18भूकंप का उद्गम

18 अप्रैल 1906 की सुबह, सैन फ़्रांसिस्को के उत्तर और दक्षिण की ज़मीन चार सौ किलोमीटर से अधिक लंबी एक रेखा के साथ फट गई। इस रेखा को पार करने वाली सड़कें, बाड़ें और पेड़ों की पंक्तियाँ कट गईं, और हर एक के दो भाग मीटरों दूर पाए गए, पश्चिमी भाग हमेशा उत्तर की ओर विस्थापित। सर्वेक्षकों ने पिछली आधी सदी में इस क्षेत्र के भू-चिह्नों की स्थितियाँ मापी थीं, और जब उन्हें फिर से मापा गया तो तुलना ने भंजन से भी अधिक अजीब बात दिखाई: भूकंप से पहले दशकों तक ज़मीन धीरे और सहजता से मुड़ रही थी, और भूकंप ने उसे वापस उछलने दिया। यह अध्याय एक भूकंप को भ्रंश के धीमे भार से लेकर उन कुछ मिनटों तक अनुसरित करता है जिनमें वह सरकता है, और सरकन को तरंगों और ज़मीन से वापस पढ़ता है: वह कितना बड़ा था, किस दिशा में खिसका, अगला कितनी तेज़ी से तैयार हो रहा है, और हर आकार के भूकंप कितनी बार आते हैं।

पहले से ज्ञात

भूकंप का उद्गम वह बिंदु है जहाँ भंजन शुरू होता है, और उसका अधिकेंद्र उसके ऊपर सतह का बिंदु; परिमाण भूकंप के आकार को मापता है, तीव्रता किसी स्थान पर कंपन को; एक भूकंपमापी ज़मीन की गति को भूकंपलेख के रूप में दर्ज करता है (पुस्तक 1, कक्षा 7)। P तरंग, जो संपीडन-तरंग है, पहले पहुँचती है, और S तरंग, जो कर्तन-तरंग है, उसके बाद (पुस्तक 2, कक्षा 11)। एक भ्रंश की एक लटकती दीवार और एक पादभित्ति होती है; सरकन-सदिश लटकती दीवार का पादभित्ति के सापेक्ष विस्थापन है, उसका रेक $r$ भ्रंश-तल पर स्ट्राइक से मापा जाता है, और रेक भ्रंश का नाम देता है: लगभग $90{}^{\circ}$ उत्क्रम, लगभग $-90{}^{\circ}$ सामान्य, लगभग 0 बाएँ-पार्श्वीय, लगभग $180{}^{\circ}$ दाएँ-पार्श्वीय (अध्याय 17)। एक प्रत्यास्थ ठोस प्रतिबल हटाने पर अपना आकार वापस पाता है; कर्तन मापांक $\mu$ एक कर्तन प्रतिबल को उससे उत्पन्न कर्तन विकृति से जोड़ता है (भौतिकी की पुस्तकें); भ्रंश तब सरकते हैं जब कर्तन प्रतिबल उनकी घर्षण-सामर्थ्य तक पहुँचता है, और भूकंप भूपर्पटी के भंगुर ऊपरी भाग में शुरू होते हैं, भूकंप-जनक परत में (अध्याय 16)। उपग्रह-स्थिति निर्धारण के स्थायी स्टेशन, जिनकी वर्षों की दैनिक स्थितियाँ उस स्थान पर ज़मीन का वेग देती हैं जहाँ वे खड़े हैं, प्लेटों की गति मापते हैं (अध्याय 12)।

18.1 प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप और भूकंपीय चक्र

स्थिर दर से एक-दूसरे के पास से सरकती दो प्लेटें सामान्यतः अपने बीच के भ्रंश के साथ स्थिरता से नहीं सरकतीं। घर्षण भ्रंश को अवरुद्ध रखता है जबकि प्लेटें उससे दूर चलती रहती हैं, इसलिए दोनों ओर की चट्टानें एक स्प्रिंग की तरह मुड़ती हैं। जब भ्रंश पर कर्तन प्रतिबल उसकी सामर्थ्य तक पहुँचता है, तो भ्रंश कुछ सेकंड या मिनटों में सरकता है, और मुड़ी चट्टानें झटके से वापस लौटती हैं।

परिभाषा 18.1 (प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप, भूकंपीय चक्र, पुनरावृत्ति अंतराल)

प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप वह अचानक वापसी है जिसमें भ्रंश के दोनों ओर की चट्टानें अपने अविकृत आकार की ओर लौटती हैं, जब भ्रंश, जो उनके विकृत होने के दौरान अवरुद्ध था, एक भूकंप में सरकता है; उनमें संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा मुक्त होती है, जिसका कुछ भाग भूकंपीय तरंगों के रूप में। किसी भ्रंश-खंड का भूकंपीय चक्र एक लंबी अंतर-भूकंपीय अवस्था का बार-बार दोहराया क्रम है, जिसमें खंड अवरुद्ध रहता है और उसके चारों ओर विकृति जमा होती है; एक सह-भूकंपीय अवस्था, यानी भूकंप, जिसमें वह सरकता है; और एक पश्च-भूकंपीय अवस्था, महीनों से दशकों तक, जिसमें आसपास का भाग नई अवस्था के अनुरूप समायोजित होता है। किसी खंड का पुनरावृत्ति अंतराल उस पर दो क्रमागत बड़े भूकंपों के बीच का समय है।

यदि भ्रंश भूकंपों के बीच अवरुद्ध है और हर भूकंप उस सरकन को उलट देता है जो प्लेटों ने पिछले भूकंप के बाद जमा की, तो प्लेट की गति चक्र की गति तय करती है।

प्रतिज्ञप्ति 18.2 (पुनरावृत्ति से सरकन-दर तक)

मान लीजिए एक भ्रंश-खंड दीर्घकालिक सरकन-दर $\dot s$ पर भारित है, भूकंपों के बीच अवरुद्ध है, और हर भूकंप में उतना ही सरकन $D$ करता है। तब उसके भूकंपों का पुनरावृत्ति अंतराल

$$T = \frac{D}{\dot s} .$$

यदि सरकन-दर का केवल भाग $c$ अवरुद्ध है, और शेष बिना भूकंपों के स्थिर रूप से सरकता है, तो $T = D/(c\,\dot s)$।

$4\,\mathrm{m}$ प्रति महा-भूकंप के सरकन और $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के सरकन-दर वाले सैन एंड्रियास भ्रंश के विशिष्ट मानों के साथ, पुनरावृत्ति अंतराल $200\,\mathrm{yr}$ है। मध्य कैलिफ़ोर्निया में वैलेस क्रीक पर, भ्रंश को आर-पार काटने वाली एक जलधारा-नाली उसके उत्कीर्ण होने के बाद से $3587$ वर्षों में $128\,\mathrm{m}$ विस्थापित हुई है, औसतन $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, जो वहाँ अन्य विस्थापनों पर मापी गई लगभग $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की दर के निकट है; उस खंड पर अंतिम महा-भूकंप, 1857 में, लगभग $10\,\mathrm{m}$ सरका था, जिसे इस दर पर जमा होने में लगभग तीन सदियाँ लगेंगी।

अनुमान एक औसत देता है, समय-सारणी नहीं। उसी भ्रंश पर पार्कफ़ील्ड के निकट, 1857 में लगभग $6$ परिमाण का एक भूकंप, $30\,\mathrm{km}$ के उसी खंड पर उसके बाद, लगभग 22 वर्षों के अंतराल पर, 1966 तक, पाँच और, उनके जैसे ही, आए; अगला 1993 से पहले अपेक्षित था, और 2004 में आया, $6.0$ आघूर्ण परिमाण के साथ और बिना किसी स्पष्ट चेतावनी-चिह्न के। किसी भ्रंश की सामर्थ्य, हर भूकंप का सरकन, और उसके पड़ोसियों से भार, सब एक चक्र से दूसरे चक्र तक बदलते हैं, और भूकंपीय चक्र को एक माध्य पुनरावृत्ति अंतराल और उसके चारों ओर के प्रसार से, किसी आवर्तकाल से अधिक, बेहतर वर्णित किया जाता है।

