इकाई अभिलंब $\mathbf n_1$ और $\mathbf n_2$ के साथ। उसकी मोड़-रेखा $\mathbf n_1 \times \mathbf n_2$ के समांतर है, और उसका अंतर-पार्श्व कोण

$$\iota = 180{}^{\circ} - \arccos(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2) .$$

सीधे वलन के लिए, जिसके दोनों पार्श्व दोनों ओर $\delta$ नत हैं, अभिलंब कोण $2\delta$ बनाते हैं, और $\iota = 180{}^{\circ} - 2\delta$।

परिभाषा 17.11 (वलनों के वर्ग)

अंतर-पार्श्व कोण से, एक वलन मृदु वलन होता है ($\iota$ का मान $180{}^{\circ}$ से $170{}^{\circ}$ तक), एक खुला वलन ($170{}^{\circ}$ से $90{}^{\circ}$ तक), एक सघन वलन ($90{}^{\circ}$ से $10{}^{\circ}$ तक), या, जब उसके पार्श्व लगभग समांतर हों ($\iota$ का मान $10{}^{\circ}$ से $0$ तक), एक समनत वलन। अक्षीय तल की नति से, एक वलन सीधा वलन है जब अक्षीय तल $80{}^{\circ}$ से अधिक नत हो, एक शयित वलन जब वह $10{}^{\circ}$ से कम नत हो, और उनके बीच एक झुका वलन। वह वलन जिसका एक पार्श्व ऊर्ध्वाधर से आगे मुड़ गया हो, ताकि दोनों पार्श्व एक ही ओर नत हों और उस पार्श्व की परतें उलटी हों, एक उलटा वलन है। जिस वलन की मोड़-रेखा क्षैतिज न हो, वह एक अवनत वलन है।

इस पुस्तक में वलन की कसावट के वर्गों की अन्य सीमाएँ भी प्रयोग में हैं; यह पुस्तक ऊपर के चार रखती है।

परतों की मोटाई दो शैलियाँ अलग करती है। समांतर, या संकेंद्री, वलनों में हर परत अपनी लंबवत मोटाई बनाए रखती है, जैसे कागज़ की गड्डी मुड़ने पर करती है; ऐसे वलन बहुत दुर्बल परतों के साथ अंतःस्तरित प्रबल परतों के बकलिंग से बनते हैं। समरूप वलनों में हर सतह का एक ही आकार होता है, परतें अक्षीय तल के समांतर मोटाई बनाए रखती हैं, और वे पार्श्वों पर पतली तथा मोड़-बिंदुओं पर मोटी होती हैं, जैसा ऊपर की प्रोफ़ाइलों में है; वे तब बनते हैं जब सारी परतें दुर्बल हों, ताकि वे यांत्रिक भूमिका न निभाएँ। शेवरॉन वलनों के पार्श्व सीधे होते हैं और मोड़-बिंदु सँकरे, अंतर-पार्श्व कोण $60{}^{\circ}$ के निकट; वे प्रबल परतों के समांतर वलन हैं, जो पास-पास रखी होती हैं और मुड़ते समय एक-दूसरे पर फिसलती हैं।

17.4 विन्यास

मुड़ी चट्टान अक्सर केवल कुछ सतहों पर नहीं, पूरी तरह विरूपित होती है: उसके कण चपटे, घुमाए या एक साझा दिशा में पुनः उगाए जाते हैं, जो उसे एक विन्यास देता है। समतलीय विन्यास चट्टान को परतों में टूटने देता है, और रैखिक विन्यास उसे छड़ों में टूटने देता है।

परिभाषा 17.12 (पर्णन, शिस्टता, स्लेटी विदलन, अक्षीय-तलीय विदलन)

पर्णन एक समतलीय विन्यास है जो चट्टान में व्याप्त है: अत्यंत पास-पास समांतर सतहों का एक समुच्चय, जो संरेखित पट्टी-जैसे या चपटे कणों से, या पतली परतों से बनता है, और जिसके अनुदिश चट्टान सबसे आसानी से टूटती है। शिस्टता शिस्ट का पर्णन है, जो लगभग $1\,\mathrm{mm}$ से बड़े संरेखित कणों से बनता है। विदलन एक बारीक-दाना चट्टान का पर्णन है जो उसके विरूपण से बना है; स्लेटी विदलन स्लेट का विदलन है, जो इतने छोटे फ़िलोसिलिकेट खनिजों से बना है कि वे नंगी आँख से नहीं दिखते, और इतने पास-पास रखा हुआ कि चट्टान लगभग कहीं भी पतली चादरों में टूट सकती है। एक अक्षीय-तलीय विदलन वह विदलन है जो उन्हीं चट्टानों में वलनों के अक्षीय तलों के समांतर, या लगभग समांतर है।

पर्णन लगभग उस दिशा के लंबवत बनता है जिसमें सबसे अधिक संकुचन है, पट्टी-जैसे कणों के घूमने, नए अभ्रकों के उगने और सबसे जोर से दबाए गए फलकों पर कणों के घुलने से। इसलिए स्लेट का विदलन परतबंदी की मिट्टी से कुछ लेना-देना नहीं रखता: वह दबाव को दर्ज करता है। जब वलन और विदलन एक ही संकुचन में बनते हैं, तो विदलन वलनों के अक्षीय तलों के निकट पड़ता है, और परत की प्रबलता के अनुसार अभिसारी या अपसारी होते हुए, उनके आर-पार हल्का-सा फैलता है, जैसा नीचे का फ़ोटो दिखाता है।

परिभाषा 17.13 (रेखन, प्रतिच्छेद-रेखन, खिंचाव-रेखन)

