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विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 1 · স্নাতক প্রথম বর্ষ

1गोलीय खगोल विज्ञान

किसी कस्बे से दूर एक साफ़ रात में आकाश की ओर इंगित एक दीर्घ-अनावरण कैमरा तारों को ऐसे वृत्त-चापों के रूप में दर्ज करता है जो सभी एक ही, कभी न हिलने वाले बिंदु के चारों ओर होते हैं। जो तारा आज रात नौ बजे पूर्व में उगा, वह कल लगभग पाँच मिनट कम नौ बजे फिर उगेगा, और उसके बाद हर रात थोड़ा पहले। दोपहर को सूर्य जून में दिसंबर की तुलना में ऊँचा दिखता है, और सुदूर उत्तर में मध्य-ग्रीष्म में वह बिल्कुल अस्त नहीं होता। यह सब पृथ्वी के अपने अक्ष पर घूमने और सूर्य के चारों ओर उसकी कक्षा का, ज़मीन से देखा गया रूप है। इसका वर्णन करने के लिए खगोलविद और भूवैज्ञानिक को एक गोले पर निर्देशांक, उस पर खिंचे त्रिभुजों की त्रिकोणमिति, और ऐसी घड़ियाँ चाहिए जो तारों या सूर्य के साथ क़दम मिलाकर चलें। यह अध्याय ये औज़ार बनाता है। ये प्लेट गतिकी (अध्याय 12) में लौटते हैं, जहाँ प्लेटें गोले पर घूमती हैं, और जलवायु के अध्यायों (अध्याय 27) में, जहाँ किसी अक्षांश को मिलने वाला सूर्यप्रकाश पवनों और धाराओं को चलाता है।

पहले से ज्ञात

पृथ्वी एक दिन में एक बार अपने अक्ष पर घूमती है और एक वर्ष में एक बार सूर्य के चारों ओर एक ऐसी कक्षा पर जाती है जो लगभग वृत्त है; उसका अक्ष कक्षा के सापेक्ष झुका है, और इसी से ऋतुएँ बनती हैं (भौतिकी की पुस्तकें, कक्षा 6 और 12; केप्लर के नियम भौतिकी की प्रथम-वर्ष की पुस्तक से स्मरण किए जाते हैं)। पृथ्वी पर किसी बिंदु का स्थान उसके अक्षांश और देशांतर से तय होता है (पुस्तक 1, कक्षा 6)। इकाई लंबाई का सदिश दो कोणों से निश्चित होता है, जैसे गोलीय निर्देशांकों में; दो इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण की कोज्या है, और सदिश त्रिक गुणनफल $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ तीनों सदिशों के चक्रीय क्रमचय से अपरिवर्तित रहता है।

1.1 गोलीय त्रिभुज

परिभाषा 1.1 (महावृत्त, गोलीय त्रिभुज)

गोले का एक महावृत्त उसका वह प्रतिच्छेद है जो उसके केंद्र से होकर जाने वाले किसी समतल के साथ बनता है; कोई भी दूसरा समतल-काट लघु वृत्त कहलाता है। किन्हीं दो बिंदुओं से, जो व्यासतः विपरीत न हों, ठीक एक महावृत्त गुज़रता है, और उसके दो चापों में से छोटा चाप गोले पर उन बिंदुओं के बीच सबसे छोटा पथ है। एक गोलीय त्रिभुज गोले के तीन बिंदुओं से बनी आकृति है, जिसके शीर्ष $A$ , $B$ , $C$ हैं और जो $180{}^{\circ}$ से कम के महावृत्त-चापों से जुड़े हैं। उसकी भुजाएँ $a$ , $b$ , $c$ ( $A$ , $B$ , $C$ के सम्मुख) केंद्र पर अंतरित कोणों से मापी जाती हैं; उसके कोण $A$ , $B$ , $C$ वे कोण हैं जो हर शीर्ष पर मिलने वाली भुजाओं के समतलों के बीच बनते हैं।

त्रिज्या $R$ वाले गोले पर $a$ रेडियन की एक भुजा की लंबाई $Ra$ है। हर भुजा और हर कोण $0$ और $\pi$ के बीच होता है।

गोले पर एक गोलीय त्रिभुज ABC, जिसका केंद्र O है। भुजाएँ a, b, c महावृत्तों के चाप हैं, जिन्हें कोण BOC, COA, AOB से मापा जाता है; कोण A (लाल) वह कोण है जो A पर मिलने वाली दो भुजाओं के बीच है। बनाए गए त्रिभुज में a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 हैं और कोण 89.9, 64.9 और 67.4 हैं, जिनका योग 180 से अधिक है। — गोले पर एक गोलीय त्रिभुज $ABC$ , जिसका केंद्र $O$ है। भुजाएँ $a$ , $b$ , $c$ महावृत्तों के चाप हैं, जिन्हें कोण $BOC$ , $COA$ , $AOB$ से मापा जाता है; कोण $A$ (लाल) वह कोण है जो $A$ पर मिलने वाली दो भुजाओं के बीच है। बनाए गए त्रिभुज में $a = 78.6{}^{\circ}$ , $b = 62.6{}^{\circ}$ , $c = 64.8{}^{\circ}$ हैं और कोण $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ और $67.4{}^{\circ}$ हैं, जिनका योग $180{}^{\circ}$ से अधिक है।

प्रमेय 1.2 (कोज्या नियम)

किसी गोलीय त्रिभुज में,

\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .

उपपत्ति. इकाई गोले पर काम कीजिए और अक्ष ऐसे चुनिए कि $A$ ध्रुव पर हो: $\vec A = (0, 0, 1)$ , और समतल $xz$ जिसमें $B$ है: $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$ , क्योंकि $B$ की दूरी $c$ है, $A$ से। बिंदु $C$ की दूरी $b$ है, जो $A$ से नापी जाती है, और वह $A$ से होकर जाने वाले महावृत्त पर है जो कोण $A$ बनाता है, समतल $xz$ के साथ: $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$ । भुजा $a$ , $\vec B$ और $\vec C$ के बीच का कोण है, इसलिए

\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere

∎

प्रमेय 1.3 (ज्या नियम)

किसी गोलीय त्रिभुज में,

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.

