Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

9Teoría de la medida

¿Cuánto mide un subconjunto de $\R$ ? La respuesta ingenua — asignar a cada conjunto tiene una longitud invariante en la traducción que extiende la de intervalos — es imposible: construcción de Vitali, en Al final de este capítulo, se produce un conjunto sin consistencia. longitud. Medida la teoría es el retiro disciplinado: restringir atención a una rica clase de conjuntos mensurable, en los que La longitud aditiva contable existe y es única. Las recompensas son inmensa — integral de Lebesgue (Capítulo 10), la $L^p$ espacios de análisis funcional, y todo el mundo moderno. probabilidad (Capítulo 22) se basan en los tres teoremas demostrados aquí: el lema de unicidad de Dynkin, El teorema de extensión de Carathéodory y la existencia de medida de lebesgue.

9.1 $\sigma$ -álgebras

Definición 9.1

A $\sigma$ -algebra en un conjunto $X$ hay una familia $\mathcal A$ de subconjuntos que contienen $\varnothing$ , estable bajo complemento y bajo Uniones contable (por lo tanto, intersecciones contables, establecidas diferencias, y contiene $X$ ). La pareja $(X, \mathcal A)$ es un espacio mensurable; Los miembros de $\mathcal A$ son conjuntos medibles. Para cualquier familia $\mathcal E$ de subconjuntos, $\sigma(\mathcal E)$ denota el álgebra $\sigma$ más pequeña que contiene $\mathcal E$ (la intersección de todos ellos — una intersección de $\sigma$ -álgebras es uno).

Definición 9.2

El Borel $\sigma$ -algebra de un espacio topológico es $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{open sets}\})$ . En $\R$ : $\mathcal B(\R)$ también es generado por los intervalos abiertos, por los intervalos cerrados, por los rayos $(-\infty, a]$ , y por los rayos con puntos finales racionales (Ejercicio 9.1) — cada uno La familia genera las aperturas mediante operaciones contables, por ejemplo cada conjunto abierto de $\R$ es una unión contable de intervalos abiertos con datos racionales.

Definición 9.3

A $\pi$ -system es una familia estable bajo intersecciones finitas. un $\lambda$ -system (clase Dynkin) es una familia $\mathcal D$ con: $X \in \mathcal D$ ; $A, B \in \mathcal D$ , $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$ ; y $A_n \uparrow A$ , $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$ .

Teorema 9.4 (Lema $\pi$ – $\lambda$ de Dynkin)

Si un sistema $\lambda$ , $\mathcal D$ contiene un sistema $\pi$ $\mathcal P$ , luego $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ .

Demostración. Sea $\mathcal D_0$ el sistema $\lambda$ más pequeño que contiene $\mathcal P$ (intersección de todos ellos); basta con mostrar $\mathcal D_0$ es un álgebra $\sigma$ , desde entonces $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$ . Un sistema $\lambda$ estable bajo intersecciones finitas is a $\sigma$ -álgebra: complementos ( $X \setminus A = X \setminus A$ con $A \subseteq X$ ), uniones finitas ( $A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$ ) y contables sindicatos a través de $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ . entonces nosotros Demuestre que $\mathcal D_0$ es un sistema $\pi$ , en dos pasos. dejar

\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.

$\mathcal D_1$ es un sistema $\lambda$ (los tres axiomas son verificado al cruzar con $P$ : por ejemplo, $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$ , una diferencia adecuada dentro $\mathcal D_0$ ) y contiene $\mathcal P$ (sistema $\pi$ ): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$ . Ahora deja

\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.

Por el paso anterior, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; y $\mathcal D_2$ es un sistema $\lambda$ según la misma verificación: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$ , que dice exactamente eso $\mathcal D_0$ es estable bajo las intersecciones. ∎

9.2 Medidas

Definición 9.5

A medida en $(X, \mathcal A)$ es una aplicación $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ con $\mu(\varnothing) = 0$ es decir $\sigma$ -additive: para pares disjuntos $(A_n)_{n\in\N}$ ,

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ es un medir el espacio; $\mu$ es finito si $\mu(X) < \infty$ , probabilidad medida si $\mu(X) = 1$ , $\sigma$ -finite si $X$ es un unión contable de conjuntos de medida finita. Ejemplos: contar medir en $(\N, \mathcal P(\N))$ ; la masa de Dirac $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; y, el objeto de este capítulo, medida de lebesgue.

Proposición 9.6

Sea $\mu$ un medida. (a) Monotonicidad: $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ . (b) Subaditividad contable: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$ . (c) Continuidad de a continuación: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ . (d) Continuidad desde arriba: $A_n \downarrow A$ with $\mu(A_1) < \infty$ $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ .

Demostración. (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$ . (b) Disjuntos: $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ son disjuntos con la misma unión, y $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$ . (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus A_{n-1})$ ( $A_0 = \varnothing$ ): las sumas parciales de $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ son $\mu(A_n)$ . (d) Aplicar (c) a $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ y restar de $\mu(A_1)$ — la finitud hace la resta legítimo. Contraejemplo sin él: $A_n = [n, \infty)$ para medida de lebesgue: $A_n \downarrow \varnothing$ pero $\mu(A_n) = \infty$ . ∎

Teorema 9.7 (Singularidad)

Sea $\mu, \nu$ medidas en $\sigma(\mathcal P)$ , $\mathcal P$ un sistema $\pi$ , con $\mu = \nu$ en $\mathcal P$ . si hay son conjuntos $P_k \in \mathcal P$ con $P_k \uparrow X$ y $\mu(P_k) < \infty$ , luego $\mu = \nu$ en todos $\sigma(\mathcal P)$ .

Demostración. Fije $k$ y considere los finitos medidas $\mu_k(A) = \mu(A \cap P_k)$ y $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ en $\sigma(\mathcal P)$ : coinciden en $\mathcal P$ , desde $P \cap P_k \in \mathcal P$ (sistema $\pi$ ), y asignan a $X$ el mismo valor finito $\mu(P_k)$ . La clase $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ es un sistema $\lambda$ : $X \in \mathcal D$ ; adecuado diferencias por resta (valores finitos); límites crecientes por continuidad desde abajo (Proposición 9.6(c)). Contiene el sistema $\pi$ $\mathcal P$ , por lo que Dynkin (Teorema 9.4) da $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ por todas partes. Finalmente, para cualquier $A \in \sigma(\mathcal P)$ , continuidad desde abajo a lo largo de $A \cap P_k \uparrow A$ da $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ . ∎

9.3 Medidas exteriores y teorema de Carathéodory

Definición 9.8

Un medida exterior en $X$ es una aplicación $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ con $\mu^*(\varnothing) = 0$ , monótono y subaditivo contable. Un conjunto $A$ es $\mu^*$ -measurable (Carathéodory) si divide cada conjunto de forma aditiva:

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \qquad \text{for every } E \subseteq X

( $\leq$ siempre se cumple por subaditividad; el contenido es $\geq$ ).

