Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

9Teoría de la medida

¿Cuánto mide un subconjunto de $\R$ ? La respuesta ingenua — asignar a todo conjunto una longitud invariante por traslaciones que extienda la de los intervalos — es imposible: la construcción de Vitali, al final de este capítulo, produce un conjunto sin longitud coherente. La teoría de la medida es la retirada disciplinada: restringir la atención a una clase amplia de conjuntos medibles, sobre la que existe una longitud numerablemente aditiva, y es única. Las recompensas son inmensas — la integral de Lebesgue (el Capítulo 10), los espacios $L^p$ del análisis funcional y toda la probabilidad moderna (el Capítulo 22) se apoyan en los tres teoremas que aquí se demuestran: el lema de unicidad de Dynkin, el teorema de extensión de Carathéodory y la existencia de la medida de Lebesgue.

9.1 $\sigma$ -álgebras

Definición 9.1

Una $\sigma$ -álgebra sobre un conjunto $X$ es una familia $\mathcal A$ de subconjuntos que contiene $\varnothing$ y es estable por complementación y por uniones numerables (y, por tanto, por intersecciones numerables y diferencias de conjuntos, y contiene $X$ ). El par $(X, \mathcal A)$ es un espacio medible; los elementos de $\mathcal A$ son los conjuntos medibles. Para una familia $\mathcal E$ de subconjuntos, $\sigma(\mathcal E)$ denota la menor $\sigma$ -álgebra que contiene $\mathcal E$ (la intersección de todas ellas — una intersección de $\sigma$ -álgebras lo es).

Definición 9.2

La $\sigma$ -álgebra de Borel de un espacio topológico es $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{abiertos}\})$ . Sobre $\R$ : $\mathcal B(\R)$ está también generada por los intervalos abiertos, por los intervalos cerrados, por las semirrectas $(-\infty, a]$ y por las semirrectas con extremo racional (el Ejercicio 9.1) — cada familia genera los abiertos mediante operaciones numerables; por ejemplo, todo abierto de $\R$ es unión numerable de intervalos abiertos con datos racionales.

Definición 9.3

Un $\pi$ -sistema es una familia estable por intersecciones finitas. Un $\lambda$ -sistema (clase de Dynkin) es una familia $\mathcal D$ tal que: $X \in \mathcal D$ ; $A, B \in \mathcal D$ , $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$ ; y $A_n \uparrow A$ , $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$ .

Teorema 9.4 (Lema $\pi$ – $\lambda$ de Dynkin)

Si un $\lambda$ -sistema $\mathcal D$ contiene un $\pi$ -sistema $\mathcal P$ , entonces $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ .

Demostración. Sea $\mathcal D_0$ el menor $\lambda$ -sistema que contiene $\mathcal P$ (intersección de todos ellos); basta ver que $\mathcal D_0$ es una $\sigma$ -álgebra, pues entonces $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$ . Un $\lambda$ -sistema estable por intersecciones finitas es una $\sigma$ -álgebra: complementos ( $X \setminus A = X \setminus A$ con $A \subseteq X$ ), uniones finitas ( $A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$ ) y uniones numerables mediante $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ . Demostremos, pues, que $\mathcal D_0$ es un $\pi$ -sistema, en dos pasos. Sea

\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.

$\mathcal D_1$ es un $\lambda$ -sistema (los tres axiomas se verifican intersecando con $P$ : por ejemplo, $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$ , una diferencia propia dentro de $\mathcal D_0$ ) y contiene $\mathcal P$ ( $\pi$ -sistema): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$ . Sea ahora

\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.

Por el paso anterior, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; y $\mathcal D_2$ es un $\lambda$ -sistema por la misma verificación: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$ , lo que dice exactamente que $\mathcal D_0$ es estable por intersecciones. ∎

9.2 Medidas

Definición 9.5

Una medida sobre $(X, \mathcal A)$ es una aplicación $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ con $\mu(\varnothing) = 0$ que es $\sigma$ -aditiva: para conjuntos disjuntos dos a dos $(A_n)_{n\in\N}$ ,

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida; $\mu$ es finita si $\mu(X) < \infty$ , una medida de probabilidad si $\mu(X) = 1$ , y $\sigma$ -finita si $X$ es unión numerable de conjuntos de medida finita. Ejemplos: la medida de conteo sobre $(\N, \mathcal P(\N))$ ; la masa de Dirac $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; y, objeto de este capítulo, la medida de Lebesgue.

Proposición 9.6

Sea $\mu$ una medida. (a) Monotonía: $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ . (b) Subaditividad numerable: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$ . (c) Continuidad por abajo: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ . (d) Continuidad por arriba: $A_n \downarrow A$ con $\mu(A_1) < \infty$ $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ .

Demostración. (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$ . (b) Disjúntese: los $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ son disjuntos con la misma unión, y $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$ . (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus A_{n-1})$ ( $A_0 = \varnothing$ ): las sumas parciales de $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ son $\mu(A_n)$ . (d) Aplíquese (c) a $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ y réstese de $\mu(A_1)$ — la finitud legitima la resta. Contraejemplo sin ella: $A_n = [n, \infty)$ para la medida de Lebesgue: $A_n \downarrow \varnothing$ pero $\mu(A_n) = \infty$ . ∎

Teorema 9.7 (Unicidad)

Sean $\mu, \nu$ medidas sobre $\sigma(\mathcal P)$ y sea $\mathcal P$ un $\pi$ -sistema con $\mu = \nu$ sobre $\mathcal P$ . Si existen conjuntos $P_k \in \mathcal P$ con $P_k \uparrow X$ y $\mu(P_k) < \infty$ , entonces $\mu = \nu$ en todo $\sigma(\mathcal P)$ .

Demostración. Fíjese $k$ y considérense las medidas finitas $\mu_k(A) = \mu(A \cap P_k)$ y $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ sobre $\sigma(\mathcal P)$ : coinciden sobre $\mathcal P$ , pues $P \cap P_k \in \mathcal P$ ( $\pi$ -sistema), y asignan a $X$ el mismo valor finito $\mu(P_k)$ . La clase $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ es un $\lambda$ -sistema: $X \in \mathcal D$ ; las diferencias propias, por resta (valores finitos); los límites crecientes, por continuidad por abajo (la Proposición 9.6(c)). Contiene el $\pi$ -sistema $\mathcal P$ , de modo que Dynkin (el Teorema 9.4) da $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ en todas partes. Por último, para $A \in \sigma(\mathcal P)$ cualquiera, la continuidad por abajo a lo largo de $A \cap P_k \uparrow A$ da $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ . ∎

9.3 Medidas exteriores y el teorema de Carathéodory

Definición 9.8

Una medida exterior sobre $X$ es una aplicación $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ con $\mu^*(\varnothing) = 0$ , monótona y numerablemente subaditiva. Un conjunto $A$ es $\mu^*$ -medible (Carathéodory) si divide aditivamente todo conjunto:

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \qquad \text{para todo } E \subseteq X

( $\leq$ se cumple siempre por subaditividad; el contenido es $\geq$ ).

