Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

11Funciones y variación

Este capítulo organiza lo que hay que saber sobre funciones antes de entrar en el cálculo: la pequeña familia de funciones de referencia cuyas gráficas hay que saberse de memoria, el significado preciso de creciente y decreciente, y cómo se comporta la variación al combinar funciones.

11.1 Funciones y curvas

Definición 11.1 (Función, dominio, curva)

Una función $f$ asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subseteq \R$ (su dominio) exactamente un número $f(x)$ . Su curva (o gráfica) es el conjunto de los puntos $\bigl(x, f(x)\bigr)$ con $x \in D$ .

Ejemplo 11.2

La fórmula $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (por la raíz cuadrada) y $x \neq 1$ (denominador no nulo): el dominio es $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 Las funciones de referencia

Las cinco funciones siguientes y sus curvas tienen que convertirse en un reflejo.

Definición 11.3 (Funciones de referencia)

x \mapsto x^2 \text{ (cuadrado)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (cubo)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Sus dominios son, respectivamente, $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ y $\R$ . La curva de $x \mapsto \frac1x$ es una hipérbola.

Las cinco curvas de referencia: la parábola x2 y el cubo x3 (izquierda); √ x, x y la hipérbola 1x (derecha). — Las cinco curvas de referencia: la parábola $x^2$ y el cubo $x^3$ (izquierda); $\sqrt x$ , $\abs x$ y la hipérbola $\frac1x$ (derecha).

11.3 Variación en un intervalo

Definición 11.4 (Creciente, decreciente)

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ . La función $f$ es creciente en $I$ si conserva el orden:

\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

y decreciente si lo invierte ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Con desigualdades estrictas a la derecha, $f$ es estrictamente creciente (resp. decreciente). Una función creciente o decreciente en $I$ se dice monótona en $I$ .

Método 11.5 (Demostrar una variación a partir de la definición)

Toma dos números cualesquiera $u < v$ del intervalo y determina el signo de la diferencia $f(v) - f(u)$ , normalmente factorizándola. Si el signo es constante en el intervalo, concluye.

Proposición 11.6 (Variación de las funciones de referencia)

$x^2$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ es estrictamente creciente en $\R$ .
$\sqrt x$ es estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ es estrictamente decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$ (pero no en su unión).
$\abs x$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .

Demostración. Sea $u < v$ . Factorizamos $f(v) - f(u)$ en cada caso.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . En $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ y $v + u > 0$ (porque $v > u \geq 0$ ), luego $v^2 > u^2$ . En $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , luego $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , y el segundo factor vale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ salvo si $u = v = 0$ . Por tanto, $v^3 > u^3$ siempre que $v > u$ .

3. Para $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Para $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ , porque $u - v < 0$ y $uv > 0$ ; el mismo cálculo vale para $u < v < 0$ . En la unión la afirmación falla: $-1 < 1$ , pero $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. En $\intco{0}{+\infty}$ , $\abs x = x$ es estrictamente creciente; en $\intoc{-\infty}{0}$ , $\abs x = -x$ es estrictamente decreciente. ∎

Observación 11.7

El punto 4 es una trampa clásica: “decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$ ” no es lo mismo que “decreciente en $\R \setminus \{0\}$ ”. La variación solo tiene sentido en intervalos.

Ejemplo 11.8 (Comparar sin calcular)

Como $\sqrt x$ es estrictamente creciente, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; como $x^2$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ , $(-3)^2 > (-2)^2$ . La monotonía convierte las comparaciones de imágenes en comparaciones de argumentos.

11.4 Funciones nuevas a partir de otras

Proposición 11.9 (Transformaciones)

Sea $u$ una función definida en un intervalo $I$ y sea $k \in \R$ .

$u + k$ tiene la misma variación que $u$ en $I$ ; su curva es la de $u$ desplazada verticalmente en $k$ .
Para $\lambda > 0$ , $\lambda u$ tiene la misma variación que $u$ ; para $\lambda < 0$ , la variación se invierte.
Si $u \geq 0$ en $I$ , entonces $\sqrt u$ tiene la misma variación que $u$ .
Si $u \neq 0$ y $u$ tiene signo constante en $I$ , entonces $\frac1u$ tiene la variación contraria a la de $u$ .

Demostración. Sean $x_1 < x_2$ en $I$ y escribamos $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ para sus imágenes.

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : la diferencia de imágenes no cambia, luego tampoco su signo.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : el signo se conserva si $\lambda > 0$ y se invierte si $\lambda < 0$ .

