Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

23Espaces euclidiens

Munir un espace vectoriel réel d’un produit scalaire, c’est acquérir d’un coup les notions géométriques — longueurs, angles, orthogonalité, distances — et un théorème qui domine tout le chapitre : tout sous-espace admet une projection orthogonale, calculable par Gram–Schmidt, qui réalise la plus courte distance. Les isométries du plan referment le chapitre et la géométrie de l’année.

Dans tout ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel réel.

23.1 Produits scalaires

Définition 23.1

Un produit scalaire sur $E$ est une application $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilinéaire, symétrique et définie positive ( $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ ). Un espace de dimension finie ainsi muni est un espace euclidien. La norme de $x$ est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , et $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Exemple 23.2

Sur $\R^n$ : le produit canonique $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Sur $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (le caractère défini positif est Théorème 15.7 (4)). Sur $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , ou $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sur $n+1$ points distincts.

Exemple 23.3 (L’angle entre deux polynômes)

Une fois un produit scalaire choisi, deux vecteurs non nuls quelconques ont un angle, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (un cosinus légitime grâce à Cauchy–Schwarz). Pour $X$ et $X^2$ avec $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

soit un angle d’environ $14.5$ degrés — sur $\intcc{0}{1}$ , les graphes de $x$ et de $x^2$ sont « presque parallèles » au sens de la moyenne quadratique, ce qui explique qu’en retirant cette direction commune (Gram–Schmidt, plus bas) il ne reste que la petite correction $X^2 - X + \frac16$ .

Théorème 23.4 (Cauchy–Schwarz ; propriétés de la norme)

Pour tous $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont proportionnels. Par conséquent $\norm\cdot$ vérifie l’inégalité triangulaire $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (et $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). De plus :

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Démonstration. Si $y = 0$ , tout est trivial. Sinon le trinôme $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ est $\geq 0$ pour tout $t$ : son discriminant est $\leq 0$ , ce qui est exactement Cauchy–Schwarz ; l’égalité signifie une racine double $t_0$ , c’est-à-dire $x + t_0 y = 0$ (caractère défini) : la proportionnalité. Inégalité triangulaire : on développe,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

l’étape centrale étant Cauchy–Schwarz ; l’égalité impose $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ , le cas d’égalité positif, c’est-à-dire la proportionnalité avec un rapport positif — géométriquement, le triangle ne dégénère que lorsque les deux vecteurs pointent dans le même sens. Les deux dernières identités s’obtiennent par développement direct (la seconde, l’identité de polarisation, reconstitue le produit à partir de la norme). ∎

23.2 Orthogonalité

Définition 23.5

On écrit $x \perp y$ lorsque $\langle x, y \rangle = 0$ . Une famille est orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, orthonormale lorsque de plus chacun est de norme $1$ . L’orthogonal d’un sous-espace $F$ est

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

qui est un sous-espace de $E$ .

Proposition 23.6

(Pythagore) Si $x \perp y$ alors $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Dans une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$ , coordonnées et produits s’écrivent

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Démonstration. Pythagore : on développe. Liberté : on prend $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ d’une combinaison nulle : $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coordonnées : on écrit $x = \sum \lambda_i e_i$ et on prend le produit avec $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; les deux formules s’en déduisent par bilinéarité. ∎

Exemple 23.7 (Coordonnées orthonormales, avec une vérification de Parseval)

Décomposons $x = (1, 2, 3)$ dans la base orthonormale de l’Exercice 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Aucun système à résoudre — trois produits scalaires :

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certification par la formule de la norme de la proposition :

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Cette vérification par la somme des carrés des coordonnées (une identité de Parseval finie) coûte quelques secondes et détecte presque à coup sûr les erreurs de signe et de normalisation — prenez-en l’habitude chaque fois que vous calculez une décomposition orthonormale ; sa version en dimension infinie, pour les coefficients de Fourier de l’Exemple 23.14, est un théorème du volume de Licence 3.

Théorème 23.8 (Gram–Schmidt)

Tout espace euclidien possède des bases orthonormales. Explicitement, à partir d’une base quelconque $(v_1, \dots, v_n)$ , la recette

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

produit une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$ telle que $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ pour tout $k$ .

Démonstration. Par récurrence sur $k$ . Supposons la famille $(e_1, \dots, e_{k-1})$ orthonormale et engendrant $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . Le vecteur $w_k$ est orthogonal à chaque $e_j$ ( $j < k$ ) par construction,

\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle,

et $w_k \neq 0$ puisque $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . La normalisation préserve l’orthogonalité ; l’égalité des sous-espaces engendrés vaut car $e_k$ est combinaison de $v_k$ et des $e_i$ précédents, de façon inversible. ∎

Exemple 23.9 (Gram–Schmidt sur les polynômes, en entier)

Orthonormalisons $(1, X, X^2)$ dans $\R_2[X]$ pour $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Étape 1 : $\norm{1}^2 = 1$ , donc $e_1 = 1$ . Étape 2 : $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , et $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Étape 3 : $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ et

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{donc}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Sa norme a été calculée dans l’Exercice 23.9 : $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , d’où $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Les polynômes $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ sont, à un facteur près, les premiers polynômes de Legendre de l’intervalle $\intcc{0}{1}$ ; la construction se poursuit degré par degré, chaque nouveau polynôme étant orthogonal à tous ses prédécesseurs. Remarquons comme l’algorithme réutilise le travail déjà fait : la projection retranchée à l’étape 3 est exactement la meilleure approximation affine de $X^2$ obtenue dans l’Exemple 23.12 — Gram–Schmidt est une projection orthogonale itérée.