कुछ भ्रंश-खंड बिल्कुल अवरुद्ध नहीं होते। पार्कफ़ील्ड और सैन जुआन बॉतिस्ता के बीच, सैन एंड्रियास भ्रंश का मध्य खंड विसर्पित होता है: भ्रंश पर स्थिर सरकन प्लेटों की लगभग सारी गति ले लेता है, और दोनों ओर बहुत कम, यदि कोई, विकृति जमा होती है, इसलिए इस खंड में कोई महा-भूकंप नहीं होते; 1857 का बड़ा भंजन उसके दक्षिणी सिरे से शुरू हुआ और 1906 का उत्तरी सिरे पर रुका। एक भ्रंश जो अपने क्षेत्र के एक भाग पर विसर्पित होता है, केवल आंशिक रूप से अवरुद्ध है, और यही उस परिच्छेद का गुणांक $c$ है।

क्षेत्र-कार्य — खंदक में अतीत के भूकंप पढ़ना

उपकरणों ने भूकंप एक सदी से कुछ अधिक से ही दर्ज किए हैं, जो अधिकांश भ्रंशों के एक चक्र से बहुत कम है। पुरा-भूकंप-विज्ञानी ज़मीन को पढ़कर अभिलेख बढ़ाते हैं। एक सक्रिय भ्रंश के आर-पार कुछ मीटर गहरी एक खंदक खोदी जाती है, जहाँ तलछट की परतें लगातार जमी हैं, एक दलदल, एक झील या एक छोटे जलोढ़ पंखे में। उसकी दीवारों पर, हर भूकंप एक ऐसी परतों के रूप में दिखता है जो भ्रंश से कटी और विस्थापित हैं और जो नई परतों से अटूट ढकी हैं; बाद के निक्षेपों से दबे एक ढलान के रूप में; और रेत के रूप में जो द्रवीभूत हुई और दरारों से ऊपर उठकर उस समय की सतह पर फैल गई। हर दरार के ठीक नीचे और ठीक ऊपर की परतों में पीट या पौधों के अवशेष रेडियोकार्बन से तिथित होते हैं, और इस प्रकार हर भूकंप की तिथि को सीमित करते हैं: सैन एंड्रियास भ्रंश पर एक दलदल में बारह का अभिलेख है। तटों के किनारे, सुनामी द्वारा जमा रेत की चादरें, और अचानक एक मीटर के लगभग धँसे दलदल, ज्वारीय कीचड़ के नीचे दबे, बड़े सबडक्शन भूकंपों को दर्ज करते हैं। सैन एंड्रियास भ्रंश पर, ऐतिहासिक काल के अधिकांश सरकन $6$ या उससे अधिक परिमाण के भूकंपों के साथ आए।

इतिहास — हैरी फ़ील्डिंग रीड और प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप

हैरी फ़ील्डिंग रीड, एक अमेरिकी भौतिकीविद्, 1906 के भूकंप का अध्ययन करने वाले राज्य आयोग के सदस्य थे। 1851–1865, 1874–1892 और भूकंप के बाद सर्वेक्षित बिंदुओं की स्थितियों की तुलना करते हुए, उन्होंने पाया कि सैन एंड्रियास भ्रंश की दोनों ओर के दूरस्थ बिंदु पहले सर्वेक्षण के बाद एक-दूसरे के सापेक्ष लगभग $3.2\,\mathrm{m}$ खिसक गए थे, भ्रंश पर लगभग $6\,\mathrm{m}$ के सरकन के आधे से कुछ अधिक: भूकंप से आधी सदी पहले, वह विकृति जिसने भ्रंश को तोड़ा, आधी बन चुकी थी। केवल प्रत्यास्थ बल ज़मीन को इतनी अचानक हिला सकते थे, और उन्होंने अचानक वापसी को प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप कहा। उन्होंने इसे 1910 में आयोग की रिपोर्ट के दूसरे खंड में प्रकाशित किया; यह आज भी भूकंपीय चक्र का प्रमुख प्रतिरूप है। उपग्रह-स्थिति निर्धारण ने तब से वह मोड़ मापा है जिसका उन्होंने केवल अनुमान लगाया जा सकता था।

18.2 भूकंपीय आघूर्ण और परिमाण

भूकंप का आकार उसके द्वारा किए गए सरकन की मात्रा है, भ्रंश के उस क्षेत्र पर, जो सरका, चट्टानों की कठोरता से भारित।

परिभाषा 18.3 (भूकंपीय आघूर्ण)

मान लीजिए एक भूकंप औसतन $D$ सरकता है, क्षेत्रफल $A$ के भंजन पर, कर्तन मापांक $\mu$ की चट्टानों में (यह अक्षर घर्षण गुणांक को भी नाम देता है, अध्याय 16 में; संदर्भ से पता चलता है कि कौन-सा)। इसका भूकंपीय आघूर्ण है

$$M_0 = \mu A D ,$$

न्यूटन-मीटर में।

आघूर्ण की इकाई बल-आघूर्ण की है। एक भ्रंश पर सरकन वही तरंगें भेजता है जो उद्गम पर लगाए गए दो युग्मों, यानी दो जोड़ी विपरीत बलों, से भेजी जातीं, और भूकंपीय आघूर्ण हर युग्म का आघूर्ण है (यह समतुल्यता, द्वि-युग्म, पुस्तक 5 में सिद्ध की गई है)। आघूर्ण की विमाएँ ऊर्जा की हैं, परंतु वह ऊर्जा नहीं है: तरंगों के रूप में विकिरित ऊर्जा उसका एक छोटा भाग है। भूपर्पटी की चट्टानों के लिए $\mu$ को $30\,\mathrm{GPa}$ लिया जाता है।

आज आघूर्ण विश्व भर में दर्ज दीर्घ-आवर्तकाल तरंगों से परिकलित होता है। 11 मार्च 2011 के तोहोकू भूकंप के लिए, संयुक्त राज्य भूवैज्ञानिक सर्वेक्षण का पसंदीदा हल $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ देता है। भ्रंश लगभग $400\,\mathrm{km}$ लंबे और $150\,\mathrm{km}$ चौड़े क्षेत्र पर सरका; परिभाषा तब औसत सरकन देती है

और भंजन के सबसे अधिक विस्थापित भाग में भंजन-मॉडल $50\text{ से }60\,\mathrm{m}$ तक पाते हैं।

पुस्तक 1 का परिमाण तरंगों के आयाम से भूकंपलेख पर निकाला गया था। ऐसे परिमाण एक आवर्तकाल की तरंगों को मापते हैं; जब एक भंजन अपनी तरंग-दैर्घ्य से बहुत लंबा हो जाता है, जो कुछ किलोमीटर से लगभग पचास किलोमीटर है, तो आयाम अपने आकार के साथ बढ़ना बंद कर देता है, और परिमाण संतृप्त हो जाता है। काय-तरंग परिमाण लगभग 6.5 पर, पृष्ठ-तरंग परिमाण लगभग 8.3 पर संतृप्त होता है। 2011 में, तोहोकू के लिए पहली सुनामी-चेतावनी इसी प्रकार के परिमाण पर आधारित थी, जो 8 या उससे बड़े भूकंपों के लिए कम पड़ता है, और उसने तरंगों को कम आँका। आघूर्ण संतृप्त नहीं होता, और परिमाण अब उसी से परिभाषित है।

परिभाषा 18.4 (आघूर्ण परिमाण)

आघूर्ण परिमाण उस भूकंप का जिसका भूकंपीय आघूर्ण $M_0$, न्यूटन-मीटर में, है

$$M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .$$

थॉमस हैंक्स और हिरोओ कानामोरी ने 1979 में यह पैमाना परिभाषित किया, स्थिरांक 9.1 के स्थान पर 9.05 के साथ, $M_w$ में 0.03 के अंतर से; स्थिरांक उन पुराने परिमाणों से मेल खाने के लिए चुने गए थे जहाँ वे संतृप्त नहीं होते। पुस्तक 1 का परिमाण बड़े भूकंपों के लिए यही संख्या है: तोहोकू के लिए $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$; 1960 का महान चिली भूकंप और 1964 का अलास्का भूकंप क्रमशः 9.5 और 9.2 आघूर्ण परिमाण रखते हैं, ऐसे आकार जो पुराने परिमाण नहीं दिखा सकते थे।

प्रतिज्ञप्ति 18.5 (एक परिमाण-इकाई)

भूकंपीय आघूर्ण $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ न्यूटन-मीटर है। आघूर्ण परिमाण की एक इकाई उसे $10^{1.5} \approx 31.6$ से गुणा करती है, दो इकाइयाँ $1000$ से। यदि विकिरित ऊर्जा आघूर्ण का एक नियत भाग हो, तो वह उसी अनुपात में बढ़ती है।