उपपत्ति. पिछली उपपत्ति के सदिशों के साथ, उसी तर्क से हम पाते हैं $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\ \sin c\sin b\sin A)$ , इसलिए त्रिक गुणनफल है $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$ । त्रिक गुणनफल $A$ , $B$ , $C$ के चक्रीय क्रमचय पर अपरिवर्तित रहता है; $B$ , फिर $C$ , को ध्रुव पर रखने से उसी तरह $\sin c\sin a\sin B$ और $\sin a\sin b\sin C$ मिलते हैं। तीनों व्यंजक बराबर हैं; $\sin a\sin b\sin c$ से भाग देने पर नियम मिल जाता है। ∎

जब भुजाएँ त्रिज्या की तुलना में छोटी हों, तब $\cos a \approx 1 - a^2/2$ और $\sin a \approx a$ होता है, और दोनों नियम समतल त्रिभुजों के कोज्या और ज्या नियम बन जाते हैं: इतने छोटे खंड पर गोला समतल होता है। बड़े त्रिभुज पर ऐसा नहीं होता: गोलीय त्रिभुज के कोणों का योग $180{}^{\circ}$ से अधिक होता है (अभ्यास 1.12)।

विधि 1.4 (गोले पर दूरी और दिशा)

दो स्थानों के, जिनके अक्षांश $\varphi_1$ , $\varphi_2$ और देशांतर $\lambda_1$ , $\lambda_2$ हैं, बीच की न्यूनतम दूरी और वह दिशा ज्ञात करने के लिए, जिसमें आगे बढ़ना है:

उत्तरी ध्रुव $P$ और दोनों स्थानों के शीर्षों वाला त्रिभुज बनाइए; ध्रुव से निकलने वाली उसकी भुजाएँ सह-अक्षांश $90{}^{\circ} - \varphi_1$ और $90{}^{\circ} - \varphi_2$ हैं, और ध्रुव पर उसका कोण देशांतर का अंतर $\Delta\lambda$ है;
कोज्या नियम कोणीय दूरी $\Delta$ देता है: $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; दूरी $R\Delta$ है ( $\Delta$ रेडियन में);
पहले स्थान पर त्रिभुज का कोण वह है जो उसके सम्मुख भुजा पर कोज्या नियम लगाने से मिलता है: $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos \mathrm{Az}$ , और यह उत्तर से दूसरे स्थान की ओर मापा जाता है।

महावृत्त के अनुदिश दिशा बदलती रहती है (किसी याम्योत्तर या विषुवत रेखा के अनुदिश के अतिरिक्त): जो जहाज़ या विमान एक ही कंपास-दिशा बनाए रखता है, वह एक दूसरे, लंबे वक्र पर चलता है।

1.2 खगोलीय निर्देशांक

परिभाषा 1.5 (अक्षांश और देशांतर)

मान लीजिए कि पृथ्वी अपने ध्रुवीय अक्ष पर घूमता हुआ एक गोला है। किसी बिंदु का अक्षांश $\varphi$ वह कोण है जो विषुवत तल और उस बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच बनता है; यह $-90{}^{\circ}$ (दक्षिण ध्रुव) से $+90{}^{\circ}$ (उत्तर ध्रुव) तक मापा जाता है। उसका देशांतर $\lambda$ वह कोण है जो विषुवत तल में मापा जाता है और जो बिंदु के याम्योत्तर-अर्धतल तथा एक संदर्भ याम्योत्तर के बीच बनता है, जो ग्रीनविच से गुज़रता है; यह पूर्व की ओर धनात्मक गिना जाता है, $-180{}^{\circ}$ से $180{}^{\circ}$ तक।

वास्तव में पृथ्वी थोड़ी चपटी है; मानचित्रों और आकाश के लिए प्रयुक्त अक्षांश स्थानीय ऊर्ध्वाधर और विषुवत तल के बीच का कोण है, जो केंद्र से मापे गए कोण से अधिकतम $0.2{}^{\circ}$ भिन्न है (अध्याय 11)। समान अक्षांश की रेखाएँ, अर्थात् समांतर, लघु वृत्त हैं; याम्योत्तर महावृत्तों के अर्ध-भाग हैं।

परिभाषा 1.6 (खगोलीय गोला)

खगोलीय गोला एक काल्पनिक गोला है जिसका केंद्र प्रेक्षक पर होता है, और जिस पर हर तारा अपनी दिशा में रखा जाता है; केवल दिशाएँ मायने रखती हैं, दूरियाँ नहीं। पृथ्वी के अक्ष की बढ़ाइयाँ इसे उत्तरी और दक्षिणी खगोलीय ध्रुवों पर काटती हैं; पृथ्वी के विषुवत तल का समतल इसे खगोलीय विषुवत रेखा के साथ काटता है। खमध्य ठीक ऊपर का बिंदु है, स्थानीय ऊर्ध्वाधर के अनुदिश; क्षितिज वह महावृत्त है जो खमध्य से $90{}^{\circ}$ दूर है। स्थानीय याम्योत्तर वह महावृत्त है जो खमध्य और खगोलीय ध्रुवों से होकर जाता है; वह उत्तर और दक्षिण बिंदुओं पर क्षितिज को काटता है।

जैसे-जैसे पृथ्वी पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, खगोलीय गोला उलटी दिशा में, अर्थात् पूर्व से पश्चिम की ओर, खगोलीय ध्रुवों के अक्ष पर घूमता प्रतीत होता है, और एक दिन से थोड़े कम समय में एक चक्कर लगाता है। तारे अपनी सापेक्ष स्थितियाँ बनाए रखते हैं: वे इतनी दूर हैं कि सूर्य के चारों ओर एक वर्ष की यात्रा उनकी दिशाओं को एक चाप-सेकंड से कम बदलती है (अध्याय 2)।

परिभाषा 1.7 (क्षैतिज निर्देशांक)

किसी तारे का उन्नतांश $h$ क्षितिज के ऊपर उसका कोण है, जो $-90{}^{\circ}$ से $90{}^{\circ}$ तक है; उसकी खमध्य-दूरी $z = 90{}^{\circ} - h$ है। उसका दिगंश $\mathrm{A}$ वह कोण है, जो क्षितिज के अनुदिश उत्तर बिंदु से तारे के ऊर्ध्वाधर वृत्त के पाद तक मापा जाता है, जो पूर्व से होकर $0{}^{\circ}$ से $360{}^{\circ}$ तक गिना जाता है।

क्षैतिज निर्देशांक प्रेक्षक के होते हैं: वे स्थान और समय के साथ बदलते हैं। आकाश के अपने निर्देशांक उसके घूर्णन के साथ चलते हैं।

परिभाषा 1.8 (विषुवतीय निर्देशांक)

किसी तारे की क्रांति $\delta$ खगोलीय विषुवत रेखा से उसका कोण है, जो उत्तर की ओर धनात्मक है, $-90{}^{\circ}$ से $90{}^{\circ}$ तक। तारे और खगोलीय ध्रुवों से होकर जाने वाला महावृत्त उसका घंटा-वृत्त है। तारे का घंटा कोण $H$ वह कोण है जो खगोलीय ध्रुव पर स्थानीय याम्योत्तर और तारे के घंटा-वृत्त के बीच बनता है, पश्चिम की ओर गिना जाता है, घंटों में, जहाँ एक घंटा $15{}^{\circ}$ के बराबर है। ऋजु आरोहण $\alpha$ खगोलीय विषुवत रेखा के अनुदिश आकाश के एक निश्चित बिंदु, वसंत विषुव-बिंदु (परिभाषा 1.12) से तारे के घंटा-वृत्त तक का कोण है, जो पूर्व की ओर गिना जाता है, वह भी घंटों में।

