Mathématiques du lycée · Grades 10–12

11Fonctions et variations

Ce chapitre organise ce qu’il faut savoir sur les fonctions avant le calcul différentiel : la petite famille des fonctions de référence dont les graphiques doivent être connus par cœur, le sens précis de croissante et décroissante, et le comportement des variations lorsque l’on combine des fonctions.

11.1 Fonctions et courbes

Définition 11.1 (Fonction, ensemble de définition, courbe)

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d’un ensemble $D \subseteq \R$ (son ensemble de définition) exactement un nombre $f(x)$ . Sa courbe (ou graphique) est l’ensemble des points $\bigl(x, f(x)\bigr)$ pour $x \in D$ .

Exemple 11.2

La formule $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (pour la racine carrée) et $x \neq 1$ (dénominateur non nul) : l’ensemble de définition est $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 Les fonctions de référence

Les cinq fonctions suivantes et leurs courbes doivent devenir des réflexes.

Définition 11.3 (Fonctions de référence)

x \mapsto x^2 \text{ (carré)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (cube)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Leurs ensembles de définition sont $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ et $\R$ respectivement. La courbe de $x \mapsto \frac1x$ est une hyperbole.

Les cinq courbes de référence : la parabole x2 et le cube x3 (à gauche) ; √ x, x et l’hyperbole 1x (à droite). — Les cinq courbes de référence : la parabole $x^2$ et le cube $x^3$ (à gauche) ; $\sqrt x$ , $\abs x$ et l’hyperbole $\frac1x$ (à droite).

11.3 Variations sur un intervalle

Définition 11.4 (Croissante, décroissante)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . La fonction $f$ est croissante sur $I$ si elle préserve l’ordre :

\text{pour tous } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

et décroissante si elle inverse l’ordre ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Avec des inégalités strictes à droite, $f$ est strictement croissante (resp. décroissante). Une fonction qui est croissante ou décroissante sur $I$ est monotone sur $I$ .

Méthode 11.5 (Démontrer une variation à partir de la définition)

Prendre deux nombres arbitraires $u < v$ dans l’intervalle, et déterminer le signe de la différence $f(v) - f(u)$ , en général en la factorisant. Si le signe est constant sur l’intervalle, conclure.

Proposition 11.6 (Variations des fonctions de référence)

$x^2$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ est strictement croissante sur $\R$ .
$\sqrt x$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ est strictement décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ (mais pas sur leur réunion).
$\abs x$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .

Démonstration. Soit $u < v$ . On factorise $f(v) - f(u)$ dans chaque cas.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Sur $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ et $v + u > 0$ (car $v > u \geq 0$ ), donc $v^2 > u^2$ . Sur $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , donc $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , et le second facteur égale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ sauf si $u = v = 0$ . Donc $v^3 > u^3$ dès que $v > u$ .

3. Pour $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Pour $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ car $u - v < 0$ et $uv > 0$ ; même calcul pour $u < v < 0$ . Sur la réunion l’assertion échoue : $-1 < 1$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. Sur $\intco{0}{+\infty}$ , $\abs x = x$ est strictement croissante ; sur $\intoc{-\infty}{0}$ , $\abs x = -x$ est strictement décroissante. ∎

Remarque 11.7

Le point 4 est un piège classique : « décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ » n’est pas la même chose que « décroissante sur $\R \setminus \{0\}$ ». Les variations n’ont de sens que sur des intervalles.

Exemple 11.8 (Comparer sans calculer)

Comme $\sqrt x$ est strictement croissante, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; comme $x^2$ est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ , $(-3)^2 > (-2)^2$ . La monotonie transforme les comparaisons d’images en comparaisons d’arguments.

11.4 Nouvelles fonctions à partir d’anciennes

Proposition 11.9 (Transformations)

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $k \in \R$ .

$u + k$ a les mêmes variations que $u$ sur $I$ ; sa courbe est celle de $u$ décalée verticalement de $k$ .
Pour $\lambda > 0$ , $\lambda u$ a les mêmes variations que $u$ ; pour $\lambda < 0$ , les variations sont inversées.
Si $u \geq 0$ sur $I$ , alors $\sqrt u$ a les mêmes variations que $u$ .
Si $u \neq 0$ et $u$ a un signe constant sur $I$ , alors $\frac1u$ a les variations opposées à celles de $u$ .

Démonstration. Soient $u < v$ dans $I$ (en abusant de notation, on compare des valeurs de $x$ $u < v$ ; écrire $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ pour les images de $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : la différence des images est inchangée, donc son signe l’est aussi.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : le signe est conservé si $\lambda > 0$ , inversé si $\lambda < 0$ .

