20अपरदन और परिवहन

एक तूफ़ान के बाद पुल के नीचे की नदी भूरी बहती है। जो पानी एक दिन पहले साफ़ था वह कीचड़ से गाढ़ा है, खंभों के चारों ओर भँवर बनाता है और टहनियाँ बहाता है, और तल पर, अनदेखे, लुढ़कते समय कंकड़ एक-दूसरे से टकराते हैं। हर सेकंड बाढ़ ज़मीन के टन भर बहा ले जाती है। नीचे की ओर, एक बाँध के पीछे, वही कीचड़ जलाशय के स्थिर पानी में बैठता है, जो हर वर्ष अपने आयतन का थोड़ा खोता है; और भी आगे, नदी के मुहाने पर, वह समुद्र में एक भूरे पंख की तरह फैलता है जो अंतरिक्ष से दिखाई दे सकता है। यह अध्याय उस यात्रा में संख्याएँ रखता है: नदी कितना और किन रूपों में ढोती है, एक कण कितनी तेज़ी से डूबता है, उसे चलाने के लिए कितनी धारा चाहिए, और अंततः पूरा भूदृश्य कितनी तेज़ी से घिसता है।

पहले से ज्ञात

अपरदन भूमि का घिसना और उसके टुकड़ों का बहाना है; निक्षेपण उनका वहाँ बिछना है जहाँ वाहक धीमा होता है (पुस्तक 1, कक्षा 5)। एक नदी अपना तलछट-भार तल-भार, निलंबित भार और घुला भार के रूप में ढोती है; किसी क्षेत्र की अपक्षरण-दर उससे प्रति इकाई समय हटी चट्टान की मोटाई है, मीटर प्रति दस लाख वर्ष में; जब अपरदन भूपर्पटी की एक मोटाई $e$ हटाता है, तो समस्थानिक प्रत्यावर्तन सतह को केवल $e(1 - \rho_c/\rho_m)$ नीचे जाने देता है (पुस्तक 2, कक्षा 12)। नदी का निस्सरण वह जल-आयतन है जो प्रति इकाई समय एक अनुप्रस्थ काट से गुज़रता है, और उसका जल-विभाजक वह क्षेत्र जो उसे आपूर्ति करता है (पुस्तक 2, कक्षा 10)। एरी समस्थिति में भूपर्पटी अपने उच्चावच के समानुपाती जड़ के साथ मेंटल पर तैरती है (प्रतिज्ञप्ति 11.5)। सिलिकेटों का जल-अपघटन आयन और घुली सिलिका नदियों को देता है (परिभाषा 19.3)। किसी तरल की गतिक श्यानता $\mu$ उसके कर्तन के प्रतिरोध को मापती है, और गतिज श्यानता $\nu = \mu/\rho$ है; व्यास $d$ का एक गोला, धीमे वेग $w$ से किसी तरल में चलता हुआ, $3\pi\mu d w$ का अवरोध अनुभव करता है (स्टोक्स का नियम); रेनॉल्ड्स संख्या $w d/\nu$ जड़त्व की तुलना श्यान बलों से करती है, और गोले के चारों ओर प्रवाह तब तक चिकना रहता है जब तक वह छोटा है (भौतिकी की पुस्तकें)।

20.1 घुले और कण-प्रवाह

एक नदी ज़मीन को दो तरीकों से हटाती है: घोल में पदार्थ के रूप में, जो रासायनिक अपक्षय के उत्पाद हैं, और ठोस कणों के रूप में, जो भौतिक अपक्षय के उत्पाद और रासायनिक अपक्षय के अघुलनशील अवशेष हैं। दोनों अलग तरह से चलते हैं, और कण स्वयं भी दो तरीकों से चलते हैं।

परिभाषा 20.1 (घुला भार, निलंबित भार, तल-भार)

एक नदी का भार वह पदार्थ है जो वह एक अनुप्रस्थ काट से आगे ले जाती है, तीन भागों में, जो इस पर भिन्न हैं कि वे कैसे चलते हैं। घुला भार घोल में पदार्थ है, आयन और घुली सिलिका, जो अपनी गति से जल के साथ चलता है। निलंबित भार प्रवाह के भीतर उसकी प्रक्षुब्धता द्वारा ऊपर थामे गए कणों से बना है, अधिकतर मृत्तिका, गाद और बारीक बालू, जो जल की गति के लगभग समान गति से चलते हैं और शायद ही तल को छूते हैं। तल-भार उन कणों से बना है जो तल के साथ लुढ़कते, खिसकते या उछलते हैं, उससे बार-बार संपर्क में, जल से कहीं धीमे।

दो ठोस भारों के बीच की सीमा कण के आकार से तय नहीं होती: वह प्रवाह पर निर्भर है। एक बाढ़ जो बालू को निलंबन में ढोती है, घटने पर उसे तल पर, तल-भार के रूप में, छोड़ देती है; इसके विपरीत सबसे बारीक मृत्तिका लगभग किसी भी धारा में निलंबन में रहती है और बहती नदी के तल पर शायद ही मिलती है। हर भार एक फ़्लक्स के रूप में मापा जाता है, नदी के एक अनुप्रस्थ काट से प्रति इकाई समय गुज़रता द्रव्यमान।

प्रतिज्ञप्ति 20.2 (एक भार का फ़्लक्स)

मान लीजिए $c$ एक घुले या निलंबित भार की सांद्रता है (जल के प्रति इकाई आयतन में द्रव्यमान) और $u$ जल का वेग, दोनों क्षेत्रफल $A$ की काट में फैले हुए। (1) काट से गुज़रता भार का तात्कालिक फ़्लक्स है

$$F = \iint_A c\,u\,\mathrm dA = \overline{c}_Q\,Q,$$

जहाँ $Q = \iint_A u\,\mathrm dA$ निस्सरण है और $\overline{c}_Q$ वेग से भारित माध्य सांद्रता। (2) एक काल $T$ में, जिसमें नदी का निस्सरण $Q(t)$ और सांद्रता $C(t)$ बदलते हैं, ढोया गया द्रव्यमान है

$$M = \int_0^T Q\,C\,\mathrm dt = T\left(\overline{Q}\;\overline{C} + \operatorname{cov}(Q, C)\right),$$

जहाँ पट्टियाँ समय पर माध्य हैं और $\operatorname{cov}(Q, C)$ $(Q - \overline{Q})(C - \overline{C})$ का माध्य है। माध्य निस्सरण और माध्य सांद्रता का गुणनफल सही द्रव्यमान तभी देता है जब दोनों असहसंबद्ध हों।

सहप्रसरण निलंबित भार के लिए मायने रखता है। बाढ़ों में उसकी सांद्रता तीव्र रूप से बढ़ती है, जब वर्षा मिट्टी को धाराओं में धोती है और तेज़ प्रवाह तल से कणों को उठाता है, इसलिए $Q$ और $C$ साथ-साथ बढ़ते हैं: एक नदी के वार्षिक तलछट का बड़ा भाग कुछ दिनों की बाढ़ में गुज़रता है, और एक नमूना-अभियान जो उन्हें चूक जाए, या माध्य सांद्रता को माध्य निस्सरण से गुणा करना, भार को कम आँकता है। घुला भार उलटी तरह बर्ताव करता है: बाढ़ें उसे तनु करती हैं, और उसकी सांद्रता कम प्रवाह पर सबसे ऊँची होती है, जब नदी को भूजल से पोषण मिलता है जो चट्टान के साथ लंबे समय से संपर्क में रहा है।

विधि 20.3 (गॉजिंग से नदी का वार्षिक भार)

1. एक गॉजिंग स्टेशन पर निस्सरण लगातार दर्ज कीजिए।
2. कई निस्सरणों पर जल के नमूने लीजिए, बाढ़ें सहित, और तलछट का द्रव्यमान प्रति लीटर (छानकर और तौलकर) तथा हर घुली प्रजाति का मापिए।
3. सांद्रताओं को नमूना-समय के निस्सरण से भारित कीजिए ताकि प्रवाह-भारित माध्य सांद्रता मिले, या सांद्रता को निस्सरण का फलन मानकर पूरे अभिलेख पर लागू कीजिए।
4. वर्ष के कुल जल-आयतन से गुणा कीजिए, या अभिलेख पर $Q\,C\,\Delta t$ का योग कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 20.2)।
5. तल-भार जोड़िए, जो जल-नमूनाकार चूक जाते हैं, अलग मापों से या एक अनुमानित भाग के रूप में।
6. घुले भार के लिए, वह हटाइए जो चट्टान से नहीं आता: वर्षा द्वारा लाए लवण, और बाइकार्बोनेट के लिए वह कार्बन जो हवा से लिया गया (अध्याय 19)।