क्रांति और ऋजु आरोहण आकाश में स्थिर रहते हैं, जैसे पृथ्वी पर अक्षांश और देशांतर; तारा-सूचियाँ इन्हें सूचीबद्ध करती हैं। क्रांति शब्द यहाँ केवल इसी खगोलीय अर्थ में प्रयुक्त है; भौगोलिक उत्तर और दिक्सूचक के उत्तर के बीच का कोण सदैव चुंबकीय विचलन कहलाता है (अध्याय 6)।

प्रतिज्ञप्ति 1.9 (विषुवतीय से क्षैतिज निर्देशांक)

अक्षांश $\varphi$ पर, क्रांति $\delta$ और घंटा कोण $H$ वाले किसी तारे का उन्नतांश और दिगंश नीचे दिए सूत्रों से मिलता है:

\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H, \qquad \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},

जहाँ $\mathrm{A}$ का मान तारे के याम्योत्तर के पूर्व होने पर $0{}^{\circ}$ और $180{}^{\circ}$ के बीच होता है ( $\sin H < 0$ ), और पश्चिम होने पर $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ होता है। विशेष रूप से, उत्तरी खगोलीय ध्रुव का उन्नतांश अक्षांश के बराबर होता है।

उपपत्ति. उत्तरी खगोलीय ध्रुव $P$ , खमध्य $Z$ और तारे $X$ से बने त्रिभुज (खगोलीय, या स्थिति, त्रिभुज) पर विचार कीजिए। स्थानीय ऊर्ध्वाधर विषुवत तल के साथ कोण $\varphi$ बनाता है, इसलिए $PZ = 90{}^{\circ} - \varphi$ ; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$ ; $ZX = 90{}^{\circ} - h$ । $P$ पर कोण घंटा कोण $H$ है; $Z$ पर कोण उत्तर से मापा गया तारे का दिगंश है (याम्योत्तर के पूर्व या पश्चिम)। $ZX$ भुजा पर, जो $P$ के सम्मुख है, कोज्या नियम देता है $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) + \sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$ , यह पहला सूत्र है। $PX$ भुजा पर, जो $Z$ के सम्मुख है, कोज्या नियम देता है $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$ , यह दूसरा। ध्रुव के लिए $\delta = 90{}^{\circ}$ है और पहला सूत्र $\sin h = \sin\varphi$ पढ़ा जाता है। ∎

अक्षांश 45 उ पर आकाश, पश्चिम से देखा गया, उत्तर बाईं ओर। उत्तरी खगोलीय ध्रुव P उत्तर बिंदु के ऊपर अक्षांश के बराबर उन्नतांश पर है (लाल: खगोलीय ध्रुवों का अक्ष); खगोलीय विषुवत रेखा (नीली) पूर्व और पश्चिम बिंदुओं पर क्षितिज को काटती है। 25 क्रांति वाला एक तारा X है, जो याम्योत्तर पार करने के बाद तीन घंटे बीस मिनट पर है, अर्थात् घंटा कोण 50 पर, और उसका उन्नतांश h = 45.3 और दिगंश 261 है (हरा: उसका ऊर्ध्वाधर वृत्त, खमध्य Z से क्षितिज तक); उसका घंटा-वृत्त (बिंदु-रेखा) ध्रुव से तारे के बीच होकर विषुवत रेखा तक जाता है। गणना से की गई है। — अक्षांश $45{}^{\circ}$ उ पर आकाश, पश्चिम से देखा गया, उत्तर बाईं ओर। उत्तरी खगोलीय ध्रुव $P$ उत्तर बिंदु के ऊपर अक्षांश के बराबर उन्नतांश पर है (लाल: खगोलीय ध्रुवों का अक्ष); खगोलीय विषुवत रेखा (नीली) पूर्व और पश्चिम बिंदुओं पर क्षितिज को काटती है। $25{}^{\circ}$ क्रांति वाला एक तारा $X$ है, जो याम्योत्तर पार करने के बाद तीन घंटे बीस मिनट पर है, अर्थात् घंटा कोण $50{}^{\circ}$ पर, और उसका उन्नतांश $h = 45.3{}^{\circ}$ और दिगंश $261{}^{\circ}$ है (हरा: उसका ऊर्ध्वाधर वृत्त, खमध्य $Z$ से क्षितिज तक); उसका घंटा-वृत्त (बिंदु-रेखा) ध्रुव से तारे के बीच होकर विषुवत रेखा तक जाता है। गणना प्रतिज्ञप्ति 1.9 से की गई है।

प्रतिज्ञप्ति 1.10 (याम्योत्तर-पारण और परिध्रुवीय तारे)

अक्षांश $\varphi$ पर क्रांति $\delta$ वाला तारा याम्योत्तर को ( $H = 0$ ) उन्नतांश $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ पर पार करता है; यदि $\delta < \varphi$ तो खमध्य के दक्षिण में, और यदि $\delta > \varphi$ तो उत्तर में। उत्तरी गोलार्ध ( $\varphi > 0$ ) में वह कभी अस्त नहीं होता यदि $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$ हो, और कभी उदय नहीं होता यदि $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$ हो।

उपपत्ति. $H = 0$ के लिए, $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta = \cos(\varphi - \delta)$ , इसलिए $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ । न्यूनतम उन्नतांश, $H = 180{}^{\circ}$ पर, $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$ को संतुष्ट करता है; यह धनात्मक होता है जब $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$ । तारा क्षितिज के नीचे रहता है जब उसका अधिकतम उन्नतांश भी ऋणात्मक हो, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$ । ∎

परिभाषा 1.11 (परिध्रुवीय तारा)

एक परिध्रुवीय तारा वह तारा है जो प्रेक्षक के अक्षांश पर कभी अस्त नहीं होता: वह खगोलीय ध्रुव के चारों ओर घूमता है, याम्योत्तर को ध्रुव के ऊपर पार करता है और बारह नाक्षत्र घंटे बाद उसके नीचे।

अटाकामा मरुस्थल में पैरानाल वेधशाला के ऊपर तारों के पथ, अक्षांश 24.6 दक्षिण पर: एक दीर्घ-अनावरण हर तारे का दक्षिण खगोलीय ध्रुव के चारों ओर चाप दर्ज करता है, जो दक्षिणी क्षितिज से 24.6 ऊपर है। फ़ोटो: वेसन/ESO, CC BY 4.0। — अटाकामा मरुस्थल में पैरानाल वेधशाला के ऊपर तारों के पथ, अक्षांश $24.6{}^{\circ}$ दक्षिण पर: एक दीर्घ-अनावरण हर तारे का दक्षिण खगोलीय ध्रुव के चारों ओर चाप दर्ज करता है, जो दक्षिणी क्षितिज से $24.6{}^{\circ}$ ऊपर है। फ़ोटो: वेसन/ESO, CC BY 4.0।

1.3 नाक्षत्र काल और सौर काल

परिभाषा 1.12 (क्रांतिवृत्त)