Teorema 9.9 (carathéodory)

Los conjuntos medibles $\mu^*$ forman un álgebra $\sigma$ $\mathcal M$ , y $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ es un medida. Además, cada conjunto con $\mu^*(N) = 0$ pertenece a $\mathcal M$ . (el medida es completo).

Demostración. $\mathcal M$ contiene $\varnothing$ y es estable bajo complemento (la condición definitoria es simétrica en $A$ , $X\setminus A$ ). Uniones finitas: dejemos que $A, B \in \mathcal M$ y $E$ sean arbitrarios; dividiendo $E$ por $A$ , luego cada pieza por $B$ :

\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) + \mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).

Las primeras tres piezas cubren $E \cap (A \cup B)$ , por lo que la subaditividad da $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : $A \cup B \in \mathcal M$ . Por inducción, uniones finitas; con complementos, disjunciones finitas manipulaciones están disponibles.

Additivity on $\mathcal M$ : para $A, B \in \mathcal M$ disjunto y cualquier $E$ : $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (dividido por $A$ ); por inducción,

\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) = \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k). \tag{$*$}

Uniones contables: sea $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjunto (basta, por desunión dentro del álgebra $\mathcal M$ ), $A = \bigsqcup A_k$ , $E$ arbitraria. Usando $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ y monotonicidad:

\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) + \mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) \geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)

por ( $*$ ). Sea $n \to \infty$ y use subaditividad contable al revés :

\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):

todas las desigualdades son igualdades. Esto prueba tanto $A \in \mathcal M$ como, tomando $E = A$ , la aditividad contable de $\mu^*$ en $\mathcal M$ .

Conjuntos nulos: si $\mu^*(N) = 0$ , entonces para cualquier $E$ : $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$ : $N \in \mathcal M$ . ∎

9.4 Medida de Lebesgue sobre $\R$

Definición 9.10

El Medida exterior de Lebesgue de $A \subseteq \R$ es

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(tapas contables por intervalos abiertos).

Lema 9.11

$\lambda^*$ es un medida exterior, invariante bajo traducciones, y $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (la longitud) para cada intervalo $I$ .

Demostración. medida exterior: $\varnothing$ está cubierto por arbitrariamente pequeños intervalos; la monotonicidad es clara; subaditividad: cubiertas dadas de cada $A_n$ dentro de $\varepsilon 2^{-n}$ del mínimo, su unión cubre $\bigcup A_n$ con una longitud total $\leq \sum \lambda^*(A_n) + \varepsilon$ . Invariancia de traducción: traducir las portadas.

Longitud: basta con tratar $I = \intcc ab$ (otros tipos difieren según los puntos finales, que tienen medida exterior $0$ : cubrir por pequeños intervalos; luego apriete comparaciones de tipo $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$ ). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$ : portada por $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ . Por el contrario, sea $\intcc ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : por compacidad (Borel–Lebesgue, Teorema 6.16), un número finito de intervalos basta, digamos $I_1, \dots, I_N$ . Mostramos $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ por inducción en $N$ : elija $I_{k_1} \ni a$ ; si $b_{k_1} > b$ hecho ( $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$ ); de lo contrario el el segmento $\intcc{b_{k_1}}b$ está cubierto por el restante $N - 1$ intervalos, y la inducción da $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$ , mientras que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$ : resumir. ∎

Teorema 9.12 (Medida de Lebesgue)

Cada conjunto Borel de $\R$ es medible en $\lambda^*$ . el restricción $\lambda$ de $\lambda^*$ al álgebra $\sigma$ $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (el Lebesgue $\sigma$ -algebra) es el único medida en $\mathcal B(\R)$ asignando a cada intervalo su longitud; es invariante de traducción y $\sigma$ -finito.

Demostración. Por Teorema 9.9 basta con mostrar cada uno el rayo $A = \intoo{-\infty}c$ es $\lambda^*$ -medible (los rayos generan $\mathcal B$ , Definición 9.2). Deje $E \subseteq \R$ con $\lambda^*(E) < \infty$ y $\bigcup I_n \supseteq E$ una funda con $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ . cada uno $I_n$ se divide en los dos intervalos $I_n' = I_n \cap A$ y $I_n'' = I_n\setminus A$ (un intervalo menos un rayo es un intervalo) con $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; el Cubierta $I_n'$ $E \cap A$ y cubierta $I_n''$ $E \setminus A$ (amplíe cada uno a un intervalo abierto de longitud $\ell + \varepsilon2^{-n}$ para permanecer dentro de la definición), por lo que

\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .

Unicidad: dos medidas concordando con la longitud en el $\pi$ -sistema de intervalos $\intoc ab$ (finitos en ellos) acuerdan $\sigma(\text{intervals}) = \mathcal B$ por Teorema 9.7 con $P_k = \intoc{-k}k$ . $\sigma$ -finitud: $\R = \bigcup(-k, k]$ . ∎

Teorema 9.13 (Regularidad)

Por cada $A \in \mathcal L$ :

\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ open}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compact}\}.

Demostración. Exterior: una funda $\bigcup I_n$ con $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ es una conjunto abierto $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subaditividad); si $\lambda(A) = \infty$ la afirmación es trivial. Interno: primero deje que $A$ esté limitado, $A \subseteq [-M, M]$ . Elige un abierto $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ con $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; entonces $K = [-M, M]\setminus U$ es compacto, $K \subseteq A$ y

\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .

Para generales $A$ : $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuidad desde abajo) y aplique el estuche delimitado en el interior. ∎

Ejemplo 9.14

El conjunto de Cantor (Ejercicio 6.10) tiene $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , una unión de intervalos de longitud $2^n$ $3^{-n}$ , entonces $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . un incontable conjunto nulo — la cardinalidad no ve medida. Por el contrario, conjuntos gordos de Cantor (Ejercicio 9.5) no están en ninguna parte denso con positivo medida: topología no ve medida tampoco. El problema del fin de semana lleva esta interacción a su punto máximo. sorprendente conclusión: hay conjuntos mensurables según Lebesgue que no son Borel.

Teorema 9.15 (vitali)

No hay medida en los subconjuntos todo de $\R$ , es decir invariante de traducción y asigna a cada intervalo su longitud. En particular $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$ : no mensurable existen conjuntos.

Demostración. Supongamos que $\mu$ fuera uno. En $\intcc01$ , considere la equivalencia $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; por el axioma de elección elija un representante en $\intcc01$ por clase: un conjunto $V$ . Para $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ , las traducciones $V + q$ son por pares disjunto (dos puntos de $V$ que difieren por un racional serían representantes equivalentes pero distintos) y

\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 :

la primera inclusión ya que cada $x \in \intcc01$ difiere de su representante $v$ por un racional $q = x - v \in \intcc{-1}1$ . La monotonicidad y la aditividad $\sigma$ dan

1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{with } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ for all } q .

