Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

20Subvariedades de ℝn

Esferas, tori, grupos de rotación: los hábitats naturales de la geometría y la mecánica no son espacios vectoriales sino curvo conjuntos que parecen planos de cerca. Este capítulo da esa frase. un significado preciso — subvariedades de $\R^n$ — y el cálculo para trabajar en ellos. La base es la inversa. teorema de función, demostrado aquí por el punto fijo de Banach; todo lo demás es cambio de coordenadas: los cuatro equivalentes descripciones de una subcolectora (enderezamiento local, nivel conjuntos, gráficas, parametrizaciones), espacios tangentes, y optimización restringida por Multiplicadores de Lagrange — que, como demostración final, vuelve a demostrar el teorema espectral para matrices simétricas en tres líneas de geometría. el El problema del fin de semana construye el grupo de rotación $SO(3)$ y su doble cubierta cuaterniónica: álgebra (Capítulo 1’s $Q_8$ adulto) encontrando geometría.

20.1 El teorema de la función inversa

Teorema 20.1 (Teorema de la función inversa)

Deje que $U \subseteq \R^n$ esté abierto, $f \colon U \to \R^n$ de clase $\mathcal C^1$ y $a \in U$ con $Df(a)$ invertible. Luego están conjuntos abiertos $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tales que $f \colon V \to W$ es una biyección con $\mathcal C^1$ inversa, y

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Si $f$ es $\mathcal C^k$ , también lo es $f^{-1}$ .

Demostración. Normalizar: reemplazando $f$ por $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ , podemos asumir $a = 0$ , $f(0) = 0$ , $Df(0) = I$ (la declaración general sigue componiendo con el biyecciones afines). Escriba $f(x) = x + g(x)$ : $Dg(0) = 0$ , y por continuidad de $Dg$ elige $r > 0$ con $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ en $\bar B(0, r)$ ; la media La desigualdad de valores da $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ allí.

Bijectivity onto a entorno. Para $y \in B(0, \frac r2)$ , resolver $f(x) = y$ significa encontrar un punto fijo de $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; $\Phi_y$ asigna $\bar B(0, r)$ a sí mismo ( $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) y es $\frac12$ -Lipschitz: Banach (Teorema 7.4) ofrece una solución única $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Además $f$ es inyectivo. en $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Configure $W = B(0, \frac r2)$ y $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : abierto (continuidad), con $f \colon V \to W$ biyectivo.

Continuidad and differentiability of the inverse. $(*)$ dice $\varphi = f^{-1}$ es $2$ -Lipschitz. Reparar $y_0 = f(x_0) \in W$ ; invertibilidad de $A = Df(x_0)$ (su distancia a $I$ es $\leq \frac12$ : Neumann, Proposición 8.4) y diferenciabilidad de $f$ dar, para $y = f(x)$ cerca de $y_0$ :

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

usando $(*)$ para convertir $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ : $\varphi$ es diferenciable en $y_0$ con la inversa diferencial. Continuidad de $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : composición de mapas continuos (la inversión es continuo, Proposición 8.4): $\varphi \in \mathcal C^1$ ; Al arrancar la misma fórmula se obtiene $\mathcal C^k$ . ∎

Teorema 20.2 (Teorema de función implícita)

Sea $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ $\mathcal C^1$ cerca de $(a, b)$ , $F(a,b) = 0$ , y supongamos que diferencial parcial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ es reversible. Luego están barrios $A \ni a$ , $B \ni b$ y una aplicación $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ con

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

y $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Demostración. Aplicar Teorema 20.1 a $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : su diferencial en $(a,b)$ , bloque-triangular con Los bloques diagonales invertibles $I$ y $D_yF$ son invertibles. el el inverso local tiene la forma $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; establecer $\psi(x) = h(x, 0)$ : entonces $F(x, y) = 0$ si y así $\Theta(x,y) = (x, 0)$ y si $y = \psi(x)$ , localmente. el fórmula: diferenciar $F(x, \psi(x)) = 0$ por la cadena regla. ∎

20.2 Subvariedades: cuatro definiciones

Teorema 20.3 (Caracterizaciones equivalentes)

Sean $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ y $k \geq 1$ . Los siguientes son equivalentes, para cada punto $a \in M$ (y $M$ es $d$ -dimensional submanifold of class $\mathcal C^k$ si se mantienen en cada $a \in M$ ):

(Alisado) Hay un $\mathcal C^k$ difeomorfismo $\Phi$ de un $\Omega \ni a$ abierto en un $\Omega' \subseteq \R^n$ abierto con

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(conjunto de niveles) Hay un $\mathcal C^k$ sumersión $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (es decir, $DF(x)$ sobreyectiva) en un $\Omega \ni a$ abierto con $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Gráfico) Hasta permutar coordenadas, $M$ es localmente el gráfico de una aplicación $\mathcal C^k$ $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
(Parametrización) Hay un $\mathcal C^k$ inmersión $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ (inyectiva $D\varphi(u)$ ) con $A$ abierto, $\varphi$ a homeomorfismo de $A$ a $M \cap \Omega$ para algunos $\Omega \ni a$ abiertos.

Demostración. (1) $\Rightarrow$ (2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (último coordenadas de $\Phi$ ): una inmersión ( $D\Phi$ invertible). (2) $\Rightarrow$ (3): $DF(a)$ sobreyectiva: algunos $q \times q$ menor del jacobiano es invertible ( $q = n - d$ ); después permutando coordenadas, $D_yF(a)$ es invertible, y el teorema de la función implícita (Teorema 20.2) expresa $M$ localmente como un gráfico $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : un inmersión (inyección diferencial $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ ), un homeomorfismo en el gráfico (inverso: la proyección, continuo). (4) $\Rightarrow$ (1): sea $\varphi(u_0) = a$ ; completo $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ por un suplemento $E$ ( $\dim E = n - d$ ) y defina $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ en $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ es biyectivo (imagen contiene $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ y $E$ ), por lo que $\Theta$ es un difeomorfismo local (Teorema 20.1); su inverso $\Phi$ se endereza: cerca de $a$ , los puntos de $M$ son exactamente los $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — para esto, el homeomorfismo La hipótesis en (4) garantiza que $M\cap\Omega$ , para pequeñas $\Omega$ , no contiene otras hojas ( $\varphi(u') + v = m \in M$ cerca de $a$ con $v \neq 0$ pequeño deben excluirse: $m = \varphi(u'')$ para algunos $u''$ cerca de $u_0$ por el Propiedad homeomorfismo e inyectividad local de $\Theta$ fuerzas $v = 0$ ). Luego $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ hasta encogerse. ∎

Ejemplo 20.4

La esfera $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : conjunto de niveles de la inmersión $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ ( $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): un subcolector $\mathcal C^\infty$ de dimensión $n - 1$ . el toro en $\R^3$ : conjunto de niveles de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ( $0 < r < R$ ). El cono $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ es no un subcolector en $0$ (Ejercicio 20.1). Grupos de matrices: $SL_n$ y $O_n$ son subvariedades de $M_n(\R)$ (Ejercicios 20.5 y 20.6) — el Punto de partida de la teoría de la mentira.