कानामोरी का सन्निकटन, $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (स्वीकृत), पिछले वाक्य की धारणा है; ऊर्जा में प्रति परिमाण-इकाई लगभग 32 का गुणक, जो पुस्तक 1 में मिला था, यही प्रस्ताव है। चूँकि $M_0 = \mu A D$ है और किसी भूकंप का सरकन उसके भंजन के आकार के साथ बढ़ता है, एक बड़े परिमाण के लिए एक बड़ा भ्रंश चाहिए। 1906 का भंजन, लगभग $430\,\mathrm{km}$ लंबा, भूकंप-जनक परत को लगभग $15\,\mathrm{km}$ तक तोड़ गया, कुछ मीटर के औसत सरकन के साथ: जहाँ $D = 4\,\mathrm{m}$ है, $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4} \times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ और $M_w = 7.9$, जो सूची का परिमाण है। 9 परिमाण के लिए सैकड़ों किलोमीटर लंबे और सौ से अधिक चौड़े भंजन की आवश्यकता है, जो केवल सबडक्शन-क्षेत्रों के मंद नत अंतरापृष्ठ ही प्रदान करते हैं।

18.3 उद्गम-यांत्रिकी

P तरंग भूकंपमापी तक पहुँचने वाली पहली है। उसकी प्रथम गति, ऊर्ध्वाधर अभिलेख का पहला झूला, ऊपर होती है जहाँ तरंग धक्के के रूप में पहुँचती है, ज़मीन संपीडित होकर उद्गम से दूर फेंकी जाती है, और नीचे होती है जहाँ वह खिंचाव के रूप में पहुँचती है। एक भूकंप के चारों ओर, धक्के और खिंचाव एक ऐसे प्रतिरूप में व्यवस्थित होते हैं जो भ्रंश का अभिविन्यास और सरकन की दिशा देता है।

प्रतिज्ञप्ति 18.6 (प्रथम गति का चिह्न)

मान लीजिए ऊपर की ओर अभिलंब $\mathbf n$ वाला एक भ्रंश इकाई सदिश $\mathbf d$ से सरकता है (लटकती दीवार का पादभित्ति के सापेक्ष सरकन)। इकाई दिशा $\mathbf x$ में उद्गम से निकली P तरंग एक धक्के के रूप में पहुँचती है यदि $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$ है, और खिंचाव के रूप में यदि $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$ है। इस प्रकार धक्के और खिंचाव चार चतुर्थांशों को भरते हैं, जो भ्रंश-तल ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) और सरकन के लंबवत तल ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$) से अलग होते हैं।

यह तर्क केवल चिह्न देता है। प्रथम गति का आयाम, जो $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ के समानुपाती है और इसलिए दोनों तलों से $45{}^{\circ}$ पर सबसे बड़ा और उन पर शून्य, यहाँ स्वीकार किया गया है (पुस्तक 5)।

गुणनफल $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ नहीं बदलता, जब $\mathbf n$ और $\mathbf d$ का आदान-प्रदान हो। यह समरूपता उद्गम-यांत्रिकी का केंद्रीय तथ्य है।

परिभाषा 18.7 (उद्गम-यांत्रिकी, नोडल तल, सहायक तल, P-अक्ष, T-अक्ष)

किसी भूकंपमापी पर P तरंग की प्रथम गति ऊर्ध्वाधर अभिलेख पर ज़मीन की पहली गति की दिशा है, ऊपर या नीचे। किसी भूकंप की उद्गम-यांत्रिकी उसके भ्रंश-तल का अभिविन्यास और उस पर सरकन की दिशा है, जैसा उसकी भूकंपीय तरंगों से पाया जाता है। उद्गम से होकर जाने वाले दो लंबवत तल, जो धक्कों को खिंचावों से अलग करते हैं, उसके नोडल तल हैं; एक भ्रंश-तल है, और दूसरा, जो सरकन के लंबवत है, सहायक तल। P-अक्ष और T-अक्ष वे दिशाएँ हैं जो दोनों नोडल तलों से $45{}^{\circ}$ पर, खिंचाव-चतुर्थांशों और धक्का-चतुर्थांशों के मध्य में हैं:

$$\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .$$

प्रतिज्ञप्ति 18.8 (दो नोडल तल)

सरकन $\mathbf d$ अभिलंब $\mathbf n$ वाले तल पर, और सरकन $\mathbf n$ अभिलंब $\mathbf d$ वाले तल पर, हर दिशा में एक ही प्रथम गतियाँ देते हैं। अतः प्रथम गतियाँ दोनों नोडल तलों, P और T अक्षों और हर तल पर सरकन की संवेदना तय करती हैं, पर वे यह नहीं बतातीं कि कौन-सा नोडल तल भ्रंश है।

यह तय करने के लिए कि कौन-सा नोडल तल सरका, भूकंप-विज्ञानी अन्य साक्ष्य उपयोग करते हैं: वह तल जिसके अनुदिश पश्चात्कंपन एक पंक्ति में बैठते हैं, सतह पर दिखता भ्रंश, वह प्लेट-सीमा जिस पर भूकंप स्थित है। 2004 के महान सुमात्रा–अंडमान भूकंप के लिए, दोनों नोडल तल $8{}^{\circ}$ पर उत्तर-पूर्व और $83{}^{\circ}$ पर दक्षिण-पश्चिम नत हैं। क्षेत्र के पहले के भूकंप और प्लेट-मॉडल दोनों धँसते स्लैब को उत्तर-पूर्व में मंद नत एक तल पर रखते हैं, और उथला तल भ्रंश माना जाता है: भूकंप ने सबडक्शन-क्षेत्र के प्लेट-अंतरापृष्ठ को तोड़ा, और उसके पश्चात्कंपन $1300\,\mathrm{km}$ से अधिक पर फैले।

क्योंकि P-अक्ष धक्कों के बीच में और T-अक्ष खिंचावों के बीच में पड़ता है, उन्हें प्रायः अधिकतम और न्यूनतम संपीडन प्रतिबल, $\sigma_1$ और $\sigma_3$, की दिशाओं के रूप में पढ़ा जाता है। वे उनके केवल सन्निकटन हैं। एक नया भ्रंश $45{}^{\circ} - \phi/2$ पर, $\sigma_1$ से, बनता है, $45{}^{\circ}$ पर नहीं (अध्याय 16), और एक पुराना भ्रंश एक और भिन्न कोण पर सरक सकता है, इसलिए एक भूकंप की अक्षें मुख्य प्रतिबलों से दसियों अंश दूर पड़ सकती हैं; किसी क्षेत्र के प्रतिबल कई भूकंपों की यांत्रिकी से एक साथ पाए जाते हैं।

एक उद्गम-यांत्रिकी उद्गम के चारों ओर एक गोले पर रहती है। वह उस गोले के निचले अर्ध-भाग पर बनाई जाती है, जिसे दूर के हर स्टेशन की हर किरण पार करती है, एक चक्रिका पर प्रक्षेपित: इकाई सदिश $\mathbf x = (E, N, U)$ की एक किरण, जिसमें $U \le 0$ है, इस पर अंकित होती है

केंद्र पर ऊर्ध्वाधर और इकाई वृत्त पर क्षैतिज। यह प्रक्षेपण क्षेत्रफल सुरक्षित रखता है (स्वीकृत; गोले के प्रक्षेपण पुस्तक 5 में पढ़े जाते हैं), इसलिए हर चतुर्थांश चक्रिका का अपना सही हिस्सा घेरता है। धक्का-चतुर्थांश छायांकित होते हैं; चित्र को बीच बॉल कहते हैं।

भूकंप-विज्ञानी एक यांत्रिकी को हर नोडल तल के स्ट्राइक, नति और रेक से देते हैं; स्ट्राइक नति-दिशा में से $90{}^{\circ}$ घटाने पर मिलता है, जैसा अध्याय 17 में है। तोहोकू के लिए तल स्ट्राइक, नति और रेक में $192/8/78$ और $24/81/91$ हैं, और P और T अक्षें $113$ और $296$ दिगंश की और $36{}^{\circ}$ और $53{}^{\circ}$ अवनत हैं। सहायक तल भ्रंश-तल से निकलता है: उसका अभिलंब $\mathbf d$ है और उसका सरकन $\mathbf n$, इसलिए वह $\mathbf n$ और $\mathbf d$ को स्ट्राइक, नति और रेक से परिकलित करके, उन्हें आपस में बदलकर, और फिर स्ट्राइक, नति और रेक पढ़कर पाया जाता है (अभ्यास 18.7)।

