Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

20Subvariedades de ℝn

Esferas, toros, grupos de rotaciones: los hábitats naturales de la geometría y la mecánica no son espacios vectoriales, sino conjuntos curvos que de cerca parecen planos. Este capítulo da a esa frase un sentido preciso — las subvariedades de $\R^n$ — y el cálculo para trabajar sobre ellas. El cimiento es el teorema de la función inversa, demostrado aquí con el punto fijo de Banach; todo lo demás es cambio de coordenadas: las cuatro descripciones equivalentes de una subvariedad (enderezamiento local, conjuntos de nivel, grafos, parametrizaciones), los espacios tangentes y la optimización con restricciones por multiplicadores de Lagrange — que, como demostración de despedida, vuelve a demostrar el teorema espectral para matrices simétricas en tres líneas de geometría. El problema de fin de semana construye el grupo de rotaciones $SO(3)$ y su recubrimiento doble cuaterniónico: el álgebra (el $Q_8$ del Capítulo 1, ya crecido) encontrándose con la geometría.

20.1 El teorema de la función inversa

Teorema 20.1 (Teorema de la función inversa)

Sean $U \subseteq \R^n$ abierto, $f \colon U \to \R^n$ de clase $\mathcal C^1$ y $a \in U$ con $Df(a)$ invertible. Entonces existen abiertos $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tales que $f \colon V \to W$ es una biyección de inversa $\mathcal C^1$ , y

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Si $f$ es $\mathcal C^k$ , también lo es $f^{-1}$ .

Demostración. Normalicemos: sustituyendo $f$ por $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ , podemos suponer $a = 0$ , $f(0) = 0$ , $Df(0) = I$ (el enunciado general se sigue componiendo con las biyecciones afines). Escríbase $f(x) = x + g(x)$ : $Dg(0) = 0$ y, por continuidad de $Dg$ , elíjase $r > 0$ con $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ en $\bar B(0, r)$ ; la desigualdad del valor medio da allí $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ .

Biyectividad sobre un entorno. Para $y \in B(0, \frac r2)$ , resolver $f(x) = y$ significa hallar un punto fijo de $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; $\Phi_y$ lleva $\bar B(0, r)$ en sí mismo ( $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) y es $\frac12$ -lipschitziana: Banach (el Teorema 7.4) da una única solución $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Además, $f$ es inyectiva en $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Póngase $W = B(0, \frac r2)$ y $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : abierto (continuidad), con $f \colon V \to W$ biyectiva.

Continuidad y diferenciabilidad de la inversa. $(*)$ dice que $\varphi = f^{-1}$ es $2$ -lipschitziana. Fíjese $y_0 = f(x_0) \in W$ ; la invertibilidad de $A = Df(x_0)$ (su distancia a $I$ es $\leq \frac12$ : Neumann, la Proposición 8.4) y la diferenciabilidad de $f$ dan, para $y = f(x)$ próximo a $y_0$ :

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

usando $(*)$ para convertir $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ : $\varphi$ es diferenciable en $y_0$ con la diferencial inversa. Continuidad de $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : composición de aplicaciones continuas (la inversión es continua, Proposición 8.4): $\varphi \in \mathcal C^1$ ; y reiterando la misma fórmula se obtiene $\mathcal C^k$ . ∎

Teorema 20.2 (Teorema de la función implícita)

Sea $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ de clase $\mathcal C^1$ cerca de $(a, b)$ , con $F(a,b) = 0$ , y supóngase que la diferencial parcial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ es invertible. Entonces existen entornos $A \ni a$ , $B \ni b$ y una aplicación $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ con

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

y $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Demostración. Aplíquese el Teorema 20.1 a $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : su diferencial en $(a,b)$ , triangular por bloques con bloques diagonales invertibles $I$ y $D_yF$ , es invertible. La inversa local tiene la forma $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; póngase $\psi(x) = h(x, 0)$ : entonces, localmente, $F(x, y) = 0$ si y solo si $\Theta(x,y) = (x, 0)$ si y solo si $y = \psi(x)$ . La fórmula: derívese $F(x, \psi(x)) = 0$ por la regla de la cadena. ∎

20.2 Subvariedades: cuatro definiciones

Teorema 20.3 (Caracterizaciones equivalentes)

Sean $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ y $k \geq 1$ . Son equivalentes, para cada punto $a \in M$ (y $M$ es una subvariedad de dimensión $d$ y clase $\mathcal C^k$ si se cumplen en todo $a \in M$ ):

(Enderezamiento) Existe un difeomorfismo $\mathcal C^k$ $\Phi$ de un abierto $\Omega \ni a$ sobre un abierto $\Omega' \subseteq \R^n$ con

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(Conjunto de nivel) Existe una sumersión $\mathcal C^k$ $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (es decir, con $DF(x)$ sobreyectiva) en un abierto $\Omega \ni a$ con $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Grafo) Salvo permutación de coordenadas, $M$ es localmente el grafo de una aplicación $\mathcal C^k$ $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
(Parametrización) Existe una inmersión $\mathcal C^k$ $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ ( $D\varphi(u)$ inyectiva) con $A$ abierto, siendo $\varphi$ un homeomorfismo de $A$ sobre $M \cap \Omega$ para cierto abierto $\Omega \ni a$ .

Demostración. (1) $\Rightarrow$ (2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (últimas coordenadas de $\Phi$ ): una sumersión ( $D\Phi$ invertible). (2) $\Rightarrow$ (3): $DF(a)$ sobreyectiva: algún menor $q \times q$ del jacobiano es invertible ( $q = n - d$ ); tras permutar coordenadas, $D_yF(a)$ es invertible, y el teorema de la función implícita (el Teorema 20.2) expresa $M$ localmente como un grafo $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : una inmersión (diferencial $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ inyectiva) y un homeomorfismo sobre el grafo (inversa: la proyección, continua). (4) $\Rightarrow$ (1): sea $\varphi(u_0) = a$ ; complétese $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ con un suplementario $E$ ( $\dim E = n - d$ ) y defínase $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ en $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ es biyectiva (su imagen contiene $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ y $E$ ), de modo que $\Theta$ es un difeomorfismo local (el Teorema 20.1); su inversa $\Phi$ endereza: cerca de $a$ , los puntos de $M$ son exactamente los $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — para ello, la hipótesis de homeomorfismo en (4) garantiza que $M\cap\Omega$ , para $\Omega$ pequeño, no contiene otras hojas (hay que excluir $\varphi(u') + v = m \in M$ próximo a $a$ con $v \neq 0$ pequeño: $m = \varphi(u'')$ para cierto $u''$ próximo a $u_0$ por la propiedad de homeomorfismo, y la inyectividad local de $\Theta$ fuerza $v = 0$ ). Entonces $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ , restringiendo si hace falta. ∎

Ejemplo 20.4

La esfera $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : conjunto de nivel de la sumersión $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ ( $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): una subvariedad $\mathcal C^\infty$ de dimensión $n - 1$ . El toro en $\R^3$ : conjunto de nivel de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ( $0 < r < R$ ). El cono $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ no es una subvariedad en $0$ (el Ejercicio 20.1). Grupos de matrices: $SL_n$ y $O_n$ son subvariedades de $M_n(\R)$ (el Ejercicios 20.5 y 20.6) — el punto de partida de la teoría de Lie.