20.3 Espacios tangentes

Definición 20.5

Sea $M$ una subcolectora $d$ y $a \in M$ . El tangente espacio $T_aM$ es el conjunto de velocidad vectores $\gamma'(0)$ de $\mathcal C^1$ curvas $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ con $\gamma(0) = a$ .

Proposición 20.6

$T_aM$ es un subespacio vectorial de dimensión $d$ de $\R^n$ y:

si $M = F^{-1}(0)$ localmente con $F$ una inmersión: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
si $M$ está parametrizado por inmersión $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Demostración. Las curvas en $M$ satisfacen $F(\gamma(t)) = 0$ ; la regla de la cadena en $0$ da $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Por el contrario, el enderezamiento (Teorema 20.3(1)) transporta líneas de $\R^d\times\{0\}$ a curvas de $M$ : cada vector de a XXXP0201Se realiza el subespacio de dimensión XXX; comparando dimensiones ( $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) fuerza la igualdad en (1), y el mismo argumento de transporte da (2) ( $D\varphi(u_0)$ aplicado a líneas rectas en $A$ ; dimensiones nuevamente). ∎

Teorema 20.7 (Multiplicadores de Lagrange)

Sea $M = F^{-1}(0)$ con $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ una inmersión $\mathcal C^1$ , y sea $f \colon \Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ . Si la restricción $f\restriction_M$ tiene un extremo local en $a \in M$ , entonces hay reales únicos $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (Multiplicadores de Lagrange) con

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Demostración. Para cada curva $\gamma$ en $M$ a $a$ : $t \mapsto f(\gamma(t))$ tiene un extremo local en $0$ , por lo que $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (Proposición 20.6). Ahora $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (el rango/ortogonalidad identidad del Año 2, o Ejercicio 13.8 en finito dimensión: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), que es abarcado por los gradientes $\nabla F_i(a)$ — independiente, como $DF(a)$ es sobreyectivo: los multiplicadores existen y son únicos. ∎

Ejemplo 20.8 (El teorema espectral, geométricamente)

Sea $A$ una matriz $n\times n$ simétrica real y maximice $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ en la esfera $S^{n-1}$ (compacto: se alcanza el máximo, en algún momento $v_1$ ). Lagrange con $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ y $\nabla F = 2x$ dan $Av_1 = \lambda_1v_1$ — un vector propio, con $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Restringir $A$ a $v_1^\perp$ (invariante: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) e iterar: una base ortonormal de vectores propios. el Teorema espectral del año 2, reprobado mediante optimización pura. — y la sombra de dimensión infinita del mismo argumento probado Lema 15.6.

Método 20.9

Para demostrar que un conjunto es una subvariedad: exhibirlo localmente como $F^{-1}(0)$ con $DF$ sobreyectiva en el set (la más ruta común), o como un gráfico. Para calcular su dimensión y espacio tangente: $d = n - q$ y $T_a = \ker DF(a)$ . a optimizarlo: Lagrange — siempre verifique la compacidad (o coercitividad) primero, por lo que existe un extremo al cual el teorema puede aplicarse, y recuerde que la ecuación multiplicadora es sólo necesario: recopile todos los puntos críticos y luego compare valores. Para grupos de matrices, diferencie las curvas en el identidad para identificar espacios tangentes.

20.4 Ceremonias

Ejercicio 20.1 ★

(a) Verifique que lo siguiente sea $\mathcal C^\infty$ subcolectores y proporcione sus dimensiones: $S^{n-1}$ ; el hiperboloide $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; el toro de Ejemplo 20.4. (b) Demuestre que el cono $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ no es una subcolectora $2$ en $0$ : determine el número de componentes conectados de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ , y comparar con el número un alisado (Teorema 20.3(1)) sería fuerza para un plano menos un punto.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) Cada uno es $F^{-1}(0)$ para una inmersión: $\norm x^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiente $2x \neq 0$ ): dimensión $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiente $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ en el hiperboloide, donde $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ ): dimensión $2$ ; la función toroide $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ , $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ , es $\mathcal C^\infty$ cerca del toro ( $\rho \geq R - r > 0$ allí) con $\nabla G \neq 0$ (su El componente $z$ es $2z$ , y donde $z = 0$ es el componente radial. es $2(\rho - R)\ne0$ desde $\abs{\rho - R} = r$ ): dimensión $2$ .

(b) Para $\varepsilon$ pequeño, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tiene exactamente $2$ componentes conectados (lanas perforadas superior e inferior, cada una conectado por camino: conectar mediante círculos y rayos). Si $C$ Si hubiera un subcolector $2$ en $0$ , un enderezamiento daría un homeomorfismo de $C\cap\Omega$ en una pieza abierta de un avión enviando $0$ a un punto $p$ ; pequeño pinchado barrios-avion de $p$ tiene el componente uno y homeomorfismos preservar el número de componentes de pinchados barrios: contradicción.

Ejercicio 20.2 ★

Calcule el espacios tangentes: (a) $T_aS^{n-1}$ para cualquier $a$ (respuesta: $a^\perp$ ); (b) el plano tangente al toroide de Ejemplo 20.4 en un punto arbitrario de el ecuador exterior $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) la línea tangente a la hélice $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ en $\varphi(t_0)$ , comprobando Proposición 20.6(2).

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) En $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , por lo que el plano tangente es $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : el plano vertical tangente al exterior ecuador. (c) La hélice es una curva incrustada con $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : la línea tangente en $\varphi(t_0)$ es $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , como Proposición 20.6(2) prescribe.

Ejercicio 20.3 ★★

Deje $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (es decir, $z \mapsto z^2$ ). (a) ¿En qué puntos se aplica Teorema 20.1? (b) Demuestre que $f$ es localmente pero no globalmente invertible en $\R^2\setminus\{0\}$ , y exhibir explícitamente los dos locales inversas definidas en un entorno de $(1, 0)$ (los dos ramas de raíz cuadrada). (c) Misma discusión para la aplicación coordenadas polares $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\det = 4(x^2 + y^2)$ : el El teorema se aplica en todos los puntos excepto en el origen. (b) $f(-z) = f(z)$ : nunca inyectivo en un conjunto simétrico respecto a $0$ ; en $\R^2\setminus\{0\}$ es un difeomorfismo local en todas partes pero $2$ -a- $1$ a nivel mundial. Cerca de $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ , las dos inversas son las dos ramas de raíz cuadrada: en notación compleja $w \mapsto \pm\sqrt w$ (rama principal), es decir

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobiano $r > 0$ : difeomorfismo local en $\intoo0\infty\times\R$ , pero $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ da el mismo punto: localmente invertible (ángulo determinado hasta a $2\pi$ en un semiplano), nunca globalmente.