Théorème 23.10 (Projection orthogonale)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien $E$ . Alors

E = F \oplus F^{\perp},

et la projection associée $p_F$ sur $F$ (la projection orthogonale) est donnée, dans toute base orthonormale $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , par $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Elle réalise la distance à $F$ : pour tout $y \in F$ ,

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

avec égalité seulement pour $y = p_F(x)$ ; on écrit $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Démonstration. Prenons une base orthonormale $(e_i)_{i \leq k}$ de $F$ (Théorème 23.8 appliqué dans $F$ ) et posons $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Alors $x - \pi(x) \perp e_j$ pour chaque $j$ (même simplification que ci-dessus), donc $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . Et $F \cap F^\perp = \{0\}$ : un tel vecteur vérifie $\langle x, x\rangle = 0$ . La somme est donc directe et $\pi = p_F$ .

Distance : pour $y \in F$ , décomposons $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ , morceaux orthogonaux ( $F^\perp$ et $F$ ) ; Pythagore :

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

avec égalité si et seulement si $y = p_F(x)$ . ∎

Exemple 23.11 (Une projection ne rallonge jamais)

En appliquant Pythagore à la décomposition $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

avec égalité si et seulement si $x \in F$ . Dans une base orthonormale $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , cela s’écrit $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (une inégalité de Bessel) : quel que soit le nombre de directions orthonormales que l’on mesure, la somme des carrés des coordonnées ne dépasse jamais le carré de la longueur — à comparer à l’égalité exacte de l’Exemple 23.7, lorsque la famille est une base entière. Cette inégalité d’une ligne est ce qui rend les coefficients de Fourier sommables dans le volume de Licence 3 ; ici, elle explique déjà pourquoi ajouter des fonctions de base à un ajustement par moindres carrés ne peut que diminuer le résidu.

Exemple 23.12 (Meilleure approximation en moyenne quadratique)

Dans $C(\intcc{0}{1})$ muni de $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ , le polynôme de degré $\leq 1$ le plus proche de $f(x) = x^2$ pour la distance associée (moyenne quadratique) est $p_F(f)$ où $F = \R_1[X]$ . Gram–Schmidt sur $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . Alors

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

en utilisant $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . L’idée des « moindres carrés » en une ligne d’algèbre linéaire.

Méthode 23.13 (Trois routes vers une distance $d(x, F)$ )

Base orthonormale de $F$ : alors $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ et, par Pythagore,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

souvent moins coûteux que de calculer $x - p_F(x)$ lui-même.
Équations normales : avec une famille génératrice quelconque de $F$ , on résout $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ en les coefficients de $p$ (Exercice 23.5) — aucune orthonormalisation n’est nécessaire.
Par l’orthogonal : si $F^\perp$ est plus petit que $F$ (par exemple $F$ hyperplan, $F^\perp$ droite $\operatorname{Vect}(n)$ ), on projette plutôt sur $F^\perp$ :

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

ce qui est la formule classique de la distance à un plan (l’Exercice 25.8 l’utilise).

La route 3 est un cas particulier d’un réflexe général : projeter toujours sur celui de $F$ , $F^\perp$ qui a la plus petite dimension.

Exemple 23.14 (Orthogonalité trigonométrique : un avant-goût de Fourier)

Sur $C(\intcc{0}{2\pi})$ muni de $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ , la famille

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

est orthonormale : par exemple $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ pour $p \neq q$ (on linéarise le produit en $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ et on intègre sur des périodes entières), tandis que $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . La projection orthogonale sur le sous-espace engendré par les $2N + 1$ premières de ces fonctions a donc pour coordonnées les $\langle f, e_i\rangle$ — des intégrales contre des cosinus et des sinus. Ce sont les coefficients de Fourier de $f$ , et la projection est sa meilleure approximation trigonométrique en moyenne quadratique ; le volume de Licence 3 étudie leur convergence. L’orthogonalité fait tout le travail : les formules donnant les coefficients sont le Théorème 23.10 mot pour mot.

23.3 Isométries du plan

Définition 23.15

Un endomorphisme $u$ d’un espace euclidien est une isométrie (ou application orthogonale) lorsqu’il conserve la norme : $\norm{u(x)} = \norm x$ pour tout $x$ — de façon équivalente (polarisation), il conserve le produit scalaire ; de façon équivalente, sa matrice $A$ dans une base orthonormale vérifie $A^{\mathsf T} A = I$ . Les isométries forment un groupe, le groupe orthogonal $O(E)$ .