20.3 Espacios tangentes

Definición 20.5

Sean $M$ una $d$ -subvariedad y $a \in M$ . El espacio tangente $T_aM$ es el conjunto de los vectores velocidad $\gamma'(0)$ de las curvas $\mathcal C^1$ $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ con $\gamma(0) = a$ .

Proposición 20.6

$T_aM$ es un subespacio vectorial de $\R^n$ de dimensión $d$ , y:

si $M = F^{-1}(0)$ localmente con $F$ una sumersión: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
si $M$ está parametrizada por la inmersión $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Demostración. Las curvas de $M$ cumplen $F(\gamma(t)) = 0$ ; la regla de la cadena en $0$ da $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Recíprocamente, el enderezamiento (el Teorema 20.3(1)) transporta rectas de $\R^d\times\{0\}$ a curvas de $M$ : todo vector de un subespacio de dimensión $d$ se realiza; comparando dimensiones ( $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) se fuerza la igualdad en (1), y el mismo argumento de transporte da (2) ( $D\varphi(u_0)$ aplicada a rectas de $A$ ; de nuevo las dimensiones). ∎

Teorema 20.7 (Multiplicadores de Lagrange)

Sea $M = F^{-1}(0)$ con $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ una sumersión $\mathcal C^1$ , y sea $f \colon \Omega \to \R$ de clase $\mathcal C^1$ . Si la restricción $f\restriction_M$ tiene un extremo local en $a \in M$ , entonces existen números reales únicos $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (los multiplicadores de Lagrange) con

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Demostración. Para toda curva $\gamma$ de $M$ que pase por $a$ : $t \mapsto f(\gamma(t))$ tiene un extremo local en $0$ , de modo que $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (la Proposición 20.6). Ahora bien, $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (la identidad de rango y ortogonalidad de segundo año, o el Ejercicio 13.8 en dimensión finita: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), que está generado por los gradientes $\nabla F_i(a)$ — independientes, al ser $DF(a)$ sobreyectiva: los multiplicadores existen y son únicos. ∎

Ejemplo 20.8 (El teorema espectral, geométricamente)

Sea $A$ una matriz real simétrica $n\times n$ y maximícese $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ en la esfera $S^{n-1}$ (compacta: el máximo se alcanza, en cierto $v_1$ ). Lagrange con $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ y $\nabla F = 2x$ dan $Av_1 = \lambda_1v_1$ — un vector propio, con $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Restrínjase $A$ a $v_1^\perp$ (invariante: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) e itérese: una base ortonormal de vectores propios. El teorema espectral de segundo año, vuelto a demostrar por pura optimización — y la sombra en dimensión infinita del mismo argumento demostró el Lema 15.6.

Método 20.9

Para demostrar que un conjunto es una subvariedad: exhíbase localmente como $F^{-1}(0)$ con $DF$ sobreyectiva sobre el conjunto (la vía más común), o como un grafo. Para calcular su dimensión y su espacio tangente: $d = n - q$ y $T_a = \ker DF(a)$ . Para optimizar sobre él: Lagrange — compruébese siempre antes la compacidad (o la coercividad), de modo que exista un extremo al que aplicar el teorema, y recuérdese que la ecuación de los multiplicadores es solo necesaria: recójanse todos los puntos críticos y compárense después los valores. Para grupos de matrices, derívense curvas en la identidad para identificar los espacios tangentes.

20.4 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

(a) Verifíquese que los siguientes son subvariedades $\mathcal C^\infty$ y dense sus dimensiones: $S^{n-1}$ ; el hiperboloide $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; el toro del Ejemplo 20.4. (b) Demuéstrese que el cono $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ no es una $2$ -subvariedad en $0$ : determínese el número de componentes conexas de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ y compárese con el que forzaría un enderezamiento (el Teorema 20.3(1)) para un plano menos un punto.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) Cada uno es $F^{-1}(0)$ para una sumersión: $\norm x^2 - 1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiente $2x \neq 0$ ): dimensión $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiente $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ en el hiperboloide, donde $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ ): dimensión $2$ ; la función del toro $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ , $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ , es $\mathcal C^\infty$ cerca del toro (allí $\rho \geq R - r > 0$ ) con $\nabla G \neq 0$ (su componente $z$ es $2z$ , y donde $z = 0$ la componente radial vale $2(\rho - R)\ne0$ , pues $\abs{\rho - R} = r$ ): dimensión $2$ .

(b) Para $\varepsilon$ pequeño, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tiene exactamente $2$ componentes conexas (los mantos superior e inferior punteados, cada uno conexo por caminos: conéctese a través de circunferencias y radios). Si $C$ fuera una $2$ -subvariedad en $0$ , un enderezamiento daría un homeomorfismo de $C\cap\Omega$ sobre un trozo abierto de un plano que enviaría $0$ a un punto $p$ ; los entornos planos punteados pequeños de $p$ tienen una componente, y los homeomorfismos conservan el número de componentes de los entornos punteados: contradicción.

Ejercicio 20.2 ★

Calcúlense los espacios tangentes: (a) $T_aS^{n-1}$ para cualquier $a$ (respuesta: $a^\perp$ ); (b) el plano tangente al toro del Ejemplo 20.4 en un punto arbitrario del ecuador exterior $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) la recta tangente a la hélice $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ en $\varphi(t_0)$ , comprobando Proposición 20.6(2).

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) En $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , de modo que el plano tangente es $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : el plano vertical tangente al ecuador exterior. (c) La hélice es una curva embebida con $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : la recta tangente en $\varphi(t_0)$ es $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , como prescribe la Proposición 20.6(2).

Ejercicio 20.3 ★★

Sea $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (es decir, $z \mapsto z^2$ ). (a) ¿En qué puntos se aplica el Teorema 20.1? (b) Demuéstrese que $f$ es localmente pero no globalmente invertible en $\R^2\setminus\{0\}$ , y exhíbanse explícitamente las dos inversas locales definidas en un entorno de $(1, 0)$ (las dos ramas de la raíz cuadrada). (c) Misma discusión para la aplicación de coordenadas polares $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\det = 4(x^2 + y^2)$ : el teorema se aplica en todo punto salvo el origen. (b) $f(-z) = f(z)$ : nunca inyectiva en un conjunto simétrico respecto de $0$ ; en $\R^2\setminus\{0\}$ es difeomorfismo local en todas partes y, sin embargo, $2$ a $1$ globalmente. Cerca de $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ , las dos inversas son las dos ramas de la raíz cuadrada: en notación compleja, $w \mapsto \pm\sqrt w$ (rama principal), i.e.