रेखन एक रैखिक विन्यास है जो चट्टान में व्याप्त है, जिसे उसकी दिगंश और अवनति से मापा जाता है। प्रतिच्छेद-रेखन वे रेखाएँ हैं जिनमें दो समतलीय विन्यास एक-दूसरे को काटते हैं, जैसे परतबंदी और विदलन; खिंचाव-रेखन वे कण या कंकड़ हैं जो सबसे अधिक खिंचाव की दिशा में खिंचे हुए हैं।

प्रतिज्ञप्ति 17.14 (एक वलन का प्रतिच्छेद-रेखन)

एक बेलनाकार वलन में, जिसमें अक्षीय-तलीय विदलन है, परतबंदी और विदलन का प्रतिच्छेद-रेखन वलन पर हर जगह मोड़-रेखा के समांतर है।

यह प्रस्ताव उस वलन की अवनति पाने का क्षेत्र-भूवैज्ञानिक का तरीका है जो एक बार में पूरा दिखाई देने के लिए बहुत बड़ा है: किसी भी पार्श्व के किसी भी उद्भेद पर, वे रेखाएँ जिनमें विदलन परतबंदी को काटता है, मोड़-रेखा देती हैं। परतबंदी और विदलन मिलकर और भी बताते हैं: वलन कहाँ है, और परतें किस ओर ऊपर हैं।

परिभाषा 17.15 (वर्जेंस)

असममित वलन का वर्जेंस वह क्षैतिज दिशा है जिसकी ओर उसका ऊपरी भाग अपने निचले भाग के सापेक्ष चला है: वह दिशा जिसमें वह उलटा है या, झुके वलन के लिए, जिसकी ओर वह झुकता है।

प्रतिज्ञप्ति 17.16 (परतबंदी और विदलन वलन के पार्श्वों पर)

मान लीजिए एक वलन है जिसके सीधे पार्श्व हैं और एक अक्षीय-तलीय विदलन है, ऐसी चट्टानों में जो मुड़ने से पहले सीधी थीं, और जिनमें दोनों पार्श्व हर अपनति के मोड़-बिंदु से नीचे उतरते हैं। परिच्छेद में देखने पर:

1. जिस पार्श्व पर परतबंदी और विदलन एक ही ओर नत हैं, परतबंदी दोनों में अधिक खड़ी है ठीक तभी जब वह पार्श्व उलटा हो;
2. विदलन को परतबंदी पर घुमाने वाला न्यूनकोणीय घूर्णन दो पार्श्वों पर विपरीत दिशाओं में होता है; उस पार्श्व पर जो उलटा नहीं है, वह विदलन के शीर्ष को क्षैतिज रूप से उस पार्श्व के शीर्ष पर अपनति-मोड़ की ओर ले जाता है।

मोड़-बिंदु पर, अपनति या अभिनति, घूर्णन की संवेदना बदल जाती है। एक भूवैज्ञानिक जो इसे एक मार्ग पर दर्ज करता है, उन मोड़ों को पाता है जो एक उद्भेद में देखने के लिए बहुत बड़े हैं, जहाँ संवेदना बदलती है, और उलटे पार्श्वों को, जहाँ परतबंदी विदलन से अधिक खड़ी है; घूर्णन की इस संवेदना के लिए शब्द वर्जेंस भी प्रयुक्त होता है, और छोटे वलनों के वर्जेंस के उलटाव उसी प्रकार मानचित्रित किए जाते हैं, ताकि बड़े वलनों के मोड़ मिलें: एक बड़े वलन के दो पार्श्वों के छोटे वलनों की असममिति विपरीत होती है, और उसका अक्षीय अनुरेख उनके बीच से गुज़रता है।

17.5 सूक्ष्म-संरचनाएँ

सूक्ष्मदर्शी के नीचे चट्टान का विरूपण उसके कणों में दिखता है। क्वार्ट्ज का एक कण, जो उसके क्रिस्टल-जालक के धीमे फिसलने से मुड़ा है, क्रॉस्ड पोलरों के बीच एक साथ विलोपन में नहीं जाता: जैसे-जैसे मंच घूमता है, एक गहरी पट्टी उसके आर-पार चलती है, क्योंकि उसके भाग थोड़ी भिन्न दिशाओं में इंगित करते हैं। यह तरंगित विलोपन (अध्याय 8) तब और प्रबल होता है जब कर्तन-क्षेत्र के निकट पहुँचा जाता है, क्योंकि दोष क्रिस्टल-जालक में जमा होते हैं। जहाँ जल है, कण उन फलकों पर घुलते हैं जो सबसे जोर से दबे हैं, और घुला पदार्थ वहाँ जमा होता है जहाँ प्रतिबल कम है, या बह जाता है: यह दाब-विलयन कम ताप पर चट्टानों को छोटा करता है और बहुत-से विदलन बनाता है। अधिक ताप पर विकृत कण, विरूपण जारी रहते हुए, नए, छोटे और अविकृत कणों से बदल जाते हैं, पहले पुरानी कण-सीमाओं के साथ: गतिक पुनर्क्रिस्टलन, जो कण-आकार को सिकोड़ता है और मायलोनाइट बनाता है। विकृत कणों के आकार, और उनकी छायाओं में उगने वाले खनिज भी दिखाते हैं कि कर्तन-क्षेत्र किस दिशा में खिसका; ये कर्तन-संवेदना सूचक, और स्वयं ये क्रियाविधियाँ, पुस्तक 5 में हैं।

17.6 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

हर भ्रंश का नाम उसके सरकन-सदिश के रेक से दीजिए, वह तल $60{}^{\circ}$ नत है: (a) $r = -90{}^{\circ}$; (b) $r = 85{}^{\circ}$; (c) $r = 0$; (d) $r = 180{}^{\circ}$; (e) $r = -40{}^{\circ}$। (f) यदि (b) की नति $25{}^{\circ}$ हो, तो उसे क्या कहेंगे?