3. Si $u$ est croissante et $x_1 < x_2$ , alors $0 \leq s \leq t$ , et $\sqrt{}$ étant croissante (Proposition 11.6) donne $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Même argument dans le cas décroissant.

4. Si $u$ est croissante, $0 < s \leq t$ (ou $s \leq t < 0$ ), alors $\frac1s \geq \frac1t$ car $x \mapsto \frac1x$ est décroissante de chaque côté de $0$ : l’ordre est inversé. ∎

Exemple 11.10

Étudier $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\R$ . La fonction intérieure $u(x) = x^2 + 1$ est positive, décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ (un carré décalé). Par le point 3, $f$ a les mêmes variations : décroissante puis croissante, avec minimum $f(0) = 1$ .

Transformations en action : décaler x2 de 1 vers le haut (rouge) conserve ses variations ; prendre la racine carrée (orange) les conserve encore, comme dans l’. — Transformations en action : décaler $x^2$ de $1$ vers le haut (rouge) conserve ses variations ; prendre la racine carrée (orange) les conserve encore, comme dans l’Exemple 11.10.

11.5 Fonctions paires et impaires

Définition 11.11 (Parité)

Soit $f$ définie sur un ensemble de définition $D$ symétrique par rapport à $0$ (c’est-à-dire $-x \in D$ dès que $x \in D$ ). La fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$ , et impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$ .

Proposition 11.12 (Sens géométrique)

La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des $y$ ; la courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Démonstration. Si $f$ est paire et $(x, y)$ est sur la courbe (donc $y = f(x)$ ), alors $f(-x) = f(x) = y$ : le point miroir $(-x, y)$ est aussi sur la courbe. Si $f$ est impaire, $f(-x) = -y$ : le point $(-x, -y)$ , symétrique de $(x,y)$ par rapport à l’origine, est sur la courbe. ∎

Exemple 11.13

$x^2$ et $\abs x$ sont paires ; $x^3$ et $\frac1x$ sont impaires ; $f(x) = x^2 + x$ n’est ni l’une ni l’autre : $f(-1) = 0$ tandis que $f(1) = 2$ , donc $f(-1) \neq \pm f(1)$ . La parité divise le travail par deux : une fonction paire ou impaire n’a besoin d’être étudiée que sur $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Exercices

Exercice 11.1 ★

Donner l’ensemble de définition de chaque fonction :

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Solution

Solution de Exercice 11.1.

$f$ : il faut $3 - x \geq 0$ , ensemble de définition $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : il faut $x^2 - 4 \neq 0$ , c’est-à-dire $x \neq \pm 2$ : ensemble de définition $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : il faut $x \geq 0$ et $x \neq 5$ : ensemble de définition $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Exercice 11.2 ★

En utilisant les variations des fonctions de référence, comparer sans calculatrice :

\sqrt{11} \text{ et } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ et } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ et } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ et } (-0.99)^3 .

Solution

Solution de Exercice 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ car $\sqrt{}$ est croissante et $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ car $x^2$ est décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ car $\frac1x$ est décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ et $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ car $x^3$ est croissante et $-1.01 < -0.99$ .

Exercice 11.3 ★

Déterminer si chaque fonction est paire, impaire, ou ni l’une ni l’autre :

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Solution

Solution de Exercice 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : paire.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : impaire.

$h(1) = 2$ et $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , donc $h(-1)$ n’est ni $h(1)$ ni $-h(1)$ : ni paire ni impaire.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : impaire.

Exercice 11.4 ★

Une fonction $f$ a le comportement en variations suivant : croissante sur $\intcc{-3}{1}$ de $f(-3) = -2$ à $f(1) = 4$ , puis décroissante sur $\intcc{1}{5}$ jusqu’à $f(5) = 0$ . Combien de solutions l’équation $f(x) = 1$ a-t-elle sur $\intcc{-3}{5}$ ? Et $f(x) = 5$ ?

Solution

Solution de Exercice 11.4.

Lire le tableau de variations. Sur $\intcc{-3}{1}$ , $f$ monte de $-2$ à $4$ et croise la valeur $1$ exactement une fois ; sur $\intcc{1}{5}$ elle descend de $4$ à $0$ et croise $1$ une fois encore : l’équation $f(x) = 1$ a $2$ solutions. Le maximum de $f$ est $f(1) = 4 < 5$ , donc $f(x) = 5$ n’a aucune solution.

Exercice 11.5 ★★

En utilisant la Méthode 11.5 (signe de $f(v) - f(u)$ ), prouver que $f(x) = x^2 - 4x$ est strictement croissante sur $\intco{2}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 11.5.