क्रांतिवृत्त खगोलीय गोले का वह महावृत्त है जिसके अनुदिश सूर्य एक वर्ष में चलता प्रतीत होता है; वह पृथ्वी की कक्षा के तल का प्रक्षेप है। वह खगोलीय विषुवत रेखा से क्रांतिवृत्त की तिर्यकता $\varepsilon$ पर झुका है, जो पृथ्वी के अक्ष का अपनी कक्षा के सापेक्ष झुकाव है। क्रांतिवृत्त विषुवत रेखा को दो बिंदुओं पर काटता है; वसंत विषुव-बिंदु $\gamma$ वह है जहाँ सूर्य मार्च में विषुवत रेखा को उत्तर की ओर पार करता है। सूर्य का क्रांतिवृत्तीय देशांतर $\lambda_\odot$ क्रांतिवृत्त के अनुदिश $\gamma$ से पूर्व की ओर गिना गया उसका कोण है।

आज तिर्यकता $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ है।

परिभाषा 1.13 (नाक्षत्र काल)

स्थानीय नाक्षत्र काल वसंत विषुव-बिंदु $\gamma$ का घंटा कोण है। एक नाक्षत्र दिवस $\gamma$ के दो बार याम्योत्तर पार करने के बीच का अंतराल है।

चूँकि ऋजु आरोहण $\gamma$ से पूर्व की ओर और घंटा कोण याम्योत्तर से पश्चिम की ओर गिना जाता है, हर तारे के लिए

H = \mathrm{LST} - \alpha ,

जहाँ LST स्थानीय नाक्षत्र काल है: कोई तारा तब याम्योत्तर पार करता है जब नाक्षत्र काल उसके ऋजु आरोहण के बराबर हो। नाक्षत्र काल दिखाने वाली वेधशाला की घड़ी एक नज़र में बता देती है कि आकाश का कौन-सा भाग सिर पर है।

प्रतिज्ञप्ति 1.14 (नाक्षत्र और सौर दिवस)

एक उष्णकटिबंधीय वर्ष में, जिसमें $N$ माध्य सौर दिवस हैं, पृथ्वी तारों के सापेक्ष $N + 1$ बार घूमती है। अतः नाक्षत्र दिवस की अवधि

\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},

होती है, और $N = 365.2422$ पर यह $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$ है: कोई तारा हर दिन माध्य सौर समय में $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ पहले याम्योत्तर पार करता है।

उपपत्ति. तारों और सूर्य के सापेक्ष एक वर्ष में घुमावों की गिनती कीजिए। सूर्य एक वर्ष में क्रांतिवृत्त के अनुदिश पूर्व की ओर एक बार घूमता है, पृथ्वी के घूर्णन की दिशा में। अतः सूर्य के सापेक्ष पृथ्वी तारों के सापेक्ष की तुलना में एक घुमाव कम करती है: $N$ सौर दिवस और $N + 1$ नाक्षत्र दिवस एक ही वर्ष को भरते हैं। नाक्षत्र दिवस एक सौर दिवस का $N/(N+1)$ है, अर्थात् $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$ ; अंतर $235.9\,\mathrm{s}$ है। यह तारों के सापेक्ष पृथ्वी के मापित घूर्णन काल, $23.9345\,\mathrm{h}$ , से मेल खाता है। ∎

परिभाषा 1.15 (सौर काल)

स्पष्ट सौर काल सूर्य के घंटा कोण के बराबर होता है, जमा 12 घंटे: धूपघड़ी उसे दिखाती है, और जब सूर्य याम्योत्तर पार करता है तब दोपहर होती है। माध्य सौर काल एक काल्पनिक माध्य सूर्य का घंटा कोण है, जमा 12 घंटे, जो खगोलीय विषुवत रेखा के अनुदिश एक समान गति से चलता है और एक उष्णकटिबंधीय वर्ष में एक चक्कर पूरा करता है। उनका अंतर, स्पष्ट घटा माध्य, समय का समीकरण है।

वास्तविक सूर्य माध्य सूर्य से दो कारणों से आगे और पीछे चलता है। पृथ्वी उपसौर पर, जनवरी के आरंभ में, अपसौर की तुलना में तेज़ चलती है, इसलिए क्रांतिवृत्त के अनुदिश सूर्य की प्रगति असमान है (केप्लर का दूसरा नियम); और सूर्य ऐसे क्रांतिवृत्त पर चलता है जो विषुवत रेखा से झुका है, इसलिए क्रांतिवृत्त के अनुदिश एक समान गति भी विषुवत रेखा पर, जिसे घंटा कोण मापता है, असमान रूप से प्रक्षिप्त होती है, अयनांतों के पास तेज़ और विषुवों के पास धीमी। घड़ियाँ अपने समय-क्षेत्र के एक संदर्भ याम्योत्तर पर माध्य सौर काल रखती हैं; देशांतर $\lambda$ पर स्थानीय माध्य समय ग्रीनविच के समय से $\lambda/15{}^{\circ}$ घंटे आगे है।

वर्ष भर का समय का समीकरण (स्पष्ट घटा माध्य सौर काल): धूपघड़ी नवंबर के आरंभ में अधिकतम 16.4\, min आगे और फ़रवरी के मध्य में 14.2\, min पीछे होती है। गणना 0.0167 उत्केंद्रता, 23.44 तिर्यकता, उपसौर के देशांतर और 2026 के मार्च विषुव की तिथि वाली केप्लर कक्षा से की गई है। — वर्ष भर का समय का समीकरण (स्पष्ट घटा माध्य सौर काल): धूपघड़ी नवंबर के आरंभ में अधिकतम $16.4\,\mathrm{min}$ आगे और फ़रवरी के मध्य में $14.2\,\mathrm{min}$ पीछे होती है। गणना 0.0167 उत्केंद्रता, $23.44{}^{\circ}$ तिर्यकता, उपसौर के देशांतर और 2026 के मार्च विषुव की तिथि वाली केप्लर कक्षा से की गई है।

1.4 उदय, अस्त और सूर्य

प्रतिज्ञप्ति 1.16 (उदय और अस्त)

अक्षांश $\varphi$ पर, क्रांति $\delta$ वाला एक तारा जो उगता और अस्त होता है, क्षितिज को घंटा कोणों $\pm H_0$ पर पार करता है, जहाँ

\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,

दिगंश $\mathrm{A}_0$ पर, जहाँ $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (उदय के समय; वह $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$ पर अस्त होता है)। वह $2H_0$ के बराबर अवधि तक क्षितिज के ऊपर रहता है, जिसे $15{}^{\circ}$ प्रति घंटे पर घंटों में बदला जाता है।

उपपत्ति. क्षितिज पर $h = 0$ है, और प्रतिज्ञप्ति 1.9 देता है $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$ , और $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ । घंटा कोण $15{}^{\circ}$ प्रति घंटे की दर से एक समान बढ़ता है, उदय पर $-H_0$ से अस्त पर $+H_0$ तक। ∎