Teorema 9.9 (Carathéodory)

Los conjuntos $\mu^*$ -medibles forman una $\sigma$ -álgebra $\mathcal M$ , y $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ es una medida. Además, todo conjunto con $\mu^*(N) = 0$ pertenece a $\mathcal M$ (la medida es completa).

Demostración. $\mathcal M$ contiene $\varnothing$ y es estable por complementación (la condición que la define es simétrica en $A$ , $X\setminus A$ ). Uniones finitas: sean $A, B \in \mathcal M$ y $E$ arbitrario; dividiendo $E$ por $A$ y después cada trozo por $B$ :

\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) + \mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).

Los tres primeros trozos recubren $E \cap (A \cup B)$ , de modo que la subaditividad da $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : $A \cup B \in \mathcal M$ . Por inducción, las uniones finitas; y con los complementos, quedan disponibles las manipulaciones de disjunción finita.

Aditividad sobre $\mathcal M$ : para $A, B \in \mathcal M$ disjuntos y $E$ cualquiera: $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (divídase por $A$ ); por inducción,

\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) = \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k). \tag{$*$}

Uniones numerables: sean $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjuntos (basta con ello, por disjunción dentro del álgebra $\mathcal M$ ), $A = \bigsqcup A_k$ , $E$ arbitrario. Usando $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ y la monotonía:

\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) + \mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) \geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)

por ( $*$ ). Hágase $n \to \infty$ y úsese la subaditividad numerable en sentido contrario:

\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):

todas las desigualdades son igualdades. Esto demuestra a la vez $A \in \mathcal M$ y, tomando $E = A$ , la aditividad numerable de $\mu^*$ sobre $\mathcal M$ .

Conjuntos nulos: si $\mu^*(N) = 0$ , entonces, para cualquier $E$ : $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$ : $N \in \mathcal M$ . ∎

9.4 La medida de Lebesgue en $\R$

Definición 9.10

La medida exterior de Lebesgue de $A \subseteq \R$ es

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(recubrimientos numerables por intervalos abiertos).

Lema 9.11

$\lambda^*$ es una medida exterior, invariante por traslaciones, y $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (la longitud) para todo intervalo $I$ .

Demostración. Medida exterior: $\varnothing$ se recubre por intervalos arbitrariamente pequeños; la monotonía es clara; subaditividad: dados recubrimientos de cada $A_n$ hasta $\varepsilon 2^{-n}$ del ínfimo, su unión recubre $\bigcup A_n$ con longitud total $\leq \sum \lambda^*(A_n) + \varepsilon$ . Invariancia por traslaciones: tradúzcanse los recubrimientos.

Longitud: basta tratar $I = \intcc ab$ (los demás tipos difieren en los extremos, de medida exterior $0$ : recúbranse por intervalos diminutos; después, compárense por encaje los tipos $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$ ). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$ : recúbrase por $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ . Recíprocamente, sea $\intcc ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : por compacidad (Borel–Lebesgue, el Teorema 6.16) bastan un número finito de intervalos, digamos $I_1, \dots, I_N$ . Veamos que $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ por inducción sobre $N$ : elíjase $I_{k_1} \ni a$ ; si $b_{k_1} > b$ , hemos terminado ( $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$ ); en caso contrario, el segmento $\intcc{b_{k_1}}b$ queda recubierto por los $N - 1$ intervalos restantes, y la inducción da $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$ , mientras que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$ : súmese. ∎

Teorema 9.12 (Medida de Lebesgue)

Todo conjunto de Borel de $\R$ es $\lambda^*$ -medible. La restricción $\lambda$ de $\lambda^*$ a la $\sigma$ -álgebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (la $\sigma$ -álgebra de Lebesgue) es la única medida sobre $\mathcal B(\R)$ que asigna a cada intervalo su longitud; es invariante por traslaciones y $\sigma$ -finita.

Demostración. Por el Teorema 9.9 basta ver que cada semirrecta $A = \intoo{-\infty}c$ es $\lambda^*$ -medible (las semirrectas generan $\mathcal B$ , la Definición 9.2). Sea $E \subseteq \R$ con $\lambda^*(E) < \infty$ y sea $\bigcup I_n \supseteq E$ un recubrimiento con $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ . Cada $I_n$ se descompone en los dos intervalos $I_n' = I_n \cap A$ y $I_n'' = I_n\setminus A$ (un intervalo menos una semirrecta es un intervalo) con $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; los $I_n'$ recubren $E \cap A$ y los $I_n''$ recubren $E \setminus A$ (agrándese cada uno hasta un intervalo abierto de longitud $\ell + \varepsilon2^{-n}$ para no salirse de la definición), de modo que

\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .

Unicidad: dos medidas que coinciden con la longitud sobre el $\pi$ -sistema de los intervalos $\intoc ab$ (finitas sobre ellos) coinciden en $\sigma(\text{intervalos}) = \mathcal B$ por el Teorema 9.7 con $P_k = \intoc{-k}k$ . $\sigma$ -finitud: $\R = \bigcup(-k, k]$ . ∎

Teorema 9.13 (Regularidad)

Para todo $A \in \mathcal L$ :

\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ abierto}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compacto}\}.

Demostración. Exterior: un recubrimiento $\bigcup I_n$ con $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ es un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subaditividad); si $\lambda(A) = \infty$ , el enunciado es trivial. Interior: sea primero $A$ acotado, $A \subseteq [-M, M]$ . Tómese un abierto $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ con $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; entonces $K = [-M, M]\setminus U$ es compacto, $K \subseteq A$ , y

\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .

Para $A$ general: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuidad por abajo) y aplíquese el caso acotado dentro. ∎

Ejemplo 9.14

El conjunto de Cantor (el Ejercicio 6.10) cumple $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , unión de $2^n$ intervalos de longitud $3^{-n}$ , luego $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Un conjunto nulo no numerable — el cardinal no ve la medida. Recíprocamente, los conjuntos de Cantor gordos (el Ejercicio 9.5) son densos en ninguna parte y de medida positiva: la topología tampoco ve la medida. El problema de fin de semana lleva esta interacción a su conclusión más llamativa: hay conjuntos medibles Lebesgue que no son de Borel.

Teorema 9.15 (Vitali)

No existe ninguna medida sobre todos los subconjuntos de $\R$ que sea invariante por traslaciones y asigne a cada intervalo su longitud. En particular, $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$ : existen conjuntos no medibles.

Demostración. Supongamos que $\mu$ fuera una tal medida. Sobre $\intcc01$ , considérese la equivalencia $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; por el axioma de elección, tómese un representante en $\intcc01$ por cada clase: un conjunto $V$ . Para $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ , los trasladados $V + q$ son disjuntos dos a dos (dos puntos de $V$ que difirieran en un racional serían equivalentes y, sin embargo, representantes distintos) y

\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 :

la primera inclusión porque todo $x \in \intcc01$ difiere de su representante $v$ en un racional $q = x - v \in \intcc{-1}1$ . La monotonía y la $\sigma$ -aditividad dan

1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{con } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ para todos } q .