विधि 18.9 (बीच बॉल पढ़ना)

1. केंद्र को देखिए, जो ऊर्ध्वाधर है। छायांकित (सीधे नीचे का धक्का): एक उत्क्रम या अधिक्षेप घटक; सफ़ेद: एक सामान्य घटक। केंद्र पर मिलते दो सीधे व्यास: एक स्ट्राइक-स्लिप यांत्रिकी।
2. दो नोडल तल खोजिए, चतुर्थांशों को सीमित करने वाले वक्र। केंद्र से होकर जाने वाला तल ऊर्ध्वाधर है; एक तल उस ओर नत है जिस ओर केंद्र के सापेक्ष उसका वक्र स्थित है, और वक्र परिधि के जितना निकट होता है, नति उतनी ही मंद होती है।
3. छायांकित चतुर्थांशों के बीच T-अक्ष और सफ़ेद के बीच P-अक्ष खोजिए: ज़मीन P के अनुदिश संकुचित और T के अनुदिश विस्तारित हुई।
4. हर नोडल तल के लिए रेक पढ़िए या परिकलित कीजिए, और परिभाषा 17.3 से बताइए कि वह कौन-सा भ्रंश होगा। दोनों तल हमेशा नति-सरकन की संवेदना (सामान्य या उत्क्रम) साझा करते हैं और उनकी स्ट्राइक-स्लिप संवेदनाएँ विपरीत होती हैं: एक स्ट्राइक-स्लिप यांत्रिकी एक दाएँ-पार्श्वीय और एक बाएँ-पार्श्वीय तल देती है।
5. भ्रंश-तल को पश्चात्कंपनों, भूविज्ञान या प्लेट-सीमा से चुनिए।

प्रयोगशाला में — भूकंप-वेधशाला में

कुछ मिनटों में किसी बड़े भूकंप की तरंगें सैकड़ों स्टेशनों पर दर्ज हो जाती हैं, और आँकड़े वेधशालाओं के विश्लेषकों तक लगभग वास्तविक समय में पहुँचते हैं। P तरंग के पहले आगमन, जो जितने दूर स्टेशन पर उतने ही बाद पहुँचते हैं, उद्गम का स्थान निर्धारित करने के लिए अभिलेखों पर चुने जाते हैं। फिर अगले दसियों मिनटों में दर्ज लंबी, धीमी तरंगों की तुलना परीक्षण-स्रोतों के लिए परिकलित तरंगों से की जाती है; जो स्रोत की तरंगें सबसे अच्छी बैठती हैं, वह आघूर्ण-टेंसर देता है, जिसमें भूकंपीय आघूर्ण, आघूर्ण परिमाण और दोनों नोडल तल एक साथ रहते हैं। छोटे भूकंपों के लिए, जो इसके लिए बहुत दुर्बल हैं, विश्लेषक निकटतम अभिलेखों पर प्रथम गतियाँ पढ़ते हैं और नोडल तलों को उन पर बैठाते हैं, जैसा इस अनुभाग में वर्णित है। हर हल उसकी अनिश्चितताओं के साथ प्रकाशित होता है, और अधिक आँकड़े आने पर संशोधित होता है।

18.4 भार का मापन: भू-आकलन

भूकंपों के बीच, एक अवरुद्ध भ्रंश भूकंपमापियों के लिए अदृश्य होता है, पर उसके चारों ओर की ज़मीन चलती है। उपग्रह-स्थिति निर्धारण के स्थायी स्टेशन वह गति मापते हैं, और उनके वेगों का भ्रंश के आर-पार बदलता तरीका बताता है कि वह कितना गहरा अवरुद्ध है।

परिभाषा 18.10 (अवरोधन-गहराई)

किसी भ्रंश की अवरोधन-गहराई वह गहराई है जिस तक वह भूकंपों के बीच अवरुद्ध रहता है, उसके नीचे का भ्रंश दीर्घकालिक दर पर स्थिरता से सरकता हुआ; वह उस भ्रंश-भाग की गहराई है जो अगले भूकंप में सरकेगा।

प्रतिज्ञप्ति 18.11 (एक सरकते भ्रंश के आर-पार अंतर-भूकंपीय वेग)

मान लीजिए एक प्रत्यास्थ अर्ध-अंतरिक्ष में एक ऊर्ध्वाधर स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश सतह से गहराई $D$ तक अवरुद्ध है, और उसके नीचे दर $V$ पर सरकता है। भ्रंश के समांतर सतह का वेग, उससे दूरी $x$ पर, है

$$v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .$$

यदि भ्रंश तब एक भूकंप में $s$ सरकता है, सतह से गहराई $D$ तक, तो सतह $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ के अनुसार $x > 0$ के लिए विस्थापित होती है, और $-u(-x)$ के अनुसार $x < 0$ के लिए।

सेवेज और बर्फ़ोर्ड के कारण यह मॉडल प्रत्यास्थ प्रतिक्षेप का सबसे सरल रूप है, और पहले चित्र की बाड़ का वक्र यही है। उसके गुण सूत्र से निकलते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 18.12 (अंतर-भूकंपीय परिच्छेद को पढ़ना)

प्रतिज्ञप्ति 18.11 के मॉडल में:

1. भ्रंश से दूर वेग $\pm V/2$ की ओर प्रवृत्त होता है, दोनों प्लेटें एक-दूसरे के सापेक्ष $V$ पर चलती हुईं;
2. भ्रंश के आर-पार वेग के परिवर्तन का आधा उसकी दूरी $D$ के भीतर होता है: $v(\pm D) = \pm V/4$;
3. सतह की कर्तन-विकृति-दर, $\mathrm dv/\mathrm dx$, भ्रंश पर सबसे बड़ी है, जहाँ वह $V/(\pi D)$ के बराबर है;
4. यदि भ्रंश, समय $t$ के भार के बाद, एक भूकंप में $s = Vt$ सरकता है, तो हर जगह ज़मीन दोनों ओर $\pm s/2$ विस्थापित होकर रह जाती है: चक्र कोई स्थायी मोड़ नहीं छोड़ता, केवल भ्रंश पर विस्थापन $s$।

उपधारणा (b) से अवरोधन-गहराई स्टेशनों की एक परिच्छेद से मिलती है: वह भ्रंश से वह दूरी है जिस पर वेग, भ्रंश पर अपने मान से, $V$ के एक चौथाई से बदल गया है। एक उथला अवरोधन विकृति को भ्रंश के निकट केंद्रित करता है (नीचे का चित्र), एक गहरा उसे एक चौड़े पट्टे में फैलाता है। सैन एंड्रियास तंत्र के साथ, भू-आकलन से पाई गई अवरोधन-गहराइयाँ विसर्पी खंडों पर लगभग 0 से लेकर $26\,\mathrm{km}$ तक हैं, और भूकंपों की गहराइयों से मेल खाती हैं: अवरुद्ध भाग वही भूकंप-जनक परत है जो अध्याय 16 में है। $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ के सरकन-दर और $15\,\mathrm{km}$ की अवरोधन-गहराई के लिए, भ्रंश पर कर्तन-विकृति-दर $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ प्रति वर्ष है, जो भ्रंश के आर-पार की एक रेखा को प्रति वर्ष प्रति किलोमीटर एक मिलीमीटर से कम मोड़ती है, फिर भी दो सदियों में एक महान भूकंप के कई मीटर सरकन को संचित करती है।

उपग्रह-स्थिति निर्धारण कुछ स्टेशनों पर ज़मीन मापता है। रडार उपग्रह उसे हर जगह मापते हैं: एक ही कक्षा से अलग-अलग समयों पर लिए गए एक ही क्षेत्र के दो रडार-चित्र तरंग-दर-तरंग तुलना किए जाते हैं, और कला का अंतर ज़मीन और उपग्रह के बीच की दूरी के परिवर्तन को बिंदु-दर-बिंदु, सौ मीटर के अंतर पर, मानचित्रित करता है, बिना किसी पूर्व-स्थापित स्टेशन-जाल के। एक बड़े कैलिफ़ोर्निया भूकंप, 1992, का पहला ऐसा मानचित्र उसका सह-भूकंपीय विस्थापन एक चित्र में दिखाता था और क्षेत्र में और सर्वेक्षण द्वारा मापे सरकन से मेल खाता था; यह तकनीक, रडार इंटरफ़ेरोमेट्री, पुस्तक 5 से संबंधित है।