सूर्य के लिए इससे दिन की लंबाई मिलती है, यदि सूर्य को एक बिंदु माना जाए और वायु द्वारा प्रकाश के मुड़ने की उपेक्षा की जाए (दोनों कुछ मिनट का दिन जोड़ते हैं)। विषुवों पर $\delta = 0$ , $H_0 = 90{}^{\circ}$ होता है: हर जगह दिन और रात बारह-बारह घंटे की होती है, और सूर्य ठीक पूर्व में उगता है।

45 उत्तरी अक्षांश पर आकाश में सूर्य का पथ: जून अयनांत पर (लाल), विषुवों पर (काला) और दिसंबर अयनांत पर (नीला), तथा मध्याह्न के उन्नतांश 90 - + _ के साथ। विषुवों पर सूर्य ठीक पूर्व में उगता और ठीक पश्चिम में अस्त होता है; जून में वह उत्तर-पूर्व में उगता है। — $45{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर आकाश में सूर्य का पथ: जून अयनांत पर (लाल), विषुवों पर (काला) और दिसंबर अयनांत पर (नीला), तथा मध्याह्न के उन्नतांश $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ के साथ। विषुवों पर सूर्य ठीक पूर्व में उगता और ठीक पश्चिम में अस्त होता है; जून में वह उत्तर-पूर्व में उगता है।

प्रतिज्ञप्ति 1.17 (सूर्य की क्रांति)

जब सूर्य क्रांतिवृत्तीय देशांतर $\lambda_\odot$ पर हो, तब उसकी क्रांति और ऋजु आरोहण संतुष्ट करते हैं

\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .

उपपत्ति. अक्ष ऐसे लीजिए कि $x$ $\gamma$ की ओर हो और $z$ उत्तरी खगोलीय ध्रुव की ओर। क्रांतिवृत्त से जुड़े अक्षों $x$ , $y'$ , $z'$ में, जिसमें $z'$ उसके ध्रुव की ओर है, सूर्य की दिशा $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$ है। क्रांतिवृत्त के अक्ष वही हैं जो विषुवत रेखा के अक्ष, जो कोण $\varepsilon$ से $x$ के परितः घुमाए गए हैं; अतः विषुवतीय अक्षों में सूर्य की दिशा है $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\ \sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$ । इसका $z$ घटक $\sin\delta_\odot$ है; इसके $y$ और $x$ घटकों का अनुपात $\tan\alpha_\odot$ है। ∎

पाँच उत्तरी अक्षांशों पर, वर्ष भर दिन की लंबाई (सूर्य का केंद्र ज्यामितीय क्षितिज के ऊपर), से। 70 उत्तर पर सूर्य जून अयनांत के आसपास हफ़्तों तक ऊपर रहता है और दिसंबर अयनांत के आसपास नीचे। दक्षिणी गोलार्ध में वक्र आधे वर्ष से खिसके होते हैं। — पाँच उत्तरी अक्षांशों पर, वर्ष भर दिन की लंबाई (सूर्य का केंद्र ज्यामितीय क्षितिज के ऊपर), प्रतिज्ञप्तियाँ 1.16 और 1.17 से। $70{}^{\circ}$ उत्तर पर सूर्य जून अयनांत के आसपास हफ़्तों तक ऊपर रहता है और दिसंबर अयनांत के आसपास नीचे। दक्षिणी गोलार्ध में वक्र आधे वर्ष से खिसके होते हैं।

परिभाषा 1.18 (सूर्यातप)

किसी स्थान और क्षण पर सूर्यातप वायुमंडल के ऊपर एक क्षैतिज सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर प्राप्त सूर्यप्रकाश की शक्ति है। $S_0$ सूर्य की माध्य दूरी $a$ पर सौर विकिरण-तीव्रता, $r$ वास्तविक दूरी और $\theta_z$ सूर्य की खमध्य-दूरी हो,

I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ रात में}.

गुणक $(a/r)^2$ प्रकाश का व्युत्क्रम-वर्ग नियम है (भौतिकी की पुस्तकें); गुणक $\cos\theta_z$ इसलिए आता है क्योंकि एक वर्ग-मीटर अनुप्रस्थ काट वाला किरण-पुंज क्षैतिज भूमि के $1/\cos\theta_z$ वर्ग मीटर पर फैलता है। $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ और सूर्य-पृथ्वी दूरी उपसौर पर $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ और अपसौर पर $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ होने पर, गुणक $(a/r)^2$ वर्ष भर $\pm3.4\,\%$ बदलता है। अक्ष का झुकाव इससे कहीं अधिक करता है: वह मध्याह्न उन्नतांश और दिन की लंबाई दोनों बदलता है, और ये दोनों मिलकर ऋतुएँ बनाते हैं। सूर्यातप के दैनिक और वार्षिक योग, जो जलवायु चलाते हैं, अध्याय 27 में परिकलित किए गए हैं।

1.5 कैलेंडर

परिभाषा 1.19 (उष्णकटिबंधीय वर्ष)

उष्णकटिबंधीय वर्ष सूर्य के वसंत विषुव-बिंदु से दो बार गुज़रने के बीच का माध्य अंतराल है। यह ऋतुओं को नियंत्रित करता है; इसकी अवधि 365.2422 माध्य सौर दिन है।

उष्णकटिबंधीय वर्ष नाक्षत्र वर्ष से लगभग बीस मिनट छोटा है; नाक्षत्र वर्ष वह समय है जो पृथ्वी को तारों के बीच उसी स्थान पर लौटने में लगता है (365.256 दिन)। ऐसा इसलिए है क्योंकि पृथ्वी का अक्ष धीरे-धीरे घूमता है — वह अयन-चलन करता है — और विषुव-बिंदु को क्रांतिवृत्त के अनुदिश पीछे ले जाता है (पुस्तक 4, स्नातक वर्ष 2)। कैलेंडर को उष्णकटिबंधीय वर्ष में दिनों की एक पूर्ण संख्या बिठानी होती है, ताकि ऋतुएँ उन्हीं तिथियों पर लौटें।

प्रतिज्ञप्ति 1.20 (ग्रेगोरी वर्ष)

ग्रेगोरी कैलेंडर में कोई वर्ष 366 दिन का अधिवर्ष होता है यदि उसकी संख्या 4 से विभाज्य हो, सिवाय शताब्दी-वर्षों के, जो केवल तभी अधिवर्ष होते हैं जब वे 400 से विभाज्य हों। उसका माध्य वर्ष

365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ दिन},

है, और वह ऋतुओं के सापेक्ष लगभग 3300 वर्षों में एक दिन खिसकता है।

उपपत्ति. 400 वर्षों में 4 से विभाज्य 100 वर्ष होते हैं; उनमें चार शताब्दी-वर्ष हैं, जिनमें से तीन 400 से विभाज्य नहीं हैं। अतः 97 अधिवर्ष हैं और $400\times 365 + 97 = 146\,097$ दिन हैं, यानी प्रति वर्ष 365.2425 दिन। 365.2422 दिन के उष्णकटिबंधीय वर्ष के सापेक्ष अधिकता प्रति वर्ष 0.0003 दिन है: लगभग $1/0.0003 \approx 3300$ वर्षों में एक दिन। ∎