विश्व की नदियाँ। मानवीय प्रभाव से पहले, विश्व की नदियाँ लगभग $14\,\mathrm{Gt}$ निलंबित तलछट प्रति वर्ष तटीय महासागर को ले जाती थीं, तल-भार के साथ $15.5\,\mathrm{Gt}$। लोगों ने यात्रा के दोनों सिरे बदल दिए हैं: खेती और वनों की कटाई ने मृदा-अपरदन बढ़ाया है, नदियों में लगभग $2.3\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष जोड़ते हुए, जबकि जलाशय तलछट रोकते हैं: बड़े जलाशय लगभग $20\,\%$ प्रवाह को फँसाते हैं और छोटे एक अन्य $6\,\%$ को, और $100\,\mathrm{Gt}$ से अधिक तलछट अब उन बाँधों के पीछे पड़ा है जो अधिकतर पिछले पचास वर्षों में बने। शुद्ध प्रभाव एक कमी है: आधुनिक प्रवाह लगभग $12.6\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष है।

आँकड़े: वर्ष 2005

निलंबित तलछट प्रवाह के आँकड़े, मानवीय प्रभाव से पहले और बाद के, 2005 में प्रकाशित नदी-तलछट के एक वैश्विक प्रतिरूप से आते हैं। उसके बाद से बाँध बने हैं।

घुला भार छोटा है। 1963 में किए गए नदी-विश्लेषणों के एक क्लासिक संकलन ने विश्व की नदियों द्वारा समुद्र तक पहुँचाए घुले पदार्थ को लगभग $3.9\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष पर रखा, आधुनिक निलंबित प्रवाह के लगभग $30\,\%$, $120\,\mathrm{mg}$ प्रति लीटर के माध्य सांद्रता पर। बाइकार्बोनेट उसका लगभग आधा है, $58\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, उसके बाद कैल्शियम, सिलिका, सल्फ़ेट, क्लोराइड और सोडियम। उसका एक भाग चट्टान से नहीं आता: बाइकार्बोनेट का बहुत-सा भाग हवा या मिट्टी से लिया कार्बन ढोता है, और क्लोराइड तथा सोडियम का एक भाग वर्षा द्वारा लाए समुद्री लवण से है। अलग-अलग नदियाँ इन माध्यों के चारों ओर व्यापक रूप से फैली हैं।

एक द्रोणी का तलछट-बजट। जल-विभाजक में अपरदित हर कण अपने निर्गम तक नहीं पहुँचता। किसी खेत से धुली मिट्टी ढलान के पैर पर रुक सकती है, बालू बाढ़-मैदान और नदी की रेतीली पट्टियों में सदियों तक जमा रह सकती है, और एक जलाशय उसमें आने वाले अधिकांश को रोक सकता है। निर्गम पर मापा गया भार इस बजट का संतुलन है: ढलानों और किनारों से जो अपरदित हुआ, उसमें से वह घटाकर जो रास्ते में संचित हुआ, और उसमें जोड़कर जो पुराने भंडारों से वापस लिया गया। गॉजिंग के कुछ दशकों में यह संतुलन दीर्घकालिक अपरदन-दर से किसी भी दिशा में बहुत दूर हो सकता है, और यही एक कारण है कि अनुभाग 20.4 की अन्य विधियाँ हैं।

20.2 अवसादन-वेग

एक कण जल से घना है और डूबता है। क्या एक नदी उसे ढो सकती है, और वह कहाँ निक्षेपित होगा, यह पहले इस पर निर्भर है कि वह कितनी तेज़ी से डूबता है।

परिभाषा 20.4 (अवसादन-वेग)

एक कण का अवसादन-वेग $w_s$ वह स्थिर वेग है जिससे वह स्थिर जल में गिरता है, जब जल का अवरोध उसके जलमग्न भार, यानी उसके भार में से उस जल के उत्प्लावन को घटाकर जिसे वह विस्थापित करता है, के बराबर हो।

स्थिर जल में छोड़ा गया कण तब तक त्वरित होता है जब तक उसका अवरोध, जो उसकी गति के साथ बढ़ता है, उसके जलमग्न भार के बराबर न हो जाए; एक बालू या गाद के कण के लिए यह एक सेकंड के छोटे अंश में होता है, इसलिए अवसादन-वेग वह गति है जिससे वह लगभग पूरी दूरी तक गिरता है। कण का घनत्व $\rho_s$ और जल का $\rho$ लेकर, सापेक्ष जलमग्न घनत्व के लिए $R = (\rho_s - \rho)/\rho$ लिखिए।

प्रतिज्ञप्ति 20.5 (स्टोक्स अवसादन)

व्यास $d$ और घनत्व $\rho_s$ का एक गोला, घनत्व $\rho$ और गतिक श्यानता $\mu$ वाले जल में धीरे गिरता हुआ, स्टोक्स के नियम के अंतर्गत, अवसादन-वेग रखता है

$$w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu} = \frac{R\,g\,d^2}{18\,\nu}.$$

यह नियम तब तक लागू है जब तक कण की रेनॉल्ड्स संख्या $w_s d/\nu$ लगभग 1 से नीचे है, अर्थात व्यासों के लिए जो $d_1 = \left(18\,\nu^2/(R\,g)\right)^{1/3}$ से छोटे हैं।

घनत्व $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के क्वार्ट्ज हेतु, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर जल में, जिसका घनत्व $998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और श्यानता $1.0016\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ है: $R = 1.65$, $\nu = 1.003 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, और $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ सहित सीमा $d_1 = 0.104\,\mathrm{mm}$ है, एक बारीक बालू। इससे नीचे, स्टोक्स का नियम गाद और मृत्तिका के अवसादन-वेग देता है: $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ आर-पार की एक गाद का कण $9.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर डूबता है, $1\,\mathrm{m}$ लगभग तीन घंटों में; $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ की एक मृत्तिका-कण $3.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर, $1\,\mathrm{m}$ $3.2$ दिनों में। प्राकृतिक मृत्तिका-कण गोले नहीं, पत्र होते हैं, और भी धीरे डूबते हैं। $5\,\mathrm{m}$ गहरा, पूर्णतः स्थिर जल ऐसी मृत्तिका से साफ़ होने में सोलह दिन लेगा; एक बहती नदी, जिसके भँवर उसे लगातार हिलाते रहते हैं, कभी साफ़ नहीं होती, इसीलिए सबसे बारीक कीचड़ समुद्र तक जाता है।

$d_1$ से ऊपर अवरोध वेग के अनुपात से अधिक तेज़ी से बढ़ता है: कण के पीछे बहता जल एक पीछे की धारा (वेक) में अलग हो जाता है, और बड़ी रेनॉल्ड्स संख्याओं पर अवरोध वेग के वर्ग के समानुपाती होता है। प्राकृतिक कणों पर प्रयोग एक ही सूत्र में समेटे गए हैं जो दोनों शासनों को जोड़ता है।

प्रतिज्ञप्ति 20.6 (संयुक्त अवसादन-नियम)

छलनी-व्यास $d$ के प्राकृतिक कणों का अवसादन-वेग, सभी आकारों के लिए,

$$w_s = \frac{R\,g\,d^2}{C_1\,\nu + \sqrt{0.75\,C_2\,R\,g\,d^3}},$$

जहाँ $C_1 = 18$ और $C_2 = 1.0$।

यह नियम फ़र्गसन और चर्च का है, जिन्होंने उसे प्राकृतिक बालू के मापे अवसादन-वेगों पर आरोपित किया। छोटे कणों के लिए वर्गमूल नगण्य है और वह स्टोक्स के नियम में घट जाता है; बड़े कणों के लिए हर का पहला पद नगण्य है और $w_s \to \sqrt{4 R g d/(3 C_2)}$, जो आकार के केवल वर्गमूल के साथ बढ़ता है। स्थिरांक कणों के आकार पर निर्भर हैं: $C_2 = 0.4$ चिकने गोलों का वर्णन करता है, बड़े मान अधिक कोणीय कणों का, जो अधिक अवरोध से मिलते हैं। दो नियम $0.1\,\mathrm{mm}$ से ऊपर अलग होते हैं। $1\,\mathrm{mm}$ के एक कण के लिए संयुक्त नियम $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है, स्टोक्स के नियम से सात गुना कम; $10\,\mathrm{mm}$ के एक कंकड़ के लिए, $0.46\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ के मुकाबले एक निरर्थक $90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (नीचे का आरेख)।