Ejercicio 20.4 ★★

(Folio) Sean $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ y $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Demuestre que cerca de todos los puntos de $\mathcal C$ distintos del origen, $\mathcal C$ es una subvariedad $1$ , localmente un gráfico en $x$ o en $y$ (¿cuál, dónde?). (b) Calcule la recta tangente en $(\frac32, \frac32)$ . (c) ¿Qué sucede en el origen? (Dos ramas se cruzan: exhibe dos curvas $\mathcal C^1$ en $\mathcal C$ a $0$ con velocidades independientes, y concluir que no el enderezamiento existe.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ desaparece si $y = x^2$ y $x = y^2$ , es decir $x^4 = x$ : en $(0,0)$ y $(1,1)$ ; solo $(0,0)$ se encuentra en $\mathcal C$ ( $F(1,1) = -1$ ). Entonces, en $\mathcal C\setminus\{0\}$ , $F$ es una inmersión: una subcolectora $1$ , localmente un gráfico $y = \psi(x)$ donde $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ y $x = \chi(y)$ donde $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (al menos uno mantiene alejado el origen).

(b) En $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$ : recta tangente $x + y = 3$ .

(c) La parametrización racional $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ , $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ pasa por $0$ en $t = 0$ con velocidad $(3, 0)$ ; intercambiando $x \leftrightarrow y$ (el curva es simétrica, o reparar por $1/t$ ) da una segunda Curva $\mathcal C^1$ que pasa por $0$ con velocidad $(0, 3)$ . dos direcciones tangentes independientes son imposibles para un $1$ -subcolector (su espacio tangente es una línea, Proposición 20.6): $\mathcal C$ no es un subvariedad en el origen — un autocruce transversal.

Ejercicio 20.5 ★★

Deje $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ al espacio $S_n$ de matrices simétricas. (a) Mostrar $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ y que $DF(M)$ es sobreyectivo sobre $S_n$ en cada $M \in O_n$ (given $S \in S_n$ , try $H = \frac12MS$ ). (b) Concluir que $O_n = F^{-1}(I)$ es un compacto $\mathcal C^\infty$ subcolector de dimensión $\frac{n(n-1)}2$ , con $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , las matrices antisimétricas. (c) Demuestre que $\eu^{tH} \in O_n$ para cada $H$ antisimétrico: las direcciones tangentes se integran a las curvas del grupo.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Para $M \in O_n$ y $S$ simétricos, $H = \frac12MS$ da $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : sobreyectiva sobre $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ con $F$ una inmersión (sobre $S_n$ , de dimensión $\frac{n(n+1)}2$ ) en cada uno de sus puntos: una subcolectora de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Compacto: cerrado ( $F$ continuo) y acotado (las columnas son vectores unitarios). Tangente en $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (la transpuesta pasa por la serie; los exponenciales de las matrices de conmutación se multiplican, Teorema 19.8).

Ejercicio 20.6 ★★

(a) Demuestre que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ tiene diferencial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ , distinto de cero en cada $M \in SL_n$ . (b) Concluya que $SL_n(\R)$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - 1$ con $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) ¿ $GL_n(\R)$ es una subvariedad? ¿De qué dimensión?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ para invertible $M$ (expansión de $\det$ cerca de $I$ : el término lineal de $\prod(1 + \lambda_i)$ ); con $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , y la fórmula se extiende a todos los $M$ por densidad y continuidad. En $SL_n$ , $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (su valor en $H = M$ es $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ con $\det$ una inmersión allí (valores en $\R$ ): dimensión $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ es un subconjunto abierto de $M_n(\R)$ (Ejercicio 6.8): una subcolectora de dimensión completa $n^2$ (enderezamiento: la carta de identidad).

Ejercicio 20.7 ★★

Por Multiplicadores de Lagrange: (a) encuentre los extremos de $f(x,y) = xy$ en el círculo $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) demuestre que entre todos los vectores de probabilidad $(p_1, \dots, p_n)$ (positivo, sumando $1$ ), la entropía $-\sum p_i\ln p_i$ se maximiza exactamente en la distribución uniforme; (c) encuentre el punto de la elipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ más cercano a $(1, 0)$ y verifique la ecuación multiplicadora geométricamente (alineación normal).

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ y $x^2 + y^2 = 1$ : $y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$ dan $x^2 = y^2 = \frac12$ . Valores de $xy$ : $\pm\frac12$ : máximo $\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , mínimo $-\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (la restricción establecida es compacto: existen extremos).

(b) En el interior del simplex ( $p_i > 0$ ), Lagrange para $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ con restricción $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ para todos los $i$ : todos los $p_i$ iguales, $p_i = \frac1n$ , con $H = \ln n$ . El máximo sobre el compacto se logra simplex; si se alcanzara en el límite (algunos $p_i = 0$ ), la distribución vive en $\leq n - 1$ puntos y por inducción $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : el interior el punto crítico es el máximo global — uniforme la ignorancia maximiza la entropía.

(c) Minimizar $(x-1)^2 + y^2$ en la elipse compacto: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Si $y \neq 0$ : $\lambda = 1$ , luego $2(x - 1) = \frac x2$ da $x = \frac43$ , $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : distancia $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Si $y = 0$ : $x = \pm2$ , distancias $1$ y $3$ . Puntos más cercanos: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , a distancia $\sqrt{2/3} < 1$ . el La ecuación multiplicadora dice el segmento desde $(1,0)$ hasta el El punto más cercano es paralelo a $\nabla$ (elipse): se encuentra con el elipse ortogonalmente, como exige la geometría.

Ejercicio 20.8 ★★★

Escriba Ejemplo 20.8 completo: probar por inducción que una matriz simétrica real admite una base ortonormal de vectores propios, con $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ los sucesivos máximos restringidos del cociente de Rayleigh. Luego deduzca el Courant–fórmulas de Fischer de Ejercicio 15.8 en dimensión finita directamente de esta construcción.

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

Inducción en $n$ ; $n = 1$ trivial. La función de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ alcanza su máximo $\lambda_1$ en el compacto $S^{n-1}$ en algún $v_1$ ; Lagrange (Teorema 20.7, esfera como conjunto de niveles) da $2Av_1 = 2\lambda v_1$ y $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . El hiperplano $v_1^\perp$ es $A$ -invariante (simetría: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); la restricción es simétrica y la inducción produce una base propia ortonormal $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ con valores propios $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , cada uno el máximo de $f$ en la esfera de la ortocomplemento restante. Courant–Fischer sigue exactamente como en Ejercicio 15.8: expandir $x = \sum c_iv_i$ ; en un espacio de prueba de dimensiones $k$ se cruza con $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (recuento de dimensiones en $\R^n$ ) para obtener $\min \leq \lambda_k$ , y $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ logra $\min = \lambda_k$ .

