12गोले पर प्लेट गतिकी

दो उपग्रह-स्थिति स्टेशन एक चौथाई सदी से अधिक समय से हर दिन अपनी स्थिति दर्ज कर रहे हैं: एक रेक्याविक में, पश्चिमी आइसलैंड में, दूसरा स्टैवेंगर के निकट, नॉर्वे के पश्चिमी तट पर। उनके बीच की सीधी रेखा, $1546\,\mathrm{km}$ लंबी, हर वर्ष $17.5\,\mathrm{mm}$ बढ़ती है, लगभग दो सेंटीमीटर। ज़मीन पर कुछ भी यह नहीं दिखाता, फिर भी दोनों स्टेशनों के बीच उत्तरी अटलांटिक का तल लाखों वर्षों से वही चौड़ाई दर्ज करता है: मध्य-अटलांटिक कटक पर निकला लावा ठंडा होते समय पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की दिशा ले लेता था, और क्षेत्र कई बार उलट चुका है, इसलिए महासागर-तल अपनी वृद्धि का एक धारीदार अभिलेख रखता है। यह अध्याय विद्यालय वर्षों की प्लेटों को गोले पर कठोर टोपियों में बदलता है, घूर्णनों की ज्यामिति से उनकी गतियों का वर्णन करता है, और दिखाता है कि भूवैज्ञानिक अभिलेख और उपग्रह एक ही गतियाँ कैसे मापते हैं।

पहले से ज्ञात

गोले पर एक महावृत्त वह छेद है जो केंद्र से होकर गुज़रते एक तल से बनता है, एक लघुवृत्त कोई अन्य तल से; कोज्या-नियम दो बिंदुओं के बीच की कोणीय दूरी उनके अक्षांशों और देशांतरों से देता है, और एक दिशा का दिगंश उत्तर से पूर्व की ओर गिना जाता है (अध्याय 1)। एक स्थिर अक्ष पर घूमते दृढ़ पिंड का एक कोणीय वेग होता है (भौतिकी)। स्थलमंडल ऐसी प्लेटों में टूटा है जो एक-दूसरे के सापेक्ष कुछ सेंटीमीटर प्रति वर्ष चलती हैं, और महासागर-तल पर चुंबकीय धारियाँ हैं जो पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के उलटावों का अभिलेख हैं (पुस्तक 2, कक्षा 11)।

12.1 गोले पर दृढ़ प्लेटें

यूरेशियन प्लेट अटलांटिक के मध्य से पूर्वी साइबेरिया तक फैली है। उसकी गति एक वेग से वर्णित नहीं हो सकती, जैसे कार की गति हो सकती है; उसे एक घूर्णन से वर्णित करना होगा।

परिभाषा 12.1 (दृढ़ प्लेट)

एक दृढ़ प्लेट स्थलमंडल का एक क्षेत्र है जिसका भीतरी भाग मापने योग्य रूप से विकृत नहीं होता: उसके किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी स्थिर रहती है। दो प्लेटों की सापेक्ष गति उनकी साझा सीमा पर उठाई जाती है, दोषों, भूकंपों और ज्वालामुखियों के एक संकरे क्षेत्र में।

कोई प्लेट पूर्णतः दृढ़ नहीं है: सीमाएँ दसियों से सैकड़ों किलोमीटर चौड़े क्षेत्र हैं, और भीतरी भाग धीरे विकृत होते हैं। परिकल्पना यह है कि ये विचलन सापेक्ष गतियों के सामने छोटे हैं; इस अध्याय के हर परिणाम की संगति से इसकी जाँच होती है।

गोले की सतह पर एक दृढ़ प्लेट बिना किन्हीं दो बिंदुओं के बीच दूरी बदले चलती है, और पृथ्वी का केंद्र नहीं चलता। ऐसी गति एक $3\times3$ आव्यूह $R$ से वर्णित होती है जो लंबाइयाँ बनाए रखता है, एक लंबकोणीय आव्यूह ($R^{\mathsf T}R = I$), और जो अंतरिक्ष का अभिविन्यास बनाए रखता है, ताकि $\det R = 1$ हो: स्थिति-सदिश $\vec r$ वाला एक बिंदु $R\vec r$ पर जाता है।

प्रमेय 12.2 (यूलर का घूर्णन प्रमेय)

गोले पर दृढ़ प्लेट का हर विस्थापन पृथ्वी के केंद्र से होकर जाने वाले एक अक्ष के परितः घूर्णन है: एक इकाई सदिश $\vec n$ है जिसके लिए $R\vec n = \vec n$ है, और प्लेट $\vec n$ के परितः किसी कोण से घूमती है।

अंतराल पर जो गति बदले बिना पर्याप्त छोटा है, घूर्णन एक स्थिर दर से आगे बढ़ता है, और एक प्लेट की दूसरी के सापेक्ष गति एक स्थिर अक्ष के परितः एक कोणीय वेग है।

परिभाषा 12.3 (यूलर ध्रुव; यूलर सदिश)

प्लेट B की प्लेट A के सापेक्ष गति पृथ्वी के केंद्र से होकर जाने वाले एक अक्ष के परितः घूर्णन है। युग्म का यूलर ध्रुव वह बिंदु है जहाँ यह अक्ष सतह को काटता है, इस प्रकार चुना गया कि घूर्णन उसके ऊपर से देखने पर वामावर्त हो; प्रतिध्रुवीय बिंदु विपरीत ध्रुव है। यूलर सदिश $\vec\omega_{BA}$ B का A के सापेक्ष कोणीय वेग है: वह पृथ्वी के केंद्र से यूलर ध्रुव की ओर इंगित करता है, और उसकी लंबाई $\omega$ घूर्णन की दर है।

एक यूलर सदिश उसके ध्रुव के अक्षांश और देशांतर और उसकी दर से दिया जाता है, आम तौर पर प्रति दस लाख वर्ष डिग्री में। यूरेशियन प्लेट की उत्तर अमेरिकी प्लेट के सापेक्ष गति, अंतिम $3.16\,\mathrm{Myr}$ पर उनके बीच के कटकों पर मापी गई 453 प्रसार-दरों से औसत निकाली गई, का ध्रुव $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E पर है, पूर्वी साइबेरिया में, और दर $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ है। रेडियन प्रति वर्ष में,

एक पूरा चक्कर $1714\,\mathrm{Myr}$ में।

12.2 सापेक्ष वेग

प्रमेय 12.4 (घूमती प्लेट पर वेग)

यदि प्लेट B यूलर सदिश $\vec\omega$ के साथ प्लेट A के सापेक्ष घूमती है, तो B के स्थिति-सदिश $\vec r$ (पृथ्वी के केंद्र से) वाला एक बिंदु A के सापेक्ष निम्न वेग से गति करता है:

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

कोण $\Delta$ ध्रुव और बिंदु के बीच की कोणीय दूरी है, जिसे कोज्या-नियम अक्षांशों और देशांतरों से देता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.5 (सापेक्ष गति की चाल और दिशा)

माना यूलर ध्रुव अक्षांश $\varphi_p$ और देशांतर $\lambda_p$ पर है, और बिंदु $\varphi$ और $\lambda$ पर। तब

1. ध्रुव से बिंदु तक की कोणीय दूरी $\Delta$ संतुष्ट करती है $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$;
2. सापेक्ष चाल $v = \omega R\sin\Delta$ है: ध्रुव पर शून्य, और सबसे बड़ी, $\omega R$, उससे $90{}^{\circ}$ दूर के महावृत्त पर।
3. गति की दिशा उस महावृत्त के लंबवत है जो बिंदु को ध्रुव से जोड़ता है: उसका दिगंश, बिंदु से देखे गए ध्रुव के दिगंश के, प्लस $90{}^{\circ}$, के बराबर है।