बारीकतम मृत्तिका से लेकर मोटे बजरी तक, आरेख की परास में, अवसादन-वेग आठ परिमाण-कोटियों तक फैलता है। यही पहला कारण है कि नदियाँ अपने तलछट को छाँटती हैं: धीमा होता प्रवाह अपनी बजरी तुरंत गिरा देता है, अपनी बालू मीटरों के भीतर, अपनी गाद किलोमीटरों के भीतर, और अपनी मृत्तिका को किसी झील या समुद्र तक ले जाता है। कण-आकार वर्ग और तलछट का छँटाव अगले अध्याय का विषय हैं (अध्याय 21)।

20.3 गति की देहली और हियुलस्ट्रॉम आरेख

तल पर विश्राम में एक कण को, नदी के उसके ऊपर बहते जल का बल गति में डालता है। वह बल एक प्रतिबल से मापा जाता है।

परिभाषा 20.7 (तल कर्तन-प्रतिबल, कर्तन-वेग)

एक प्रवाह का तल कर्तन-प्रतिबल $\tau_b$ वह बल है जो वह अपने तल पर, तल के समांतर, प्रवाह की दिशा में, प्रति इकाई क्षेत्रफल लगाता है। कर्तन-वेग $u_* = \sqrt{\tau_b/\rho}$ है, एक वेग जो उसी प्रतिबल को मापता है।

तल कर्तन-प्रतिबल धारा-मापी से नहीं पढ़ा जा सकता, परंतु एक स्थिर प्रवाह में वह बलों के संतुलन से निकलता है।

प्रतिज्ञप्ति 20.8 (गहराई-ढाल गुणनफल)

गहराई $h$ के एक स्थिर, एकसमान प्रवाह में, छोटे ढाल $S$ वाली एक चौड़ी नहर में, तल कर्तन-प्रतिबल है

$$\tau_b = \rho\,g\,h\,S .$$

$2\,\mathrm{m}$ गहरी एक नदी, $0.001$ ढाल पर, यानी प्रति किलोमीटर एक मीटर गिरावट, के लिए $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 2 \times 0.001 = 19.6\,\mathrm{Pa}$ है, और कर्तन-वेग $0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$। एक ऐसी नहर में जो चौड़ी नहीं है, किनारे घर्षण का अपना भाग लेते हैं, और गहराई को जल-त्रिज्या से बदला जाता है, काट का क्षेत्रफल उसकी गीली परिधि से भाग देने पर (अभ्यास 20.5)।

कण पर बल। प्रवाह एक तल के कण को अपने कर्षण से धकेलता है और अपने ऊपर के तेज़ प्रवाह से उठाता है (इस अध्याय के पहले चित्र का अंतःचित्र)। दोनों बल कण के क्षेत्रफल पर कार्य करते हैं, इसलिए वे $\tau_b d^2$ के साथ मापे जाते हैं; कण अपने जलमग्न भार से विरोध करता है, जो $(\rho_s - \rho) g d^3$ के साथ मापा जाता है। दोनों का अनुपात दिए गए कण के लिए प्रवाह की शक्ति का स्वाभाविक माप है।

परिभाषा 20.9 (शील्ड्स प्राचल, गति की देहली)

तल कर्तन-प्रतिबल $\tau_b$ वाले प्रवाह का, व्यास $d$ और घनत्व $\rho_s$ के कणों पर, शील्ड्स प्राचल है

$$\theta = \frac{\tau_b}{(\rho_s - \rho)\,g\,d}.$$

कणों की गति की देहली तल कर्तन-प्रतिबल है, या शील्ड्स प्राचल का मान $\theta_c$, जिस पर वे चलने लगते हैं।

क्रांतिक मान $\theta_c$ नहरों (फ़्लूम) में मापा जाता है, और माप जब एक विमाहीन कण-आकार के विरुद्ध आलेखित होते हैं जो कण और तरल दोनों को मिलाता है, तब एक ही वक्र पर गिरते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 20.10 (सॉल्सबी और व्हाइटहाउस का देहली-वक्र)

एक समतल तल पर व्यास $d$ के कणों के लिए, $D_* = d\,\left(R\,g/\nu^2\right)^{1/3}$ के साथ, क्रांतिक शील्ड्स प्राचल है

$$\theta_c = \frac{0.3}{1 + 1.2\,D_*} + 0.055\left(1 - e^{-0.02\,D_*}\right),$$

और क्रांतिक तल कर्तन-प्रतिबल $\tau_c = \theta_c\,(\rho_s - \rho)\,g\,d$ है।

मोटे कणों के लिए $\theta_c$ $0.055$ की ओर जाता है: बजरी तब चलती है जब तल कर्तन-प्रतिबल, प्रति इकाई क्षेत्रफल, एक व्यास मोटी कणों की परत के जलमग्न भार के लगभग बीसवें भाग तक पहुँचता है। स्थिर देहली का उपयोग करने वाले तलछट-परिवहन के सूत्र $0.03$ से $0.047$ तक के मान लेते हैं, उनमें से अंतिम मेयर-पीटर और मूलर के क्लासिक तल-भार सूत्र में। बारीक बालू के लिए $\theta_c$ फिर बढ़ता है, $0.1\,\mathrm{mm}$ पर $0.077$ तक: छोटे कण तल के निकट पानी की धीमी, श्यान परत में पड़ते हैं और अपने पड़ोसियों से आच्छादित रहते हैं। न्यूनतम, $0.030$, लगभग $0.7\,\mathrm{mm}$ पर गिरता है। पास्कल में देहली सदा आकार के साथ बढ़ती है (नीचे का आरेख): $0.1\,\mathrm{mm}$ की बालू के लिए $0.13\,\mathrm{Pa}$, $1\,\mathrm{mm}$ पर $0.51\,\mathrm{Pa}$, $10\,\mathrm{mm}$ पर $9.0\,\mathrm{Pa}$, $64\,\mathrm{mm}$ के एक पत्थर के लिए $57\,\mathrm{Pa}$।

उदाहरण 20.11 (नदी क्या हिलाती है)

$2\,\mathrm{m}$ गहरी, $0.001$ ढाल वाली नदी में $\tau_b = 19.6\,\mathrm{Pa}$। $20\,\mathrm{mm}$ के कणों के लिए, $\theta = 19.6/(1651.8 \times 9.81 \times 0.020) = 0.060$, अपनी देहली $0.055$ से ठीक ऊपर: वे चलते हैं। $40\,\mathrm{mm}$ के कणों के लिए, $\theta = 0.030$, देहली का आधा: वे रुकते हैं। नदी अपने तल को मोटी बजरी तक हिलाती है; $1\,\mathrm{mm}$ की बालू के लिए, $\theta = 1.21$, $0.031$ की देहली से लगभग चालीस गुना।

निलंबन में। एक बार गतिमान, एक कण तल के साथ उछलता है या प्रवाह में उठा लिया जाता है, इस पर निर्भर करते हुए कि क्या भँवर, जिनकी गति कर्तन-वेग की कोटि की है, उसे उसके अवसादन के विरुद्ध ऊपर थाम सकते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 20.12 (निलंबन का मानदंड)

एक अवसादन-वेग $w_s$ वाला कण एक प्रक्षुब्ध प्रवाह में निलंबन में तभी रह सकता है जब कुछ भँवर उसके डूबने से तेज़ ऊपर उठें। भँवरों के ऊर्ध्वगामी वेग कर्तन-वेग $u_*$ की कोटि के हैं, इसलिए निलंबन तब शुरू होता है जब $u_*$, $w_s$ के निकट आता है, और तब पूरी तरह विकसित होता है जब $u_*$ उससे अधिक हो; यह अध्याय $u_* = w_s$ को निलंबन की सीमा लेता है।

उदाहरण की नदी में $u_* = 0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, जिसे अवसादन का संयुक्त नियम $1.16\,\mathrm{mm}$ के कणों को देता है: लगभग एक मिलीमीटर से बारीक बालू निलंबन में चलती है, मोटी बालू और बजरी तल-भार के रूप में। तर्क बैगनोल्ड तक जाता है, जिन्होंने देखा कि $0.1\,\mathrm{mm}$ या उससे छोटे कण चलते ही पूरी तरह निलंबित हो जाते हैं, जबकि $1\,\mathrm{mm}$ से बड़े कणों को अपनी देहली से कई गुना तल कर्तन-प्रतिबल चाहिए। जब बाढ़ घटती है और $u_*$ गिरता है, तो मोटी बालू पहले तल पर वापस गिरती है।