Una suma infinita de la constante $\mu(V)$ es $0$ o $\infty$ : ambos límites no pueden sostenerse. Entonces no existe tal $\mu$ — y $V \notin \mathcal L$ , ya que $\lambda$ en $\mathcal L$ tiene todos los propiedades utilizadas. ∎

Observación 9.16

En $\R^3$ el fracaso es más dramático: el Banach–Tarski La paradoja descompone una bola en cinco pedazos que se vuelven a ensamblar, rotaciones y traslaciones, en dos bolas del mismo radio — por lo que ni siquiera un invariante de rotación finitamente aditivo Existe volumen en todos los subconjuntos de $\R^3$ . Las piezas son, de Por supuesto, no mensurable. La mensurabilidad no es burocrática precaución; es el límite de la coherencia.

Método 9.17

El principio de buenos conjuntos: para demostrar que todos los conjuntos de $\sigma(\mathcal E)$ tiene una propiedad, muestra que los conjuntos buenos formar un álgebra $\sigma$ (o un sistema $\lambda$ , si la propiedad es teórico de medidas y $\mathcal E$ es un sistema $\pi$ — luego Dynkin) que contiene $\mathcal E$ . Casi todas las pruebas de Este capítulo y el siguiente son un ejemplo. Para probar dos medidas igual: verifíquelos en un sistema generador $\pi$ más $\sigma$ -finitud (Teorema 9.7). a construir un medida: construir un medida exterior por portadas y cotización Carathéodory.

9.5 Ceremonias

Ejercicio 9.1 ★

(a) Demuestre que $\{A \subseteq X : A$ o $X\setminus A$ es countable $\}$ es un álgebra $\sigma$ : la generada por solteros. (b) Demuestre que $\mathcal B(\R)$ es generado por cada uno de: open intervalos; intervalos cerrados; rayos $\intoc{-\infty}a$ ; rayos con $a \in \Q$ . (c) ¿Es la familia de uniones finitas disjuntas de intervalos? $\intoc ab$ a $\sigma$ -álgebra? Un álgebra (estable bajo complemento y uniones finitas)?

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

(a) La complementación intercambia los dos casos definitorios. un contable la unión de conjuntos contables es contable; si un miembro es co-contable, la unión es co-contable: la estabilidad se mantiene. eso contiene los singletons y cualquier álgebra $\sigma$ que contenga contiene todos los conjuntos contables (uniones contables) y sus complementos: es $\sigma(\{\text{singletons}\})$ .

(b) Escriba $\mathcal B = \sigma(\text{opens})$ . cada abierto subconjunto de $\R$ es una unión contable de intervalos abiertos con puntos finales racionales (alrededor de cada punto racional del conjunto abierto, un intervalo de radio racional dentro de él), por lo que se abre $\in \sigma(\text{open intervals}) \subseteq \sigma(\text{rational data})$ . Conversiones: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ y viceversa $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$ ; rayos racionales: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$ . cada familia genera los demás mediante operaciones contables: los cuatro generan $\mathcal B$ .

(c) Con criterios de valoración finitos únicamente, la familia ni siquiera es una álgebra: el complemento de $\intoc01$ contiene rayos ilimitados. Al permitir puntos finales infinitos ( $\intoc{-\infty}b$ , $\intoo a{+\infty}$ ) se convierte en un álgebra (complementarios y finitos). las uniones de tales uniones son tales), pero no un álgebra $\sigma$ : $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ no es una unión finita de intervalos no degenerados.

Ejercicio 9.2 ★

(a) Demuestre la inclusión-exclusión para un medida finito: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ , y el conjunto de tres versión. (b) Dé un ejemplo que muestre que continuidad desde arriba (Proposición 9.6(d)) falla sin el supuesto de finitud. (c) Demuestre que un conjunto contable tiene medida de lebesgue cero. Deduzca $\lambda(\Q) = 0$ y $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$ , entonces $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (finitud permite la resta). Tres conjuntos: aplica la fórmula de dos conjuntos dos veces,

\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C)

(sumas de los conjuntos de índices obvios).

(b) Para medida de lebesgue, $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$ , pero $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$ .

(c) Un punto se encuentra en un intervalo de longitud $\varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$ ; la subaditividad contable mata a los contables conjuntos. Por tanto $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ y, por aditividad, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : los irracionales lo llevan todo la longitud.

Ejercicio 9.3 ★★

Sea $\mu, \nu$ la probabilidad medidas de $\mathcal B(\R)$ con $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ para todos $t \in \R$ . Mostrar $\mu = \nu$ . (Esto hace que el función de distribución $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ completo invariante — la base de Capítulo 22.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

Los rayos $\intoc{-\infty}t$ forman un sistema $\pi$ (el la intersección de dos es la más pequeña) generando $\mathcal B(\R)$ (Ejercicio 9.1). Los conjuntos $P_k = \intoc{-\infty}k$ aumentar a $\R$ con $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ : Se aplica Teorema 9.7 y $\mu = \nu$ en $\mathcal B(\R)$ . Así, la función de distribución determina la medida.

Ejercicio 9.4 ★★

(Borel–Cantelli, versión medida) Sea $(A_n)$ medible con $\sum_n\mu(A_n) < \infty$ y $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (los puntos pertenecientes a infinitos $A_n$ ). Mostrar $\mu(\limsup A_n) = 0$ . Aplicación: para casi todos los $x \in \intcc01$ , sólo de forma limitada muchos $n$ satisfacen $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ para el $n$ -ésimo $p/q_n$ racional de una enumeración de $\Q\cap\intcc01$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

Por cada $N$ , $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$ , entonces $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$ , la cola de una serie convergente: sea $N \to \infty$ . Aplicación: con $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ( $r_n$ el $n$ -ésimo racional), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ es sumable: $\lambda(\limsup A_n) = 0$ , es decir, casi todos los $x$ pertenece sólo a un número finito de $A_n$ . (Sin embargo, cada $x$ es un límite de racionales: el punto es el velocidad $4^{-n}$ .)

Ejercicio 9.5 ★★

(Conjunto Fat Cantor) Repita la construcción de Cantor en $\intcc01$ , pero en el paso $n$ elimine de cada uno de los intervalos $2^{n-1}$ un centrado intervalo abierto de longitud $4^{-n}$ únicamente. Mostrar que el $K = \bigcap K_n$ resultante es compacto, tiene vacío interior (no sobrevive ningún intervalo), y

\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :

a ninguna parte conjunto denso de medida $\frac12$ . deducir un pobre subconjunto de $\intcc01$ del medida completo $1$ y un subconjunto denso abierto de medida $< \varepsilon$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

$K = \bigcap K_n$ es una intersección de uniones finitas de cerrado intervalos: compacto. En la etapa $n$ quedan intervalos $2^n$ de longitud común $\ell_n \leq 2^{-n}$ (cada etapa se divide por la mitad y se encoge); un intervalo $I \subseteq K$ estaría dentro de un solo stage- $n$ intervalo para cada $n$ , forzando $\ell(I) = 0$ : vacío interior. El medida eliminado es $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ , todas las eliminaciones siendo intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(K) = \frac12$ .