इतिहास — 1582 का सुधार

जूलियन कैलेंडर, जो रोम से मिला था, हर चौथे वर्ष एक अधिवर्ष दिन जोड़ता था: उसका 365.25 दिन का वर्ष उष्णकटिबंधीय वर्ष से 0.0078 दिन लंबा है, यानी 128 वर्षों में एक दिन। शताब्दियों में वसंत विषुव की तिथि 21 मार्च से खिसक गई, जिस तिथि पर ईस्टर की गणना निर्भर थी। 1582 में पोप ग्रेगरी XIII ने अपने नाम वाला कैलेंडर लागू किया, जिसने संचित दिन एक साथ हटा दिए और जूलियन नियम की जगह प्रतिज्ञप्ति 1.20 का नियम रख दिया। वह अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत नागरिक कैलेंडर बन गया है।

क्षेत्र-कार्य — तारों से स्थिति ज्ञात करना

उपग्रह-स्थिति निर्धारण से पहले समुद्र में नाविक आकाश से अपना अक्षांश और देशांतर ज्ञात करते थे। सेक्सटेंट से वे दोपहर को सूर्य का, या संध्या को दो-तीन तारों का उन्नतांश मापते थे, और ग्रीनविच याम्योत्तर के समय पर रखे एक क्रोनोमीटर से समय पढ़ते थे। हर उन्नतांश, नाविक पंचांग से लिए गए तारे की क्रांति और ग्रीनविच पर उसके घंटा कोण के साथ, पृथ्वी पर एक लघु वृत्त देता है जिस पर जहाज़ स्थित है: उन बिंदुओं का वृत्त जहाँ तारा उस उन्नतांश पर है। ऐसे दो-तीन वृत्त जहाज़ की स्थिति पर काटते हैं — गोलीय त्रिकोणमिति, जिसे समुद्र में हर दिन हल किया जाता था। अकेले सूर्य का मध्याह्न उन्नतांश अक्षांश देता है (प्रतिज्ञप्ति 1.10); स्थानीय मध्याह्न का घड़ी-समय प्रति अंश चार मिनट के हिसाब से देशांतर देता है।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

एक प्रेक्षक का अक्षांश $52{}^{\circ}$ उत्तर है। उत्तरी खगोलीय ध्रुव किस उन्नतांश पर है? क्रांति के आधार पर कौन-से तारे वहाँ कभी अस्त नहीं होते, और कौन-से कभी उदय नहीं होते?

हल

हल — अभ्यास 1.1.

ध्रुव की ऊँचाई अक्षांश के बराबर है: $52{}^{\circ}$ । कोई तारा कभी अस्त नहीं होता यदि $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$ हो, और कभी उदय नहीं होता यदि $\delta < -38{}^{\circ}$ हो।

अभ्यास 1.2 ★

$6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ के ऋजु आरोहण को अंशों में बदलिए। $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$ के स्थानीय नाक्षत्र काल पर उस ऋजु आरोहण वाले तारे का घंटा कोण क्या है? क्या तारा याम्योत्तर के पूर्व है या पश्चिम?

हल

हल — अभ्यास 1.2.

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$ । $H = \mathrm{LST} - \alpha = 10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$ है, यानी $48.75{}^{\circ}$ । घंटा कोण धनात्मक है: तारा याम्योत्तर के पश्चिम में है, जिसे वह तीन और एक चौथाई नाक्षत्र घंटे पहले पार कर चुका है।

अभ्यास 1.3 ★

$40{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर दोनों अयनांतों के दिन और विषुवों के दिन ( $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ ) मध्याह्न में सूर्य का उन्नतांश परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ : जून अयनांत पर $73.44{}^{\circ}$ , विषुवों पर $50{}^{\circ}$ , दिसंबर अयनांत पर $26.56{}^{\circ}$ ।

अभ्यास 1.4 ★

1900 अधिवर्ष था? 2000? क्या 2100 होगा? 365.2422 दिन के उष्णकटिबंधीय वर्ष के सापेक्ष जूलियन कैलेंडर प्रति शताब्दी कितने दिन खिसकता है, और ग्रेगोरी कैलेंडर कितने?

हल

हल — अभ्यास 1.4.

1900: 100 से विभाज्य है पर 400 से नहीं, अतः अधिवर्ष नहीं। 2000: 400 से विभाज्य, अधिवर्ष। 2100: अधिवर्ष नहीं। जूलियन वर्ष उष्णकटिबंधीय वर्ष से $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ दिन अधिक है, यानी प्रति शताब्दी $0.78$ दिन; ग्रेगोरी वर्ष $0.0003$ दिन, यानी प्रति शताब्दी $0.03$ दिन।

अभ्यास 1.5 ★★

दो बिंदु $45{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर हैं, देशांतर $0{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ}$ पूर्व पर। उनके बीच महावृत्त दूरी ( $R = 6371\,\mathrm{km}$ ) और उनके समांतर के अनुदिश दूरी परिकलित कीजिए। कौन-सी छोटी है, और कितनी?

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$ , इसलिए $\Delta = 60{}^{\circ}$ और दूरी $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$ है। समांतर के अनुदिश, त्रिज्या $R\cos45{}^{\circ}$ के लघु वृत्त पर, दूरी $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$ है। महावृत्त लगभग $404\,\mathrm{km}$ छोटा है।

अभ्यास 1.6 ★★

$48{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर क्रांति $20{}^{\circ}$ वाले एक तारे का घंटा कोण $30{}^{\circ}$ है। उसका उन्नतांश और दिगंश परिकलित कीजिए। प्रेक्षक को किस दिशा में देखना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 1.6.

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$ , $h = 53.0{}^{\circ}$ । $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ} \cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$ , $\arccos = 128.7{}^{\circ}$ ; तारा याम्योत्तर के पश्चिम में है ( $H > 0$ ), इसलिए $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - 128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$ : दक्षिण-पश्चिम की ओर, क्षितिज से $53{}^{\circ}$ ऊपर।

अभ्यास 1.7 ★★

$60{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर जून अयनांत के दिन दिन की लंबाई परिकलित कीजिए, सूर्य को ज्यामितीय क्षितिज पर एक बिंदु मानते हुए। दिन की लंबाई वाले चित्र पर अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$ , $H_0 = 138.67{}^{\circ}$ , दिन की लंबाई $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$ , लगभग $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$ , जैसा $60{}^{\circ}$ उत्तरी वक्र जून अयनांत पर दिखाता है।

अभ्यास 1.8 ★★

एक तारा आज रात स्थानीय माध्य समय 22:00 पर याम्योत्तर पार करता है। 30 दिन बाद वह किस समय याम्योत्तर पार करेगा? कितने दिन बाद वह दोपहर में पार करेगा, जब दिन के उजाले में वह अदृश्य होगा?