प्रतिबल से माध्य वेग तक। नदी में जो आसानी से मापा या अनुमानित होता है, वह उसका माध्य वेग है। एक प्रक्षुब्ध प्रवाह में, व्यास $d$ के कणों से खुरदरे तल पर, गहराई $h$ की एक चौड़ी नहर का माध्य वेग $U = u_*\left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right)$ है, एक नियम जिसे 1938 में केउलेगन ने निकुरादसे और बाज़िन के प्रयोगों से स्थापित किया; इसलिए गति की देहली क्रांतिक माध्य वेग से मेल खाती है

और निलंबन की सीमा, $u_* = w_s$, $U_s = \left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right) w_s$ तक। दोनों गहराई पर निर्भर हैं, यद्यपि केवल एक लघुगणक के माध्यम से।

इसलिए देहली-वेग एक गहराई और नियमों के एक समुच्चय से संबंधित हैं: किसी अन्य गहराई के लिए परिकलित, या अन्य मापों से पढ़े गए, वे भिन्न निकलते हैं। कण-आकार के विरुद्ध आलेखित करने पर उनका आकार मज़बूत है पर मान नहीं, और तल कर्तन-प्रतिबल, जो गहराई पर उसी तरह निर्भर नहीं करता, यह मापने का बेहतर माप है कि प्रवाह क्या कर सकता है। वेग फिर भी अधिक सहज हैं, और उन्हें खींचने का क्लासिक तरीका एक आरेख है।

परिभाषा 20.13 (हियुलस्ट्रॉम आरेख)

एक हियुलस्ट्रॉम आरेख एक प्रवाह के माध्य वेग को कणों के व्यास के विरुद्ध, लघुगणकीय पैमानों पर, आलेखित करता है, और तल को उन क्षेत्रों में बाँटता है जिनमें विश्राम में कण अपरदित होते हैं, गतिमान कण परिवहन में रहते हैं, और गतिमान कण निक्षेपित होते हैं।

आरेख पढ़ना। तीन विशेषताएँ भूविज्ञान को वहन करती हैं। पहला, अपरदन में सबसे आसान कण बारीक बालू हैं, लगभग $0.06$ से $0.2\,\mathrm{mm}$ के बीच, जिन्हें $31\text{ से }34\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$ की धारा $1\,\mathrm{m}$ गहरे जल में चलाती है; मोटे कणों को अधिक चाहिए, $64\,\mathrm{mm}$ के एक कंकड़ के लिए लगभग $3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ तक। दूसरा, गाद और मृत्तिका, यद्यपि हल्के हैं, एक बार अवसादित होने पर बालू से अपरदन में कठिन हैं: उनके कण आपस में चिपकते हैं, और एक संहत कीचड़ उस धारा का प्रतिरोध करता है जो बालू बहा ले जाती। ढीले कणों की गणना इसे नहीं देख सकती, और कीचड़ के मापे अपरदन-वेग उनके संघनन और जल-अंश के साथ बदलते हैं, इसलिए धारीदार क्षेत्र। तीसरा, अपरदन और निक्षेपण के बीच का अंतर बारीक कणों के लिए चौड़ा खुलता है: एक मृत्तिका-कण को एक कीचड़दार तल से फाड़ने के लिए प्रबल धारा चाहिए, पर एक बार पानी में वह सबसे धीमे प्रवाह में भी रहता है, और भूरी बाढ़ तथा समुद्र में पंख का पूरा इतिहास यही है।

इतिहास — 1930 के दशक के दो अध्ययन

1935 में फ़िलिप हियुलस्ट्रॉम, उप्साला के भौगोलिक संस्थान के, मध्य स्वीडन की फ़िरिस नदी के कार्य पर एक लंबा अध्ययन प्रकाशित किया, जिसमें वह आरेख था जो उनके नाम से जुड़ा है: अपरदन और निक्षेपण के वेग कण-आकार के विरुद्ध, लघुगणकीय पैमानों पर। पहले के वक्रों के विपरीत, उनके अपरदन-वक्र का एक न्यूनतम था, लगभग $0.1$ और $0.5\,\mathrm{mm}$ के बीच: ढीली बारीक बालू सबसे आसानी से अपरदित होती है, जबकि मोटी बालू और बजरी, और गाद तथा मृत्तिका भी, जो चिपकती हैं, प्रबल धाराएँ चाहती हैं। एक वर्ष बाद, 1936 में, इंजीनियर शील्ड्स ने बर्लिन की टेक्निशे होख्शुले में प्रस्तुत अपने शोध-प्रबंध में, गति की देहली को बलों के अनुपात के रूप में, वह प्राचल जो अब उनका नाम रखता है, एक विमाहीन कण-आकार के विरुद्ध आलेखित किया। हियुलस्ट्रॉम के वेग प्रवाह की गहराई को अनदेखा करते हैं; शील्ड्स का विमाहीन दृष्टिकोण ऐसा नहीं करता, और वह आज प्रयुक्त देहली-सूत्रों की नींव है, जैसे इस अध्याय के आरेखों के पीछे का।

20.4 अपक्षरण-दर

नदी के भार, उसके द्रोणी पर जोड़े गए, मापते हैं कि द्रोणी कितनी तेज़ी से घिसी जा रही है।

परिभाषा 20.14 (अपक्षरण-दर)

किसी क्षेत्र की अपक्षरण-दर $D$ वह माध्य दर है जिस पर ठोस कणों और घोल दोनों के रूप में पदार्थ का हटना उसकी सतह को नीचे लाता है, ताज़ी चट्टान की समतुल्य मोटाई के रूप में प्रति इकाई समय, मीटर प्रति दस लाख वर्ष में ($\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, जो हज़ार वर्षों में मिलीमीटर के बराबर है)। प्रति इकाई क्षेत्रफल और समय हटाया गया द्रव्यमान, टन प्रति वर्ग किलोमीटर और प्रति वर्ष में, विशिष्ट तलछट-उपज है।

प्रतिज्ञप्ति 20.15 (अपक्षरण से नदी के भार तक)

यदि क्षेत्रफल $A$ की एक द्रोणी अपने निर्गम से, अपनी चट्टानों से व्युत्पन्न, वार्षिक द्रव्यमान $F_s$ निलंबित भार का, $F_b$ तल-भार का और $F_d$ घुले भार का खोती है, और रास्ते में कुछ संचित नहीं होता, तो उसकी अपक्षरण-दर है

$$D = \frac{F_s + F_b + F_d}{\rho_r\,A},$$

जहाँ $\rho_r$ ताज़ी चट्टान का घनत्व है। $\rho_r = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के लिए, $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की विशिष्ट उपज $37\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ के बराबर है।

घुला भार केवल उस भाग को गिनता है जो चट्टान से आता है, हवा से नहीं: सिलिकेट-अपक्षय के बाइकार्बोनेट का कार्बन वायुमंडल से लिया जाता है, और केवल धनायन और सिलिका चट्टान हैं। अपक्षरण का रासायनिक भाग छोटा नहीं है। जहाँ जलवायु गर्म और आर्द्र है और उच्चावच कम है, वह यांत्रिक भाग के निकट या उससे अधिक हो सकता है, जबकि तीखे पर्वतों में यांत्रिक भाग प्रबल होता है।

तीन घड़ियाँ। अपक्षरण-दर को समय के तीन बहुत भिन्न अंतरालों पर मापा जा सकता है। नदी के भार वर्षों से दशकों को समाकलित करते हैं, और मापों के दौरान हुई या न हुई कुछ बाढ़ों के बस में हैं। एक जलाशय या झील में पकड़ा गया तलछट, उसके तल के सर्वेक्षण से मापा गया, उसके जीवन के दशकों से एक सदी तक समाकलित करता है। तीसरी घड़ी स्वयं कणों में लिखी है, ब्रह्मांडीय किरणों द्वारा।

प्रतिज्ञप्ति 20.16 (ब्रह्मांडीय न्यूक्लाइड और अपरदन)