Exemple 23.16 (Reconnaître une isométrie à vue)

La matrice $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ est-elle orthogonale ? Les colonnes : normes $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ et $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; produit $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Oui — et $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , c’est donc la rotation $R_\theta$ avec $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (la « rotation $3$ - $4$ - $5$ », dont l’angle n’est aucune fraction remarquable de $\pi$ ). En revanche $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ a un faux air de matrice normalisée, mais sa première colonne n’est pas unitaire ( $\frac1{\sqrt2}$ ) : elle n’est pas orthogonale — un déterminant $\pm1$ ne certifie rien à lui seul, il faut vérifier les colonnes.

Théorème 23.17 (Isométries du plan)

Dans une base orthonormale d’un plan euclidien, les matrices des isométries sont exactement

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotation d'angle } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

la seconde étant la réflexion par rapport à la droite faisant un angle $\frac\theta2$ avec le premier vecteur de base.

Démonstration. Soit $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ avec $A^{\mathsf T}A = I$ : les colonnes sont unitaires et orthogonales. La première colonne est $(\cos\theta, \sin\theta)$ pour un certain $\theta$ ; la seconde, unitaire et orthogonale à elle, est $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . Le signe $+$ donne $R_\theta$ ; le signe $-$ donne $S_\theta$ . On vérifie que $S_\theta^2 = I$ et que le vecteur $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ est fixe tandis que son orthogonal est renversé : une réflexion. (Et $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : le groupe des rotations est le groupe des angles — à comparer avec le Théorème 3.7.) ∎

Deux réflexions font une rotation : en réfléchissant M = (2, 0.5) par rapport à l’axe des x, puis par rapport à la droite y = x, on arrive en (-0.5, 2) — l’image de M par la rotation d’angle π2 de centre l’origine, soit deux fois l’angle π4 entre les axes. Le devoir maison transforme cette image en la loi de composition de toutes les isométries planes. — Deux réflexions font une rotation : en réfléchissant $M = (2, 0.5)$ par rapport à l’axe des $x$ , puis par rapport à la droite $y = x$ , on arrive en $(-0.5, 2)$ — l’image de $M$ par la rotation d’angle $\frac\pi2$ de centre l’origine, soit *deux fois* l’angle $\frac\pi4$ entre les axes. Le devoir maison transforme cette image en la loi de composition de toutes les isométries planes.

Remarque 23.18 (Pièges classiques)

La formule de projection exige une base orthonormale : pour une famille seulement génératrice $(v_i)$ de $F$ , la somme $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ n’est pas $p_F(x)$ (essayer $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ) ; avec une famille non orthonormale, on résout plutôt les équations normales (Méthode 23.13 (2)). Une famille orthogonale doit éviter $0$ pour être libre : le vecteur nul est orthogonal à tout, y compris à lui-même — la liberté dans la Proposition 23.6 exige des vecteurs non nuls. $F^\perp$ dépend du produit scalaire : dans $\R_1[X]$ , l’orthogonal de $\operatorname{Vect}(X)$ pour $\int_0^1 PQ$ n’est pas l’espace des constantes mais $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — calculer $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; « perpendiculaire » n’a aucun sens tant que le produit n’est pas nommé. Ne pas développer $\norm{x + y}$ linéairement : l’identité correcte est $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; le double produit ne disparaît que sous l’orthogonalité (Pythagore), et l’inégalité triangulaire est une inégalité. Envoyer des vecteurs unitaires sur des vecteurs unitaires ne suffit pas : $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ envoie les deux vecteurs de la base canonique sur le vecteur unitaire $(1, 0)$ , et pourtant $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : ce n’est pas une isométrie. La définition exige $\norm{u(x)} = \norm x$ pour tout $x$ ; en termes de matrices, $A^{\mathsf T}A = I$ , c’est-à-dire des colonnes unitaires et deux à deux orthogonales — les deux conditions, vérifiées ensemble.

Remarque 23.19 (Où sert le produit scalaire)

La projection orthogonale est le théorème le plus appliqué du chapitre : elle est au fondement des moindres carrés (le devoir maison du Chapitre 25 y construit les droites de régression), des coefficients de Fourier (Exemple 23.14) et des équations normales de l’Exercice 23.5, que l’analyse numérique résout à grande échelle. La classification $R_\theta / S_\theta$ est complétée plus bas : le devoir maison classifie toutes les transformations du plan qui conservent les distances, linéaires ou non, ainsi que leurs groupes finis — les mathématiques des rosaces et des polygones réguliers. Dans le volume de Licence 2, le produit scalaire rencontre la théorie des valeurs propres (matrices symétriques, formes quadratiques) ; en Licence 3, la géométrie euclidienne en dimension infinie devient la théorie des espaces de Hilbert.

Remarque 23.20 (Perspectives à l’intérieur du livre 3)

Deux ponts partent de ce chapitre. Vers l’arrière, vers l’algèbre linéaire : la matrice de Gram de l’Exercice 23.11 range les produits scalaires dans la machinerie des déterminants du Chapitre 22, et la projection orthogonale est le projecteur particulier du Chapitre 20 dont le noyau est $F^\perp$ — toute son algèbre ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) s’applique mot pour mot, avec en prime que $\norm{x - p(x)}$ est une distance. Vers l’avant, vers l’analyse : le Chapitre 24 mesure les longueurs d’arc avec la norme de ce chapitre et ne classifie rien sans ses isométries ; le Chapitre 25 lit le gradient à travers Cauchy–Schwarz (direction de plus forte pente) et referme le volume sur les moindres carrés, qui sont le Théorème 23.10 appliqué à un vecteur de données de $\R^n$ . Le produit scalaire est le point où l’algèbre et l’analyse du livre se rejoignent enfin.