3. Si $u$ es creciente y $x_1 < x_2$ , entonces $0 \leq s \leq t$ , y como la raíz cuadrada es creciente (Proposición 11.6) se obtiene $\sqrt s \leq \sqrt t$ . El mismo argumento vale en el caso decreciente.

4. Si $u$ es creciente y $0 < s \leq t$ (o $s \leq t < 0$ ), entonces $\frac1s \geq \frac1t$ , porque $x \mapsto \frac1x$ es decreciente a cada lado de $0$ : el orden se invierte. ∎

Ejemplo 11.10

Estudiemos $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en $\R$ . La función interior $u(x) = x^2 + 1$ es positiva, decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y creciente en $\intco{0}{+\infty}$ (un cuadrado desplazado). Por el punto 3, $f$ tiene la misma variación: decreciente y después creciente, con mínimo $f(0) = 1$ .

Las transformaciones en acción: desplazar x2 una unidad hacia arriba (en rojo) conserva su variación; tomar la raíz cuadrada (en naranja) la conserva de nuevo, como en el . — Las transformaciones en acción: desplazar $x^2$ una unidad hacia arriba (en rojo) conserva su variación; tomar la raíz cuadrada (en naranja) la conserva de nuevo, como en el Ejemplo 11.10.

11.5 Funciones pares e impares

Definición 11.11 (Paridad)

Sea $f$ definida en un dominio $D$ simétrico respecto de $0$ (es decir, $-x \in D$ siempre que $x \in D$ ). La función $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x \in D$ , e impar si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in D$ .

Proposición 11.12 (Significado geométrico)

La curva de una función par es simétrica respecto del eje $y$ ; la curva de una función impar es simétrica respecto del origen.

Demostración. Si $f$ es par y $(x, y)$ está en la curva (o sea, $y = f(x)$ ), entonces $f(-x) = f(x) = y$ : el punto simétrico $(-x, y)$ también está en la curva. Si $f$ es impar, $f(-x) = -y$ : el punto $(-x, -y)$ , simétrico de $(x,y)$ respecto del origen, está en la curva. ∎

Ejemplo 11.13

$x^2$ y $\abs x$ son pares; $x^3$ y $\frac1x$ son impares; $f(x) = x^2 + x$ no es ni lo uno ni lo otro: $f(-1) = 0$ mientras que $f(1) = 2$ , luego $f(-1) \neq \pm f(1)$ . La paridad reduce el trabajo a la mitad: una función par o impar solo hay que estudiarla en $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Ejercicios

Ejercicio 11.1 ★

Da el dominio de cada función:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

$f$ : hace falta $3 - x \geq 0$ , dominio $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : hace falta $x^2 - 4 \neq 0$ , es decir, $x \neq \pm 2$ : dominio $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : hacen falta $x \geq 0$ y $x \neq 5$ : dominio $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.2 ★

Usando la variación de las funciones de referencia, compara sin calculadora:

\sqrt{11} \text{ y } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ y } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ y } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ y } (-0.99)^3 .

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ , porque la raíz cuadrada es creciente y $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ , porque $x^2$ es decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ , porque $\frac1x$ es decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ y $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ , porque $x^3$ es creciente y $-1.01 < -0.99$ .

Ejercicio 11.3 ★

Determina si cada función es par, impar o ninguna de las dos cosas:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : par.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : impar.

$h(1) = 2$ y $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , así que $h(-1)$ no es ni $h(1)$ ni $-h(1)$ : ni par ni impar.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : impar.

Ejercicio 11.4 ★

Una función $f$ tiene el siguiente comportamiento: crece en $\intcc{-3}{1}$ desde $f(-3) = -2$ hasta $f(1) = 4$ y decrece después en $\intcc{1}{5}$ hasta $f(5) = 0$ . ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $f(x) = 1$ en $\intcc{-3}{5}$ ? ¿Y $f(x) = 5$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

Leemos la tabla de variación. En $\intcc{-3}{1}$ , $f$ sube de $-2$ a $4$ y cruza el valor $1$ exactamente una vez; en $\intcc{1}{5}$ baja de $4$ a $0$ y cruza $1$ otra vez: la ecuación $f(x) = 1$ tiene $2$ soluciones. El máximo de $f$ es $f(1) = 4 < 5$ , así que $f(x) = 5$ no tiene solución.