प्लेट सीमा के साथ सापेक्ष चाल इसलिए बदलती है, भले ही दोनों प्लेटें पूर्णतः दृढ़ हों, और गति की दिशा उसके साथ घूमती है। दो परिणाम हर प्लेट-सीमा के मानचित्र को आकार देते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 12.6 (रूपांतर भ्रंश लघुवृत्तों पर चलते हैं)

एक रूपांतर भ्रंश, जिसके साथ दो प्लेटें बिना खुले या बंद हुए एक-दूसरे को सरकती हैं, दोनों प्लेटों के यूलर ध्रुव के परितः एक लघुवृत्त पर स्थित है। कटक पर प्रसार की, और एक निमज्जन-क्षेत्र पर अभिसरण की दिशा भी लघुवृत्तों के अनुदिश है।

यूरेशिया और उत्तरी अमेरिका के बीच मध्य-अटलांटिक कटक रूपांतर भ्रंशों से विस्थापित कटक-खंडों की एक सीढ़ी है; रूपांतर लगभग उन दिगंशों के निकट चलते हैं जिनकी यूलर सदिश भविष्यवाणी करता है, और उनकी प्रवृत्ति उन आँकड़ों में से एक है जिनसे ध्रुव खोजा गया। उसी सीमा के साथ प्रसार-दर ध्रुव से कोणीय दूरी के साथ बढ़ती है: आर्कटिक महासागर में गाक्कल कटक पर, ध्रुव के निकट, $11\text{ से }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, और अज़ोरेस के ठीक उत्तर में, उससे $78{}^{\circ}$ दूर, $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। नीचे का चित्र सीमा के हर भाग पर यूलर सदिश की भविष्यवाणी की गई दरों की एक स्वतंत्र प्लेट-प्रतिरूप की दरों से तुलना करता है।

विधि 12.7 (किसी बिंदु पर वेग)

1. यूलर सदिश की दर को रेडियन प्रति वर्ष में बदलिए, और $\omega R$ परिकलित कीजिए, $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में $R = 6371\,\mathrm{km}$ के साथ।
2. कोसाइन-नियम से ध्रुव से बिंदु तक की कोणीय दूरी $\Delta$ परिकलित कीजिए; चाल $\omega R\sin\Delta$ है।
3. बिंदु से देखे गए ध्रुव का दिगंश $\beta$ परिकलित कीजिए, $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$ के साथ, और अंश और हर के चतुर्थांश के साथ; गति $\beta + 90{}^{\circ}$ की ओर है।
4. दिशा जाँचिए: गति दूसरी प्लेट की पहली के सापेक्ष है। प्लेटों का आदान-प्रदान उसे उलट देता है।

उदाहरण 12.8 (आइसलैंड में यूरेशिया उत्तरी अमेरिका से दूर जाता है)

मध्य आइसलैंड को $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W पर लीजिए, और ऊपर दिए यूरेशिया के उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष यूलर सदिश को। तब $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, और

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

अतः $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ और $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। बिंदु से देखा गया ध्रुव दिगंश $\beta = 13.1{}^{\circ}$ पर है, उत्तर से थोड़ा पूर्व की ओर, आर्कटिक के ऊपर; यूरेशिया $103.1{}^{\circ}$ की ओर चलता है, पूर्व-दक्षिण-पूर्व, अर्थात् पूर्व में $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और दक्षिण में $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

12.3 गतियों का संयोजन; त्रि-संधियाँ

सापेक्ष वेग यांत्रिकी के वेगों की तरह जुड़ते हैं: यदि B, A के सापेक्ष चलता है और C, B के सापेक्ष, तो C, A के सापेक्ष दोनों वेगों के योग से चलता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.9 (यूलर सदिश जुड़ते हैं)

तीन प्लेटों A, B, C के लिए,

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

यूलर सदिशों को जोड़ने के लिए हर एक को कार्तीय घटकों में लिखिए, $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$, घटक जोड़िए, और एक ध्रुव और एक दर में वापस बदलिए। ध्रुव जोड़े नहीं जा सकते; यूलर सदिश जोड़े जा सकते हैं। यह संबंध एक शक्तिशाली बाधा है। नूबियन प्लेट (अफ्रीका) की यूरेशिया के सापेक्ष गति धीमी है, और भूवैज्ञानिक अभिलेख उसके कुछ सीधे माप देता है: अज़ोरेस और जिब्राल्टर के बीच, एकमात्र माप एक ही रूपांतर, ग्लोरिया भ्रंश, के दिगंश हैं। वह इसके बजाय अटलांटिक के आर-पार दो अच्छी तरह मापी गई प्रसार-गतियों से आती है: $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (ध्रुव $79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) के साथ और ऊपर की $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ के साथ, $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ का ध्रुव $20.9{}^{\circ}$ N, $18.3{}^{\circ}$ W पर है, पश्चिम अफ्रीका के तट से दूर, और दर $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ (अभ्यास 12.7)।

परिभाषा 12.10 (त्रि-संधि; स्थायी त्रि-संधि)

एक त्रि-संधि वह बिंदु है जहाँ तीन प्लेटें मिलती हैं, और उनके साथ तीन प्लेट-सीमाएँ, प्रत्येक एक कटक (R), एक खाई (T) या एक रूपांतर भ्रंश (F)। एक त्रि-संधि स्थायी है यदि, प्लेटों के चलने पर, वह अपनी ज्यामिति बनाए रखती है: उन्हीं तीन प्रकार की सीमाएँ उन्हीं कोणों पर मिलती हुईं।

हर सीमा संधि को उसकी ज्यामिति बदले बिना केवल कुछ तरीकों से चलने देती है। एक सममित कटक अपनी दो प्लेटों के बीच मध्य में रहता है; एक रूपांतर अपनी दिशा बनाए रखता है, चाहे संधि उसके अनुदिश कुछ भी करे; एक खाई अपनी ऊपरी प्लेट से जुड़ी रहती है। प्रश्न यह है कि क्या संधि की एक गति तीनों सीमाओं को एक साथ संतुष्ट करती है। इसका उत्तर वेग-अंतरिक्ष में दिया जाता है: एक आरेख जिसमें हर प्लेट एक बिंदु है जिसका स्थिति-सदिश संधि पर प्लेट का वेग है, किसी एक प्लेट के सापेक्ष, ताकि दो बिंदुओं को जोड़ने वाली भुजा दो प्लेटों की सापेक्ष गति हो।

प्रतिज्ञप्ति 12.11 (कटक–कटक–कटक संधियाँ स्थायी हैं)

तीन कटकों की एक संधि, जिनमें से हर एक अपनी धुरी के सममित और लंबवत प्रसार करता है, तीनों प्लेटों के सापेक्ष वेग चाहे जो हों, स्थायी है।

मैकेंज़ी और मॉर्गन, जिन्होंने 1969 में स्थायी और अस्थायी संधियों के बीच भेद प्रस्तुत किया, संयोजनों का इसी तरह विश्लेषण किया। एक रूपांतर संधि को केवल अपने ही अनुदिश चलने देता है, अर्थात् उसकी दो प्लेटों के बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा के अनुदिश: अतः तीन रूपांतरों की एक संधि कभी स्थायी नहीं होती, क्योंकि त्रिभुज की भुजाओं से होकर जाने वाली तीन रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। अन्य प्रकारों के लिए, स्थायित्व सीमाओं की दिशाओं और सापेक्ष वेगों पर शर्तें लगाता है।