23.4 Exercices

Exercice 23.1 ★

Dans $\R^3$ canonique : calculer $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ et l’angle entre $u = (1, 2, 2)$ et $v = (2, -2, 1)$ . Vérifier numériquement Cauchy–Schwarz.

Solution

Solution de Exercice 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . Les vecteurs sont orthogonaux : l’angle vaut $\frac\pi2$ . Cauchy–Schwarz : $\abs 0 \leq 9$ , très largement.

Exercice 23.2 ★

Démontrer l’identité du parallélogramme $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ dans tout espace euclidien, et s’en servir pour montrer que la norme sup sur $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , ne provient d’aucun produit scalaire.

Solution

Solution de Exercice 23.2.

On développe les deux normes au carré avec l’identité du Théorème 23.4 et on additionne : les doubles produits se compensent.

Norme sup : prenons $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Alors $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ et l’identité exigerait $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ : faux. Une norme qui viole l’identité du parallélogramme ne provient d’aucun produit scalaire.

Exercice 23.3 ★

Appliquer Gram–Schmidt à $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ dans $\R^3$ canonique.

Solution

Solution de Exercice 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , donc $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; en normalisant, $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(Vérification : les produits deux à deux sont nuls ; chacun est de norme $1$ .)

Exercice 23.4 ★

Dans $\R^3$ , soit $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Déterminer $F^\perp$ (équation et base), la matrice de $p_F$ dans la base canonique, et $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , de base $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Avec $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , donc

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Pour $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ et $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Exercice 23.5 ★★

(Équations normales) Soient $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ et $x = (1, 1, 4)$ . Calculer $p_F(x)$ en résolvant $\langle x - p, v \rangle = 0$ pour les deux générateurs ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), puis $d(x, F)$ . Pourquoi Gram–Schmidt est-il inutile ici ?

Solution

Solution de Exercice 23.5.

Posons $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Orthogonalité de $x - p$ aux générateurs :

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

c’est-à-dire $2\alpha + \beta = 5$ et $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Donc $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ et

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram–Schmidt est inutile parce que la propriété caractéristique de la projection — $x - p \perp F$ — est elle-même un système linéaire (« équations normales ») portant sur les coefficients dans n’importe quelle famille génératrice.

Exercice 23.6 ★★

Pour $f$ continue sur $\intcc{0}{1}$ , démontrer

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

avec le cas d’égalité, comme cas particulier de Cauchy–Schwarz dans $C(\intcc{0}{1})$ . Démontrer ensuite $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ pour des réels $a_i$ .

Solution

Solution de Exercice 23.6.

Cauchy–Schwarz avec $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

avec égalité si et seulement si $f$ est proportionnelle à $1$ , c’est-à-dire constante. Version discrète : dans $\R^n$ avec $x = (a_1, \dots, a_n)$ , $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , avec égalité si et seulement si tous les $a_i$ sont égaux.

Exercice 23.7 ★★

Démontrer que pour tout sous-espace $F$ d’un espace euclidien : $(F^{\perp})^{\perp} = F$ et $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Solution

Solution de Exercice 23.7.

D’après le Théorème 23.10, $E = F \oplus F^\perp$ , donc les dimensions s’ajoutent : $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . L’inclusion $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ est immédiate (les vecteurs de $F$ sont orthogonaux à tout élément de $F^\perp$ ). Dimensions : $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; une inclusion entre sous-espaces de même dimension (finie) est une égalité (Théorème 19.14).

Exercice 23.8 ★★

Identifier les isométries planes de matrices

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(type, angle ou axe). Calculer $A^8$ et $B^2$ sans multiplier de matrices.

Solution

Solution de Exercice 23.8.

$A$ : colonnes unitaires, déterminant $+1$ : une rotation, avec $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Donc $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : déterminant $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : une réflexion $S_\theta$ avec $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ ; son axe fait l’angle $\frac\theta2$ avec l’axe des $x$ , c’est-à-dire la droite dirigée par $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concrètement l’axe est $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , puisque $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . Étant une réflexion, $B^2 = I$ .

Exercice 23.9 ★★★

(Un minimum vu comme une projection) Calculer

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

en utilisant Exemple 23.12 : le minimum est $\norm{f - p_F(f)}^2$ pour $f = X^2$ , $F = \R_1[X]$ .

Solution

Solution de Exercice 23.9.

La quantité est $\norm{f - (a + bX)}^2$ dans $C(\intcc{0}{1})$ muni du produit scalaire intégral : elle est minimale exactement en la projection orthogonale $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (Exemple 23.12). Le minimum vaut

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

On développe : $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Le minimum vaut donc $\dfrac{1}{180}$ .

Exercice 23.10 ★★★

Soit $u$ une isométrie d’un espace euclidien $E$ . Démontrer que $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , et en déduire $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (Calculer $\langle x - u(x), y\rangle$ pour $u(y) = y$ , en utilisant la conservation du produit scalaire.)

Solution

Solution de Exercice 23.10.