Variante: eliminar los intervalos centrales de la longitud $\varepsilon 4^{-n}$ deja un compacto $K^{(\varepsilon)}$ denso en ninguna parte medida $1 - \frac\varepsilon2$ . Entonces $\bigcup_m K^{(1/m)}$ es pobre (unión contable de la nada conjuntos densos) de medida $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ : un conjunto escaso de medida completo — y su complemento en $\intoo01$ es un denso $G_\delta$ de medida $0$ (topológicamente grasa, métricamente nulo). El complemento de $K^{(\varepsilon)}$ en $\intoo01$ es abierto, denso, de medida $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ .

Ejercicio 9.6 ★★

Sea $\mu$ un medida en $\mathcal B(\R)$ , invariante bajo traducciones, con $c = \mu(\intoc01) < \infty$ . Mostrar $\mu = c\,\lambda$ en $\mathcal B(\R)$ . (Compute $\mu$ on dyadic intervals by dividing $\intoc01$ into $2^n$ translates, then invoke Teorema 9.7.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

Cortar $\intoc01$ en $2^n$ se traduce de $\intoc0{2^{-n}}$ : $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$ , entonces $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$ . Por traducción invariancia y aditividad, $\mu = c\lambda$ en cada intervalo $\intoc ab$ con $b - a$ un racional diádico y cualquier $a$ ; un general $\intoc ab$ es una unión cada vez mayor de tales ( $b_k \uparrow b$ pasos diádicos de $a$ ) y continuidad de abajo se extiende la igualdad. Los intervalos $\intoc ab$ forman un $\pi$ : sistema que genera $\mathcal B(\R)$ , con $\intoc{-k}k \uparrow \R$ de medida finito ( $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$ ): Teorema 9.7 le da $\mu = c\lambda$ en $\mathcal B(\R)$ .

Ejercicio 9.7 ★★

(Aproximación) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) < \infty$ y $\varepsilon > 0$ . Mostrar que hay un finito unión de intervalos $B$ con $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ( $\triangle$ = diferencia simétrica). (Regularity: squeeze $K \subseteq A \subseteq U$ and use the structure of the open $U$ as a countable union of intervals, plus compactness of $K$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

Por regularidad (Teorema 9.13) elija $K \subseteq A \subseteq U$ con $K$ compacto, $U$ abierto, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (ambas aproximaciones dentro de $\varepsilon/2$ y $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$ ). Escribe $U$ como una unión disjunta contable de intervalos abiertos $(I_n)$ (el componentes del conjunto abierto); el compacto $K$ está cubierto por finitos, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$ . Luego $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ y $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — comience desde $\varepsilon/2$ hasta aterrizar debajo de $\varepsilon$ .

Ejercicio 9.8 ★★★

(Steinhaus) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$ . Mostrar que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contiene un intervalo alrededor de $0$ . (Reduce to $\lambda(A) < \infty$ ; by Ejercicio 9.7-style regularity, find an interval $I$ with $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; then for $\abs t < \frac12\ell(I)$ , the sets $A\cap I$ and $(A\cap I) + t$ both sit in an interval of length $\frac32\ell(I)$ and have total medida $> \frac32\ell(I)$ : they must intersect.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

Reemplazando $A$ por $A \cap [-M, M]$ de medida positivo (algunos $M$ funciona, por continuidad desde abajo), asume $0 < \lambda(A) < \infty$ . Tome $U \supseteq A$ , abra con $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ y descomponga $U = \bigsqcup_nI_n$ en intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$ . Si cada $n$ tuviera $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ , la suma daría $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ : algún intervalo $I$ satisface $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ . Configure $B = A \cap I$ y deje $\abs t < \frac12\ell(I)$ : tanto $B$ como $B + t$ se encuentran en intervalo $I \cup (I + t)$ , de longitud $< \frac32\ell(I)$ . si estaban disjuntos: $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ excedería el intervalo contenedor medida — imposible. Entonces $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : algunos $x \in B$ escriben $x = y + t$ con $y \in B$ y $t = x - y \in A - A$ . Por lo tanto $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$ .

Ejercicio 9.9 ★★★

Demuestre que cada $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$ contiene un subconjunto no mensurable. (Intersect $A$ with the translates $V + q$ of Vitali’s set: if all $A \cap (V+q)$ were measurable, each would be null by the argument of Teorema 9.15 — Steinhaus (Ejercicio 9.8) helps: a measurable set of positive medida inside $V + q$ would give $(V+q) - (V+q) \supseteq$ an interval, contradicting that this difference set meets $\Q$ only at $0$ ; conclude with subadditivity.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

El Vitali traduce la partición $(V + q)_{q\in\Q}$ $\R$ (cada real equivale exactamente a un representante). Supongamos que todos los conjuntos $B_q = A \cap (V + q)$ eran medibles. Cualquier dos Los elementos de $V + q$ se diferencian por un irracional o cero (dos distintos representantes no son equivalentes), por lo que $B_q - B_q$ cumple con $\Q$ solo en $\{0\}$ : no contiene intervalo, y Steinhaus (Ejercicio 9.8) fuerza a $\lambda(B_q) = 0$ . Entonces $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$ , contradiciendo $\lambda(A) > 0$ . Entonces algo de $B_q \subseteq A$ no es mensurable.

Ejercicio 9.10 ★★

Demuestre que $A \subseteq \R$ con $\lambda^*(A) < \infty$ es Lebesgue mensurable si por cada $\varepsilon > 0$ hay un abra $U \supseteq A$ con $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$ , si hay un $G_\delta$ , configure $G \supseteq A$ con $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ . (Así que los conjuntos de Lebesgue son Borel establece conjuntos de módulo nulo).

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

Measurable $\Rightarrow$ $\varepsilon$ -approximation: por regularidad exterior (Teorema 9.13) selección abierta $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ ; la mensurabilidad permite la resta $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ . $\varepsilon$ -version $\Rightarrow$ $G_\delta$ -version: tome $U_n$ con $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ y $G = \bigcap U_n$ : un $G_\delta$ con $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ . $G_\delta$ -version $\Rightarrow$ measurable: $G\setminus A$ es $\lambda^*$ -nulo, por lo que se puede medir mediante lo completo (Teorema 9.9) y $A = G \setminus (G\setminus A)$ es medible ( $G$ es Borel). Entonces Lebesgue establece son exactamente “Borel módulo nulo”.

Ejercicio 9.11 ★★

(Continuidad a lo largo de los límites monótonos y su nitidez) (a) Demuestre que para conjuntos medibles, $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou para conjuntos), y que si $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ , también $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ . (b) Exhibir, para medida de lebesgue en $\R$ , una secuencia con $\mu(A_n) = 1$ para todos los $n$ aún $\mu(\limsup A_n) = 0$ : el La hipótesis de finitud en la segunda desigualdad no es decorativo. (c) Deducir: si $\sum\mu(A_n) < \infty$ entonces $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli nuevamente), y si el $A_n$ aumenta o disminuye (con $\mu(A_1) < \infty$ en el caso decreciente), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ es un unión creciente de los conjuntos $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ , entonces $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuidad de abajo); y $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$ , cuyo El límite es $\liminf\mu(A_n)$ . Para el $\limsup$ : aplique el Lo mismo que los complementos dentro del ambiente medida finita. $U = \bigcup A_n$ — continuidad desde arriba en el disminuir $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ requiere $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ y da $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ .

(b) El intervalo móvil $A_n = \intcc n{n+1}$ : cada punto pertenece como máximo a dos de los $A_n$ y eventualmente a ninguno, entonces $\limsup A_n = \varnothing$ ; todavía $\mu(A_n) = 1$ . Así $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$ : sin medida finita sobre, la segunda desigualdad de (a) falla — la masa escapa al infinito, donde ningún conjunto fijo puede atraparlo.

(c) Si $\sum\mu(A_n) < \infty$ : $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ y $\limsup A_n = \bigcap C_N$ tiene medida $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ . monótono casos: el aumento es continuidad desde abajo; disminuyendo con $\mu(A_1) < \infty$ es continuidad desde arriba — ambos probados en las propiedades básicas de Capítulo 9; el contraejemplo $A_n = \intco n\infty$ (disminuyendo a $\varnothing$ con $\mu \equiv \infty$ ) muestra la finitud vuelve a ser esencial.

Ejercicio 9.12 ★★★

(Teorema de Egorov) Sean $\mu(X) < \infty$ y $f_n \to f$ puntualmente, todo medible (de valor real). Para $k, N \geq 1$ conjunto

E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} .

(a) Muestre que para $k$ fijo, $E_{k,N} \nearrow X$ como $N \to \infty$ y deduzca $N_k$ con $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$ . (b) Concluya teorema de egorov: por cada $\varepsilon > 0$ hay un $A$ medible con $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ tal que $f_n \to f$ uniformemente en $A$ — la convergencia puntual es una convergencia uniforme a partir de un conjunto arbitrariamente pequeño. (c) Demuestre que el teorema falla en $(\R, \lambda)$ : el movimiento Los golpes $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergen puntualmente. a $0$ pero uniformemente sin complemento de un medida finita conjunto. ¿Dónde (a) usó $\mu(X) < \infty$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

(a) Los conjuntos $E_{k,N}$ aumentan con $N$ (menos restricciones), y cada $x$ eventualmente satisface $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ para todos los $n \geq N(x)$ (puntualmente convergencia): $\bigcup_NE_{k,N} = X$ . Continuidad desde abajo: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$ , entonces $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; elija $N_k$ en consecuencia.

(b) Sea $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ . En $A$ : por cada $k$ , todos los $n \geq N_k$ satisfacen $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — convergencia exactamente uniforme en $A$ .

(c) Para el tope en movimiento, la convergencia uniforme en $A$ requiere $A$ para eventualmente evitar cada $\intcc n{n+1}$ — más precisamente $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ obliga a $A \cap \intcc n{n+1}$ a estar vacío para $n$ grande, por lo que $X \setminus A$ contiene una cola $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ , de infinito medida. En (a), la finitud convertida “ $E_{k,N}\nearrow X$ ” en “los complementos’ medidas tiende a $0$ ”: continuidad desde arriba necesita un inicio finito, y en espacios medida infinita el escape al infinito es precisamente lo que no puede ver.

9.6 Problema: la escalera Cantor-Vitali y un conjunto medible que no es Borel

La escalera Cantor–Vitali: constante en cada hueco de el conjunto de Cantor, aún subiendo de 0 a 1 continuamente. su derivado desaparece casi en todas partes — toda la escalada sucede en un conjunto nulo. — La escalera Cantor–Vitali: constante en cada hueco de el conjunto de Cantor, aún subiendo de $0$ a $1$ continuamente. su derivado desaparece casi en todas partes — toda la escalada sucede en un conjunto nulo.

Problema 9.1

Problema del fin de semana — la escalera del diablo, y $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

Construimos el Cantor–función Vitali (diablo escalera), utilizarlo para transportar medida patológicamente, y concluir con un teorema que ningún argumento blando ofrece: hay Existen conjuntos medibles según Lebesgue que no son Borel. Notación: $C$ es el conjunto de Cantor, $C_n$ su etapa $n$ (intervalos $2^n$ de longitud $3^{-n}$ ), y cada $x \in C$ tiene dígitos ternarios $x = \sum 2b_n3^{-n}$ , $b_n \in \{0,1\}$ (Ejercicio 6.10).

Parte I — The staircase. Definir $c_0(x) = x$ y $c_{n+1}$ de $c_n$ por

c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases}

Demuestre que cada $c_n$ es continuo, no decreciente, con $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , y que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
Deduzca que $(c_n)$ converge uniformemente a un continuo $c$ no decreciente con $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (el Cantor–función Vitali), que satisface las mismas relaciones autosemejantes que el $c_{n+1}$ anterior.
Demuestre que $c$ es constante en cada componente conectado de $\intcc01\setminus C$ , y el de $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : el escalera lee dígitos de Cantor en binario (Función Problema 6.1 $g$ , hecha monótona y mundial).
Deduzca que $c$ es diferenciable, con $c' = 0$ , en cada punto de $\intcc01\setminus C$ : $c' = 0$ $\lambda$ -almost everywhere (Ejemplo 9.14). Concluir que el El teorema fundamental del cálculo falla para $c$ :

$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$

(la integral está sobre el conjunto medida completa donde $c' = 0$ ; anticipando Capítulo 10, conjuntos nulos no afecta a las integrales). ¿Qué hipótesis de la $\mathcal C^1$ ¿Se viola el teorema fundamental?
Mostrar que $c(C) = \intcc01$ : el conjunto nulo $C$ está mapeado sobre un conjunto de medida completo.

Parte II — The crooked homeomorfismo. Deja $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$ .

Demuestre que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ es un homeomorfismo (estrictamente creciente, continuo, sobreyectivo).
Demuestre que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : en cada espacio de longitud $\ell$ , $h$ actúa como mapa afín de la pendiente $\tfrac12$ , y los espacios tienen total longitud $1$ .
Deducir $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : el La imagen homeomórfico de un conjunto nulo puede tener resultados positivos. medida. (¿Dónde contradice esto la intuición ingenua? sobre el “tamaño”?)

Parte III — A measurable set that is not Borel.

Por Ejercicio 9.9, elija un $W \subseteq h(C)$ no medible. Muestra que $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ es medible según Lebesgue. (It is a subset of a null set; lo completo, Teorema 9.9.)
Demuestre que la preimagen de un Borel colocada bajo un aplicación continua es Borel. (Good sets principle: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ is a $\sigma$ -algebra containing the conjuntos abiertos — mind the direction of the map.)
Concluir que $Z$ es no Borel: si lo fuera, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ sería Borel (aplicar pregunta 10 al continuo $h^{-1}$ ), por lo tanto mensurable — contradicción. Por lo tanto

$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$

y lo completo realmente amplía el mundo Borel.
Exhibe una función medible de Lebesgue $g$ y una continuo función $\varphi$ tal que $g \circ \varphi$ no es medible según Lebesgue: mensurabilidad, a diferencia de continuidad, no compone. (Take $g = \mathbf 1_Z$ and $\varphi = h^{-1}$ , anticipating the definition of measurable functions from Capítulo 10: preimages of Borel sets are Lebesgue sets. Where must one be careful about which $\sigma$ -algebra is used on the target?)