मान लीजिए एक न्यूक्लाइड चट्टान में ब्रह्मांडीय किरणों द्वारा दर $P(z) = P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}$ प्रति इकाई द्रव्यमान पर उत्पन्न होता है, गहराई $z$ के साथ घातांकीय रूप से घटता हुआ ($\rho$ चट्टान का घनत्व, $\Lambda$ एक स्थिरांक, क्षीणन-लंबाई प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान के रूप में व्यक्त), और सतह स्थिर दर $\varepsilon$ पर नीचे जाती है। रेडियोधर्मी क्षय की उपेक्षा करते हुए, सतह तक पहुँचा कण सांद्रता

$$N = \frac{P_0\,\Lambda}{\rho\,\varepsilon}.$$

सांद्रता अपरदन-दर के व्युत्क्रमानुपाती है: धीरे अपरदित होती सतह हर कण को सतह के निकट लंबे समय तक रखती है और उसे न्यूक्लाइडों से भर देती है। वह दर जो यह देती है, उन कुछ मीटरों को अपरदित करने में लगे समय पर माध्य होती है जिनमें उत्पादन संकेंद्रित है, जो दर के आधार पर लगभग एक हज़ार से दस लाख वर्ष है। क्षय की उपेक्षा तब उचित है जब वह समय न्यूक्लाइड के जीवन की तुलना में छोटा हो; जब अपरदन बहुत धीमा है, तो क्षय शामिल किया जाता है और सूत्र थोड़ा लंबा हो जाता है।

प्रयोगशाला में — नदी की बालू में बेरिलियम-10

सामान्य न्यूक्लाइड बेरिलियम-10 है, अन्यथा पृथ्वी की सतह पर असाधारण रूप से दुर्लभ, जो चट्टान के ऊपरी कुछ मीटरों के क्वार्ट्ज में ब्रह्मांडीय किरणों से बनता है। पूरे द्रोणी की अपरदन-दर मापने के लिए, भू-रसायनज्ञ उसकी नदी के तल से निर्गम के पास बालू एकत्र करते हैं, इस धारणा पर कि नदी द्रोणी की हर ढलान से कणों को उस दर के अनुपात में मिलाती है जिस पर हर ढलान अपरदित होती है। प्रयोगशाला में, क्वार्ट्ज को अन्य खनिजों से अलग किया जाता है और अम्लों में साफ़ किया जाता है ताकि हवा में बने और वर्षा द्वारा नीचे लाए गए बेरिलियम को हटाया जा सके; फिर वह घुलाया जाता है, साधारण बेरिलियम की ज्ञात मात्रा मिलाई जाती है, और बेरिलियम निकाला जाता है। उसके समस्थानिक एक-एक परमाणु करके त्वरक द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमीटर से गिने जाते हैं, जो साधारण समस्थानिक की विशाल अधिकता के बीच दुर्लभ बेरिलियम-10 परमाणुओं को खोज सकता है।

दरें क्या हैं। $1599$ ऐसे मापों का एक संकलन, जो 2011 में प्रकाशित हुआ, पाया कि नंगे चट्टानी उद्भेद धीरे नीचे जाते हैं: औसतन $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, माध्यिका $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ के साथ (450 उद्भेद)। अवसादी चट्टान अधिक तेज़ी से घिसती है, औसतन $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, कायांतरित $11\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ की तुलना में, और आग्नेय $8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$। पूरी जल-द्रोणियाँ बहुत अधिक खोती हैं, औसतन $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ माध्यिका $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ के साथ ($1149$ द्रोणियाँ): उनकी तीखी ढलानें, भूस्खलन और नदी-नालियाँ उनके नंगे शिखरों से कहीं तेज़ अपरदित होती हैं, और कुछ बहुत तेज़ द्रोणियाँ माध्य को माध्यिका से चार गुना ऊपर उठा देती हैं। द्रोणी की माध्य ढलान उसकी दर का सबसे अच्छा अकेला पूर्वानुमानक है। भूकंपीय रूप से सक्रिय क्षेत्रों की द्रोणियाँ, जहाँ पर्वत उठ रहे हैं, औसतन $367\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ हैं, शांत क्षेत्रों की $182\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ के मुकाबले; ध्रुवीय द्रोणियाँ, जो हिमनदों से घिसी हैं, $537\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; शुष्क द्रोणियाँ $100\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$।

समस्थिति नीचे जाना धीमा करती है। किसी क्षेत्र से समस्थिति में चट्टान हटाने पर उसके स्तंभ हल्के होते हैं, और संतुलन पुनः स्थापित करने के लिए भूपर्पटी उठती है। $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ (अध्याय 11), अध्याय के आरंभ में याद किया गया प्रत्यावर्तन सूत्र केवल हटाई गई मोटाई का $1 - 2700/3300 = 0.18$ नीचे जाना देता है: किसी क्षेत्र की माध्य सतह को $1\,\mathrm{m}$ नीचे लाने के लिए अपरदन को $5.5\,\mathrm{m}$ चट्टान हटानी होगी। एक पर्वत-श्रेणी को घिसने में लगने वाला समय इसलिए उसकी ऊँचाई को उसकी अपक्षरण-दर से भाग देने से सुझाए समय से पाँच गुना से अधिक है, और पुरानी, घिसी पर्वत-श्रेणियों की सतह पर की चट्टानें कभी कई किलोमीटर गहराई में थीं। और चूँकि प्रत्यावर्तन हटाई गई माध्य मोटाई का अनुसरण करता है, न कि उसके वितरण का, एक श्रेणी जिसकी घाटियाँ गहराई से कटी हों जबकि उसके शिखर मुश्किल से छुए गए हों, पूरी तरह ऊपर उठती है: उसके शिखर ऊपर जाते हैं, यद्यपि उनमें कुछ नहीं जोड़ा गया (अभ्यास 20.11)।

दरें बदलती हैं। आज मापी गई अपक्षरण-दर भूदृश्य का कोई स्थिरांक नहीं है। जैसे-जैसे उच्चावच और ढलानें घटती हैं, वैसे-वैसे दर भी घटती है, और एक पुरानी, नीची हुई श्रेणी और भी धीरे घिसती है; इसके विपरीत, एक श्रेणी जो उठाई जा रही है, या एक जलवायु जो बदलती है, उसे बढ़ाती है। आज की दर से परिकलित समय एक प्रारंभिक अनुमान है, भविष्यवाणी नहीं।

20.5 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

एक नदी का माध्य निस्सरण $500\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ है और वह प्रवाह-भारित माध्य के रूप में प्रति लीटर $0.4\,\mathrm{g}$ निलंबित तलछट ढोती है। उसका निलंबित फ़्लक्स किलोग्राम प्रति सेकंड में, और दस लाख टन प्रति वर्ष में परिकलित कीजिए ($365.25$ दिनों का एक वर्ष लीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 20.1.

$0.4\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ यानी $0.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, इसलिए फ़्लक्स $500 \times 0.4 = 200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। एक वर्ष $365.25$ दिनों का $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ है, इसलिए वार्षिक फ़्लक्स $6.31 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$, या $6.31\,\mathrm{Mt}$।

अभ्यास 20.2 ★

स्टोक्स के नियम से, $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ आर-पार की एक क्वार्ट्ज गाद-कण का अवसादन-वेग परिकलित कीजिए, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर जल में ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), जाँचिए कि उसकी कण रेनॉल्ड्स संख्या छोटी है, और $2\,\mathrm{m}$ स्थिर जल में डूबने में लगने वाला समय परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 20.2.

$w_s = R g d^2/(18\nu) = 1.6548 \times 9.81 \times (30 \times 10^{-6})^2/(18 \times 1.0034 \times 10^{-6}) = 8.09 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, प्रति सेकंड लगभग $0.8\,\mathrm{mm}$। उसकी कण रेनॉल्ड्स संख्या $w_s d/\nu = 8.09 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-6}/1.0034 \times 10^{-6} = 0.024$ है, 1 से बहुत नीचे: स्टोक्स का नियम लागू है। वह $2/8.09 \times 10^{-4} = 2472\,\mathrm{s}$ में $2\,\mathrm{m}$ गिरता है, लगभग $41\,\mathrm{min}$।

अभ्यास 20.3 ★

एक चौड़ी धारा $0.5\,\mathrm{m}$ गहरी $4 \times 10^{-4}$ ढाल पर बहती है। उसका तल कर्तन-प्रतिबल परिकलित कीजिए, $\rho = 998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, और $1\,\mathrm{mm}$ तथा $10\,\mathrm{mm}$ के क्वार्ट्ज कणों के लिए प्रवाह का शील्ड्स प्राचल ($\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)। क्रांतिक मान $1\,\mathrm{mm}$ पर $0.0314$ और $10\,\mathrm{mm}$ पर $0.0556$ हैं: कौन-से कण चलते हैं?

हल

हल — अभ्यास 20.3.