Soient $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (c’est-à-dire $u(y) = y$ ) et $x \in E$ . Alors, en utilisant la conservation du produit scalaire ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ) :

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

tout vecteur de $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ est orthogonal à tout vecteur fixe.

Par conséquent $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ , et par le théorème du rang joint à l’Exercice 23.7, les deux ont pour dimension $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : ils sont égaux. Alors $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Exercice 23.11 ★★

(Matrice de Gram) Pour des vecteurs $v_1, \dots, v_k$ d’un espace euclidien, soit $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ leur matrice de Gram.

Démontrer que $(v_1, \dots, v_k)$ est libre si et seulement si $G$ est inversible. (Si $Gc = 0$ , calculer $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Calculer la matrice de Gram de $(1, X, X^2)$ dans $\R_2[X]$ pour $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , y reconnaître la matrice de Hilbert $H_3$ du devoir maison du Chapitre 22, et conclure à la liberté à partir de $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Solution

Solution de Exercice 23.11.

Supposons $Gc = 0$ pour une colonne $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . Alors

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

donc $\sum_i c_i v_i = 0$ . Si la famille est libre, cela impose $c = 0$ : $G$ est inversible. Réciproquement, une relation non triviale $\sum_j c_j v_j = 0$ donne, en prenant le produit avec chaque $v_i$ , la relation non triviale $Gc = 0$ : $G$ est singulière. Liberté $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : la matrice de Gram de $(1, X, X^2)$ est exactement la matrice de Hilbert $H_3$ , dont le déterminant $\frac1{2160}$ a été calculé dans le devoir maison du Chapitre 22 : non nul, donc les monômes sont libres — comme prévu, mais désormais certifié par un nombre.

Exercice 23.12 ★★★

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ dont la matrice $A$ dans une base orthonormale est à la fois orthogonale ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) et symétrique ( $A^{\mathsf T} = A$ ).

Montrer que $A^2 = I$ , et en déduire (via Théorème 20.15) que $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Montrer que les deux sous-espaces sont orthogonaux, de sorte que $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : la réflexion par rapport à $F$ . (Pour $u(x) = x$ et $u(y) = -y$ , calculer $\langle x, y\rangle$ de deux façons.)
Classifier le cas du plan : quelles matrices du Théorème 23.17 sont symétriques, et quelles sont les applications correspondantes ?

Solution

Solution de Exercice 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , donc $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ est une symétrie, et le Théorème 20.15 (2) donne $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Soient $u(x) = x$ et $u(y) = -y$ . Comme $u$ conserve le produit scalaire,

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

donc $\langle x, y\rangle = 0$ : les deux sous-espaces propres sont orthogonaux, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ pour $F = \ker(u - \mathrm{id})$ , et $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $F$ .
$R_\theta$ est symétrique si et seulement si $-\sin\theta = \sin\theta$ , c’est-à-dire $\theta \in \{0, \pi\}$ : les applications $\pm\mathrm{id}$ (identité et symétrie centrale). Toute $S_\theta$ est symétrique : les réflexions par rapport à une droite. Ce sont exactement les symétries orthogonales du plan, avec $F$ égal au plan tout entier, à $\{0\}$ , ou à l’axe de la réflexion.

23.5 Problème : isométries planes et théorème de Léonard de Vinci

Problème 23.1

Une isométrie du plan est une application quelconque $f \colon \R^2 \to \R^2$ conservant les distances : $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ pour tous $x, y$ — aucune linéarité n’est supposée. Ce problème démontre que ces applications sont exactement les translations, les rotations, les réflexions et les symétries glissées (la classification des isométries planes), calcule leurs composées et détermine tous leurs groupes finis : le théorème de Léonard de Vinci, les mathématiques qui se cachent derrière les rosaces. À partir de la partie II, nous identifions $\R^2$ à $\C$ (Chapitre 3) : le produit scalaire canonique est $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ et la norme est le module.

Partie I — Toute isométrie est affine.

Vérifier que les translations $t_a(x) = x + a$ , les isométries linéaires et toutes leurs composées sont des isométries, et que les isométries forment un groupe pour la composition.
Soit $f$ une isométrie telle que $f(0) = 0$ . Montrer que $f$ conserve les normes, puis — par polarisation, Théorème 23.4 — que $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ pour tous $x, y$ .
Toujours avec $f(0) = 0$ : développer $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ et $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ à l’aide de la question 2, et en conclure que $f$ est linéaire : $f \in O(\R^2)$ .
En déduire que toute isométrie $f$ s’écrit de façon unique $f = t_a \circ g$ avec $a = f(0)$ et $g$ une isométrie linéaire (la partie linéaire de $f$ ).
On dit que $f$ est directe si $\det g = 1$ , indirecte si $\det g = -1$ . Montrer que la partie linéaire d’une composée est la composée des parties linéaires, et énoncer la règle des signes qui en résulte (direct/indirect se composent comme $+1/-1$ ).

Partie II — Les quatre types. Via Théorème 23.17, les isométries linéaires de $\C$ sont $z \mapsto az$ et $z \mapsto a\conj z$ avec $\abs a = 1$ ; toute isométrie du plan est donc

f(z) = a z + b \quad (\text{directe}) \qquad\text{ou}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indirecte}), \qquad \abs a = 1 .