Parte IV — Epilogue.

Ordene las siguientes clases por inclusión estricta y Justifique cada rigor con un ejemplo de este capítulo y su problema: conjuntos contables; Borel nulo conjuntos; Conjuntos nulos de Lebesgue; Conjuntos de Borel; Conjuntos de Lebesgue; conjuntos arbitrarios.

Part V — The Cantor medida: mass on a null set. La escalera es la función de distribución de una notable medida, que ahora construimos con el propio contenido de este capítulo. herramientas.

(Lebesgue–Stieltjes, existencia) Let $F\colon\R\to\R$ ser no decreciente, continuo, acotado. En medio abierto Los intervalos definen $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ y, para $A \subseteq \R$ ,

$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$

Demuestre que $\mu_F^*$ es un medida exterior y que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ (imitate the compactness argument of Teorema 9.12, enlarging each $\intoc{a_k}{b_k}$ to an open interval at $F$ -cost $\leq \varepsilon2^{-k}$ — where is continuidad of $F$ used?).
Demuestre que cada conjunto de Borel es $\mu_F^*$ -medible en el sentido Carathéodory (as in the Lebesgue case, it suffices to test half-lines; follow the proof of Teorema 9.9’s application), entonces que $\mu_F = \mu_F^*$ restringido a $\mathcal B(\R)$ es un medida con $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : el Lebesgue–Stieltjes medida de $F$ .
Aplicar esto a la escalera ( $F = c$ ampliado por $0$ en $\R_-$ y $1$ en $\intco1\infty$ ): el Cantor medida $\mu$ . Mostrar $\mu(\R) = 1$ , que cada espacio del conjunto de Cantor es $\mu$ -null ( $c$ es constante allí), y concluir

$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$

$\mu$ y $\lambda$ viven en transportistas separados ( $C$ y su complemento). Dos medidas en esta posición son llamado mutuamente singulares, escrito $\mu \perp \lambda$ .
Demuestre que $\mu$ no tiene átomos: $\mu(\{x\}) = 0$ para cada $x$ (continuidad of $c$ ). Un sin átomo probabilidad medida llevada por un Lebesgue-null compacto: compárelo con el único medidas visto hasta ahora.
(Lanzamiento de moneda disfrazado) Por una palabra $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , dejemos $C_{\varepsilon}$ sea el conjunto de $x \in C$ cuyo ternario los dígitos satisfacen $b_i(x) = \varepsilon_i$ para $i \leq m$ (una de las piezas de Cantor $2^m$ de profundidad $m$ ). Mostrar $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ (the staircase climbs $2^{-m}$ across that piece: use Part I, question 3). El Cantor medida es la ley de un secuencia infinita de lanzamientos de monedas justos leídos en ternario — Capítulo 22 hará que esto sea exacto.
Demuestre la autosimilitud: para cada Borel $A$ ,

$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$

donde $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ (check it on the generating intervals $\intoc ab$ via the self-similar relations of $c$ , then invoke uniqueness, Teorema 9.7).
Demuestre que el reflejo $s(x) = 1 - x$ preserva $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ (a través de $c(1 - x) = 1 - c(x)$ , que se sigue de la simetría de la construcción — pruébalo).
Calcula los dos primeros momentos de $\mu$ , es decir de a punto aleatorio $X$ con ley $\mu$ (las integrales pueden ser manejados como límites de sumas sobre las piezas de profundidad- $m$ , anticipando Capítulo 10): la simetría da $\int x\,\dd\mu = \frac12$ , y la autosimilitud da

$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{hence}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$

Comparar con la ley uniforme sobre $\intcc01$ (variación $\frac1{12}$ ): la masa de Cantor, empujada hasta los bordes, se propaga más.
Demuestre que el (topológico) apoyo de $\mu$ — el conjunto cerrado más pequeño de medida completo — es exactamente $C$ .
(Síntesis) La escalera $c$ es continuo y no decreciente pero no cumple el teorema fundamental de cálculo (Parte I); el medida $\mu_c$ es un probabilidad, sin átomo, singular con respecto a $\lambda$ . Explica en un breve párrafo cómo se dos caras de un fenómeno, y enunciar el general moral: funciones no decrecientes corresponden a medidas ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), diferenciabilidad a.e. corresponde a la “parte absolutamente continuo”, y $c$ es el testigo estándar que un continuo $F$ puede llevar no absolutamente continuo parte en absoluto.
(El módulo agudo de continuidad) Sea $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Mostrar que $c$ es Hölder continuo del exponente $s$ :

$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$

y que ningún exponente $t > s$ puede funcionar, ni siquiera localmente. Deduzca la forma teórica de la medida: para cada $x$ y cada $r \in \intoc01$ ,

$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$

(Compare a depth- $m$ triadic grid with the scale of $\abs{x - y}$ ; question 18 gives the climb across each piece. The exponent $s$ is the Hausdorff dimension of $C$ , as later courses will say.)
(La autosimilitud caracteriza a $\mu$ ) Demuestre la recíproco de la pregunta 19: si $\nu$ es una probabilidad medida en $\mathcal B(\R)$ transportado por $\intcc01$ y satisfactorio

$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$

luego $\nu = \mu$ . (Iterate the relation $m$ times to spread $\nu$ over the $2^m$ depth- $m$ Cantor pieces, estimate $\nu(\intoc ab)$ against the count of pieces inside $\intoc ab$ , and let $m \to \infty$ ; finish with Teorema 9.7.)

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. Inducción. Continuidad: las tres fórmulas coinciden en los cruces ( $\frac12c_n(1) = \frac12$ y $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$ ); cada pieza es continuo. La monotonicidad y los valores límite se heredan. Para el estimación de contracción: en $[0,\frac13]$ , $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; en el tercio medio la diferencia es $0$ ; en el tercio derecho, igual que el izquierdo.

2. $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : la serie de incrementos converge uniformemente, por lo que $c_n \to c$ uniformemente; $c$ es continuo, no decreciente, $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (todos preservado por límites uniformes), y pasando al límite en el La definición de recursividad muestra que $c$ en sí satisface los tres. identidades autosemejantes.