हल

हल — अभ्यास 1.8.

याम्योत्तर-पारण हर दिन $3.93\,\mathrm{min}$ पहले होता है, इसलिए 30 दिनों में $30\times3.93 = 118\,\mathrm{min}$ पहले: तारा लगभग 20:02 पर पार करता है। दोपहर को पार करने के लिए उसे $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$ पहले खिसकना होगा, जिसमें $600/3.93 \approx 153$ दिन लगते हैं।

अभ्यास 1.9 ★★

$45{}^{\circ}$ उत्तरी अक्षांश पर वायुमंडल के ऊपर दोपहर के सूर्यातप की गणना कीजिए (क) एक विषुव पर, $r = a$ मानते हुए; (ख) जून अयनांत पर, $r$ के लिए अपसौर दूरी लेते हुए। आँकड़े: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ , अपसौर $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

(क) एक विषुव पर दोपहर का उन्नतांश $45{}^{\circ}$ है: $I = 1361\times\sin45{}^{\circ} = 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ । (ख) जून अयनांत पर $h = 68.44{}^{\circ}$ और $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$ : $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ । ऊँचा सूर्य बड़ी दूरी की भरपाई से कहीं अधिक कर देता है।

अभ्यास 1.10 ★★★

प्रतिज्ञप्ति 1.17 का उपयोग करके, जब सूर्य का क्रांतिवृत्तीय देशांतर $60{}^{\circ}$ हो, तब सूर्य की क्रांति और ऋजु आरोहण परिकलित कीजिए। ऋजु आरोहण देशांतर से कितने अंश पीछे है? इस परिणाम से समझाइए कि क्रांतिवृत्त का झुकाव समय के समीकरण में क्यों योगदान देता है।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$ , $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$ । $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ} = 1.5890$ , $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ ( $\lambda_\odot$ के समान चतुर्थांश में)। ऋजु आरोहण $2.18{}^{\circ}$ पीछे है, अर्थात् $2.18\times4 \approx 8.7\,\mathrm{min}$ समय। क्रांतिवृत्त के अनुदिश एक समान गति से चलने वाला सूर्य भी ऋजु आरोहण में असमान गति करेगा, और वही मात्रा घंटा कोण तय करती है, और इसलिए धूपघड़ी: विषुव और अगले अयनांत के बीच वह माध्य सूर्य के पीछे, और अयनांत तथा अगले विषुव के बीच आगे रहता है। यही समय के समीकरण का तिर्यकता वाला पद है।

अभ्यास 1.11 ★★★

दिखाइए कि जून अयनांत पर सूर्य दिगंश $\mathrm{A}_0$ पर उगता है, जहाँ $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ । किस अक्षांश पर वह ठीक उत्तर-पूर्व में उगता है? $90{}^{\circ} - \varepsilon$ से ऊपर के अक्षांशों पर सूत्र का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 1.11.

उदय पर $h = 0$ है, अतः प्रतिज्ञप्ति 1.9 देता है $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$ ; जून अयनांत पर $\delta = \varepsilon$ , अतः $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ । $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$ के लिए: $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} = 0.5626$ , $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ उ। $90{}^{\circ} - \varepsilon = 66.56{}^{\circ}$ से ऊपर, $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$ : उदय का कोई दिगंश नहीं होता, क्योंकि उस दिन सूर्य अस्त नहीं होता (मध्यरात्रि का सूर्य)।

अभ्यास 1.12 ★★★

एक लून गोले का वह भाग है जो परस्पर विपरीत दो बिंदुओं को जोड़ने वाले दो अर्ध-महावृत्तों के बीच पड़ता है, और ये अर्ध-महावृत्त एक-दूसरे से कोण $\theta$ पर हैं। (क) दिखाइए कि उसका क्षेत्रफल $2\theta R^2$ है। (ख) गोलीय त्रिभुज $ABC$ की हर भुजा को पूरे महावृत्त तक बढ़ाने पर, दूसरी भुजाओं के साथ मिलकर कोणों $A$ , $B$ , $C$ वाले लूनों के तीन विपरीत जोड़े मिलते हैं, जो गोले को ढकते हैं; त्रिभुज और उसका विपरीत भाग तीन बार ढके जाते हैं। इससे गिरार्ड प्रमेय निकालिए: त्रिभुज का क्षेत्रफल $R^2(A + B + C - \pi)$ है। (ग) इसे तीन समकोण वाले त्रिभुज पर, और इस अध्याय में बनाए गए त्रिभुज (कोण $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ , $67.4{}^{\circ}$ ) पर लागू कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

(क) कोण $\theta$ वाला लून गोले का भाग $\theta/2\pi$ है: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$ । (ख) लूनों के तीनों जोड़ों का कुल क्षेत्रफल $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$ है; वे गोले को एक बार ढकते हैं, सिवाय त्रिभुज और उसके विपरीत भाग के, जिनमें से हर एक तीन बार ढका जाता है, यानी ज़रूरत से दोगुना: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$ , जहाँ $S$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है। अतः $S = R^2(A + B + C - \pi)$ । (ग) तीन समकोण: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$ , जो गोले का आठवाँ भाग (एक अष्टांश) है। आकृति का त्रिभुज: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$ , यानी $0.736$ रेडियन: $S = 0.736\,R^2$ , गोले का $5.9\,\%$ ।

1.7 समस्या: एक पर्वतीय वेधशाला की रात

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — पैरानाल वेधशाला कहाँ है, उसका आकाश क्या दिखाता है, और उसकी सबसे लंबी रात कितनी लंबी है

पैरानाल वेधशाला अटाकामा मरुस्थल में अक्षांश $24.63{}^{\circ}$ दक्षिण और देशांतर $70.40{}^{\circ}$ पश्चिम पर है। ग्रीनविच की रॉयल वेधशाला, जिससे देशांतर गिने जाते हैं, $51.48{}^{\circ}$ उत्तर और $0.00{}^{\circ}$ पर है। दक्षिणी आकाश के दो चमकीले तारों के निर्देशांक ये हैं:

तारा	ऋजु आरोहण	क्रांति
सिरियस	$6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$	$-16.72{}^{\circ}$
कैनोपस	$6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$	$-52.70{}^{\circ}$

इनमें $R = 6371\,\mathrm{km}$ , $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ , 365.2422 दिन का उष्णकटिबंधीय वर्ष लीजिए, और सूर्य को ज्यामितीय क्षितिज पर एक बिंदु मानिए।

भाग I — ग्लोब पर पैरानाल।

पैरानाल और ग्रीनविच के सह-अक्षांश, तथा उनका देशांतर-अंतर दीजिए।
उत्तरी ध्रुव–पैरानाल–ग्रीनविच त्रिभुज के लिए कोज्या नियम लिखिए, और दोनों वेधशालाओं के बीच कोणीय दूरी $\Delta$ की कोज्या परिकलित कीजिए।
$\Delta$ को अंशों में और महावृत्त दूरी को किलोमीटर में निकालिए।
पैरानाल से ग्रीनविच की ओर आरंभिक दिशा परिकलित कीजिए (विधि 1.4)।
साइन नियम से दिशा की जाँच कीजिए।
क्या कोई विमान, जो पूरे रास्ते यही दिशा बनाए रखे, ग्रीनविच तक पहुँचेगा? समझाइए।