Ejercicio 11.5 ★★

Usando el Método 11.5 (el signo de $f(v) - f(u)$ ), demuestra que $f(x) = x^2 - 4x$ es estrictamente creciente en $\intco{2}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

Sea $2 \leq u < v$ . Entonces

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Los dos factores son positivos: $v - u > 0$ y $u + v > 2 + 2 = 4$ , porque $u \geq 2$ y $v > 2$ . Por tanto, $f(v) > f(u)$ : $f$ es estrictamente creciente en $\intco{2}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.6 ★★

Sin calcular ninguna derivada, da la variación de

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ en } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ en } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ en } \intco{0}{+\infty}.

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

$f = \sqrt{u}$ con $u(x) = 5 - x$ decreciente y no negativa en $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ es decreciente ahí (Proposición 11.9).

$g = \frac1u$ con $u(x) = x^2 + 1$ creciente y positiva en $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ es decreciente ahí.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ es creciente, multiplicar por $-2 < 0$ invierte y sumar $3$ no cambia nada: $h$ es decreciente en $\intco{0}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.7 ★★

Sea $f(x) = (x-2)^2 - 3$ en $\R$ .

Da la variación de $f$ y su mínimo.
Deduce la variación de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ y su máximo. (Observa que $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

1. $f$ ya está en forma canónica: decreciente en $\intoc{-\infty}{2}$ , creciente en $\intco{2}{+\infty}$ , con mínimo $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ con $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . Sumar $4$ conserva la variación de $f$ , y $u \geq 1 > 0$ . Tomar el inverso la invierte: $g$ es creciente en $\intoc{-\infty}{2}$ y decreciente en $\intco{2}{+\infty}$ , con máximo $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Ejercicio 11.8 ★★

La curva de una función $f$ pasa por los puntos $(0, 1)$ , $(2, 3)$ y $(4, 1)$ , y $f$ es creciente en $\intcc{0}{2}$ y decreciente en $\intcc{2}{4}$ . Esboza una curva posible y esboza después las curvas de $f + 2$ , de $-f$ y de $2f$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

Sirve cualquier curva en forma de colina que pase por los tres puntos. Entonces: $f + 2$ pasa por $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , con la misma variación (desplazamiento vertical); $-f$ pasa por $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ con la variación invertida (la cima se vuelve valle); y $2f$ pasa por $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , con la misma variación, pero amplificada verticalmente.

Ejercicio 11.9 ★★

Demuestra que la función $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ se puede escribir $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ y deduce su variación en $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . En $\intoo{-1}{+\infty}$ , $u(x) = x + 1$ es creciente y positiva, luego $\frac1u$ es decreciente, $-\frac1u$ es creciente y sumar $2$ no cambia nada: $f$ es estrictamente creciente en $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.10 ★★

¿Verdadero o falso? (Justifícalo o da un contraejemplo.)

La suma de dos funciones crecientes en $I$ es creciente en $I$ .
El producto de dos funciones crecientes en $I$ es creciente en $I$ .
Si $f$ es creciente en $I$ , entonces $f^2$ ( $= f \times f$ ) es creciente en $I$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

1. Verdadero. Si $u < v$ , entonces $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ es suma de dos números no negativos.

2. Falso. $f(x) = g(x) = x$ son crecientes en $\R$ , pero su producto $x^2$ no es creciente en $\R$ (decrece en $\intoc{-\infty}{0}$ ). (El enunciado sí es cierto si además las dos funciones son no negativas.)

3. Falso. El mismo contraejemplo: $f(x) = x$ es creciente en $\R$ , pero $f^2(x) = x^2$ no lo es.

Ejercicio 11.11 ★★★

Sea $f(x) = x + \frac{1}{x}$ para $x > 0$ .

Demuestra que para $0 < u < v$ se cumple $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Deduce que $f$ es estrictamente decreciente en $\intoc{0}{1}$ y estrictamente creciente en $\intco{1}{+\infty}$ .
Concluye que $x + \frac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , con igualdad solo en $x = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

1. Para $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Siempre $v - u > 0$ y $uv > 0$ . Si $0 < u < v \leq 1$ , entonces $uv < 1$ , luego $uv - 1 < 0$ y $f(v) < f(u)$ : $f$ es estrictamente decreciente en $\intoc{0}{1}$ . Si $1 \leq u < v$ , entonces $uv > 1$ y $f(v) > f(u)$ : $f$ es estrictamente creciente en $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ decrece antes de $1$ y crece después, así que $f(x) \geq f(1) = 2$ para todo $x > 0$ , con igualdad exactamente en $x = 1$ . (Esta desigualdad reaparece con muchos disfraces; compara con el Ejemplo 10.3 y con las desigualdades de la recta tangente del Capítulo 22.)