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobiano $r > 0$ : difeomorfismo local en $\intoo0\infty\times\R$ , pero $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ da el mismo punto: localmente invertible (el ángulo queda determinado salvo $2\pi$ en un semiplano), nunca globalmente.

Ejercicio 20.4 ★★

(Folium) Sean $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ y $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Demuéstrese que, cerca de todo punto de $\mathcal C$ distinto del origen, $\mathcal C$ es una $1$ -subvariedad, localmente un grafo en $x$ o en $y$ (¿cuál, dónde?). (b) Calcúlese la recta tangente en $(\frac32, \frac32)$ . (c) ¿Qué ocurre en el origen? (Se cruzan dos ramas: exhíbanse dos curvas $\mathcal C^1$ de $\mathcal C$ que pasen por $0$ con velocidades independientes, y conclúyase que no existe enderezamiento.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ se anula si y solo si $y = x^2$ y $x = y^2$ , es decir, $x^4 = x$ : en $(0,0)$ y $(1,1)$ ; solo $(0,0)$ está en $\mathcal C$ ( $F(1,1) = -1$ ). Así, en $\mathcal C\setminus\{0\}$ , $F$ es una sumersión: una $1$ -subvariedad, localmente un grafo $y = \psi(x)$ donde $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ y $x = \chi(y)$ donde $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (al menos una se cumple fuera del origen).

(b) En $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$ : recta tangente $x + y = 3$ .

(c) La parametrización racional $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ , $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ pasa por $0$ en $t = 0$ con velocidad $(3, 0)$ ; intercambiando $x \leftrightarrow y$ (la curva es simétrica, o reparametrícese por $1/t$ ) se obtiene una segunda curva $\mathcal C^1$ por $0$ con velocidad $(0, 3)$ . Dos direcciones tangentes independientes son imposibles en una $1$ -subvariedad (su espacio tangente es una recta, la Proposición 20.6): $\mathcal C$ no es una subvariedad en el origen — una autointersección transversal.

Ejercicio 20.5 ★★

Sea $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ en el espacio $S_n$ de las matrices simétricas. (a) Demuéstrese que $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ y que $DF(M)$ es sobreyectiva sobre $S_n$ en todo $M \in O_n$ (dada $S \in S_n$ , pruébese con $H = \frac12MS$ ). (b) Conclúyase que $O_n = F^{-1}(I)$ es una subvariedad $\mathcal C^\infty$ compacta de dimensión $\frac{n(n-1)}2$ , con $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , las matrices antisimétricas. (c) Demuéstrese que $\eu^{tH} \in O_n$ para toda $H$ antisimétrica: las direcciones tangentes se integran en curvas dentro del grupo.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Para $M \in O_n$ y $S$ simétrica, $H = \frac12MS$ da $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : sobreyectiva sobre $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ con $F$ una sumersión (sobre $S_n$ , de dimensión $\frac{n(n+1)}2$ ) en cada uno de sus puntos: una subvariedad de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Compacta: cerrada ( $F$ continua) y acotada (las columnas son vectores unitarios). Tangente en $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (la transposición pasa a través de la serie; las exponenciales de matrices que conmutan se multiplican, Teorema 19.8).

Ejercicio 20.6 ★★

(a) Demuéstrese que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ tiene diferencial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ , no nula en todo $M \in SL_n$ . (b) Conclúyase que $SL_n(\R)$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - 1$ con $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) ¿Es $GL_n(\R)$ una subvariedad? ¿De qué dimensión?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ para $M$ invertible (desarrollo de $\det$ cerca de $I$ : el término lineal de $\prod(1 + \lambda_i)$ ); con $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , y la fórmula se extiende a toda $M$ por densidad y continuidad. En $SL_n$ , $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (su valor en $H = M$ es $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ con $\det$ una sumersión allí (con valores en $\R$ ): dimensión $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ es un subconjunto abierto de $M_n(\R)$ (el Ejercicio 6.8): una subvariedad de dimensión total $n^2$ (enderezamiento: la carta identidad).

Ejercicio 20.7 ★★

Por multiplicadores de Lagrange: (a) hállense los extremos de $f(x,y) = xy$ en la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) demuéstrese que, entre todos los vectores de probabilidad $(p_1, \dots, p_n)$ (positivos y de suma $1$ ), la entropía $-\sum p_i\ln p_i$ se maximiza exactamente en la distribución uniforme; (c) hállese el punto de la elipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ más próximo a $(1, 0)$ , y compruébese geométricamente la ecuación de los multiplicadores (alineamiento normal).

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ y $x^2 + y^2 = 1$ : $y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$ dan $x^2 = y^2 = \frac12$ . Valores de $xy$ : $\pm\frac12$ : máximo $\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , mínimo $-\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (el conjunto de restricción es compacto: los extremos existen).

(b) En el interior del símplex ( $p_i > 0$ ), Lagrange para $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ con la restricción $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ para todo $i$ : todos los $p_i$ iguales, $p_i = \frac1n$ , con $H = \ln n$ . El máximo sobre el símplex compacto se alcanza; si se alcanzara en la frontera (algún $p_i = 0$ ), la distribución vive en $\leq n - 1$ puntos y por inducción $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : el punto crítico interior es el máximo global — la ignorancia uniforme maximiza la entropía.

(c) Minimícese $(x-1)^2 + y^2$ en la elipse compacta: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Si $y \neq 0$ : $\lambda = 1$ , y entonces $2(x - 1) = \frac x2$ da $x = \frac43$ , $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : distancia $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Si $y = 0$ : $x = \pm2$ , distancias $1$ y $3$ . Puntos más próximos: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , a distancia $\sqrt{2/3} < 1$ . La ecuación de los multiplicadores dice que el segmento de $(1,0)$ al punto más próximo es paralelo a $\nabla$ (elipse): corta la elipse ortogonalmente, como exige la geometría.

Ejercicio 20.8 ★★★

Desarróllese por completo el Ejemplo 20.8: demuéstrese por inducción que una matriz real simétrica admite una base ortonormal de vectores propios, siendo $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ los sucesivos máximos con restricción del cociente de Rayleigh. Dedúzcanse después las fórmulas de Courant–Fischer del Ejercicio 15.8 en dimensión finita directamente de esta construcción.

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

Inducción sobre $n$ ; $n = 1$ es trivial. La función de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ alcanza su máximo $\lambda_1$ en la compacta $S^{n-1}$ , en cierto $v_1$ ; Lagrange (el Teorema 20.7, con la esfera como conjunto de nivel) da $2Av_1 = 2\lambda v_1$ , y $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . El hiperplano $v_1^\perp$ es $A$ -invariante (simetría: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); la restricción es simétrica, y la inducción produce una base ortonormal de vectores propios $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ con valores propios $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , cada uno el máximo de $f$ en la esfera del ortocomplemento restante. Courant–Fischer se sigue exactamente como en el Ejercicio 15.8: desarróllese $x = \sum c_iv_i$ ; en un espacio de prueba de dimensión $k$ , interséquese con $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (recuento de dimensiones en $\R^n$ ) para obtener $\min \leq \lambda_k$ , y $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ alcanza $\min = \lambda_k$ .