$\tau_b = \rho g h S = 998.2 \times 9.81 \times 0.5 \times 4 \times 10^{-4} = 1.96\,\mathrm{Pa}$। $(\rho_s - \rho) g = 1651.8 \times 9.81 = 16\,204\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$: $1\,\mathrm{mm}$ के लिए, $\theta = 1.96/(16204 \times 0.001) = 0.121$, देहली $0.0314$ से लगभग चार गुना, इसलिए बालू चलती है; $10\,\mathrm{mm}$ के लिए $\theta = 0.0121$, देहली $0.0556$ का पाँचवाँ भाग, इसलिए बजरी रुकती है। धारा अपनी बालू एक ऐसी बजरी-तल पर ढोती है जो नहीं चलता।

अभ्यास 20.4 ★

महासागर को निलंबित तलछट का आधुनिक फ़्लक्स लगभग $12.6\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष है, घुला फ़्लक्स लगभग $3.9\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष, $120\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$ की माध्य सांद्रता पर। (क) निलंबित और घुले फ़्लक्स का अनुपात क्या है? (ख) मानवीय प्रभाव से पहले निलंबित फ़्लक्स $14\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष था: बड़े जलाशय ($20\,\%$) और सारे जलाशय ($26\,\%$) कितना द्रव्यमान फँसाते हैं? (ग) घुले फ़्लक्स और उसकी सांद्रता नदी के जल का कितना वार्षिक आयतन सूचित करते हैं? तब निलंबित तलछट की माध्य सांद्रता ग्राम प्रति लीटर में क्या है?

हल

हल — अभ्यास 20.4.

(क) $12.6/3.9 = 3.2$: नदियाँ घुले की तुलना में निलंबन में लगभग तीन गुना अधिक ढोती हैं। (ख) बड़े जलाशय: $0.20 \times 14 = 2.8\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष; सारे: $0.26 \times 14 = 3.64\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष। (ग) घुला फ़्लक्स $3.9 \times 10^{15}\,\mathrm{g}$ प्रति वर्ष, $120\,\mathrm{g}\,\mathrm{m}^{-3}$ पर, इसलिए उसे ढोने वाला जल $3.9 \times 10^{15}/120 = 3.25 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ है, लगभग $32\,500\,\mathrm{km}^{3}$ प्रति वर्ष। उस जल में निलंबित भार $1.26 \times 10^{16}\,\mathrm{g}/3.25 \times 10^{16}\,\mathrm{L} = 0.39\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ है।

अभ्यास 20.5 ★★

सीमित चौड़ाई की नहर में गहराई-ढाल गुणनफल बन जाता है $\tau_b = \rho g R_h S$, जहाँ $R_h$ जल-त्रिज्या है, काट का क्षेत्रफल उसकी गीली परिधि से भाग देने पर। (क) $10\,\mathrm{m}$ चौड़ी और $2\,\mathrm{m}$ गहरी आयताकार नहर के लिए $R_h$ परिकलित कीजिए। (ख) $0.001$ ढाल पर तल कर्तन-प्रतिबल की तुलना उतनी ही गहराई की बहुत चौड़ी नहर से कीजिए। (ग) दिखाइए कि चौड़ाई बढ़ने पर $R_h \to h$।

हल

हल — अभ्यास 20.5.

(क) खंड का क्षेत्रफल $10 \times 2 = 20\,\mathrm{m}^{2}$ और गीली परिधि $10 + 2 \times 2 = 14\,\mathrm{m}$ है, इसलिए $R_h = 20/14 = 1.43\,\mathrm{m}$। (ख) $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 1.43 \times 0.001 = 14.0\,\mathrm{Pa}$, $2\,\mathrm{m}$ गहरी बहुत चौड़ी नहर के $19.6\,\mathrm{Pa}$ के मुकाबले: अनुपात $R_h/h = 0.714$ है, किनारे घर्षण का शेष भाग लेते हैं। (ग) चौड़ाई $b$ की आयताकार नहर के लिए, $R_h = bh/(b + 2h) = h/(1 + 2h/b)$, जो $h$ की ओर जाता है, जब $b$ बढ़ता है।

अभ्यास 20.6 ★★

(क) प्रतिज्ञप्ति 20.5 से दिखाइए कि स्टोक्स के नियम की सीमा $d_1$ $\nu^{2/3}$ के समानुपाती है। (ख) $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर जल की श्यानता $1.3059\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ और उसका घनत्व $999.7\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है; क्वार्ट्ज के लिए $d_1$ परिकलित कीजिए, यह जानते हुए कि वह $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $0.104\,\mathrm{mm}$ है, जहाँ $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($R$ के छोटे परिवर्तन की उपेक्षा कीजिए)। (ग) $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ की एक क्वार्ट्ज गाद-कण $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ की तुलना में $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर कितने गुना धीमे डूबता है? शीतकाल में एक नदी के लिए इसका क्या अर्थ है?

हल

हल — अभ्यास 20.6.

(क) $d_1 = \left(18\nu^2/(Rg)\right)^{1/3} = (18/(Rg))^{1/3}\,\nu^{2/3}$, और $R$ तथा $g$ श्यानता पर निर्भर नहीं करते। (ख) $\nu = 1.3059 \times 10^{-3}/999.7 = 1.306 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के $1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ के मुकाबले: अनुपात $1.302$ है, और $1.302^{2/3} = 1.192$, इसलिए $d_1 = 0.104 \times 1.192 = 0.124\,\mathrm{mm}$। (ग) स्टोक्स के क्षेत्र में $w_s$, $\nu$ का व्युत्क्रमानुपाती है: कण $1.302$ गुना धीमे डूबता है, लगभग $30\,\%$। ठंडा जल बारीक तलछट को निलंबन में अधिक देर रखता है: शीतकाल में एक नदी उसी प्रवाह के लिए अपनी गाद कुछ और दूर ले जाती है।

अभ्यास 20.7 ★★

$20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर जल में $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.5\,\mathrm{mm}$ और $2\,\mathrm{mm}$ के क्वार्ट्ज कणों के लिए, स्टोक्स के नियम से और संयुक्त नियम से अवसादन-वेग, और दोनों का अनुपात परिकलित कीजिए। प्रवृत्ति समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 20.7.

$R g/(18\nu) = 8.99 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ के साथ, और संयुक्त नियम से:

$d$	स्टोक्स ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	संयुक्त ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	अनुपात
$0.1\,\mathrm{mm}$	$8.99 \times 10^{-3}$	$7.53 \times 10^{-3}$	$1.19$
$0.5\,\mathrm{mm}$	$0.225$	$0.0711$	$3.16$
$2\,\mathrm{mm}$	$3.60$	$0.197$	$18.3$

अनुपात आकार के साथ बढ़ता है, क्योंकि कण रेनॉल्ड्स संख्या बढ़ती है: स्टोक्स का नियम, जो केवल छोटी रेनॉल्ड्स संख्याओं के लिए वैध है, $d^2$ के साथ बढ़ता है, जबकि पीछे की धारा का कर्षण मोटे कणों को उस वेग तक धीमा करता है जो केवल $\sqrt d$ के साथ बढ़ता है।

अभ्यास 20.8 ★★

(क) सॉल्सबी और व्हाइटहाउस के वक्र से, $0.2\,\mathrm{mm}$ और $20\,\mathrm{mm}$ के क्वार्ट्ज कणों के लिए क्रांतिक शील्ड्स प्राचल और क्रांतिक तल कर्तन-प्रतिबल परिकलित कीजिए। (ख) $0.002$ ढाल पर एक चौड़ी नहर में स्थिर बहता जल किस गहराई पर प्रत्येक देहली तक पहुँचता है?

हल

हल — अभ्यास 20.8.

(क) $(Rg/\nu^2)^{1/3} = 25\,263\,\mathrm{m}^{-1}$। $0.2\,\mathrm{mm}$ पर, $D_* = 5.05$ और $\theta_c = 0.3/7.06 + 0.055(1 - e^{-0.101}) = 0.0425 + 0.0053 = 0.0478$; $\tau_c = 0.0478 \times 16204 \times 2 \times 10^{-4} = 0.155\,\mathrm{Pa}$। $20\,\mathrm{mm}$ पर, $D_* = 505$ और $\theta_c = 0.3/607 + 0.055(1 - e^{-10.1}) = 0.0005 + 0.0550 = 0.0555$; $\tau_c = 0.0555 \times 16204 \times 0.02 = 18.0\,\mathrm{Pa}$। (ख) $h = \tau_c/(\rho g S)$ के साथ $\rho g S = 19.58\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$: $7.9\,\mathrm{mm}$ जल बालू को हिलाता है, $0.92\,\mathrm{m}$ बजरी को।

अभ्यास 20.9 ★★

एक $2000\,\mathrm{km}^{2}$ की द्रोणी हर वर्ष $0.6\,\mathrm{Mt}$ निलंबित और तल-भार और $0.2\,\mathrm{Mt}$ चट्टान-व्युत्पन्न घुला भार निर्यात करती है। उसकी विशिष्ट उपज और उसकी अपक्षरण-दर $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के चट्टान-घनत्व के लिए परिकलित कीजिए। उसकी तुलना बेरिलियम-10 से मापी गई द्रोणियों की माध्यिका से कैसे होती है?