अज़ोरेस त्रि-संधि, लगभग $39.4{}^{\circ}$ N, $29.8{}^{\circ}$ W पर, जहाँ उत्तरी अमेरिकी, यूरेशियन और नूबियन प्लेटें मिलती हैं, एक कटक–कटक–कटक संधि है: मध्य-अटलांटिक कटक उसके उत्तर और दक्षिण में चलता है, और धीमी टर्सीरा दरार उससे पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर चलती है। संधि पर उत्तरी अमेरिकी युग्म के दो यूलर सदिश यूरेशिया को $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ $95{}^{\circ}$ की ओर और नूबिया को $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ $104{}^{\circ}$ की ओर देते हैं; अतः यूरेशिया नूबिया से $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर $59{}^{\circ}$ की ओर दूर जाता है, टर्सीरा दरार के आरपार एक पूर्व-उत्तर-पूर्व–पश्चिम-दक्षिण-पश्चिम विस्तार। वास्तविक संधि एक बिंदु नहीं है: कटक के साथ प्रसार-दर $40{}^{\circ}$ N पर $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से घटकर $38{}^{\circ}$ N पर $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ तक धीरे-धीरे गिरती है, तीन बड़ी प्लेटों के बीच फँसी लगभग $100\,\mathrm{km}$ चौड़ी एक छोटी प्लेट, अज़ोरेस माइक्रोप्लेट, के आरपार।

12.4 परिमित घूर्णन

यूलर सदिश अब की गति वर्णित करता है, कुछ मिलियन वर्षों पर औसत। प्लेटों को बहुत पहले जहाँ थीं वहाँ वापस रखने के लिए, उस घूर्णन की आवश्यकता है जो एक प्लेट को उसकी वर्तमान स्थिति से उसकी पिछली स्थिति तक ले जाए।

परिभाषा 12.12 (परिमित घूर्णन)

एक परिमित घूर्णन गोले का वह घूर्णन है, जो एक ध्रुव (अक्षांश, देशांतर) और एक कोण से दिया जाता है, और जो एक प्लेट, या उसके किनारे के एक भाग, को उसकी वर्तमान स्थिति से दूसरी प्लेट के सापेक्ष किसी दिए समय की उसकी स्थिति तक ले जाता है। एक धनात्मक कोण ध्रुव के ऊपर से देखने पर वामावर्त घुमाता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.13 (रॉड्रिग्ज़ का सूत्र)

कोण $\alpha$ का घूर्णन, इकाई सदिश $\vec n$ के परितः, सदिश $\vec r$ को ले जाता है

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

सूत्र $\vec r$ में रैखिक है; आव्यूहों से लिखने पर, $\vec r\,' = R\vec r$ के साथ

एक लंबकोणीय आव्यूह, जिसका सारणिक $1$ है, जैसा यूलर का प्रमेय माँगता है। उसका ट्रेस $1 + 2\cos\alpha$ है, जो किसी भी घूर्णन आव्यूह का कोण देता है (अभ्यास 12.10)।

परिमित घूर्णन क्रम-विनिमेय नहीं होते। $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E पर बिंदु को, $x$ अक्ष पर, उत्तरी ध्रुव के परितः $90{}^{\circ}$ से घुमाइए: वह $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E पर, $y$ अक्ष पर जाता है; फिर $x$ अक्ष के परितः $90{}^{\circ}$ से: वह उत्तरी ध्रुव पर पहुँचता है। दूसरे क्रम में, पहला घूर्णन बिंदु को वहीं छोड़ता है और दूसरा उसे $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E पर ले जाता है (अभ्यास 12.8)। इसलिए प्लेट-गतियों के क्रम को आव्यूहों को सही क्रम में गुणा करके संयोजित करना होगा, कभी कोणों को जोड़कर नहीं; केवल कोणीय वेग, जो अनंत सूक्ष्म घूर्णनों का वर्णन करते हैं, सदिशों की तरह जुड़ते हैं।

दक्षिण अमेरिका और अफ्रीका के तटों का मिलान, जो मानचित्रों पर लंबे समय से देखा गया, अब एक गणना बन जाता है। $120.6\,\mathrm{Ma}$ के घूर्णन के साथ, रेसिफ़े के निकट उत्तर-पूर्वी ब्राज़ील का तट ($8.05{}^{\circ}$ S, $34.9{}^{\circ}$ W) अपने लघुवृत्त पर लगभग $5000\,\mathrm{km}$ की यात्रा के बाद गिनी की खाड़ी के तट पर $3.4{}^{\circ}$ N, $8.3{}^{\circ}$ E पर आता है: लगभग $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ का औसत खुलाव। मिलान हर जगह सही नहीं है: महासागर खुलने से पहले लगभग चौदह मिलियन वर्षों तक दोनों महाद्वीप धीरे-धीरे अलग खिंचे जा रहे थे, और एक कसी पुनर्रचना को पहले दोनों ओर के खिंचे हुए किनारों और दरार-द्रोणियों को पुनःस्थापित करना होगा।

इतिहास — गोले पर विवर्तनिकी

1965 में एडवर्ड बुलार्ड और दो सहकर्मियों ने एक न्यूनतम-वर्ग कसौटी से कंप्यूटर द्वारा अटलांटिक के चारों ओर के महाद्वीपों को फ़िट किया: सर्वोत्तम मिलान महाद्वीपीय किनारे के तीखे भाग का अनुसरण करता है, 500 फ़ेदम (लगभग $900\,\mathrm{m}$) की गहराई पर, तटरेखा पर नहीं। उसी वर्ष टूज़ो विल्सन ने दोषों का एक नया वर्ग वर्णित किया, रूपांतर भ्रंश, और महाद्वीपीय विस्थापन पर उनका प्रभाव। 1967 में डैन मैकेंज़ी और रॉबर्ट पार्कर ने, उत्तरी प्रशांत को अपना उदाहरण लेकर, दिखाया कि सतह के भूकंप-रहित क्षेत्र गोले पर दृढ़ प्लेटों की तरह चलते हैं। 1968 में जेसन मॉर्गन ने सतह को कटकों, खाइयों और बड़े दोषों से घिरे भू-पर्पटी खंडों के रूप में वर्णित किया, और ज़ेवियर ली पिचोन ने समुद्र-तल प्रसार को महाद्वीपीय विस्थापन से जोड़ा। तीन वर्षों के भीतर, महाद्वीपों का विस्थापन गोले पर दृढ़ टोपियों की गतिकी बन गया।

12.5 प्लेट गतियों का मापन

महासागर-तल का चुंबकीय अभिलेख

कटक पर निकला लावा ठंडा होते समय उस क्षण की पृथ्वी के क्षेत्र की दिशा में चुंबकत्व ले लेता है, और कटक से दूर जाते समय उसे बनाए रखता है। क्योंकि क्षेत्र अनियमित अंतरालों पर उलटता है, महासागर-तल कटक के समांतर पट्टियों में, बदलती दिशाओं में चुंबकित होता है।

परिभाषा 12.14 (समुद्री चुंबकीय विसंगति; ध्रुवता कालखंड; ध्रुवता समय-पैमाना)