11.7 Problema: La fábrica de simetrías

Problema 11.1

Problema de fin de semana — toda función es una parte par más una parte impar: reglas de paridad, el juego de las transformaciones y mínimos ganados sin cálculo diferencial

Algunas funciones son simétricas como en un espejo, otras lo son respecto de un medio giro y la mayoría no son ni una cosa ni otra; y sin embargo un pequeño milagro algebraico afirma que toda función es, de una única manera, la suma de una pieza simétrica de espejo y una pieza simétrica de medio giro. Este problema demuestra el milagro, juega al juego de las transformaciones sobre las curvas de referencia (Proposición 11.9) y cierra con la técnica de factorizar diferencias del Ejercicio 11.11, que gana problemas de minimización un capítulo entero antes de que llegue la derivada.

Parte I — Soltura con la paridad.

¿Par, impar o ninguna de las dos cosas (Definición 11.11)? Justifica cada caso: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
Enuncia el significado geométrico de cada veredicto (Proposición 11.12): ¿qué simetría tiene la curva de una función par? ¿Y la de una impar?
La paridad se multiplica como los signos: demuestra que el producto de dos funciones impares es par y completa la tabla de multiplicar entera (par $\times$ par, par $\times$ impar, impar $\times$ impar).
Consecuencias rápidas: si $f$ es impar y está definida en $0$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ? Si $f$ es par y $f(3) = 7$ , ¿cuánto vale $f(-3)$ ? Y demuestra que la única función a la vez par e impar es la función nula.
¿Qué parte de la curva de una función par determina toda la curva? Da una función que no sea ni par ni impar y explica qué falla.

Parte II — El teorema de descomposición. Para una función $f$ definida en un dominio simétrico respecto de $0$ , tomemos

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

Calcula $E$ y $O$ para $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ y comprueba que $E$ es par, $O$ es impar y $E + O = f$ .
Demuestra el enunciado general: para cualquier $f$ , la función $E$ es par, $O$ es impar y $f = E + O$ ; toda función se descompone en una parte par y una parte impar.
Demuestra que la descomposición es única: si $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ con $E_i$ par y $O_i$ impar, usa la pregunta 4 sobre $E_1 - E_2$ .
Descompón $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (para $x \neq \pm 1$ ): reduce $E$ y $O$ al denominador común $1 - x^2$ y simplifica.
Un vistazo al futuro, una frase para cada cosa: las partes par e impar de la función exponencial serán las funciones gemelas del año que viene (coseno y seno hiperbólicos); y ese mismo instinto, partir un objeto en piezas simétricas y tratar cada una con su propia simetría, mueve el análisis del sonido y de las señales de los volúmenes universitarios. ¿Por qué es útil, en general, una descomposición así?

Parte III — El juego de las transformaciones.

Partiendo de la curva de $x \mapsto x^2$ , describe con precisión las curvas de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ (Proposición 11.9).
Reduce $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ a una fórmula a trozos en los tres intervalos que determinan $-2$ y $2$ , y describe su curva (tiene un famoso fondo plano).
¿Qué transformaciones respetan la paridad? Decide, con demostración o contraejemplo: el desplazamiento horizontal $f(x - 3)$ ; el desplazamiento vertical $f(x) + 2$ ; la dilatación vertical $2 f(x)$ (todos aplicados a una $f$ par).
Resuelve $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ usando la fórmula a trozos de la pregunta 12.
Ingeniería inversa: una parábola tiene vértice $(2, -3)$ y pasa por $(0, 1)$ . Reconstruye su ecuación en forma canónica.

Parte IV — Mínimos sin cálculo diferencial.

Repite el Ejercicio 11.11 para $g(x) = x + \dfrac4x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : demuestra que $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localiza el mínimo y da su valor.
Aplícalo: de entre todos los rectángulos de área $16$ , ¿cuál tiene el menor perímetro? (Escribe $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ y usa la máquina de la pregunta 16.) Concluye un viejo conocido.
Determina la variación de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en todo $\R$ , combinando un argumento de composición en $\intco{0}{+\infty}$ con un argumento de paridad para el resto.
El punto más cercano: halla el punto de la curva $y = \sqrt x$ más próximo a $(3, 0)$ . (Minimiza la distancia al cuadrado, que es un polinomio de segundo grado en $x$ , y explica por qué es legítimo minimizar el cuadrado.)
Final, la visita a la fábrica: las curvas de referencia son la materia prima; las transformaciones, las máquinas; la paridad y la descomposición, el control de calidad; la factorización de diferencias, el banco de medida. Una frase para cada una, y nombra la herramienta eléctrica que entrega el capítulo siguiente.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : par ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). $x^3 - x$ : impar. $x^2 + x$ : ninguna de las dos ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ y tampoco $= -f(1)$ ). $\abs x$ : par. $\frac1x$ : impar.