Ejercicio 20.9 ★★★

(Desigualdad de Hadamard) Para $M \in GL_n(\R)$ con columnas $c_1, \dots, c_n$ :

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

con igualdad y si las columnas son ortogonales. (Reduce to columns of norm $1$ by scaling; maximize $\det$ on the compacto product of spheres $(S^{n-1})^n$ ; at a maximizer, Lagrange in each column separately gives $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , and $\nabla_{c_i}\det$ is the $i$ -th column of $\operatorname{com}(M)$ : deduce $M^{\mathsf T}M$ diagonal, hence $= I$ , hence $\det = \pm1$ .) Lectura geométrica: el El volumen de un paralelepípedo es como máximo el producto de su arista. longitudes.

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Escalar cada columna a la norma unitaria divide $\abs{\det}$ por $\prod\norm{c_i}$ : basta con probar $\abs{\det M} \leq 1$ cuando todas las columnas son unitarias, con igualdad si $M \in O_n$ . el la función $\det$ es continuo en el compacto $(S^{n-1})^n$ : alcanza un máximo $m \geq \det I = 1 > 0$ at some $M$ . Arreglando todas las columnas excepto $i$ -ésima, $\det$ es lineal en $c_i$ con gradiente la $i$ -ésima columna de $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange en la esfera $i$ -ésima: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . el identity $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ lee $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ , es decir $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; tomando $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , y luego $j \neq i$ da $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : las columnas son ortonormales, $M \in O_n$ , $m = \abs{\det M} = 1$ . Por lo tanto $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ siempre, con igualdad exactamente para ortogonales. columnas (reescalar hacia atrás): el volumen de un paralelepípedo es el más grande, para longitudes de borde dadas, cuando los bordes son perpendiculares.

Ejercicio 20.10 ★★

¿Cerca de cuál de sus puntos se encuentra el círculo $S^1$ y una gráfica $y = \psi(x)$ ? ¿Un gráfico $x = \chi(y)$ ? Verificar el gráfico caracterización (Teorema 20.3(3)) explícitamente en $(1, 0)$ , y explique en una frase por qué la permutación de coordenadas alguno es siempre es suficiente pero ninguno funciona siempre.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ funciona cerca de todos los puntos con $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ cerca de cada punto con $x \neq 0$ ; en $(1, 0)$ : el gráfico $x = \sqrt{1 - y^2}$ sobre $y \in \intoo{-1}1$ , que es Teorema 20.3(3) con el coordenadas intercambiadas. Alguna permutación siempre funciona porque la recta tangente, al ser unidimensional, no puede ser simultáneamente vertical y horizontal — pero puede ser tampoco, por lo que no hay una elección fija de coordenadas "dependientes" sirve en cada punto.

Ejercicio 20.11 ★★

(El grupo ortogonal como subvariedad, cuantitativamente) (a) Demuestre que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ es compacto: acotado (cada columna es un vector unitario, por lo que $\norm M \leq \sqrt n$ para la norma de matriz euclidiana) y cerrado. (b) Demuestre que su espacio tangente en $I$ es el espacio de matrices antisimétricas, de dimensión $\frac{n(n-1)}2$ , y en general $A \in O_n$ : $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Deduzca que la aplicación $t \mapsto A\exp(tK)$ es, para cada $K$ antisimétrica, una curva en $O_n$ a $A$ con velocidad $AK$ (verify $\exp(tK) \in O_n$ using $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ and $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): todo vector tangente se realiza por una curva explícita, sin necesidad de un teorema de función implícito.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

(a) La aplicación definitorio $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ es continuo: $O_n = F^{-1}(0)$ está cerrado; columnas de un matriz ortogonal son vectores unitarios, por lo que la matriz euclidiana (Frobenius) la norma es exactamente $\sqrt n$ : acotada. Compacto por Heine–Borel en $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) $O_n$ es el conjunto de niveles $F = 0$ estudiado en el capítulo: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , sobreyectiva sobre matrices simétricas en cada $A \in O_n$ (dado $S$ simétrico, tome $H = \frac12AS$ ), por lo que $O_n$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ con

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisymmetric}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

en $A = I$ estas son las matrices antisimétricas.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (las dos matrices $\pm tK$ conmutar, por lo que el producto de exponenciales es el exponencial de la suma): $\exp(tK) \in O_n$ , y $\gamma(t) = A\exp(tK)$ es una curva en $O_n$ con $\gamma(0) = A$ , $\gamma'(0) = AK$ . Como $K$ corre sobre matrices antisimétricas, $AK$ barre $T_AO_n$ : la exponencial realiza el todo espacio tangente por curvas explícitas — el atajo del grupo Lie que Problema 20.1 explota para $SO(3)$ .

Ejercicio 20.12 ★★

(Puntos críticos de la distancia) Sea $M \subseteq \R^n$ un subcolector y $p \notin M$ . Mostrar que si $x_0 \in M$ minimiza la distancia a $p$ (tal punto existe cuando $M$ está cerrado y no está vacío — ¿por qué?), entonces

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(differentiate $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ along curves in $M$ ). Deducir: el punto más cercano en un la esfera se encuentra en el rayo que pasa por centro; y usar el condición para calcular la distancia desde $p = (2, 0)$ hasta el parábola $y = x^2$ (reducir a cúbica y resolverla) numéricamente a tres dígitos).

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Existencia: intersección $M$ con una gran bola cerrada alrededor $p$ para obtener un compacto no vacío; la distancia continuo alcanza su mínimo allí, y los puntos fuera de la pelota son más lejos. Condición de primer orden: para una curva $\gamma$ en $M$ con $\gamma(0) = x_0$ , la función $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ es diferenciable con un mínimo en $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

y $\gamma'(0)$ barre $T_{x_0}M$ : $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Esfera $S(c, r)$ : la espacio tangente en $x_0$ es $(x_0 - c)^\perp$ , entonces $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ se encuentra en la línea que pasa por $c$ y $p$ , a la distancia $r$ de $c$ — el punto del rayo, como insiste la geometría. Parábola: en $x_0 = (x, x^2)$ la tangente está atravesada por $(1, 2x)$ ; ortogonalidad a lecturas $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

con raíz real única ( $x \mapsto 2x^3 + x$ es estrictamente aumentando) $x \approx 0.835$ ; luego $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ y $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$ .