एक समुद्री चुंबकीय विसंगति समुद्र में मापी गई चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता और उसी स्थान पर पृथ्वी के मुख्य क्षेत्र के एक संदर्भ प्रतिरूप की तीव्रता के बीच का अंतर है: वह वर्तमान क्षेत्र की दिशा में चुंबकित भूपर्पटी के ऊपर धनात्मक है, और विपरीत दिशा में चुंबकित भूपर्पटी के ऊपर ऋणात्मक। एक ध्रुवता कालखंड समय का वह अंतराल है जिसमें क्षेत्र ने एक ध्रुवता रखी, जिसे एक संख्या और अक्षर n (सामान्य, जैसा आज) या r (उलटा) से नामित किया जाता है। भू-चुंबकीय ध्रुवता समय-पैमाना ध्रुवता कालखंडों का उनकी सीमाओं की आयुओं सहित क्रम है।

समय-पैमाना ज़मीन पर और गहरे-समुद्री अवसाद-कोरों में उलटाव-क्रमों की तिथि निर्धारण से, और महासागर-तल की विसंगतियों के प्रतिरूप का मिलान करके बनता है, जिनकी चौड़ाइयाँ कालखंडों की सापेक्ष अवधियाँ बनाए रखती हैं। वर्तमान सामान्य कालखंड, C1n, $0.781\,\mathrm{Ma}$ पर आरंभ हुआ, और क्षेत्र अनियमित अंतरालों पर उलटा है: समय-पैमाना अंतिम ग्यारह मिलियन वर्षों में पच्चीस सामान्य अंतराल गिनता है, कुछ एक मिलियन वर्ष से अधिक तक चलते हैं, दूसरे दस हज़ार वर्ष से थोड़े अधिक। नीचे का चित्र उस इतिहास को क्रॉन C5n के अंत तक दिखाता है, और उन पट्टियों को भी जो वह एक धीमे और एक तेज़ कटक के तल पर लिखता है।

परिभाषा 12.15 (अर्ध और पूर्ण प्रसार-दरें)

कटक पर, किसी पार्श्व की अर्ध प्रसार-दर उस पार्श्व की भूपर्पटी के कटक-अक्ष से दूर जाने की दर है। पूर्ण प्रसार-दर वह दर है जिस पर दो प्लेटें एक-दूसरे से दूर जाती हैं, दो अर्ध दरों का योग; सममित प्रसार में यह अर्ध दर का दोगुना है।

विधि 12.16 (चुंबकीय विसंगतियों से एक प्रसार-दर)

1. कटक के लंबवत एक चुंबकीय परिच्छेदिका पर, दोनों पार्श्वों पर विसंगतियों का क्रम चौड़ी और संकरी धारियों के प्रतिरूप से पहचानिए, और उसे ध्रुवता समय-पैमाने से मिलाइए।
2. हर पार्श्व पर उसी कालखंड-सीमा तक अक्ष से दूरी मापिए, और उसकी आयु से भाग दीजिए: ये दो अर्ध प्रसार-दरें हैं, तब से औसत। पूर्ण दर उनका योग है, या दोनों सीमाओं के बीच की दूरी उसकी आयु से भाग।
3. एक पुरानी सीमा को एक नई सीमा पर प्राथमिकता दीजिए: दूरी में एक किलोमीटर की त्रुटि सौ किलोमीटर की दूरी पर दस की दूरी की तुलना में कम भारित होती है।
4. यदि परिच्छेदिका कटक के लंबवत नहीं है, तो दूरियों को प्रसार की दिशा पर प्रक्षेपित कीजिए।

तीसरा बिंदु केवल पाठ-त्रुटि का प्रश्न नहीं है। भूपर्पटी अपना चुंबकत्व एक ही रेखा के अनुदिश नहीं पाती: लावा सटे हुए, थोड़े पुराने भूपर्पटी पर बहता है, डाइक उसमें घुसते हैं, और निचली भूपर्पटी ऊपरी की तुलना में बाद में चुंबकित होती है। ये सभी प्रक्रियाएँ पट्टियों की सीमाओं को अक्ष से दूर खिसकाती हैं, ताकि एक ही आयु की दो सीमाओं के बीच की दूरी वास्तव में बनी भूपर्पटी की चौड़ाई से अधिक हो। दोनों ओर का यह विस्थापन अधिकांश कटकों पर अधिकतम $1\text{ से }3\,\mathrm{km}$ है और रेक्यनीस कटक पर $5.0\,\mathrm{km}$ तक पहुँचता है। सावधान संकलन इस बाहरी विस्थापन के लिए दरों को नीचे की ओर सुधारते हैं, $0.6\text{ से }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ तक, और उन्हें धीमे कटकों पर अंतिम $3.16\,\mathrm{Myr}$ पर, कालखंड C2An की विसंगतियों तक, और तेज़ों पर $0.78\,\mathrm{Myr}$ पर औसत करते हैं। गाक्कल कटक पर, जिसमें मैग्मा की कमी है, लघु जरामिलो उपकालखंड और कालखंड C2n की विसंगतियाँ अनुपस्थित हैं, जबकि आइसलैंड के दक्षिण के रेक्यनीस कटक पर, जो $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से कम पर प्रसार करता है पर मैग्मा की प्रचुर आपूर्ति के साथ, वे स्पष्ट पहचानी जाती हैं।

उपग्रह भू-मिति

1990 के दशक से स्थायी स्टेशनों की स्थितियाँ हर दिन उपग्रह स्थिति-निर्धारण से मापी जा रही हैं। दस या अधिक वर्षों की दैनिक स्थितियों की एक शृंखला स्टेशन का वेग देती है, एक बार मौसमी गतियों और भूकंपों या उपकरण-परिवर्तनों से हुई छलांगों को निपटा दिया जाए (अभ्यास 12.12)।

क्षेत्र-कार्य — एक स्थायी स्टेशन

एक स्थायी उपग्रह-स्थिति स्टेशन एक शांत उपकरण है। एंटीना, अपने मौसमरोधी गुंबद के नीचे, चट्टान में जमाए गए एक स्तंभ या बँधे हुए मस्तूल के ऊपर बैठा है, ताकि वह भूपर्पटी के साथ चले और कुछ नहीं; आधार पर का रिसीवर दिखने वाले हर उपग्रह के संकेत लगातार दर्ज करता है, और उन्हें एक डेटा-केंद्र को भेजता है। वहाँ विश्लेषक हर दिन के लिए एक स्थिति परिकलित करते हैं, एक विश्वव्यापी स्टेशन-नेटवर्क से बँधे संदर्भ-ढाँचे में, और समय-शृंखलाएँ और वेग प्रकाशित करते हैं। एक स्टेशन का इतिहास उसके डेटा जितना ही मायने रखता है: एंटीना या रिसीवर का हर परिवर्तन दर्ज किया जाता है, क्योंकि वह परिकलित स्थिति को खिसका सकता है।

दो प्लेटों के भीतरी भागों में स्टेशनों के वेग उनका अपना यूलर सदिश देते हैं, भूवैज्ञानिक अभिलेख से स्वतंत्र। यूरेशिया के उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष, ऐसा सदिश आइसलैंड में $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की भविष्यवाणी करता है, जो $3.16\,\mathrm{Myr}$ पर औसत $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से लगभग $8\,\%$ कम है (ऊपर का चित्र)। रेक्याविक और स्टैवेंगर के बीच की जीवा, दोनों अपनी प्लेटों के स्थिर भागों पर, $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से लंबी होती है; उपग्रह सदिश $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की भविष्यवाणी करता है, भूवैज्ञानिक वाला $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। उत्तरी अटलांटिक के आर-पार, कुछ दशकों पर मापी गई दर और तीन मिलियन वर्षों पर औसत दर एक दसवें के भीतर सहमत हैं: वहाँ प्लेटें आज लगभग उसी तरह चलती हैं जैसे लाखों वर्षों से चलती रही हैं।