हल

हल — अभ्यास 20.9.

द्रोणी $0.8\,\mathrm{Mt}$ = $8 \times 10^{5}\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष खोती है, या $8 \times 10^{5}/2000 = 400\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$। प्रतिज्ञप्ति 20.15 से, $D = 8 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/(2650 \times 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}) = 1.51 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ प्रति वर्ष, या $151\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$। यह बेरिलियम-10 से मापी गई द्रोणियों की माध्यिका $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ का लगभग तिगुना है, फिर भी उनके माध्य $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ से नीचे: एक काफ़ी तेज़ द्रोणी, जैसे तीखे या विवर्तनिक रूप से सक्रिय देश में।

अभ्यास 20.10 ★★★

एक चौड़ी नदी $3\,\mathrm{m}$ गहरी $5 \times 10^{-4}$ ढाल पर बहती है। (क) उसका कर्तन-वेग और तल कर्तन-प्रतिबल परिकलित कीजिए। (ख) प्रतिज्ञप्ति 20.12 और संयुक्त अवसादन-नियम से, सबसे बड़ा क्वार्ट्ज-कण ज्ञात कीजिए जिसे वह निलंबन में ढोती है। (ग) देहली-वक्र से, सबसे बड़ा कण ज्ञात कीजिए जिसे वह बिल्कुल हिलाती है। (घ) इस नदी के तल और उसके भार का वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 20.10.

(क) $u_* = \sqrt{g h S} = \sqrt{9.81 \times 3 \times 5 \times 10^{-4}} = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $\tau_b = \rho u_*^2 = 14.7\,\mathrm{Pa}$। (ख) निलंबन के लिए $w_s < u_* = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ चाहिए। संयुक्त नियम $1\,\mathrm{mm}$ पर $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है; $w_s(d) = 0.1213$ को प्रयोग से हल करने पर $d = 0.94\,\mathrm{mm}$ मिलता है। (ग) बजरी के लिए $\theta_c \approx 0.0555$, इसलिए $\tau_c = 14.7\,\mathrm{Pa}$ के लिए $d \approx 14.7/(0.0555 \times 16204) = 16.3\,\mathrm{mm}$; उस आकार पर देहली-वक्र सचमुच $\theta_c = 0.0555$ देता है। (घ) लगभग $16\,\mathrm{mm}$ से मोटे कण तल पर रहते हैं और एक स्थिर बजरी-फ़र्श बनाते हैं; बारीक बजरी और लगभग एक मिलीमीटर से मोटी बालू तल-भार के रूप में चलती हैं; बारीक बालू, गाद और मृत्तिका निलंबन में चलती हैं।

अभ्यास 20.11 ★★★

समस्थिति-साम्य में एक पठार को तब तक घाटियों से काटा जाता है जब तक घाटी-तलों के ऊपर का उसका $30\,\%$ आयतन हट न जाए; काटने से पहले वह भावी घाटी-तलों से $1000\,\mathrm{m}$ ऊपर एक समतल सतह के रूप में खड़ा था। $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ लीजिए। (क) हटाई गई चट्टान की माध्य मोटाई क्या है? (ख) समस्थिति से क्षेत्र कितना उठता है? (ग) माध्य सतह कितनी नीची हुई है? (घ) उन शिखरों का क्या हुआ जो अपरदित नहीं हुए?

हल

हल — अभ्यास 20.11.

(क) क्षेत्र पर औसतन $0.30 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,\mathrm{m}$ चट्टान। (ख) प्रत्यावर्तन $300 \times 2700/3300 = 245\,\mathrm{m}$ है। (ग) माध्य सतह केवल $300 - 245 = 55\,\mathrm{m}$ नीची हुई है। (घ) शिखर, जो अपरदित नहीं हुए, पूरे क्षेत्र के साथ ऊपर उठाए जाते हैं: अब वे पहले से $245\,\mathrm{m}$ ऊँचे खड़े हैं। घाटियाँ काटने से एक श्रेणी के शिखर उठ सकते हैं।

अभ्यास 20.12 ★★★

एक $50 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ का जलाशय हर वर्ष $0.5\,\mathrm{Mt}$ तलछट प्राप्त करता है और उसका $90\,\%$ रोकता है। निक्षेप, गीला और ढीला, $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ का थोक घनत्व रखता है। (क) वह हर वर्ष जलाशय का कितना आयतन, और कितना भाग, भरता है? (ख) इस दर पर जलाशय का आधा भरने में कितना समय लगेगा? (ग) जलाशय के पुराने होने पर आयतन की हानि आम तौर पर क्यों धीमी होती है?

हल

हल — अभ्यास 20.12.

(क) $0.9 \times 5 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 346\,000\,\mathrm{m}^{3}$ प्रति वर्ष, या जलाशय का $0.69\,\%$। (ख) जलाशय का आधा, $25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, इस दर पर $25 \times 10^{6}/346\,000 = 72\text{ वर्ष}$ में भरता है। (ग) जैसे-जैसे जलाशय भरता है, उसका आयतन, और इसलिए जल का आवास-काल, घटता है, और बारीक कण गुज़रते हैं: उसकी फँसाने की दक्षता गिरती है। इस बीच पुराने निक्षेप दबते और संहत होते हैं, पानी निकालते हैं, ताकि उनका थोक घनत्व बढ़े और हर टन कम जगह ले। दोनों प्रभाव आयतन की हानि को जलाशय के पुराने होने पर धीमा करते हैं।

20.6 समस्या: वार्डन हिल्स कितनी तेज़ी से घिस रही हैं?

समस्या 20.1

सप्ताहांत समस्या — वार्डन हिल्स की नदी, उसके भार से पहाड़ियों को घिसने में लगने वाले समय तक

वार्डन हिल्स की नदी $80\,\mathrm{km}^{2}$ की एक द्रोणी को ग्रेनाइट, शिस्ट और अवसादी चट्टानों से निकालती है। उसके निकास पर एक गॉजिंग स्टेशन $1.2\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ का माध्य निस्सरण दर्ज करता है; कई वर्षों के नमूनाकरण में, निलंबित तलछट की प्रवाह-भारित माध्य सांद्रता $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$ है, और चट्टानों से व्युत्पन्न घुले भार की $80\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$। तल-भार निलंबित भार के $10\,\%$ के रूप में आँका गया है। एक वर्ष $365.25$ दिन लीजिए, चट्टान का घनत्व $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, क्वार्ट्ज कणों का घनत्व $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, और $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर जल ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$)।

भाग I — भार।

1. औसत निस्सरण को अपवाह के रूप में व्यक्त कीजिए, द्रोणी पर हर वर्ष फैले जल की गहराई, मिलीमीटर में।
2. निलंबित तलछट का वार्षिक फ़्लक्स, टनों में, परिकलित कीजिए।
3. चट्टान से व्युत्पन्न घुले भार का वार्षिक फ़्लक्स परिकलित कीजिए।
4. तल-भार और कुल भार परिकलित कीजिए।
5. निलंबित तलछट की समय-माध्य सांद्रता $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$ से कहीं कम है। क्यों, और दोनों में से कौन-सी माध्य निस्सरण से गुणा होनी चाहिए, समझाइए।
6. कुल में से घुला भार कितना भाग बनाता है? विश्व की नदियों से तुलना कीजिए, जिनका घुला फ़्लक्स लगभग $3.9\,\mathrm{Gt}$ और निलंबित फ़्लक्स $12.6\,\mathrm{Gt}$ प्रति वर्ष है।

भाग II — अपक्षरण-दर।

7. द्रोणी की विशिष्ट तलछट-उपज परिकलित कीजिए।
8. उसकी अपक्षरण-दर, मीटर प्रति दस लाख वर्ष में, परिकलित कीजिए।
9. उसकी तुलना बेरिलियम-10 से मापी गई द्रोणियों की माध्यिका, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ से कीजिए। द्रोणी तेज़ है या धीमी?
10. निकास पर की बालू पर एक बेरिलियम-10 माप उसी क्रम की दर देता है। गॉजिंग और बेरिलियम किन कालखंडों का माध्य लेते हैं, और वे भिन्न क्यों हो सकते हैं?
11. घुले भार का केवल चट्टान-व्युत्पन्न भाग ही क्यों गिना जाना चाहिए?

