Qu'est-ce que « topology » ? — Mathématiques

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Définition 25.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · অধ্যায় 25 — Fonctions de deux variables

Sur $\R^2$ , on utilise la norme euclidienne $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Chapitre 23). Les boules ouvertes, les voisinages, les parties ouvertes de $\R^2$ se définissent exactement comme au Chapitre 12, avec des boules à la place des intervalles. Une fonction $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ ouvert) est continue en $a \in U$ lorsque

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

avec la même caractérisation séquentielle qu’en une variable. Sommes, produits, quotients et composées avec des fonctions continues d’une variable préservent la continuité ; les applications coordonnées sont continues, donc aussi les polynômes en $(x,y)$ .

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Exemple 25.2 (La majoration polaire, la bonne façon de prouver une limite)

Montrons que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (avec $f(0,0) = 0$ ) est continue à l’origine. En coordonnées polaires $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

majoration indépendante de $\theta$ : quelle que soit la direction d’approche, les valeurs sont écrasées vers $0$ . Cette uniformité en $\theta$ est tout l’enjeu — une majoration comme $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (plus de $\rho$ ) ne prouve rien, et de fait ce $g$ est le piège radial discontinu de l’exemple suivant.

Exemple 25.3 (Le piège radial)

Soit $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . Le long de chaque axe, $f = 0 \to 0$ ; mais le long de la diagonale $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Pas de limite à l’origine : approcher selon toutes les droites, et même trouver la même limite selon chacune, ne suffit pas (ici les limites selon les droites diffèrent ; il y a pire, des fonctions qui donnent la même limite selon toutes les droites et échouent le long d’une parabole, Exercice 25.3). La continuité par rapport à chaque variable séparément n’entraîne pas la continuité.

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Définition 6.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · অধ্যায় 6 — Topologie générale

Une topologie sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal T$ de parties de $X$ — appelées ouverts — telles que : $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toute réunion d’ouverts est ouverte ; toute intersection finie d’ouverts est ouverte. Le couple $(X, \mathcal T)$ est un espace topologique. Les complémentaires d’ouverts sont fermés. Un voisinage de $x$ est un ensemble contenant un ouvert contenant $x$ .

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Exemple 6.2

(a) Un espace métrique, avec les ouverts de deuxième année (réunions de boules ouvertes) : la topologie métrique ; des métriques différentes peuvent donner la même topologie (métriques équivalentes). Un espace dont la topologie provient d’une métrique est métrisable. (b) La topologie discrète (toutes les parties) et la topologie indiscrète $\{\varnothing, X\}$ . (c) La topologie cofinie sur un ensemble infini : ouvert $=$ vide ou cofini. Non métrisable, comme on le verra (Exercice 6.3). (d) Sur $\R$ , la topologie usuelle ; sur $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , la topologie de l’ordre engendrée par les demi-droites — faisant de « $x_n \to +\infty$ » un cas particulier de convergence ordinaire.

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