Una suma infinita de la constante $\mu(V)$ vale $0$ o $\infty$ : ambas cotas no pueden cumplirse a la vez. Así que no existe tal $\mu$ — y $V \notin \mathcal L$ , pues $\lambda$ sobre $\mathcal L$ tiene todas las propiedades usadas. ∎

Observación 9.16

En $\R^3$ el fracaso es más dramático: la paradoja de Banach–Tarski descompone una bola en cinco piezas que se recomponen, mediante rotaciones y traslaciones, en dos bolas del mismo radio — de modo que ni siquiera existe un volumen finitamente aditivo e invariante por rotaciones sobre todos los subconjuntos de $\R^3$ . Las piezas son, por supuesto, no medibles. La medibilidad no es una cautela burocrática; es la frontera de la coherencia.

Método 9.17

El principio de los buenos conjuntos: para demostrar que todos los conjuntos de $\sigma(\mathcal E)$ tienen una propiedad, compruébese que los buenos conjuntos forman una $\sigma$ -álgebra (o un $\lambda$ -sistema, si la propiedad es de tipo medida y $\mathcal E$ es un $\pi$ -sistema — entonces, Dynkin) que contiene $\mathcal E$ . Casi todas las demostraciones de este capítulo y del siguiente son un caso particular. Para demostrar que dos medidas son iguales: compruébese sobre un $\pi$ -sistema generador más la $\sigma$ -finitud (el Teorema 9.7). Para construir una medida: constrúyase una medida exterior mediante recubrimientos e invóquese a Carathéodory.

9.5 Ejercicios

Ejercicio 9.1 ★

(a) Demostrar que $\{A \subseteq X : A$ o $X\setminus A$ es numerable $\}$ es una $\sigma$ -álgebra: la generada por los puntos. (b) Demostrar que $\mathcal B(\R)$ está generada por cada una de estas familias: los intervalos abiertos; los intervalos cerrados; las semirrectas $\intoc{-\infty}a$ ; las semirrectas con $a \in \Q$ . (c) ¿Es la familia de las uniones finitas disjuntas de intervalos $\intoc ab$ una $\sigma$ -álgebra? ¿Es un álgebra (estable por complementación y uniones finitas)?

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

(a) La complementación intercambia los dos casos de la definición. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable; y si algún miembro es conumerable, la unión lo es: hay estabilidad. Contiene los puntos, y toda $\sigma$ -álgebra que los contenga contiene todos los conjuntos numerables (uniones numerables) y sus complementarios: es $\sigma(\{\text{unitarios}\})$ .

(b) Escríbase $\mathcal B = \sigma(\text{abiertos})$ . Todo abierto de $\R$ es unión numerable de intervalos abiertos con extremos racionales (alrededor de cada punto racional del abierto, un intervalo de radio racional contenido en él), luego los abiertos $\in \sigma(\text{intervalos abiertos}) \subseteq \sigma(\text{rational data})$ . Conversiones: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ y recíprocamente $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$ ; semirrectas racionales: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$ . Cada familia genera las demás mediante operaciones numerables: las cuatro generan $\mathcal B$ .

(c) Con extremos finitos únicamente, la familia no es siquiera un álgebra: el complementario de $\intoc01$ contiene semirrectas no acotadas. Admitiendo extremos infinitos ( $\intoc{-\infty}b$ , $\intoo a{+\infty}$ ) sí es un álgebra (los complementos y las uniones finitas de tales uniones lo son), pero no una $\sigma$ -álgebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ no es unión finita de intervalos no degenerados.

Ejercicio 9.2 ★

(a) Demostrar la fórmula de inclusión–exclusión para una medida finita: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ , y la versión con tres conjuntos. (b) Dar un ejemplo que muestre que la continuidad por arriba (la Proposición 9.6(d)) falla sin la hipótesis de finitud. (c) Demostrar que un conjunto numerable tiene medida de Lebesgue nula. Deducir $\lambda(\Q) = 0$ y $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$ , luego $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (la finitud permite la resta). Tres conjuntos: aplíquese dos veces la fórmula de dos,

\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C)

(las sumas sobre los conjuntos de índices evidentes).

(b) Para la medida de Lebesgue, $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$ , pero $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$ .

(c) Un punto está en un intervalo de longitud $\varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$ ; la subaditividad numerable liquida los conjuntos numerables. Por tanto $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ y, por aditividad, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : los irracionales cargan con toda la longitud.

Ejercicio 9.3 ★★

Sean $\mu, \nu$ medidas de probabilidad sobre $\mathcal B(\R)$ con $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ para todo $t \in \R$ . Demostrar que $\mu = \nu$ . (Esto hace de la función de distribución $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ un invariante completo — el fundamento de Capítulo 22.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

Las semirrectas $\intoc{-\infty}t$ forman un $\pi$ -sistema (la intersección de dos es la menor) que genera $\mathcal B(\R)$ (el Ejercicio 9.1). Los conjuntos $P_k = \intoc{-\infty}k$ crecen hacia $\R$ con $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ : se aplica el Teorema 9.7, y $\mu = \nu$ sobre $\mathcal B(\R)$ . Así, la función de distribución determina la medida.

Ejercicio 9.4 ★★

(Borel–Cantelli, versión de medida) Sean $(A_n)$ medibles con $\sum_n\mu(A_n) < \infty$ , y sea $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (los puntos que pertenecen a infinitos $A_n$ ). Demostrar que $\mu(\limsup A_n) = 0$ . Aplicación: para casi todo $x \in \intcc01$ , solo un número finito de $n$ cumplen $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ para el $n$ -ésimo racional $p/q_n$ de una enumeración de $\Q\cap\intcc01$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

Para todo $N$ , $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$ , luego $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$ , la cola de una serie convergente: hágase $N \to \infty$ . Aplicación: con $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ( $r_n$ el $n$ -ésimo racional), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ es sumable: $\lambda(\limsup A_n) = 0$ , es decir, casi todo $x$ pertenece solo a un número finito de $A_n$ . (Y sin embargo todo $x$ es límite de racionales: la clave es la velocidad $4^{-n}$ .)

Ejercicio 9.5 ★★

(Conjunto de Cantor gordo) Repítase la construcción de Cantor sobre $\intcc01$ , pero suprimiendo en la etapa $n$ , de cada uno de los $2^{n-1}$ intervalos, un intervalo abierto centrado de longitud solo $4^{-n}$ . Demostrar que el $K = \bigcap K_n$ resultante es compacto, tiene interior vacío (no sobrevive ningún intervalo) y

\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :

un conjunto denso en ninguna parte de medida $\frac12$ . Deducir la existencia de un subconjunto magro de $\intcc01$ de medida total $1$ , y de un subconjunto abierto y denso de medida $< \varepsilon$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

$K = \bigcap K_n$ es una intersección de uniones finitas de intervalos cerrados: compacto. En la etapa $n$ quedan $2^n$ intervalos de longitud común $\ell_n \leq 2^{-n}$ (cada etapa duplica y encoge); un intervalo $I \subseteq K$ estaría dentro de un único intervalo de la etapa $n$ para todo $n$ , lo que obligaría a $\ell(I) = 0$ : interior vacío. La medida suprimida es $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ , siendo todas las supresiones intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(K) = \frac12$ .