3. Por la identidad intermedia, $c \equiv \frac12$ en $\intcc{\frac13}{\frac23}$ , el primer hueco. Cada espacio de $C$ es la imagen del primer hueco bajo una composición de los dos contracciones afines $x \mapsto \frac x3$ , $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; las identidades transportan constancia en consecuencia (con valora los racionales diádicos). Para la fórmula de dígitos, tome $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ : si $b_1 = 0$ entonces $x \in [0,\frac13]$ y $c(x) = \frac12c(3x)$ con $3x$ teniendo dígitos $(b_2, b_3, \dots)$ ; si $b_1 = 1$ entonces $x \in [\frac23, 1]$ y $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$ , mismo turno. Por Por inducción, los primeros dígitos binarios $N$ de $c(x)$ son $b_1, \dots, b_N$ para cada $N$ : $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$ .

4. Apagado $C$ , $c$ es localmente constante: diferenciable con derivado $0$ . Desde $\lambda(C) = 0$ (Ejemplo 9.14), $c' = 0$ en casi todas partes. todavía $c(1) - c(0) = 1$ : el teorema fundamental en su forma $\mathcal C^1$ requiere que $c$ sea diferenciable en todos lados con continuo (o al menos integrable, más absoluto continuidad — ver Capítulo 10) derivado; $c$ es no diferenciable en puntos de $C$ , y más fundamentalmente $c$ falla absolute continuidad: sube en un conjunto nulo.

5. Dado $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ( $\beta_n \in \{0,1\}$ ), el punto $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ tiene $c(x) = y$ por la pregunta 3: $c(C) = \intcc01$ , un conjunto de medida $1$ — el conjunto nulo $C$ lleva, a través de $c$ , el todo el intervalo.

6. $h$ es continuo, y estrictamente creciente ( $x$ es, $c$ no es decreciente); $h(0) = 0$ , $h(1) = 1$ , así que por el El teorema del valor intermedio $h$ es una biyección continuo de $\intcc01$ ; una biyección continuo de una espacio compacto a una Hausdorff uno es un homeomorfismo (Corolario 6.14).

7. En un espacio $(u, v)$ (longitud $\ell$ ), $c$ es constante, entonces $h$ es afín con la pendiente $\frac12$ : $h((u,v))$ es un intervalo de longitud $\frac\ell2$ . Los espacios son disjuntos y $h$ es inyectivo: las imágenes son disjuntas, del total medida $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ .

8. $h(\intcc01) = \intcc01$ y $h(C)$ es compacto (imagen continuo), por lo tanto medible, con

\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 .

Un homeomorfismo puede inflar un conjunto nulo a medida $\frac12$ : “topológico tamaño” (categoría, dimensión) y “medida” son transportado por homeomorfismos de manera muy diferente — sólo el El primero es un invariante topológico.

9. $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ tiene $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : un conjunto nulo, por lo tanto Lebesgue-medible por lo completo (Teorema 9.9).

10. Sea $\varphi$ continuo y $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ . Las preimágenes conmutan con complementos y uniones contables, por lo que $\mathcal D$ es un $\sigma$ -álgebra; contiene el conjuntos abiertos (continuidad): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — preimágenes de conjuntos de Borel bajo mapas continuos son Borel.

11. Si $Z$ fuera Borel, aplique la pregunta 10 a la continuo $\varphi = h^{-1}$ : $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ sería Borel, por lo tanto mensurable según Lebesgue — contradiciendo la elección de $W$ . Entonces $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$ : El álgebra $\sigma$ de Lebesgue contiene estrictamente la de Borel.

12. $g = \mathbf 1_Z$ es medible según Lebesgue ( $Z \in \mathcal L$ ) y $\varphi = h^{-1}$ es continuo, pero $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ no es medible: $g \circ \varphi$ no es medible según Lebesgue. el cuidado necesario: “función mensurable de Lebesgue” significa preimágenes de Borel fija tierra en $\mathcal L$ ; componer requiere preimágenes de Lebesgue se establece como Lebesgue, que continuidad no concede (aquí $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ aunque $\varphi$ es homeomorfismo).

13. Las cadenas, con testigos del rigor:

\{\text{countable}\} \subsetneq \{\text{Borel null}\} \subsetneq \{\text{Lebesgue null}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{Borel null}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L .

Testigos: $C$ es Borel, nulo, incontable (primer espacio); $Z$ es Lebesgue nulo pero no Borel (segundo y, dentro de $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ , sexto); un conjunto gordo de Cantor es Borel, en ninguna parte denso, de medida positivo (que separa conjuntos nulos de conjuntos de Borel); El $V$ de Vitali no está en $\mathcal L$ (último espacio). Medida, topología y corte de cardinalidad $\mathcal P(\R)$ a lo largo líneas realmente diferentes.

14. medida exterior: $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (cubierta por un intervalo de fuga), la monotonicidad es clara y contable la subaditividad sigue mediante el empalme $\varepsilon2^{-k}$ -óptimo cubiertas, exactamente como para $\lambda^*$ . La portada de un intervalo da $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ . por el contrario dejar $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$ . Por continuidad de $F$ , elija $b_k' > b_k$ con $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$ y $a' \in \intoo ab$ con $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$ . El compacto $\intcc{a'}b$ está cubierto por el abierto $\intoo{a_k}{b_k'}$ : un número finito es suficiente, y el argumento de encadenamiento de Teorema 9.12 (caminar desde $a'$ a $b$ mediante intervalos superpuestos, telescópicos $F$ (incrementos, superposiciones que absorben monotonicidad) produce $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$ . Sea $\varepsilon \to 0$ : igualdad. (Continuidad de $F$ es lo que permitió abrir los intervalos en costo $F$ arbitrariamente pequeño.)

15. Es suficiente probar cada media línea $H_t = \intoc{-\infty}t$ Carathéodory-mensurable, ya que el conjuntos medibles forman un álgebra $\sigma$ (Teorema 9.9) y medias líneas generan $\mathcal B$ . Dado $A$ y una cobertura óptima $\varepsilon$ $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$ : cada intervalo se divide como $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (uno pieza posiblemente vacía), con costos $F$ sumando exactamente $F(b_k) - F(a_k)$ ; las primeras piezas cubren $A \cap H_t$ , las segundo $A \setminus H_t$ . Por lo tanto $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$ , y la desigualdad inversa es la subaditividad. Restringir el resultante medida a $\mathcal B$ : el Lebesgue–Stieltjes medida $\mu_F$ .

16. $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (continuidad del medida junto con $\intoc{-n}n$ ). en una brecha $\intoo uv$ de $C$ , $c$ es constante, por lo que cada medio abierto subintervalo es $\mu$ -nulo y también lo es la brecha (contable unión); fuera de $\intcc01$ , $c$ también es constante. Por lo tanto $\mu(\R\setminus C) = 0$ , $\mu(C) = 1$ , mientras que $\lambda(C) = 0$ (Ejemplo 9.14): cada uno de $\mu, \lambda$ es llevado por un conjunto que el otro declara nulo — mutuamente singular.

17. $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ por continuidad de $c$ : sin átomos. Entonces $\mu$ es un átomo probabilidad medida llevada por un Lebesgue-null compacto — ni difuso con densidad como las restricciones de $\lambda$ , ni atómico como contar medidas: una tercera especie.