हल

हल — अभ्यास 17.1.

(a) एक सामान्य भ्रंश। (b) एक उत्क्रम भ्रंश, लगभग शुद्ध नति-सरकन। (c) एक बाएँ-पार्श्वीय स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश। (d) एक दाएँ-पार्श्वीय स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश। (e) एक तिर्यक-सरकन भ्रंश: लटकती दीवार नीचे और स्ट्राइक के अनुदिश बाईं ओर खिसकी है; उसका स्ट्राइक-स्लिप घटक, निवल सरकन का $\cos40{}^{\circ} = 0.77$, उसके नति-सरकन घटक $0.64$ से बड़ा है, इसलिए उसे सामान्य घटक वाला एक बाएँ-पार्श्वीय भ्रंश कहा जाता है। (f) $25{}^{\circ}$ की नति पर, जो $45{}^{\circ}$ से कम है, उत्क्रम भ्रंश एक अधिक्षेप भ्रंश है।

अभ्यास 17.2 ★

एक सामान्य भ्रंश $55{}^{\circ}$ नत है; उसका सरकन शुद्ध नति-सरकन है, जिसका निवल सरकन $300\,\mathrm{m}$ है। उसका विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$|\sin r| = 1$ के साथ भ्रंश का विस्थापन $300\sin55{}^{\circ} = 245.7\,\mathrm{m}$ है, और क्षैतिज विस्थापन $300\cos55{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$।

अभ्यास 17.3 ★

हर ऊर्ध्वाधर वलन का अंतर-पार्श्व कोण और वर्ग दीजिए, जिसके पार्श्व विपरीत दिशाओं में नत हैं: (a) पार्श्व $35{}^{\circ}$ और $35{}^{\circ}$ नत; (b) $70{}^{\circ}$ और $75{}^{\circ}$; (c) $85{}^{\circ}$ और $88{}^{\circ}$।

हल

हल — अभ्यास 17.3.

विपरीत दिशाओं में नत पार्श्वों वाले सीधे वलन के लिए, जिसके पार्श्व $\delta_1$ और $\delta_2$ नत हैं, $\iota = 180{}^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$। (a) $110{}^{\circ}$: खुला। (b) $35{}^{\circ}$: सघन। (c) $7{}^{\circ}$: समनत।

अभ्यास 17.4 ★

एक बलुआ पत्थर का आंतरिक घर्षण कोण $35{}^{\circ}$ है। एंडरसन के सिद्धांत के अनुसार, उसके सामान्य भ्रंश और उसके अधिक्षेप भ्रंश किन कोणों पर नत होते हैं? दो संयुग्मी स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश एक-दूसरे से किस कोण पर बनाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.4.

सामान्य भ्रंश $45{}^{\circ} + 35{}^{\circ}/2 = 62.5{}^{\circ}$ पर नत हैं, अधिक्षेप $45{}^{\circ} - 17.5{}^{\circ} = 27.5{}^{\circ}$ पर। संयुग्मी स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश प्रत्येक $\sigma_1$ के साथ $27.5{}^{\circ}$ का कोण बनाते हैं, उसके दोनों ओर, इसलिए वे $55{}^{\circ}$ पर मिलते हैं।

अभ्यास 17.5 ★★

एक भ्रंश का अभिविन्यास $090/50$ है, और उस पर $-30{}^{\circ}$ रेक के स्लिकेनलाइन हैं; निवल सरकन $400\,\mathrm{m}$ है। (a) स्ट्राइक-स्लिप और नति-सरकन घटक, भ्रंश का विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन परिकलित कीजिए। (b) सरकन-सदिश को पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों में लिखिए, और उसकी दिगंश और अवनति दीजिए। (c) भ्रंश का नाम दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.5.

(a) स्ट्राइक-स्लिप घटक स्ट्राइक के अनुदिश $400\cos30{}^{\circ} = 346.4\,\mathrm{m}$ है, और नति-सरकन घटक $400\sin-30{}^{\circ} = -200\,\mathrm{m}$ है, यानी नति के नीचे $200\,\mathrm{m}$; भ्रंश का विस्थापन $200\sin50{}^{\circ} =$ $153.2\,\mathrm{m}$ है; क्षैतिज विस्थापन $200\cos50{}^{\circ} =$ $128.6\,\mathrm{m}$ है। (b) स्ट्राइक $000$ है, इसलिए $\mathbf s = (0, 1, 0)$; $\mathbf u = (-\cos50{}^{\circ}, 0, \sin50{}^{\circ}) =$ $(-0.643, 0, 0.766)$। तब, अर्थात् $\overrightarrow{AA'} = 400(0.866\,\mathbf s - 0.5\,\mathbf u) = (128.6, 346.4, -153.2)$ मीटर में। उसकी दिगंश $\arctan(128.6/346.4) = 20.4{}^{\circ}$ है, और उसकी अवनति $\arcsin(153.2/400) = 22.5{}^{\circ}$, जो $\arcsin(\sin30{}^{\circ}\sin50{}^{\circ})$ के भी बराबर है। (c) एक तिर्यक-सरकन भ्रंश: रेक $0$ और $-90{}^{\circ}$ के बीच है, $0$ के निकट: एक सामान्य घटक वाला बाएँ-पार्श्वीय भ्रंश।

अभ्यास 17.6 ★★

दो ऊर्ध्वाधर स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश, एक ही आयु के, $020$ और $080$ स्ट्राइक करते हैं। (a) एंडरसन के अनुसार $\sigma_1$, $\sigma_2$ और $\sigma_3$ की दिशाएँ, और चट्टान का आंतरिक घर्षण कोण दीजिए। (b) कौन-सा भ्रंश दाएँ-पार्श्वीय है और कौन-सा बाएँ-पार्श्वीय? $\sigma_1$ के अनुदिश संकुचन से तर्क दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.6.