भाग III — एक जलाशय। निकास पर एक बाँध प्रस्तावित है, जो $8\,\mathrm{m}$ माध्य गहराई के साथ $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ का जलाशय रोकेगा।

12. जलाशय में जल का माध्य आवास-काल कितने दिनों में है?
13. $0.1\,\mathrm{mm}$ की एक क्वार्ट्ज बालू का कण, सतह पर प्रवेश करता हुआ, तल तक डूबने में कितना समय लेता है (संयुक्त नियम)?
14. $0.02\,\mathrm{mm}$ के एक गाद-कण के लिए वही प्रश्न, स्टोक्स के नियम से।
15. $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ के एक मृत्तिका-कण के लिए वही प्रश्न। क्या वह फँसता है?
16. सबसे बारीक कण कौन-सा है जो आवास-काल के भीतर पूरी गहराई से डूब जाता है?
17. मान लीजिए तल-भार और निलंबित भार का $70\,\%$ फँसते हैं, शेष बारीक मृत्तिका होने के नाते, और निक्षेप का थोक घनत्व $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है। हर वर्ष वह कितना आयतन भरता है, जलाशय का कितना भाग, और आधा भरने में कितना समय?

भाग IV — पहाड़ियों को घिसना।

18. प्रश्न 8 की अपक्षरण-दर पर, यदि और कुछ न हो, पहाड़ियों को $100\,\mathrm{m}$ नीचे लाने में कितना समय लगेगा?
19. $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, समस्थिति के समायोजित होने पर माध्य सतह हटाई गई मोटाई के किस भाग से नीचे आती है?
20. माध्य सतह को $100\,\mathrm{m}$ नीचे लाने के लिए कितनी चट्टान हटानी होगी?
21. यदि अपरदन घाटियों में केंद्रित है, तो उस समय के दौरान सबसे ऊँचे शिखरों का क्या होता है?
22. आज की दर लाखों वर्षों तक स्थिर क्यों रहने की संभावना नहीं है, और वह किस दिशा में बदलेगी?
23. लाखों वर्षों में, तीन अंकों तक, आज की दर पर और समस्थितिक प्रत्यावर्तन के साथ, वार्डन हिल्स को $100\,\mathrm{m}$ नीचे लाने में कितना समय लगता है?

हल

हल — समस्या 20.1.

1. एक वर्ष के जल का आयतन $1.2 \times 3.156 \times 10^{7} = 3.79 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$ है; $8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ पर फैला, एक $0.473\,\mathrm{m}$ परत: $473\,\mathrm{mm}$ प्रति वर्ष का अपवाह।

2. $1.2 \times 0.150\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 0.18\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, या $5680\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष।

3. $1.2 \times 0.080 = 0.096\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, या $3030\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष।

4. तल-भार $568\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष है, और कुल $5680 + 3030 + 568 = 9278\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष।

5. निलंबित तलछट की सांद्रता बाढ़ के कुछ दिनों में ऊँची होती है, जब निस्सरण भी ऊँचा होता है, और बाकी समय कम। एक समय-माध्य हर दिन को समान भार देता है, इसलिए वह कम निस्सरण और कम सांद्रता के बहुत दिनों से प्रभावित होता है। प्रतिज्ञप्ति 20.2 से वार्षिक द्रव्यमान $\int Q\,C\,\mathrm dt$ है; प्रवाह-भारित माध्य यह समाकल $\int Q\,\mathrm dt$ से भाग देने पर है, इसलिए वही प्रवाह-भारित माध्य है जिसे माध्य निस्सरण से गुणा करना चाहिए।

6. $3030/9278 = 0.33$, एक तिहाई। विश्व की नदियों के लिए, $3.9/(12.6 + 3.9) = 0.24$, और यदि तल-भार गिना जाता तो और कम। द्रोणी का भाग अधिक है: नीची पहाड़ियाँ, जहाँ धीमा यांत्रिक अपरदन चट्टान को घुलने का समय देता है, और चूना-पत्थर तथा खड़िया, जो पूरी तरह घुलते हैं।

7. $9278/80 = 116\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

8. $D = 9.278 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/(2700 \times 8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}) = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ प्रति वर्ष, $43.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$।

9. $43.0/54 = 0.80$: विमापित द्रोणियों की माध्यिका से थोड़ा नीचे, और उनके माध्य से पाँच गुना नीचे। एक मध्यम धीमी द्रोणी, जैसी शांत क्षेत्र की नीची पहाड़ियों से अपेक्षित।

10. गॉजिंग कुछ वर्षों के मापन पर माध्य करती है, और उन बाढ़ों पर निर्भर करती है जो उनमें हुईं। बेरिलियम-10 उन कुछ मीटरों के समय पर माध्य करता है जिनमें वह उत्पन्न होता है: $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ पर, हर मीटर $23\,000$ वर्ष लेता है, इसलिए माध्य दसियों हज़ार वर्षों को समेटता है। वे भिन्न हो सकते हैं, दुर्लभ बड़ी बाढ़ों के कारण जो एक छोटे अभिलेख से छूट जाती हैं, इसलिए कि खेती और सफ़ाई ने पिछली सदियों में अपरदन बढ़ाया है, और इसलिए कि तलछट बाढ़-मैदान में संचित होती है और वहाँ से वापस ली जाती है।

11. घुले भार का एक भाग चट्टान से नहीं आता: बाइकार्बोनेट का बहुत-सा भाग हवा या मिट्टी से लिया कार्बन ढोता है, और वर्षा समुद्री लवण लाती है। उन्हें गिनने से द्रोणी को उस चट्टान का श्रेय मिलता जो उसने नहीं खोई। 12. $1.5 \times 10^{6}/1.2 = 1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $14.5$ दिन।

13. संयुक्त नियम $7.53 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है: कण $8\,\mathrm{m}$ गिरता है $1062\,\mathrm{s}$ में, लगभग $18\,\mathrm{min}$। वह फँसता है।

14. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (2 \times 10^{-5})^2 = 3.60 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ $22\,200\,\mathrm{s}$ में, लगभग $6.2$ घंटे। फँसता है।

15. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (1 \times 10^{-6})^2 = 8.99 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ $8.9 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ लेता है, $103$ दिन, आवास-काल का सात गुना। अधिकांश पानी के साथ बाँध से गुज़र जाता है।

16. कण को $8\,\mathrm{m}$ $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ में गिरना होगा, कम से कम $6.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर। स्टोक्स के नियम से $d = \sqrt{18\nu w_s/(Rg)} = \sqrt{6.4 \times 10^{-6}/8.99 \times 10^{5}} = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}$: एक बारीक मृत्तिका। मोटे कण जहाँ भी प्रवेश करते हैं वहीं फँसते हैं।

17. $568 + 0.7 \times 5680 = 4544\,\mathrm{t}$ प्रति वर्ष, जो $4.544 \times 10^{6}/1300 = 3496\,\mathrm{m}^{3}$ प्रति वर्ष भरता है, जलाशय का $0.233\,\%$। उसका आधा, $7.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$, लगभग $215$ वर्षों में भरता है।

18. $100/43.0 = 2.33\,\mathrm{Myr}$।

19. $1 - 2700/3300 = 0.18$: सतह केवल हटाई गई मोटाई के $18\,\%$ तक नीचे आती है।

20. $100/0.1818 = 550\,\mathrm{m}$ चट्टान।

21. पूरा क्षेत्र $550 \times 2700/3300 = 450\,\mathrm{m}$ प्रत्यावर्तन से उठता है। लगभग अपरदित न हुए शिखर उसके साथ $450\,\mathrm{m}$ तक ऊपर उठाए जाते हैं, जबकि घाटियाँ गहरी होती हैं: उच्चावच घटने से पहले बढ़ता है।

22. अपक्षरण-दर सबसे अधिक ढलानों पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे पहाड़ियाँ नीची होती हैं और उनकी ढलानें ढीली पड़ती हैं, दर घटेगी, जब तक उत्थान या जलवायु का बदलना उन्हें फिर से तीखा न करे: आज की दर से परिकलित समय एक निचली सीमा है।

23. $550/42.95 = 12.80$। आज की दर पर और समस्थितिक प्रत्यावर्तन के साथ, वार्डन हिल्स को $100\,\mathrm{m}$ नीचे लाने में 12.8 दस लाख वर्ष लगते हैं।