Soit $2 \leq u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Les deux facteurs sont positifs : $v - u > 0$ , et $u + v > 2 + 2 = 4$ car $u \geq 2$ et $v > 2$ . Donc $f(v) > f(u)$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{2}{+\infty}$ .

Exercice 11.6 ★★

Sans calculer aucune dérivée, donner les variations de

\begin{gather*} f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ sur } \intoc{-\infty}{5}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ sur } \intco{0}{+\infty}, \\ h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ sur } \intco{0}{+\infty}. \end{gather*}

Solution

Solution de Exercice 11.6.

$f = \sqrt{u}$ avec $u(x) = 5 - x$ décroissante et positive ou nulle sur $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ est décroissante là (Proposition 11.9).

$g = \frac1u$ avec $u(x) = x^2 + 1$ croissante et positive sur $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ est décroissante là.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ est croissante, multiplier par $-2 < 0$ inverse, ajouter $3$ ne change rien : $h$ est décroissante sur $\intco{0}{+\infty}$ .

Exercice 11.7 ★★

Soit $f(x) = (x-2)^2 - 3$ sur $\R$ .

Donner les variations de $f$ et son minimum.
En déduire les variations de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ et son maximum. (Noter $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Solution

Solution de Exercice 11.7.

1. $f$ est sous forme canonique : décroissante sur $\intoc{-\infty}{2}$ , croissante sur $\intco{2}{+\infty}$ , minimum $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ avec $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . Le décalage de $4$ conserve les variations de $f$ , et $u \geq 1 > 0$ . Prendre l’inverse les inverse : $g$ est croissante sur $\intoc{-\infty}{2}$ et décroissante sur $\intco{2}{+\infty}$ , avec maximum $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Exercice 11.8 ★★

La courbe d’une fonction $f$ passe par les points $(0, 1)$ , $(2, 3)$ et $(4, 1)$ , et $f$ est croissante sur $\intcc{0}{2}$ et décroissante sur $\intcc{2}{4}$ . Croquer une courbe possible, puis croquer les courbes de $f + 2$ , de $-f$ , et de $2f$ .

Solution

Solution de Exercice 11.8.

Toute courbe en forme de colline passant par les trois points convient. Puis : $f + 2$ passe par $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , mêmes variations (décalage vertical) ; $-f$ passe par $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ avec des variations inversées (le pic devient une vallée) ; $2f$ passe par $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , mêmes variations mais amplifiées verticalement.

Exercice 11.9 ★★

Montrer que la fonction $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ peut s’écrire $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ , et en déduire ses variations sur $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . Sur $\intoo{-1}{+\infty}$ , $u(x) = x + 1$ est croissante et positive, donc $\frac1u$ est décroissante, $-\frac1u$ est croissante, et ajouter $2$ ne change rien : $f$ est strictement croissante sur $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Exercice 11.10 ★★

Vrai ou faux (justifier ou donner un contre-exemple) :

La somme de deux fonctions croissantes sur $I$ est croissante sur $I$ .
Le produit de deux fonctions croissantes sur $I$ est croissant sur $I$ .
Si $f$ est croissante sur $I$ , alors $f^2$ ( $= f \times f$ ) est croissante sur $I$ .

Solution

Solution de Exercice 11.10.

1. Vrai. Si $u < v$ , alors $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ est une somme de deux nombres positifs ou nuls.

2. Faux. $f(x) = g(x) = x$ sont croissantes sur $\R$ , mais leur produit $x^2$ n’est pas croissant sur $\R$ (il décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$ ). (L’assertion devient vraie si les deux fonctions sont aussi positives ou nulles.)

3. Faux. Même contre-exemple : $f(x) = x$ est croissante sur $\R$ mais $f^2(x) = x^2$ ne l’est pas.

Exercice 11.11 ★★★

Soit $f(x) = x + \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ .

Montrer que pour $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{0}{1}$ et strictement croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ .
Conclure que $x + \frac1x \geq 2$ pour tout $x > 0$ , avec égalité seulement en $x = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 11.11.

1. Pour $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Toujours $v - u > 0$ et $uv > 0$ . Si $0 < u < v \leq 1$ , alors $uv < 1$ , donc $uv - 1 < 0$ et $f(v) < f(u)$ : $f$ est strictement décroissante sur $\intoc{0}{1}$ . Si $1 \leq u < v$ , alors $uv > 1$ et $f(v) > f(u)$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ décroît avant $1$ et croît après, donc $f(x) \geq f(1) = 2$ pour tout $x > 0$ , avec égalité exactement en $x = 1$ . (Cette inégalité réapparaît sous de nombreuses formes ; comparer l’Exemple 10.3 et les inégalités de tangente du Chapitre 22.)