Ejercicio 20.9 ★★★

(Desigualdad de Hadamard) Para $M \in GL_n(\R)$ de columnas $c_1, \dots, c_n$ :

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

con igualdad si y solo si las columnas son ortogonales. (Redúzcase a columnas de norma $1$ reescalando; maximícese $\det$ en el producto compacto de esferas $(S^{n-1})^n$ ; en un maximizador, Lagrange en cada columna por separado da $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , y $\nabla_{c_i}\det$ es la $i$ -ésima columna de $\operatorname{com}(M)$ : dedúzcase que $M^{\mathsf T}M$ es diagonal, luego $= I$ y por tanto $\det = \pm1$ .) Lectura geométrica: el volumen de un paralelepípedo es a lo sumo el producto de las longitudes de sus aristas.

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Reescalar cada columna a norma unidad divide $\abs{\det}$ por $\prod\norm{c_i}$ : basta demostrar $\abs{\det M} \leq 1$ cuando todas las columnas son unitarias, con igualdad si y solo si $M \in O_n$ . La función $\det$ es continua en el compacto $(S^{n-1})^n$ : alcanza un máximo $m \geq \det I = 1 > 0$ en cierta $M$ . Fijando todas las columnas salvo la $i$ -ésima, $\det$ es lineal en $c_i$ con gradiente la $i$ -ésima columna de $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange en la $i$ -ésima esfera: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . La identidad $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ se lee $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ , es decir, $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; tomando $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , y entonces $j \neq i$ da $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : las columnas son ortonormales, $M \in O_n$ , $m = \abs{\det M} = 1$ . Por tanto, $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ siempre, con igualdad exactamente para columnas ortogonales (deshágase la escala): el volumen de un paralelepípedo es máximo, dadas las longitudes de sus aristas, cuando estas son perpendiculares.

Ejercicio 20.10 ★★

¿Cerca de cuáles de sus puntos es la circunferencia $S^1$ un grafo $y = \psi(x)$ ? ¿Un grafo $x = \chi(y)$ ? Verifíquese explícitamente la caracterización por grafos (el Teorema 20.3(3)) en $(1, 0)$ , y explíquese en una frase por qué alguna permutación de coordenadas basta siempre pero ninguna fija sirve siempre.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ sirve cerca de todo punto con $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ cerca de todo punto con $x \neq 0$ ; en $(1, 0)$ : el grafo $x = \sqrt{1 - y^2}$ sobre $y \in \intoo{-1}1$ , que es el Teorema 20.3(3) con las coordenadas intercambiadas. Alguna permutación sirve siempre porque la recta tangente, al ser unidimensional, no puede ser a la vez vertical y horizontal — pero puede ser cualquiera de las dos, de modo que ninguna elección fija de coordenada «dependiente» sirve en todo punto.

Ejercicio 20.11 ★★

(El grupo ortogonal como subvariedad, cuantitativamente) (a) Demuéstrese que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ es compacto: acotado (cada columna es un vector unitario, de modo que $\norm M \leq \sqrt n$ para la norma matricial euclídea) y cerrado. (b) Demuéstrese que su espacio tangente en $I$ es el espacio de las matrices antisimétricas, de dimensión $\frac{n(n-1)}2$ , y en un $A \in O_n$ general: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Dedúzcase que la aplicación $t \mapsto A\exp(tK)$ es, para cada $K$ antisimétrica, una curva en $O_n$ que pasa por $A$ con velocidad $AK$ (verifíquese $\exp(tK) \in O_n$ usando $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ y $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): todo vector tangente se realiza mediante una curva explícita, sin necesidad alguna del teorema de la función implícita.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

(a) La aplicación de definición $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ es continua: $O_n = F^{-1}(0)$ es cerrado; las columnas de una matriz ortogonal son vectores unitarios, de modo que la norma euclídea (de Frobenius) vale exactamente $\sqrt n$ : acotado. Compacto por Heine–Borel en $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) $O_n$ es el conjunto de nivel $F = 0$ estudiado en el capítulo: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , sobreyectiva sobre las matrices simétricas en cada $A \in O_n$ (dada $S$ simétrica, tómese $H = \frac12AS$ ), de modo que $O_n$ es una subvariedad de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ con

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisymmetric}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

en $A = I$ son las matrices antisimétricas.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (las dos matrices $\pm tK$ conmutan, de modo que el producto de exponenciales es la exponencial de la suma): $\exp(tK) \in O_n$ , y $\gamma(t) = A\exp(tK)$ es una curva en $O_n$ con $\gamma(0) = A$ , $\gamma'(0) = AK$ . Cuando $K$ recorre las matrices antisimétricas, $AK$ barre $T_AO_n$ : la exponencial realiza todo el espacio tangente con curvas explícitas — el atajo de grupos de Lie que el Problema 20.1 explota para $SO(3)$ .

Ejercicio 20.12 ★★

(Puntos críticos de la distancia) Sean $M \subseteq \R^n$ una subvariedad y $p \notin M$ . Demuéstrese que si $x_0 \in M$ minimiza la distancia a $p$ (tal punto existe cuando $M$ es cerrada y no vacía — ¿por qué?), entonces

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(derívese $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ a lo largo de curvas de $M$ ). Dedúzcase: el punto más próximo de una esfera está en el radio que pasa por el centro; y úsese la condición para calcular la distancia de $p = (2, 0)$ a la parábola $y = x^2$ (redúzcase a una cúbica y resuélvase numéricamente con tres cifras).

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

Existencia: interséquese $M$ con una bola cerrada grande alrededor de $p$ para obtener un compacto no vacío; la distancia continua alcanza allí su mínimo, y los puntos exteriores a la bola están más lejos. Condición de primer orden: para una curva $\gamma$ de $M$ con $\gamma(0) = x_0$ , la función $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ es derivable con un mínimo en $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

y $\gamma'(0)$ barre $T_{x_0}M$ : $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Esfera $S(c, r)$ : el espacio tangente en $x_0$ es $(x_0 - c)^\perp$ , de modo que $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ está en la recta que pasa por $c$ y $p$ , a distancia $r$ de $c$ — el punto del radio, como insiste la geometría. Parábola: en $x_0 = (x, x^2)$ la tangente está generada por $(1, 2x)$ ; la ortogonalidad a $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ se lee

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{es decir}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

con única raíz real ( $x \mapsto 2x^3 + x$ es estrictamente creciente) $x \approx 0.835$ ; entonces $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ y $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$ .