18. La pieza $C_\varepsilon$ abarca un ternario intervalo $I_\varepsilon$ de longitud $3^{-m}$ , y Parte I La pregunta 3 muestra que al otro lado de $I_\varepsilon$ la escalera sube exactamente $2^{-m}$ (los primeros dígitos binarios $m$ de $c$ están congelados en $\varepsilon$ , el resto barre todo). Por lo tanto $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{right end}) - c(\text{left end}) = 2^{-m}$ : profundidad- $m$ Todos los cilindros de dígitos tienen masa $2^{-m}$ , la ley de $m$ es justa. monedas.

19. El lado derecho define el Borel medida $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ evaluado en $A$ — probabilidad medida. Puntualmente, con $c$ extendido globalmente, se verifica caso por caso ( $x \leq 0$ ; los tres tercios; $x \geq 1$ ) la identidad

c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),

por ejemplo en $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$ . Evaluando $\nu$ en $\intoc ab$ por lo tanto da $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ , y dos finitos medidas acordar el sistema $\pi$ de intervalos semiabiertos coinciden en $\mathcal B$ (Teorema 9.7): $\nu = \mu$ .

20. Por inducción en $n$ : $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ , y si $c_n$ tiene la simetría, entonces para $x \in \intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; el tercio medio refleja alrededor $\frac12$ ; el tercio derecho es el caso izquierdo reflejado. en el límite $c(1-x) = 1 - c(x)$ . Pushforward: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ( $\mu$ sin átomos, pregunta 17, por lo que las convenciones de límites no cuestan nada) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : $s_*\mu = \mu$ por singularidad.

21. Deje que $X \sim \mu$ (integrales de continuo Las funciones contra $\mu$ existen como límites de sumas de tipo Riemann. sobre la profundidad- $m$ piezas, cada una de masa $2^{-m}$ , con error de muestreo $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; Capítulo 10 lo hará sistematizar esto). Simetría: $1 - X \sim X$ , entonces $\E X = \frac12$ . Auto-semejanza: $X$ tiene la ley de $\frac Y3$ con probabilidad $\frac12$ y de $\frac{Y+2}3$ con probabilidad $\frac12$ , $Y \sim \mu$ , entonces

\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},

de donde $\E X^2 = \frac38$ y $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$ . La ley uniforme tiene variación. $\frac1{12} < \frac18$ : La masa de Cantor abraza los puntos finales.

22. $C$ está cerrado y $\mu(C) = 1$ . Si hay un $I$ abierto cumple con $C$ en $x$ , las piezas de profundidad $m$ que contienen $x$ se contraen a $x$ , por lo que algunos $I_\varepsilon \subseteq I$ y $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : ningún conjunto cerrado más pequeño puede transportar $\mu$ . Puntos de $C$ tiene espacio barrios de $\mu$ -medida $0$ . Por lo tanto $\operatorname{supp}\mu = C$ exactamente.

23. Un fenómeno, dos dialectos. La parte I dice el crecimiento de $c$ es invisible para su derivado: $c' = 0$ a.e., toda la escalada se concentró en el conjunto nulo $C$ . Parte V dice el medida $\mu_c$ asociado pone toda su masa en eso mismo conjunto nulo: $\mu_c \perp \lambda$ , por lo que ninguna densidad $f \geq 0$ puede satisfacer $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — una densidad fuerzas que desaparecen en conjuntos nulos $\lambda$ . El diccionario: acotado no decreciente $F \leftrightarrow$ finito medida $\mu_F$ (preguntas 14–15); $F$ una integral de su derivada $\leftrightarrow$ $\mu_F$ tiene una densidad (la “absolutamente caso continuo”); y en general $F'$ , que existe a.e. para monótono $F$ (teorema de diferenciación de Lebesgue, más allá este capítulo), recupera sólo la parte de densidad. la escalera es el extremo: continuo, con derivada $0$ a.e. — su medida es puramente singular, y el fundamental El teorema del cálculo, lejos de fallar por accidente, falla por la cantidad exacta $\mu_c(\R) = 1$ de masa singular.

24. Reparar $x < y$ en $\intcc01$ y elegir $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ . A través de cualquier triádica intervalo $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ la escalera sube como máximo $2^{-m}$ : dicho intervalo es uno de los $2^m$ piezas de $C_m$ , donde la subida es exactamente $2^{-m}$ (pregunta 18), o está contenido en el cierre de un único hueco de algunos etapa $\leq m$ , donde $c$ es constante. Desde $y - x \leq 3^{-m}$ , el intervalo $\intcc xy$ cumple como máximo dos intervalos triádicos consecutivos de profundidad- $m$ , por lo que

c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s},

utilizando $3^{s} = 2$ y $3^{-m} < 3(y - x)$ . Optimidad: la los puntos finales $u < v$ de una pieza de Cantor de profundidad- $m$ satisfacen $v - u = 3^{-m}$ y $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ ; un Hölder enlazado $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ con $t > s$ sería fuerza $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (desde $3^{t} > 3^{s} = 2$ ), y cada subintervalo de $\intcc01$ contiene tales piezas, por lo que la falla también es local. Formulario Medida: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (valores de $c$ extendidos a $\R$ como en la pregunta 16; $\mu$ no tiene átomos, pregunta 17).

25. Escriba $S_0(x) = \frac x3$ y $S_1(x) = \frac{x+2}3$ ; la hipótesis dice $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$ . Iterando $m$ veces,

\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.

Dado que $\nu$ es transportado por $\intcc01$ y $S_w(\intcc01) = I_w$ , la pieza de Cantor de profundidad $m$ indexada por $w$ , cada una $(S_w)_*\nu$ es una probabilidad medida transportada por $I_w$ ; el $2^m$ las piezas son intervalos cerrados de longitud separados por pares $3^{-m}$ . Corrige $\intoc ab$ y deja que $N_m$ sea el número de piezas $I_w \subseteq \intoc ab$ . Una reunión de piezas $\intoc ab$ sin estar contenido en el mismo debe contener $a$ o $b$ , y un El punto se encuentra como máximo en una pieza, por lo que

2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.

La misma doble desigualdad se aplica a $\mu$ (la pregunta 19 da la iteración idéntica), con el mismo recuento $N_m$ . Por lo tanto $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$ : $\nu$ y $\mu$ coinciden en el sistema $\pi$ de semiabierto intervalos, y ambos son probabilidad medidas, por lo que Teorema 9.7 proporciona $\nu = \mu$ . el escalera medida es, por tanto, el punto fijo de la esquema de promedio de dos mapas — la declaración a nivel de medida de la autosimilitud de $C$ .

9.1 σ\sigmaσ-álgebras

9.2 Medidas

9.3 Medidas exteriores y teorema de Carathéodory

9.4 Medida de Lebesgue sobre R\RR

9.5 Ceremonias

9.6 Problema: la escalera Cantor-Vitali y un conjunto medible que no es Borel

9.1 $\sigma$ -álgebras

9.4 Medida de Lebesgue sobre $\R$