किसी चाप की लंबाई কী?

उदाहरण 24.10 (जाँच: वृत्त)

$\intcc{0}{2\pi}$ पर $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के लिए: $\norm{f'} = R$, अतः $L = 2\pi R$ — अर्थात् परिभाषा परिधि ही लौटा देती है। पुनःप्राचलन की परीक्षा: $\intcc{0}{\pi}$ पर प्रतिचित्रण $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ वही वृत्त दुगुनी चाल $\norm{g'} = 2R$ से खींचता है, और

फिर वही: आधा समय, दुगुनी चाल, वही लंबाई — अर्थात् परिभाषा में वादा की गई अपरिवर्तिता, एक बार संख्याओं पर देख ली गई। ($g$ को पूरे $\intcc{0}{2\pi}$ पर चलाने से $4\pi R$ मिलता: दो बार पार किया गया वक्र यात्रा के रूप में दुगुना लंबा है; लंबाई प्राचलित पथ नापती है, और अंतराल का ईमानदार लेखा-जोखा संगणना का ही हिस्सा है।) ऐस्ट्रॉयड $(\cos^3t, \sin^3t)$ के लिए: $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, और सममिति से $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$: अर्थात् इकाई वृत्त के भीतर खिंचा हुआ वक्र, जिसकी लंबाई $6 < 2\pi$ है। सप्ताहांत समस्या सबसे प्रसिद्ध मेहराब को नापती है।