Variante: suprimiendo intervalos centrales de longitud $\varepsilon 4^{-n}$ queda un compacto denso en ninguna parte $K^{(\varepsilon)}$ de medida $1 - \frac\varepsilon2$ . Entonces $\bigcup_m K^{(1/m)}$ es magro (unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte) de medida $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ : un conjunto magro de medida total — y su complementario en $\intoo01$ es un $G_\delta$ denso de medida $0$ (topológicamente gordo, métricamente nulo). El complementario de $K^{(\varepsilon)}$ en $\intoo01$ es abierto, denso y de medida $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ .

Ejercicio 9.6 ★★

Sea $\mu$ una medida sobre $\mathcal B(\R)$ , invariante por traslaciones, con $c = \mu(\intoc01) < \infty$ . Demostrar que $\mu = c\,\lambda$ sobre $\mathcal B(\R)$ . (Calcúlese $\mu$ sobre los intervalos diádicos dividiendo $\intoc01$ en $2^n$ trasladados, e invóquese después Teorema 9.7.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

Cortando $\intoc01$ en $2^n$ trasladados de $\intoc0{2^{-n}}$ : $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$ , luego $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$ . Por invariancia por traslaciones y aditividad, $\mu = c\lambda$ sobre todo intervalo $\intoc ab$ con $b - a$ un racional diádico y $a$ cualquiera; un $\intoc ab$ general es unión creciente de tales intervalos ( $b_k \uparrow b$ pasos diádicos desde $a$ ), y la continuidad por abajo extiende la igualdad. Los intervalos $\intoc ab$ forman un $\pi$ -sistema que genera $\mathcal B(\R)$ , con $\intoc{-k}k \uparrow \R$ de medida finita ( $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$ ): el Teorema 9.7 da $\mu = c\lambda$ sobre $\mathcal B(\R)$ .

Ejercicio 9.7 ★★

(Aproximación) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) < \infty$ y sea $\varepsilon > 0$ . Demostrar que existe una unión finita de intervalos $B$ con $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ( $\triangle$ = diferencia simétrica). (Regularidad: encájese $K \subseteq A \subseteq U$ y úsese la estructura del abierto $U$ como unión numerable de intervalos, junto con la compacidad de $K$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

Por regularidad (el Teorema 9.13), tómense $K \subseteq A \subseteq U$ con $K$ compacto, $U$ abierto, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (ambas aproximaciones hasta $\varepsilon/2$ , y $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$ ). Escríbase $U$ como unión numerable disjunta de intervalos abiertos $(I_n)$ (las componentes del abierto); el compacto $K$ queda recubierto por un número finito de ellos, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$ . Entonces $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ y $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — pártase de $\varepsilon/2$ para quedar por debajo de $\varepsilon$ .

Ejercicio 9.8 ★★★

(Steinhaus) Sea $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$ . Demostrar que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contiene un intervalo alrededor de $0$ . (Redúzcase a $\lambda(A) < \infty$ ; por regularidad al estilo del Ejercicio 9.7, hállese un intervalo $I$ con $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; entonces, para $\abs t < \frac12\ell(I)$ , los conjuntos $A\cap I$ y $(A\cap I) + t$ están ambos en un intervalo de longitud $\frac32\ell(I)$ y tienen medida total $> \frac32\ell(I)$ : han de cortarse.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

Sustituyendo $A$ por un $A \cap [-M, M]$ de medida positiva (sirve algún $M$ , por continuidad por abajo), supóngase $0 < \lambda(A) < \infty$ . Tómese $U \supseteq A$ abierto con $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ y descompóngase $U = \bigsqcup_nI_n$ en intervalos abiertos disjuntos: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$ . Si todo $n$ cumpliera $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ , sumando se obtendría $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ : luego algún intervalo $I$ cumple $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ . Póngase $B = A \cap I$ y sea $\abs t < \frac12\ell(I)$ : tanto $B$ como $B + t$ están en el intervalo $I \cup (I + t)$ , de longitud $< \frac32\ell(I)$ . Si fueran disjuntos, $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ superaría la medida del intervalo que los contiene — imposible. Luego $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : algún $x \in B$ se escribe $x = y + t$ con $y \in B$ , y $t = x - y \in A - A$ . Por tanto, $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$ .

Ejercicio 9.9 ★★★

Demostrar que todo $A \in \mathcal L$ con $\lambda(A) > 0$ contiene un subconjunto no medible. (Interséquese $A$ con los trasladados $V + q$ del conjunto de Vitali: si todos los $A \cap (V+q)$ fueran medibles, cada uno sería nulo por el argumento del Teorema 9.15 — Steinhaus (el Ejercicio 9.8) ayuda: un conjunto medible de medida positiva dentro de $V + q$ daría a $(V+q) - (V+q) \supseteq$ un intervalo, en contra de que ese conjunto de diferencias corta a $\Q$ solo en $0$ ; concluir con la subaditividad.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

Los trasladados de Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ forman una partición de $\R$ (todo real es equivalente a exactamente un representante). Supóngase que todos los conjuntos $B_q = A \cap (V + q)$ fueran medibles. Dos elementos cualesquiera de $V + q$ difieren en un irracional o en cero (dos representantes distintos no son equivalentes), de modo que $B_q - B_q$ corta a $\Q$ solo en $\{0\}$ : no contiene ningún intervalo, y Steinhaus (el Ejercicio 9.8) obliga a $\lambda(B_q) = 0$ . Entonces $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$ , en contra de $\lambda(A) > 0$ . Así que algún $B_q \subseteq A$ no es medible.

Ejercicio 9.10 ★★

Demostrar que $A \subseteq \R$ con $\lambda^*(A) < \infty$ es medible Lebesgue si y solo si para todo $\varepsilon > 0$ existe un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$ , si y solo si existe un conjunto $G_\delta$ $G \supseteq A$ con $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ . (Así, los conjuntos de Lebesgue son los de Borel módulo conjuntos nulos.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

Medible $\Rightarrow$ $\varepsilon$ -aproximación: por regularidad exterior (el Teorema 9.13), tómese un abierto $U \supseteq A$ con $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ ; la medibilidad permite la resta $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ . Versión $\varepsilon$ $\Rightarrow$ versión $G_\delta$ : tómense $U_n$ con $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ y $G = \bigcap U_n$ : un $G_\delta$ con $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ . Versión $G_\delta$ $\Rightarrow$ medible: $G\setminus A$ es $\lambda^*$ -nulo, luego medible por completitud (el Teorema 9.9), y $A = G \setminus (G\setminus A)$ es medible ( $G$ es de Borel). Así pues, los conjuntos de Lebesgue son exactamente «Borel módulo nulos».

Ejercicio 9.11 ★★

(Continuidad a lo largo de límites monótonos, y su optimalidad) (a) Demostrar que, para conjuntos medibles, $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou para conjuntos) y que, si $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ , también $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ . (b) Exhibir, para la medida de Lebesgue sobre $\R$ , una sucesión con $\mu(A_n) = 1$ para todo $n$ y, sin embargo, $\mu(\limsup A_n) = 0$ : la hipótesis de finitud de la segunda desigualdad no es decorativa. (c) Deducir: si $\sum\mu(A_n) < \infty$ , entonces $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli de nuevo), y si los $A_n$ crecen o decrecen (con $\mu(A_1) < \infty$ en el caso decreciente), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ es una unión creciente de los conjuntos $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ , luego $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuidad por abajo); y $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$ , cuyo límite es $\liminf\mu(A_n)$ . Para el $\limsup$ : aplíquese lo mismo a los complementarios dentro del ambiente de medida finita $U = \bigcup A_n$ — la continuidad por arriba sobre los $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ decrecientes exige $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ , y da $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ .

(b) El intervalo móvil $A_n = \intcc n{n+1}$ : todo punto pertenece a lo sumo a dos de los $A_n$ y a ninguno a partir de cierto índice, luego $\limsup A_n = \varnothing$ ; y sin embargo $\mu(A_n) = 1$ . Así, $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$ : sin una envoltura de medida finita, la segunda desigualdad de (a) falla — la masa se escapa al infinito, donde ningún conjunto fijo puede atraparla.

(c) Si $\sum\mu(A_n) < \infty$ : $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ y $\limsup A_n = \bigcap C_N$ tiene medida $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ . Casos monótonos: el creciente es la continuidad por abajo; el decreciente con $\mu(A_1) < \infty$ es la continuidad por arriba — ambos demostrados entre las propiedades básicas del Capítulo 9; y el contraejemplo $A_n = \intco n\infty$ (decreciente hacia $\varnothing$ con $\mu \equiv \infty$ ) muestra que la finitud vuelve a ser esencial.

Ejercicio 9.12 ★★★

(Teorema de Egórov) Sean $\mu(X) < \infty$ y $f_n \to f$ puntualmente, todas medibles (con valores reales). Para $k, N \geq 1$ , póngase

E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} .

(a) Demostrar que, para $k$ fijo, $E_{k,N} \nearrow X$ cuando $N \to \infty$ , y deducir $N_k$ con $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$ . (b) Concluir el teorema de Egórov: para todo $\varepsilon > 0$ existe un medible $A$ con $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ tal que $f_n \to f$ uniformemente sobre $A$ — la convergencia puntual es convergencia uniforme salvo en un conjunto arbitrariamente pequeño. (c) Demostrar que el teorema falla en $(\R, \lambda)$ : las jorobas móviles $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergen puntualmente a $0$ pero uniformemente en el complementario de ningún conjunto de medida finita. ¿Dónde usó (a) que $\mu(X) < \infty$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

(a) Los conjuntos $E_{k,N}$ crecen con $N$ (menos restricciones), y todo $x$ acaba cumpliendo $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ para todo $n \geq N(x)$ (convergencia puntual): $\bigcup_NE_{k,N} = X$ . Continuidad por abajo: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$ , luego $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; elíjase $N_k$ en consecuencia.

(b) Sea $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ . Sobre $A$ : para todo $k$ , todos los $n \geq N_k$ cumplen $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — exactamente la convergencia uniforme sobre $A$ .

(c) Para la joroba móvil, la convergencia uniforme sobre $A$ exige que $A$ acabe evitando todo $\intcc n{n+1}$ — con más precisión, $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ obliga a que $A \cap \intcc n{n+1}$ sea vacío para $n$ grande, de modo que $X \setminus A$ contiene una cola $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ , de medida infinita. En (a), la finitud convertía « $E_{k,N}\nearrow X$ » en «las medidas de los complementarios tienden a $0$ »: la continuidad por arriba necesita un comienzo finito, y en los espacios de medida infinita el escape al infinito es precisamente lo que no puede ver.

9.6 Problema: la escalera de Cantor–Vitali y un conjunto medible que no es de Borel

La escalera de Cantor–Vitali: constante en cada hueco del conjunto de Cantor y, aun así, subiendo de 0 a 1 de manera continua. Su derivada se anula en casi todo punto — toda la subida ocurre sobre un conjunto nulo. — La escalera de Cantor–Vitali: constante en cada hueco del conjunto de Cantor y, aun así, subiendo de $0$ a $1$ de manera continua. Su derivada se anula en casi todo punto — toda la subida ocurre sobre un conjunto nulo.

Problema 9.1

Problema de fin de semana — la escalera del diablo y $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

Construiremos la función de Cantor–Vitali (la escalera del diablo), la usaremos para transportar la medida de manera patológica y concluiremos con un teorema que ningún argumento blando proporciona: existen conjuntos medibles Lebesgue que no son de Borel. Notación: $C$ es el conjunto de Cantor, $C_n$ su etapa $n$ -ésima ( $2^n$ intervalos de longitud $3^{-n}$ ), y todo $x \in C$ tiene dígitos ternarios $x = \sum 2b_n3^{-n}$ , $b_n \in \{0,1\}$ (Ejercicio 6.10).

Parte I — La escalera. Defínase $c_0(x) = x$ y $c_{n+1}$ a partir de $c_n$ mediante

c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases}

Demostrar que cada $c_n$ es continua y no decreciente, con $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , y que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
Deducir que $(c_n)$ converge uniformemente a una $c$ continua y no decreciente con $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (la función de Cantor–Vitali), que cumple las mismas relaciones autosemejantes que los $c_{n+1}$ anteriores.
Demostrar que $c$ es constante en cada componente conexa de $\intcc01\setminus C$ y que, para $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : la escalera lee en binario los dígitos de Cantor (la función $g$ del Problema 6.1, hecha monótona y global).
Deducir que $c$ es derivable, con $c' = 0$ , en todo punto de $\intcc01\setminus C$ : $c' = 0$ $\lambda$ -en casi todo punto (el Ejemplo 9.14). Concluir que el teorema fundamental del cálculo falla para $c$ :

$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$

(donde la integral se toma sobre el conjunto de medida total en el que $c' = 0$ ; anticipando el Capítulo 10, los conjuntos nulos no afectan a las integrales). ¿Qué hipótesis del teorema fundamental de $\mathcal C^1$ se viola?
Demostrar que $c(C) = \intcc01$ : el conjunto nulo $C$ se aplica sobre un conjunto de medida total.

Parte II — El homeomorfismo torcido. Sea $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$ .

Demostrar que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ es un homeomorfismo (estrictamente creciente, continua y sobreyectiva).
Demostrar que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : sobre cada hueco de longitud $\ell$ , $h$ actúa como una aplicación afín de pendiente $\tfrac12$ , y los huecos tienen longitud total $1$ .
Deducir $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : la imagen homeomorfa de un conjunto nulo puede tener medida positiva. (¿En qué contradice esto la intuición ingenua sobre el «tamaño»?)

Parte III — Un conjunto medible que no es de Borel.

Por el Ejercicio 9.9, tómese un $W \subseteq h(C)$ no medible. Demostrar que $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ es medible Lebesgue. (Es un subconjunto de un conjunto nulo; completitud, el Teorema 9.9.)
Demostrar que la preimagen de un conjunto de Borel por una aplicación continua es de Borel. (Principio de los buenos conjuntos: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ es una $\sigma$ -álgebra que contiene los abiertos — atención al sentido de la aplicación.)
Concluir que $Z$ no es de Borel: si lo fuera, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ sería de Borel (aplíquese la pregunta 10 a la continua $h^{-1}$ ) y, por tanto, medible — contradicción. Por consiguiente,

$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$

y la completitud amplía genuinamente el mundo de Borel.
Exhibir una función $g$ medible Lebesgue y una función $\varphi$ continua tales que $g \circ \varphi$ no sea medible Lebesgue: la medibilidad, a diferencia de la continuidad, no se compone. (Tómense $g = \mathbf 1_Z$ y $\varphi = h^{-1}$ , anticipando la definición de función medible del Capítulo 10: las preimágenes de conjuntos de Borel son conjuntos de Lebesgue. ¿Dónde hay que tener cuidado con qué $\sigma$ -álgebra se usa en el destino?)