20.5 Problema: $SO(3)$ y el cuaterniones

Problema 20.1

Problema fin de semana — rotaciones, el grupo $S^3$ , y la doble tapa

Los cuaterniones $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — el álgebra cuyo grupo unitario contiene Problema 1.1’s $Q_8$ — parametrizar rotaciones tridimensionales dos veces: la aplicación “conjugado por un cuaternión unitario ” es un morfismo sobreyectivo $S^3 \to SO(3)$ con núcleo $\{\pm1\}$ . Construimos todo. Recordar/definir: la multiplicación es $\R$ -bilineal con $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; el conjugado de $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ es $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Parte I — The algebra $\mathbb H$ and the group $S^3$ .

Verifique que $\mathbb H$ sea asociativo $\R$ -álgebra con centro $\R$ , ese $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ y ese $N(pq) = N(p)N(q)$ (one clean route: represent $q$ as the $2\times2$ complex matrix $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , and use $\det$ ).
Deduzca que todo $q \neq 0$ es invertible ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ es un (no conmutativo) campo, y $S^3 = \{N(q) = 1\}$ es un grupo — y un subcolector compacto $3$ de $\R^4$ (Ejemplo 20.4).

Parte II — The rotation morphism. Identificar $\R^3$ con cuaterniones puros $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ , y para $q \in S^3$ definir $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Muestre que $\rho_q$ asigna $P$ a $P$ (pure quaternions are those with $\bar v = -v$ ), es $\R$ -lineal, conserva la norma y que $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ es un morfismo de grupo $S^3 \to O(3)$ .
Calcular el kernel: $\rho_q = \mathrm{id}$ y si $q$ viaja con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ si y así $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Escribir $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ con $u \in P$ , $N(u) = 1$ (¿por qué siempre sucede esto?) posible para $q \in S^3$ ?). Mostrar que $\rho_q$ corrige $u$ y, en el avión $u^\perp\cap P$ , actúa como rotación del ángulo $\theta$ (compute $\rho_q(w)$ for $w \perp u$ using $uw = -wu$ for orthogonal pure units — prove this identity from the multiplication table, or from $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Conclusión: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (cada $\rho_q$ es una rotación con eje y ángulo como calculado — determinante $+1$ por continuidad de $q \mapsto \det\rho_q$ en conectado $S^3$ , o directamente), y $\rho$ es sobre $SO(3)$ : cada La rotación de $\R^3$ tiene un eje (probar: un verdadero $3\times3$ matriz ortogonal con $\det = 1$ tiene valor propio $1$ — considere la característica polinomio) y por lo tanto es algo $\rho_q$ . Resumen:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Parte III — $SO(3)$ as a submanifold; Rodrigues.

Demuestre que $SO(3)$ es un compacto $3$ -dimensional subcolector de $M_3(\R)$ con $T_ISO(3) =$ matrices antisimétricas (Ejercicio 20.5; el determinante condición selecciona una unión de componentes).
Para la matriz antisimétrica $A_u$ asociada a $u \in \R^3$ ( $A_uv = u\wedge v$ , la cruz producto), prueba La fórmula de Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(de $A_u^3 = -A_u$ : dividir el exponencial serie a lo largo de los poderes de $A_u$ ) e identifíquelo como el rotación del eje $u$ y ángulo $\theta$ . deducir eso $\exp$ mapea las matrices antisimétricas sobre $SO(3)$ .
Relacione las dos parametrizaciones: muestre que $t \mapsto \rho_{q(t)}$ con $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ es un grupo de un solo parámetro rotaciones cuya derivada en $t = 0$ es $A_u$ — el cuaterniónico y exponenciales matriciales dicen la misma historia a media y máxima velocidad respectivamente.

Parte IV — The double cover, felt.

Muestre que camino $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , es un bucle en $SO(3)$ (su imagen $\rho_{q(t)}$ vuelve a la identidad) cuya sustentación cuaterniónica es no a bucle: $q(2\pi) = -q(0)$ . Continuando con $t = 4\pi$ cierra el ascensor. Explica en un breve párrafo qué esto dice: una rotación $2\pi$ no es continuamente deshacer mientras se realiza una rotación $4\pi$ (la correa truco), porque los bucles de $SO(3)$ se detectan en su doble tapa $S^3$ .
Deduzca también el dividendo práctico: composición de rotaciones = multiplicación de cuaterniones ( $4$ datos de multiplicaciones en lugar de $9$ , sin desviación de la ortogonalidad) — verificar en el composición de dos cuartos de vuelta aproximadamente $\mathrm i$ y $\mathrm j$ : calcular el eje y el ángulo del producto.

Part V — The explicit matrix: Euler–Rodrigues. Escriba $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , de modo que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Calcular $\rho_q(\mathrm i)$ en su totalidad a partir del tabla de multiplicar; luego obtenga $\rho_q(\mathrm j)$ y $\rho_q(\mathrm k)$ por el cíclico sustitución $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (justify it: cycling $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ extends to an automorphism of $\mathbb H$ , because the defining relations are cyclically symmetric). Concluya que la matriz de $\rho_q$ en la base $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ es el Matriz de Euler-Rodrigues

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Leer una rotación al revés) Demuestre que

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

en la notación de las preguntas 5 y 8. Deduzca una algoritmo que recupera $\pm q$ de una matriz de rotación $R$ : el ángulo de la traza; el eje de la parte antisimétrica cuando $0 < \theta < \pi$ ; y, cuando $\theta = \pi$ , acreditar y utilizar la identidad $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Evalúe $R_q$ para el producto $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ de la pregunta 11: a Aparece la matriz de permutación. Identificar la rotación y conciliar con el eje y el ángulo que se encuentran en pregunta 11.

Part VI — Inside $S^3$ : $SU(2)$ , clases de conjugación, exponentials.

Demuestre que la matriz representación de la pregunta 1 (llámelo $\Phi$ ) se restringe a un isomorfismo de grupo desde $S^3$ hasta grupo unitario especial

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(for surjectivity, write out the equations $U^{-1} = U^*$ and $\det U = 1$ for a general $2\times2$ complex matrix).
Demuestre que la parte real es una invariante de conjugación en $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ para todos $p \in S^3$ — y, por el contrario, que dos cuaterniones unitarios con el mismo la parte real está conjugada en $S^3$ (reducir a moviendo un eje puro unitario sobre otro, que Parte II proporciona). Describa el clases de conjugación de $S^3$ geométricamente; traducir a $SU(2)$ (nivel conjuntos de la traza); y proyecto de $\rho$ : dos las rotaciones son conjugadas en $SO(3)$ si y solo si tienen el mismo ángulo $\theta \in \intcc0\pi$ .
Defina $\exp$ en $\mathbb H$ por el exponencial serie; comprobar la convergencia absoluta, utilizando $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ para $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Muestre, para una unidad pura $u$ y $\theta \in \R$ ,

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

deduzca que $\exp$ asigna el hiperplano $P$ a $S^3$ , y verifique que $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : el fenómeno del medio ángulo en cuestión 9 de nuevo.
Para cuaterniones puros $v, w$ probar la regla del producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , de ahí el conmutador identidad $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; probar también $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ para las matrices de la pregunta 8. Concluya que la derivada de $\rho$ en $1$ a lo largo de las curvas $t \mapsto \exp(tv)$ es el isomorfismo lineal $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sobre las matrices antisimétricas, y que transporta el cuaternión conmutador a la matriz conmutador.