सीमा-क्षेत्र के भीतर चित्र कम सरल है, क्योंकि स्टेशन प्लेटों से अधिक गति करते हैं। आइसलैंड के दसवें भाग से अधिक के नीचे हिम-टोपियाँ हैं, और उनमें से अधिकांश लगभग 1890 से द्रव्यमान खो रही हैं: भार घटने पर नीचे की भूपर्पटी उठती है, और पतली होती बर्फ़ से दूर क्षैतिज रूप से खिसकती है। होफ़्न का स्टेशन, सबसे बड़ी हिम-टोपी के निकट दक्षिण-पूर्वी तट पर, $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से उठता है।

12.6 अभ्यास

पूरे में $R = 6371\,\mathrm{km}$ लीजिए।

अभ्यास 12.1 ★

यूरेशिया का उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष यूलर सदिश दर $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ रखता है। (क) इसे $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ में बदलिए। (ख) एक पूरे चक्कर में कितना समय लगेगा? (ग) $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में $\omega R$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.1.

(क) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ प्रति दस लाख वर्ष, अर्थात् $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ के साथ, $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ख) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Myr}$, पृथ्वी की आयु के एक-तिहाई से अधिक। (ग) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

अभ्यास 12.2 ★

उसी यूलर सदिश के साथ, यूलर ध्रुव से $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ}$ पर दोनों प्लेटों की सापेक्ष चाल परिकलित कीजिए। प्लेट सीमा के किस भाग के साथ प्रसार सबसे तेज़ होगा?

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $30{}^{\circ}$ पर $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $60{}^{\circ}$ पर $20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $90{}^{\circ}$ पर $23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। प्रसार वहाँ सबसे तेज़ है जहाँ सीमा ध्रुव से सबसे दूर है, $90{}^{\circ}$ तक: यूरेशिया और उत्तरी अमेरिका के बीच, सीमा के दक्षिणी सिरे पर, अज़ोरेस के निकट, ध्रुव से $78{}^{\circ}$ दूर।

अभ्यास 12.3 ★

जरामिलो सामान्य उपकालखंड $1.072\,\mathrm{Ma}$ से $0.988\,\mathrm{Ma}$ तक चला। (क) $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की अर्ध प्रसार-दर वाले कटक के हर पार्श्व पर वह धारी कितनी चौड़ी है? $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की? (ख) वर्तमान सामान्य कालखंड, जो $0.781\,\mathrm{Ma}$ पर आरंभ हुआ, उसकी धारी की कुल चौड़ाई, $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की अर्ध दर वाले कटक पर, क्या है?

हल

हल — अभ्यास 12.3.

उपकालखंड $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Myr}$ तक चला, और $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में अर्ध दर $\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$ में भी एक दर है। (क) $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$; $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर $10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$। (ख) धारी अक्ष के आर-पार फैलती है: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$।

अभ्यास 12.4 ★

एक कटक के आर-पार एक परिच्छेदिका पर, कालखंड C2An की विसंगति का युवा किनारा, जो $2.581\,\mathrm{Ma}$ पुराना है, अक्ष के पश्चिम में $66\,\mathrm{km}$ और उसके पूर्व में $64\,\mathrm{km}$ है। दोनों अर्ध प्रसार-दरें और पूर्ण प्रसार-दर परिकलित कीजिए। क्या प्रसार सममित है?

हल

हल — अभ्यास 12.4.

अर्ध दरें $66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पश्चिम की ओर और $64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पूर्व की ओर हैं; पूर्ण दर $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। प्रसार लगभग सममित है: पश्चिमी पार्श्व लगभग $3\,\%$ तेज़ बढ़ा है।

अभ्यास 12.5 ★★

महासागर के आर्कटिक भाग में गाक्कल कटक का एक बिंदु $85{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E पर है। यूरेशिया–उत्तरी अमेरिका यूलर ध्रुव ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) से उसकी कोणीय दूरी और वहाँ की प्रसार-दर परिकलित कीजिए। मापी गई $11\text{ से }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ दरों से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$, अतः $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ और $v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। यह मापी गई $11\text{ से }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से थोड़ा ऊपर है, पर यूलर सदिश 453 दरों पर एक एकल सर्वोत्तम फ़िट है, जिनसे दरें औसतन $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ विचलित होती हैं, और धीमे गाक्कल कटक के निकट की व्यक्तिगत दरें सबसे कम सटीक में से हैं।

अभ्यास 12.6 ★★

अज़ोरेस त्रि-संधि पर, $39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W, (क) यूरेशिया–उत्तरी अमेरिका यूलर ध्रुव से कोणीय दूरी, (ख) प्रसार-दर, और (ग) सापेक्ष गति का दिगंश परिकलित कीजिए। (घ) संधि के ठीक उत्तर के कटक के रूपांतर भ्रंशों के लिए आप कौन-सी प्रवृत्ति की भविष्यवाणी करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 12.6.

(क) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$। (ख) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, जो संधि के ठीक उत्तर में मापी गई $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। (ग) विधि के सूत्र से, अंश $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$ है और हर $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: ध्रुव $\beta = 5.08{}^{\circ}$ पर दिखता है, लगभग ठीक उत्तर, और यूरेशिया $95.1{}^{\circ}$ की ओर चलता है। (घ) रूपांतर सापेक्ष गति के समांतर हैं: वे लगभग $095{}^{\circ}$ की प्रवृत्ति रखते हैं, लगभग पूर्व-पश्चिम।

अभ्यास 12.7 ★★

(क) यूलर सदिश $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) और $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) को कार्तीय घटकों में, ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ में लिखिए। (ख) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$, उसका ध्रुव और उसकी दर निकालिए। (ग) नूबिया की यूरेशिया के सापेक्ष गति जानने का यह सबसे अच्छा तरीका क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 12.7.

(क) $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ और $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$, ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ में। (ख) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$, जिसकी लंबाई

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Myr}.$$

उसका ध्रुव अक्षांश $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ N और देशांतर $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$, अर्थात् $18.3{}^{\circ}$ W है ($x$ घटक धनात्मक होने से कोई $180{}^{\circ}$ नहीं जोड़ा जाता)। (ग) नूबिया और यूरेशिया के बीच की सीमा के प्रत्यक्ष माप कम हैं: अज़ोरेस और जिब्राल्टर के बीच, केवल ग्लोरिया भ्रंश के दिगंश। अटलांटिक के आर-पार दोनों प्रसार-गतियाँ सैकड़ों दरों से मापी गई हैं, और उनका अंतर उनकी सटीकता विरासत में पाता है।

अभ्यास 12.8 ★★

माना $\vec e_x$ $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E की ओर, $\vec e_y$ $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E की ओर और $\vec e_z$ उत्तरी ध्रुव की ओर इंगित करता है। रॉड्रिग्ज़ के सूत्र से, $\vec e_x$ का प्रतिबिंब (क) $\vec e_z$ के परितः $90{}^{\circ}$ के घूर्णन, और उसके बाद $\vec e_x$ के परितः $90{}^{\circ}$ के घूर्णन से; (ख) उन्हीं दोनों घूर्णनों को विपरीत क्रम में लेकर परिकलित कीजिए। (ग) प्लेट के अतीत की स्थितियों की पुनर्रचना के लिए इसका क्या अर्थ है?