Parte IV — Epílogo.

Ordenar por inclusión estricta las clases siguientes, justificando cada estrictud con un ejemplo de este capítulo o de su problema: los conjuntos numerables; los conjuntos de Borel nulos; los conjuntos nulos de Lebesgue; los conjuntos de Borel; los conjuntos de Lebesgue; los conjuntos arbitrarios.

Parte V — La medida de Cantor: masa sobre un conjunto nulo. La escalera es la función de distribución de una medida notable, que ahora construiremos con las herramientas propias de este capítulo.

(Lebesgue–Stieltjes, existencia) Sea $F\colon\R\to\R$ no decreciente, continua y acotada. Sobre los intervalos semiabiertos defínase $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ y, para $A \subseteq \R$ ,

$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$

Demostrar que $\mu_F^*$ es una medida exterior y que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ (imítese el argumento de compacidad del Teorema 9.12, agrandando cada $\intoc{a_k}{b_k}$ hasta un intervalo abierto con un coste $F$ de $\leq \varepsilon2^{-k}$ — ¿dónde se usa la continuidad de $F$ ?).
Demostrar que todo conjunto de Borel es $\mu_F^*$ -medible en el sentido de Carathéodory (como en el caso de Lebesgue, basta comprobarlo sobre las semirrectas; sígase la demostración de la aplicación del Teorema 9.9), de modo que $\mu_F = \mu_F^*$ restringida a $\mathcal B(\R)$ es una medida con $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : la medida de Lebesgue–Stieltjes de $F$ .
Aplíquese esto a la escalera ( $F = c$ extendida por $0$ sobre $\R_-$ y por $1$ sobre $\intco1\infty$ ): la medida de Cantor $\mu$ . Demostrar que $\mu(\R) = 1$ , que todo hueco del conjunto de Cantor es $\mu$ -nulo ( $c$ es allí constante) y concluir que

$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$

$\mu$ y $\lambda$ viven sobre soportes disjuntos ( $C$ y su complementario). Dos medidas en esta situación se llaman mutuamente singulares, y se escribe $\mu \perp \lambda$ .
Demostrar que $\mu$ no tiene átomos: $\mu(\{x\}) = 0$ para todo $x$ (continuidad de $c$ ). Una medida de probabilidad sin átomos soportada por un compacto de medida de Lebesgue nula: compárese con las únicas medidas vistas hasta ahora.
(Lanzamiento de monedas disfrazado) Para una palabra $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , sea $C_{\varepsilon}$ el conjunto de los $x \in C$ cuyos dígitos ternarios cumplen $b_i(x) = \varepsilon_i$ para $i \leq m$ (una de las $2^m$ piezas de Cantor de profundidad $m$ ). Demostrar que $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ (la escalera sube $2^{-m}$ a lo largo de esa pieza: úsese la Parte I, pregunta 3). La medida de Cantor es la ley de una sucesión infinita de lanzamientos de moneda equilibrada leída en base tres — el Capítulo 22 hará esto exacto.
Demostrar la autosemejanza: para todo $A$ de Borel,

$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$

donde $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ (compruébese sobre los intervalos generadores $\intoc ab$ mediante las relaciones autosemejantes de $c$ , e invóquese después la unicidad, Teorema 9.7).
Demostrar que la reflexión $s(x) = 1 - x$ conserva $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ (mediante $c(1 - x) = 1 - c(x)$ , que se sigue de la simetría de la construcción — demuéstrese).
Calcular los dos primeros momentos de $\mu$ , es decir, de un punto aleatorio $X$ con ley $\mu$ (las integrales pueden tratarse como límites de sumas sobre las piezas de profundidad $m$ , anticipando el Capítulo 10): la simetría da $\int x\,\dd\mu = \frac12$ , y la autosemejanza da

$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{luego}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$

Compárese con la ley uniforme sobre $\intcc01$ (varianza $\frac1{12}$ ): la masa de Cantor, empujada hacia los bordes, se dispersa más.
Demostrar que el soporte (topológico) de $\mu$ — el menor cerrado de medida total — es exactamente $C$ .
(Síntesis) La escalera $c$ es continua y no decreciente y, sin embargo, incumple el teorema fundamental del cálculo (Parte I); la medida $\mu_c$ es una probabilidad, sin átomos, singular respecto de $\lambda$ . Explíquese en un párrafo breve cómo estas son dos caras de un mismo fenómeno y enúnciese la moraleja general: las funciones no decrecientes corresponden a medidas ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), la derivabilidad en casi todo punto corresponde a la «parte absolutamente continua», y $c$ es el testigo estándar de que una $F$ continua puede no tener ninguna parte absolutamente continua.
(El módulo de continuidad óptimo) Sea $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Demostrar que $c$ es continua de tipo Hölder con exponente $s$ :

$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$

y que ningún exponente $t > s$ puede servir, ni siquiera localmente. Deducir la forma en términos de medida: para todos $x$ y $r \in \intoc01$ ,

$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$

(Compárese una malla triádica de profundidad $m$ con la escala de $\abs{x - y}$ ; la pregunta 18 da la subida a lo largo de cada pieza. El exponente $s$ es la dimensión de Hausdorff de $C$ , como dirán cursos posteriores.)
(La autosemejanza caracteriza $\mu$ ) Demostrar el recíproco de la pregunta 19: si $\nu$ es una medida de probabilidad sobre $\mathcal B(\R)$ soportada por $\intcc01$ y cumple

$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$

entonces $\nu = \mu$ . (Itérese la relación $m$ veces para repartir $\nu$ entre las $2^m$ piezas de Cantor de profundidad $m$ , estímese $\nu(\intoc ab)$ contra el número de piezas contenidas en $\intoc ab$ y hágase $m \to \infty$ ; termínese con el Teorema 9.7.)

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. Inducción. Continuidad: las tres fórmulas coinciden en los empalmes ( $\frac12c_n(1) = \frac12$ y $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$ ); cada trozo es continuo. La monotonía y los valores en los extremos se heredan. Para la estimación de contracción: sobre $[0,\frac13]$ , $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; en el tercio central la diferencia es $0$ ; y en el tercio derecho, igual que en el izquierdo.

2. $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : la serie de incrementos converge uniformemente, de modo que $c_n \to c$ uniformemente; $c$ es continua, no decreciente, $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (todo ello se conserva por límites uniformes), y pasando al límite en la recursión que la define se ve que $c$ cumple ella misma las tres identidades autosemejantes.