2. Par: la curva es simétrica respecto del eje $y$ (espejo). Impar: simétrica respecto del origen (medio giro).

3. Si $f$ y $g$ son impares: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : par. Tabla: par $\times$ par $=$ par; par $\times$ impar $=$ impar; impar $\times$ impar $=$ par; la regla de los signos, con paridades.

4. Impar en $0$ : $f(0) = -f(0)$ , luego $f(0) = 0$ . Par: $f(-3) = f(3) = 7$ . Par e impar a la vez: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ , luego $2f(x) = 0$ : $f$ es la función nula.

5. La mitad derecha ( $x \geq 0$ ) determina por completo una función par: la mitad izquierda es su reflejo. Ni par ni impar: $x^2 + x$ (pregunta 1); sus dos simetrías fallan en $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (par) y $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (impar); su suma es $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : par. $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : impar. Y $E(x) + O(x) = f(x)$ sin más que sumar: toda función se descompone.

8. De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ se sigue $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . El primer miembro es par y el segundo, impar, así que esa función es las dos cosas y, por tanto, nula (pregunta 4): $E_1 = E_2$ y $O_1 = O_2$ . Solo hay una descomposición.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , y $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . Comprobación: $E$ es par, $O$ es impar y su suma es $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. Porque cada pieza obedece una simetría, y entonces basta con la mitad del trabajo (y con la mitad de los datos) para cada una: resolver en un lado y reflejar hacia el otro; además, muchas operaciones (la integración, las series, el análisis de señales) tratan las piezas simétricas mucho más fácilmente que las funciones en bruto.

11. $(x-3)^2$ : desplazada $3$ a la derecha. $x^2 + 2$ : desplazada $2$ hacia arriba. $(x-3)^2 + 2$ : las dos cosas. $-x^2$ : dada la vuelta. $2x^2$ : dilatada verticalmente por $2$ (cuenco más estrecho).

12. Para $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . Para $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . Para $x \leq -2$ : $-2x$ . La curva baja con pendiente $-2$ , corre plana a la altura $4$ entre $-2$ y $2$ y sube después con pendiente $2$ : un valle de fondo plano.

13. Desplazamiento vertical: $f(x) + 2$ sigue siendo par ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). Dilatación vertical: $2f(x)$ sigue siendo par. Desplazamiento horizontal: $(x - 3)^2$ no es par ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): correrse de lado destruye el espejo.

14. En el fondo plano el valor es $4 \neq 6$ . Para $x \geq 2$ : $2x = 6$ , $x = 3$ . Para $x \leq -2$ : $-2x = 6$ , $x = -3$ . Soluciones: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ con $f(0) = 4a - 3 = 1$ : $a = 1$ , luego $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : negativo para $u < v$ con $uv < 4$ y positivo con $uv > 4$ ; decreciente en $\intoc{0}{2}$ y creciente en $\intco{2}{+\infty}$ ; mínimo en $x = 2$ , de valor $g(2) = 4$ .

17. Lados $x$ y $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , mínimo (con la máquina de la pregunta 16, cambiando $4$ por $16$ , con punto de giro $\sqrt{16} = 4$ ) en $x = 4$ : el cuadrado de $4 \times 4$ , de perímetro $16$ ; la respuesta de Dido, ahora demostrada para cualquier longitud real de lado.

18. En $\intco{0}{+\infty}$ : $x \mapsto x^2 + 1$ crece y la raíz cuadrada crece, así que la composición crece. Y $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ es par, así que por simetría de espejo decrece en $\intoc{-\infty}{0}$ . Mínimo $h(0) = 1$ .

19. Distancia al cuadrado de $(x, \sqrt x)$ a $(3, 0)$ : $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , mínima en $x = \frac52$ : el punto más cercano es $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , a distancia $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Minimizar $d^2$ es legítimo porque elevar al cuadrado es estrictamente creciente sobre los números positivos: $d$ y $d^2$ alcanzan su mínimo en el mismo sitio.

20. Materia prima: las curvas de referencia, sabidas de memoria. Máquinas: desplazamientos, simetrías y dilataciones que montan gráficas nuevas a partir de las viejas. Control de calidad: la paridad y la descomposición par–impar, que reducen a la mitad cualquier estudio. Banco de medida: la factorización de $f(v) - f(u)$ , que lee directamente la variación y los mínimos. Y la herramienta eléctrica del capítulo siguiente: la derivada, que los lee de un vistazo.