(a) दो भ्रंश एक-दूसरे से $60{}^{\circ}$ बनाते हैं; $\sigma_1$ न्यूनकोण को समद्विभाजित करता है, इसलिए वह $050$ (और $230$) के अनुदिश क्षैतिज है; $\sigma_3$ $140$ के अनुदिश क्षैतिज है; $\sigma_2$ ऊर्ध्वाधर है, उस रेखा के अनुदिश जिस पर दोनों ऊर्ध्वाधर भ्रंश मिलते हैं। हर भ्रंश $\sigma_1$ के साथ $30{}^{\circ}$ बनाता है, इसलिए $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ और $\phi = 30{}^{\circ}$। (b) दोनों भ्रंश ज़मीन को चार पच्चर में काटते हैं; जिन पच्चरों में $\sigma_1$ है, वे $050$ और $230$ की ओर एक-दूसरे की ओर चलते हैं, और जिनमें $\sigma_3$ है, वे $140$ और $320$ की ओर एक-दूसरे से दूर। $020$ स्ट्राइक करने वाला भ्रंश लीजिए, $050$ की ओर के पच्चर (उसके पूर्व में) और $320$ की ओर के पच्चर (उसके पश्चिम में) के बीच: पश्चिमी पच्चर के सापेक्ष, पूर्वी पच्चर $230$ की ओर और $320$ से दूर चलता है, और दोनों का भ्रंश के अनुदिश $200$ की ओर घटक है। पश्चिमी पच्चर पर पूर्व की ओर मुख करके खड़ा प्रेक्षक पूर्वी पच्चर को $200$ की ओर, दाईं ओर, खिसकते देखता है: $020$ स्ट्राइक करने वाला भ्रंश दाएँ-पार्श्वीय है। वही तर्क, या $\sigma_1$ के बारे में सममिति, $080$ स्ट्राइक करने वाले भ्रंश को बाएँ-पार्श्वीय बनाती है।

अभ्यास 17.7 ★★

किसी बेलनाकार वलन के दो पार्श्वों के अभिविन्यास $120/40$ और $260/30$ हैं। प्रतिज्ञप्ति 17.10 से उसकी मोड़-रेखा की दिगंश और अवनति, उसका अंतर-पार्श्व कोण और उसका वर्ग ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.7.

ऊपर की ओर के अभिलंब हैं

$$\begin{align*} \mathbf n_1 &= (\sin40{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \sin40{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, \cos40{}^{\circ}) = (0.557, -0.321, 0.766),\\ \mathbf n_2 &= (\sin30{}^{\circ}\sin260{}^{\circ}, \sin30{}^{\circ}\cos260{}^{\circ}, \cos30{}^{\circ}) = (-0.492, -0.087, 0.866). \end{align*}$$

उनका सदिश-गुणनफल है, अर्थात् $(-0.211, -0.859, -0.207)$, जो नीचे की ओर इंगित करता है: मोड़-रेखा की अवनति, इस प्रकार $\arcsin 0.207/0.909 = 13.1{}^{\circ}$ है, और दिगंश, अर्थात् $180{}^{\circ} + \arctan(0.211/0.859) = 193.8{}^{\circ}$ है। $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = 0.417$; अभिलंबों के बीच का कोण $65.3{}^{\circ}$ है, और $\iota = 114.7{}^{\circ}$: एक खुला वलन।

अभ्यास 17.8 ★★

एक उद्भेद पर परतबंदी का अभिविन्यास $040/30$ है और एक अक्षीय-तलीय विदलन का अभिविन्यास $160/80$। प्रतिच्छेद-रेखन की दिगंश और अवनति ज्ञात कीजिए। वह वलन के बारे में क्या बताती है?

हल

हल — अभ्यास 17.8.

$\mathbf n_1 = (0.321, 0.383, 0.866)$ परतबंदी के लिए, और $\mathbf n_2 = (0.337, -0.925, 0.174)$ विदलन के लिए। उनका सदिश-गुणनफल, नीचे की ओर लिया गया, एक ऐसी रेखा देता है जो $25.4{}^{\circ}$ अवनत है और $074.8{}^{\circ}$ की ओर है। प्रतिज्ञप्ति 17.14 से यही मोड़-रेखा की दिशा है: वलन लगभग $25{}^{\circ}$ पूर्व-उत्तर-पूर्व की ओर अवनत है, जिसकी पुष्टि पार्श्व के किसी भी अन्य उद्भेद को करनी चाहिए।

अभ्यास 17.9 ★★

एक ऊर्ध्वाधर भ्रंश पूर्व–पश्चिम स्ट्राइक करता है। एक ऊर्ध्वाधर डाइक, जो उत्तर–दक्षिण स्ट्राइक करती है, उसे काटती है; भ्रंश के उत्तर में डाइक, भ्रंश के दक्षिण में जहाँ है उससे $350\,\mathrm{m}$ पूर्व में पाई जाती है। (a) भ्रंश दाएँ-पार्श्वीय है या बाएँ-पार्श्वीय? (b) यदि स्लिकेनलाइन क्षैतिज हैं, तो निवल सरकन क्या है? (c) यदि इसके बजाय वे पूर्व की ओर $20{}^{\circ}$ अवनत हैं, तो निवल सरकन और सरकन का ऊर्ध्वाधर घटक क्या है, और कौन-सा खंड नीचे गया?