Vérifier le dictionnaire : $R_\theta$ est $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ et $S_\theta$ est $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (vérifier sur $1$ et sur $\iu$ ).
(Cas direct) Soit $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Montrer : si $a = 1$ , $f$ est une translation ; si $a \neq 1$ , $f$ a l’unique point fixe $z_0 = b/(1 - a)$ et $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : une rotation de centre $z_0$ et d’angle $\arg a$ .
(Cas indirect) Soient $f(z) = a\conj z + b$ , et $v = a\conj b + b$ . Montrer que $f \circ f = t_v$ et $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Si $v = 0$ : montrer que le milieu de $z$ et de $f(z)$ est un point fixe, et que $f$ est une réflexion par rapport à une droite. Si $v \neq 0$ : montrer que $r = t_{-v/2}\circ f$ est une réflexion dont l’axe est parallèle à $v$ , de sorte que $f = t_{v/2} \circ r$ est une symétrie glissée. Conclure : toute isométrie du plan est une translation, une rotation, une réflexion ou une symétrie glissée (la classification des isométries planes).
(Composées) Montrer : la composée de deux rotations d’angles $\alpha$ et $\beta$ est une rotation d’angle $\alpha + \beta$ (une translation si $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ) ; la composée de deux réflexions est une rotation d’angle le double de l’angle entre les axes (une translation si les axes sont parallèles).
En déduire que toute isométrie du plan est une composée d’au plus trois réflexions.

Partie III — Trois identifications.

Classifier complètement $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : type, axe, vecteur de glissement.
Soient $f$ la rotation d’angle $\frac\pi2$ de centre $0$ et $g$ la rotation d’angle $\frac\pi2$ de centre $1$ . Calculer $g \circ f$ sous la forme $z \mapsto az + b$ et l’identifier (type, centre, angle).
Soient $r_1(z) = \conj z$ (réflexion par rapport à l’axe réel) et $r_2(z) = \iu\conj z$ (réflexion par rapport à la droite $y = x$ ). Calculer $r_2 \circ r_1$ et vérifier la question 9 sur cet exemple.

Partie IV — Groupes finis : le théorème de Léonard de Vinci. Soit $G$ un groupe fini d’isométries du plan.

Montrer que les isométries conservent les barycentres : si $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ et $f = t_a \circ g$ ( $g$ linéaire), alors $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Posons $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ pour un $x_0$ choisi quelconque. Montrer que tout $h \in G$ fixe $c$ : un groupe fini d’isométries a un point fixe commun.
En déduire qu’après conjugaison par $t_{-c}$ , on peut supposer $G \subseteq O(\R^2)$ . Soit $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; montrer que, ou bien $G = G^{+}$ , ou bien $G^{+}$ est exactement d’indice $2$ dans $G$ (exhiber une bijection $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Montrer qu’un groupe fini de rotations de centre $c$ est cyclique : parmi ses éléments, choisir la rotation $R_{\theta_0}$ de plus petit angle $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ , et utiliser la division euclidienne des angles pour démontrer qu’elle engendre ; conclure $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ et $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Supposons $G \neq G^{+}$ et choisissons une réflexion $s \in G$ . Montrer que $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , que $s r s = r^{-1}$ pour toute rotation $r \in G^{+}$ , et que les $n$ éléments de $sG^{+}$ sont tous des réflexions : $G$ est le groupe diédral $D_n$ , d’ordre $2n$ .
Conclure (théorème de Léonard de Vinci) : tout groupe fini d’isométries du plan est cyclique $C_n$ ou diédral $D_n$ .

Partie V — Dividendes, et synthèse.

Montrer directement qu’un groupe fini d’isométries ne peut contenir aucune translation et aucune symétrie glissée autre que l’identité (considérer les puissances d’un tel élément).
Soit $P_n$ le polygone régulier à $n$ côtés dont les sommets sont les racines $n$ -ièmes de l’unité ( $n \geq 3$ ). Montrer que son groupe de symétries est exactement $D_n$ : les $n$ rotations $z \mapsto \omega^k z$ et les $n$ réflexions $z \mapsto \omega^k \conj z$ , $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , et aucune autre.
Exhiber des figures planes dont les groupes de symétries sont respectivement $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ et $C_3$ .
Lister les huit éléments du groupe de symétries du carré de sommets $\pm1, \pm\iu$ sous la forme $z \mapsto \omega^k z$ ou $z \mapsto \omega^k\conj z$ , et donner l’axe de chacune des quatre réflexions.
Soient $f, g$ deux rotations de même angle $\theta \notin 2\pi\Z$ et de centres distincts $c_1 \neq c_2$ . Calculer $f\circ g - g\circ f$ point par point et montrer que $f\circ g \neq g\circ f$ ; montrer de plus que $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ est une translation non triviale, de sorte que tout groupe contenant $f$ et $g$ est infini — une seconde explication de l’unicité du centre dans le théorème de Léonard de Vinci.
Synthèse, en quatre phrases : quels sont les deux résultats structurels qui ramènent les isométries quelconques à l’algèbre linéaire (questions 3–4) et les groupes finis quelconques à des sous-groupes de $O(2)$ (question 15) ; quelle est la liste complète des isométries planes et quels invariants (directe/indirecte, points fixes) séparent les quatre types ; pourquoi les règles de composition de la question 9 font des réflexions les générateurs de tout ; et ce que le théorème de Léonard de Vinci ajoute à l’échelle finie. Nommer les deux théorèmes démontrés dans les parties II et IV.