हल

हल — अभ्यास 12.8.

(क) $\vec e_z$ के परितः $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$, $\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ और $\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$, अतः $\vec e_x$ $\vec e_y$ पर जाता है। फिर $\vec e_x$ के परितः $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ और $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$, अतः $\vec e_y$ $\vec e_z$ पर जाता है: बिंदु उत्तरी ध्रुव पर समाप्त होता है। (ख) पहले $\vec e_x$ के परितः: $\vec e_x$ अक्ष पर है, $\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ और $(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$, अतः वह नहीं चलता; फिर $\vec e_z$ के परितः वह $\vec e_y$ पर जाता है, $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E पर। (ग) परिणाम भिन्न हैं: परिमित घूर्णन क्रम-विनिमेय नहीं होते। क्रमिक पुनर्रचनाएँ आव्यूहों को सही क्रम में गुणा करके संयोजित होनी चाहिए, कभी कोणों या ध्रुवों को जोड़कर नहीं।

अभ्यास 12.9 ★★

तीन प्लेटें A, B और C एक कटक–कटक–कटक संधि पर मिलती हैं। A के सापेक्ष, प्लेट B $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर पूर्व की ओर चलती है और प्लेट C $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर दक्षिण की ओर। (क) वेग-त्रिभुज बनाइए। (ख) C का B के सापेक्ष चाल और दिगंश परिकलित कीजिए। (ग) यदि B और C के बीच का कटक अपनी धुरी के लंबवत प्रसार करता है, तो उनके बीच कटक की प्रवृत्ति क्या है?

हल

हल — अभ्यास 12.9.

(क) वेग-अंतरिक्ष में $a$ को मूलबिंदु पर रखिए, $b$ को $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पूर्व की ओर और $c$ को $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ दक्षिण की ओर। (ख) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (पूर्व, उत्तर घटक): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ दिगंश की ओर $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$, दक्षिण-पश्चिम। (ग) कटक इस दिशा के लंबवत है: उसकी प्रवृत्ति $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$ है, अर्थात् उत्तर-पश्चिम–दक्षिण-पूर्व।

अभ्यास 12.10 ★★★

(क) दिखाइए कि आव्यूह $R$, जो किसी भी अक्ष के परितः कोण $\alpha$ के घूर्णन का है, उसका ट्रेस $1 + 2\cos\alpha$ है। (ख) आव्यूह

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

लंबकोणीय है, सारणिक $1$ के साथ। उसकी अक्ष, अक्षांश और देशांतर के रूप में, और उसका कोण ज्ञात कीजिए। (ग) $R$ को $\vec e_x$, $\vec e_y$ और $\vec e_z$ पर लागू करके अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

(क) रॉड्रिग्ज़ के आव्यूह में, तत्समक $3\cos\alpha$ का योगदान देता है, आव्यूह $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ का ट्रेस $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$ है, जो $1 - \cos\alpha$ से गुणा होता है, और प्रतिसममित आव्यूह कुछ नहीं: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$। (ख) यहाँ $\operatorname{tr}R = 0$, अतः $\cos\alpha = -1/2$ और $\alpha = 120{}^{\circ}$। अक्ष $R\vec n = \vec n$ को संतुष्ट करता है: $R(x, y, z) = (z, x, y)$, अतः $x = y = z$ और $\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$, अक्षांश $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ N और देशांतर $45{}^{\circ}$ E पर। (ग) $R\vec e_x = \vec e_y$, $R\vec e_y = \vec e_z$, $R\vec e_z = \vec e_x$: तीनों अक्ष क्रमचयित होते हैं, जैसा विकर्ण के परितः एक-तिहाई चक्कर करता है। रॉड्रिग्ज़ का सूत्र $\alpha = +120{}^{\circ}$ के साथ, $\vec n$ के परितः, सचमुच $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$ देता है, अतः घूर्णन $35.26{}^{\circ}$ N, $45{}^{\circ}$ E के ऊपर से देखने पर वामावर्त है।

अभ्यास 12.11 ★★★

उपग्रह स्थिति-निर्धारण से पहले, यूलर ध्रुव रूपांतर भ्रंशों की प्रवृत्तियों से खोजे जाते थे। (क) दिखाइए कि यूलर ध्रुव उस महावृत्त पर स्थित है जो एक रूपांतर भ्रंश के एक बिंदु से होकर जाता है और वहाँ भ्रंश के लंबवत है, और इसलिए ध्रुव $\vec t_1\times\vec t_2$ के अनुदिश है, जहाँ $\vec t_1$ और $\vec t_2$ एक ही सीमा के दो रूपांतर भ्रंशों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। (ख) रूपांतर भ्रंश अज़ोरेस त्रि-संधि के निकट $95{}^{\circ}$ पर ($39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W) और आइसलैंड में $103{}^{\circ}$ पर ($64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W) चलते हैं। अक्षांश $\varphi$ और देशांतर $\lambda$ पर दिगंश $\beta$ की ओर इंगित करने वाला क्षैतिज इकाई सदिश $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$ है, जहाँ $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ और $\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$। ध्रुव ज्ञात कीजिए। (ग) दो रूपांतर ध्रुव को कितनी अच्छी तरह निर्धारित करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 12.11.

(क) एक रूपांतर पर सापेक्ष वेग $\vec\omega\times\vec r$ भ्रंश के अनुदिश है, अतः $\vec t$ के समांतर; वह $\vec\omega$ के लंबवत है, इसलिए $\vec t\cdot\vec\omega = 0$। केंद्र से होकर $\vec t$ के लंबवत तल में $\vec r$ (क्योंकि $\vec t$ क्षैतिज है) और $\vec\omega$ हैं: वह बिंदु से होकर जाने वाले महावृत्त का तल है जो भ्रंश के लंबवत है, और ध्रुव उस वृत्त पर है। ऐसे दो तल $\vec t_1\times\vec t_2$ की रेखा के अनुदिश मिलते हैं। (ख) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ संधि पर और $\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ आइसलैंड में, अतः $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$, लंबाई $0.06362$ की। इसका अक्षांश $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ N और इसका देशांतर $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ E ($x$ घटक ऋणात्मक होने से): अध्याय का ध्रुव। (ग) बुरी तरह: दोनों महावृत्त एक छोटे कोण पर कटते हैं, क्योंकि सीमा के $26{}^{\circ}$ पर प्रवृत्तियाँ केवल $8{}^{\circ}$ भिन्न हैं। किसी एक प्रवृत्ति को एक डिग्री बदलने से ध्रुव लगभग $15{}^{\circ}$ चलता है। वास्तविक निर्धारण कई रूपांतरों को प्रसार-दरों के साथ जोड़ते हैं, जिनकी सीमा के साथ भिन्नता ध्रुव से कोणीय दूरी तय करती है।

अभ्यास 12.12 ★★★

एक स्टेशन की पूर्वी स्थिति, हर तीन महीने पर, तीन वर्षों तक, है (मिलीमीटर में, $t = 0$ से):

$t$ (yr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

यह एक स्थिर गति, एक मौसमी दोलन और एक भूकंप से हुई छलांग से बना है। (क) पहली और अंतिम स्थितियों से वेग परिकलित कीजिए। (ख) ठीक एक वर्ष के अंतर पर स्थितियों के नौ अंतर, और उनकी माध्यिका परिकलित कीजिए। (ग) एक-वर्षीय अंतरों की माध्यिका स्थिर वेग का एक मज़बूत आकलन क्यों है, और वह कब विफल होगी?

हल

हल — अभ्यास 12.12.