20.5 Problema: $SO(3)$ y los cuaterniones

Problema 20.1

Problema de fin de semana — rotaciones, el grupo $S^3$ y el recubrimiento doble

Los cuaterniones $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — el álgebra cuyo grupo de unidades contiene el $Q_8$ del Problema 1.1 — parametrizan las rotaciones tridimensionales por partida doble: la aplicación «conjugar por un cuaternión unitario» es un morfismo sobreyectivo $S^3 \to SO(3)$ de núcleo $\{\pm1\}$ . Lo construiremos todo. Recuérdese o defínase: la multiplicación es $\R$ -bilineal con $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; el conjugado de $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ es $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Parte I — El álgebra $\mathbb H$ y el grupo $S^3$ .

Verificar que $\mathbb H$ es un álgebra asociativa sobre $\R$ de centro $\R$ , que $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ y que $N(pq) = N(p)N(q)$ (una vía limpia: represéntese $q$ como la matriz compleja $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , y úsese $\det$ ).
Dedúzcase que todo $q \neq 0$ es invertible ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ es un cuerpo (no conmutativo) y $S^3 = \{N(q) = 1\}$ es un grupo — y una $3$ -subvariedad compacta de $\R^4$ (Ejemplo 20.4).

Parte II — El morfismo de rotación. Identifíquese $\R^3$ con los cuaterniones puros $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ , y para $q \in S^3$ defínase $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Demostrar que $\rho_q$ lleva $P$ en $P$ (los cuaterniones puros son los de $\bar v = -v$ ), es $\R$ -lineal, conserva la norma, y que $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ es un morfismo de grupos $S^3 \to O(3)$ .
Calcular el núcleo: $\rho_q = \mathrm{id}$ si y solo si $q$ conmuta con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ si y solo si $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Escríbase $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ con $u \in P$ , $N(u) = 1$ (¿por qué es siempre posible para $q \in S^3$ ?). Demostrar que $\rho_q$ fija $u$ y, en el plano $u^\perp\cap P$ , actúa como la rotación de ángulo $\theta$ (calcúlese $\rho_q(w)$ para $w \perp u$ usando $uw = -wu$ para unidades puras ortogonales — demuéstrese esta identidad a partir de la tabla de multiplicar, o de $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Conclúyase: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (cada $\rho_q$ es una rotación de eje y ángulo los calculados — determinante $+1$ por continuidad de $q \mapsto \det\rho_q$ en el conexo $S^3$ , o directamente), y $\rho$ es sobreyectivo sobre $SO(3)$ : toda rotación de $\R^3$ tiene un eje (demuéstrese: una matriz ortogonal real $3\times3$ con $\det = 1$ tiene el valor propio $1$ — considérese el polinomio característico) y es, por tanto, algún $\rho_q$ . Resumen:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Parte III — $SO(3)$ como subvariedad; Rodrigues.

Demostrar que $SO(3)$ es una subvariedad compacta de dimensión $3$ de $M_3(\R)$ con $T_ISO(3) =$ las matrices antisimétricas (el Ejercicio 20.5; la condición sobre el determinante selecciona una unión de componentes).
Para la matriz antisimétrica $A_u$ asociada a $u \in \R^3$ ( $A_uv = u\wedge v$ , el producto vectorial), demuéstrese la fórmula de Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(a partir de $A_u^3 = -A_u$ : pártase la serie exponencial según las potencias de $A_u$ ), e identifíquese como la rotación de eje $u$ y ángulo $\theta$ . Dedúzcase que $\exp$ lleva las matrices antisimétricas sobre $SO(3)$ .
Relációnense las dos parametrizaciones: demuéstrese que $t \mapsto \rho_{q(t)}$ con $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ es un grupo uniparamétrico de rotaciones cuya derivada en $t = 0$ es $A_u$ — la exponencial cuaterniónica y la exponencial de matrices cuentan la misma historia a media velocidad y a velocidad completa, respectivamente.

Parte IV — El recubrimiento doble, palpado.

Demostrar que el camino $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , es un lazo en $SO(3)$ (su imagen $\rho_{q(t)}$ vuelve a la identidad) cuyo levantamiento cuaterniónico no es un lazo: $q(2\pi) = -q(0)$ . Continuando hasta $t = 4\pi$ se cierra el levantamiento. Explíquese en un párrafo breve qué significa esto: una rotación de $2\pi$ no se puede deshacer continuamente mientras que una de $4\pi$ sí (el truco del cinturón), porque los lazos de $SO(3)$ se detectan en su recubrimiento doble $S^3$ .
Dedúzcase también el dividendo práctico: componer rotaciones = multiplicar cuaterniones ( $4$ multiplicaciones de datos en lugar de $9$ , sin deriva de la ortogonalidad) — verifíquese con la composición de dos cuartos de vuelta alrededor de $\mathrm i$ y $\mathrm j$ : calcúlense el eje y el ángulo del producto.

Parte V — La matriz explícita: Euler–Rodrigues. Escríbase $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , de modo que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Calcúlese $\rho_q(\mathrm i)$ íntegramente a partir de la tabla de multiplicar; obténganse después $\rho_q(\mathrm j)$ y $\rho_q(\mathrm k)$ mediante la sustitución cíclica $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (justifíquese: la permutación cíclica $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ se extiende a un automorfismo de $\mathbb H$ , porque las relaciones de definición son cíclicamente simétricas). Conclúyase que la matriz de $\rho_q$ en la base $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ es la matriz de Euler–Rodrigues

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Leer una rotación al revés) Demuéstrese que

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

con la notación de las preguntas 5 y 8. Dedúzcase un algoritmo que recupere $\pm q$ a partir de una matriz de rotación $R$ : el ángulo, de la traza; el eje, de la parte antisimétrica cuando $0 < \theta < \pi$ ; y, cuando $\theta = \pi$ , demuéstrese y úsese la identidad $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Evalúese $R_q$ para el producto $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ de la pregunta 11: aparece una matriz de permutación. Identifíquese la rotación y concíliese con el eje y el ángulo hallados en la pregunta 11.

Parte VI — Dentro de $S^3$ : $SU(2)$ , clases de conjugación, exponenciales.

Demostrar que la representación matricial de la pregunta 1 (llámese $\Phi$ ) se restringe a un isomorfismo de grupos de $S^3$ sobre el grupo unitario especial

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(para la sobreyectividad, escríbanse las ecuaciones $U^{-1} = U^*$ y $\det U = 1$ para una matriz compleja $2\times2$ general).
Demostrar que la parte real es un invariante de conjugación en $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ para todos $p \in S^3$ — y, recíprocamente, que dos cuaterniones unitarios con la misma parte real son conjugados en $S^3$ (redúzcase a llevar un eje puro unitario sobre otro, cosa que proporciona la Parte II). Descríbanse geométricamente las clases de conjugación de $S^3$ ; tradúzcase a $SU(2)$ (conjuntos de nivel de la traza); y proyéctese por $\rho$ : dos rotaciones son conjugadas en $SO(3)$ si y solo si tienen el mismo ángulo $\theta \in \intcc0\pi$ .
Defínase $\exp$ en $\mathbb H$ por la serie exponencial; compruébese la convergencia absoluta usando $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ para $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Demuéstrese, para $u$ puro unitario y $\theta \in \R$ ,

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

dedúzcase que $\exp$ lleva el hiperplano $P$ sobre $S^3$ , y compruébese que $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : de nuevo el fenómeno del semiángulo de la pregunta 9.
Para cuaterniones puros $v, w$ , demuéstrese la regla del producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ y, por tanto, la identidad del conmutador $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; demuéstrese también $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ para las matrices de la pregunta 8. Conclúyase que la derivada de $\rho$ en $1$ a lo largo de las curvas $t \mapsto \exp(tv)$ es el isomorfismo lineal $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sobre las matrices antisimétricas, y que transporta el conmutador de cuaterniones al conmutador de matrices.