Part VII — Global structure.

(Sin sección continuo) Supongamos que $s \colon SO(3) \to S^3$ es continuo con $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Para el bucle $R(t) = \rho_{q(t)}$ de la pregunta 10, configure $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ para $t \in \intcc0{2\pi}$ . Mostrar que $\varepsilon$ es continuo con valores en $\{\pm1\}$ , y derivar una contradicción: no existe continuo elección global de un cuaternión unitario representando cada rotación.
(El modelo de bola) Sea $\bar B \subseteq \R^3$ el bola cerrada de radio $\pi$ y $E(v) = \eu^{A_v}$ , con $E(0) = I$ . Muestre que $E$ asigna $\bar B$ a $SO(3)$ , es inyectiva sobre la bola abierta, y sobre la La esfera límite identifica exactamente las antípodas: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , con No hay otras coincidencias. Así $SO(3)$ es la pelota. con puntos límite antípodas pegados — el espacio proyectivo $\mathbb{RP}^3$ — y un diámetro se convierte en el bucle no contráctil de la pregunta 10.
Demuestre que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; que las involuciones de $SO(3)$ (la $R \neq I$ con $R^2 = I$ ) son exactamente las medias vueltas $\rho_w$ con $w$ una unidad de cuaternión puro; y eso el centro de $SO(3)$ es trivial.
Demuestre que cada rotación es producto de dos medias vueltas: para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ , elegir una unidad pura $w \perp u$ , comprobar que $w' = qw$ sea nuevamente una unidad pura cuaternión y verifique $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . ¿Dónde se encuentran los dos ejes y ¿Qué ángulo forman?
Concluir el resumen topológico: $SO(3)$ es compacto y conectado por camino (da dos pruebas: Imagen continuo de $S^3$ bajo $\rho$ ; imagen de $\exp$ ), mientras que $O(3)$ tiene exactamente dos conectado componentes, cada uno de homeomórfico a $SO(3)$ .
(Una composición, tres formas) Sea $R_1$ la rotación por $\frac\pi2$ sobre el eje $z$ y $R_2$ el rotación por $\frac\pi2$ sobre el eje $x$ . calcular el eje y ángulo de $R_2R_1$ : (i) multiplicando las dos matrices $3\times3$ y usando parte traza/antisimétrica (Parte V); (ii) por multiplicar los cuaterniones unitarios correspondientes $q_2q_1$ . Compruebe que las dos respuestas concuerden: ángulo $\frac{2\pi}3$ , eje $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(El Transformación de Cayley) Para $K$ antisimétrico, muestre que $I + K$ es invertible y

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

con $-1$ nunca un valor propio de $C(K)$ ; muestra que $K \mapsto C(K)$ es una biyección de antisimétrica matrices en $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , con $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ inverso. (Un gráfico racional de $SO(n)$ , compañero del trascendental $\exp$ de Ejercicio 20.11.)

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. Mapa $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\alpha = t + \iu x$ , $\beta = y + \iu z$ : se comprueba que $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ vaya a $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , cuyos productos reproducir la tabla de cuaterniones: la aplicación es una inyectiva morfismo de álgebra, por lo que $\mathbb H$ hereda la asociatividad; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ es multiplicativo, y la conjugación corresponde a la transpuesta adjugada, dando $\overline{pq} = \bar q\bar p$ . Centro: desplazamientos con fuerzas $\mathrm i$ $y = z = 0$ , con fuerzas $\mathrm j$ $x = 0$ : $\R$ .

2. $q\bar q = N(q)$ : para $q \neq 0$ , $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : un álgebra de división. En $S^3$ : $N(pq) = 1$ y $N(q^{-1}) = 1$ : un grupo; y $S^3 \subseteq \R^4$ es el esfera unitaria: una subcolectora compacto $3$ .

3. $v$ es puro si $\bar v = -v$ ; entonces $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : $\rho_q$ conserva $P$ . La linealidad es clara; $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : una isometría de $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : $\rho_q \in O(3)$ . Y $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : un morfismo.

4. $\rho_q = \mathrm{id}$ y si $qv = vq$ para todos puros $v$ , si $q$ conmuta con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , si $q$ es central (pregunta 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Escribe $q = t + p$ ( $t \in \R$ , $p$ puro): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , entonces $t = \cos\frac\theta2$ y $p = \sin\frac\theta2\,u$ con $N(u) = 1$ para algunos $\theta$ (si $p = 0$ , $q = \pm1$ actúa de forma trivial). Desde $u^2 = -N(u) = -1$ , $q$ y $u$ conmutan, y $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : el eje. Para unidades puras $w \perp u$ : el regla de producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (expandir en coordenadas de la tabla) da $uw = u\wedge w = -wu$ . entonces

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

usando $uwu = -u^2w = w$ y las fórmulas de doble ángulo: el rotación del ángulo $\theta$ en el plano orientado $(w, u\wedge w)$ .

6. Cada $\rho_q$ es una rotación sobre $u$ por $\theta$ : en base ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ es la matriz tiene determinante $+1$ : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Suryectividad: una matriz $R \in SO(3)$ tiene $1$ como valor propio, ya que

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

entonces $\det(R - I) = 0$ . Tome un vector propio unitario $u$ ; $R$ conserva $u^\perp$ y lo restringe a una rotación de algún ángulo $\theta$ (plano ortogonal, determinante $1$ ): $R = \rho_q$ para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Con la pregunta 4 y la primera teorema de isomorfismo (Teorema 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. $O_3$ es un subcolector dimensional compacto $3$ (Ejercicio 20.5); $\det$ es continuo en él con valores en $\{\pm1\}$ , entonces $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ está abierto y cerrado en $O_3$ : una unión de componentes conectados, de ahí una subvariedad compacto $3$ , con el mismo tangente espacio en $I$ : las matrices antisimétricas.

8. $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ (unidad $u$ ), entonces $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 = -A_u$ . Dividir la serie exponencial de residuos de potencias mod la relación $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

En $u$ : $A_uu = 0$ : arreglado. En $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : la rotación del eje $u$ , ángulo $\theta$ — Rodrigues. Cada rotación tiene esto formulario (pregunta 6): $\exp$ está en $SO(3)$ desde el matrices antisimétricas.