हल

हल — अभ्यास 17.9.

(a) दक्षिण में, उत्तर की ओर मुख करके खड़ा प्रेक्षक भ्रंश के उत्तरी भाग को पूर्व की ओर, दाईं ओर, विस्थापित देखता है: भ्रंश दाएँ-पार्श्वीय है। (b) डाइक भ्रंश के लंबवत एक ऊर्ध्वाधर तल है, इसलिए स्ट्राइक के अनुदिश उसका विस्थापन स्ट्राइक-स्लिप घटक है: $350\,\mathrm{m}$, जो पूरा सरकन है यदि स्लिकेनलाइन क्षैतिज हों। (c) तब सरकन ऊर्ध्वाधर भ्रंश-तल में स्ट्राइक से $20{}^{\circ}$ बनाता है: उसका क्षैतिज घटक अब भी $350\,\mathrm{m}$ है, इसलिए निवल सरकन $350/\cos20{}^{\circ} = 372.5\,\mathrm{m}$ है और उसका ऊर्ध्वाधर घटक $350\tan20{}^{\circ} = 127.4\,\mathrm{m}$। उत्तरी खंड पूर्व की ओर गया, और स्लिकेनलाइन पूर्व की ओर नीचे उतरती हैं, इसलिए वह भी $127.4\,\mathrm{m}$ नीचे गया। एक ऊर्ध्वाधर डाइक वह ऊर्ध्वाधर गति नहीं दिखा सकती, क्योंकि उसे उसके अपने अनुदिश खिसकाने से उसका निशान नहीं बदलता।

अभ्यास 17.10 ★★★

संसंजन-रहित और घर्षण गुणांक $\mu$ वाला एक भ्रंश कोण $\theta$ बनाता है $\sigma_1$ के साथ। (a) दिखाइए कि वह तब सरकता है जब प्रभावी मुख्य प्रतिबल इस अनुपात पर पहुँचें

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1 + \mu\cot\theta}{1 - \mu\tan\theta} .$$

(b) $\mu = 0.6$ और $\sigma_1$ ऊर्ध्वाधर लेकर, $60{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ और $35{}^{\circ}$ नत सामान्य भ्रंशों के लिए अनुपात परिकलित कीजिए। (c) दिखाइए कि कोई सामान्य भ्रंश जो एक निश्चित कोण से कम नत हो, कभी नहीं सरक सकता, और वह कोण परिकलित कीजिए। (d) $\mu = 0.6$ और $\mu = 0.85$ के लिए सबसे उपयुक्त दिशा वाले सामान्य और अधिक्षेप भ्रंशों की नतियाँ दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.10.

(a) भ्रंश का अभिलंब $90{}^{\circ} - \theta$ बनाता है $\sigma_1$ के साथ, इसलिए प्रतिज्ञप्ति 16.5 से, $\sigma_n' = \sigma_1'\sin^2\theta + \sigma_3'\cos^2\theta$ और $\tau = (\sigma_1' - \sigma_3')\sin\theta\cos\theta$। सरकन तब शुरू होता है जब $\tau = \mu\sigma_n'$; $\sigma_3'\cos^2\theta$ से भाग देकर और $R = \sigma_1'/\sigma_3'$ लिखकर, $(R - 1)\tan\theta = \mu(R\tan^2\theta + 1)$, इसलिए $R\tan\theta(1 - \mu\tan\theta) = \tan\theta + \mu$, जो सूत्र है। (b) $\sigma_1$ ऊर्ध्वाधर होने पर, $\theta$ नति को $90{}^{\circ}$ में से घटाने पर मिलता है: $\theta = 30{}^{\circ}$ पर $R = 3.12$; $\theta = 45{}^{\circ}$ पर $R = 4.00$; $\theta = 55{}^{\circ}$ पर $R = 9.92$। (c) हर भाजक $\tan\theta = 1/\mu$, $\theta = 59.0{}^{\circ}$ पर शून्य है; उससे आगे $R$ ऋणात्मक होता, अर्थात धनात्मक प्रभावी प्रतिबलों का कोई अनुपात भ्रंश को नहीं सरका सकता, चाहे $\sigma_1'$ कितना भी बड़ा हो। ऊर्ध्वाधर $\sigma_1$ के अंतर्गत, $\mu = 0.6$ के साथ, $31.0{}^{\circ}$ से कम नत सामान्य भ्रंश कभी नहीं सरक सकते। (d) सबसे उपयुक्त दिशा वाला तल $45{}^{\circ} - \phi/2$ पर है, $\sigma_1$ से। $\mu = 0.6$, $\phi = 31.0{}^{\circ}$ के लिए: सामान्य भ्रंश $60.5{}^{\circ}$ नत हैं, अधिक्षेप $29.5{}^{\circ}$। $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ के लिए: $65.2{}^{\circ}$ और $24.8{}^{\circ}$।

अभ्यास 17.11 ★★★

पूर्व–पश्चिम के एक मार्ग पर, जिसमें मोड़-रेखाएँ उत्तर की ओर चलती हैं, शेवरॉन वलनों के पार, एक अक्षीय-तलीय विदलन हर जगह पश्चिम की ओर $60{}^{\circ}$ नत है। परतबंदी स्टेशन A पर $40{}^{\circ}$ पश्चिम, स्टेशन B पर $80{}^{\circ}$ पश्चिम और स्टेशन C पर $40{}^{\circ}$ पश्चिम नत है, पश्चिम से पूर्व की ओर, उन चट्टानों में जो मुड़ने से पहले सीधी थीं। (a) कौन-सा स्टेशन उलटे पार्श्व पर है? (b) उत्तर की ओर देखते हुए, हर स्टेशन पर विदलन परतबंदी पर किस संवेदना में घूमता है? (c) मोड़ कहाँ हैं, और कौन-से अपनतियाँ हैं? (d) पार्श्वों का अंतर-पार्श्व कोण और अक्षीय तलों का अभिविन्यास ज्ञात कीजिए, और बताइए कि वलन किस ओर झुकते हैं।

हल

हल — अभ्यास 17.11.