Parte VII — Estructura global.

(No hay sección continua) Supóngase que $s \colon SO(3) \to S^3$ es continua con $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Para el lazo $R(t) = \rho_{q(t)}$ de la pregunta 10, póngase $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ para $t \in \intcc0{2\pi}$ . Demuéstrese que $\varepsilon$ es continua con valores en $\{\pm1\}$ , y dedúzcase una contradicción: no existe ninguna elección global continua de un cuaternión unitario que represente cada rotación.
(El modelo de la bola) Sean $\bar B \subseteq \R^3$ la bola cerrada de radio $\pi$ y $E(v) = \eu^{A_v}$ , con $E(0) = I$ . Demuéstrese que $E$ lleva $\bar B$ sobre $SO(3)$ , es inyectiva en la bola abierta y, en la esfera frontera, identifica exactamente los antípodas: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , sin ninguna otra coincidencia. Así, $SO(3)$ es la bola con los puntos frontera antipodales pegados — el espacio proyectivo $\mathbb{RP}^3$ — y un diámetro se convierte en el lazo no contráctil de la pregunta 10.
Demostrar que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; que las involuciones de $SO(3)$ (los $R \neq I$ con $R^2 = I$ ) son exactamente las medias vueltas $\rho_w$ con $w$ un cuaternión puro unitario; y que el centro de $SO(3)$ es trivial.
Demostrar que toda rotación es producto de dos medias vueltas: para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ , elíjase un $w \perp u$ puro unitario, compruébese que $w' = qw$ es de nuevo un cuaternión puro unitario y verifíquese $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . ¿Dónde están los dos ejes y qué ángulo forman?
Conclúyase el resumen topológico: $SO(3)$ es compacto y conexo por caminos (dense dos demostraciones: imagen continua de $S^3$ por $\rho$ ; imagen de $\exp$ ), mientras que $O(3)$ tiene exactamente dos componentes conexas, cada una homeomorfa a $SO(3)$ .
(Una composición, de tres maneras) Sean $R_1$ la rotación de $\frac\pi2$ alrededor del eje $z$ y $R_2$ la rotación de $\frac\pi2$ alrededor del eje $x$ . Calcúlense el eje y el ángulo de $R_2R_1$ : (i) multiplicando las dos matrices $3\times3$ y usando la traza y la parte antisimétrica (Parte V); (ii) multiplicando los cuaterniones unitarios correspondientes $q_2q_1$ . Compruébese que ambas respuestas coinciden: ángulo $\frac{2\pi}3$ , eje $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(La transformación de Cayley) Para $K$ antisimétrica, demuéstrese que $I + K$ es invertible y

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

sin que $-1$ sea nunca valor propio de $C(K)$ ; demuéstrese que $K \mapsto C(K)$ es una biyección de las matrices antisimétricas sobre $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , con inversa $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ . (Una carta racional de $SO(n)$ , compañera de la $\exp$ trascendente de Ejercicio 20.11.)

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. Aplicación $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\alpha = t + \iu x$ , $\beta = y + \iu z$ : se comprueba que $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ van a $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , cuyos productos reproducen la tabla de los cuaterniones: la aplicación es un morfismo inyectivo de álgebras, de modo que $\mathbb H$ hereda la asociatividad; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ es multiplicativa, y la conjugación corresponde a la traspuesta de la adjunta, lo que da $\overline{pq} = \bar q\bar p$ . Centro: conmutar con $\mathrm i$ obliga a $y = z = 0$ , y con $\mathrm j$ obliga a $x = 0$ : $\R$ .

2. $q\bar q = N(q)$ : para $q \neq 0$ , $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : un álgebra de división. En $S^3$ : $N(pq) = 1$ y $N(q^{-1}) = 1$ : un grupo; y $S^3 \subseteq \R^4$ es la esfera unidad: una $3$ -subvariedad compacta.

3. $v$ es puro si y solo si $\bar v = -v$ ; entonces $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : $\rho_q$ conserva $P$ . La linealidad es clara; $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : una isometría de $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : $\rho_q \in O(3)$ . Y $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : un morfismo.

4. $\rho_q = \mathrm{id}$ si y solo si $qv = vq$ para todo $v$ puro, si y solo si $q$ conmuta con $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , si y solo si $q$ es central (pregunta 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Escríbase $q = t + p$ ( $t \in \R$ , $p$ puro): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , de modo que $t = \cos\frac\theta2$ y $p = \sin\frac\theta2\,u$ con $N(u) = 1$ para cierto $\theta$ (si $p = 0$ , $q = \pm1$ actúa trivialmente). Como $u^2 = -N(u) = -1$ , $q$ y $u$ conmutan, y $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : el eje. Para unidades puras $w \perp u$ : la regla del producto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (desarróllese en coordenadas con la tabla) da $uw = u\wedge w = -wu$ . Entonces

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

usando $uwu = -u^2w = w$ y las fórmulas del ángulo doble: la rotación de ángulo $\theta$ en el plano orientado $(w, u\wedge w)$ .

6. Cada $\rho_q$ es una rotación alrededor de $u$ de ángulo $\theta$ : en la base ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ su matriz tiene determinante $+1$ : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Sobreyectividad: una matriz $R \in SO(3)$ tiene $1$ como valor propio, pues

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

de modo que $\det(R - I) = 0$ . Tómese un vector propio unitario $u$ ; $R$ conserva $u^\perp$ y se restringe allí a una rotación de cierto ángulo $\theta$ (ortogonal plana, determinante $1$ ): $R = \rho_q$ para $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Con la pregunta 4 y el primer teorema de isomorfía (el Teorema 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. $O_3$ es una subvariedad compacta de dimensión $3$ (el Ejercicio 20.5); $\det$ es continuo en ella con valores en $\{\pm1\}$ , de modo que $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ es abierto y cerrado en $O_3$ : una unión de componentes conexas, luego a su vez una $3$ -subvariedad compacta, con el mismo espacio tangente en $I$ : las matrices antisimétricas.

8. $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ ( $u$ unitario), de modo que $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 = -A_u$ . Partiendo la serie exponencial según los restos de las potencias módulo la relación $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

En $u$ : $A_uu = 0$ : fijo. En $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : la rotación de eje $u$ y ángulo $\theta$ — Rodrigues. Toda rotación tiene esta forma (pregunta 6): $\exp$ es sobreyectiva de las matrices antisimétricas sobre $SO(3)$ .