9. Con $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : La pregunta 5 muestra que $\rho_{q(t)}$ es la rotación del eje $u$ . y el ángulo $t$ , es decir $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , cuyo derivado en $t = 0$ es $A_u$ . El cuaternión corre a la mitad. el ángulo — la huella analítica de la doble portada.

10. $\rho_{q(t)}$ es la rotación sobre $\mathrm k$ por el ángulo $t$ : en $t = 2\pi$ vuelve a la identidad — un bucle en $SO(3)$ . Su elevación satisface $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : la camino levantada está cerrada no; sólo en $t = 4\pi$ hace que $q$ regrese a $1$ . Interpretación: el bucle de rotaciones completas no es contraíble en $SO(3)$ — su levante los extremos en la otra hoja de la cubierta — mientras que doble bucle es; un cuerpo unido a su entorno por Las correas (el truco del cinturón) vuelven a un estado sin torcer después de $4\pi$ pero no después de $2\pi$ . Los grupos de rotación recuerdan el paridad de vueltas completas; $S^3$ , siendo simplemente conectado, es donde vive ese recuerdo.

11. Cuartos de vuelta: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ , $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Producto (aplicando primero el giro $\mathrm j$ ):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

de norma $1$ , con $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , y eje $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (la parte pura normalizada). dos cuartos de vuelta sucesivos alrededor de ejes ortogonales forman una $120^\circ$ rotación sobre la diagonal principal del cubo — cuatro valor de multiplicaciones reales de contabilidad, ortogonalidad conservado exactamente: por qué el software de vuelo y los motores gráficos componer rotaciones a través de cuaterniones.

12. De la tabla, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ y $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , entonces

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Multiplicando por $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ con la regla del vector escalar $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , donde $p_1 = (a, d, -c)$ y $p_2 = (-b, -c, -d)$ : la parte escalar es $-ab - (-ab) = 0$ (pura, como debe ser), y la parte del vector es

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

la primera columna de $R_q$ . La aplicación cíclico $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ preserva las relaciones $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (la palabra $\mathrm{ijk}$ es cíclicamente invariante hasta la relación $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ , que se cumple en cualquier anillo: conjugando $\mathrm{ijk} = -1$ por el invertible $\mathrm i$ ), por lo que $\sigma$ se extiende a un álgebra $\R$ automorfismo y $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Deslizándose, la imagen de $\mathrm j$ es la fórmula de la primera columna después del sustitución $(b, c, d) \to (c, d, b)$ con la base reetiquetado $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , que es exactamente la segunda columna que se muestra; uno mas el turno da el tercero.

13. Sumando la diagonal, $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norma unitaria), y con $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Parte antisimétrica: las tres independientes. las entradas de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ son $4ab, 4ac, 4ad$ (en posiciones $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), por lo que $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ con $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritmo: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; si $0 < \theta < \pi$ , lea $u$ desactivado $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ y establezca $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; si $\theta = 0$ , $q = \pm1$ . Para $\theta = \pi$ : $a = 0$ y Rodrigues (pregunta 8) da $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , es decir $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; cualquier columna distinta de cero de $R + I$ , normalizada, es $\pm u$ , y $q = \pm u$ .

14. Con $a = b = c = d = \frac12$ : todo diagonal las entradas desaparecen, $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

la permutación cíclica $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . su el rastro es $0 = 1 + 2\cos\theta$ , por lo que $\theta = \frac{2\pi}3$ , y corrige $(1,1,1)$ : la rotación por $120^\circ$ aproximadamente la diagonal principal — precisamente la respuesta de la pregunta 11, ahora visible como la matriz que cicla los ejes de coordenadas.

15. Sobre la base se verifica $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (la matriz de $\bar q$ tiene $\alpha' = \bar\alpha$ , $\beta' = -\beta$ , que es el conjugado transposición de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Por lo tanto $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ y $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : para $q \in S^3$ , $\Phi(q) \in SU(2)$ y $\Phi$ es un morfismo inyectivo (pregunta 1). Suryectividad: sea $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\det U = 1$ ; entonces Fuerzas $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ y $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ $\delta = \bar\alpha$ , $\gamma = -\bar\beta$ y luego $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : $U = \Phi(q)$ para el unidad cuaternión $q$ con coordenadas $\alpha = a + \iu b$ , $\beta = c + \iu d$ . Entonces $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Los escalares reales son centrales y $N(p) = 1$ da $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , entonces $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : la parte real es invariante. por el contrario dejar $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; entonces el las piezas puras tienen la misma norma $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Si $s = 0$ , $q = q' = \pm1$ . Si es $s > 0$ , escriba $q = a + su$ , $q' = a + su'$ con unidad $u, u'$ pura; La pregunta 6 proporciona una rotación que lleva de $u'$ a $u$ , es decir, $p \in S^3$ con $\rho_p(u') = u$ y luego $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . Las clases de $S^3$ son por tanto $\{1\}$ , $\{-1\}$ , y para cada $a \in \intoo{-1}1$ la $2$ -esfera $\{a + su : u \text{ unit pure}\}$ de radio $s$ . Según $\Phi$ , $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : las clases de $SU(2)$ son el nivel conjuntos de la traza. Proyectando: si $q' = pq\bar p$ entonces $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; por el contrario $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ fuerzas $q' = \pm pq\bar p$ (núcleo), por lo que $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , es decir $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ para los ángulos en $\intcc0\pi$ : las rotaciones conjugadas tienen ángulos iguales. Por el contrario, los ángulos iguales permiten a los representantes con la misma parte real no negativa, conjugada por lo anterior: en $SO(3)$ , el clase de conjugación de una rotación es exactamente su ángulo.

17. $N$ es multiplicativo, por lo que $\abs\cdot$ es un norma multiplicativa en $\mathbb H \cong \R^4$ y $\abs{q^k} = \abs q^k$ : la serie $\sum q^k/k!$ converge absolutamente en dimensión finita (por lo tanto completo) espacio, dominado por $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . por un unidad pura $u$ : $u^2 = -1$ , por lo que $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ y $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; dividiendo la serie,

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Cualquier $q \in S^3$ es $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ con $\alpha \in \intcc0\pi$ (pregunta 5): $q = \exp(\alpha u)$ , entonces $\exp(P) = S^3$ . Finalmente $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ en la notación de la pregunta 9, y $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ ahí: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. Expandiendo $vw$ en coordenadas con la tabla: los productos $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … dan el escalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , y el mixto Los productos ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) dan el vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Restando el producto inverso: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (las partes escalares se cancelan, las añadir productos cruzados). Para las matrices, con $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Derivada: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (conjugación es continuo y niega los cuaterniones puros), por lo que

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

el diferencial es $v \mapsto 2A_v$ , una biyección lineal de $P$ a las matrices antisimétricas, y $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ lo muestra lleva el cuaternión conmutador a la matriz conmutador.