भाग II — पैरानाल का आकाश।

पैरानाल के दक्षिणी क्षितिज के ऊपर दक्षिण खगोलीय ध्रुव किस उन्नतांश पर है?
सिरियस किस उन्नतांश पर याम्योत्तर पार करता है, और खमध्य के किस ओर?
पैरानाल पर कोई तारा किस क्रांति से नीचे परिध्रुवीय है? क्या कैनोपस परिध्रुवीय है?
कैनोपस जो सबसे ऊँचा उन्नतांश प्राप्त करता है, वह क्या है?
वह घंटा कोण परिकलित कीजिए जिस पर सिरियस उगता है, और नाक्षत्र घंटों में वह क्षितिज के ऊपर कितनी देर रहता है।
सिरियस किस दिगंश पर उगता है?

भाग III — घड़ियाँ।

जब सिरियस याम्योत्तर पार करता है, तब स्थानीय नाक्षत्र काल क्या है?
नाक्षत्र दिवस की लंबाई परिकलित कीजिए, और बताइए कि किसी तारे का याम्योत्तर-पारण हर रात कितने मिनट पहले होता है।
20 मार्च 2026 के मार्च विषुव पर, जब सूर्य वसंत विषुव-बिंदु के पास होता है, स्थानीय माध्य मध्यरात्रि पर स्थानीय नाक्षत्र काल $12\,\mathrm{h}$ लीजिए; तब वह हर दिन $24/365.2422$ घंटे बढ़ता है। विषुव के कितने दिन बाद सिरियस स्थानीय माध्य मध्यरात्रि पर याम्योत्तर पार करता है? किस तिथि को?
उस रात पैरानाल का स्थानीय माध्य समय ग्रीनविच के समय से कितना भिन्न है?
समय का समीकरण तब लगभग $-3\,\mathrm{min}$ है। जब सिरियस याम्योत्तर पार करता है, तब वेधशाला की धूपघड़ी कौन-सा समय (स्पष्ट सौर काल) दिखाती है?
एक सप्ताह बाद वह कितने पहले पार करता है?

भाग IV — सबसे लंबी रात।

हर अयनांत पर सूर्य की क्रांति क्या है?
जून और दिसंबर अयनांतों पर पैरानाल में मध्याह्न में सूर्य का उन्नतांश परिकलित कीजिए। दिसंबर में वह खमध्य के किस ओर है?
दिसंबर अयनांत पर सूर्य-पृथ्वी दूरी माध्य दूरी की 0.9837 गुना है। पैरानाल के ऊपर, वायुमंडल के ऊपर, मध्याह्न के सूर्यातप की गणना कीजिए ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ )।
पैरानाल पर किस अयनांत पर रात सबसे लंबी है? उस तिथि पर सूर्यास्त का घंटा कोण परिकलित कीजिए।
उस तिथि पर सूर्य किस दिगंश पर उगता है?
पैरानाल पर वर्ष की सबसे लंबी रात की अवधि घंटों और मिनटों में निकालिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. सह-अक्षांश $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$ ; देशांतर-अंतर $70.40{}^{\circ}$ ।

2. $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} + \sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 = -0.1362$ .

3. $\Delta = 97.83{}^{\circ}$ ; दूरी $6371\times1.7074 = 10\,878\,\mathrm{km}$ , लगभग $10\,900\,\mathrm{km}$ ।

\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}} {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$ , उत्तर-पूर्व की ओर।

5. $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ} = 0.5922$ , जो $36.3{}^{\circ}$ या $143.7{}^{\circ}$ देता है; प्रश्न 4 की धनात्मक कोज्या $36.3{}^{\circ}$ चुनती है।

6. नहीं। स्थिर दिशा हर याम्योत्तर को एक ही कोण पर काटती है और एक ध्रुव की ओर सर्पिल बनाती है; महावृत्त की दिशा लगातार बदलती है (वह केवल आरंभ में $36.3{}^{\circ}$ है)। विमान एक लंबा मार्ग तय करता और कहीं और पहुँचता, जब तक वह अपनी दिशा ठीक न करता।

7. दक्षिण खगोलीय ध्रुव का उन्नतांश अक्षांश के परिमाण के बराबर है: $24.63{}^{\circ}$ ।

8. $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$ ; $\delta > \varphi$ है, इसलिए सिरियस खमध्य के $7.91{}^{\circ}$ उत्तर से गुज़रता है।

9. कोई तारा कभी अस्त नहीं होता यदि $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) = -65.37{}^{\circ}$ । कैनोपस, $-52.70{}^{\circ}$ पर, परिध्रुवीय नहीं है: वह अस्त होता है।

10. $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$ , खमध्य के दक्षिण में।

11. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) = -(0.4584)(0.3004) = -0.1377$ ; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$ । सिरियस ऊपर रहता है $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ नाक्षत्र काल तक, लगभग $13\,\mathrm{h}$ ।

12. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} = -0.3165$ : सिरियस दिगंश $108.5{}^{\circ}$ पर उगता है, पूर्व के दक्षिण में।

13. जब $H = 0$ , तब $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$ ।

14. $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} = 23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$ ; याम्योत्तर-पारण हर रात $235.9\,\mathrm{s}$ , यानी $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ पहले होता है।

15. हमें चाहिए $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$ , इसलिए $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ दिन। 20 मार्च के 285 दिन बाद 30 दिसंबर है: सिरियस स्थानीय माध्य मध्यरात्रि पर 30 से 31 दिसंबर 2026 की रात को याम्योत्तर पार करता है।

16. पैरानाल ग्रीनविच के $70.40{}^{\circ}$ पश्चिम में है: उसका स्थानीय माध्य समय $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$ पीछे है, यानी $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$ ।

17. स्पष्ट सौर काल = माध्य सौर काल + समय का समीकरण = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$ : धूपघड़ी लगभग 23:57 दिखाती है।

18. $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ पहले।

19. जून अयनांत पर $+23.44{}^{\circ}$ , दिसंबर अयनांत पर $-23.44{}^{\circ}$ ।

20. जून: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$ । दिसंबर: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$ ; चूँकि $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$ है, सूर्य खमध्य के $1.19{}^{\circ}$ उत्तर से गुज़रता है।

21. $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times 1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

22. जून में दक्षिणी शीत ऋतु। $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ}) \tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$ : सूर्य घंटा कोण $H_0 = 78.53{}^{\circ}$ पर अस्त होता है।

23. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$ : $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$ , पूर्व के उत्तर में।

24. दिन की लंबाई $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$ ; पैरानाल पर वर्ष की सबसे लंबी रात $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$ है, यानी $13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$ ।

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