9. Con $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : la pregunta 5 muestra que $\rho_{q(t)}$ es la rotación de eje $u$ y ángulo $t$ , es decir, $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , cuya derivada en $t = 0$ es $A_u$ . El cuaternión corre a la mitad del ángulo — la huella analítica del recubrimiento doble.

10. $\rho_{q(t)}$ es la rotación alrededor de $\mathrm k$ de ángulo $t$ : en $t = 2\pi$ vuelve a la identidad — un lazo en $SO(3)$ . Su levantamiento cumple $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : el camino levantado no es cerrado; solo en $t = 4\pi$ vuelve $q$ a $1$ . Interpretación: el lazo de las rotaciones completas no es contráctil en $SO(3)$ — su levantamiento termina en la otra hoja del recubrimiento — mientras que el lazo doble sí lo es; un cuerpo unido a su entorno por correas (el truco del cinturón) vuelve a un estado sin torsión tras $4\pi$ pero no tras $2\pi$ . Los grupos de rotaciones recuerdan la paridad de las vueltas completas; $S^3$ , al ser simplemente conexo, es donde reside esa memoria.

11. Cuartos de vuelta: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ , $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Producto (aplicando primero el cuarto de vuelta $\mathrm j$ ):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

de norma $1$ , con $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , y eje $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (la parte pura normalizada). Dos cuartos de vuelta sucesivos alrededor de ejes ortogonales dan una rotación de $120^\circ$ alrededor de la diagonal principal del cubo — cuatro multiplicaciones reales de contabilidad, con la ortogonalidad conservada exactamente: por eso el software de vuelo y los motores gráficos componen rotaciones con cuaterniones.

12. De la tabla, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ y $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , de modo que

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Multiplicando por $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ con la regla escalar–vector $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , donde $p_1 = (a, d, -c)$ y $p_2 = (-b, -c, -d)$ : la parte escalar es $-ab - (-ab) = 0$ (pura, como debe ser) y la parte vectorial es

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

la primera columna de $R_q$ . La aplicación cíclica $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ conserva las relaciones $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (la palabra $\mathrm{ijk}$ es cíclicamente invariante salvo la relación $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ , válida en todo anillo: conjúguese $\mathrm{ijk} = -1$ por el invertible $\mathrm i$ ), de modo que $\sigma$ se extiende a un automorfismo de $\R$ -álgebras, y $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Desenrollando, la imagen de $\mathrm j$ es la fórmula de la primera columna tras la sustitución $(b, c, d) \to (c, d, b)$ con la base reetiquetada $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , que es exactamente la segunda columna exhibida; una vuelta más da la tercera.

13. Sumando la diagonal, $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norma unidad) y, con $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Parte antisimétrica: las tres entradas independientes de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ son $4ab, 4ac, 4ad$ (en las posiciones $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), de modo que $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ con $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritmo: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; si $0 < \theta < \pi$ , léase $u$ en $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ y póngase $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; si $\theta = 0$ , $q = \pm1$ . Para $\theta = \pi$ : $a = 0$ , y Rodrigues (pregunta 8) da $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , es decir, $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; cualquier columna no nula de $R + I$ , normalizada, es $\pm u$ , y $q = \pm u$ .

14. Con $a = b = c = d = \frac12$ : todas las entradas diagonales se anulan, $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

la permutación cíclica $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . Su traza es $0 = 1 + 2\cos\theta$ , de modo que $\theta = \frac{2\pi}3$ , y fija $(1,1,1)$ : la rotación de $120^\circ$ alrededor de la diagonal principal — precisamente la respuesta de la pregunta 11, ahora visible como la matriz que cicla los ejes coordenados.

15. En la base se comprueba $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (la matriz de $\bar q$ tiene $\alpha' = \bar\alpha$ , $\beta' = -\beta$ , que es la traspuesta conjugada de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Por tanto, $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ y $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : para $q \in S^3$ , $\Phi(q) \in SU(2)$ , y $\Phi$ es un morfismo inyectivo (pregunta 1). Sobreyectividad: sea $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ con $\det U = 1$ ; entonces $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , y $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ obliga a $\delta = \bar\alpha$ , $\gamma = -\bar\beta$ , y entonces $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : $U = \Phi(q)$ para el cuaternión unitario $q$ de coordenadas $\alpha = a + \iu b$ , $\beta = c + \iu d$ . Así, $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Los escalares reales son centrales y $N(p) = 1$ da $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , de modo que $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : la parte real es invariante. Recíprocamente, sea $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; entonces las partes puras tienen la misma norma $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Si $s = 0$ , $q = q' = \pm1$ . Si $s > 0$ , escríbanse $q = a + su$ , $q' = a + su'$ con $u, u'$ puros unitarios; la pregunta 6 proporciona una rotación que lleva $u'$ a $u$ , es decir, $p \in S^3$ con $\rho_p(u') = u$ , y entonces $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . Las clases de $S^3$ son, por tanto, $\{1\}$ , $\{-1\}$ y, para cada $a \in \intoo{-1}1$ , la $2$ -esfera $\{a + su : u \text{ puro unitario}\}$ de radio $s$ . Bajo $\Phi$ , $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : las clases de $SU(2)$ son los conjuntos de nivel de la traza. Proyectando: si $q' = pq\bar p$ , entonces $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; recíprocamente, $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ obliga a $q' = \pm pq\bar p$ (núcleo), de modo que $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , i.e. $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ para los ángulos en $\intcc0\pi$ : las rotaciones conjugadas tienen ángulos iguales. Recíprocamente, ángulos iguales permiten elegir representantes con la misma parte real no negativa, conjugados por lo anterior: en $SO(3)$ , la clase de conjugación de una rotación es exactamente su ángulo.

17. $N$ es multiplicativa, de modo que $\abs\cdot$ es una norma multiplicativa en $\mathbb H \cong \R^4$ y $\abs{q^k} = \abs q^k$ : la serie $\sum q^k/k!$ converge absolutamente en el espacio de dimensión finita (luego completo), dominada por $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . Para $u$ puro unitario: $u^2 = -1$ , de modo que $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ y $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; partiendo la serie,

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Todo $q \in S^3$ es $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ con $\alpha \in \intcc0\pi$ (pregunta 5): $q = \exp(\alpha u)$ , de modo que $\exp(P) = S^3$ . Por último, $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ en la notación de la pregunta 9, y allí $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ : $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. Desarrollando $vw$ por coordenadas con la tabla: los productos $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … dan el escalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , y los productos mixtos ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) dan el vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Restando el producto invertido: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (las partes escalares se cancelan, los productos vectoriales se suman). Para las matrices, con $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Derivada: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (la conjugación es continua y cambia de signo los cuaterniones puros), de modo que

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

la diferencial es $v \mapsto 2A_v$ , una biyección lineal de $P$ sobre las matrices antisimétricas, y $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ muestra que lleva el conmutador de cuaterniones al conmutador de matrices.