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; une isométrie linéaire conserve les normes, donc les distances ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ) ; et une composée d’applications conservant les distances conserve les distances. Toute isométrie est injective (deux points distincts restent à distance strictement positive) et, par la classification ci-dessous, bijective ; l’identité et les réciproques sont des isométries : c’est bien un groupe.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarisation :

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. En développant avec la question 2 (chaque produit des images par $f$ égale le produit des arguments) :

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

comme un calcul direct le montre ; de même $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Donc $f(x + y) = f(x) + f(y)$ et $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ est linéaire, et conserve la norme : $f \in O(\R^2)$ .

4. Posons $a = f(0)$ et $g = t_{-a}\circ f$ : c’est une isométrie fixant $0$ , donc une isométrie linéaire (question 3), et $f = t_a \circ g$ . Unicité : $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ évaluée en $0$ donne $a = a'$ , puis $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , puisque $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ pour $g$ linéaire. La partie linéaire d’une composée est donc $g \circ g'$ , et $\det(gg') = \det g \det g'$ : direct $\circ$ direct $=$ indirect $\circ$ indirect $=$ direct, direct $\circ$ indirect $=$ indirect — la règle des signes de $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ envoie $1$ sur $(\cos\theta, \sin\theta)$ et $\iu$ sur $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : les colonnes de $R_\theta$ . Et $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ envoie $1$ sur $(\cos\theta, \sin\theta)$ et $\iu$ sur $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : les colonnes de $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : l’équation aux points fixes $az_0 + b = z_0$ a l’unique solution $z_0 = b/(1 - a)$ , et alors

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

dans le repère centré en $z_0$ , $f$ est la multiplication par $a = \eu^{\iu\arg a}$ : la rotation de centre $z_0$ et d’angle $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Commutation : $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ et $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , donc $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Cas $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Pour tout $z$ , le milieu $m = \frac{z + f(z)}2$ vérifie (les isométries étant affines, partie I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : il existe des points fixes. En conjuguant par la translation vers un point fixe, $f$ devient une isométrie linéaire indirecte, c’est-à-dire un certain $S_\theta$ (Théorème 23.17) : une réflexion par rapport à une droite.

Cas $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ est indirecte et

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(en utilisant la commutation), donc $r$ est une réflexion, et $f = t_{v/2}\circ r$ . Son axe est parallèle à $v$ : $r$ commute avec $t_v$ (c’est le cas de $f$ et de $t_{v/2}$ ), donc $t_v$ envoie l’axe (la droite fixe de $r$ ) sur lui-même, ce qui force $v$ à le diriger. Ainsi $f$ est une symétrie glissée de vecteur de glissement $v/2$ . Toute isométrie est désormais classifiée : translation ou rotation (directe), réflexion ou symétrie glissée (indirecte).

9. Rotations $f(z) = az + b$ , $g(z) = a'z + b'$ avec $a = \eu^{\iu\alpha}$ , $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ a pour coefficient linéaire $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : une rotation d’angle $\alpha + \beta$ d’après la question 7, ou une translation lorsque $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Réflexions $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ avec $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (axe d’angle $\theta_i/2$ ) :

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

directe, d’angle $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : le double de l’angle entre les axes ; des axes parallèles ( $\theta_1 = \theta_2$ ) donnent une translation.

10. Une rotation de centre $c$ et d’angle $\theta$ est le produit de deux réflexions par rapport à des droites passant par $c$ et faisant l’angle $\theta/2$ (question 9, lue à l’envers) ; une translation $t_v$ est le produit de deux réflexions par rapport à des droites parallèles orthogonales à $v$ et distantes de $\norm v/2$ ; une réflexion est une seule réflexion ; une symétrie glissée est une réflexion composée avec une translation, donc trois. Maximum : trois.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : une symétrie glissée de vecteur de glissement $v/2 = 1 + \iu$ . La réflexion $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ est $r(z) = \iu\conj z$ , dont l’axe est la droite d’angle $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ : la droite $y = x$ . Donc $f$ est la symétrie glissée d’axe $y = x$ et de vecteur $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ et $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , donc

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

coefficient linéaire $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , une rotation d’angle $\pi$ (un demi-tour), de centre $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : la rotation d’angle $\frac\pi2$ de centre $0$ . Les axes (l’axe réel, d’angle $0$ ; la droite $y = x$ , d’angle $\frac\pi4$ ) se coupent selon l’angle $\frac\pi4$ , dont le double est $\frac\pi2$ : la question 9 est confirmée.

14. Avec $f = t_a\circ g$ , $g$ linéaire, et $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Pour $h \in G$ , en utilisant la question 14 (les coefficients $\frac1{\abs G}$ sont de somme $1$ ) :

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

car $g \mapsto hg$ est une bijection de $G$ sur lui-même.