18.5 कितनी बार: गुटेनबर्ग–रिक्टर नियम

छोटे भूकंप बड़े भूकंपों से कहीं अधिक आम हैं, और एक उल्लेखनीय रूप से नियमित ढंग से।

प्रतिज्ञप्ति 18.13 (गुटेनबर्ग–रिक्टर नियम)

किसी क्षेत्र और अवधि में, भूकंपों की संख्या $N$, जिनका परिमाण कम से कम $M$ है, इस प्रकार है

$$\log_{10} N = a - bM ,$$

हर $M$ के लिए जो सूची की पूर्णता-परिमाण से ऊपर है, स्थिरांकों $a$ और $b$ के साथ, जो क्षेत्र पर निर्भर हैं; अधिकांश सक्रिय क्षेत्रों में $b$, 1 के निकट है।

यह नियम प्रेक्षण का परिणाम है, जिसे बेनो गुटेनबर्ग और चार्ल्स रिक्टर ने 1944 में कैलिफ़ोर्निया के लिए प्रकाशित किया और तब से हर जगह पाया गया; कोई सिद्धांत अभी तक इसे, या $b$ के मान को, व्युत्पन्न नहीं करता।

परिभाषा 18.14 (b-मान, पूर्णता-परिमाण)

किसी क्षेत्र के गुटेनबर्ग–रिक्टर नियम का स्थिरांक $b$ उसका b-मान है। किसी सूची का पूर्णता-परिमाण वह सबसे छोटा परिमाण है जिससे ऊपर वह क्षेत्र और अवधि का हर भूकंप दर्ज करती है।

1 का b-मान हर परिमाण-इकाई के लिए दस गुना कम भूकंप का अर्थ है। पूर्णता-परिमाण से नीचे, गिनती रेखा से नीचे रहती है, क्योंकि छोटे भूकंप इतने कम स्टेशनों पर दर्ज होते हैं कि उनके स्थान निर्धारित नहीं हो सकते: नियम मुड़ा हुआ लगता है, और $b$ उसके ऊपर मापा जाना चाहिए। पूरी पृथ्वी के लिए, उथले, मध्यवर्ती और गहरे भूकंपों में बाँटकर, मापे गए मान 0.72 और 1.34 के बीच हैं, परंतु वे एक सूची, परिमाण-परास या विधि से दूसरी में $30\,\%$ या अधिक भिन्न होते हैं: 1 से दूर का मान पहले सूची की जाँच का एक कारण है।

चित्र की विश्व सूची के लिए, $a = 8.20$ और $b = 1.01$ वाला नियम 7 या उससे अधिक परिमाण के 14 भूकंप प्रति वर्ष पूर्वानुमानित करता है, जैसा प्रेक्षित है, और 8 या उससे अधिक परिमाण के 1.35; जबकि पचास वर्षों में 40, यानी 0.8 प्रति वर्ष, दर्ज हुए। क्या सबसे बड़े भूकंप सचमुच रेखा से कम हैं, जैसा भ्रंशों का परिमित आकार सुझाता, या बस इतने दुर्लभ हैं कि पचास वर्षों से छूट गए, यह इतनी कम घटनाओं से तय नहीं होता। इस सूची में लगभग हर नौवें परिमाण का एक पृष्ठ-तरंग या काय-तरंग परिमाण है, जो संतृप्त होते हैं; सबसे बड़ी घटनाओं के सभी आघूर्ण परिमाण हैं।

कम परिमाण के असंख्य छोटे भूकंप कम काम करते हैं। उनकी संख्या हर परिमाण-इकाई कम होने पर दस गुना बढ़ती है, परंतु उनके आघूर्ण 31.6 गुना घटते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 18.15 (सबसे बड़े भूकंप अधिकांश आघूर्ण मुक्त करते हैं)

मान लीजिए भूकंप $b < 1.5$ के साथ गुटेनबर्ग–रिक्टर नियम का पालन करते हैं, एक सबसे बड़े परिमाण $M_{\max}$ तक, और मान लीजिए वे परिमाण की एक-एक इकाई चौड़े खानों में समूहित हैं, सबसे ऊपर का खाना $M_{\max}$ पर समाप्त होता है। तब सबसे ऊपर के खाने के भूकंप कुल आघूर्ण के भाग $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ से अधिक मुक्त करते हैं, चाहे गिने गए सबसे छोटे परिमाण कितने भी छोटे हों: $b = 1$ के लिए $68\,\%$ से अधिक।

विश्व सूची में भाग इसी क्रम का है: सबसे ऊपर की परिमाण-इकाई, 8.1 से 9.1 तक, पचास वर्षों के आघूर्ण के आधे से अधिक मुक्त करती है, और दो सबसे बड़े भूकंप, 2004 का सुमात्रा–अंडमान और 2011 का तोहोकू, दोनों 9.1 परिमाण के, उसका $29\,\%$ अकेले मुक्त करते हैं। एक प्लेट-सीमा को जो आघूर्ण मुक्त करना है वह उसकी सरकन-दर से तय होता है; प्रस्ताव कहता है कि वह लगभग पूरा उसके सबसे बड़े भूकंपों में मुक्त होता है, और कि अनेक छोटे भूकंप, चाहे कितने भी बार-बार आएँ, भ्रंश को अगले महान भूकंप से मुक्त नहीं करते।

18.6 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

(a) $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ के भूकंपीय आघूर्ण वाले भूकंप का आघूर्ण परिमाण परिकलित कीजिए। (b) तोहोकू भूकंप का $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ था: उसका परिमाण जाँचिए। (c) परिमाण 7.0 वाले भूकंप का भूकंपीय आघूर्ण क्या है?

हल

हल — अभ्यास 18.1.

(a) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$, इसलिए $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$। (b) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ और $M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.10$। (c) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$।

अभ्यास 18.2 ★

एक स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर भारित है, और उसके भूकंप हर बार लगभग $3\,\mathrm{m}$ सरकते हैं। (a) यदि वे उनके बीच पूरी तरह अवरुद्ध है, तो उनका पुनरावृत्ति अंतराल क्या है? (b) और यदि सरकन-दर का आधा स्थिर विसर्पण से लिया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 18.2.

(a) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 120\,\mathrm{yr}$। (b) $c = 0.5$ के साथ, $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{yr}$: विसर्पण आधी गति लेता है, और उसी सरकन के भूकंप आधी बार आते हैं।

अभ्यास 18.3 ★

परिमाण 7.4 वाले भूकंप का भूकंपीय आघूर्ण परिमाण 6.2 वाले से कितने गुना बड़ा है? परिमाण 6.2 के कितने भूकंप वही आघूर्ण मुक्त करेंगे?

हल

हल — अभ्यास 18.3.

प्रतिज्ञप्ति 18.5 से आघूर्णों का अनुपात $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$ है: परिमाण 7.4 के एक भूकंप का आघूर्ण मुक्त करने के लिए परिमाण 6.2 के 63 भूकंप लगते हैं।

अभ्यास 18.4 ★

एक क्षेत्र में, $b = 1$ के साथ, हर वर्ष परिमाण 3 या उससे अधिक के एक हज़ार भूकंप दर्ज होते हैं। हर वर्ष परिमाण 5 या उससे अधिक, और परिमाण 6 या उससे अधिक के कितने अपेक्षित हैं? परिमाण 7 या उससे अधिक के भूकंपों के बीच औसत समय क्या है?

हल

हल — अभ्यास 18.4.

$b = 1$ के साथ, परिमाण की हर इकाई गिनती को 10 से भाग देती है: परिमाण 5 या उससे अधिक के प्रति वर्ष 10 भूकंप, परिमाण 6 या उससे अधिक के 1, और परिमाण 7 या उससे अधिक के 0.1, यानी औसतन हर 10 वर्ष में एक।

अभ्यास 18.5 ★★

1906 के भूकंप ने सैन एंड्रियास भ्रंश को लगभग $430\,\mathrm{km}$ पर तोड़ा। (a) मानकर कि भंजन $15\,\mathrm{km}$ गहराई तक पहुँचा, $4\,\mathrm{m}$ के औसत सरकन के साथ, और $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, उसका भूकंपीय आघूर्ण और आघूर्ण परिमाण परिकलित कीजिए। (b) यदि भंजन केवल $10\,\mathrm{km}$ गहरा था तो परिमाण कितना बदलता है? (c) दोनों अनुमानों में से कौन-सा 7.9 के निकट है?