3. Por la identidad central, $c \equiv \frac12$ sobre $\intcc{\frac13}{\frac23}$ , el primer hueco. Todo hueco de $C$ es la imagen del primero por una composición de las dos contracciones afines $x \mapsto \frac x3$ , $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; las identidades transportan la constancia en consecuencia (con valores los racionales diádicos). Para la fórmula de los dígitos, tómese $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ : si $b_1 = 0$ , entonces $x \in [0,\frac13]$ y $c(x) = \frac12c(3x)$ , donde $3x$ tiene dígitos $(b_2, b_3, \dots)$ ; si $b_1 = 1$ , entonces $x \in [\frac23, 1]$ y $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$ , con el mismo desplazamiento. Por inducción, los $N$ primeros dígitos binarios de $c(x)$ son $b_1, \dots, b_N$ para todo $N$ : $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$ .

4. Fuera de $C$ , $c$ es localmente constante: derivable con derivada $0$ . Como $\lambda(C) = 0$ (el Ejemplo 9.14), $c' = 0$ en casi todo punto. Y sin embargo $c(1) - c(0) = 1$ : el teorema fundamental en su forma $\mathcal C^1$ exige que $c$ sea derivable en todo punto con derivada continua (o al menos integrable, junto con la continuidad absoluta — véase el Capítulo 10); $c$ no es derivable en los puntos de $C$ y, más de fondo, $c$ no es absolutamente continua: sube sobre un conjunto nulo.

5. Dado $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ( $\beta_n \in \{0,1\}$ ), el punto $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ cumple $c(x) = y$ por la pregunta 3: $c(C) = \intcc01$ , un conjunto de medida $1$ — el conjunto nulo $C$ transporta, a través de $c$ , todo el intervalo.

6. $h$ es continua y estrictamente creciente ( $x$ lo es y $c$ es no decreciente); $h(0) = 0$ , $h(1) = 1$ , de modo que, por el teorema del valor intermedio, $h$ es una biyección continua de $\intcc01$ ; y una biyección continua de un espacio compacto en uno de Hausdorff es un homeomorfismo (Corolario 6.14).

7. Sobre un hueco $(u, v)$ (de longitud $\ell$ ), $c$ es constante, luego $h$ es afín de pendiente $\frac12$ : $h((u,v))$ es un intervalo de longitud $\frac\ell2$ . Los huecos son disjuntos y $h$ es inyectiva: las imágenes son disjuntas, de medida total $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ .

8. $h(\intcc01) = \intcc01$ y $h(C)$ es compacto (imagen continua), luego medible, con

\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 .

Un homeomorfismo puede inflar un conjunto nulo hasta medida $\frac12$ : el «tamaño topológico» (categoría, dimensión) y la «medida» son transportados por los homeomorfismos de maneras muy distintas — solo el primero es un invariante topológico.

9. $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ cumple $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : es un conjunto nulo y, por tanto, medible Lebesgue por completitud (Teorema 9.9).

10. Sean $\varphi$ continua y $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ . Las preimágenes conmutan con complementos y uniones numerables, luego $\mathcal D$ es una $\sigma$ -álgebra; contiene los abiertos (continuidad): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — las preimágenes de conjuntos de Borel por aplicaciones continuas son de Borel.

11. Si $Z$ fuera de Borel, aplíquese la pregunta 10 a la continua $\varphi = h^{-1}$ : $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ sería de Borel y, por tanto, medible Lebesgue — en contra de la elección de $W$ . Luego $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$ : la $\sigma$ -álgebra de Lebesgue contiene estrictamente a la de Borel.

12. $g = \mathbf 1_Z$ es medible Lebesgue ( $Z \in \mathcal L$ ) y $\varphi = h^{-1}$ es continua, pero $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ no es medible: $g \circ \varphi$ no es medible Lebesgue. El cuidado necesario: «función medible Lebesgue» significa que las preimágenes de conjuntos de Borel caen en $\mathcal L$ ; componer exige que las preimágenes de conjuntos de Lebesgue sean de Lebesgue, cosa que la continuidad no garantiza (aquí $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ aunque $\varphi$ sea un homeomorfismo).

13. Las cadenas, con testigos de cada estrictud:

\{\text{numerables}\} \subsetneq \{\text{nulos Borel}\} \subsetneq \{\text{nulos Lebesgue}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{nulos Borel}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L .

Testigos: $C$ es de Borel, nulo y no numerable (primer salto); $Z$ es nulo de Lebesgue pero no de Borel (segundo y, dentro de $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ , sexto); un conjunto de Cantor gordo es de Borel, denso en ninguna parte y de medida positiva (separa los conjuntos nulos de los de Borel); el $V$ de Vitali no está en $\mathcal L$ (último salto). La medida, la topología y el cardinal cortan $\mathcal P(\R)$ por líneas genuinamente distintas.

14. Medida exterior: $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (recúbrase por un intervalo que se desvanece), la monotonía es clara, y la subaditividad numerable se sigue empalmando recubrimientos $\varepsilon2^{-k}$ -óptimos, exactamente igual que para $\lambda^*$ . El recubrimiento por un solo intervalo da $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ . Recíprocamente, sea $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$ . Por continuidad de $F$ , tómese $b_k' > b_k$ con $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$ , y $a' \in \intoo ab$ con $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$ . El compacto $\intcc{a'}b$ queda recubierto por los abiertos $\intoo{a_k}{b_k'}$ : bastan un número finito, y el argumento de encadenamiento del Teorema 9.12 (camínese de $a'$ a $b$ por intervalos solapados, telescopando los incrementos de $F$ , con la monotonía absorbiendo los solapes) da $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$ . Hágase $\varepsilon \to 0$ : igualdad. (La continuidad de $F$ es lo que permitía abrir los intervalos con un coste $F$ arbitrariamente pequeño.)

15. Basta demostrar que cada semirrecta $H_t = \intoc{-\infty}t$ es medible en el sentido de Carathéodory, pues los conjuntos medibles forman una $\sigma$ -álgebra (el Teorema 9.9) y las semirrectas generan $\mathcal B$ . Dados $A$ y un recubrimiento $\varepsilon$ -óptimo $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$ : cada intervalo se descompone como $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (con un trozo posiblemente vacío), y los costes $F$ suman exactamente $F(b_k) - F(a_k)$ ; los primeros trozos recubren $A \cap H_t$ y los segundos $A \setminus H_t$ . Por tanto $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$ , y la desigualdad contraria es la subaditividad. Restringiendo la medida resultante a $\mathcal B$ : la medida de Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$ .

16. $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (continuidad de la medida a lo largo de $\intoc{-n}n$ ). Sobre un hueco $\intoo uv$ de $C$ , $c$ es constante, de modo que todo subintervalo semiabierto es $\mu$ -nulo, y también lo es el hueco (unión numerable); fuera de $\intcc01$ , $c$ también es constante. Por tanto $\mu(\R\setminus C) = 0$ , $\mu(C) = 1$ , mientras que $\lambda(C) = 0$ (el Ejemplo 9.14): cada una de $\mu, \lambda$ está soportada por un conjunto que la otra declara nulo — mutuamente singulares.

17. $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ por continuidad de $c$ : no hay átomos. Así pues, $\mu$ es una medida de probabilidad sin átomos soportada por un compacto de medida de Lebesgue nula — ni difusa con densidad, como las restricciones de $\lambda$ , ni atómica como las medidas de conteo: una tercera especie.