उत्तर की ओर देखने पर पूर्व दाईं ओर है, और पश्चिम की ओर नत तल दाईं ओर उठते हैं। (a) B पर परतबंदी विदलन की ही ओर नत है, अधिक तीव्रता से: प्रतिज्ञप्ति 17.16(a) से, B एक उलटे पार्श्व पर है; A और C, जहाँ परतबंदी कम खड़ी है, सीधे हैं। (b) विदलन $60{}^{\circ}$ पर उठता है; A और C पर परतबंदी $40{}^{\circ}$ पर उठती है, और एक से दूसरे का न्यूनकोणीय घूर्णन दक्षिणावर्त है, $20{}^{\circ}$ से होकर, जो विदलन के शीर्ष को पूर्व की ओर ले जाता है; B पर परतबंदी $80{}^{\circ}$ पर उठती है और घूर्णन वामावर्त है, $20{}^{\circ}$ से होकर, जो उसे पश्चिम की ओर ले जाता है। (c) संवेदना A और B के बीच बदलती है और फिर B और C के बीच: हर अंतराल में एक मोड़ है। A पर, जो सीधे पार्श्व पर है, विदलन का शीर्ष पूर्व की ओर, पार्श्व के शीर्ष पर अपनति की ओर जाता है: A और B के बीच का मोड़ एक अपनति है, और B और C के बीच का एक अभिनति। (d) प्रमेय के प्रमाण के संकेतन में, सीधे पार्श्व $\gamma - \iota/2 = 40{}^{\circ}$ नत हैं और उलटे पार्श्व $\gamma + \iota/2 = 80{}^{\circ}$, इसलिए $\gamma = 60{}^{\circ}$, जैसा विदलन कहता है, और $\iota = 40{}^{\circ}$: सघन वलन। अक्षीय तल उत्तर की ओर स्ट्राइक करते हैं और $60{}^{\circ}$ पश्चिम की ओर नत हैं, विन्यास $270/60$। छोटे पार्श्व ऊर्ध्वाधर से आगे मुड़ गए हैं, उनके शीर्ष पूर्व की ओर: वलन पूर्व की ओर झुकते हैं, जैसा अध्याय के चित्र में है।

अभ्यास 17.12 ★★★

लंबाई $L_0$ की एक परत एक समरूप शेवरॉन वलनों की श्रृंखला में मुड़ी है, जिसका अंतर-पार्श्व कोण $\iota$ है, और उसकी लंबाई अपरिवर्तित है। (a) दिखाइए कि वलनों के आर-पार उसकी मापी गई लंबाई $L_0\sin(\iota/2)$ हो जाती है। (b) $60{}^{\circ}$ अंतर-पार्श्व कोण वाले शेवरॉन वलन कितना संकुचन दर्शाते हैं? (c) $30\,\%$ संकुचन के अनुरूप कौन-सा अंतर-पार्श्व कोण है? (d) $12{}^{\circ}$ नत पार्श्वों वाली सीधे वलनों की श्रृंखला: कितना संकुचन?

हल

हल — अभ्यास 17.12.

(a) एक सममित शेवरॉन वलन में हर पार्श्व अक्षीय तल के साथ $\iota/2$ कोण बनाता है, जो संकुचन की दिशा के लंबवत है; $l$ लंबाई का एक पार्श्व वलनों के आर-पार $l\sin(\iota/2)$ फैलता है, और पूरी परत $L_0\sin(\iota/2)$। (b) $\sin30{}^{\circ} = 0.5$: $50\,\%$ संकुचन। (c) $\sin(\iota/2) = 0.7$ से $\iota = 88.9{}^{\circ}$। (d) $\iota = 156{}^{\circ}$ और $\sin78{}^{\circ} = 0.978$: $2.2\,\%$ संकुचन, जो $1 - \cos12{}^{\circ}$ के भी बराबर है।

17.7 समस्या: वार्डन हिल्स की संरचनाएँ, मापी गईं

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — वार्डन हिल्स की अपनति और सामान्य भ्रंश, तलों की अभिविन्यासों से भ्रंश पर सरकन तक

वार्डन हिल्स एक अपनति में मुड़ी हैं, जिसकी धुरी $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर उत्तर–दक्षिण चलती है, और उससे $4\,\mathrm{km}$ पूर्व में एक अभिनति है; दोनों के पार्श्व तल हैं। एक क्षेत्र-सर्वेक्षण ने अपनति के पूर्वी पार्श्व पर परतबंदी को $080.7/12.2$ और उसके पश्चिमी पार्श्व पर $279.3/12.2$ मापा। आवरण को $120/60$ अभिविन्यास का एक सामान्य भ्रंश काटता है, जिसकी लटकती दीवार नति के अनुदिश नीचे गई है, और उसका भ्रंश का विस्थापन $200\,\mathrm{m}$ है। कोण $0.1{}^{\circ}$ तक और लंबाइयाँ $0.1\,\mathrm{m}$ तक दीजिए।