हल

हल — अभ्यास 18.5.

(a) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, और $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\log_{10}M_0 = 20.89$ और $M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$। (b) $10\,\mathrm{km}$ की गहराई क्षेत्रफल और आघूर्ण को 1.5 से विभाजित करती है, जो परिमाण को $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$ से घटाती है, 7.74 तक। (c) पहला, 7.86, सूची के 7.9 तक पूर्णांकित होता है; दूसरा थोड़ा कम है। परिमाण गहराई के प्रति बहुत संवेदनशील नहीं है: क्षेत्रफल पर 1.5 का गुणक केवल 0.12 परिमाण है।

अभ्यास 18.6 ★★

तोहोकू भूकंप का भंजन लगभग $400\,\mathrm{km}$ लंबा और $150\,\mathrm{km}$ चौड़ा था, और उसका आघूर्ण $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ था। (a) $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ के साथ उसका औसत सरकन परिकलित कीजिए। (b) प्रशांत प्लेट लगभग $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर जापान के नीचे धँसती है: यदि अंतरापृष्ठ पूरी तरह अवरुद्ध है, तो यह सरकन जमा होने में कितना समय लेता है? (c) और यदि अवरोधित भाग 0.8 है, या 0.5?

हल

हल — अभ्यास 18.6.

(a) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}) = 31.1\,\mathrm{m}$। (b) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 374\,\mathrm{yr}$। (c) अवरुद्ध भाग 0.8 हो, तो $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{yr}$; और 0.5 हो, तो $749\,\mathrm{yr}$। अंतरापृष्ठ जितना कम अवरुद्ध है, एक महान भूकंप का सरकन जमा होने में उतना ही अधिक समय लेता है; यहाँ पाया गया औसत सरकन, $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ के आयत और $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ के साथ, स्वयं केवल एक अनुमान है, और वास्तविक सरकन लगभग समान नहीं था।

अभ्यास 18.7 ★★

2004 के सुमात्रा–अंडमान भूकंप का एक नोडल तल स्ट्राइक $329$, नति $8{}^{\circ}$ और रेक $110{}^{\circ}$ रखता है। (a) $\mathbf n$ और $\mathbf d$ को पूर्व, उत्तर और ऊपर के घटकों में लिखिए। (b) सहायक तल का स्ट्राइक, नति और रेक ज्ञात कीजिए। (c) P और T अक्षों की दिगंश और अवनति ज्ञात कीजिए। (d) कौन-सा तल भ्रंश है, और वह किस प्रकार का भ्रंश है?

हल

हल — अभ्यास 18.7.

(a) स्ट्राइक $\phi = 329$ है, नति-दिशा $a = 059$, नति $\delta = 8{}^{\circ}$। तब

$$\begin{aligned} \mathbf s &= (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0),\\ \mathbf u &= (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392),\\ \mathbf n &= (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903) \end{aligned}$$

और $r = 110{}^{\circ}$ के साथ,

$$\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .$$

(b) सहायक तल का अभिलंब $\mathbf d$ और उसका सरकन $\mathbf n$ है। ऊपर की ओर लिए गए अभिलंब के साथ, वह $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ नत है, $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$ की ओर, इसलिए उसका स्ट्राइक $128.8$ है; उसके स्ट्राइक और ऊपर-नति सदिशों पर प्रक्षेपित सरकन $\mathbf n$ रेक $87.2{}^{\circ}$ देता है। पूर्णांकित: $129/83/87$, प्रकाशित हल का दूसरा तल। (c) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ की दिगंश $221$ है और अवनति $37{}^{\circ}$; $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ की दिगंश $036$ है और अवनति $52{}^{\circ}$ (प्रकाशित: $222/38$ और $36/52$)। (d) उथला तल, जो $8{}^{\circ}$ नत है, $059$ की ओर, धँसते स्लैब के साथ: रेक $110{}^{\circ}$ वाला एक उत्क्रम भ्रंश, और $45{}^{\circ}$ से कम नत होने से, एक अधिक्षेप, सबडक्शन-क्षेत्र का प्लेट-अंतरापृष्ठ।

अभ्यास 18.8 ★★

एक ऊर्ध्वाधर भ्रंश जो $045$ स्ट्राइक करता है, दाएँ-पार्श्वीय सरकता है। (a) उद्गम से क्षैतिज रूप से उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम की ओर के स्टेशनों की ओर निकली तरंगों के लिए, कौन-सी धक्कों के रूप में पहुँचती हैं और कौन-सी खिंचाव के रूप में? (b) P और T अक्षों की दिगंश दीजिए। (c) दिखाइए कि $135$ स्ट्राइक करते ऊर्ध्वाधर तल पर एक बाएँ-पार्श्वीय सरकन वही प्रथम गतियाँ देता है।

हल

हल — अभ्यास 18.8.

(a) भ्रंश $135$ की ओर नत है, इसलिए $\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) = (0.707, -0.707, 0)$; दाएँ-पार्श्वीय सरकन का $r = 180{}^{\circ}$ है, $\mathbf d = -\mathbf s = (-0.707, -0.707, 0)$। उत्तर की ओर, $\mathbf x = (0, 1, 0)$: $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$, एक धक्का। पूर्व: $(0.707)(-0.707) < 0$, एक खिंचाव। दक्षिण: धक्का; पश्चिम: खिंचाव। (b) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$: P-अक्ष क्षैतिज है और $090$–$270$ दिशा में है; $\mathbf T = (0, -1, 0)$ की दिशा $000$–$180$ है। (c) $135$–$315$ स्ट्राइक करने वाले ऊर्ध्वाधर तल का अभिलंब $\mathbf d$ है। सरकन $\mathbf n$ के साथ, उसके दक्षिण-पश्चिम की ओर का खंड, जिस ओर $\mathbf d$ इंगित करता है, $135$ की ओर चलता है; उत्तर-पूर्व खंड से, दक्षिण-पश्चिम की ओर देखते हुए, वह बाईं ओर है: एक बाएँ-पार्श्वीय सरकन। प्रतिज्ञप्ति 18.8 से यह सरकन हर दिशा में वही प्रथम गतियाँ देता है।

अभ्यास 18.9 ★★

एक अवरुद्ध स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश के आर-पार, दोनों ओर के दूर-क्षेत्र स्टेशन एक-दूसरे के सापेक्ष $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर चलते हैं। भ्रंश से $10\,\mathrm{km}$ पर एक स्टेशन भ्रंश-रेखा के सापेक्ष $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर चलता है। (a) अवरोधन-गहराई ज्ञात कीजिए। (b) भ्रंश से $30\,\mathrm{km}$ पर एक स्टेशन के वेग का पूर्वानुमान कीजिए। (c) भ्रंश पर कर्तन-विकृति-दर परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.9.

(a) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $10\,\mathrm{km}$ पर $v = V/4$, इसलिए प्रतिज्ञप्ति 18.12(b) से $D = 10\,\mathrm{km}$; सीधे, $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$। (b) $v(30) = (40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$। (c) $V/(\pi D) = 0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ प्रति वर्ष।

अभ्यास 18.10 ★★★

(a) दिखाइए कि यदि $b$ 1.5 से बड़ा होता, तो किसी क्षेत्र के भूकंपों का कुल आघूर्ण सबसे छोटे भूकंपों से प्रभुत्व में होता। (b) $b = 0.8$ के लिए, सबसे ऊपर की परिमाण-इकाई कम से कम कितना आघूर्ण मुक्त करती है? (c) विश्व सूची के $a = 8.20$ और $b = 1.01$ प्रति वर्ष के साथ, नियम पचास वर्षों में परिमाण 9 या उससे अधिक के कितने भूकंप पूर्वानुमानित करता है? 1976–2025 की सूची में दो हैं; टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

(a) $C q^k$ खानों के आघूर्ण अब भी $q = 10^{1.5 - b}$ के साथ हैं, परंतु अब $q < 1$: खानों का आघूर्ण बड़े परिमाणों की ओर घटता है, और निचला खाना, $k = 0$, $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$ का भाग वहन करता है, जो प्रतिज्ञप्ति 18.15 का दर्पण-प्रतिबिंब है। गिने गए सबसे छोटे भूकंप तब प्रभुत्व में होते, और जैसे-जैसे और छोटे भूकंप शामिल होते, कुल सीमा के बिना बढ़ता। (b) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$: कम से कम $80\,\%$। (c) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$, इसलिए $N = 0.13$ प्रति वर्ष और पचास वर्षों में लगभग 6.4, जो प्रेक्षित दो से तीन गुना है। रेखा, जो परिमाण 6 और 7.5 के बीच आरोपित है, सबसे बड़े भूकंपों को अधिक आँकती है; या तो नियम शीर्ष पर नीचे मुड़ता है, जैसा भ्रंशों का परिमित आकार सुझाता है, या पचास वर्ष दशकों में एक बार आने वाली घटनाओं के नमूने के लिए बहुत कम हैं। दो घटनाओं से दोनों संभव हैं।