18. La pieza $C_\varepsilon$ ocupa un intervalo ternario $I_\varepsilon$ de longitud $3^{-m}$ , y la pregunta 3 de la Parte I muestra que a lo largo de $I_\varepsilon$ la escalera sube exactamente $2^{-m}$ (los $m$ primeros dígitos binarios de $c$ quedan congelados en $\varepsilon$ , y el resto barre todo). Por tanto $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{extremo der.}) - c(\text{extremo izq.}) = 2^{-m}$ : los cilindros de dígitos de profundidad $m$ tienen todos masa $2^{-m}$ , la ley de $m$ monedas equilibradas.

19. El miembro derecho define la medida de Borel $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ evaluada en $A$ — una medida de probabilidad. Puntualmente, con $c$ extendida globalmente, se comprueba caso por caso ( $x \leq 0$ ; los tres tercios; $x \geq 1$ ) la identidad

c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),

por ejemplo, sobre $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$ . Evaluar $\nu$ en $\intoc ab$ da, pues, $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ , y dos medidas finitas que coinciden sobre el $\pi$ -sistema de los intervalos semiabiertos coinciden en $\mathcal B$ (el Teorema 9.7): $\nu = \mu$ .

20. Por inducción sobre $n$ : $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ , y si $c_n$ tiene la simetría, entonces, para $x \in \intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; el tercio central se refleja alrededor de $\frac12$ ; y el tercio derecho es el caso izquierdo reflejado. En el límite, $c(1-x) = 1 - c(x)$ . Medida imagen: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ( $\mu$ no tiene átomos, pregunta 17, de modo que los convenios sobre los extremos no cuestan nada) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : $s_*\mu = \mu$ por unicidad.

21. Sea $X \sim \mu$ (las integrales de funciones continuas contra $\mu$ existen como límites de sumas de tipo Riemann sobre las piezas de profundidad $m$ , cada una de masa $2^{-m}$ , con error de muestreo $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; el Capítulo 10 sistematizará esto). Simetría: $1 - X \sim X$ , luego $\E X = \frac12$ . Autosemejanza: $X$ tiene la ley de $\frac Y3$ con probabilidad $\frac12$ y la de $\frac{Y+2}3$ con probabilidad $\frac12$ , $Y \sim \mu$ , de modo que

\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},

de donde $\E X^2 = \frac38$ y $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$ . La ley uniforme tiene varianza $\frac1{12} < \frac18$ : la masa de Cantor se abraza a los extremos.

22. $C$ es cerrado y $\mu(C) = 1$ . Si un abierto $I$ corta a $C$ en $x$ , las piezas de profundidad $m$ que contienen $x$ se encogen hacia $x$ , de modo que alguna $I_\varepsilon \subseteq I$ y $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : ningún cerrado menor puede soportar $\mu$ . Los puntos fuera de $C$ tienen entornos contenidos en huecos, de $\mu$ -medida $0$ . Por tanto, $\operatorname{supp}\mu = C$ exactamente.

23. Un solo fenómeno, dos dialectos. La Parte I dice que el crecimiento de $c$ es invisible para su derivada: $c' = 0$ en casi todo punto, con toda la subida concentrada en el conjunto nulo $C$ . La Parte V dice que la medida asociada $\mu_c$ pone toda su masa sobre ese mismo conjunto nulo: $\mu_c \perp \lambda$ , de modo que ninguna densidad $f \geq 0$ puede cumplir $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — una densidad obliga a anularse sobre los conjuntos $\lambda$ -nulos. El diccionario: $F \leftrightarrow$ no decreciente y acotada medida finita $\mu_F$ (preguntas 14–15); $F$ es integral de su derivada $\leftrightarrow$ $\mu_F$ tiene densidad (el caso «absolutamente continuo»); y, en general, $F'$ , que existe en casi todo punto para $F$ monótona (teorema de derivación de Lebesgue, más allá de este capítulo), solo recupera la parte con densidad. La escalera es el caso extremo: continua, con derivada $0$ en casi todo punto — su medida es puramente singular y el teorema fundamental del cálculo, lejos de fallar por accidente, falla exactamente por la cantidad $\mu_c(\R) = 1$ de masa singular.

24. Fíjense $x < y$ en $\intcc01$ y elíjase $m \geq 0$ con $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ . A lo largo de cualquier intervalo triádico $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ , la escalera sube a lo sumo $2^{-m}$ : un tal intervalo es o bien una de las $2^m$ piezas de $C_m$ , donde la subida es exactamente $2^{-m}$ (pregunta 18), o bien está contenido en la clausura de un único hueco de cierta etapa $\leq m$ , donde $c$ es constante. Como $y - x \leq 3^{-m}$ , el intervalo $\intcc xy$ corta a lo sumo a dos intervalos triádicos consecutivos de profundidad $m$ , de modo que

c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s},

usando $3^{s} = 2$ y $3^{-m} < 3(y - x)$ . Optimalidad: los extremos $u < v$ de una pieza de Cantor de profundidad $m$ cumplen $v - u = 3^{-m}$ y $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ ; una cota de Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ con $t > s$ obligaría a $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (pues $3^{t} > 3^{s} = 2$ ), y todo subintervalo de $\intcc01$ contiene tales piezas, de modo que el fallo es también local. Forma en términos de medida: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (con los valores de $c$ extendidos a $\R$ como en la pregunta 16; $\mu$ no tiene átomos, pregunta 17).

25. Escríbanse $S_0(x) = \frac x3$ y $S_1(x) = \frac{x+2}3$ ; la hipótesis dice $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$ . Iterando $m$ veces,

\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.

Como $\nu$ está soportada por $\intcc01$ y $S_w(\intcc01) = I_w$ , la pieza de Cantor de profundidad $m$ indexada por $w$ , cada $(S_w)_*\nu$ es una medida de probabilidad soportada por $I_w$ ; las $2^m$ piezas son intervalos cerrados disjuntos dos a dos de longitud $3^{-m}$ . Fíjese $\intoc ab$ y sea $N_m$ el número de piezas $I_w \subseteq \intoc ab$ . Una pieza que corte a $\intoc ab$ sin estar contenida en él ha de contener $a$ o $b$ , y un punto está en a lo sumo una pieza, de modo que

2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.

La misma doble desigualdad vale para $\mu$ (la pregunta 19 da la iteración idéntica), con el mismo recuento $N_m$ . Por tanto, $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$ : $\nu$ y $\mu$ coinciden sobre el $\pi$ -sistema de los intervalos semiabiertos, y ambas son medidas de probabilidad, de modo que el Teorema 9.7 da $\nu = \mu$ . La medida de la escalera es, pues, el punto fijo del esquema de promediado con dos aplicaciones — el enunciado, a nivel de medidas, de la autosemejanza de $C$ .

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

9.1 σ\sigmaσ-álgebras

9.2 Medidas

9.3 Medidas exteriores y el teorema de Carathéodory

9.4 La medida de Lebesgue en R\RR

9.5 Ejercicios

9.6 Problema: la escalera de Cantor–Vitali y un conjunto medible que no es de Borel

Términos definidos en este capítulo

9.1 $\sigma$ -álgebras

9.4 La medida de Lebesgue en $\R$