19. Aplicando $\rho$ : $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , entonces $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (pregunta 4). Como producto del mapas continuos $t \mapsto s(R(t))$ y $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ , $\varepsilon$ es continuo en conectado intervalo $\intcc0{2\pi}$ con valores en el par discreto $\{\pm1\}$ : es constante, digamos $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Pero $R(0) = R(2\pi) = I$ , entonces $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , mientras que $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ y $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : contradicción. Sin sección continuo existe: el signo de ambigüedad $\pm q$ es global, no un defecto de una fórmula determinada.

20. Sobre: cada $R \in SO(3)$ es $\eu^{\theta A_u}$ para alguna unidad $u$ y $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (preguntas 6 y 8); si $\theta > \pi$ , Rodrigues da $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (ambos son iguales a $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ y $A_{-u} = -A_u$ con $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ , $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), por lo que $R = E(v)$ con $\norm v \leq \pi$ . Inyectivo dentro: si $E(v) = E(v') \neq I$ con $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , la pregunta 13 recupera lo mismo ángulo $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ desde la traza y, desde $\sin\theta \neq 0$ , el mismo eje de la parte antisimétrica: $v = v'$ ; y $E(v) = I$ fuerza a $\theta \in \{0\}$ sobre la bola abierta. Límite: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ depende de $u$ sólo hasta $uu^{\mathsf T}$ , de donde $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; por el contrario, $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ aplicado a $u$ da $u = \langle u', u\rangle u'$ , por lo que $u' = \pm u$ . Interior y límite nunca colisionan (rastro $> -1$ versus $= -1$ ). Entonces $E$ induce una biyección continuo de la bola con pegado antípoda — compacto — en $SO(3)$ : a homeomorfismo y $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Un diámetro de $\pi u$ a $-\pi u$ tiene puntos finales pegados: es un bucle en $SO(3)$ , y su $E$ -descripción coincide con la familia de rotaciones de la pregunta 10 aproximadamente $u$ dando una vuelta completa.

21. $\rho$ es un morfismo y $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , por lo que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; por la pregunta 16, conjugando una rotación conserva su ángulo y gira su eje $\rho_p$ . Involuciones: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ y si $q^2 = \pm1$ . Si $q^2 = 1$ entonces $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (escalares centrales, por lo que esta factorización es válida) y $q = \pm1$ en el anillo de división $\mathbb H$ , dando $\rho_q = I$ , excluido; $q^2 = -1$ con $q = a + su$ da $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , entonces $a = 0$ , $s = 1$ : $q$ es una unidad pura $w$ , y $\rho_w$ es la media vuelta $w$ (ángulo $\pi$ , pregunta 5). Centro: si $\rho_q$ conmuta con cada $\rho_p$ , luego $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , entonces $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ con $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ es continuo en conectado $S^3$ y es igual a $1$ en $p = 1$ , por lo tanto $\equiv 1$ : $q$ conmuta con todo $S^3$ , por lo tanto con todo $\mathbb H$ (cambiar escala), entonces $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (pregunta 1) y $\rho_q = I$ : el centro es trivial.

22. Dado que $u \perp w$ son unidades puras, $uw = u\wedge w$ es pura (pregunta 18), entonces

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

es puro, de norma $\abs q\abs w = 1$ . Luego $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , y

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Ambos ejes $w$ y $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ se encuentran en el plano $u^\perp$ ortogonal al eje de rotación, y $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : forman el semiángulo $\frac\theta2$ . Esta es la generación clásica: dos medias vueltas sobre ejes que se encuentran en ángulo $\frac\theta2$ componen a la rotación del ángulo $\theta$ sobre su perpendicular común.

23. La compacidad es la pregunta 7. Conexión de caminos: $SO(3) = \rho(S^3)$ es la imagen continuo del conectado por camino esfera; alternativamente, para $R = \eu^{A}$ con $A$ antisimétrico (pregunta 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ es un camino en $SO(3)$ de $I$ a $R$ (ortogonal desde $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , determinante $1$ por continuidad de $t = 0$ ). Para $O(3)$ : $\det$ es continuo en $\{\pm1\}$ , por lo que $O(3)$ está desconectado, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ para cualquier $D$ fijo con $\det D = -1$ (por ejemplo, $D = -I$ ), y la multiplicación por la izquierda por $D$ es una homeomorfismo: exactamente dos componentes, cada uno una copia de $SO(3)$ . El $\rho$ dos a uno, sin secciones por pregunta 19, es pues una honesta doble portada de un conectado compacto grupo por simplemente conectado $S^3$ — la geometría detrás El truco del cinturón.

24. (i) Matrices:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

La traza $0 = 1 + 2\cos\theta$ proporciona $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ . La parte antisimétrica $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ tiene entradas que codifican $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ en el eje: aquí $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , que dice (Parte V diccionario $A_v$ ) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ ; con $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Cuaterniones: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ y

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

( $ik = -j$ ). Entonces $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , y la parte vectorial $\frac12(i - j + k)$ tiene dirección $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — la misma respuesta, con la ruta del cuaternión que requiere una línea de multiplicación en lugar de un producto matricial: la práctica Razón por la que el software de vuelo compone actitudes en $S^3$ .

25. $I + K$ invertible: $(I + K)v = 0$ da $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (la antisimetría mata el segundo término): $v = 0$ . Ortogonalidad de $C = C(K)$ : usando $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ y el hecho de que las cuatro matrices $I \pm K$ , $(I \pm K)^{-1}$ conmutar (expresiones polinómicas en $K$ , más límites):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Determinante: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , por lo que $\det C = 1$ : $C \in SO(n)$ . Sin valor propio $-1$ : $Cv = -v$ significa $(I - K)w = -(I + K)w$ para $w = (I + K)^{-1}v$ , es decir $2w = 0$ : $v = 0$ . Inversión: desde $C(I + K) = I - K$ , resuelva $K(I + C) = I - C$ ; desde $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , $I + C$ es invertible y $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , que es antisimétrico siempre que $C$ sea ortogonal sin valor propio $-1$ (transponga la expresión y use $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). Los dos mapas son mutuamente inversa por construcción: una parametrización racional global de la pieza densa abierta de $SO(n)$ evitando el valor propio $-1$ — sin series, sin trigonometría, y en la dimensión $3$ es la sustitución del medio ángulo $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ en disfrazarse.

20.1 El teorema de la función inversa

20.2 Subvariedades: cuatro definiciones

20.3 Espacios tangentes

20.4 Ceremonias

20.5 Problema: SO(3)SO(3)SO(3) y el cuaterniones

20.5 Problema: $SO(3)$ y el cuaterniones