अभ्यास 18.11 ★★★

एक सीधी बाड़ एक अवरुद्ध दाएँ-पार्श्वीय भ्रंश के आर-पार $V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ और $D = 15\,\mathrm{km}$ के साथ बनाई गई है। (a) 150 वर्ष बाद, भ्रंश से पूर्व में $1\,\mathrm{km}$, $15\,\mathrm{km}$ और $50\,\mathrm{km}$ पर स्थित खंभे, भ्रंश पर के खंभे के सापेक्ष, उसके अनुदिश कितने चले हैं? (b) भ्रंश फिर एक भूकंप में पूरे घाटे के बराबर सरकता है। सरकन क्या है, और भूकंप के दौरान तीनों खंभों में से हर एक कितना चलता है? (c) भाग (d) का प्रतिज्ञप्ति 18.12 तीन खंभों पर जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 18.11.

(a) 150 वर्षों में $x$ पर एक खंभा $150\,v(x) = 150\times(34/\pi) \arctan(x/15)$ मिलीमीटर भ्रंश पर के खंभे के सापेक्ष चलता है: $0.11\,\mathrm{m}$ पर $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ $15\,\mathrm{km}$ पर, $2.08\,\mathrm{m}$ $50\,\mathrm{km}$ पर, दक्षिण की ओर, पश्चिम से देखे गए दाएँ-पार्श्वीय भ्रंश के लिए। (b) सरकन-घाटा है $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times150\,\mathrm{yr} = 5.1\,\mathrm{m}$। भूकंप के दौरान खंभे $(s/\pi)\arctan(D/x)$ चलते हैं: $2.44\,\mathrm{m}$ पर $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ $15\,\mathrm{km}$ पर, $0.47\,\mathrm{m}$ $50\,\mathrm{km}$ पर। (c) योग $0.11 + 2.44$, $1.28 + 1.28$ और $2.08 + 0.47$ हैं, सब $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$: भूकंप के बाद बाड़ पूर्वी ओर फिर सीधी है, $s/2$ विस्थापित, और पश्चिमी ओर, सममिति से, $-s/2$ से।

अभ्यास 18.12 ★★★

एक भूकंप की एक क्षैतिज P-अक्ष है जिसकी दिगंश $000$ है, और एक क्षैतिज T-अक्ष जिसकी दिगंश $090$ है। (a) दिखाइए कि उसके नोडल तल ऊर्ध्वाधर हैं और $045$ तथा $135$ स्ट्राइक करते हैं, $\mathbf n$ और $\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$ का उपयोग करते हुए। (b) हर तल पर सरकन की संवेदना दीजिए। (c) यदि भ्रंश $\phi = 30{}^{\circ}$ वाली चट्टान में एक नए भ्रंश के रूप में बना होता, P-अक्ष के अनुदिश एक $\sigma_1$ के अंतर्गत, तो वह किन स्ट्राइकों पर होता, और P-अक्ष $\sigma_1$ का केवल सन्निकटन क्यों है? (d) पास में एक मानचित्रित भ्रंश $040$ स्ट्राइक करता है। कौन-सा नोडल तल संभवतः भ्रंश है, और उसके सरकन की संवेदना क्या है?

हल

हल — अभ्यास 18.12.

(a) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ और $\mathbf T = (1, 0, 0)$। युग्म $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$, $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ संतुष्ट करता है $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ और $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$। दोनों सदिश क्षैतिज हैं, इसलिए दोनों नोडल तल ऊर्ध्वाधर हैं: अभिलंब $\mathbf n$ वाला तल ($045$ की ओर) $135$–$315$ स्ट्राइक करता है, अभिलंब $\mathbf d$ वाला तल ($135$ की ओर) $045$–$225$ स्ट्राइक करता है। (b) $315$ स्ट्राइक करने वाले तल पर, उत्तर-पूर्व की ओर का खंड $\mathbf d$ के अनुदिश चलता है, $135$ की ओर: दूसरे खंड से देखने पर दाईं ओर, एक दाएँ-पार्श्वीय सरकन। $045$ स्ट्राइक करने वाले तल पर, दक्षिण-पूर्व की ओर का खंड $\mathbf n$ के अनुदिश चलता है, $045$ की ओर: एक बाएँ-पार्श्वीय सरकन। (c) एक नया भ्रंश $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ के साथ $\sigma_1$ बनाता है: $\sigma_1$ के $000$ दिशा में होने पर, भ्रंश $030$ (बाएँ-पार्श्वीय) और $330$ (दाएँ-पार्श्वीय) स्ट्राइक करेंगे, नोडल तलों से $15{}^{\circ}$ दूर। P-अक्ष ज्यामिति से नोडल तलों से $45{}^{\circ}$ पर तय है, चट्टान के घर्षण से स्वतंत्र, इसलिए वह $\sigma_1$ के साथ तभी मेल खाता है जब भ्रंश उससे $45{}^{\circ}$ पर सरका हो। (d) $040$ स्ट्राइक करने वाला भ्रंश $045$ स्ट्राइक करने वाले नोडल तल से $5{}^{\circ}$ दूर है: वही तल संभवतः भ्रंश है, और उस पर सरकन बाएँ-पार्श्वीय है।

18.7 समस्या: एक अवरुद्ध भ्रंश पर अगला महान भूकंप

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — एक स्ट्राइक-स्लिप प्लेट-सीमा का एक अवरुद्ध खंड, उसके भार और पिछले भूकंपों से अगले भूकंप के परिमाण तक

एक सीधा, ऊर्ध्वाधर स्ट्राइक-स्लिप भ्रंश दो प्लेटों के बीच की सीमा बनाता है। उसका एक $250\,\mathrm{km}$ लंबा खंड अवरुद्ध है; उसके भूकंप $15\,\mathrm{km}$ से गहरे शुरू नहीं होते। उसके आर-पार खोदी गई खंदकें उसके अंतिम चार महा-भूकंपों को लगभग 1050, 1290, 1480 और 1712 की तिथि देती हैं, जिनके विस्थापन $7.0$, $6.0$, $5.5$ और $7.5\,\mathrm{m}$ हैं। दोनों ओर भ्रंश से दूर के स्थायी स्टेशन एक-दूसरे के सापेक्ष $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ पर चलते हैं। $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ लीजिए, वर्ष 2025 को वर्तमान मानिए, और परिमाण 0.01 तक दीजिए।

भाग I — भार।

1. चार भूकंपों के बीच के अंतराल और उनका औसत परिकलित कीजिए।
2. औसत विस्थापन परिकलित कीजिए, और पूरी तरह अवरुद्ध भ्रंश के लिए प्रतिज्ञप्ति 18.2 से उसके द्वारा निहित पुनरावृत्ति अंतराल।
3. केवल खंदक से सरकन-दर परिकलित कीजिए, अंतिम तीन भूकंपों के विस्थापनों और पहले तथा अंतिम के बीच के समय से। भू-आकलन की दर से तुलना कीजिए।
4. अंतिम भूकंप कितने समय पहले था, और यदि खंड पूरी तरह अवरुद्ध है तो तब से कितना सरकन-घाटा जमा हुआ है?
5. इस घाटे की खंदक के विस्थापनों से तुलना कीजिए। क्या अगला भूकंप समय से पहले आना चाहिए था?
6. खंदक अगले भूकंप की तिथि क्यों नहीं दे सकती?

भाग II — अगले भूकंप का आकार।

7. भ्रंश-खंड के अवरुद्ध भाग का क्षेत्रफल क्या है?
8. वह भूकंपीय आघूर्ण परिकलित कीजिए जो पूरा घाटा मुक्त करेगा।
9. 1712 के भूकंप का आघूर्ण परिमाण परिकलित कीजिए, यह मानकर कि उसने वही क्षेत्र तोड़ा, जिसका औसत सरकन उसका खंदक-विस्थापन था।
10. अगले भूकंप का आघूर्ण 1712 के आघूर्ण से कितने गुना अधिक है, और वह परिमाण की कितनी इकाइयाँ है?
11. यदि खंड का केवल आधा उसी सरकन के साथ टूटा, तो परिमाण क्या होगा?
12. खंड हर वर्ष कितना भूकंपीय आघूर्ण संचित करता है?