16. Les conjugués $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) forment un groupe d’isométries fixant $0$ , donc d’isométries linéaires (question 3) : un sous-groupe fini de $O(\R^2)$ . Si un $s \in G$ est indirect, l’application $g \mapsto sg$ envoie $G^+$ injectivement dans $G\setminus G^+$ et $h \mapsto s^{-1}h$ en est la réciproque (règle des signes de la question 5) : $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; sinon $G = G^+$ .

17. Si $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , c’est $C_1$ . Sinon, écrivons ses éléments $R_\theta$ , $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ , et soit $\theta_0$ le plus petit angle positif qui apparaisse. Pour $R_\theta \in G^{+}$ , la division euclidienne $\theta = k\theta_0 + \rho$ avec $0 \leq \rho < \theta_0$ donne $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , donc $\rho = 0$ par minimalité : $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . En divisant $2\pi$ par $\theta_0$ de la même façon, on obtient $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , engendré par la rotation d’angle $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ par le comptage de la question 16. Avec $s(z) = a\conj z$ et $r(z) = \omega z$ (formes linéaires, après la question 16 ; $\abs a = \abs\omega = 1$ ) :

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Chaque élément $sr^k$ de $sG^{+}$ est indirect et vérifie $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : une isométrie indirecte involutive fixant $c$ , c’est-à-dire une réflexion. Donc $G$ est formé de $n$ rotations et de $n$ réflexions, avec les relations $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ , $srs = r^{-1}$ : le groupe diédral $D_n$ .

19. En combinant : un groupe fini d’isométries du plan fixe un point $c$ (question 15), se ramène à un sous-groupe fini de $O(2)$ (question 16), et vaut $C_n$ s’il ne contient que des rotations (question 17), $D_n$ sinon (question 18) : c’est le théorème de Léonard de Vinci.

20. Une translation $t_v \neq \mathrm{id}$ a pour puissances les $t_{kv}$ , toutes distinctes (les $kv$ sont deux à deux distincts pour $v \neq 0$ ) : elle est d’ordre infini. Une symétrie glissée $f$ vérifie $f^2 = t_v$ avec $v \neq 0$ : encore un ordre infini. Ni l’une ni l’autre ne tient dans un groupe fini — en cohérence avec les questions 15 à 19, qui n’ont produit que des rotations et des réflexions.

21. Les $2n$ applications conservent l’ensemble des sommets : $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ et $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; étant des isométries, elles conservent le polygone (les segments vont sur des segments). Réciproquement, une symétrie conserve le barycentre $0$ des sommets (question 14), donc est linéaire, et permute les sommets (ce sont les points du polygone situés à distance maximale de $0$ ). Une isométrie linéaire envoyant le sommet $1$ sur $\omega^k$ est $z \mapsto \omega^k z$ si elle est directe, $z \mapsto \omega^k\conj z$ si elle est indirecte (sa matrice est déterminée par une colonne et le signe) : il y a donc au plus $2n$ symétries, donc exactement le $D_n$ ci-dessus.

22. $C_1$ : un triangle scalène (aucune symétrie non triviale). $D_1$ : un triangle isocèle non équilatéral (une seule réflexion). $D_2$ : un rectangle non carré (l’identité, le demi-tour de centre le centre, les deux réflexions d’axes les médiatrices). $C_3$ : un triskèle — trois bras coudés congruents attachés à $120$ degrés d’intervalle ; le coude tue toutes les réflexions mais laisse les rotations d’ordre $3$ .

23. Avec $\omega = \iu$ : les rotations $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (angles $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), et les réflexions

z \mapsto \conj z \ (\text{axe } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

les deux diagonales et les deux médianes du carré — le groupe diédral $D_4$ , d’ordre $8$ .

24. Écrivons $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ et $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . Alors

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

donc $f g \neq g f$ . Les deux composées ont pour coefficient linéaire $a^2$ , donc $(fg)\circ(gf)^{-1}$ a pour coefficient linéaire $1$ : c’est la translation de vecteur $fg(z) - gf(z)$ , la constante non nulle ci-dessus. Un groupe contenant $f$ et $g$ contient cette translation et toutes ses puissances : il est infini. Deux centres de rotation, c’est un de trop pour un groupe fini — le cœur géométrique du théorème de Léonard de Vinci.

25. (i) Les questions 3 et 4 montrent que toute application conservant les distances est affine, de partie linéaire orthogonale, et la question 15 attache tout groupe fini à un point fixe : les deux résultats convertissent la géométrie métrique en algèbre linéaire à l’origine. (ii) La liste complète est : translation, rotation, réflexion, symétrie glissée ; le déterminant de la partie linéaire sépare le direct de l’indirect, et l’existence de points fixes sépare les deux types à l’intérieur de chaque parité. (iii) D’après la question 9, deux réflexions se composent en n’importe quelle rotation ou translation, donc les réflexions engendrent tout le groupe — trois au plus suffisent pour toute isométrie. (iv) À l’échelle finie, seules deux familles survivent, les groupes cycliques et les groupes diédraux, et c’est pourquoi les ornements en rosace sont exactement de deux sortes (avec ou sans axes de miroir). La partie II a démontré la classification des isométries planes ; la partie IV a démontré le théorème de Léonard de Vinci.