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Matemáticas · 术语表

什么是 convergencia normal？

Definición 10.9 Matemáticas universitarias — Grado 2 · 第 10 章 — Sucesiones y series de funciones

Una serie de funciones ∑un\sum u_n converge puntual/uniformemente cuando lo hacen sus sumas parciales. Converge normalmente (sobre XX) cuando ∑∥un∥∞<∞\sum \norm{u_n}_\infty < \infty. La convergencia normal implica la uniforme (en el espacio de Banach de las funciones acotadas: Teorema 5.21), que implica la puntual; ambas implicaciones son estrictas.

示例

Ejemplo 10.10 (Una serie, tres veredictos)

Tomemos un(x)=xnnu_n(x) = \frac{x^n}{n} sobre [0, 1)\intco{0}{1}. Puntualmente: converge para todo x∈[0, 1)x \in \intco01 (comparación con la serie geométrica). Normalmente sobre [0, a]\intcc{0}{a}, a<1a < 1: ∥un∥∞,[0, a]=ann\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}, sumable. No normalmente sobre [0, 1)\intco{0}{1}: ∥un∥∞,[0, 1)=1n\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n, y ∑1n\sum\frac1n diverge. Ni siquiera uniformemente sobre [0, 1)\intco{0}{1}: el resto se resiste cerca de 11,

RN(x)=∑n>Nxnn≥∑n=N+12Nxnn≥N x2N2N=x2N2→x→1−12,R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n} \geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n} \geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2} \xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,

de modo que sup⁡[0, 1)∣RN∣≥12\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12 para todo NN. Moraleja: los cuatro veredictos conviven en paz; la suma −ln⁡(1−x)-\ln(1-x) es continua sobre [0, 1)\intco{0}{1} porque la continuidad solo necesita uniformidad cerca de cada punto, es decir, sobre los segmentos [0, a]\intcc0a; explotar en el borde es un derecho de la suma.

Ejemplo 10.13 (La función ζ\zeta de Riemann)

ζ(s)=∑n≥1n−s\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s} converge normalmente sobre toda semirrecta [a, +∞)\intco{a}{+\infty} con a>1a > 1 (∥n−s∥∞=n−a\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}, sumable): ζ\zeta es continua sobre (1, +∞)\intoo{1}{+\infty}; y derivando término a término (la serie derivada ∑−ln⁡n  n−s\sum -\ln n\; n^{-s} también converge normalmente sobre [a, ∞)\intco{a}{\infty}), ζ\zeta es de clase C1C^1 —y, iterando, C∞C^\infty— con ζ′(s)=−∑ln⁡nns\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}. Obsérvese la disciplina: la convergencia normal se comprueba sobre subsemirrectas, nunca sobre el abierto (1, ∞)\intoo{1}{\infty} mismo, donde falla.

Ejemplo 10.14 (Una serie logarítmica, hasta el final)

Sea F(x)=∑n≥1e−nxnF(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n} sobre (0, ∞)\intoo{0}{\infty}. Cada término está acotado sobre [δ, ∞)\intco{\delta}\infty por e−nδn≤e−nδ\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}, término de una serie geométrica convergente: convergencia normal sobre cada [δ, ∞)\intco\delta\infty, luego FF es continua sobre (0, ∞)\intoo{0}{\infty}. La serie derivada ∑−e−nx\sum -\eu^{-nx} es igualmente normalmente convergente sobre [δ, ∞)\intco\delta\infty (∥e−nx∥∞,[δ, ∞)=e−nδ\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}), de modo que FF es C1C^1 con derivada geométrica:

F′(x)=−∑n≥1e−nx=−e−x1−e−x=−1ex−1.F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx} = \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .

Iterando, FF es de clase C∞C^\infty. Integrando F′F' (tanto FF como x↦−ln⁡(1−e−x)x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x}) se anulan en +∞+\infty y tienen la misma derivada sobre (0, ∞)\intoo0\infty):

F(x)=−ln⁡(1−e−x),F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),

la serie logarítmica en t=e−xt = \eu^{-x}. Moraleja: cuando x→0+x \to 0^+, F(x)=−ln⁡(x+O(x2))=ln⁡1x+O(x)F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x); la serie diverge logarítmicamente en la frontera, exactamente igual que la serie armónica en la que se convierte en x=0x = 0, y la convergencia normal sobre [δ, ∞)\intco\delta\infty pero no sobre (0, ∞)\intoo0\infty es el síntoma.

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