भाग III — आवृत्ति और ऊर्जा।

13. क्षेत्र की सूची $\log_{10} N = 4.3 - M$ प्रति वर्ष का अनुसरण करती है, क्षेत्र के सभी भ्रंशों से। उसका b-मान क्या है, और वह हर वर्ष परिमाण 5 या उससे अधिक, और 6 या उससे अधिक के कितने भूकंप देती है?
14. यह कितना माध्य समय देती है परिमाण 7 या उससे अधिक, और परिमाण 8 या उससे अधिक, के भूकंपों के बीच?
15. सूची से एक महान भूकंप की पुनरावृत्ति की तुलना खंदक से मिली पुनरावृत्ति से कीजिए। अंतर छोटे भूकंपों के नियम से महान भूकंपों का पूर्वानुमान लगाने के बारे में क्या कहता है?
16. क्षेत्रीय नियम के परिमाण 5 से 8 तक के भूकंप, सब मिलकर, लगभग $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ प्रति वर्ष मुक्त करते हैं। खंड के आघूर्ण का कितना भाग वह है?
17. अगला महान भूकंप परिमाण 6 के भूकंप से कितनी गुना अधिक ऊर्जा विकिरित करेगा?
18. प्रतिज्ञप्ति 18.15 का उपयोग करके समझाइए कि खंड के मध्यम भूकंप उसे क्यों मुक्त नहीं करते।

भाग IV — स्टेशनों से अवरोधन-गहराई।

19. भ्रंश-रेखा के सापेक्ष खंड के आर-पार एक स्टेशन-परिच्छेद, $-11.6$, $-7.5$, $-3.1$, $3.1$, $7.5$ और $11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ वेग देता है, $x = -40$, $-15$, $-5$, $5$, $15$ और $40\,\mathrm{km}$ पर। जाँचिए कि परिच्छेद विषम है, और भ्रंश से दूर अपेक्षित वेग दीजिए।
20. $15\,\mathrm{km}$ के स्टेशन से अवरोधन-गहराई परिकलित कीजिए।
21. $5\,\mathrm{km}$ और $40\,\mathrm{km}$ के स्टेशनों से उसे फिर परिकलित कीजिए, और छोटे अंतरों की व्याख्या कीजिए।
22. अवरोधन-गहराई की भूकंपों की गहराई से तुलना कीजिए, और बताइए कि उन्हें क्यों मेल खाना चाहिए।
23. भ्रंश पर कर्तन-विकृति-दर परिकलित कीजिए।
24. 0.01 तक, उस भूकंप का आघूर्ण परिमाण क्या है जो खंड का पूरा सरकन-घाटा मुक्त करेगा?

हल

हल — समस्या 18.1.

1. अंतराल $1290 - 1050 = 240$, $1480 - 1290 = 190$ और $1712 - 1480 = 232$ वर्ष हैं; उनका माध्य $220.7\,\mathrm{yr}$ है।

2. औसत विस्थापन $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$ है, और $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{yr}$, जो माध्य अंतराल के निकट है।

3. अंतिम तीन भूकंपों के विस्थापन, $6.0 + 5.5 + 7.5 = 19.0\,\mathrm{m}$, 1050 और 1712 के बीच 662 वर्षों में जमा हुए: $19.0\,\mathrm{m} /662\,\mathrm{yr} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, भू-आकलन के $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ से $4\,\%$ कम। दोनों मेल खाते हैं, अनिश्चितता के भीतर, तिथियों और विस्थापनों की: खंड अपने महान भूकंपों में अपने लगभग पूरे भार को मुक्त करता है।

4. $2025 - 1712 = 313$ वर्ष, और घाटा $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times313\,\mathrm{yr} = 9.39\,\mathrm{m}$ है।

5. घाटा खंदक के हर विस्थापन से अधिक है, जिनमें सबसे बड़ा $7.5\,\mathrm{m}$ है, और 1712 से अब तक का समय सबसे लंबे अंतराल, 240 वर्ष, से अधिक है। इस अर्थ में खंड समय से पीछे है; इसका अर्थ यह नहीं कि भूकंप आसन्न है, केवल यह कि भ्रंश के पास अभिलेख में एक साथ मुक्त हुए सरकन से अधिक सरकन पहले से है।

6. अंतराल 190 से 240 वर्ष तक और विस्थापन $5.5\text{ से }7.5\,\mathrm{m}$ तक हैं: चक्र आवर्ती नहीं है, और अगले भूकंप पर भ्रंश की सामर्थ्य अज्ञात है। खंदक एक माध्य और एक प्रसार देती है, जिससे एक प्रायिकता, तिथि नहीं, आँकी जा सकती है।

7. $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} = 3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$।

8. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 = 1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$।

9. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 = 8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, इसलिए $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$।

10. अनुपात $9.39/7.5 = 1.25$ है, जो $\tfrac23\log_{10}1.25 = 0.07$ परिमाण है।

11. आधा क्षेत्रफल आघूर्ण को आधा करता है और परिमाण को $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$ से घटाता है: $M_w = 7.75$।

12. $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 = 3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ प्रति वर्ष।

13. $b = 1$। $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ प्रति वर्ष और $N(6) = 0.020$ प्रति वर्ष।

14. $N(7) = 0.0020$ प्रति वर्ष: हर 500 वर्ष में एक; $N(8) = 0.00020$ प्रति वर्ष: हर $5000$ वर्ष में एक।

15. नियम परिमाण 7.95 या उससे अधिक का एक भूकंप हर $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ वर्ष में देता है, खंदक हर 220 वर्ष में एक, यानी बीस गुना बार-बार। नियम क्षेत्र के सभी भ्रंशों के असंख्य छोटे भूकंपों पर आरोपित है; एक खंड के महान भूकंपों तक बहिर्वेशित किए जाने पर वह उन्हें बुरी तरह कम आँकता है। किसी भ्रंश पर महान भूकंपों की पुनरावृत्ति उसके अपने अभिलेख और उसके भार से ली जाती है, छोटों से नहीं।

16. $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$: मध्यम भूकंप खंड द्वारा संचित आघूर्ण का $16\,\%$ मुक्त करते हैं।

17. प्रतिज्ञप्ति 18.5 से, $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ गुना अधिक।

18. $b = 1$ के साथ, भूकंपों का आघूर्ण सबसे बड़े से प्रभुत्व में होता है: मध्यम भूकंप जो भी करें, वे एक छोटा भाग, यहाँ $16\,\%$, मुक्त करते हैं, और शेष $84\,\%$, यानी सरकन-घाटा, अगले महान भूकंप की प्रतीक्षा करता है।

19. हर युग्म के लिए $v(-x) = -v(x)$, इसलिए परिच्छेद विषम है। भ्रंश से दूर वेग $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ की ओर प्रवृत्त होते हैं।

20. $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} = 15\,\mathrm{km}$: अवरोधन-गहराई पर वेग $V/4$ है।

21. $5\,\mathrm{km}$ पर: $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$; $40\,\mathrm{km}$ पर: $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$। वेग $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ तक दिए गए हैं, और अकेला वह पूर्णांकन $D$ को लगभग $0.1\,\mathrm{km}$ खिसका देता है; वास्तविक आँकड़ों के साथ हर स्टेशन का शोर अधिक होगा, और अवरोधन-गहराई सभी स्टेशनों पर एक साथ निर्धारित की जाएगी।

22. अवरोधन-गहराई, $15\,\mathrm{km}$, सबसे गहरे भूकंपों की गहराई के बराबर है। भ्रंश का अवरुद्ध भाग उसका भंगुर भाग है, भूकंप-जनक परत, जहाँ घर्षण उसे भूकंपों के बीच रोकता है और उनमें विफल होता है; उसके नीचे, गरम चट्टान विसर्पित होती है (अध्याय 16) और भ्रंश स्थिरता से सरकता है, यानी मॉडल में वेग $V$ पर, $D$ के नीचे सरकन।

23. $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ प्रति वर्ष।

24. $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ के साथ, $\log_{10}M_0 = 21.024$ और $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$। 0.01 तक, वह भूकंप जो खंड का पूरा घाटा मुक्त करेगा, उसका आघूर्ण परिमाण 7.95 है।