19. Aplicando $\rho$ : $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , de modo que $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (pregunta 4). Como producto de las aplicaciones continuas $t \mapsto s(R(t))$ y $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ , $\varepsilon$ es continua en el intervalo conexo $\intcc0{2\pi}$ con valores en el par discreto $\{\pm1\}$ : es constante, digamos $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Pero $R(0) = R(2\pi) = I$ , de modo que $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , mientras que $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ y $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : contradicción. No existe ninguna sección continua: la ambigüedad de signo $\pm q$ es global, no un defecto de una fórmula concreta.

20. Sobreyectiva: todo $R \in SO(3)$ es $\eu^{\theta A_u}$ para cierto $u$ unitario y cierto $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (preguntas 6 y 8); si $\theta > \pi$ , Rodrigues da $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (ambos valen $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ , y $A_{-u} = -A_u$ con $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ , $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), de modo que $R = E(v)$ con $\norm v \leq \pi$ . Inyectiva dentro: si $E(v) = E(v') \neq I$ con $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , la pregunta 13 recupera el mismo ángulo $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ de la traza y, como $\sin\theta \neq 0$ , el mismo eje de la parte antisimétrica: $v = v'$ ; y $E(v) = I$ fuerza $\theta \in \{0\}$ en la bola abierta. Frontera: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ depende de $u$ solo a través de $uu^{\mathsf T}$ , de donde $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; recíprocamente, $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ aplicado a $u$ da $u = \langle u', u\rangle u'$ , de modo que $u' = \pm u$ . El interior y la frontera nunca chocan (traza $> -1$ frente a $= -1$ ). Así, $E$ induce una biyección continua de la bola con pegado antipodal — compacta — sobre $SO(3)$ : un homeomorfismo, y $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Un diámetro de $\pi u$ a $-\pi u$ tiene los extremos pegados: es un lazo en $SO(3)$ , y su descripción en $E$ coincide con la familia de rotaciones alrededor de $u$ de la pregunta 10, barriendo una vuelta completa.

21. $\rho$ es un morfismo y $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , de modo que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; por la pregunta 16, conjugar una rotación conserva su ángulo y gira su eje mediante $\rho_p$ . Involuciones: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ si y solo si $q^2 = \pm1$ . Si $q^2 = 1$ , entonces $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (escalares centrales, de modo que esta factorización es válida) y $q = \pm1$ en el anillo de división $\mathbb H$ , lo que da $\rho_q = I$ , excluido; $q^2 = -1$ con $q = a + su$ da $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , de modo que $a = 0$ , $s = 1$ : $q$ es un $w$ puro unitario, y $\rho_w$ es la media vuelta alrededor de $w$ (ángulo $\pi$ , pregunta 5). Centro: si $\rho_q$ conmuta con todo $\rho_p$ , entonces $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , de modo que $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ con $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ es continua en el conexo $S^3$ y vale $1$ en $p = 1$ , luego $\equiv 1$ : $q$ conmuta con todo $S^3$ , luego con todo $\mathbb H$ (reescalando), de modo que $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (pregunta 1) y $\rho_q = I$ : el centro es trivial.

22. Como $u \perp w$ son puros unitarios, $uw = u\wedge w$ es puro (pregunta 18), de modo que

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

es puro, de norma $\abs q\abs w = 1$ . Entonces $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , y

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Ambos ejes $w$ y $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ están en el plano $u^\perp$ ortogonal al eje de rotación, y $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : forman el semiángulo $\frac\theta2$ . Esta es la generación clásica: dos medias vueltas alrededor de ejes que forman un ángulo $\frac\theta2$ componen la rotación de ángulo $\theta$ alrededor de su perpendicular común.

23. La compacidad es la pregunta 7. Conexión por caminos: $SO(3) = \rho(S^3)$ es la imagen continua de la esfera conexa por caminos; alternativamente, para $R = \eu^{A}$ con $A$ antisimétrica (pregunta 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ es un camino en $SO(3)$ de $I$ a $R$ (ortogonal porque $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , determinante $1$ por continuidad desde $t = 0$ ). Para $O(3)$ : $\det$ es continuo y sobreyectivo sobre $\{\pm1\}$ , de modo que $O(3)$ es disconexo, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ para cualquier $D$ fijo con $\det D = -1$ (por ejemplo, $D = -I$ ), y la multiplicación por la izquierda por $D$ es un homeomorfismo: exactamente dos componentes, cada una copia de $SO(3)$ . El $\rho$ dos a uno, sin sección por la pregunta 19, es así un recubrimiento doble honesto de un grupo compacto conexo por el simplemente conexo $S^3$ — la geometría que hay detrás del truco del cinturón.

24. (i) Matrices:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

La traza $0 = 1 + 2\cos\theta$ da $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ . La parte antisimétrica $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ tiene entradas que codifican el eje en la forma $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ : aquí $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , que se lee (diccionario $A_v$ de la Parte V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ ; con $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Cuaterniones: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ , y

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

( $ik = -j$ ). Así, $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , y la parte vectorial $\frac12(i - j + k)$ tiene dirección $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — la misma respuesta, requiriendo la vía cuaterniónica una línea de multiplicación en lugar de un producto de matrices: la razón práctica por la que el software de vuelo compone actitudes en $S^3$ .

25. $I + K$ invertible: $(I + K)v = 0$ da $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (la antisimetría mata el segundo término): $v = 0$ . Ortogonalidad de $C = C(K)$ : usando $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ y que las cuatro matrices $I \pm K$ , $(I \pm K)^{-1}$ conmutan (expresiones polinómicas en $K$ , más límites):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Determinante: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , de modo que $\det C = 1$ : $C \in SO(n)$ . Ningún valor propio $-1$ : $Cv = -v$ significa $(I - K)w = -(I + K)w$ para $w = (I + K)^{-1}v$ , es decir, $2w = 0$ : $v = 0$ . Inversión: de $C(I + K) = I - K$ , resuélvase $K(I + C) = I - C$ ; como $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , $I + C$ es invertible y $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , que es antisimétrica siempre que $C$ sea ortogonal sin el valor propio $-1$ (transpóngase la expresión y úsese $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). Las dos aplicaciones son mutuamente inversas por construcción: una parametrización racional global del trozo abierto denso de $SO(n)$ que evita el valor propio $-1$ — sin series, sin trigonometría, y en dimensión $3$ es la sustitución del semiángulo $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ disfrazada.

Términos definidos en este capítulo

espacio tangente

Ver los 395 términos del glosario

20.1 El teorema de la función inversa

20.2 Subvariedades: cuatro definiciones

20.3 Espacios tangentes

20.4 Ejercicios

20.5 Problema: SO(3)SO(3)SO(3) y los cuaterniones

Términos definidos en este capítulo

20.5 Problema: $SO(3)$ y los cuaterniones