भाग I — पार्श्व।

1. ऊपर की ओर के इकाई अभिलंब $\mathbf n_1$ (पूर्वी पार्श्व) और $\mathbf n_2$ (पश्चिमी पार्श्व) पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों में लिखिए।
2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2$ और दोनों अभिलंबों के बीच का कोण परिकलित कीजिए।
3. अपनति का अंतर-पार्श्व कोण निकालिए।
4. अपनति को उसके अंतर-पार्श्व कोण से वर्गीकृत कीजिए।
5. दोनों पार्श्व $12.2{}^{\circ}$ नत हैं। अंतर-पार्श्व कोण ठीक $180{}^{\circ} - 2\times12.2{}^{\circ}$ क्यों नहीं है? पूर्व–पश्चिम ऊर्ध्वाधर काट में किसी भी पार्श्व की आभासी नति परिकलित कीजिए।
6. अभिनति अपनति के पूर्वी पार्श्व को साझा करती है, और उसका अपना पूर्वी पार्श्व अपनति के पश्चिमी पार्श्व के समांतर है। उसका अंतर-पार्श्व कोण क्या है?

भाग II — मोड़-रेखा और अक्षीय तल।

7. $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$, और मोड़-रेखा की दिगंश और अवनति परिकलित कीजिए।
8. अक्षीय तल का अभिविन्यास दीजिए। क्या अपनति सीधी, झुकी या शयित है?
9. वलन का पूरा वर्णन दीजिए: कसावट, अक्षीय तल का अभिविन्यास, अवनति।
10. अध्याय 4 के भूवैज्ञानिक मानचित्र पर, अपनति के उद्भेद किस ओर बंद होते हैं, और उसके केंद्र में क्या निकलता है?
11. आवरण का शेल एक अक्षीय-तलीय विदलन रखता है। उसका अभिविन्यास दीजिए, और पूर्वी पार्श्व पर उसके प्रतिच्छेद-रेखन की दिगंश और अवनति दीजिए।
12. पूर्वी पार्श्व पर, उत्तर की ओर देखते हुए, विदलन परतबंदी पर किस संवेदना में घूमता है, और मोड़ किस ओर है?

भाग III — भ्रंश और प्रतिबल।

13. भ्रंश का स्ट्राइक दाएँ-हाथ नियम से दीजिए, और बताइए कि लटकती दीवार उसके अनुरेख के किस ओर है।
14. एंडरसन के अनुसार, भ्रंश बनते समय कौन-सा मुख्य प्रतिबल ऊर्ध्वाधर था?
15. दोनों क्षैतिज मुख्य प्रतिबलों की दिशाएँ दीजिए।
16. नति से कौन-सा आंतरिक घर्षण कोण सूचित होता है? घर्षण गुणांक क्या है?
17. वे संयुग्मी भ्रंश समुच्चय, जिन्हें वही प्रतिबल बना सकते थे, उनका अभिविन्यास दीजिए, और दोनों समुच्चयों के बीच का कोण भी।
18. क्या वही शासन के अंतर्गत यह भ्रंश, 0.85 के बायरली घर्षण के साथ, फिर सरकने के लिए सबसे उपयुक्त दिशा में होगा?

भाग IV — सरकन।

19. रेक और सरकन-सदिश की दिगंश और अवनति दीजिए।
20. सरकन-सदिश को पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों में लिखिए।
21. भ्रंश का क्षैतिज विस्थापन परिकलित कीजिए।
22. भ्रंश की लटकती दीवार के क्षैतिज विस्थापन के पूर्व और उत्तर घटक परिकलित कीजिए।
23. जाँच कीजिए कि निवल सरकन $L$, भ्रंश का विस्थापन $h$ और क्षैतिज विस्थापन $e$ $L^2 = h^2 + e^2$ को संतुष्ट करते हैं, और समझाइए क्यों।
24. वार्डन भ्रंश का निवल सरकन, निकटतम मीटर तक, क्या है?

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ से

$$\mathbf n_1 = (0.20855, 0.03415, 0.97742), \qquad \mathbf n_2 = (-0.20855, 0.03415, 0.97742).$$

2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = -0.04349 + 0.00117 + 0.95535 = 0.91302$, और अभिलंबों के बीच का कोण $24.1{}^{\circ}$ है।

3. प्रतिज्ञप्ति 17.10 से, $\iota = 180{}^{\circ} - 24.1{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$।

4. $170{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ}$ के बीच: एक खुला वलन।

5. पार्श्व $080.7$ और $279.3$ की ओर नत हैं, ठीक पूर्व और पश्चिम की ओर नहीं, क्योंकि वलन अवनत है: उनकी सबसे खड़ी रेखाएँ परिच्छेद में नहीं हैं, जो केवल एक आभासी नति दिखाता है। पूर्व–पश्चिम काट में, प्रमेय 5.4 से, $\tan\beta = \tan12.2{}^{\circ} \cos9.3{}^{\circ} = 0.2134$, तो $\beta = 12.0{}^{\circ}$, और $180{}^{\circ} - 2\times12.0{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$ (काट से प्रोफ़ाइल $2{}^{\circ}$ झुकी है, परंतु इस परिशुद्धता पर इससे कुछ नहीं बदलता)।

6. उसके पार्श्व अपनति के पार्श्वों के समांतर हैं, इसलिए उसका अंतर-पार्श्व कोण भी $155.9{}^{\circ}$ है।