(क) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। (ख) एक वर्ष के अंतर पर अंतर हैं $24 - 4 = 20$, $25 - 5 = 20$, $26 - 6 = 20$, $65 - 15 = 50$, $74 - 24 = 50$, $75 - 25 = 50$, $76 - 26 = 50$, $85 - 65 = 20$ और $94 - 74 = 20$ (mm)। छाँटने पर: पाँच मान 20 के और चार 50 के; माध्यिका $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है। (ग) एक वर्ष के अंतर पर दो स्थितियाँ मौसमी दोलन के एक ही चरण पर होती हैं, जो उनके अंतर में निरस्त हो जाता है। एक छलांग केवल उन जोड़ों को प्रभावित करती है जो उसे पार करते हैं, यहाँ नौ में से चार; जब तक आधे से कम जोड़े किसी छलांग को पार करते हैं, माध्यिका उसे अनदेखा करती है, जबकि (क) का अंत-बिंदु आकलन पूरी छलांग को गति मानता है और $50\,\%$ अधिक निकलता है। विधि तब विफल होती है जब छलांगें इतनी बार आएँ कि अधिकांश एक-वर्षीय जोड़ों में एक हो, या जब स्टेशन अस्थिर रूप से चले, उदाहरणार्थ एक बड़े भूकंप के बाद।

12.7 समस्या: आइसलैंड का विभाजन

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — आइसलैंड के आर-पार उत्तरी अटलांटिक का खुलना, तीन तरीकों से मापा गया

आइसलैंड मध्य-अटलांटिक कटक पर स्थित है, पश्चिम में उत्तरी अमेरिकी प्लेट और पूर्व में यूरेशियन प्लेट के बीच। $R = 6371\,\mathrm{km}$ लीजिए और, यूरेशिया के उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष, वह यूलर सदिश जिसका ध्रुव $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E पर है और दर $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ है।

भाग I — प्लेट सदिश।

1. दर को $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में बदलिए और $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में $\omega R$ परिकलित कीजिए।
2. ध्रुव से आइसलैंड के केंद्र, $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W, तक की कोणीय दूरी $\Delta$ परिकलित कीजिए।
3. प्लेट सदिश द्वारा भविष्यवाणी की गई आइसलैंड के आर-पार पूर्ण प्रसार-दर निकालिए।
4. आइसलैंड से देखे गए ध्रुव का दिगंश, और उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष यूरेशिया की गति का दिगंश परिकलित कीजिए।
5. इस वेग को उसके पूर्वी और उत्तरी घटकों में विभाजित कीजिए।
6. गाक्कल कटक पर, $86{}^{\circ}$ N, $60{}^{\circ}$ E पर, वही सदिश कौन-सी दर देता है? वहाँ सीमा इतनी धीमी क्यों है?

भाग II — चुंबकीय धारियाँ। रेक्यनीस कटक के आर-पार, आइसलैंड के दक्षिण-पश्चिम में $63{}^{\circ}$ N, $23{}^{\circ}$ W के निकट, प्रसार की दिशा में चली एक जहाज़ की चुंबकीय परिच्छेदिका, तीन कालखंड-सीमाओं की अक्ष से दूरियाँ देती है (इस समस्या के लिए गढ़ी गई एक परिच्छेदिका):

सीमा	आयु (Ma)	अक्ष के पश्चिम (km)	अक्ष के पूर्व (km)
C1n का आधार	0.781	9.7	10.1
C2An का युवा किनारा	2.581	26.8	27.3
C5n का युवा किनारा	9.779	94	97

7. C5n के युवा किनारे से, दोनों अर्ध प्रसार-दरें परिकलित कीजिए।
8. $9.8\,\mathrm{Ma}$ से पूर्ण प्रसार-दर निकालिए।
9. दोनों युवा सीमाओं से भी पूर्ण दर परिकलित कीजिए। क्या तीनों सहमत हैं? वे सीमा की आयु के साथ कैसे बदलती हैं, वर्णन कीजिए।
10. क्या प्रसार सममित है? क्या असममिति पूर्ण दर बदलती है?
11. रेक्यनीस कटक पर, धारियों के बीच की सीमाएँ अक्ष से दूर कुल मिलाकर, दोनों पार्श्वों को मिलाकर, $5.0\,\mathrm{km}$ विस्थापित हैं। तीनों पूर्ण दरें सुधारिए। सबसे युवा सीमा के लिए सुधार सबसे अधिक क्यों मायने रखा?
12. जरामिलो उपकालखंड ($1.072\text{ से }0.988\,\mathrm{Ma}$) की धारी प्रत्येक पार्श्व पर, सुधारी अर्ध दर पर, कितनी चौड़ी है? प्रश्न 11 के विस्थापन से तुलना कीजिए। जरामिलो विसंगति रेक्यनीस कटक की परिच्छेदिकाओं पर फिर भी स्पष्ट पहचानी जाती है, पर गाक्कल कटक पर अनुपस्थित है: यह क्या सुझाता है?
13. प्लेट सदिश परिच्छेदिका पर $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की भविष्यवाणी करता है। अपनी सुधारी दरों से तुलना कीजिए।

भाग III — उपग्रह। स्थायी स्टेशन REYK (रेक्याविक, $64.139{}^{\circ}$ N, $21.955{}^{\circ}$ W) और STAS (स्टैवेंगर, $59.018{}^{\circ}$ N, $5.599{}^{\circ}$ E) उत्तरी अमेरिकी और यूरेशियन प्लेटों पर स्थित हैं। उनके मापे गए वेग उनके बीच की जीवा को $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से लंबा करते हैं।

14. दोनों स्टेशनों के बीच की कोणीय दूरी, और जीवा की लंबाई परिकलित कीजिए।
15. जीवा को एक मीटर लंबा होने में कितना समय लगता है?
16. प्लेट सदिश STAS को उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष $114.8{}^{\circ}$ की ओर $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ का वेग देता है। REYK से महावृत्त STAS पर $123.1{}^{\circ}$ की ओर पहुँचता है। इस दिशा के अनुदिश वेग का घटक परिकलित कीजिए, फिर जीवा की भविष्यवाणित लंबाई, जो STAS पर क्षैतिज के साथ कोण $\Delta/2$ बनाती है।
17. मापी गई और भविष्यवाणित लंबाई की तुलना कीजिए। अंतर क्या समझा सकता है?
18. उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष REYK $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पश्चिम की ओर और $0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ दक्षिण की ओर चलता है, और स्टेशन HOFN (होफ़्न, दक्षिण-पूर्वी आइसलैंड) $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पूर्व की ओर और $6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ दक्षिण की ओर। REYK के सापेक्ष HOFN की चाल और दिगंश परिकलित कीजिए।
19. भाग I से तुलना कीजिए। HOFN $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से भी उठता है। आइसलैंड के भीतर के स्टेशन प्लेट गति का खराब माप क्यों हैं?

भाग IV — दस मिलियन वर्ष, और दक्षिण की संधि।

20. $10\,\mathrm{Myr}$ में, यूरेशिया ध्रुव के परितः उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष किस कोण से घूमता है?
21. उस समय में आइसलैंड के बीच में यूरेशिया का एक बिंदु अपने लघुवृत्त पर कितनी दूरी चलता है? भाग II में C5n के युवा किनारे के बाद बनी भूपर्पटी की सुधारी चौड़ाई से तुलना कीजिए।
22. अज़ोरेस त्रि-संधि पर, प्लेट सदिश यूरेशिया को $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ $95.1{}^{\circ}$ की ओर और नूबिया को $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ $103.8{}^{\circ}$ की ओर देते हैं, दोनों उत्तरी अमेरिका के सापेक्ष। नूबिया के सापेक्ष यूरेशिया का वेग परिकलित कीजिए।
23. क्या यह संधि स्थायी है? प्रश्न 22 का वेग यूरेशिया और नूबिया के बीच किस प्रकार की सीमा का तात्पर्य देता है?
24. भाग I, II और III की प्रसार-दरें एकत्र कीजिए। कौन-सी सहमत हैं, और कौन-सी विधि सबसे कम समय में प्लेटों की गति मापती है?
25. एक मिलीमीटर प्रति वर्ष तक पूर्णांकित, आइसलैंड के आर-पार कौन-सी पूर्ण प्रसार-दर प्लेट सदिश और सुधारी चुंबकीय धारियाँ दोनों देती हैं?

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$, अतः $\Delta = 52.60{}^{\circ}$।

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

4. अंश $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$ है और हर

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

दोनों धनात्मक हैं, अतः $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$। यूरेशिया $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$ की ओर चलता है।

5. पूर्व: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; उत्तर: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, अर्थात् दक्षिण की ओर $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

6. $\cos\Delta = 0.8851$, $\Delta = 27.74{}^{\circ}$, $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। दोनों प्लेटें पूर्वी साइबेरिया के एक ध्रुव के परितः घूमती हैं: गाक्कल कटक उसके निकट है, और चाल $\sin\Delta$ के साथ घटती है, यद्यपि प्लेटें वही हैं।

7. पश्चिम: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; पूर्व: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

9. C2An से: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; C1n के आधार से: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। वे सहमत नहीं हैं: सीमा जितनी युवा, दर उतनी ऊँची। दर का एक वास्तविक परिवर्तन संभव है, पर दूरियों में एक स्थिर अतिरिक्त, जो सभी आयुओं पर समान हो, ठीक यही करेगा।

10. पश्चिम और पूर्व दूरियों का अनुपात 0.96 से 0.98 है: पूर्वी पार्श्व कुछ प्रतिशत अधिक बढ़ा है। पूर्ण दर केवल दो दूरियों के योग पर निर्भर करती है, अतः असममिति उसे नहीं बदलती।

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। तीनों अब $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के भीतर सहमत हैं। वही $5\,\mathrm{km}$ सबसे युवे जोड़े के $19.8\,\mathrm{km}$ का एक-चौथाई है, परंतु सबसे पुराने के $191\,\mathrm{km}$ का $3\,\%$ से कम; पुरानी सीमाएँ अधिक विश्वसनीय दरें देती हैं।

12. सुधारी अर्ध दर $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, और $9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$, वह $2.5\,\mathrm{km}$ का एक-तिहाई जिसके द्वारा हर सीमा विस्थापित है। इतनी संकरी धारी का धुंधला हो जाना अपेक्षित होता। कि वह रेक्यनीस कटक पर पहचानी जाती है, जबकि गाक्कल कटक पर, जिसमें मैग्मा की कमी है, अनुपस्थित है, सुझाता है कि मैग्मा की प्रचुर आपूर्ति संकरी धारियों में भी क्षेत्र को विश्वसनीय रूप से दर्ज करती है।

13. सुधारी दरें, 18.95 से $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, प्लेट सदिश की $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से सहमत हैं; सुधार के बिना वे उससे 3 से 33 प्रतिशत अधिक थीं।

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$, अतः $\Delta = 13.94{}^{\circ}$; जीवा $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$ है।

15. $1000/17.5 = 57$ वर्ष।

16. दो दिशाएँ $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$ से भिन्न हैं: महावृत्त के अनुदिश क्षैतिज घटक, यानी $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है, और जीवा के अनुदिश $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, लगभग $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

17. जीवा $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से लंबी होती है, जो भविष्यवाणित $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से $6\,\%$ कम है। दोनों स्टेशन प्लेट सीमा से दूर हैं, इसलिए अंतर स्थानीय नहीं है। या तो प्लेटें आज पिछले तीन मिलियन वर्षों के औसत से थोड़ी धीमी चल रही हैं, या दो आकलनों में से एक में एक छोटी व्यवस्थित त्रुटि है; अकेले माप यह नहीं बता सकते। उपग्रह स्थिति-निर्धारण अकेले से परिकलित यूलर सदिश इस जीवा के लिए $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की भविष्यवाणी करता है, जो मापे गए मान के निकट है।

18. पूर्व: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; उत्तर: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। चाल $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, की ओर $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$।

19. दिशा प्लेट सदिश के $103{}^{\circ}$ के निकट है, पर चाल उसकी $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ को एक-चौथाई से अधिक करती है। दोनों स्टेशन उस क्षेत्र के भीतर हैं जहाँ सीमा विकृत होती है, और होफ़्न, सबसे बड़ी हिम-टोपी के निकट, बर्फ़ के पतले होने पर भूपर्पटी के उछाल के साथ चलता है: ऊपर की ओर $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, और बर्फ़ से दूर, बगल की ओर। सीमा-क्षेत्र के भीतर के स्टेशन प्लेट गति और स्थानीय विकृति दोनों मापते हैं।

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$।

21. बिंदु त्रिज्या $R\sin\Delta$ के एक लघुवृत्त पर चलता है: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$। C5n के युवा किनारे के बाद बनी भूपर्पटी की सुधारी चौड़ाई, $9.8\,\mathrm{Myr}$ में $186\,\mathrm{km}$, लगभग वही है: गति दस लाख वर्षों तक स्थिर रही है।

22. घटक (पूर्व, उत्तर): यूरेशिया के लिए $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) =$ $(22.81, -2.04)$, नूबिया के लिए:

$$(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$$

नूबिया के सापेक्ष यूरेशिया: $(4.16, 2.54)$, अर्थात् $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की ओर $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$, पूर्व-उत्तर-पूर्व।

23. तीन कटकों की एक संधि वेगों की परवाह किए बिना स्थायी है। प्रश्न 22 का वेग यूरेशिया और नूबिया को पूर्व-उत्तर-पूर्व से पश्चिम-दक्षिण-पश्चिम की ओर दूर करता है: संधि पर उनकी सीमा धीरे खुलनी चाहिए; यह टर्सीरा दरार है, जिसकी पूर्व-दक्षिण-पूर्व प्रवृत्ति खुलाव को तिरछा बनाती है।

24. भाग I: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ आइसलैंड के केंद्र में ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ भाग II की परिच्छेदिका पर)। भाग II: सुधार के बाद 18.95 से $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। भाग III: रेक्याविक–स्टैवेंगर जीवा $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से लंबी होती है, जहाँ प्लेट सदिश $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की भविष्यवाणी करता है; आइसलैंड के भीतर की जोड़ी $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देती है, जो प्लेट गति नहीं है। प्लेट सदिश और धारियाँ सहमत हैं; उपग्रह $6\,\%$ भिन्न हैं। धारियाँ दस मिलियन वर्षों तक औसत करती हैं, प्लेट सदिश $3.16\,\mathrm{Myr}$ पर; उपग्रह पिछले बीस से तीस वर्षों की गति मापते हैं।

25. प्लेट सदिश आइसलैंड के आर-पार $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ देता है, और उसके बगल में सुधारी धारियाँ $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: एक मिलीमीटर प्रति वर्ष तक पूर्णांकित, आइसलैंड के आर-पार पूर्ण प्रसार-दर $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ है।