7. अब $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0.03415\times0.97742 - 0.97742\times0.03415,\; 0.97742\times(-0.20855) - 0.20855\times0.97742,\; 0.20855\times0.03415 + 0.03415\times0.20855) = (0, -0.40768, 0.01424)$। नीचे की ओर लेने पर हमें $(0, 0.40768, -0.01424)$: मोड़-रेखा की दिगंश $000$ है और वह उत्तर की ओर $\arctan(0.01424/0.40768) = 2.0{}^{\circ}$ अवनत है।

8. अक्षीय तल मोड़-रेखा को समाहित करता है और दोनों पार्श्वों को समद्विभाजित करता है; उसका अभिलंब $\mathbf n_1 - \mathbf n_2 = (0.41710, 0, 0)$ के अनुदिश है, क्षैतिज और पूर्व–पश्चिम। वह ऊर्ध्वाधर है और उत्तर–दक्षिण स्ट्राइक करता है: $090/90$। अपनति सीधी है।

9. एक खुला, सीधा वलन, जो उत्तर की ओर $2.0{}^{\circ}$ अवनत है।

10. प्रतिज्ञप्ति 4.15 से, एक अपनति के उद्भेद अवनति की दिशा में बंद होते हैं: उत्तर की ओर। उसके केंद्र में सबसे पुरानी चट्टानें हैं: आवरण के आधार पर बलुआ पत्थर और, जहाँ नदी ने सबसे गहरा काटा है, उसके नीचे शिस्ट और ग्रेनाइट का आधार।

11. अक्षीय-तलीय होने से, विदलन ऊर्ध्वाधर है और उत्तर–दक्षिण स्ट्राइक करता है, $090/90$। प्रतिज्ञप्ति 17.14 से, उसका परतबंदी के साथ प्रतिच्छेद-रेखन मोड़-रेखा के समांतर है: दिगंश $000$, अवनति $2.0{}^{\circ}$। सीधे: तल $080.7/12.2$ ऊर्ध्वाधर तल से मिलता है जो उत्तर की ओर स्ट्राइक करता है, एक ऐसी रेखा के साथ जिसकी अवनति $\arctan(\tan12.2{}^{\circ} \cos80.7{}^{\circ}) = 2.0{}^{\circ}$ है, $000$ की ओर।

12. उत्तर की ओर देखने पर पूर्वी पार्श्व बाईं ओर $12.0{}^{\circ}$ उठता है और विदलन ऊर्ध्वाधर है: विदलन से परतबंदी तक का न्यूनकोणीय घूर्णन, $78.0{}^{\circ}$ से होकर, वामावर्त है और विदलन के शीर्ष को पश्चिम की ओर ले जाता है। पार्श्व सीधा है, इसलिए प्रतिज्ञप्ति 17.16(b) से अपनति का मोड़ पश्चिम में है, $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर, जैसा मानचित्र दिखाता है।

13. स्ट्राइक $120 - 90 = 030$ है; तल $120$ की ओर नत है, इसलिए लटकती दीवार उस रेखा के पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर है।

14. भ्रंश सामान्य है: $\sigma_1$ ऊर्ध्वाधर था।

15. $\sigma_2$ स्ट्राइक के अनुदिश क्षैतिज है, $030$–$210$; $\sigma_3$ उसके आर-पार क्षैतिज है, $120$–$300$।

16. $45{}^{\circ} + \phi/2 = 60{}^{\circ}$ से $\phi = 30{}^{\circ}$ मिलता है, और $\mu = \tan30{}^{\circ} = 0.577$।

17. संयुग्मी समुच्चय भी $030$ स्ट्राइक करता है और दूसरी ओर $60{}^{\circ}$ नत है: $300/60$। दोनों समुच्चय $180{}^{\circ} - 2\times60{}^{\circ} = 60{}^{\circ}$ पर मिलते हैं, और ऊर्ध्वाधर $\sigma_1$ न्यूनकोण को समद्विभाजित करता है।

18. $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ के साथ सबसे उपयुक्त दिशा वाले सामान्य भ्रंश $65.2{}^{\circ}$ नत हैं; वार्डन भ्रंश, $60{}^{\circ}$ पर, $5.2{}^{\circ}$ दूर है। अभ्यास 17.10 से, वह अनुपात $\sigma_1'/\sigma_3' = (1 + 0.85\cot30{}^{\circ})/(1 - 0.85\tan30{}^{\circ}) = 4.85$ पर सरकता है, जबकि सबसे उपयुक्त तल के लिए $4.68$ है: वह लगभग, पर ठीक नहीं, सबसे उपयुक्त दिशा में है, और उसी शासन में फिर सरकने के लिए केवल $4\,\%$ अधिक प्रतिबल अनुपात चाहिए।

19. सरकन नति के नीचे की ओर है: $r = -90{}^{\circ}$; सरकन-सदिश $120$ की दिशा में है और $60{}^{\circ}$ अवनत है।

20. $(\cos60{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ}) = (0.4330, -0.2500, -0.8660)$।

21. $e = 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$।

22. पूर्व: $115.47\sin120{}^{\circ} = 100.0\,\mathrm{m}$; उत्तर: $115.47\cos120{}^{\circ} = -57.7\,\mathrm{m}$, यानी दक्षिण की ओर $57.7\,\mathrm{m}$।

23. $L = 200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$, और $200^2 + 115.47^2 = 40\,000 + 13\,333 = 53\,333 = 230.94^2$। भ्रंश का विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन सरकन के ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटक हैं, जो नति के ऊर्ध्वाधर तल में है: वे एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं जिसका कर्ण सरकन है।

24. निकटतम मीटर तक, वार्डन भ्रंश पर निवल सरकन है $231\,\mathrm{m}$।